Analytic Geometry and Conic Section_Thai

ความแขง็ แกร่งของคณติ ศาสตร์ สําหรับ นิสิตนักศึกษาระดบั มหาวทิ ยาลยั ช้ันปี ที่ 1 และ นักเรียนระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลาย เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตดั กรวย ผลติ โดย ศ. ดร. บรรพต สุวรรณประเสริฐ

i คาํ นํา เอกสารน้ีจดั ทาํ ข้ึนเพื่อสรุปแนวคิดที่แขง็ แกร่งของคณิตศาสตร์เพอื่ สนบั สนุน การเรียนการสอนและการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของทกั ษะพื้นฐานทางคณิตศาสตร์และ ทกั ษะคณิตศาสตร์ข้นั สูง สาํ หรับนิสิตนกั ศึกษาระดบั มหาวทิ ยาลยั ช้นั ปี ที่ 1 และ นกั เรียนระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลายในประเทศไทย โปรแกรมวทิ ยาศาสตร์ควรมีความเขา้ ใจดีสาํ หรับหวั ขอ้ ท้งั หมด 16 เรื่อง ในขณะท่ีโปรแกรมท่ีไม่ใช่วทิ ยาศาสตร์ควรมีความเขา้ ใจไดด้ ีเพียง 8 เรื่อง คือ 1. เซต 2. การใชเ้ หตุผลเชิงคณิตศาสตร์ 3. จาํ นวนจริง 4. ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 5. ตรีโกณมิติ 6. ลาํ ดบั และอนุกรม 7. ความน่า จะเป็น และ 8. สถิติ และมีอีก 8 เร่ืองที่ควรรวมไวใ้ นโปรแกรมวทิ ยาศาสตร์ ไดแ้ ก่ 9. เรขาคณิตวเิ คราะห์และ ภาคตดั กรวย 10. ฟังกช์ นั เลขช้ีกาํ ลงั และลอการิทึม 11. เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ 12. ตรรกศาสตร์เชิงสญั ลกั ษณ์ 13. เวกเตอร์ 14. จาํ นวนเชิงซอ้ น 15. โปรแกรมเชิง เส้น และ 16. แคลคูลสั วตั ถุประสงคข์ องเอกสารน้ี คือ เป็นการใชส้ ื่อการเรียนการสอนเพ่อื เนน้ ให้ นิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียนมีความเขา้ ใจคณิตศาสตร์โดยมีการคิดอยา่ งเป็นข้นั เป็นตอน โดยให้ นิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน ควรถามตนเองวา่ “ทาํ ไม” และ “อยา่ งไร\" เนื่องจากคาํ ถามประเภทน้ีจะทาํ ใหน้ ิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน คน้ หาคาํ ตอบอยา่ ง สมเหตุสมผล หวงั วา่ เน้ือหาในเอกสารน้ีจะเป็นประโยชนต์ ่อการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ และกิจกรรมการเรียนรู้ของคณาจารยแ์ ละนิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน ซ่ึงจะเป็น ประโยชนต์ ่อการพฒั นาความรู้และทกั ษะทางคณิตศาสตร์สาํ หรับนิสิตนกั ศึกษาและ นกั เรียนทุกคน และจะทาํ ใหน้ ิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียนทุกคนประสบความสาํ เร็จใน การสอบ ศ. ดร. บรรพต สุวรรณประเสริฐ

Ii เนือ้ หาเรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตดั กรวย หน้า 1. ความเบือ้ งต้น ….…………………………………………….…… 1 2. ความชันและสมการเส้นตรง ………………………………………. 2 3. ภาคตดั กรวย …………………………………………………………. 7 ข้อตวั อย่าง ทดสอบ ………….……………………………………….… 18 คาํ ตอบ …..……………………………………………………………….. 29 บรรณานุกรม …..……………………………………………………….. 30

เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 1 1. ความเบอื้ งต้น เราสร้างระบบพกิ ดั เป็นรูปสี่เหลี่ยมผนื ผา้ ในระนาบและท้งั หมดพกิ ดั สาํ หรับจุด ท้งั หลายในระนาบที่เป็นค่าํ ดบั ของตวั เลขจาํ นวนจริง ดงั รูปดา้ นล่างน้ี ระยะทางระหว่างจุด 2 จุด d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .

สูตรจุดกง่ึ กลางระหว่าง 2 จุด 2 x = x1 + 1 (x 1 – x2) = 1 (x 1 + x2) 2 2 และ y = y1 + 1 (y 1 – y2) = 1 (y 1 + y2) . (ดูรูปดา้ นล่างน้ี) 2 2 P(x, y) =  x1 + x2 , y1 + y 2  2 2 If PP1 : PP2 = m : n , then P(x, y) =  nx1 + mx 2 , ny 1 + my 2  . m+n m+n 2. ความชันและสมการเส้นตรง - ความชันของเส้นตรง ความชนั จะแมนดว้ ย m และกาํ หนดใหเ้ ท่ากบั อตั ราส่วน ดงั น้ี m = y2 − y1 x2 − x1

-3 ถา้ เรากลบั ลาํ ดบั ของการลบท้งั ในตวั เศษและตวั ส่วน แลว้ เคร่ืองหมายของแต่ ละค่าจะเปลี่ยนไปจากเดิม แต่ค่าของ m จะไม่เปลี่ยนแปลง ตามที่แสดงใหเ้ ห็น ขา้ งล่างน้ี m = y2 − y1 = y1 − y2 . x2 − x1 x1 − x2 การแสดงน้ีทาํ ใหเ้ ห็นวา่ เราสามารถคาํ นวณค่าความชนั ไดว้ า่ เป็นความแตกต่าง ของพิกดั ของ y หารดว้ ยความแตกต่างของพิกดั ของ x ซ่ึงความแตกต่างท้งั สอง เกิดข้ึนน้ีจะอยใู่ นลาํ ดบั แบบเดียวกนั ความสาํ คญั ของความสมั พนั ธ์ระหวา่ งค่าของ m และทิศทางของความชนั ของเส้นตรงกาํ หนดไดด้ งั น้ี: ถา้ m > 0 แลว้ เส้นตรงมีความชนั สูงข้ึนทางดา้ นขวามือ ถา้ m < 0 แลว้ เสน้ ตรงมีความชนั กดต่าํ ลงทางดา้ นขวามือ ถา้ m = 0 แลว้ เส้นตรงจะอยใู่ นแนวนอนขนานกบั แกน x ถา้ ลากเส้นตรงใหม้ าตดั แกน x แลว้ เราสามารถวดั มุมทวนเขม็ นาฬิกาท่ี เสน้ ตรงน้นั ทาํ กบั แกน x เป็นมุม θ ซ่ึงเรียกวา่ มมุ ของการเอียง (Angle of inclination) ของเส้นตรง และจากแนวคิดตรีโกณมิติเราเห็นวา่ ความชนั เป็น แทนเจนตข์ องมุมน้ี และทาํ ใหไ้ ดว้ า่ m = tan θ - สมการของเส้นตรง จากการหาสมการของเส้นตรงที่ผา่ นจุด (x0, y0) และเสน้ ตรงมีความชนั m (ดูรูปดา้ นล่าง)

4 ถา้ (x, y) คือจุดท่ีอยบู่ นเส้นตรงซ่ึงอยใู่ นระนาบท่ีไม่ใช่เสน้ ต้งั ฉากที่ผา่ นจุด (x0, y 0) แลว้ เราจะกาํ หนดความชนั ของเสน้ ตรง ไดด้ งั น้ี y − y 0 = m = tan θ x − x0 นี่คือสมการของเส้นตรงท่ีผา่ นจุด (x0, y 0) ซ่ึงไม่ทาํ ใหด้ า้ นซา้ ยมือมีค่าเป็ น 0 0 และสามารถเขียนลงในแบบฟอร์มอยา่ งง่ายไดค้ ือ y – y 0 = m(x – x 0 ). อยา่ งไรกต็ ามเรานิยมเขียนสมการขา้ งบนน้ีโดยเชื่อมต่อกบั ความคิดทางเรขาคณิต ท่ีแสดงใหเ้ ห็นตามรูปดา้ นล่าง ดงั น้ี สมการน้ีเรียกวา่ รูปแบบจุด-ความชนั (Point-slope form) โดยเส้นตรงผา่ นจุด (0, b) มีความชนั เท่ากบั m จึงทาํ ใหไ้ ดส้ มการสนั ตรง คือ y = mx + b โดยค่า b เรียกวา่ จุดตดั แกน y (y-intercept) และรูปแบบน้ีจะเรียกวา่ ความชนั - ค่าตดั แกน (Slope-intercept form) ของเสน้ ตรง

- เส้นขนานและเส้นต้งั ฉาก (Parallel and Perpendicular Lines) 5 เส้นตรงที่ไม่ใช่แนวต้งั ที่แตกต่างกนั สองเส้นท่ีมีความชนั m1 และ m 2 จะ ขนานกนั เมื่อความชนั ท้งั สองน้นั เท่ากนั คือ m1 = m2 เส้นตรงท้งั สองเส้นจะต้งั ฉากกนั เมื่อ m1 m2 = – 1 เราสามารถแสดงใหเ้ ห็นโดยสร้างรูปสามเหล่ียมที่ คลา้ ยกนั ดงั รูปขา้ งล่างน้ี ความคลา้ ยคลึงกนั ของสามเหล่ียมแสดงใหเ้ ห็นวา่ อตั ราส่วนของดา้ นที่เก่ียวขอ้ ง กนั จะเท่ากนั คือ m1 = 1 1 −m2 ∴ m1 m 2 = – 1 หรือ m1 = – 1. m2 - ระยะทางจากจุดหนึ่งถึงเส้นตรง (Distance from a Point to the Straight Line) กาํ หนดให้ P เป็นจุดท่ีไม่อยบู่ นเสน้ ตรง l ดงั รูปดา้ นล่างน้ี

6 สมมุติให้ P′ คือจุดบนเสน้ ตรง l ซ่ึงทาํ ให้ P′P ต้งั ฉากกบั เสน้ ตรง l แลว้ P′P คือระยะทางระหวา่ งเส้นตรง l กบั จุด P ซ่ึงหมายความวา่ ถา้ กาํ หนดใหส้ มการของเส้นตรง l และ พกิ ดั ของจุด P แลว้ เราสามารถคาํ นวณหา ระยะทางจากจุด P ไปยงั เสน้ ตรง l ไดด้ งั น้ี ถา้ เส้นตรง l มีสมการ Ax + By + C = 0 เม่ือ A และ B คือค่าท่ีไม่เท่ากบั 0 และ P = (x1 , y1 ) คือจุดท่ีไม่อยบู่ น เส้นตรง l และ กาํ หนดให้ d คือระยะทางจาดจุด P ไปยงั เสน้ ตรง l แลว้ จะไดว้ า่ d = | Ax + By + C | (ดูรูปดา้ นล่างน้ี) A2 + B2 ทฤษฎบี ท 1. ระยะทางจากจุด (x1 , y1 ) ไปยงั เสน้ ตรง x + By + C = 0 คือ d = | Ax + By + C | . A2 + B2 ทฤษฎบี ท 2. ระยะทางระหวา่ งเส้นตรงสองเส้น Ax + By + C1 = 0 และ Ax + By + C 2 = 0 มีค่าเท่ากบั C1 − C2 A2 + B2

7 (ดูรูปดา้ นล่างน้ี) 3. ภาคตดั กรวย (Conic Sections) เสน้ โคง้ ท่ีไดจ้ ากการตดั กรวยดว้ ยระนาบที่ไม่ผา่ นจุดสุดยอดของกรวยเรียกวา่ ภาคตดั กรวย (Conic sections) หากระนาบที่หนั่ ขนานกบั ตวั ก่อกาํ เนิดของรูปกรวย เรียกวา่ พาราโบลา (Parabola) มิฉะน้นั รูปกรวยท่ีเกิดข้ึนจะเรียกวา่ วงรี (Ellipse) หรือไฮเพอร์โบลา (Hyperbola) ข้ึนอยกู่ บั วา่ ระนาบที่ตดั รูปกรวยเพยี งหน่ึงหรือท้งั สองของรูปกรวย (ดูรูปดา้ นล่าง)

- วงกลม (Circles) 8 1. วงกลมที่มีรัศมี r และมีจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ่ีจุดกาํ เนิด จะมีสมการคือ x 2 + y 2 = r 2 (ดูรูป (a) ดา้ นล่าง) 2. วงกลมท่ีมีรัศมี r และมีจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ี่จุด (h, k) จะมีสมการคือ (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 (ดูรูป (b) ดา้ นล่าง) - พาราโบลา (Parabolas) พาราโบลาหงายหรือเปิ ดดา้ นบนท่ีมีจุดโฟกสั (0, c) และเส้น ไดเรกตริกซ์ หรือ เสน้ บงั คบั ตือ y = - c (ดูรูปขา้ งล่าง) มีสมการคือ x 2 = 4cy (รูปแบบมาตรฐาน)

9 สมการพาราโบลาน้ีจะมีการสมมาตรตามแกน y และเราจะเรียกวา่ แกน y เป็น \"แกนของพาราโบลา\" (หรือ \"แกนสมมาตร\") จุดจุดยอด (Vertex) ของ พาราโบลา x = 4cy อยทู่ ี่จุดกาํ เนิด จาํ นวนเตม็ บวก c คือความยาวโฟกสั (Focal length) ของพาราโบลา ถา้ พาราโบลาควา่ํ หรือเปิ ดดา้ นล่างท่ีมีจุดโฟกสั (0, - c) และเสน้ ไดเรกตริกซ์ หรือ เสน้ บงั คบั คือ y = c แลว้ สมการของพาราโบลา จะมีสมการ คือ x 2 = – 4cy (ดูรูปขา้ งล่าง) เราไดส้ มการท่ีคลา้ ยกนั สาํ หรับพาราโบลาที่เปิ ดไปทางขวาหรือทางซา้ ย ตามรูปดงั ต่อไปน้ี

10 สาํ หรับสมการของพาราโบราท่ีมีจุดยอดอยทู่ ี่จุด (h, k) จะมีรูปแสมการดงั น้ี รูปแบบมาตรฐานของสมการพาราโบลาทมี่ จี ุดยอดอยู่ทจี่ ุดกาํ เนิด (c > 0) สมการ โฟกสั ไดเรกตริกซ์ แกน เปิ ด x 2 = 4cy (0, c) y = – c แกน-y ดา้ นบน x 2 = – 4cy (0, – c) y = c แกน-y ดา้ นล่าง y 2 = 4cx (c, 0) x = – c แกน-x ดา้ นขวา y 2 = – 4cx (– c, 0) x = c แกน-x ดา้ นซา้ ยt เลตสั เรกตมั (Latus Rectum) คอร์ดของพาราโบลาคือเสน้ ตรงท่าลากผา่ นจุดโฟกสั และต้งั ฉากกบั แกนของ พาราโบลาซ่ึงเรียกวา่ เลตสั เรกตมั (Latus rectum) ความยาวของเลตสั เรกตมั มีค่า เท่ากบั | 4c | สาํ หรับสมการของพาราโบลา y = 4cx (ดูรูปดา้ นล่าง)

11 ตวั อยา่ งเช่น พาราโบลา y 2 = – 4x = 4(– 1)x มีความยาวของเลตสั เรก ตมั เท่ากบั | 4(– 1) | = | – 4 | = 4 และพาราโบลา x 2 = – 1 y = 4(– 1 )y 28 มีความยาวของเลตสั เรกตมั เท่ากบั | 4(– 1 ) | = | – 1 | = 1 8 22 - วงรี (Ellipses) กาํ หนดให้ P(x, y) คือจุดที่อยบู่ นวงรี ถา้ จุดโฟกสั คือ F1 (c, 0) และ F 2 (– c, 0) โดยท่ี PF1 + PF 2 = 2a เม่ือ 2a คือค่าคงท่ี แลว้ จะไดว้ า่ (x − c)2 + y 2 + (x + c)2 + y 2 = 2a น่ีคือสมการของวงรีท่ีมีจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ี่จุดกาํ เนิด เพ่อื ทาํ ใหส้ มการน้ีง่ายข้ึนเราจะยา้ ยค่าของรากแรกไปทางดา้ นขวาของสมการ และยกกาํ ลงั สองท้งั สองขา้ ง เราจึงไดส้ มการเป็นดงั น้ี x2 + y2 = 1 a2 a2 − c2 เม่ือให้ b = a2 − c2 แลว้ จะไดว้ า่ b 2 = a 2 – c 2 และทาํ ใหไ้ ดส้ มการ วงรีคือ x2 + y2 = 1 (รูปแบบมาตรฐาน) a2 b2 (ดูรูปของวงรีขา้ งล่างน้ี)

12 แกนเอก (Major axis) ของวงรีของสมการขา้ งบนอยทู่ ่ีแกน x คือส่วนของ เส้นตรงที่มีความยาว 2a ที่เชื่อมต่อระหวา่ งจุด (± a, 0) แกนโท (Minor axis) ของวงรีของสมการขา้ งบนอยทู่ ่ีแกน y คือส่วนของเส้นตรงท่ีมีความยาว 2b ที่ เชื่อมต่อระหวา่ งจุด (0, ± b) ถา้ วงรีมีจุดโฟกสั อยบู่ นแกน y ที่จุด (0, ± c) และจุดยอด (Vertices) อยู่ ที่จุด (0, ± a) ท่ีมีแกนอยบู่ นแกน y และแกนโทอยบู่ นแกน x และจุด ศูนยก์ ลาง (Center) ของวงรีอยทู่ ี่จุดกาํ เนิด ซ่ึงสมการของวงรีจะกลายเป็น x2 + y2 = 1 (รูปแบบมาตรฐาน) b2 a2 (ดูรูปของวงรีขา้ งล่างน้ี) สมการของวงรีที่มีจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ี่จุด (h, k) จุดโฟกสั อยบู่ นเสน้ ตรงท่ีขนาน กบั แกน x ท่ีจุด (h ± c, k) จุดยอดอยบู่ นเสน้ ตรงที่นานกบั แกน x ที่จุด (h ± a, k) แกนเอกอยบู่ นเส้นตรงที่ขนานกบั แกน x และแกนโทอยบู่ นเส้นตรงท่ี ขนานกบั แกน y แลว้ สมการของวงรีจะกลายเป็น (x − h)2 + (y − k)2 = 1 a2 b2 (ดูรูปของวงรีขา้ งล่างน้ี)

13 สมการของวงรีที่มีศนู ยก์ ลางท่ีจุด (h, k) ท่ีมีจุดโฟกสั อยบู่ นเสน้ ตรงที่ขนาน กบั แกน y ที่จุด (h, k ± c) จุดยอดอยบู่ นเสน้ ตรงที่ขนานกบั แกน y ท่ีจุด (h, k ± a) แกนเอกอยบู่ นเสน้ ตรงท่ีขนานกบั แกน y และแกนโทอยบู่ นเสน้ ตรงท่ี ขนานกบั แกน x แลว้ สมการของวงรีจะกลายเป็น (x − h)2 + (y − k)2 = 1 b2 a2 (ดูรูปของวงรีขา้ งล่างดงั น้ี) รูปแบบมาตรฐานของสมการวงรีทม่ี จี ุดศูนย์กลางอยู่ทจ่ี ุดกาํ เนิด จุดโฟกสั อยู่บนแกน x จุดโฟกสั อยู่บนแกน y x2 + y 2 = 1, a > b x2 + y 2 = 1, a > b a2 b2 b2 a2 ระยะทางจากจุดศนู ยก์ ลางถึงจุดโฟกสั c = a2 − b2 ระยะทางจากจุดศนู ยก์ ลางถึงจุดโฟกสั c = a2 − b2 จุดโฟกสั ( ± c, 0) จุดโฟกสั (0, ± c) จุดยอด ( ± a, 0) จุดยอด (0, ± a) คร่ึงหน่ึงจองแกนเอกมีคา่ เท่ากบั a คร่ึงหน่ึงจองแกนเอกมีคา่ เท่ากบั a คร่ึงหน่ึงจองแกนโทมีค่าเท่ากบั b คร่ึงหน่ึงจองแกนโทมีค่าเท่ากบั b

เอคเซนทริสซิที (Eccentricity) 14 จากสมการของวงรี x2 + y2 = 1 และ c 2 = a 2 – b 2 แลว้ a2 b2 อตั ราส่วน c เรียกวา่ เอคเซนทริส'ซิที (Eccentricity) ของวงรี และใหแ้ ทนดว้ ย a e โดย e = c = a2 − b2 aa - ไฮเพอร์โบลา (Hyperbolas) กาํ หนดให้ P(x, y) เป็ นจุดบนไฮเพอร์โบลา ถา้ จุดโฟกสั คือ F1 (c, 0) และ F 2 (– c, 0) โดยค่าของ | PF1 – PF 2 | = 2a เม่ือ 2a คือค่าคงท่ี แลว้ เรา จะไดว้ า่ | (x − c)2 + y2 - (x + c)2 + y2 | = 2a เป็ นสมการของ ไฮเพอร์โบลาท่ีมีจุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ีจุดกาํ เนิด เพ่ือทาํ ใหส้ มการของไฮเพอร์โบลาง่ายข้ึน เราจะยา้ ยค่ารากที่สองแรกไป ทางดา้ นขวามือและยกกาํ ลงั สองท้งั สองดา้ นของสมการ แยกส่วนที่เหลือและยกกาํ ลงั สองอีกคร้ัง แลว้ จะไดส้ มการวงรี คือ x2 – y2 = 1 ถา้ ให้ a2 c2 − a2 b = c2 − a2 แลว้ จะไดว้ า่ b 2 = c 2 – a 2 และทาํ ใหไ้ ดส้ มการของวงรี คือ x2 – y2 = 1 (รูปแบบมาตรฐาน) a2 b2 (ดูรูปของไฮเพอร์โบลาขา้ งล่างดงั น้ี)

15 ตอนน้ีเราจะมาพจิ ารณาอยา่ งรอบคอบในสมการของไฮเพอร์โบลา และเราจะ ศึกษาธรรมชาติของไฮเพอร์โบลา นนั่ คือเราจะสนทนาในคุณสมบตั ิเพิ่มเติมหลาย ประการของเส้นโคง้ ไฮเพอร์โบลา ตามที่ระบุไวใ้ หม้ ีรายละเอียดมากข้ึนตามรูป ดา้ นล่าง ดงั น้ี เนื่องจากสมการไฮเพอร์โบลาน้นั มีตวั แปรของ x และ y ซ่ึงมีความสมมาตร เมื่อเทียบกบั แกนพิกดั ท้งั สอง และเรียกวา่ แกนของเสน้ โคง้ ไฮเพอร์โบลา และจุดตดั ของมนั คือจุดศูนยก์ ลาง ความสมมาตรซา้ ย – ขวา และความสมมาตรบน – ล่าง ซ่ึง อาจเป็นคุณลกั ษณะเดียวของไฮเพอร์โบลาท่ีเรามองเห็นไดง้ ่ายจากคาํ จาํ กดั ความ โดยตรง เมื่อ y = 0 ในสมการไฮเพอร์โบลา เราจะไดส้ มการเป็น x = ± a แต่เม่ือ ให้ x = 0 ในสมการไฮเพอร์โบลา เราจะไดส้ มการวา่ y หาค่าเป็นจาํ นวนจริงมา ได้ คือเป็นจาํ นวนจินตภาพ (Imaginary) ดงั น้นั แกนผา่ นจุดโฟกสั จะเรียกวา่ ท่ี เรียกวา่ แกนหลกั (Principle axis) หรือแกนตามขวาง (Transversal axis) แต่อีก แกนหน่ึงท่ีเรียกวา่ แกนคอนจูเกต (Conjugate axis) ซ่ึงไม่ตดั กบั เส้นโคง้ ไฮเพอร์โบลา จุดตดั กนั ของแกนตามขวางแกนคอนจูเกตเรียกวา่ จุดศูนยก์ ลาง (Center) ของไฮเพอร์โบลา เส้นโคง้ ของไฮเพอร์โบลาสองจุดที่เรียกวา่ จุดยอด (Vertices) ซ่ึงต้งั อยทู่ ่ีระยะทาง a หน่วยในแต่ละดา้ นของจุดศูนยก์ าง แต่อีกแกน

16 หน่ึงที่เรียกวา่ แกนคอนจูเกตน้นั ไม่ไดต้ ดั กนั เส้นโคง้ เลย ไฮเพอร์โบลาน้นั ประกอบดว้ ยสองส่วนที่แยกออกจากกนั คือกิ่งหน่ึงท่ีสมมาตรกนั จะอยฝู่ ่ังตรงขา้ มของ แกนคอนจูเกต ความจริงน้ีเราสามารถเห็นไดโ้ ดยง่ายเม่ือเราแกส้ มการหาค่า y จาก สมการของไฮเพอร์โบลา คือ y = ± b x2 − a2 a หรือ y = ± b x 1 − a2 a x2 ซ่ึง เม่ือ x มีค่ามากข้ึนเราค่าในรากท่ีสองมีค่าเท่ากบั 1 จึงได้ สมการเสน้ ตรง คือ y = ± b x ซ่ึงเขา้ ใกลเ้ สน้ โคง้ ไฮเพอร์โบลาท้งั สองฝั่ง เส้นตรงสองเส้น a น้ีเรียกวา่ เสน้ กาํ กบั หรือแอส'ซิมโทท (Asymptotes) ของไฮเพอร์โบลา เพ่ือความ สะดวกในการสเกต็ ภาพไฮเปอร์โบลา เราเพียงหาจุดยอดและวาดเส้นแอสซิมโททท้งั สองเส้น แลว้ เรากจ็ ะไดล้ กั ษณะของเส้นโคง้ ไฮเปอร์โบลาตามตอ้ งการ รูปแบบสมการไฮเพอร์โบลาทม่ี จี ุดศูนย์กลางอยู่ทจ่ี ุดกาํ เนิด สมการ x2 − y2 = 1, a, b > 0 สมการ y2 − x2 = 1, a, b > 0 a2 b2 a2 b2 จุดยอด ( ± a, 0) จุดยอด (0, ± a) จุดโฟกสั ( ± c, 0) และ c 2 = a 2 + จุดโฟกสั (0, ± c) และ c 2 = a 2 + b2 b2 แกนตามขวาง แกน - x แกนตามขวาง แกน - y แอส'ซิมโทท y = ± b x แอส'ซิมโทท y = ± a x a b กราฟไฮเพอร์โบลา กราฟไฮเพอร์โบลา

รูปแบบสมการไฮเพอร์โบลาทม่ี จี ุดศูนย์กลางอยู่ทจ่ี ุด (h, k) 17 สมการ สมการ(x − h)2 − (y − k)2 = 1, a, b > 0 (y − k)2 − (x − h)2 = 1, a, b > 0 a2 b2 a2 b2 จุดยอด (h ± a, k) จุดยอด (h, k ± a) จุดโฟกสั (h ± c, k) และ c 2 = a 2 + b 2 จุดโฟกสั (h, k ± c) และ c 2 = a 2 + b 2 แกนตามขวาง ที่ขนานกบั แกน - x แกนตามขวาง ท่ีขนานกบั แกน - y แอส'ซิมโทท y – k = ± b (x – h) แอส'ซิมโทท y – k = ± a (x – h) a b กราฟไฮเพอร์โบลา กราฟไฮเพอร์โบลา

ตวั อย่างข้อทดสอบ 18 ข้อสอบแบบเลอื กคาํ ตอบทเ่ี หมาะสมสําหรับคาํ ถามแต่ละข้อต่อไปนีเ้ พยี งข้อเดยี ว 1. ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือเท่ากบั ความยาวของโปรเจคชนั (Projection) หรือการฉาย ชอง PQ บน AB โดยที่ P = (3, 2), Q = (- 1, - 1), A = (4, - 2) และ B = (- 2, - 2) 1. 2 หน่วย 2. 3 หน่วย 3. 4 หน่วย 4. 5 หน่วย 2. ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือเท่ากบั ความยาวของเส้นมธั ยฐานของรูปสามเหลี่ยม DEF จาก D ไปดา้ นตรงขา้ ม ถา้ D, E, F เป็นจุดก่ึงกลางของ AB, BC, CA โดยท่ี A = (- 5, 3), B = (1, 7) และ C = (- 1, 9) 1. 17 หน่วย 2. 17 หน่วย 2 4. 17 หน่วย 3. 17 หน่วย 2 2 3. ขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็ นจริงถา้ พกิ ดั A, B และ C คือ (2, 4), (5, 1) และ (6, 5) ตามลาํ ดบั 1. ABC เป็นสามเหลี่ยมหนา้ จวั่ 2. ABC เป็นสามเหลี่ยมดา้ นเท่า 3. ABC เป็นสามเหล่ียมมุมฉาก 4. จุด A, B และ C อยใู่ นแนวเส้นตรงเดียวกนั 4. ขอ้ ใดต่อไปน้ีเท่ากบั รัศมีของวงกลมท่ีผา่ นจุด (- 4, - 2) และ (4, 3) และจุด ศนู ยก์ ลางท่ีอยบู่ นแกน y 1. 5 หน่วย 2. 15 หน่วย 3. 17 หน่วย 4. 89 หน่วย 2

19 5. ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือค่าท่ีเท่ากบั ความยาวของเสน้ รอบรูปของสามเหลี่ยม PQR ถา้ P, Q, R คือจุดก่ึงกลางของดา้ นขา้ งของรูปสามเหล่ียมซ่ึงจุดยอดคือ (- 4, - 2), (8, 2) และ (8, - 2) 1. 7 + 3 10 หน่วย 2. 8 – 2 10 หน่วย 3. 7 – 3 10 หน่วย 4. 8 + 2 10 หน่วย 6. ขอ้ ใดต่อไปน้ีที่เป็ นจริง 1. ระยะทางจาก A (2, - 6) ถึง B (2, - 2) มีค่าเท่ากบั 8 หน่วย 2. ความยาวของเสน้ ตรงจาก A (3, 5) ถึง B (- 6, 3) มีค่าเท่ากบั 9 หน่วย 3. ความยาวของเส้นตรงจาก A (4, 1) ถึง B (3, 2) มีค่าเท่ากบั 10 หน่วย 4. ความยาวของเส้นตรงจาก A (- 3, 1) ถึง B (3, - 1) มีค่าเท่ากบั 2 10 หน่วย 7. ขอ้ ใดต่อไปน้ีท่ีอยู่บนเส้นตรงเดียวกนั จาดขดุ ท่ีกาํ หนดใหท้ ้งั 3 จุด 1. A(– 3, 4), B(3, 2), C(6, 1) 2. A(0, 0), B(2, – 3), C(– 8, 12) 3. A(– 1, – 1), B(6, – 4), C(– 11, 8) 4. มีคาํ ตอบถูกมากกวา่ หน่ึงขอ้ ดา้ นบนน้ี 8. ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือเท่ากบั จุดยอดของสามเหลี่ยมมุมฉาก 1. (– 3, 1), (4, 2), (2, 3) 2. (8, 9), (– 6, 1), (0, – 5) 3. (– 4, 4), (– 3, – 3), (3, 3) 4. ไม่มีคาํ ตอบที่ถูกตอ้ งขา้ งบนน้ี 9. ขอ้ ใดต่อไปน้ีท่ีมีค่าเท่ากบั พ้นื ที่ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดคือ A (3, 6), B (- 3, 7) และ C (- 1, - 2) 1. 20 ตารางหน่วย 2. 22 ตารางหน่วย 3. 26 ตารางหน่วย 4. 28 ตารางหน่วย

20 10. ขอ้ ใดต่อไปน้ีท่ีมีค่าเท่ากบั พ้นื ท่ีของรูปส่ีเหลี่ยมที่มีจุดยอดคือ (- 1, 0), (5, 0), (2, 7), และ (8, 7) 1. 21 ตารางหน่วย 2. 30 ตารางหน่วย 3. 42 ตารางหน่วย 4. 56 ตารางหน่วย 11. ขอ้ ใดต่อไปน้ีท่ีมีค่าเท่ากบั ความยาวของเสน้ รอบรูปของส่ีเหล่ียม MNPR ถา้ M, N, P และ R คือจุดก่ึงกลางของดา้ นของรูปส่ีเหลี่ยม ABCD ที่มีจุดยอดคือ A (- 3, 0), B (0, - 4), C (4, 0) และ D (0, 6) 1. 17 หน่วย 2. 15 หน่วย 3. 13 หน่วย 4. 11 หน่วย 12. ขอ้ ใดต่อไปน้ีที่มีค่าเท่ากบั พ้นื ที่ของรูปส่ีเหล่ียมผนื ผา้ MNRS ซ่ึงแนบอยใู่ น สามเหลี่ยม ABC ถา้ M และ N คือจุดก่ึงกลางของ AB และ AC และ R และ S อยบู่ นดา้ น BC ที่มีจุดยอดคือ A (5, 7), B (1, - 5) และ C (11, - 5) 1. 30 ตารางหน่วย 2. 28 ตารางหน่วย 3. 24 ตารางหน่วย 4. 22 ตารางหน่วย 13. ขอ้ ใดต่อไปน้ีคาํ ตอบที่ถูกต้องสาํ หรับรูปส่ีเหล่ียม ABCD ท่ีมีจุดยอด คือ A (3, 2), B (2, 9), C (–5, 8) และ D (- 4, 1) 1. ABCD เป็นส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ 2. ABCD เป็นส่ีเหลี่ยมจตั ุรัส 3. ABCD เป็นสี่เหลี่ยมดา้ นขนาน 4. ABCD เป็นสี่เหล่ียมรูปวา่ ว 14. ขอ้ ใดต่อไปน้ีท่ีเป็นค่าพกิ ดั ของ B ถา้ C คือ จุดก่ึงกลางของ AB โดยพกิ ดั ของ A และ C คือ (- 4, 2) และ (3, - 1) ตามลาํ ดบั 1. (10, – 4) 2. (– 4, 10) 3. (– 5, 3) 4. (5, 2)

21 15. ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือค่าที่เท่ากบั ความยาวของค่ามธั ยฐานของสามเหลี่ยม ABC คือ เสน้ ตรงจากจุดยอด A ถึงจุดก่ึงกลางของ BC เมื่อ A = (- 1, - 2), B = (3, 0) และ C = (5, 4) 1. 4 หน่วย 2. 5 หน่วย 3. 4 5 หน่วย 4. ไม่มีคาํ ตอบถูกขา้ งบนน้ี 5 16. ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือค่าของ x และ y ถา้ กาํ หนดให้ P คือจุดก่ึงกลางของ AB และพิกดั ของ P = (- 1, 1), A = (x, y) และ B = (3, 5) 1. x = – 5, y = – 3 2. x = – 3, y = – 5 3. x = 1, y = 3 4. x = 2, y = 6 17. ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือค่าท่ีเท่ากบั พิกดั ของอีกจุดยอดอ่ืนของสามเหล่ียมดา้ นเท่า ถา้ กาํ หนดใหพ้ ิกดั ของจุดยอดสองจุด คือ (0, 0) และ (0, 4) 1. (4, 0) 2. (4, 2) 3. (2 3 , 2) 4. ( 3 , 2) 18. ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือค่าที่เท่ากบั พกิ ดั ของอีกจุดยอดอื่นของสามเหล่ียม PQR ถา้ กาํ หนดใหพ้ กิ ดั ของจุดยอดสองจุดอนั คือ P = (- 4, 3), Q = (- 1, 2) และ PQˆ R = 90 o 1. (– 4, 11) 2. (4, 17) 3. (– 2, – 1) 4. (2, 11) 19. ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือค่าท่ีเท่ากบั ความยาวของโปรเจคชนั ของเสน้ ตรง AB บนแกน x ถา้ กาํ หนดใหพ้ กิ ดั ของ A และ B คือ (- 1, - 2) และ (3, 1) 1. 1 หน่วย 2. 2 หน่วย 3. 3 หน่วย 4. 4 หน่วย 20. ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือคาํ ตอบท่ีถูกต้องของกราฟเมื่อกาํ หนดใหส้ มการของภาคตดั กรวย คือ 4y 2 = 3x 2 + 36 1. กราฟวงกลม 2. กราฟวงรี 3. กราฟพาราโบลา 4. กราฟไฮเปอร์โบลา

21. ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือสมการของภาคตดั กรวยที่เป็ นกราฟของวงกลม 22 1. x 2 + y 2 – 6x + 2y + 11 = 0 2. x 2 + y 2 + 6x + 4y + 15 = 0 3. x 2 + y 2 + 2x – 4y – 11 = 0 4. x 2 + y 2 – 2x + 6y + 10 = 0 22. ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือสมการของวงรีซ่ึงมีจุดโฟกสั อยทู่ ี่ (- 1, - 2) และ (3, - 2) และมีความยาวของแกนเอกเท่ากบั 10 หน่วย 1. (x − 1)2 + (y + 2)2 =1 =1 25 21 =1 =1 2. (x − 1)2 + (y + 2)2 21 25 3. (x + 1)2 + (y − 2)2 25 21 4. (x + 1)2 + (y − 2)2 21 25 23. ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือสมการของพาราโบลาท่ีมีเส้นไดเรกตริกซ์คือ x = - 2 และมี โฟกสั คือ (2, 0) 1. x 2 = 8y 2. y 2 = 8x 3. y = 8x 2 4. x = 8y 2 24. ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือกราฟของสมการภาคตดั กรวย 9x 2 – 4y 2 + 36 = 0 1. ไฮเพอร์โบลา และ โฟกสั คือ (0, 13 ) และ (0, – 13 ) 2. ไฮเพอร์โบลา และ โฟกสั คือ ( 13 , 0) และ (– 13 , 0) 3. วงรี และ โฟกสั คือ (0, 13 ) และ (0, – 13 ) 4. วงรี และ โฟกสั คือ ( 13 , 0) และ (– 13 , 0)

25. ขอ้ ใดต่อไปน้ีท่ีมีค่าเท่ากบั จุดโฟกสั สองจุดของวงรี 23 { (x, y) ∈ R × R | 5x 2 + 9y 2 – 10x + 36y – 139 = 0 } 1. (3, 2) และ (– 5, 2) 2. (1, 2) และ (1, – 6) 3. (5, 2) และ (– 3, – 2) 4. ไม่มีคาํ ตอบถูกขา้ งบนน้ี 26. กาํ หนดใหส้ มการของวงรี คือ (x + 3)2 + y2 = 1. 25 16 พิจารณาประโยคต่อไปน้ี (1) เสน้ ตรง x – 3 = 0 ไม่มีจุดตดั กบั วงรีที่กาํ หนดไว้ (2) จุด (2, 1) อยภู่ ายในวงรีที่กาํ หนดไว้ (3) วงรีท่ีกาํ หนดไวจ้ ะสมมาตรตามแนวเสน้ ตรง y = 0 ขอ้ ใดต่อไปน้ีท่ีมีการสรุปผลท่ีเป็ นจริง 1. มีความถกู ตอ้ งท้งั สามขอ้ คือ (1) – (3). 2. มีความถกู ตอ้ งสองขอ้ 3. มีความถกู ตอ้ งเฉพาะขอ้ (1) 4. มีความถกู ตอ้ งเฉพาะขอ้ (2) 27. พิจารณาประโยคต่อไปน้ี (1) กราฟของ x 2 + y 2 – x – y + k = 0 คือวงกลมเมื่อ k > 1 2 (2) จุด (1, 3) คือ จุดศูนยก์ ลางของไฮเพอร์โบลา 9x 2 – 16y 2 – 18x + 96y – 279 = 0 ขอ้ ใดต่อไปน้ีที่มีการสรุปผลที่เป็ นจริง 1. มีความถกู ตอ้ งท้งั ขอ้ (1) และขอ้ (2) 2. มีความถูกตอ้ งเฉพาะขอ้ (1) 3. มีความถูกตอ้ งเฉพาะขอ้ (2) 4. ไม่มีความถกู ตอ้ งท้งั ขอ้ (1) และขอ้ (2)

28. ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือสมการของวงกลมที่จุดศูนยก์ ลางอยทู่ ่ีจุด (- 3, - 5) และ 24 สมั ผสั กบั เสน้ ตรง 8x - 6y = 1 1. 4x 2 + 4y 2 + 24x + 40y + 15 = 0 2. 4x 2 + 4y 2 + 24x + 40y + 135 = 0 3. 4x 2 + 4y 2 + 24x + 40y + 97 = 0 4. 4x 2 + 4y 2 + 24x + 40y + 125 = 0 29. ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือสมการของวงกลมท่ีผา่ นจุด (0, 0), (- 2, 5) และ (0, 5) 1. { (x, y) ∈ R × R | x 2 + y 2 – 2x + 5y = 0 } 2. { (x, y) ∈ R × R | x 2 + y 2 + 2x – 5y = 0 } 3. { (x, y) ∈ R × R | x 2 + y 2 + 2x + 5y = 0 } 4. { (x, y) ∈ R × R | x 2 + y 2 – 2x – 5y = 0 } 30. ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือสมการของวงกลมท่ีจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ี่จุด (2, - 3) และมีรัศมี เท่ากบั 4 หน่วย 1. x 2 + y 2 – 4x + 6y – 3 = 0 2. x 2 + y 2 + 4x – 6y – 3 = 0 3. x 2 + y 2 + 4x – 6y – 9 = 0 4. x 2 + y 2 – 4x + 6y + 9 = 0 31. ขอ้ ใดต่อไปน้ีคือสมการของวงกลมท่ีจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ่ี (2, 3) และสมั ผสั กบั เส้นตรง x + y - 2 = 0 1. (x + 2) 2 + (y + 3) 2 = 9 2. (x – 2) 2 + (y – 3) 2 = 9 3. (x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 9 4. (x – 2) 2 + (y – 3) 2 = 9 2 2

ข้อสอบแบบแสดงวธิ ีทาํ 25 32. จงหาจุดศนู ยก์ ลางของวงกลม x 2 + y 2 – x – y = 0 วธิ ีทาํ 33. จงหาจุดสมั ผสั กบั วงกลมท่ีขนานกบั แกน x เมื่อกาํ หนดใหว้ งกลม คือ x 2 + y 2 – 6x – 7 = 0 วธิ ีทาํ

26 34. จงหาจุดโฟกสั ท้งั สองจุดของวงรี ตามรูปขา้ งล่างน้ี วธิ ีทาํ 35. จงหารัศมีของวงกลม x 2 + y 2 + 4x – 6y – 8 = 0 วธิ ีทาํ

27 36. จงหาสมการของเสน้ ตรงที่ผา่ นจุด (- 1, 0) และสมั ผสั กบั พาราโบลา y2 = 4x วธิ ีทาํ 37. จงหาพิกดั ของโปรเจคชนั ของจุดก่ึงกลางของ AB ไปบนเส้นตรง y = - 1 เม่ือกาํ หนดใหพ้ กิ ดั ของ A และ B คือ (- 12, 3) และ (4, 1) วธิ ีทาํ

28 38. จงหาความยาวของรัศมีของวงกลมที่มีศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี (- 3, 4) และผา่ นจุด (5, - 2) วธิ ีทาํ 39. จงหาพิกดั ของจุด P ในรูปดา้ นล่างน้ี ถา้ กาํ หนดใหร้ ูปหกเหลี่ยม ABCDEF ที่มีจุด A และ B ท่ีอยบู่ นแกน x โดยที่ P คือจุดก่ึงกลางของดา้ น CD และพิกดั ของจุด A คือ (2, 0) วธิ ีทาํ

คาํ ตอบ (เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตดั กรวย : หน้า 18) 29 1. 3 2. 1 3. 1 4. 4 5. 4 6. 4 7. 4 8. 4 9. 3 10. 3 11. 1 12. 1 13. 1 14. 1 15. 4 16. 1 17. 3 18. 2 19. 4 20. 4 21. 3 22. 1 23. 2 24. 1 25. 4 26. 3 27. 3 28. 2 29. 2 30. 1 31. 4 32. ( 1 , 1 ) 33. (3, 4) และ (3, – 4) 22 34. ( 0, ± 2 3 ) 35. 21 36. y = 2x + 2 และ y = – 2x – 2 37. (– 12, – 1) และ ( 4, – 1 ) 38. 10 39. ( 4 2 – 1, 3 )

บรรณานุกรม 30 Arshavsky, N. et al. (2000). Impact Mathematics: Algebra and More for the Middle Grades. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Bass, L. E. et al. (2004). Prentice Hall Mathematics: Geometry. New Jersey: Prentice Hall. Bluman, A. G. (2004). Elementary Statistics: A Step by Step Approach. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Clements, D. H. et al. (2002). Mathematics. New York: McGraw-Hill School Division. Emanuel, R. et al. (2002 a). Pure Mathematics 1. England: Pearson Education Limited. Emanuel, R. et al. (2002 b). Pure Mathematics 2. England: Pearson Education Limited. Epp, S. S. (2004). Discrete Mathematics with Applications. California: Books/Cole-Thomson Learning Finney, R. L. et al. (2007). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic. New York: Pearson Prentice Hall. Gerver, R. et al. (1998). Geometry: An Integrated Approach. Illinois: Nationa Textbook Company. Haffmann. L. D. et al. (2005). Applied Calculus for Business, Economics, and Social and Life Science. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Hungerford, T. W. et al. (2002). Precalculus: A Graphing Approach. New York: Holt, Rinehart and Winston. Payne, V. et al. (2002). Precalculus: A Graphing Approach. New York: Holt, Rinehart and Winston. Schultz, J. E. et al. (2004 a). Algebra 1. New York: Holt, Rinehart and Winston. Schultz, J. E. et al. (2004 b). Algebra 2. New York: Holt, Rinehart and Winston. Senk, S. L. et al. (1998). Functions, Statistics, and Trigonometry. California: Addition Wesley Longman Inc.

Educations Sri Nakharinwirot University, Prasarnmitr, Thailand 1967 B.Ed. Mathematics 1971 M.Ed. Mathematics Vanderbilt University, Peabody College, USA 1992 Ed.D. Curriculum and Supervision, Mathematics Concentration Academic and Administrative Experience 2006 – 2016 Lecturer in Mathematics, Asian University 2003 – 2004 Adviser to the President, Naresuan University 2001 – 2003 Vice-President for Research, Naresuan University 1996 – present Full Professor in Mathematics Education, Naresuan University 1998 – 2003 Part Time Lecturer in Mathematics, Mae Fah Luang University 1992 – 1996 Associate Professor in Mathematics, Naresuan University 1977 – 1992 Assistance Professor in Mathematics, Naresuan University 1971 – 1977 Lecturer in Mathematics, Naresuan University