Probability_Thai

ความแขง็ แกร่งของคณติ ศาสตร์ สําหรับ นิสิตนักศึกษาระดบั มหาวทิ ยาลยั ช้ันปี ที่ 1 และ นักเรียนระดบั มัธยมศึกษาตอนปลาย ความน่าจะเป็ น ผลติ โดย ศ. ดร. บรรพต สุวรรณประเสริฐ

i คาํ นํา เอกสารน้ีจดั ทาํ ข้ึนเพอ่ื สรุปแนวคิดท่ีแขง็ แกร่งของคณิตศาสตร์เพือ่ สนบั สนุน การเรียนการสอนและการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของทกั ษะพ้ืนฐานทางคณิตศาสตร์และทกั ษะ คณิตศาสตร์ข้นั สูง สาํ หรับนิสิตนกั ศึกษาระดบั มหาวทิ ยาลยั ช้นั ปี ที่ 1 และนกั เรียนระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลายในประเทศไทย โปรแกรมวทิ ยาศาสตร์ควรมีความเขา้ ใจดีสาํ หรับหวั ขอ้ ท้งั หมด 16 เร่ือง ในขณะท่ี โปรแกรมที่ไม่ใช่วทิ ยาศาสตร์ควรมีความเขา้ ใจไดด้ ีเพยี ง 8 เร่ือง คือ 1. เซต 2. การใช้ เหตุผลเชิงคณิตศาสตร์ 3. จาํ นวนจริง 4. ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 5. ตรีโกณมิติ 6. ลาํ ดบั และอนุกรม 7. ความน่า จะเป็น และ 8. สถิติ และมีอีก 8 เร่ืองท่ีควรรวม ไวใ้ นโปรแกรมวทิ ยาศาสตร์ ไดแ้ ก่ 9. เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 10. ฟังกช์ นั เลขช้ีกาํ ลงั และลอการิทึม 11. เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ 12. ตรรกศาสตร์เชิงสญั ลกั ษณ์ 13. เวกเตอร์ 14. จาํ นวนเชิงซอ้ น 15. โปรแกรมเชิงเสน้ และ 16. แคลคูลสั วตั ถุประสงคข์ องเอกสารน้ี คือ เป็นการใชส้ ื่อการเรียนการสอนเพอื่ เนน้ ใหน้ ิสิต นกั ศึกษาและนกั เรียนมีความเขา้ ใจคณิตศาสตร์โดยมีการคิดอยา่ งเป็นข้นั เป็นตอน โดยให้ นิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน ควรถามตนเองวา่ “ทาํ ไม” และ “อยา่ งไร\" เน่ืองจากคาํ ถาม ประเภทน้ีจะทาํ ใหน้ ิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน คน้ หาคาํ ตอบอยา่ งสมเหตุสมผล หวงั วา่ เน้ือหาในเอกสารน้ีจะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนคณิตศาสตร์และ กิจกรรมการเรียนรู้ของคณาจารยแ์ ละนิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน ซ่ึงจะเป็นประโยชนต์ ่อ การพฒั นาความรู้และทกั ษะทางคณิตศาสตร์สาํ หรับนิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียนทุกคน และ จะทาํ ใหน้ ิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียนทุกคนประสบความสาํ เร็จในการสอบ ศ. ดร. บรรพต สุวรรณประเสริฐ

เนือ้ หาความน่าจะเป็ น ii หน้า 1. การนับเบือ้ งต้น …………..………………………..………………… 1 2. ความน่าจะเป็ น …………………………………………..…………. 1 3. การเรียงลาํ ดบั และการเลอื ก ……….……..…………………..…..…. 2 4. ทฤษฎบี ททวนิ าม …………….…………………………………….… 3 5. การกระจายแบบทวนิ าม …………….…………………………...….. 3 ตวั อย่างข้อทดสอบ …………………………………………………….. 4 คาํ ตอบ ………………………………………………………………...… 13 บรรณานุกรม ………………………………………………………...… 14

แนวคดิ ความน่าจะเป็ น 1 ความน่าจะเป็ น I 1. การนับเบอื้ งต้น กฎของผลรวม ถา้ ภารกิจแรกสามารถทาํ ได้ n1 วธิ ี และภารกิจท่ีสอง สามารถทาํ ได้ n2 วธิ ี โดยสองภารกิจไม่สามารถทาํ ใหส้ าํ เร็จไดใ้ นเวลาเดียวกนั แลว้ แลว้ จะไดว้ า่ ภารกิจที่สามารถทาํ ไดท้ ้งั หมดมีค่าเท่ากบั n1 + n 2 วธิ ี กฎของผลคูณ สมมุติวา่ สามารถแบ่งข้นั ตอนออกเป็น 2 งาน ถา้ ภารกิจแรก สามารถทาํ ได้ n1 วธิ ี และภารกิจที่สองสามารถทาํ ไดภ้ ายหลงั ทาํ ภารกิจแรกสาํ เร็จใน แต่ละวธิ ีไดอ้ ีก n 2 วธิ ี แลว้ จะไดว้ า่ ภารกิจที่สามารถทาํ ไดท้ ้งั หมดมีค่าเท่ากบั n1 n2 วธิ ี แฟคทอเรียล n (Factorial) n! : เมื่อ n คือจาํ นวนเตม็ บวก n! = 1× 2× 3× . . . × n หรือ n ! = n × (n - 1) × (n - 2) . . . 3 × 2 × 1 และ 0 ! = 1 2. ความน่าจะเป็ น การสุ่มตวั อย่าง (Random sampling) คือการทดลองซ่ึงทราบวา่ ผลลพั ธ์ควรเป็น อยา่ งไร ตวั อยา่ ง เช่น ถา้ โยนลุกเต๋าหน่ึงคร้ัง หนา้ ของลุกเต๋าอาจเกิดข้ึนคือไดห้ นา้ 1, 2, 3, 4, 5, หรือ 6 ดงั น้นั การโยนลุกเต๋าจึงเรียกวา่ การสุ่มตวั อยา่ ง นิยาม แซมเปิ ลสเปซ (Sample space) S คือเซตของผลลพั ธ์ที่มีท้งั หมด เป็นไปไดท้ ี่จะเกิดข้ึนในการทดลอง นิยาม เหตุการณ์ (Event) E คือสบั เซตของแซมเปิ ลสเปซ

2 นิยาม ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E กาํ หนดไดค้ ือ P(E) = n(E) เมื่อ E ⊂ S . n(S) ฟังก์ชันของความน่าจะเป็ น (Probability function) มีดงั ต่อไปน้ี (1) 0 < P(E) < 1 เมื่อ E คือสบั เซตของ S (2) P(S) = 1 (3) P( φ ) = 0 (4) P( E′ ) = 1 – P(E). (5) P(E 1 ∪ E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) – P(E 1 ∩ E 2 ) (6) P(E 1 ∪ E 2 ∪ E 3 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) + P(E 3 ) – P(E 1 ∩ E 2 ) – P(E 1 ∩ E 3 ) – P(E 2 ∩ E 3 ) + P(E 1 ∩ E 2 ∩ E 3 ) ความน่าจะเป็ น II 3. การเรียงลาํ ดบั และการเลอื ก (Permutation and Combination) ประเภท การทาํ ซํ้า สูตร ไม่ r-การเรียงลาํ ดับ nP r = n! (Permutation) (n − r)! r-การรียงลาํ ดบั แบบวงกลม ไม่ n Q r = nP r , n Q n = (n − 1)! (Circular permutation) r r-การรียงลาํ ดบั ของ n ส่ิง ได้ nr (Permutation of n objects) ได้ ไม่ n! n-การรียงลาํ ดบั ของ k กล่อง n1 ! n2 ! . . . nk ! (Permutation of k boxes) nC r = n! r-การเลอื ก r! (n − r)! (Combination) r-การเลอื ก ได้ nH r =  n + r − 1  (Combination) r

4. ทฤษฎบี ททวนิ าม (Binomial Theorem) -3 n ∑(x + y) n = nC j xn − j y j j=0 =  n  x n +  n  x n − 1 y +  n  x n − 2 y 2 0 1 2 +... +  n 1  x yn −1 +  n  y n . n− n สามเหลย่ี มปาสคาล (Pascal’s triangle) : สมั ประสิทธ์ิทวนิ ามในสามเหลี่ยมดงั แสดงในรูปดา้ นล่างน้ี แถวท่ี n ในรูปสามเหล่ียมประกอบดว้ ยค่าสมั ประสิทธ์ิทวนิ าม คือ  n  , k = 0, 1, 2, ... , n. k 5. การกระจายแบบทวนิ าม (The Binomial Distribution) b(k; n, p) =  n  pk qn − k , q=1-p k หรือ P(X = k) =  n  pk qn − k k

ตวั อย่างข้อทดสอบ 4 ข้อสอบแบบเลอื กคาํ ตอบทเี่ หมาะสมสําหรับคาํ ถามแต่ละข้อต่อไปนีเ้ พยี งข้อเดยี ว 1. ในรายการเกมโชว์ ผชู้ มสามารถเดาราคาสิ่งของโดยมีหลกั ดงั ต่อไปน้ี: - ราคาของสิ่งของน้นั ประกอบดว้ ยจาํ นวนเลขส่ีหลกั - ราคาของสิ่งของน้นั เป็นจาํ นวนเลขค่ี ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั จาํ นวนเลขที่เป็นราคาท่ีเป็นไปได้ 1. 3,645 ราคา 2. 4,050 ราคา 3. 4,500 ราคา 4. 5,000 ราคา 2. มีเส้ือเชิ้ตสีแดง 6 แบบที่แตกต่างกนั และเส้ือเชิ้ตสีขาว 4 แบบท่ีแตกต่างกนั สมมติวา่ เราสุ่มรับ 5 ตวั จากเส้ือเชิ้ตท้งั หมด ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั จาํ นวน วธิ ีที่จะไดร้ ับจาํ นวนเส้ือเชิ้ตสีแดงที่มากกวา่ จาํ นวนเส้ือเชิ้ตสีขาว 1. 60 วธิ ี 2. 120 วธิ ี 3. 186 วธิ ี 4. 240 วธิ ี 3. ในการเขียนเลข 4 หลกั โดยใชเ้ ลขโดดจาก 1 ถึง 8 และจาํ นวนเลขท่ี เขียนข้ึนน้ีไม่ใหต้ วั เลขซ้าํ กนั ในแต่ละหลกั ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั จาํ นวน เลขท่ีเป็นจาํ นวนคู่ 1. 640 2. 840 3. 1040 4. 1200 4. จากการประกวดร้องเพลง 200 คน พบวา่ มีผเู้ ขา้ ร่วม 80 คนท่ีไม่สามารถร้องเพลง ต่างประเทศและเพลงจีน มีผเู้ ขา้ ร่วม 80 คนท่ีสามารถร้องเพลงต่างประเทศ และ มีผเู้ ขา้ ร่วม 120 คนที่สามารถร้องเพลงจีน ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั ความน่า จะเป็นท่ีผเู้ ขา้ ร่วมสามารถร้องเพลงไดท้ ้งั เพลงต่างประเทศและเพลงจีน 1. 0.2 2. 0.3 3. 0.4 4. 0.5

5 5. จากการสาํ รวจลูกคา้ 100 คนเพ่ือซ้ือเส้ือเชิ้ตที่มีขนาดแตกต่างกนั ดงั น้ี ขนาดของเส้ือเชิ้ต จาํ นวนของลกู คา้ 10 5 12 8 14 24 16 25 18 29 20 9 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั ความน่าจะเป็นที่ลกู คา้ ซ้ือเส้ือเชิ้ตท่ีมีขนาด 14 หรือ 16 1. 0.49 2. 0.32 3. 0.45 4. 0.50 6. หา้ งสรรพสินคา้ กาํ หนดจาํ นวนสมาชิกต้งั แต่ 00001 ถึง 10,000 สมมติวา่ จาํ นวน สมาชิกท่ีมีจาํ นวนเลข 5 หลกั มีเลข 5 ในหลกั ที่สามและเป็นเลขคี่ หมายเลขใด ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั จาํ นวนสมาชิกที่คุณสมบตั ิดงั กล่าวน้ี 1. 324 2. 450 3. 499 4. 500 7. กาํ หนดใหข้ อ้ ทดสอบมี 2 ส่วน คือส่วนแรกเป็นขอ้ สอบแบบถูก-ผดิ ซ่ึงมีอยู่ 5 ขอ้ ละส่วนที่สองเป็นขอ้ สอบแบบ 4- ตวั เลือกซ่ึงมีอยู่ 5 ขอ้ ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่ เท่ากบั จาํ นวนวธิ ีในการทาํ ขอ้ ทดสอบทุกขอ้ 1. 52 × 54 ways 2. 25 × 54 ways 3. 25 × 45 ways 4. 52 × 45 ways 8. กาํ หนดใหห้ มายเลขสาํ หรับผทู้ ่ีชนะคือเลขค่ีและหลกั ท่ีสิบมากกวา่ หรือเท่ากบั 1 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั ความน่าจะเป็นท่ีลกู คา้ ที่เป็นผทู้ ี่ชนะ 1. 0.04 2. 0.05 3. 0.20 4. 0.25

6 9. มีกล่อง 12 กล่องซ่ึงมีหมายเลข 1, 2, . . . , 12 ในแต่ละกล่อง ซ่ึงแต่ละกล่อง มีลกู บอล 4 ลูกที่มีสีดาํ แดง ขาว และเขียว ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ความ น่าจะเป็นท่ีหยบิ ลกู บอลสีแดงจากกล่องหมายเลขค่ีและลูกบอลสีดาํ จากกล่องหมาย เลขคู่ เมื่อเราสุ่มหยบิ ลกู บอลจากแต่ละกล่องหน่ึงลูก 1.  1 2 2.  1 12  12  4 3.  1 12 4.  1 4  2  12  10. กาํ หนดให้ A = { 1, 2, 3 }, B = { 5, 6, . . . , 14 } และ r = { (m, n) | m ∈ A และ n ∈ B } ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ความน่าจะเป็นที่คู่อนั ดบั ของความสมั พนั ธ์ r เมื่อ n หารดว้ ย 5 แลว้ เหลือ เศษเท่ากบั 3 1. 1 2. 1 15 10 3. 1 4. 3 5 5 11. ช่างไฟฟ้ าใชบ้ นั ไดสุ่มเลือกบนั ได 9 อนั ท่ีมีความยาว 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ 12 ฟุตตามลาํ ดบั และใชว้ างพาดขา้ มกาํ แพงโดยใหบ้ นั ไดดา้ นล่าง อยหู่ ่างจากกาํ แพง 3 ฟุต ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั ความน่าจะเป็นที่บนั ได จะทาํ มุมได้ 60o กบั พ้ืนดิน 1. 1 2. 2 9 9 3. 3 4. 4 9 9

7 12. พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี: A. การสุ่มตวั อยา่ งเป็นการทดลองเพือ่ ทราบวา่ จะเกิดอะไรข้ึนในผลลพั ธ์ B. ผลลพั ธ์ของการสุ่มตวั อยา่ งแต่ละคร้ังมีแนวโนม้ ท่ีจะเกิดข้ึนอยา่ งเท่าเทียมกนั ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคที่เป็ นจริง 1. A เป็นจริง และ B เป็ นเทจ็ 2. A เป็ นจริง และ B เป็นเทจ็ . 3. A เป็นเทจ็ และ B เป็ นจริง 4. A เป็นเทจ็ และ B เป็นเทจ็ 13. มีรถโรงเรียน 3 คนั เพอ่ื รับนกั เรียน 9 คนไปโรงเรียนโดยการสุ่ม ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ความน่าจะเป็นท่ีไม่มีนกั เรียนที่ไปโรงเรียนดว้ ยรถคนั แรก 1.  1 9 2.  2 9 3  3 3.  1 3 4.  2 3 9 9 14. การเลือกคณะกรรมการของชุมชนใหม้ ีผนู้ าํ ชาย 1 คน ผนู้ าํ หญิง 1 คน พนกั งานชาย 1 คน และพนกั งานหญิง 1 คน ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั วธิ ีการเลือกคณะกรรมการของชุมชน เม่ือมีผสู้ มคั รชาย 4 คนและผสู้ มคั รหญิง 8 คน 1. 168 วธิ ี 2. 324 วธิ ี 3. 672 วธิ ี 4. 1,344 วธิ ี 15. มาลีตอ้ งการเดินทางจากเมือง A ไปถึงเมือง C โดยผา่ นเมือง B จากเมือง A ถึงเมือง B เธอสามารถเลือกเดินทางโดยรถประจาํ ทาง รถไฟ หรือ เครื่องบิน จากเมือง B ถึงเมือง C เธอสามารถเลือกเดินทางโดยทางเรือ รถบสั รถไฟ หรือ เคร่ืองบิน ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั วธิ ีการเดินทางจากเมือง A ถึงเมือง C ของมาลี เม่ือเธอเลือกรถไฟสาํ หรับการเดินทางหน่ึงคร้ัง 1. 5 วธิ ี 2. 6 วธิ ี 3. 8 วธิ ี 4. 9 วธิ ี

8 16. มีหอ้ งวา่ งในโรงแรมเป็นช้นั แรก 15 หอ้ ง ในช้นั สอง 10 หอ้ ง และในช้นั สาม 25 หอ้ ง ถา้ อาจารยส์ มใจตอ้ งการพกั ในโรงแรมน้ีโดยเลือกแบบสุ่ม ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั ความน่าจะเป็นที่ครูคนน้ีจะพกั อยชู่ ้นั สอง 1. 1 2. 1 10 5 3. 3 4. 1 10 2 17. ไพส่ ามใบถูกเลือกในหน่ึงคร้ังจากไพส่ ่ีใบที่มีตวั เลข 0, 1, 2, 3 กาํ กบั ไว้ ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของจาํ นวนเลขในไพส่ อง ใบแรกนอ้ ยกวา่ ไพใ่ บที่สาม 1. 1 2. 3 4 4 3. 1 4. 2 2 3 18. เหรียญสีสามเหรียญ โดยเหรียญแรกเป็นสีขาวและสีแดง เหรียญที่สองเป็นสีแดง และสีน้าํ เงิน และเหรียญท่ีสามเป็นสีน้าํ เงินและสีขาว ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ความน่าจะเป็นที่จะมีสีที่แตกต่างกนั ของการโยน 3 เหรียญ 1. 1 2. 1 2 4 3. 1 4. 1 8 16 19. กล่องบรรจุบตั ร 10 ใบที่มีหมายเลข 1 ถึง 10 สมมติวา่ เราสุ่มจบั บตั รจากกล่อง 2 บตั รโดยไม่ใส่กบั คืน ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ความน่าจะเป็นท่ีจะไดบ้ ตั ร ท่ีมีหมายเลขนอ้ ยกวา่ 5 เพยี งหน่ึงบตั ร 1. 2 2. 8 9 15 3. 2 4. 11 35 156

9 20. จากการวดั ความสูงของนกั เรียน นกั เรียนท่ีสูงที่สุดคือ 177 เซนติเมตร และนกั เรียนท่ีต่าํ ท่ีสุดคือ 145 เซนติเมตร กาํ หนดให้ S = { H | H คือความสูงของนกั เรียนในหน่วยเซนติเมตร } T = { H | 145 < H < 177 } ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั แซมเปิ ลสเปซ (Sample space) ของการทดลอง 1. S และ T 2. S เท่าน้นั 3. T เท่าน้นั 4. ท้งั S และ T ไม่เป็นแซมเปิ ลสเปซ 21. จากการเลือกคณะกรรมการท่ีประกอบดว้ ยประธาน รองประธาน และเลขานุการ สมมุติวา่ เราเลือกจากผหู้ ญิง 6 คนและชาย 4 คน ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ความน่าจะเป็นท่ีจะไดป้ ระธานและรองประธานเป็นผหู้ ญิง 1. 1 2. 1 18 12 3. 1 4. 1 9 3

10 ข้อสอบแบบแสดงวธิ ีทาํ 22. จากการเขียนจาํ นวนเลขสามหลกั โดยเลือกตวั เลขจาก 1 ถึง 7 โดยไม่มีตวั เลข ซ้าํ กนั เราสามารถเขียนตวั เลขเหล่าน้ีไดก้ ี่วธิ ี วธิ ีทาํ 23. มี 2 กล่องท่ีมีลกู บอลซ่ึงมีหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5 ท้งั สองกล่อง จงหาความน่าจะเป็นที่สุ่มเลือกลกู บอลหน่ึงลูกจากแต่ละกล่องและไดล้ กู บอล ที่มีหมายเลขต่างกนั วธิ ีทาํ

11 24. จากการสาํ รวจขนาดรองเทา้ ของนกั เรียน 100 คนเป็นไปตามตารางดงั ต่อไปน้ี ขนาดรองเท้า จํานวนนักเรียน 5 3 6 12 7 35 8 27 9 16 10 7 รวม 100 จงหาความน่าจะเป็นท่ีสุ่มเลือกนกั เรียนในกลุ่มน้ีที่ใส่รองเทา้ เบอร์ 6 หรือ 7 วธิ ีทาํ 25. รหสั ลอ็ คความปลอดภยั ประกอบดว้ ยตวั เลขดิจิตอล 3 หมายเลขต้งั แต่ 0 ถึง 9 อยากทราบวา่ มีจาํ นวนรหสั เท่าไรท่ีสามารถต้งั ค่าสาํ หรับความปลอดภยั น้ี เม่ือกาํ หนดใหเ้ ป็นตวั เลขเดียวกนั วธิ ีทาํ

12 26. อยากทราบวา่ มีก่ีวธิ ีในการจดั เรียงผหู้ ญิง 3 คนและผชู้ าย 3 คนที่จะนงั่ เรียงกนั เป็นแถวโดยใหม้ ีคู่สามีภรรยาหน่ึงคู่ตอ้ งนงั่ ติดกนั วธิ ีทาํ

คาํ ตอบ (แนวคดิ ความน่าจะเป็ น : หน้า 4) 13 1. 1 2. 3 3. 2 4. 3 5. 1 6. 4 7. 3 14. 3 8. 1 9. 2 10. 1 11. 1 12. 2 13. 1 21. 4 15. 1 16. 2 17. 3 18. 2 19. 2 20. 2 22. 210 23. 0.8 24. 0.47 25. 1,000 26. 240

บรรณานุกรม 14 Arshavsky, N. et al. (2000). Impact Mathematics: Algebra and More for the Middle Grades. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Bass, L. E. et al. (2004). Prentice Hall Mathematics: Geometry. New Jersey: Prentice Hall. Bluman, A. G. (2004). Elementary Statistics: A Step by Step Approach. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Clements, D. H. et al. (2002). Mathematics. New York: McGraw-Hill School Division. Emanuel, R. et al. (2002 a). Pure Mathematics 1. England: Pearson Education Limited. Emanuel, R. et al. (2002 b). Pure Mathematics 2. England: Pearson Education Limited. Epp, S. S. (2004). Discrete Mathematics with Applications. California: Books/Cole-Thomson Learning Finney, R. L. et al. (2007). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic. New York: Pearson Prentice Hall. Gerver, R. et al. (1998). Geometry: An Integrated Approach. Illinois: National Textbook Company. Haffmann. L. D. et al. (2005). Applied Calculus for Business, Economics, and Social and Life Science. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Hungerford, T. W. et al. (2002). Precalculus: A Graphing Approach. New York: Holt, Rinehart and Winston. Payne, V. et al. (2002). Precalculus: A Graphing Approach. New York: Holt, Rinehart and Winston. Schultz, J. E. et al. (2004 a). Algebra 1. New York: Holt, Rinehart and Winston. Schultz, J. E. et al. (2004 b). Algebra 2. New York: Holt, Rinehart and Winston. Senk, S. L. et al. (1998). Functions, Statistics, and Trigonometry. California: Addition Wesley Longman Inc.

Educations Sri Nakharinwirot University, Prasarnmitr, Thailand 1967 B.Ed. Mathematics 1971 M.Ed. Mathematics Vanderbilt University, Peabody College, USA 1992 Ed.D. Curriculum and Supervision, Mathematics Concentration Academic and Administrative Experience 2006 – 2016 Lecturer in Mathematics, Asian University 2003 – 2004 Adviser to the President, Naresuan University 2001 – 2003 Vice-President for Research, Naresuan University 1996 – present Full Professor in Mathematics Education, Naresuan University 1998 – 2003 Part Time Lecturer in Mathematics, Mae Fah Luang University 1992 – 1996 Associate Professor in Mathematics, Naresuan University 1977 – 1992 Assistance Professor in Mathematics, Naresuan University 1971 – 1977 Lecturer in Mathematics, Naresuan University