Relation_Function_Thai

ความแขง็ แกร่งของคณติ ศาสตร์ สําหรับ นิสิตนักศึกษาระดบั มหาวทิ ยาลยั ช้ันปี ท่ี 1 และ นักเรียนระดบั มัธยมศึกษาตอนปลาย ความสัมพนั ธ์และฟังก์ชัน ผลติ โดย ศ. ดร. บรรพต สุวรรณประเสริฐ

i คาํ นํา เอกสารน้ีจดั ทาํ ข้ึนเพ่อื สรุปแนวคิดที่แขง็ แกร่งของคณิตศาสตร์เพ่ือสนบั สนุน การเรียนการสอนและการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของทกั ษะพื้นฐานทางคณิตศาสตร์และ ทกั ษะคณิตศาสตร์ข้นั สูง สาํ หรับนิสิตนกั ศึกษาระดบั มหาวทิ ยาลยั ช้นั ปี ท่ี 1 และนกั เรียน ระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลายในประเทศไทย โปรแกรมวทิ ยาศาสตร์ควรมีความเขา้ ใจดีสาํ หรับหวั ขอ้ ท้งั หมด 16 หวั ขอ้ ในขณะ ท่ีโปรแกรมที่ไม่ใช่วทิ ยาศาสตร์ควรมีความเขา้ ใจไดด้ ีเพยี ง 8 หวั ขอ้ คือ 1. เซต 2. การ ใชเ้ หตุผลเชิงคณิตศาสตร์ 3. จาํ นวนจริง 4. ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 5. ตรีโกณมิติ 6. ลาํ ดบั และอนุกรม 7. ความน่าจะเป็น และ 8. สถิติ และมีอีก 8 หวั ขอ้ ที่ควรรวมไว้ ในโปรแกรมวทิ ยาศาสตร์ ไดแ้ ก่ 9. เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 10. ฟังกช์ นั เลขช้ีกาํ ลงั และลอการิทึม 11. เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ 12. ตรรกศาสตร์เชิงสญั ลกั ษณ์ 13. เวกเตอร์ 14. จาํ นวนเชิงซอ้ น 15. โปรแกรมเชิงเส้น และ 16. แคลคูลสั วตั ถุประสงคข์ องเอกสารน้ี คือ เป็นการใชส้ ่ือการเรียนการสอนเพ่อื เนน้ ใหน้ ิสิต นกั ศึกษาและนกั เรียนมีความเขา้ ใจคณิตศาสตร์โดยมีการคิดอยา่ งเป็นข้นั เป็นตอน โดย ใหน้ ิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน ควรถามตนเองวา่ “ทาํ ไม” และ “อยา่ งไร\" เน่ืองจาก คาํ ถามประเภทน้ีจะทาํ ใหน้ ิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน คน้ หาคาํ ตอบอยา่ งสมเหตุสมผล หวงั วา่ เน้ือหาในเอกสารน้ีจะเป็นประโยชนต์ ่อการเรียนการสอนคณิตศาสตร์และ กิจกรรมการเรียนรู้ของคณาจารยแ์ ละนิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน ซ่ึงจะเป็นประโยชน์ต่อ การพฒั นาความรู้และทกั ษะทางคณิตศาสตร์สาํ หรับนิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียนทุกคน และ จะทาํ ใหน้ ิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียนทุกคนประสบความสาํ เร็จในการสอบ ศ. ดร. บรรพต สุวรรณประเสริฐ

เนือ้ หาความสัมพนั ธ์และฟังก์ชัน ii หน้า 1. ความสัมพนั ธ์ …...……………………………………………………. 1 2. ฟังก์ชัน …...……………………………………..………………. 1 3. ชนิดของฟังก์ชัน ……..……………………………………….………. 2 4. ฟังก์ชันเพม่ิ และลด ………………………………………………….… 2 5. ฟังก์ชันพหุนาม …………….……………………………………………. 2 6. ฟังก์ชันเศษส่ วน ..………..…………………………………………….. 2 7. ฟังก์ชันเป็ นคาบ .......……………………………………………….. 2 8. ฟังก์ชันคอมโพสิต .........…………………………………………..….. 2 9. ฟังก์ชันอนิ เวอร์ส ……...……………………………………………... 3 10. พชี คณติ ของฟังก์ชัน ..…………………………………………….... 3 ตวั อย่างทม่ี กี ารอธิบายใน Youtube ………….…………………….……4 ตวั อย่างข้อทดสอบ ………..……………………………………………. 12 คาํ ตอบ ………………………………………………………………….... 21 บรรณานุกรม ………………………………………………………….... 22

ความสัมพนั ธ์และฟังก์ชัน 1 ฟังก์ชัน I 1. ความสัมพนั ธ์ นิยาม : ผลคูณคาร์ทเี ซียน (Cartesian product) ของเซต A และ เซต B จะเขียนแทนดว้ ย A × B ที่มีสมาชิกคือคู่อนั ดบั (Ordered pair) A × B = { (x, y) | x ∈ A และ y ∈ B } (i) ถา้ r คือความสมั พนั ธ์ซ่ึงมีสมาชิกเป็นคู่อนั ดบั และ r ⊂ A × B แลว้ r จะ เรียกวา่ ความสมั พนั ธ์จาก A ไป B (ii) ถา้ r ⊂ A × A และ r มีสมาชิกเป็นคู่อนั ดบั แลว้ r จะเรียกวา่ ความสมั พนั ธ์ใน A โดเมนแลเรนจ์ D r = { x | (x, y) ∈ r } = เซตของโดเมนของ r R r = { y | (x, y) ∈ r } = เซตของเรนจข์ อง r 2. ฟังก์ชัน ฟังก์ชัน คือ ความสมั พนั ธ์ท่ีสมาชิกแต่ละตวั ในโดเมนจะไปจบั คู่กบั สมาชิก ในเรนจไ์ ดเ้ พยี งตวั เดียวเท่าน้นั ในช่วงของมนั นนั่ คือ ถา้ (x, y) ∈ f และ (x, z) ∈ f แลว้ y = z

(i) ฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear function) 2 (ii) ฟังก์ชั่นคงท่ี (Constant function) f(x) = ax + b เมื่อ a, b ∈ R. f(x) = c เม่ือ c ∈ R (iii) ฟังก์ชันกาํ ลงั สอง (Quadratic function) f(x) = ax 2 + bx + c เมื่อ a, b, c ∈ R โดย จุดเปล่ียนกราฟพาโบลาคือ (− b , f(− b )) หรือ (− b , 4ac − b2 ) 2a 2a 2a 4a (iv) ฟังก์ชันเลขชี้กาํ ลงั (Exponential function) f(x) = a x เม่ือ a > 0 และ a ≠ 1 (v) ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (Absolute value function) f(x) = | x - a | + c เม่ือ a, c ∈ R (vi) ฟังก์ชั่นข้นั ตอน (Step function) - ฟังกช์ น่ั พ้ืน (The floor function) f(x) =  x  = จาํ นวนเตม็ ที่นอ้ ยที่สุดซ่ึง มากกวา่ หรือเท่ากบั x เมื่อ x ∈ R - ฟังกช์ น่ั เพดาน (The ceiling function) f(x) =  x  = จาํ นวนเตม็ ท่ีนอ้ ย ที่สุดซ่ึงมากกวา่ หรือเท่ากบั , x เม่ือ x ∈ R - ฟังกช์ นั จาํ นวนเตม็ ที่มากที่สุด (The greatest integer function) f(x) = [ x ] เม่ือ x ∈ R ฟังก์ชัน II 3. ชนิดของฟังก์ชัน (Types of function) ฟังกช์ นั่ ท่ีกล่าวถึงกาํ หนดให้ Df = A (i) ฟังก์ชันจาก A ไป B: f : A → B เมื่อ Rf ⊂ B หรือ ถา้ (x, y) ∈ f และ (x, z) ∈ f แลว้ y = z (ii) ฟังก์ชันจาก A ไปบน B: f:A → B เม่ือ Rf = B นนั่ คือ onto ∀ y ∈ B ∃ x ∈ A ซ่ึง (x, y) ∈ f หรือ y = f (x) (ii) ฟังก์ชัน หน่ึง-ต่อ-หน่ึง จาก A ไป B: 1−1 หรือ f:A→B ถา้ f (x1 ) = f (x2 ) แลว้ x1 = x2 (iii) ฟังก์ชันทสี่ อดคล้อง หน่ึง-ต่อ-หน่ึง จาก A ไปบน B: 1−1 f:A → B onto

4. ฟังก์ชันเพม่ิ และลด (Increasing and decreasing function) 3 (i) (f เป็ นฟังก์ชันลด) ⇔ ( ถา้ x1 < x2 แลว้ )f(x1 ) < f(x2 ) (ii) (f ฟังก์ชันเพม่ิ ) ⇔ ( ถา้ x1 < x2 แลว้ f(x1 ) > )f(x2 ) 5. ฟังก์ชันพหุนาม (Polynomial function) f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 เม่ือ an , an−1 , . . . , a1 , a0 คือค่าคงที่ และ n ≥ 0, n ∈ I 6. ฟังก์ชันเศษส่วน (Rational function) f(x) = p(x) เมื่อ p และ q คือฟังกช์ นั พหุนาม q(x) 7. ฟังก์ชันเป็ นคาบ (Periodic function) f (x) = f (x + p) เมื่อ x, x + p ∈ Df . 8. ฟังก์ชันคอมโพสิต (Composite function) ฟังกช์ นั g o f อ่านวา่ ฟังกช์ นั ตอมโพสิต จี-โอ-เอฟ ซ่ึงกาํ หนดนิยาม ไดค้ ือ (g o f )(x) = g(f(x)) สาํ หรับค่าทุกตวั ของ x ซ่ึง f(x) ∈ Dg โดยท่ี f และ g คือ ฟังกช์ นั และ Rf ∩ Dg ≠ φ 9. ฟังก์ชันอนิ เวอร์ส (Inverse function : f − 1 ) (f − 1 เป็นฟังกช์ นั ) ⇔ (f คือฟังกช์ นั หน่ึง-ต่อ-หน่ึง) 10. พชี คณิตของฟังก์ชัน (Algebra of function) เม่ือ(i) (f + g)(x) = f (x) + g(x) x ∈ Df ∩ Dg เม่ือ(ii) (f − g)(x) = f (x) − g(x) x ∈ Df ∩ Dg (iii) (fg)(x) = f (x)⋅ g(x) เมื่อ x ∈ Df ∩ Dg (iv) f )(x) = f (x) เม่ือ x ∈ Df ∩ Dg และ g(x) ≠ 0 ( g g(x)

ตวั อย่างทม่ี กี ารอธิบายใน Youtube 4 1. กาํ หนดให้ A = { I, II, III } และ B = { a, b, c } จงหาค่า A × B วธิ ีทาํ http://youtu.be/eDAn9oOTMMs 2. กาํ หนดให้ A = { I, II, III, IV } และ B = { a, b } จงหาค่า n (B × A) วธิ ีทาํ http://youtu.be/Rl8QQrJy5Eg 3. กาํ หนดให้ A = { 1, 2, 3 } และ B = { 2, 4, 6 } จงหาค่าความสมั พนั ธ์ “ นอ้ ยกวา่ ” จาก A ไป B วธิ ีทาํ http://youtu.be/1n6E6mlFF2E 4. กาํ หนดให้ A = { 1, 2, 3, 4 } จงหาค่าความสมั พนั ธ์ “ เท่ากบั ” ในเซต A วธิ ีทาํ http://youtu.be/VrkW3_6lUfo

5 5. กาํ หนดให้ r = { (1, 2), (2, 2), (2, 6), (3, 2), (3, 6) } จงหาค่า D r (domain of r) และจงหาค่า Rr (range of r) วธิ ีทาํ http://youtu.be/ROjYMonj22Q 6. กาํ หนดให้ r = { (x, y) ∈ A × A | y = x 2 } และ r A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } จงหาค่า วธิ ีทาํ http://youtu.be/-FMBvEEDPFs 7. กาํ หนดให้ r = { (x, y) ∈ A × A | y = x } และ A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } จงหาค่า r วธิ ีทาํ http://youtu.be/mcVI1hMz7Tg 8. กาํ หนดให้ r = { (x, y) ∈ A × A | y = 1 } และ A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } จงหาค่า r วธิ ีทาํ http://youtu.be/PCLE9BZU2zM

6 9. จงหาค่าตดั แกน-y (y-intercept) และค่าความชนั ของฟังกช์ นั่ เชิงเสน้ y = 12x + 10 วธิ ีทาํ http://youtu.be/fnzQW3r4EPw 10. จงหาค่าความชนั ค่าตดั แกน-y (y-intercept) และค่าตดั แกน-x (x-intercept) ของฟังกช์ น่ั เชิงเสน้ y = 12 - 10x วธิ ีทาํ http://youtu.be/NqD7_A5gbOU 11. กาํ หนดให้ f = { (x, y) | y = x + 2 } จงหาค่า Df (domain of f) และจงหาค่า Rf (range of f) วธิ ีทาํ http://youtu.be/A9roKz9-rS4 12. กาํ หนดให้ f(x) = 12x 2 - 10x + 13 จงหาค่า f(x) เมื่อ x ∈ { - 1, 0, 1, 2, 3 } วธิ ีทาํ http://youtu.be/0EP8NlAjt3Y

7 13. จงหาค่าตดั แกน-x (x-intercept) ของฟังกช์ นั กาํ ลงั สอง y = 10x 2 - 12x - 13 วธิ ีทาํ http://youtu.be/ybf8lkHLd_w 14. จงหาจุดเปล่ียนกราฟ (Turning point) ของฟังกช์ นั กาํ ลงั สอง y = 15x 2 - 22x - 33 วธิ ีทาํ http://youtu.be/Vr6z9aiYYhI 15. จงหาจุดสูงสุด (Maximum point) ของฟังกช์ นั กาํ ลงั สอง f(x) = - 3x 2 - 10x - 18 วธิ ีทาํ http://youtu.be/XU8zkIZWQxo 16. จงหาค่า x จากฟังกช์ นั ลอการิทึม log10 x = - 100 วธิ ีทาํ http://youtu.be/nnXAnlMUQzM

8 17. จงหาค่าของฟังกช์ นั ลอการิทึมธรรมชาติ 2 ln e x2 วธิ ีทาํ http://youtu.be/tAWZk8IKqRE 18. จงหาค่าของฟังกช์ นั ลอการิทึม 2 log4 64 วธิ ีทาํ http://youtu.be/nm8UUH0pZaQ 19. จงหาค่าของฟังกช์ นั ลอการิทึมธรรมชาติ 3 ln e3 วธิ ีทาํ http://youtu.be/3hrmRpI_vLo 20. จงหาค่าของฟังกช์ นั ลอการิทึม (i). 2 log10 1000 และ (ii). 2 loga 1 a วธิ ีทาํ http://youtu.be/nU___4xGHmk

9 21. จงหาค่าของ y = 2 ex (i). โดเมนของฟังกช์ นั y = 2 ln x และ (ii). โดเมนของฟังกช์ นั วธิ ีทาํ http://youtu.be/SvyTPGh6Lhc 22. จงหาค่าต่อไปน้ี (i). ค่าตดั แกน-y (y-intercept) ของฟังกช์ นั่ y = 2 e x และ (ii). ค่าตดั แกน-y (y-intercept) ของฟังกช์ น่ั y = 2 ln x วธิ ีทาํ http://youtu.be/AeFTnHfnVi8 23. จงหาค่า x จากสมการ 4 x = 64 วธิ ีทาํ http://youtu.be/b1uJbl6MhDo 24 จงหาค่า x จากสมการ log 4 x = 91 วธิ ีทาํ http://youtu.be/tGYiVQacp9U

10 25. เม่ือฝากเงิน 90,000 ดอลลาร์ ท่ีมีอตั ราดอกเบ้ียต่อปี คือ 8.5% โดยคิดดอก เบ้ียทบตน้ ปี ละหน่ึงคร้ัง จงหาวา่ เมื่อสิ้นปี ที่ 3 จะไดเ้ งินรวมท้งั หมดเท่าไร วธิ ีทาํ http://youtu.be/-Qg1aDtuGnc 26 จงเขียนกราฟของ y = 12x และ y = 12x + 10 ในระบบแกนต้งั ฉาก เดียวกนั และจงหาโดเมน และ เรนจ์ ของกราฟท้วั สองน้ี วธิ ีทาํ http://youtu.be/OQ2nsd-lvJw 27. จงเขียนกราฟของ y = | x - 5 | และ y = | x + 10 | ในระบบแกน ต้งั ฉากเดียวกนั และจงหาโดเมน และ เรนจ์ ของกราฟท้วั สองน้ี วธิ ีทาํ http://youtu.be/dUbfmh66QdA 28 จงเขียนกราฟของ y = 5x 2 - 2 และ y = - 5x 2 + 10 ในระบบแกนต้งั ฉาก เดียวกนั และจงหาโดเมน และ เรนจ์ ของกราฟท้วั สองน้ี วธิ ีทาํ http://youtu.be/qMeQ0kxvkME

11 29. จงเขียนกราฟของ y = x − 12 และ y = - x + 12 ในระบบ แกนต้งั ฉาก เดียวกนั และจงหาโดเมน และ เรนจ์ ของกราฟท้วั สองน้ี วธิ ีทาํ http://youtu.be/uYqbk-qCbBw 30. จงเขียนกราฟของสมการกาํ ลงั สอง y = 2x 2 - 18x + 25 แลว้ จงหา โดเมน เรนจ์ จุดเปล่ียนกราฟ (ซ่ึงเป็นจุดสูงสุด หรือ ต่าํ สุด) และจุดตดั แกน -x (x-intercepts) วธิ ีทาํ http://youtu.be/aTJORYywZvs 31. จงแกอ้ สมการ x 2 - 12x - 45 ≥ 0 วธิ ีทาํ http://youtu.be/7u8Ct6Ik4KE 32. จงแกอ้ สมการ - x 2 + 12x + 45 ≥ 0 วธิ ีทาํ http://youtu.be/FF7hiGtMklE

12 33. จงเขียนกราฟของ y = 3 e x และ y = e x + 10 ในระบบ แกนต้งั ฉาก เดียวกนั และจงหาโดเมน และ เรนจ์ ของกราฟท้งั สองน้ี วธิ ีทาํ http://youtu.be/-mhX1Mctouk 34. จงเขียนกราฟของ y = 2 ln x และ y = ln (x - 10) ในระบบ แกนต้งั ฉาก เดียวกนั และจงหาโดเมน และ เรนจ์ ของกราฟท้งั สองน้ี วธิ ีทาํ http://youtu.be/FSHJ5VFrvdY

ตวั อย่างข้อทดสอบ 13 ข้อสอบแบบเลอื กคาํ ตอบทเี่ หมาะสมสําหรับคาํ ถามแต่ละข้อต่อไปนีเ้ พยี งข้อเดยี ว 1. กาํ หนดให้ A = { 9, 2, 3 } และ B = { a, b } ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือ ฟังก์ชัน จาก B ไป A 1. { (1, a), (2, b), (3, b) } 2. { (a, 2), (b, 1), (b, 3) } 3. { (2, b), (3, a) } 4. { (a, 3), (b, 2) }  2; x < 1  3x 2. กาํ หนดให้ f(x) =  ; 1 ≤ x ≤ 4  7 − x  0 ; x > 4 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือ จาํ นวนเลขที่ เท่ากบั f(4) - f(7) 1. 0 2. 2 3. 3 4. 4 3. กาํ หนดให้ y = 3 16 − x + 5−x x−3 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือ เซตของโดเมนของฟังกช์ นั ขา้ งบนน้ี 1. { x | x > 5 } 2. { x | x < 5 } 3. { x | 3 < x < 5 } 4. { x | 3 < x } 4. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือ ฟังกช์ นั ที่มีกราฟเท่ากบั รูปดา้ นขวามือน้ี 1. f(x) = | x – 2 | + 1 2. f(x) = | x – 1 | + 2 3. f(x) = | x – 2 | 4. f(x) = | x + 2 |

5. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือ ค่าของ x ท่ีสอดคลอ้ งกบั กราฟของฟังกช์ นั ที่เท่ากบั 14 รูปดา้ นขวามือน้ีที่ f(x) < 0 1. x < – 1 2. x > 3 3. – 1 < x < 3 4. x < – 1 ∪ x > 3 6. กาํ หนดให้ A = { a, b, c } และ B = { 0, 1 } ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือ ฟังก์ชัน จาก B ไป A 1. { (a, 1), (b, 0), (c, 1) } 2. { (0, b), (1, a), (1, c) } 3. { (b, 1), (c, 0) } 4. { (0, c), (1, b) } 7. กาํ หนดให้ f(x) = – x 2 + 4x – 10. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือ ประโยคท่ี เป็ นจริง 1. ค่าต่าํ สุดของ f มีค่าเท่ากบั – 6 2. ไม่มีค่าสูงสุดของ f 3. ค่าสูงสุดของ f มีค่าเท่ากบั 6 4. f( 9 ) < – 6 2 8. กาํ หนดให้ P คือจุดเปลี่ยนกราฟพาราโบลาควา่ํ ที่เปิ ดดา้ นล่าง y = – x 2 + 12x – 38 และ O คือจุดกาํ เนิด ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือ ค่าระยะทางโดยประมาณระหวา่ ง P และ O 1. 10.2 หน่วย 2. 20.2 หน่วย 3. 30.2 หน่วย 4. 70.2 หน่วย

15 9. กาํ หนดใหร้ ูปดา้ นล่างคือกราฟ ของ y = f(x) ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือฟังกช์ นั ท่ีมี รูปกราฟดงั น้ี 1. f(x) = 1 – | x | 2. f(x) = 1 + | x | 3. f(x) = | 1 – x | 4. f(x) = | 1 + x | 10. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือเซตของช่วงเปิ ด ที่เป็นค่าของ x ที่ทาํ ใหม้ ีกราฟของ y = – 4x 2 – 5x + 6 อยเู่ หนือแกน x 1. ( – 2 , 1 ) 2. ( – 5 , – 3 ) 2 22 3. ( 1 , 6 ) 4. ( 1 , 3 ) 47 22 11. กาํ หนดใหเ้ ส้นตรง x = 3 คือเสน้ สมมาตรของฟังกช์ นั f(x) = – x 2 + (k + 5) x + (k 2 – 10) โดย k คือจาํ นวนจริง ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนท่ีเป็นค่าสูงสุดของฟังกช์ นั f 1. – 4 2. 0 3. 6 4. 14 12. กาํ หนดให้ f(x) = x 2 – 2x – 15 คือ ฟังกช์ นั กาํ ลงั สอง ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคท่ีไม่เป็ นจริง 1. f(x) > – 17 2. f ( − 3 − 2 − 3 ) > 0 3. f (1 + 3 + 5 ) = f (1 − 3 − 5 ) 4. f ( − 1 + 3 + 5 ) < f ( − 1 − 3 − 5 )

16 13. กาํ หนดให้ A = { 1, 2 } และ B = { a, b } ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือคู่อนั ดบั ท่ีเป็นสมาชิกของผลคูณตาร์ทีเซี่ยน A × B? 1. (2, b) 2. (b, a) 3. (a, 1) 4. (1, 2) 14. กาํ หนดให้ A = { 1, 99 } ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือความสมั พนั ธ์ใน A ท่ี ไม่เป็ นฟังก์ชัน 1. การเท่ากนั 2. การไม่เท่ากนั 3. การหารลงตวั 4. ไม◌่มีคาํ ตอบถูก 15. จากความสมั พนั ธ์ r ตามรูปกราฟดา้ นล่างน้ี ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือความประโยคที่เป็ นจริง 1. r เป็ นฟังกช์ นั เพราะวา่ (1, 1), (2, 2), และ (3, 3) เป็ นจุดท่ีอยบู่ นเสน้ ตรง เดียวกนั 2. r เป็นฟังกช์ นั เพราะวา่ มีจาํ นวนจุดจาํ กดั 3. r ไม่เป็นฟังกช์ นั เพราะวา่ มีจาํ นวนจุด (3, 3) และ (3, – 1) อยบู่ นกราฟ 4. r ไม่เป็นฟังกช์ นั เพราะวา่ มีจาํ นวนจุด (1, 1) และ (– 1, 1) อยบู่ นกราฟ

16. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนเลขท่ีเป็นสมาชิกในโดเมนของฟังกช์ นั ต่อไปน้ี 17 y= x + 2x − 1 x2 + 3x + 2 x2 − 1 1. – 2 2. – 1 3. 0 4. 1 17. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือค่าของ a ที่ทาํ ใหก้ ราฟของฟังกช์ นั y = a ( 2 x ) ผ่านจุด (3, 16) 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 18. จากการเขียนกราฟของ y = ax 2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0 เพือ่ ใชแ้ กส้ มการ ax 2 + bx + c = 0 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือกราฟท่ีแสดงวา่ ไม่มจี ํานวนจริงที่อยใู่ น เซตที่เป็ นค่าของสมการ 1. 2. 3. 4. 19. กาํ หนดให้ f(x) = – x 2 + x + 2 ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคที่เป็ นจริง 1. f(x) > 0 เมื่อ – 1 < x < 2 2. จุดเปล่ียนกราฟของฟังกช์ นั f อยใู่ น ควอดเดรินท์ (Quadrant) ที่สอง 3. ค่ามากท่ีสุดของฟังกช์ นั f มีค่าเท่ากบั 2 4. ค่านอ้ ยที่สุดของฟังกช์ นั f มีค่าเท่ากบั 2

20. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือความสมั พนั ธ์ท่ีเป็ นฟังก์ชัน 18 1. { (1, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 4) } 2. { (1, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 3) } 3. { (1, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 4) } 4. { (1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 1) } 21. กาํ หนดให้ f(x) = 3 − x และ g(x) = – 2 + | x – 4 | ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือเซตของช่วงที่เท่ากบั Df ∪Dg 1. ( – ∞ , 3 ] 2. [ – 2, ∞ ) 3. [ – 2, 3 ] 4. ( – ∞ , ∞ ) 22. รูปดา้ นล่างน้ีคือกราฟของฟังกช์ นั f ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือจาํ นวนเลขที่เท่ากบั 11 f(– 11) – 3 f(– 3) f(3) 1. 57 2. 68 3. 75 4. 86 23. กาํ หนดให้ และf (x) = x3 + 4 . g(x) = 2x − 1. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคที่ไม่จริง 1. (f o f −1 )(x − 3) = x − 3 2. (g o f ) −1 (x) = (f −1 o g −1 )(x) 3. (f −1 o g) (1) = 5 3 4. (g −1 o g)(3x + 2) = 3x + 2

ข้อสอบแบบแสดงวธิ ีทาํ 19 24. ถา้ กาํ หนดให้ f = { (1, 0), (2, 1), (3, 5), (4, 3), (5, 2) } แลว้ ค่าของ f(2) + f(3) มีค่าเท่าไร วธิ ีทาํ 25. กาํ หนดให้ n(A) คือจาํ นวนสมาชิกของเซต A ถา้ r1 = { (–1, – 2), (0, – 1), (1, 2), (2, – 3), (3, 4) } และ r 2 = { (x, y) | | y + 1 | = x } แลว้ ค่าของ n(r1 ∩ r 2 ) มีค่าเท่าไร วธิ ีทาํ

20 26. จงหาค่าของ f −1(x) เม่ือกาํ หนดให้ f(x) = x . 1 + |x| วธิ ีทาํ 27. จงหาค่าของ g(2) เมื่อกาํ หนดให้ f −1(x) = x . x−2 และ (f o g)(x + 2) = 3x + 6. วธิ ีทาํ

21 28. กาํ หนดให้ f(x) = | | x + 1 | − 5 | จงหาช่วง ของค่า x ซ่ึงทาํ ให้ f(x) มีอินเวริ ์สฟังกช์ นั วธิ ีทาํ

คาํ ตอบ (ความสัมพนั ธ์และฟังก์ชัน : หน้า 13) 22 1. 4 2. 4 3. 3 4. 1 5. 3 6. 4 7. 4 8. 4 9. 2 10. 1 11. 2 15. 3 16. 3 17. 2 18. 4 12. 2 13. 1 14. 3 19. 1 20. 4 21. 4 22. 4 23. 3 24. 6 25. 2 26. f −1 (x) = x if f −1 (x) ≥ 0 27. 3 หรือ f −1 (x) = x if f −1 (x) < 0 1− x 1+ x 4 28. [ – 1, 6 ]

บรรณานุกรม 23 Arshavsky, N. et al. (2000). Impact Mathematics: Algebra and More for the Middle Grades. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Bass, L. E. et al. (2004). Prentice Hall Mathematics: Geometry. New Jersey: Prentice Hall. Bluman, A. G. (2004). Elementary Statistics: A Step by Step Approach. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Clements, D. H. et al. (2002). Mathematics. New York: McGraw-Hill School Division. Emanuel, R. et al. (2002 a). Pure Mathematics 1. England: Pearson Education Limited. Emanuel, R. et al. (2002 b). Pure Mathematics 2. England: Pearson Education Limited. Epp, S. S. (2004). Discrete Mathematics with Applications. California: Books/Cole-Thomson Learning Finney, R. L. et al. (2007). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic. New York: Pearson Prentice Hall. Gerver, R. et al. (1998). Geometry: An Integrated Approach. Illinois: National Textbook Company. Haffmann. L. D. et al. (2005). Applied Calculus for Business, Economics, and Social and Life Science. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Hungerford, T. W. et al. (2002). Precalculus: A Graphing Approach. New York: Holt, Rinehart and Winston. Payne, V. et al. (2002). Precalculus: A Graphing Approach. New York: Holt, Rinehart and Winston. Schultz, J. E. et al. (2004 a). Algebra 1. New York: Holt, Rinehart and Winston. Schultz, J. E. et al. (2004 b). Algebra 2. New York: Holt, Rinehart and Winston. Senk, S. L. et al. (1998). Functions, Statistics, and Trigonometry. California: Addition Wesley Longman Inc.

Educations Sri Nakharinwirot University, Prasarnmitr, Thailand 1967 B.Ed. Mathematics 1971 M.Ed. Mathematics Vanderbilt University, Peabody College, USA 1992 Ed.D. Curriculum and Supervision, Mathematics Concentration Academic and Administrative Experience 2006 – 2016 Lecturer in Mathematics, Asian University 2003 – 2004 Adviser to the President, Naresuan University 2001 – 2003 Vice-President for Research, Naresuan University 1996 – present Full Professor in Mathematics Education, Naresuan University 1998 – 2003 Part Time Lecturer in Mathematics, Mae Fah Luang University 1992 – 1996 Associate Professor in Mathematics, Naresuan University 1977 – 1992 Assistance Professor in Mathematics, Naresuan University 1971 – 1977 Lecturer in Mathematics, Naresuan University