Real_Number_Thai

ความแขง็ แกร่งของคณติ ศาสตร์ สําหรับ นิสิตนักศึกษาระดบั มหาวทิ ยาลยั ช้ันปี ที่ 1 และ นักเรียนระดบั มัธยมศึกษาตอนปลาย จาํ นวนจริง ผลติ โดย ศ. ดร. บรรพต สุวรรณประเสริฐ

i คาํ นํา เอกสารน้ีจดั ทาํ ข้ึนเพ่ือสรุปแนวคิดที่แขง็ แกร่งของคณิตศาสตร์เพื่อสนบั สนุนการเรียน การสอนและการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของทกั ษะพ้ืนฐานทางคณิตศาสตร์และทกั ษะคณิตศาสตร์ ข้นั สูง สาํ หรับนิสิตนกั ศึกษาระดบั มหาวทิ ยาลยั ช้นั ปี ท่ี 1 และนกั เรียนระดบั มธั ยมศึกษาตอน ปลายในประเทศไทย โปรแกรมวทิ ยาศาสตร์ควรมีความเขา้ ใจดีสาํ หรับหวั ขอ้ ท้งั หมด 16 หวั ขอ้ ในขณะท่ี โปรแกรมท่ีไม่ใช่วทิ ยาศาสตร์ควรมีความเขา้ ใจไดด้ ีเพยี ง 8 หวั ขอ้ คือ 1. เซต 2. การใช้ เหตุผลเชิงคณิตศาสตร์ 3. จาํ นวนจริง 4. ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 5. ตรีโกณมิติ 6. ลาํ ดบั และอนุกรม 7. ความน่าจะเป็น และ 8. สถิติ และมีอีก 8 หวั ขอ้ ที่ควรรวมไวใ้ น โปรแกรมวทิ ยาศาสตร์ ไดแ้ ก่ 9. เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 10. ฟังกช์ นั เลขช้ี กาํ ลงั และลอการิทึม 11. เมทริกซ์และ ดีเทอร์มิแนนต์ 12. ตรรกศาสตร์เชิงสญั ลกั ษณ์ 13. เวกเตอร์ 14. จาํ นวนเชิงซอ้ น 15. โปรแกรมเชิงเสน้ และ 16. แคลคลู สั วตั ถุประสงคข์ องเอกสารน้ี คือ เป็นการใชส้ ื่อการเรียนการสอนเพื่อเนน้ ใหน้ ิสิต นกั ศึกษาและนกั เรียนมีความเขา้ ใจคณิตศาสตร์โดยมีการคิดอยา่ งเป็นข้นั เป็นตอน โดยให้ นิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน ควรถามตนเองวา่ “ทาํ ไม” และ “อยา่ งไร\" เน่ืองจากคาํ ถาม ประเภทน้ีจะทาํ ใหน้ ิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน คน้ หาคาํ ตอบอยา่ งสมเหตุสมผล หวงั วา่ เน้ือหาในเอกสารน้ีจะเป็นประโยชนต์ ่อการเรียนการสอนคณิตศาสตร์และ กิจกรรมการเรียนรู้ของคณาจารยแ์ ละนิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน ซ่ึงจะเป็นประโยชน์ต่อการ พฒั นาความรู้และทกั ษะทางคณิตศาสตร์สาํ หรับนิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียนทุกคน และจะทาํ ใหน้ ิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียนทุกคนประสบความสาํ เร็จในการสอบ ศ. ดร. บรรพต สุวรรณประเสริฐ

เนือ้ หาจาํ นวนจริง ii หน้า 1. ระบบจํานวน ………………………………...……………………… 1 2. คุณสมบัตขิ องจาํ นวนจริง ….…………………………………….. 1 3. การแก้สมการและการแก้อสมการ …………..………..……………. 2 4. ค่าสัมบูรณ์ …………………………………………………….…… 3 5. รากท่ี n th ของจาํ นวนจริง …………………..……………………... 3 6. คุณสมบตั ขิ องเลขชี้กาํ ลงั ของจํานวนจริง ทไ่ี ด้ค่าเป็ นจาํ นวนตรรกยะ ………………………...…………..….. 4 7. ประเภทของจาํ นวนเตม็ บวก …………………………………….. 5 8. เซตของช่วงบนเส้นจํานวน …………….……………………….… 5 9. ทฤษฎบี ทส่วนทเี่ หลอื เศษ …………………………………….…… 6 10. ทฤษฎบี ทการแยกตวั ประกอบ …………………………………...... 6 11. ทฤษฎบี ทการตวั ประกอบเชิงเหตุผล ..………………………….... 6 12. ตวั หารร่วมมาก (gcd) ………………………………………..……. 6 13. ข้นั ตอนการหาร ………….……………………………………..… 7 ตวั อย่างข้อทดสอบ ……..………………………………………….….. 9 คาํ ตอบ ……………………………………………………………...… 19 บรรณานุกรม ………………………………………………………… 20

จํานวนจริง 1 จํานวนจริง I 1. ระบบจํานวน เราสามารถเขียนแผนภาพของความสมั พนั ธ์ของจาํ นวนจริงไดด้ งั น้ี 2. คุณสมบตั ขิ องจาํ นวนจริง คุณสมบตั ขิ องการเท่ากนั (1) กฎของการสะทอ้ น a = a (2) กฎของการสมมาตร ถา้ a = b แลว้ b = a (3) กฎของการถ่ายทอด ถา้ a = b และ b = c แลว้ a = c (4) การบวกดว้ ยจาํ นวนท่ีเท่ากนั ถา้ a = b แลว้ a + c = b + c (5) การคูณดว้ ยจาํ นวนที่เท่ากนั ถา้ a = b แลว้ ac = bc

คุณสมบัตกิ ารบวกและการคูณของจาํ นวนจริง 2 คุณสมบตั ิ การบวก การคูณ 1. การปิ ด ถา้ a∈R และ b∈R แลว้ a + b∈R ถา้ a∈R และ b∈R แลว้ ab∈R 2. การสลบั ที่ 3. การรวมกลุ่ม a+b = b+a a⋅b = b⋅a 4. เอกลกั ษณ์ a + (b + c) = (a + b) + c a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c 5. อินเวอร์ส มี 0∈R ซ่ึง มี 1∈R และ 1 ≠ 0 ซ่ึง การกระจาย 0 + a = a = a + 0. 1⋅a = a = a⋅1 มี - a∈R ซ่ึง มี a−1 ∈R และ a ≠ 0 ซ่ึง a−1 ⋅ a = 1 = a ⋅ a−1 เมื่อ a∈R (- a) + a = 0 = a + (- a) เมื่อ a∈R a(b + c) = ab + ac และ (b + c)a = ba + ca เมื่อ a, b, c ∈ R 3. การแก้สมการและการแก้อสมการ การแยกตวั ประกอบ (i) A 2 – B 2 = (A + B)(A – B) (ii) A 2 + B 2 = แยกตวั ประกอบไม่ได้ (ii) A 3 – B 3 = (A – B)(A 2 + AB – B 2 ) (iii) A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 – AB + B 2 ) (iv) (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (v) (A – B) 2 = A 2 – 2AB + B 2 (vi) (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 (vii) (A – B) 3 = A 3 – 3A 2 B + 3AB 2 – B 3

คุณสมบัตขิ องความอสมการ กาํ หนดให้ a, b, c คือจาํ นวนจริง 3 (i) กฎของการถ่ายทอด ถา้ a > b และ b > c แลว้ a > c (ii) การบวกด้วยจํานวนทเ่ี ท่ากนั ถา้ a > b แลว้ a + c > a + c (iii) การคูณด้วยจํานวนทเ่ี ท่ากนั (*) ถา้ a > b และ c > 0 แลว้ ac > bc (**) ถา้ a > b และ c < 0 แลว้ ac < bc 4. ค่าสัมบูรณ์ กาํ หนดให้ a คือจาํ นวนจริง นิยาม  a,a≥0 | a | = − a , a < 0 คุณสมบตั ิของค่าสมั บูรณ์ กาํ หนดให้ a และ b คอื จาํ นวนจริง แลว้ จะไดว้ า่ (i) a = 0 กต็ ่อเม่อื a = 0 (ii) − a = a (iii) ab = a b (iv) a + b ≤ a + b (v) a − b ≤ a − b นิยาม เรามีนิยามของค่าสมั บรู ณ์ดงั เก่ียวกบั อสมการ ดงั น้ี (1) x < δ กต็ ่อเม่ือ −δ < x < δ (2) x − c < δ กต็ ่อเม่ือ c − δ < x < c + δ (3) 0 < x − c < δ กต็ ่อเม่อื c − δ < x < c หรือ c < x < c + δ (4) a > ∈ กต็ ่อเม่ือ a > ∈ or a < ∈

5. รากที่ nth ของจํานวนจริง 4 นิยาม กาํ หนดให้ n คือจาํ นวนเตม็ บวกมากวา่ 1 โดยที่ a และ b คือจาํ นวนจริง b คือรากที่ nth ของ a ซ่ึงเขียนไดว้ า่ n a = b กต็ ่อเม่ือ b n = a ค่าของรากที่ nth ของ a หรือ n a มคี ุณสมบัตดิ งั นี้ 1. ถา้ a = 0 แลว้ n a = 0 2. ถา้ a > 0 แลว้ n a คือจาํ นวนจริงบวก 3. ถา้ a < 0 และ (i) n คือจาํ นวนเตม็ ค่ี แลว้ n a คือจาํ นวนจริงบวก (ii) n คือจาํ นวนเตม็ คู่ แลว้ n a คือค่าของไม่ใช่จาํ นวนจริง เพราะวา่ ไม่ค่าจาํ นวนจริงที่ยกกาํ ลงั ดว้ ยเลขคู่แลว้ ไดค้ ่า a เป็นจาํ นวนลบ ตวั อยา่ งเช่น −1 คือค่าของไม่ใช่จาํ นวนจริง เพราะวา่ ไม่ค่าจาํ นวนจริง b ซ่ึง b 2 = - 1 คุณสมบตั ขิ องรากท่ี nth (n คอื จาํ นวนเตม็ บวกมากกว่า 1) กาํ หนดให้ a และ b คือจาํ นวนจริง และรากท่ี nth มีค่าหาได้ โดยท่ี n คือจาํ นวนเตม็ บวกมากกวา่ 1 แลว้ เราจะไดค้ ุณสมบตั ิดงั น้ี 1) (n a )n = a โดยท่ี n a คือจาํ นวนจริง  a where a ≥ 0  2) n an =  a where a < 0 and n is an odd positive number  a where a < 0 and n is an even positive numbers 3) n ab = n a n b 4) n a = n a , b ≠ 0. b nb 6. คุณสมบตั ขิ องเลขชี้กาํ ลงั ของจาํ นวนจริงทไี่ ด้ค่าเป็ นจาํ นวนตรรกยะ นิยาม กาํ หนดให้ a คือจาํ นวนจริง n คือจาํ นวนเตม็ บวกมากกวา่ 1 และรากที่ nth ของ a มีค่าหาได้ แลว้ 1 = na. an

5 นิยาม กาํ หนดให้ a คือจาํ นวนจริง m และ n คือจาํ นวนเตม็ โดยท่ี n > 0 และ m เป็นเศษส่วนแท้ แลว้ m  a 1  m = ( )n a m  n  n an =  และ ( )m 1 an = am n = n am . คุณสมบัตขิ องเลขยกกาํ ลงั กาํ หนดให้ a และ b คือจาํ นวนจริง m และ n เป็นเลขช้ีกาํ ลงั ที่เป็นจาํ นวน ตรรกยะ จะไดค้ ุณสมบตั ิต่าง ๆ ดงั น้ี 1. am × an = am + n 2. am × bn = (a × b)m 3. ( am )n = amn 4. am ÷ an = am − n , a ≠ 0 5. an =  a n , b≠0 bn b จํานวนจริง II 7. ประเภทของจํานวนเตม็ บวก จาํ นวนเตม็ บวก p คือจํานวนเฉพาะ กต็ ่อเม่ือ p ≠ 1 และ ถา้ p หารดว้ ย x ไดล้ งตวั แลว้ จะไดว้ า่ x ∈ { 1, – 1, p, – p } จาํ นวนเตม็ บวกที่เหลืออื่น ๆ ท่ี ไม่เท่ากบั 1 จะเรียกจาํ นวนน้นั วา่ จํานวนคอมโพสิต (Composite Number) จาํ นวนเตม็ m และ n มี ห.ร.ม. (หารร่วมมาก) หรือ gcd (the greatest common divisor) เท่ากบั 1 หรือ gcd (m, n) = 1 แลว้ จะเรียกไดว้ า่ m และ n เป็ นจาํ นวนเฉพาะสัมพทั ธ์ (Relatively prime)

8. เซตของช่วงบนเส้นจาํ นวน 6 กาํ หนดให้ a และ b คือจาํ นวนจริง โดย a < b เราจะไดว้ า่ 1. ช่วงเปิ ด (Open interval) เซต (a, b) คือเซตของจาํ นวนจริงระหวา่ ง และ b ซ่ึงจะเขียนเป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิกและกราฟในเส้นจาํ นวน ไดด้ งั น้ี (a,b) = {x a < x < b} ab 2. ช่วงปิ ด (Close interval) เซต [a, b] คือ เซต (a, b) ที่รวมค่า a และ ค่า b ซ่ึงจะเขียนเป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิกและกราฟในเสน้ จาํ นวน ไดด้ งั น้ี [a,b] = {x a ≤ x ≤ b} a b b b เซตของช่วงอีก 7 เซต มีดงั น้ี a a b 3. (a,b] = {x a < x ≤ b} a b a 4. [a,b) = {x a ≤ x < b} 5. (a, ∞) = {x a < x} 6. [a, ∞) = {x a ≤ x} 7. (−∞,b) = {x x < b} 8. (−∞,b] = {x x ≤ b} 9. (−∞,∞) = เซต จาํ นวนจริง

9. ทฤษฎบี ทส่วนทเี่ หลอื เศษ 7 กาํ หนดให้ P(x) คือพหุนาม anxn + an −1xn −1 + . . . + a1x + a0 โดยที่ n คือจาํ นวนเตม็ บวก ซ่ึง และan , an−1, . . . , a1, a0 ∈ R an ≠ 0 ถา้ P(x) หารดว้ ย x – c โดย c คือจาํ นวนจริง แลว้ เศษจะมีค่าเท่ากบั P(c) หรือ P(c) = เศษท่ีเกิดจาก P(x) หารดว้ ย x – c 10. ทฤษฎบี ทการแยกตวั ประกอบ กาํ หนดให้ P(x) คือพหุนาม anxn + an −1xn −1 + . . . + a1x + a0 โดยที่ n คือจาํ นวนเตม็ บวก ซ่ึง และan , an−1, . . . , a1, a0 ∈ R an ≠ 0 ถา้ P(x) มี x – c เป็ น ตวั ประกอบหน่ึง กต็ ่อเมื่อ P(c) = 0 หรือ P(c) = 0 กต็ ่อเม่ือ P(x) หารลงตวั ดว้ ย x – c. 11. ทฤษฎบี ทการตวั ประกอบเชิงเหตุผล กาํ หนดให้ P(x) คือพหุนาม anxn + an −1xn −1 + . . . + a1x + a0 โดยท่ี n คือจาํ นวนเตม็ บวก ซ่ึง an , an−1, . . . , a1, a0 ∈ I และ an ≠ 0 ถา้ x − k เป็ น m ตวั ประกอบหน่ึงของ P(x) โดย m ∈ I และ k = 1 แลว้ m คือตวั ประกอบหน่ึงของ an และ k คือตวั ประกอบหน่ึงของ a0 12. ตวั หารร่วมมาก (gcd = The Greatest Common Divisor) นิยาม จาํ นวนเตม็ b จะพดู ไดว้ า่ หารลงตวั ดว้ ยจาํ นวนเตม็ a ≠ 0 เขียนสัญลกั ษณ์ ไดค้ ือ a | b ถา้ มีจาํ นวนเตม็ c ซ่ึงทาํ ใหไ้ ดว้ า่ b = ac เราจะเขียนวา่ a | b เพอ่ื แสดง วา่ b หารดว้ ย a ไดไ้ ม่ลงตวั นิยาม กาํ หนดให้ a และ b คือจาํ นวนเตม็ ซ่ึงมีอยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั ท่ีไม่เท่ากบั ศูนย์ ตวั หารร่ วมมากของ a และ b เขียนสญั ลกั ษณ์ไดค้ ือ gcd (a, b) ซ่ึงมีค่าคือจาํ นวน เตม็ บวก d ท่ีสอดคลอ้ กบั เงื่อนไขดงั น้ี (i) d | a และ d | b. (ii) ถา้ c | a และ c | b แลว้ c < d

นิยาม จาํ นวนเตม็ สองจาํ นวน a และ b เป็นจาํ นวนเฉพาะสัมพัทธ์ เม่ือ 8 gcd (a, b) = 1 นิยาม ตวั คูณร่ วมน้อย (The least common multiple) ของจาํ นวนเตม็ สองจาํ นวน ท่ี ไม่เท่ากบั ศูนย์ a และ b เขียนสญั ลกั ษณ์ไดค้ ือ lcm [a, b] ซ่ึงมีค่าคือจาํ นวนเตม็ m ท่ีสอดคลอ้ งกบั เง่ือนไขดงั น้ี (i) a | m และ b | m. (ii) ถา้ a | c และ b | c โดย c > 0 แลว้ m < c 13. ข้นั ตอนการหาร (The Division Algorithm) ทฤษฎบี ท กาํ หนดใหจ้ าํ นวนเตม็ a และ b โดย b > 0 จะมีจาํ นวนเตม็ q และ r ท่ีสอดคลอ้ งกบั เง่ือนไข a = bq + r, 0 < r < b โดย q เรียกวา่ ผลหาร (quotient) และ r เรียกวา่ เศษ (remainder) จากการหารของ a และ b ทฤษฎบี ท กาํ หนดใหจ้ าํ นวนเตม็ a และ b โดยไม่มีค่าเป็นศูนยท์ ้งั สองจาํ นวน แลว้ จะมีจาํ นวนเตม็ x และ y ซ่ึงทาํ ให้ gcd (a, b) = ax + by ทฤษฎบี ท กาํ หนดใหจ้ าํ นวนเตม็ a และ b โดยไม่มีค่าเป็นศนู ยท์ ้งั สองจาํ นวน แลว้ a และ b เป็นจาํ นวนเฉพาะสมั พทั ธ์ กต็ ่อเมื่อ มีจาํ นวนเตม็ x และ y ซ่ึงทาํ ให้ 1 = ax + by ทฤษฎบี ท สาํ หรับจาํ นวนเตม็ บวก a และ b จะไดว้ า่ ( gcd (a, b) ) ( lcm [a, b] ) = ab

ตวั อย่างข้อทดสอบ 9 ข้อสอบแบบเลอื กคาํ ตอบทเี่ หมาะสมสําหรับคาํ ถามแต่ละข้อต่อไปนีเ้ พยี งข้อเดยี ว 1. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั ค่าของ 5 −1 125 + 4 81 3 (625) 4 1. 0 2. 2 3 3. – 2 4. 8 3 3 2. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ค่าของ x ในสมการ (x2 ) = 38x 3 3 32 1. 4 2. 6 3. 8 4. 10 3. พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี A.  3 6 a9 4  6 3 a9 4 = a4 B. 8 1 + 3 108 − 4 9 = 32 3 32 3 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือคาํ ตอบท่ีเป็ นจริง 1. A เป็นจริง และ B เป็นจริง 2. A เป็นจริง และ B เป็ นเทจ็ 3. A เป็นเทจ็ และ B เป็ นจริง 4. A เป็นเทจ็ และ B เป็ นเทจ็ 4. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั ค่าของ k ในสมการ ( )3 a + 1 3b a + b = 3k ( )3 a + 1 b + 1 1. 1 2. b – 1 3. a + 1 4. ab – 1 5. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ค่าของอสมการ 2x − 3 ≥ 2 x+7 1. x ∈ ( – ∞ , – 10 ] 2. x ∈ ( – ∞ , – 10 ) 17 17 3. x ∈ ( – ∞ , – 10 ) 4. x ∈ ( – ∞ , – 10 ] 17 17

10 6. กาํ หนดให้ 5 3a = 3 5 และ 625 −b = 1 25 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีไดจ้ ากหารแกส้ มการขา้ งบนซ่ึงเท่ากบั a + b 1. 1 2. 1 4. 2 2 3. 11 18 7. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ค่าของ ( )2 + 8 + 18 + 32 2 1. 60 2. 60 2 3. 100 2 4. 200 8. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั ค่าของ 5 − 32 26 + 3 27 64 1. – 13 2. – 5 24 6 3. 1 4. 19 3 24 9. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าของ x ที่สอดคล้องในสมการ ( )x2 = 2(4x) 2 44 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 10. กาํ หนดให้ a และ b คือจาํ นวนจริง ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือคาํ ตอบที่เป็ นจริง 1. ถา้ a < b แลว้ a 2 < b 2 2. ถา้ a < b < 0 แลว้ ab < a 2 3. ถา้ | a | < | b แลว้ a < b 4. ถา้ a 2 < b 2 แลว้ a < b

11. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าของอสมการที่เป็ นจริง 11 1. 21000 < 3600 < 10300 2. 3600 < 21000 < 10300 3. 3600 < 10300 < 21000 4. 103000 < 21000 < 3600 12. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั ค่าของ  5 2  2 6 15 − 1. 3 2. 7 10 10 3. 5 − 2 4. 6 − 2 13. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ค่าของ x ในสมการ  8  4 = 1 125  16  x  625  1. 3 2. 2 4 3 3. 3 4. 4 2 3 14. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ค่าของ ( )18 + 2 3 −125 − 3 4 4 1. – 10 2. 10 3. 2 5 − 5 2 4. 5 2 − 2 5 15. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั ค่าของ x ในอสมการ − 1 ≤ 2 + x ≤ 1 1− 2 1. [ 2 − 1, 1 ] 2. [ 2 − 1, 2 ] 3. [ 3 − 2 2 , 1 ] 4. [ 3 − 2 2 , 2 ] 16. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าของสมการท่ีมีค่าเป็นจาํ นวนจริงมากกว่า 2 ค่า 1. (x – 2) 2 + 1 = 0 2. (x 2 + 2)(x 2 – 1) = 0 3. (x – 1) 2 (x 2 + 2) = 0 4. (x 2 – 1)(x + 2) 2 = 0

12 17. กาํ หนดให้ A = { x | x = (a + 1 ) 2 – ( | a | + 1 ) 2 โดย a ≠ 0 } |a| a ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจํานวนของสมาชิกของเซต A 1. 1 2. 2 3. 3 4. มากกวา่ หรือเท่ากบั 4 18. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าของอสมการที่ใม่เป็ นจริง 1. (24) 30 < (2 20 )(3 30 )(4 40 ) 2. (24) 30 < (2 30 )(3 20 )(4 40 ) 3. (2 20 )(3 30 )(4 40 ) < (24) 30 4. (2 30 )(3 20 )(4 40 ) > (24) 30 19. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือผลบวกท้งั หมดของค่าของสมการ x3 – 2 x = | x | 1. 0 2. 3 3. 3 – 1 4. 3 + 1 20. พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี A. มีจาํ นวนตรรกยะท่ีมีค่านอ้ ยที่สุดและมีค่ามากกวา่ 0 B. มีจาํ นวนอตรรกยะที่มีค่านอ้ ยท่ีสุดและมีค่ามากกวา่ 0 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือผลสรุปที่เป็ นจริง 2. A เป็นจริง และ B เป็ นเทจ็ 1. A เป็นจริง และ B เป็นจริง 4. A เป็นเทจ็ และ B เป็ นเทจ็ 3. A เป็นเทจ็ และ B เป็ นจริง 21. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ค่าของ (−2)2 +  8 1 + 2 2   2  1. – 1  32    2. 1 3. 3 4. 5

13 22. กาํ หนดให้ 3 = 1.732 และ 5 = 2.236 เป็ นค่าท่ีถกู ตอ้ งในจุดทศนิยมสามตาํ แหน่ง พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี A. 2.235 + 1.731 < 5 + 3 < 2.237 + 1.733 B. 2.235 – 1.731 < 5 – 3 < 2.237 – 1.733 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือผลสรุปที่เป็ นจริง 1. A เป็นจริง และ B เป็นจริง 2. A เป็นจริง และ B เป็ นเทจ็ 3. A เป็นเทจ็ และ B เป็ นจริง 4. A เป็นเทจ็ และ B เป็ นเทจ็ 23. พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี A. สาํ หรับอินเวร์สการบวกของจาํ นวนจริง จะกล่าวไดว้ า่ มีจาํ นวนจริง b ท่ีทาํ ให้ b + a = 0 = a + b สาํ หรับ a ทุกตวั ที่เป็นจาํ นวนจริง B. สาํ หรับอินเวร์สการตูณของจาํ นวนจริง จะกล่าวไดว้ า่ มีจาํ นวนจริง b ท่ีทาํ ให้ ba = 1 = ab สาํ หรับ a ทุกตวั ที่เป็นจาํ นวนจริง ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือผลสรุปท่ีเป็ นจริง 1. A เป็นจริง และ B เป็นจริง 2. A เป็นจริง และ B เป็ นเทจ็ 3. A เป็นเทจ็ และ B เป็ นจริง 4. A เป็นเทจ็ และ B เป็ นเทจ็ 24. กาํ หนดให้ a และ b คือจาํ นวนตรรกยะที่แตกต่างกนั ในขณะท่ี c และ d คือ จาํ นวนอตรรกยะที่แตกต่างกนั จงพิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี A. แลว้ จะไดว้ า่ a – b คือจาํ นวนตรรยะ B. แลว้ จะไดว้ า่ c – d คือจาํ นวนอตรรยะ ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือผลสรุปท่ีเป็ นจริง 2. A เป็นจริง และ B เป็ นเทจ็ 1. A เป็นจริง และ B เป็นจริง 4. A เป็นเทจ็ และ B เป็ นเทจ็ 3. A เป็นเทจ็ และ B เป็ นจริง

14 25. จงแกส้ มการค่าสมบรู ณ์ | x – 7 | = 6 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือผลสรุปของการแกส้ มการค่าสมบูรณ์ขา้ งบนน้ีที่ไม่เป็ นจริง 1. ค่าหน่ึงของสมการขา้ งบนน้ีคือจาํ นวนจริงท่ีมีค่าอยรู่ ะหวา่ ง 10 และ 15 2. ผลบวกของค่าของสมการขา้ งบนน้ีมีค่าเท่ากบั 14 3. ค่าของสมการขา้ งบนน้ีมีมากกวา่ สองค่า 4. ค่าท่ีนอ้ ยที่สุดของสมการขา้ งบนน้ีมีค่านอ้ ยกวา่ 3 26. จงพิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี A. จาํ นวนที่เป็นจุดทศนิยมอนนั ตบ์ วงค่า คือจาํ นวนอตรรกยะ B. จาํ นวนที่เป็นจุดทศนิยมอนนั ตบ์ วงค่า คือจาํ นวนตรรกยะ ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือผลสรุปที่เป็ นจริง 1. A เป็นจริง และ B เป็นจริง 2. A เป็นจริง และ B เป็ นเทจ็ 3. A เป็นเทจ็ และ B เป็ นจริง 4. A เป็นเทจ็ และ B เป็ นเทจ็ 27. กาํ หนดให้ s, t, u, และ v คือจาํ นวนจริง ซ่ึง s < t และ u < v จงพิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี A. s – u < t – v 2. A เป็นจริง และ B เป็ นเทจ็ B. s – v < t – u 4. A เป็นเทจ็ และ B เป็ นเทจ็ ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือผลสรุปท่ีเป็ นจริง 1. A เป็นจริง และ B เป็นจริง 3. A เป็นเทจ็ และ B เป็ นจริง 28. จงแกส้ มการค่าสมบูรณ์ 2 | 5 – x | = 1 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือเซตของช่วงซ่ึงค่าของสมการค่าสมบรู ณ์ขา้ งบนอยใู่ นน้นั 1. ( – 10, – 5) 2. ( – 6, – 4) 3. ( – 4, 5) 4. ( – 3, 6)

15 29. กาํ หนดให้ 3 คือค่าหน่ึงของสมการ 4x 2 + bx – 6 = 0 โดย b คือ 4 จาํ นวนจริง ขอ้ ใดต่อไปน้ี คืออกี ค่าหนึ่งของสมการน้ี 1. – 2 2. – 1 3. 1 2 2 4. 2 30. ขอ้ ใดต่อไปน้ี มีค่าแตกต่างจากขอ้ อ่ืน 1. ( −1 ) 0 2. ( −1 ) 0.2 3. ( −1 ) 0.4 4. ( −1 ) 0.8 31. ขอ้ ใดต่อไปน้ี มีค่าเท่ากบั (| 4 3 − 5 2 | − | 3 5 − 5 2 | + | 4 3 − 3 )5 2 1. 0 2. 180 3. 192 4. 200 32. กาํ หนดให้ a คือจาํ นวนจริงบวก และ n คือจาํ นวนเตม็ คู่บวก จงพจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ( )A. n a n = | a | B.  n an  = | a | ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือผลสรุปท่ีเป็ นจริง 1. A เป็นจริง และ B เป็นจริง 2. A เป็นจริง และ B เป็ นเทจ็ 3. A เป็นเทจ็ และ B เป็ นจริง 4. A เป็นเทจ็ และ B เป็ นเทจ็

16 ข้อสอบแบบแสดงวธิ ีทาํ 33. ถา้ กาํ หนดให้ 4a = 2 และ 16 −b = 1 แลว้ ค่าของ a + b มีค่าเท่าไร 4 วธิ ีทาํ 34. จงแกอ้ สมการ 3 | 1 − x | < – x x−1 วธิ ีทาํ

17 35. จงหาเซตคาํ ตอบของอสมการ - 5 < 2x2 − x − 3 < 9 |x + 1| วธิ ีทาํ 36. จงหาเซตคาํ ตอบของอสมการ (x − 7)3 (x + 5) < 0 วธิ ีทาํ (x − 2)(x − 1)

18 37. จงหาค่าของ x + y ถา้ x คือค่าจาํ นวนเตม็ บวกท่ีมากท่ีสุดของสมการ | 3x 2 + 5x - 2 | = 2 - 5x - 3x 2 และ y คือค่าจาํ นวนเตม็ บวกท่ีนอ้ ยท่ีสุดของสมการ | y 2 + y - 12 | = y 2 + y - 12. วธิ ีทาํ

คาํ ตอบ (จาํ นวนจริง : หน้า 9) 19 1. 2 2. 3 3. 2 4. 2 5. 1 6. 3 7. 4 8. 3 9. 3 10. 1 11. 4 15. 3 16. 4 17. 1 18. 1 12. 1 13. 2 14. 1 22. 2 23. 1 24. 2 25. 3 19. 3 20. 4 21. 3 32. 1 26. 1 27. 2 28. 4 29. 1 30. 2 31. 1 33. 3 34. ( – ∞ , 1 ) 4 35. ( – 1, 6 ) 36. (– 5, 1 ) ∪ ( 2, 7 ) 37. ( – ∞ , – 11 ) ∪ [ 1, ∞ ) 3

บรรณานุกรม 20 Arshavsky, N. et al. (2000). Impact Mathematics: Algebra and More for the Middle Grades. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Bass, L. E. et al. (2004). Prentice Hall Mathematics: Geometry. New Jersey: Prentice Hall. Bluman, A. G. (2004). Elementary Statistics: A Step by Step Approach. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Clements, D. H. et al. (2002). Mathematics. New York: McGraw-Hill School Division. Emanuel, R. et al. (2002 a). Pure Mathematics 1. England: Pearson Education Limited. Emanuel, R. et al. (2002 b). Pure Mathematics 2. England: Pearson Education Limited. Epp, S. S. (2004). Discrete Mathematics with Applications. California: Books/Cole-Thomson Learning Finney, R. L. et al. (2007). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic. New York: Pearson Prentice Hall. Gerver, R. et al. (1998). Geometry: An Integrated Approach. Illinois: National Textbook Company. Haffmann. L. D. et al. (2005). Applied Calculus for Business, Economics, and Social and Life Science. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Hungerford, T. W. et al. (2002). Precalculus: A Graphing Approach. New York: Holt, Rinehart and Winston. Payne, V. et al. (2002). Precalculus: A Graphing Approach. New York: Holt, Rinehart and Winston. Schultz, J. E. et al. (2004 a). Algebra 1. New York: Holt, Rinehart and Winston. Schultz, J. E. et al. (2004 b). Algebra 2. New York: Holt, Rinehart and Winston. Senk, S. L. et al. (1998). Functions, Statistics, and Trigonometry. California: Addition Wesley Longman Inc.

Educations Sri Nakharinwirot University, Prasarnmitr, Thailand 1967 B.Ed. Mathematics 1971 M.Ed. Mathematics Vanderbilt University, Peabody College, USA 1992 Ed.D. Curriculum and Supervision, Mathematics Concentration Academic and Administrative Experience 2006 – 2016 Lecturer in Mathematics, Asian University 2003 – 2004 Adviser to the President, Naresuan University 2001 – 2003 Vice-President for Research, Naresuan University 1996 – present Full Professor in Mathematics Education, Naresuan University 1998 – 2003 Part Time Lecturer in Mathematics, Mae Fah Luang University 1992 – 1996 Associate Professor in Mathematics, Naresuan University 1977 – 1992 Assistance Professor in Mathematics, Naresuan University 1971 – 1977 Lecturer in Mathematics, Naresuan University