Sequence_and_Series_Thai

ความแขง็ แกร่งของคณติ ศาสตร์ สําหรับ นิสิตนักศึกษาระดบั มหาวทิ ยาลยั ช้ันปี ที่ 1 และ นักเรียนระดบั มัธยมศึกษาตอนปลาย ลาํ ดบั และอนุกรม ผลติ โดย ศ. ดร. บรรพต สุวรรณประเสริฐ

i คาํ นํา เอกสารน้ีจดั ทาํ ข้ึนเพ่ือสรุปแนวคิดท่ีแขง็ แกร่งของคณิตศาสตร์เพื่อสนบั สนุนการเรียน การสอนและการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของทกั ษะพ้ืนฐานทางคณิตศาสตร์และทกั ษะคณิตศาสตร์ ข้นั สูง สาํ หรับนิสิตนกั ศึกษาระดบั มหาวทิ ยาลยั ช้นั ปี ที่ 1 และนกั เรียนระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลาย ในประเทศไทย โปรแกรมวิทยาศาสตร์ควรมีความเขา้ ใจดีสาํ หรับหวั ขอ้ ท้งั หมด 16 เรื่อง ในขณะที่โปรแกรม ท่ีไม่ใช่วทิ ยาศาสตร์ควรมีความเขา้ ใจไดด้ ีเพียง 8 เร่ือง คือ 1. เซต 2. การใชเ้ หตุผลเชิงคณิตศาสตร์ 3. จาํ นวนจริง 4. ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 5. ตรีโกณมิติ 6. ลาํ ดบั และอนุกรม 7. ความน่า จะเป็น และ 8. สถิติ และมีอีก 8 เร่ืองท่ีควรรวมไวใ้ นโปรแกรมวทิ ยาศาสตร์ ไดแ้ ก่ 9. เรขาคณิต วเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 10. ฟังกช์ นั เลขช้ีกาํ ลงั และลอการิทึม 11. เมทริกซแ์ ละดีเทอร์มิแนนต์ 12. ตรรกศาสตร์เชิงสญั ลกั ษณ์ 13. เวกเตอร์ 14. จาํ นวนเชิงซอ้ น 15. โปรแกรมเชิงเสน้ และ 16. แคลคูลสั วตั ถุประสงคข์ องเอกสารน้ี คือ เป็นการใชส้ ื่อการเรียนการสอนเพื่อเนน้ ใหน้ ิสิตนกั ศึกษา และนกั เรียนมีความเขา้ ใจคณิตศาสตร์โดยมีการคิดอยา่ งเป็นข้นั เป็นตอน โดยใหน้ ิสิตนกั ศึกษาและ นกั เรียน ควรถามตนเองวา่ “ทาํ ไม” และ “อยา่ งไร\" เนื่องจากคาํ ถามประเภทน้ีจะทาํ ใหน้ ิสิต นกั ศึกษาและนกั เรียน คน้ หาคาํ ตอบอยา่ งสมเหตุสมผล หวงั วา่ เน้ือหาในเอกสารน้ีจะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนคณิตศาสตร์และกิจกรรมการ เรียนรู้ของคณาจารยแ์ ละนิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน ซ่ึงจะเป็นประโยชน์ต่อการพฒั นาความรู้และ ทกั ษะทางคณิตศาสตร์สาํ หรับนิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียนทุกคน และจะทาํ ใหน้ ิสิตนกั ศึกษาและ นกั เรียนทุกคนประสบความสาํ เร็จในการสอบ ศ. ดร. บรรพต สุวรรณประเสริฐ

เนือ้ หาลาํ ดบั และอนุกรม ii หน้า 1. ลาํ ดบั …….……………...……….………….…………………… 1 2. อนุกรม ………….………………………………………………. 4 3. อนุกรมอนนั ต์ ………………………………………………………. 5 4. สัญลกั ษณ์ของผลบวก ………….……………………………….…… 7 ตวั อย่างข้อทดสอบ …………………………………………………….. 8 คาํ ตอบ ……………………………………………………………..…… 19 บรรณานุกรม ……………………………………………………..…… 20

ลาํ ดบั และอนุกรม 1 ลาํ ดบั และอนุกรม I 1. ลาํ ดบั (Sequence) ฟังกช์ น่ั ที่มีโดเมนของชุดในจาํ นวนเตม็ บวกตามที่เรียกวา่ ลาํ ดบั ถา้ โดเมนของลาํ ดบั คือ { 1, 2, 3, . . . , n } แลว้ เรียกวา่ ลาํ ดบั จาํ กดั แต่ถา้ โดเมนของลาํ ดบั คือ { 1, 2, 3, . . . } แลว้ จะเรียกวา่ ลาํ ดบั อนันต์ เราสามารถเขียนลาํ ดบั ได้ 3 รูปแบบ คือ ในรูปแบบของเซต ในรูปแบบของแต่ละค่าของ ลาํ ดบั และในรูปแบบที่เป็นเทอมทวั่ ไป ซ่ึงการเขียนรูปแบบทวั่ ไปของลาํ ดบั สามารถอธิบายไดด้ งั น้ี 1) สาํ หรับลาํ ดบั ที่มีผลต่างระหวา่ งสองเทอมที่อยตู่ ิดกนั ในคร้ังแรก ท่ีมีค่าเท่ากนั เช่น ลาํ ดบั 1, 0, -1, - 2. - 3, . . . จะเห็นวา่ ผลต่างระหวา่ ง 0 กบั 1 มีค่าเท่ากบั 0 - 1 = -1 ผลต่างระหวา่ ง - 2 กบั -1 มีค่าเท่ากบั - 2 - (-1 ) = - 2 + 1 = -1 ผลต่างระหวา่ ง - 3 กบั - 2 มีค่าเท่ากบั - 3 - (- 2) = - 3 + 2 = -1 . . . ซ่ึงเป็นคา่ ท่ีเท่ากนั คือ -1 จึงเขียนเป็นรูปแบบ ดงั น้ี จากรูปแบบขา้ งบน จะท่ีเห็นวา่ ผลตา่ งของสองเทอมที่อยคู่ ิดกนั ในคร้ังแรก เรากไ็ ด้ คา่ คงท่ีเท่ากนั โดยตลอด คือ - 1 แลว้ จะกาํ หนดเป็นเทอมทวั่ ไปของลาํ ดบั น้ีไดค้ ือ a n = an + b โดย an คือเทอมที่ n ซ่ึง เม่ือเราแทนคา่ n ในโดเมนคือ 1, 2, 3, 4, 5, . . . ไดว้ า่ เมื่อ n = 1 จะไดว้ ่า a1 = a(1) + b และ a1 = 1 ซ่ึงไดว้ า่ 1 = a + b เมื่อ n = 2 จะไดว้ า่ a 2 = a(2) + b และ a 2 = 0 ซ่ึงไดว้ า่ 0 = 2a + b เม่ือแกส้ มการ a + b = 1 และ 2a + b = 0 จะไดว้ า่ a = - 1 และ b = 2 ดงั น้นั เทอมทวั่ ไปของลาํ ดบั ของโจทย์ คือ an = (-1)n + (2) = - n + 2 ซ่ึงเมื่อเราแทนค่า n ใน โดเมนคือ 1, 2, 3, 4, 5, . . . จะไดล้ าํ ดบั ของโจทย์ คือ 1, 0, -1, - 2. - 3, . . . ตามตอ้ งการ

2 2) สาํ หรับลาํ ดบั ท่ีมีผลต่างระหวา่ งสองเทอมที่อยตู่ ิดกนั ในคร้ังที่สอง ทีม่ คี ่าเท่ากนั เช่น ลาํ ดบั 1, 3, 7, 13, . . . ผลต่างของสองเทอมท่ีอยตู่ ิดกนั ในคร้ังแรก มีคา่ เท่ากบั 3 - 1, 7 - 3, 13 - 7, . . . ซ่ึงเท่ากบั /2, 4, 6, . . . เราจึงหาผลต่างของสองเทอมที่อยตู่ ิดกนั ใน คร้ังที่สอง มีค่าเท่ากบั 4 - 2, 6 - 4, . . . ที่เท่ากบั /2, 2, . . . ซ่ึงเป็นคา่ ที่เท่ากนั คอื 2 จึงเขียนเป็นรูปแบบ ดงั น้ี จากรูปแบบขา้ งบนน้ี จะที่เห็นวา่ ผลตา่ งของสองเทอมท่ีอยคู่ ิดกนั ในคร้ังท่ีสอง เราก็ ไดค้ า่ คงที่เท่ากนั โดยตลอด คือ 2 แลว้ จึงกาํ หนดเป็นเทอมทวั่ ไปของลาํ ดบั น้ีไดค้ ือ a n = an 2 + bn + c โดย an คือเทอมท่ี n ซ่ึงเมื่อเราแทนคา่ n ในโดเมน คือ 1, 2, 3, 4, 5, . . . , ไดว้ า่ เม่ือ n = 1 จะไดว้ า่ a1 = a(1) 2 + b(1) + c และ a1 = 1 ซ่ึงไดว้ า่ 1 = a + b + c เมื่อ n = 2 จะไดว้ ่า a 2 = a(2) 2 + b(2) + c และ a 2 = 3 ซ่ึงไดว้ า่ 3 = 4a + 2b + c เม่ือ n = 3 จะไดว้ ่า a3 = a(3) 2 + b(3) + c และ a3 = 7 ซ่ึงไดว้ า่ 7 = 9a + 3b + c เมื่อแกส้ มการ a + b + c = 1, 4a + 2b + c = 3 และ 9a + 3b + c = 7 จะไดว้ า่ a = 1, b = 1 และ c = 1 ดงั น้นั เทอมทวั่ ไปของลาํ ดบั ของโจทย์ คือ an = (1)n 2+ (1)n + (1) = n 2 + n + 1 ซ่ึงเมื่อเราแทนคา่ n ในโดเมนคือ 1, 2, 3, 4, 5, . . . จะไดล้ าํ ดบั ของโจทย์ คือ 1, 3, 7, 13. . . . ตามตอ้ งการ 3) สาํ หรับลาํ ดบั ท่ีมีผลต่างระหวา่ งสองเทอมท่ีอยตู่ ิดกนั ในคร้ังที่สาม ทมี่ คี ่าเท่ากนั เช่น ลาํ ดบั 2, 4, 8, 16, . . . ผลต่างของสองเทอมที่อยตู่ ิดกนั ในคร้ังแรก มีค่าเทา่ กบั 4 - 2, 8 - 4, 16 - 8, . . . ซ่ึงเท่ากบั /2, 4, 8, . . . เราจึงหาผลต่างของสองเทอมที่อยตู่ ิดกนั ใน คร้ังท่ีสอง มีคา่ เท่ากบั 4 - 2, 8 - 4, . . . ท่ีเท่ากบั /2, 4, . . . และเราจึงหาผลตา่ งของ

3 สองเทอมท่ีอยตู่ ิดกนั ในคร้ังท่ีสาม มีค่าเท่ากบั 4 - 2, . . . ท่ีเท่ากบั 2 ซ่ึงเป็นค่าที่เท่ากนั คือ 2 จึงเขียนเป็นรูปแบบ ดงั น้ี จากรูปแบบขา้ งบนน้ี จะท่ีเห็นวา่ ผลตา่ งของสองเทอมที่อยคู่ ิดกนั ในคร้ังท่ีสาม เราก็ ไดค้ ่าคงท่ีเท่ากนั โดยตลอด คือ 2 แลว้ จึงกาํ หนดเป็นเทอมทวั่ ไปของลาํ ดบั น้ีไดค้ ือ a n = an 3 + bn 2 + cn + d โดย an คือเทอมที่ n ซ่ึงเมื่อเราแทนคา่ n ในโดเมน คือ 1, 2, 3, 4, 5, . . . , ไดว้ า่ เม่ือ n = 1 จะไดว้ ่า a1 = a(1) 3 + b(1) 2 + c(1) + d และ a1 = 2 ซ่ึงไดว้ า่ 2 = a + b + c +d เม่ือ n = 2 จะไดว้ า่ a 2 = a(2)3 + b(2) 2 + c (2) + d และ a 2 = 4 ซ่ึงไดว้ า่ 4 = 8a + 4b + 2c + d เม่ือ n = 3 จะไดว้ ่า a3 = a(3)3 + b(3) 2 + c(3) + d และ a3 = 8 ซ่ึงไดว้ า่ 8 = 27a + 9b + 3c + d เม่ือ n = 4 จะไดว้ า่ a 4 = a(4) 3 + b(4) 2 + c(4) + d และ a 4 = 16 ซ่ึงไดว้ า่ 16 = 64a + 16b + 4c + d เม่ือแกส้ มการ a + b + c + d = 2, 8a + 4b + 2c + d = 4, 27a + 9b + 3c + d = 8 และ 64a + 16b + 4c + d = 16 จะไดว้ า่ a = 1 , b = - 1, c = 8 และ d = 0 ดงั น้นั 33 เทอมทวั่ ไปของลาํ ดบั ของโจทย์ คือ ( 1 )n 3 + (- 1)n 2 + ( 8 )n an = 33 + 0 = 1n3 - n2 + 8n 3 3 ซ่ึงเม่ือเราแทนค่า n ในโดเมนคือ 1, 2, 3, 4, 5, . . . จะไดล้ าํ ดบั ของโจทย์ คือ 2, 4, 8, 16. . . . ตามตอ้ งการ

4 เรามีลาํ ดบั ท่ีสาํ คญั อยู่ 2 ชนิด คือ ลาํ ดบั เลขคณิต และ ลาํ ดบั เรขาคณิต ซ่ึงกาํ หนดไวด้ งั น้ี (i) ลาํ ดบั เลขคณติ (Arithmetic sequence) คือ ลาํ ดบั a1 , a 2 , a 3 , . . . , an , . . . ที่มีความแตกต่างระหวา่ งเทอมที่ nth และเทอมที่ (n + 1)th คือคา่ คงท่ี ซ่ึงใหแ้ ทนดว้ ย d และ เรียกวา่ ความแตกต่างร่วม (Common difference) จึงกาํ หนดวา่ d = an + 1 - an และ เทอม ท่ี nth ซ่ึงเป็ นเทอมทวั่ ไป คือ an = a1 + (n - 1)d (ii) ลาํ ดบั เรขาคณติ (Geometric sequence) คือ ลาํ ดบั a1 , a 2 , a 3 , . . . , an , . . . ที่มีอตั ราส่วนระหวา่ งเทอมที่ nth และเทอมที่ (n + 1)th คือค่าคงที่ ซ่ึงใหแ้ ทนดว้ ย r และ เรียกวา่ อตั ราส่วนร่วม (Common ratio) จึงกาํ หนดวา่ r = an + 1 และ เทอมท่ี nth an ซ่ึงเป็ นเทอมทว่ั ไป คือ an = a1 rn−1 2. อนุกรม (Series) ผลบวกย่อย (Partial sum) ของลาํ ดบั คือ n Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + ∑a n = ai i=1 (i) อนุกรมเลขคณติ (Arithmetic series) Sn = n (a 1 + a n ) 2 หรือ Sn = n {2a 1 + (n - 1)d}. 2 (ii) อนุกรมเรขาคณติ (Geometric series) Sn = a1rn − a1 เม่ือ r ≠ 1 r −1 หรือ Sn = a1(1 − r n ) เม่ือ r ≠ 1. 1− r

ลาํ ดบั และอนุกรม II 5 3. อนุกรมอนันต์ (Infinite Series) ลมิ ติ ของอนุกรมของจาํ นวนเลข (Limits of Sequences of Numbers) เมื่อนาํ จาํ นวนเตม็ บวกคณู ดว้ ย 3 จะไดเ้ ทอมต่าง ๆ ตามรูปขา้ งลา่ งดงั น้ี จะเห็นวา่ เทอมแรกคือ 3 เทอมที่สองคือ 6 เทอมท่ีสามคือ 9 และเทอมอ่ืน ๆ โดยมีเทอมที่ nth คือ 3n น่ีคือแนวคิดพ้ืนฐานสาํ หรับการสร้างลาํ ดบั ที่มีฟังกช์ นั่ ที่บอกตาํ แหน่งของแต่ละเทอม นิยาม อนุกรมอนนั ต์ คือ ฟังกช์ นั ที่มีโดเมนคือจาํ นวนเตม็ ท่ีมากกวา่ หรือเท่ากบั จาํ นวนเตม็ n0 โดยทวั่ ไปเราจะกาํ หนดให้ n0 คือ 1 และโดเมนของลาํ ดบั คือ เซตของจาํ นวนเตม็ บวก แต่เราอาจกาํ หนดใหล้ าํ ดบั เริ่มตน้ ท่ีค่าอื่น ๆ ได้ เช่น เราอาจกาํ หนดให้ n0 = 3 เม่ือเรากาํ หนด นิยามของลาํ ดบั ของรูปหลายเหล่ียมท่ีมี n ดา้ น เป็นตน้ เทอมทว่ั ไปของลาํ ดบั เพื่อหาค่าเทอมที่ nth ซ่ึงเราหมายถึง { an } ถา้ { an } ลู่เข้า (Converges) คา่ เราจะเขียนไดค้ ือ หรือ a n → L, n → ∞ ซ่ึงอ่านวา่ L lim an = L n→∞ “ลิมิตของลาํ ดบั an ในขณะท่ี n เขา้ สู่ คา่ อนนั ต์ (Infinity) มีต่าเท่ากบั L” และเรียกวา่ L คอื ลมิ ิต (Limit) ของลาํ ดบั ถ้าํ ดบั ไม่มีคา่ จาํ นวน L เกิดข้ึน เราจะเรียกวา่ { an } ลู่ออก (Diverges) ทฤษฎบี ทลมิ ติ ของลาํ ดบั กาํ หนดให้ c คือคา่ คงท่ี lim an = A และ lim bn = B จะไดว้ า่ n→∞ n→∞ 1. lim c = c n→∞ 2. lim c⋅an = cA n→∞

6 3. lim (an + bn ) = A+B n→∞ 4. lim (an ⋅ bn ) = AB n→∞ 5. lim k an = kA n→∞ 6. lim an = A bn → ∞ B n หมายเหคุ กาํ หนดให้ an = p(x) เม่ือ p(x) และ q(x) คือพหุนาม แลว้ จะไดว้ า่ q(x) (i) ถา้ deg p(x) = deg q(x) แลว้ lim an = A เมื่อ A และ B คือ B n→∞ สมั ประสิทธ์ิของ x ที่มีกาํ ลงั มากที่สุดของพหุนาม p(x) และ q(x) ตามลาํ ดบั (ii) ถา้ แลว้ จะล่อู อก deg p(x) > deg q(x) lim an n→∞ (iii) ถา้ deg p(x) < deg q(x) แลว้ lim an = 0 จะลู่เขา้ n→∞ อนุกรมเรขาคณติ (Geometric series) (i) S ∞ = a1 จะลู่เขา้ เม่ือ | r | < . 1−r (ii) S ∞ จะลู่ออก เม่ือ | r | > 1 อนุกรม p (p – series) ∑(i) ∞ 1 จะลู่เขา้ เม่ือ p > 1 np n=1 ∑∞ np 1 จะลู่ออก เมื่อ p < 1. (ii) n=1 ทฤษฎบี ทลมิ ติ ของอนุกรม ∞ an ล่เู ขา้ แลว้ ∑1. ถา้ lim an = 0 n→∞ n=1 ∞ an จะลู่ออก” ∑ซ่ึงจะกล่าวไดว้ า่ “ถา้ anแลว้lim≠ 0 n→∞ n=1

7 ∑ ∑2. ถา้ ∞ an และ ∞ bn ลู่เขา้ แลว้ จะไดว้ า่ n=1 n=1 ∞ ∞ (can ± dbn ) = c an ± d ∑ ∑ ∑∞ bn ล่เู ขา้ เมื่อ c และ d คือจาํ นวนจริง n=1 n=1 n=1 3. กาํ หนดให้ 0 ≤ an ≤ bn ∑ ∑(i) ถา้ ∞ an ล่อู อก แลว้ ∞ bn จะลู่ออก n=1 n=1 ∑ ∑(ii) ถา้ ∞ bn ล่เู ขา้ แลว้ ∞ an จะลู่เขา้ n=1 n=1 4. สัญลกั ษณ์ของผลบวก n ∑(i) c = nc i=1 nn ∑ ∑(ii) cxi = c xi i=1 i=1 n nn ∑ ∑ ∑(iii) (xi ± yi ) = xi ± yi i=1 i=1 i=1 n ∑(iv) i = n(n + 1) 2 i=1 n ∑(v) i2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 i=1 n n 2 i3 =  i ∑ ∑(vi) = 1 (n(n + 1))2 4 i=1  i=1 

ตวั อย่างข้อทดสอบ 8 ข้อสอบแบบเลอื กคาํ ตอบที่เหมาะสมสําหรับคาํ ถามแต่ละข้อต่อไปนีเ้ พยี งข้อเดยี ว 1. กาํ หนดให้ an = an −1 + 5 และ a 2 = 1 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั 4 เทอมแรกของลาํ ดบั น้ี 1. – 1, 4, 9, 14 2. – 6, – 1, 4, 9 3. – 4, 1, 6, 11 4. – 7, – 1, 9, 14 2. กาํ หนดให้  1 , n = 1, 2 a n −2 + 2 , n = 4, 6, 8, . . . an =   2 a n − 2 , n = 3, 5, 7, . . . ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั 6 เทอมแรกของลาํ ดบั น้ี 1. 1, 3, 2, 5, 4, 7 2. 1, 1, 3, 2, 5, 4 3. 1, 2, 3, 4, 5, 7 4. 1, 1, 2, 3, 4, 5 3. กาํ หนดใหผ้ ลบวกและผลคณู ของสามเทอมแรกของลาํ ดบั เลขคณิตเท่ากบั 12 และ – 36 ตามลาํ ดบั โดยมีคา่ ความแตกต่างร่วมคือ d ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั d2 – 2 1. 25 2. 23 3. 21 4. 19 4. กาํ หนดใหผ้ ลบวกของ n เทอมแรกของอนุกรมเลขคณิต คือ Sn = n 2 – 4n ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือคา่ ท่ีเท่ากบั เทอมที่ 20 ของอนุกรมน้ี 1. 33 2. 34 3. 35 4. 36 5. กาํ หนดให้ 2, a, 8 คือสามเทอมของลาํ ดบั เรขาคณิต ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี คือคา่ ท่ีเท่ากบั a 9 1. 4 2. − 4 3 3 3. ± 4 4. ไม่มีคาํ ตอบถูก 3

9 6. แดงเริ่มเกบ็ เงินในวนั ที่ 3 มีนาคม โดยเริ่มสะสมเงินวนั แรก 100 บาท และเพ่ิมอีกวนั ละ 10 บาททุกวนั ของเดือนน้ี ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั วนั ที่เขวจะมีเงินสะสม 340 บาท 1. วนั ท่ี 24 มีนาคม 2. วนั ที่ 25 มีนาคม 3. วนั ที่ 26 มีนาคม 4. วนั ที่ 27 มีนาคม 7. กาํ หนดใหผ้ ลบวกของ 3 เทอมแรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ 1 3 และเทอมแรกเท่ากบั 1 4 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั อตั ราส่วนร่วมของอนุกรมน้ี 1. 13 2. − 1 , − 3 , 22 22 3. 1 , − 3 4. − 1 , 3 22 22 8. ณทั ธพรฝากเงินในธนาคาร 100,000 บาท โดยธนาคารคิดดอกเบ้ียปี ละคร้ังดว้ ยอตั รา 8% เธอไม่เคยถอนเงินจากบญั ชีมาใช้ ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือคา่ ท่ีเท่ากบั จาํ นวนเงินในบญั ชีของเธอ เมื่อฝากครบ 5 ปี (กาํ หนดให้ 1.085 = 1.47) 1. 137,000 บาท 2. 147,000 บาท 3. 157,000 บาท 4. 167,000 บาท 9. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือลาํ ดบั ที่เท่ากบั ลาํ ดบั เรขาคณิตท่ีมีอตั ราส่วนร่วมท่ีอยใู่ นช่วงเปิ ด (0.3, 0.5) 1. 3, 5 , 25 , . . . 2. 2, 4 , 8 , . . . 4 48 39 3. 4, 3 , 9 , . . . 4. 5, 4 , 16 , . . . 4 5 10. กาํ หนดใหผ้ ลบวกของ n เทอมแรกของอนุกรม คือ Sn = 3n2 + 2 ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี คือคา่ ที่เท่ากบั เทอมท่ี 10 ของอนุกรมน้ี 1. 57 2. 82 3. 117 4. 302 11. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั 50 ∑ (1 + ( −1)k ) k k =1 1. 1300 2. 1350 3. 1400 4. 1450

10 12. แพทเริ่มทาํ แพนเคก้ ขายในวนั ท่ี 3 มกราคม เธอไดก้ าํ ไร 1,000 บาท และมีกาํ ไรเพิ่มข้ึน วนั ละ 100 บาททุกวนั ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือคา่ ท่ีเท่ากบั วนั ที่แพทจะมีกาํ ไร 2,500 บาท 1. 15 มกราคม 2. 16 มกราคม 3. 17 มกราคม 4. 18 มกราคม 13. กาํ หนดใหผ้ ลบวกและผลคณู ของสามเทอมแรกของลาํ ดบั เลขคณิตเท่ากบั 15 และ 80 ตามลาํ ดบั โดยมีคา่ ความแตกต่างร่วมคือ d ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั d 2 1. 1 2. 4 3. 9 4. 16 14. กาํ หนดใหล้ าํ ดบั เลขคณิต – 1 , – 1 , – 1 , . . . 20 30 60 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือคา่ ท่ีเท่ากบั เทอมท่ี 31 ของลาํ ดบั น้ี 1. 5 2. 13 12 30 3. 9 4. 7 20 15 15. กาํ หนดใหอ้ นุกรมเรขาคณิต 1 – 2 + 4 – 8 + . . . + 256. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือคา่ ท่ีเท่ากบั ผลบวกของอนุกรมน้ี 1. – 171 2. – 85 3. 85 4. 171 16. กาํ หนดให้ Sn คอื ผลบวก n เทอมของอนุกรมเรขาคณิตท่ีมีอตั ราส่วนร่วมคือ 2 และ S10 - S8 = 32 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือคา่ ที่เท่ากบั เทอมที่ ของอนุกรมน้ี 1. 16 2. 20 3 3 3. 26 4. 32 3 3

11 17. กาํ หนดใหล้ าํ ดบั เลขคณิตคือ a1 , a 2 , a 3 , . . . ซ่ึงทาํ ให้ a 2 + a 3 + . . . + a 9 = 100 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั S10 = a1 + a 2 + . . . + a10 1. 120 2. 125 3. 130 4. 135 18. กาํ หนดใหล้ าํ ดบั เรขาคณิตคือ a1, a 2 , a 3 , . . . พิจารณาประโยคต่อไปน้ี A. a 1 + a 3 , a 2 + a 4 , a 3 + a 5 , . . . B. a 1 a 2 , a 2 a 3 , a 3 a 4 , . . . C. 1 , 1 , 1 , . . . a1 a2 a3 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคท่ีถูก 1. ทุกประโยคใน A, B และ C คือลาํ ดบั เรขาคณิต 2. มีเพียงประโยคไม่เป็นลาํ ดบั เรขาคณิต 3. มีสองประโยคไม่เป็นลาํ ดบั เรขาคณิต 4. ทุกประโยคใน A, B และ C ไม่เป็นลาํ ดบั เรขาคณิต 19. พิจารณาลาํ ดบั 2, 5, 10, 17, 26, . . . ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าของเทอมท่ี 10 ของลาํ ดบั น้ีโดยใชว้ ิธีอุปนยั 1. 145 2. 121 3. 101 4. 84 20. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือคา่ ของลาํ ดบั เลขคณิตซ่ึงมีเทอมหน่ึงมีคา่ ที่เท่ากบั 40 1. a n = 1 – 2n 2. a n = 1 + 2n 3. a n = 2 – 2n 4. a n = 2 + 2n 21. กาํ หนดให้ a1 , a 2 , a 3 คือลาํ ดบั เรขาคณิตที่มี a1 = 2 และ a 3 = 200 ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี คือคา่ ที่เท่ากบั a2 1. – 20 2. – 50 3. 60 4. 100

22. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คืออนุกรมเรขาคณิตท่ีมีคา่ อตั ราส่วนท่ีน้อยทีส่ ุดซ่ึงมี 100 เทอม 12 1. 1 + 3 + 5 + . . . + (2n - 1) + . . . + 199 2. 1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . . + 1 35 2n − 1 199 3. 1 + 2 + 4 + . . . + (2 n − 1 ) + . . . + 2199 4. 1 +1 + 1 + ... + 1 + ...+ 1 5 3125 52n − 1 5199 125 23. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั 1 + 6 + 11 + 16 + . . . + 101 1. 970 2. 1020 3. 1050 4. 1071 24. กาํ หนดให้ 1 , 1, 5 , . . . คือลาํ ดบั เลขคณิต 33 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั ผลบวกของเทอมท่ี 40 และเทอมที่ 42 1 1. – 18 2. – 19 3. – 37 4. 142 3 25. กาํ หนดให้ ลาํ ดบั ของ 40 เทอมแรกกาํ หนดจาก an = 3 + (– 1)n ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั จาํ นวนเลขของเทอมที่ 40 1. 10 2. 20 3. 30 4. 40 26. กาํ หนดให้ a1 , a 2 , a 3 , . . . คือลาํ ดบั เรขาคณิต ท่ีมี a1 = 8 และ a 2 = – 16. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ผลบวกของ 10 เทอมแรก 1. – 2,728 2. – 2,512 3. – 1,364 4. – 1,024 27. กาํ หนดให้ 200, 182, 164, 146, . . . คือลาํ ดบั เลขคณิต ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือคา่ ท่ีเท่ากบั เทอมที่ 10 1. 54 2. 38 3. 22 4. 20

13 28. กาํ หนดให้ m คือค่าของจาํ นวนเตม็ บวกท่ีนอ้ ยที่สุดซ่ึงทาํ ใหเ้ ทอมที่ m ของลาํ ดบั เลข คณิต 2, 5, 8, . . . มีคา่ มากกวา่ 1000 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั ค่าของ m 1. 333 2. 334 3. 335 4. 336 29. กาํ หนดให้ จาํ นวนเตม็ จาก 1 ถึง 500 ที่หารลงตวั ดว้ ย 3 หรือ 5 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือคา่ ท่ีเท่ากบั จาํ นวนน้นั 1. 167 2. 202 3. 231 4. 266 30. กาํ หนดให้ เราตอ้ งการนบั สมาชิกของเซต { 100, 101, 102, . . . , 600 } ซ่ึงหารดว้ ย 8 หรือ 12 ไดล้ งตวั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี คือคา่ ท่ีเท่ากบั จาํ นวนสมาชิกของเซตน้นั 1. 83 2. 92 3. 100 4. 125 31. กาํ หนดให้ ลาํ ดบั เลขคณิตมีคา่ ความแตกต่างร่วมเป็นบวก ผลบวกของ 4 เทอมแรกเท่ากบั 84 เทอมที่มีค่ามากท่ีสุดเท่ากบั 30 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือคา่ ท่ีเท่ากบั เทอมที่ 2 ของลาํ ดบั น้ี 1. 44 2. 18 3 3. 51 4. 26 2 32. ผลบวกของ 2 เทอมแรกของลาํ ดบั เลขคณิตเท่ากบั 9 ผลบวกของ 3 เทอม 4 แรกของลาํ ดบั น้ีเท่ากบั 21 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั เทอมที่ 2 ของลาํ ดบั น้ี 4 1. 5 2. 3 หรือ – 9 22 2 3. 3 หรือ 27 4. 36 หรือ 2 44 5

14 33. กาํ หนดให้ a, b, c คือลาํ ดบั เรขาคณิต และ a, 2b, 3c คือลาํ ดบั เลขคณิต ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี คือค่าจาํ นวนเลขท่ีเท่ากบั คา่ อตั ราส่วนร่วมของลาํ ดบั เรขาคณิต 1. 1 2. 1, 1 3 3 3. 2, 1 4. 1, 1 3 2 34. กาํ หนดให้ x, y, z, w คือ 4 เทอมของลาํ ดบั เรขาคณิต โดยที่ x คือเทอมแรก ซ่ึง y + z = 6 และ z + w = – 12 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั ค่าสมบูรณ์ของ เทอมที่ 5 ของลาํ ดบั น้ี 1. 48 2. 58 3. 68 4. 78 35. กาํ หนดให้ เม่ือ คือเทอมท่ีa1 + a2 + . . . + an an = 2n a1 + a2 a2 + a3 an + an +1 n ของลาํ ดบั เรขาคณิตที่มีอตั ราส่วนร่วมคือ r ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั ค่า r 1. – 1 2. 1 2 2 3. – 2 4. 2 36. กาํ หนดให้ a1 , a 2 , a 3 , . . . , a n คือลาํ ดบั เลขคณิต เมื่อ 5a 51 = – 5a 50 + 16. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือคา่ ที่เท่ากบั ค่า 100 ∑ an n=1 1. 200 2. 400 3. 600 4. 800

15 37. ในลาํ ดบั เลขคณิต กาํ หนดใหผ้ ลบวกของเทอมท่ี 3 และเทอมท่ี 7 มีคา่ เท่ากบั 13 และ ผลบวกของ 13 เทอมแรกเทา่ กบั 104 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าท่ีเท่ากบั คา่ เทอมที่ 4 ของลาํ ดบั น้ี 1. 3 1 2. 4 1 2 2 3. 5 3 4. 6 1 4 2 38. ในลาํ ดบั เลขคณิต กาํ หนดใหผ้ ลบวกของ 5 เทอมแรกเท่ากบั 18 และผลบวกของ 10 เทอมแรกเท่ากบั 31 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือคา่ ท่ีเท่ากบั คา่ เทอมที่ 76 ของลาํ ดบั น้ี 1. – 11 1 2. – 11 4. 19 1 5 5 3. 19 39. ในลาํ ดบั เลขคณิต กาํ หนดใหผ้ ลบวกของ 17 เทอมแรกเท่ากบั 0 และเทอมท่ี 6 มีคา่ เท่ากบั 21 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือคา่ ที่เท่ากบั คา่ สามเทอมของลาํ ดบั น้ี 1. 46, 41, 36 2. 51, 45, 39 3. 56, 49, 42 4. 61, 53, 45

ข้อสอบแบบแสดงวธิ ที าํ 16 40. ในสวนป่ า เจา้ ของปลูกตน้ หมากเป็นแถว ๆ กนั มี 12 ตน้ ในแถวแรก 14 ตน้ ในแถวที่สอง 16 ตน้ ในแถวที่สาม และในแถวอื่น ๆ ที่ไปตามลาํ ดบั เลขคณิต ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าที่เท่ากบั จาํ นวนองตน้ หมากท้งั หมดถา้ มีตน้ หมาก 15 แถวในป่ าสวนน้ี วธิ ีทาํ 41. จงหาค่าของ ∑∞  (− 1)n cos nπ  n . วธิ ีทาํ 3(− 1)n + n=1 2 42. จงหาค่าของ 1 + 2 + 3 + 4 + . . . 248 วธิ ีทํา

17 43. กาํ หนดให้ a1 , a 2 , a 3 , . . . , a n คือลาํ ดบั เลขคณิต เมื่อ a 2 + a 5+ a 8+ a11 = 50 จงหาผลบวกจวกเทอมท่ี 1 ถึงเทอมที่ 12 วธิ ีทํา 44. จงตรวจสอบพร้อมบอกเหตุผลของการล่เู ขา้ และลู่ออกของลาํ ดบั an = 2n − 1 2n วธิ ีทํา

18 45. จงตรวจสอบพร้อมบอกเหตุผลของการล่เู ขา้ และลู่ออกของลาํ ดบั an = ( ( − 1 )n + 1)( n+1 ) n วธิ ีทํา

คาํ ตอบ (Sequence and Series : หน้า 8) 19 1. 3 2. 4 3. 2 4. 3 5. 3 6. 4 7. 3 14. 3 8. 2 9. 1 10. 4 11. 1 12. 4 13. 3 21. 1 28. 2 15. 4 16. 4 17. 2 18. 1 19. 3 20. 4 35. 1 22. 4 23. 4 24. 4 25. 2 26. 1 27. 2 42. 4 29. 3 30. 1 31. 1 32. 1 33. 2 34. 1 36. 4 37. 3 38. 2 39. 3 40. 390 41. – 1 4 43. 150 44. Convergence to 1 45. Divergence

20 บรรณานุกรม Arshavsky, N. et al. (2000). Impact Mathematics: Algebra and More for the Middle Grades. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Bass, L. E. et al. (2004). Prentice Hall Mathematics: Geometry. New Jersey: Prentice Hall. Bluman, A. G. (2004). Elementary Statistics: A Step by Step Approach. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Clements, D. H. et al. (2002). Mathematics. New York: McGraw-Hill School Division. Emanuel, R. et al. (2002 a). Pure Mathematics 1. England: Pearson Education Limited. Emanuel, R. et al. (2002 b). Pure Mathematics 2. England: Pearson Education Limited. Epp, S. S. (2004). Discrete Mathematics with Applications. California: Books/Cole-Thomson Learning Finney, R. L. et al. (2007). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic. New York: Pearson Prentice Hall. Gerver, R. et al. (1998). Geometry: An Integrated Approach. Illinois: National Textbook Company. Haffmann. L. D. et al. (2005). Applied Calculus for Business, Economics, and Social and Life Science. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Hungerford, T. W. et al. (2002). Precalculus: A Graphing Approach. New York: Holt, Rinehart and Winston. Payne, V. et al. (2002). Precalculus: A Graphing Approach. New York: Holt, Rinehart and Winston. Schultz, J. E. et al. (2004 a). Algebra 1. New York: Holt, Rinehart and Winston. Schultz, J. E. et al. (2004 b). Algebra 2. New York: Holt, Rinehart and Winston. Senk, S. L. et al. (1998). Functions, Statistics, and Trigonometry. California: Addition Wesley Longman Inc.

Educations Sri Nakharinwirot University, Prasarnmitr, Thailand 1967 B.Ed. Mathematics 1971 M.Ed. Mathematics Vanderbilt University, Peabody College, USA 1992 Ed.D. Curriculum and Supervision, Mathematics Concentration Academic and Administrative Experience 2006 – 2016 Lecturer in Mathematics, Asian University 2003 – 2004 Adviser to the President, Naresuan University 2001 – 2003 Vice-President for Research, Naresuan University 1996 – present Full Professor in Mathematics Education, Naresuan University 1998 – 2003 Part Time Lecturer in Mathematics, Mae Fah Luang University 1992 – 1996 Associate Professor in Mathematics, Naresuan University 1977 – 1992 Assistance Professor in Mathematics, Naresuan University 1971 – 1977 Lecturer in Mathematics, Naresuan University