Math_Reasoning_Thai

ความแขง็ แกร่งของคณติ ศาสตร์ สําหรับ นิสิตนักศึกษาระดบั มหาวทิ ยาลยั ช้ันปี ท่ี 1 และ นักเรียนระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลาย การให้เหตุผลเชิงคณติ ศาสตร์ ผลติ โดย ศ. ดร. บรรพต สุวรรณประเสริฐ

i คาํ นํา เอกสารน้ีจดั ทาํ ข้ึนเพอื่ สรุปแนวคิดท่ีแขง็ แกร่งของคณิตศาสตร์เพอ่ื สนบั สนุนการเรียนการ สอนและการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของทกั ษะพ้ืนฐานทางคณิตศาสตร์และทกั ษะคณิตศาสตร์ข้นั สูง สาํ หรับนิสิตนกั ศึกษาระดบั มหาวทิ ยาลยั ช้นั ปี ที่ 1 และนกั เรียนระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลายใน ประเทศไทย โปรแกรมวทิ ยาศาสตร์ควรมีความเขา้ ใจดีสาํ หรับหวั ขอ้ ท้งั หมด 16 หวั ขอ้ ในขณะท่ี โปรแกรมท่ีไม่ใช่วทิ ยาศาสตร์ควรมีความเขา้ ใจไดด้ ีเพยี ง 8 หวั ขอ้ คือ 1. เซต 2. การใชเ้ หตุผลเชิง คณิตศาสตร์ 3. จาํ นวนจริง 4. ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 5. ตรีโกณมิติ 6. ลาํ ดบั และอนุกรม 7. ความน่าจะเป็น และ 8. สถิติ และมีอีก 8 หวั ขอ้ ท่ีควรรวมไวใ้ นโปรแกรมวทิ ยาศาสตร์ ไดแ้ ก่ 9. เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 10. ฟังกช์ นั เลขช้ีกาํ ลงั และลอการิทึม 11. เมทริกซ์และ ดีเทอร์มิแนนต์ 12. ตรรกศาสตร์เชิงสญั ลกั ษณ์ 13. เวกเตอร์ 14. จาํ นวนเชิงซอ้ น 15. โปรแกรม เชิงเส้น และ 16. แคลคูลสั วตั ถุประสงคข์ องเอกสารน้ี คือ เป็นการใชส้ ื่อการเรียนการสอนเพ่ือเนน้ ใหน้ ิสิตนกั ศึกษา และนกั เรียนมีความเขา้ ใจคณิตศาสตร์โดยมีการคิดอยา่ งเป็นข้นั เป็นตอน โดยใหน้ ิสิตนกั ศึกษาและ นกั เรียน ควรถามตนเองวา่ “ทาํ ไม” และ “อยา่ งไร\" เนื่องจากคาํ ถามประเภทน้ีจะทาํ ใหน้ ิสิต นกั ศึกษาและนกั เรียน คน้ หาคาํ ตอบอยา่ งสมเหตุสมผล หวงั วา่ เน้ือหาในเอกสารน้ีจะเป็นประโยชนต์ ่อการเรียนการสอนคณิตศาสตร์และกิจกรรมการ เรียนรู้ของคณาจารยแ์ ละนิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียน ซ่ึงจะเป็นประโยชนต์ ่อการพฒั นาความรู้และ ทกั ษะทางคณิตศาสตร์สาํ หรับนิสิตนกั ศึกษาและนกั เรียนทุกคน และจะทาํ ใหน้ ิสิตนกั ศึกษาและ นกั เรียนทุกคนประสบความสาํ เร็จในการสอบ ศ. ดร. บรรพต สุวรรณประเสริฐ

ii เนือ้ หาการให้เหตุผลเชิงคณติ ศาสตร์ หน้า 1. ความเบอื้ งต้น …………………………….……………………….………… 1 2. รูปแบบสําหรับตรวจสอบการให้เหตุผล ……………..…………………….…. 1 ตวั อย่างทอี่ ธิบายใน Youtube ……………..…………………………………….… 3 ตวั อย่างข้อทดสอบ …………………………………………….……………….….. 6 คาํ ตอบ ……………………………………………………………….....................… 12 บรรณานุกรม ……………………………………………………………………..… 13

การให้เหตุผลเชิงคณติ ศาสตร์ 1 1. ความเบอื้ งต้น การใหเ้ หตุผลทางคณิตศาสตร์มี 2 วธิ ี ดงั น้ี (1) การให้เหตุผลเชิงอุปนัย คือขอ้ สรุปจากการคน้ หาความจริงโดยการสังเกต ซ่ึงทาํ การทดลองบางส่วนมาหลายคร้ัง แลว้ เราจะสรุปผล (Conclusion) ของส่ิงเหล่าน้นั ใหเ้ ป็นใน กรณีทวั่ ไป (General case) (2) การให้เหตุผลเชิงนิรนัย คือการใหเ้ หตุผลแบบมีเหตุผลซ่ึงเป็นวธิ ีท่ีนาํ ความรู้พ้ืนฐานท่ี ยอมรับวา่ เป็นจริง เราจะตอ้ งขอ้ ตกลงเบ้ืองตน้ ท่ีเป็นถือวา่ เป็นสมมุติฐาน กฎระเบียบ และคาํ นิยาม หรือคาํ จาํ กดั ความ ซ่ึงเรียกวา่ เหตุ (Premises) แลว้ เราจะสรุป ส่ิงเหล่าน้นั ใหเ้ ห็นวา่ ผลสรุป (Conclusion) น้นั สมเหตุผล (Valid) หรือ ไม่สมเหตุผล (Invalid) 2. รูปแบบสําหรับตรวจสอบการให้เหตุผล ประโยคคณติ ศาสตร์ รูปแบบสําหรับตรวจสอบ 1) สมาชิกทุกตวั ของเซต A ท่ีเป็นสมาชิกของเซต B ตวั อย่าง จาํ นวนเตม็ คู่ท้งั หมดเป็นจาํ นวนเตม็ 2) ไม่มีสมาชิกของเซต A ที่เป็นสมาชิกของเซต B ตวั อย่าง ไม่มีงูชนิดใดท่ีเป็นสตั วท์ ี่มีขา 3) มีสมาชิกบางตวั ของเซต A ที่เป็นสมาชิกของเซต B ตวั อย่าง มีรถบสั บางคนั ท่ีมีเครื่องปรับอากาศ 4) มีสมาชิกบางตวั ของเซต A ท่ีไม่เป็นสมาชิกของเซต B ตวั อย่าง มีรถบสั บางคนั ท่ีไม่มีเครื่องปรับอากาศ

ประโยคคณติ ศาสตร์ 2 5) มีสมาชิกของเซต A ที่เป็นสมาชิกของเซต B ตวั อย่าง หมาของผมเป็นหมาไทย รูปแบบสําหรับตรวจสอบ 6) มีสมาชิกของเซต A ท่ีไม่เป็นสมาชิกของเซต B ตวั อย่าง หมาของบุ๋มบิ๋มไม่ใช่หมาไทย.

ตวั อย่างทอี่ ธิบายใน Youtube 3 13. จงใชก้ ารใหเ้ หตุผลเชิงอุปนยั จากรูปแบบท่ีกาํ หนดใหห้ าค่าท่ีตอ้ งการ: 9 × 9 = 81, 909 × 9 = 8,181, 90,909 × 9 = 818,181, ….. แลว้ 909,090,909 × 9 = …………………… http://www.youtube.com/watch?v=hnyHe48z7jw 14. จงใชก้ ารใหเ้ หตุผลเชิงอุปนยั จากรูปแบบท่ีกาํ หนดใหห้ าค่าที่ตอ้ งการ: 1,089 × 1 = 1,089, 1,089 × 2 = 2,178, 1,089 × 3 = 3,267, 1,089 × 4 = 4,356. แลว้ 1,089 × 9 มีค่าเท่ากบั ………………. http://www.youtube.com/watch?v=AojX6-hmvYc 15. จงใชก้ ารใหเ้ หตุผลเชิงอุปนยั จากรูปแบบที่กาํ หนดใหห้ าค่าท่ีตอ้ งการ: - 5, - 3, - 1, 1, α . แลว้ α มีค่าเท่ากบั ……………. http://www.youtube.com/watch?v=ZQQq24D5BWs 16. พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี: เหตุ 1. ทุกตวั ของ A คือ B 2. ถุงพลาสติก คือ B ผล ถุงพลาสติก คือ A เมื่อใชก้ ารใหเ้ หตุผลเชิงนิรนยั จะสรุปไดว้ า่ …………………… http://www.youtube.com/watch?v=KDHsRAdsAGw

4 17. พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี: เหตุ 1. จาํ นวนธรรมชาติทุกจาํ นวนเป็นจาํ นวนเตม็ 2. จาํ นวนเตม็ บางจาํ นวนเป็นจาํ นวนเตม็ ลบ ผล มีจาํ นวนธรรมชาติบางจาํ นวนเป็นจาํ นวนลบ เมื่อใชก้ ารใหเ้ หตุผลเชิงนิรนยั จะสรุปไดว้ า่ ……………… http://www.youtube.com/watch?v=sumn_P_7j_U 18. พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี: เหตุ 1. กบทุกตวั สามารถเดินได้ 2. สตั วท์ ่ีเดินไดท้ ุกตวั สามารถบินได้ ผล กบทุกตวั สามารถบินได.้ เมื่อใชก้ ารใหเ้ หตุผลเชิงนิรนยั จะสรุปไดว้ า่ …………………….. http://www.youtube.com/watch?v=45kloBQrwlA 19. พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี: เหตุ 1. ทุกตวั ของ A คือ B 2. Mr. X คือ B ผล Mr. X คือ A เมื่อใชก้ ารใหเ้ หตุผลเชิงนิรนยั จะสรุปไดว้ า่ …………………………. http://www.youtube.com/watch?v=zgCHYQqQDps

5 20. พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี: เหตุ 1. จาํ นวนค่ีทุกจาํ นวนหารดว้ ย 3 ไดล้ งตวั 2. 15 หารดว้ ย 3 ไดล้ งตวั ผล 15 เป็นจาํ นวนคี่ เม่ือใชก้ ารใหเ้ หตุผลเชิงนิรนยั จะสรุปไดว้ า่ ……………………………. http://www.youtube.com/watch?v=FhgKbOYcixo 21. จากการหาผลบวกของ 1 + 2 + 3 + . . . + 100 เมื่อเราใชว้ ธิ ีของเกาส์ จะไดว้ า่ และไดผ้ ลบวกของ 1 + 2 + 3 + . . . + 100 มีค่าเท่ากบั ………… http://www.youtube.com/watch?v=f_tys1H2C2Y 22. จากการใชว้ ธิ ีของเกาส์ในขอ้ 21 เราจะไดส้ ูตรการหาผลบวกของ 1 + 2 + 3 + . . . + n เม่ือ n คือจาํ นวนธรรมชาติค่ี คือ …………… http://www.youtube.com/watch?v=IEyqW5_j7Xg

6 ตวั อย่างข้อทดสอบ ข้อสอบแบบเลอื กคาํ ตอบทเี่ หมาะสมสําหรับคาํ ถามแต่ละข้อต่อไปนีเ้ พยี งข้อเดยี ว 1. เหตุ 1) ผลรวมของมุมภายในของสามเหล่ียมมีค่าเท่ากบั 180o 2) ∆ ABC มีมุม A เท่ากบั 58 o ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคซ่ึงเป็นผลสรุปที่สมเหตุผล 1. ∆ ABC เป็ นสามเหล่ียมมุมแหลม 2. ∆ ABC เป็ นสามเหลี่ยมมุมป้ าน 3. ∆ ABC มีผลรวมของมุม B และมุม C ค่าเท่ากบั 62o 4. ∆ ABC มีผลรวมของมุม B และมุม C ค่าเท่ากบั 122o 2. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคซ่ึงเป็นผลสรุปที่ไม่สมเหตุผล 1. เหตุ 1) มนุษยท์ ุกคนมีขา 2) ไก่ทุกตวั เป็นมนุษย์ ผลสรุป ไก่มีขา 2. เหตุ 1) ไม่มีนกั เรียนท่ีสอบตก 2) เดก็ ชายทุกคนเป็นนกั เรียน ผลสรุป ไม่มีเดก็ ชายที่สอบตก 3. เหตุ 1) ผชู้ ายบางคนฉลาด 2) คนฉลาดบางคนเป็นคณะกรรมการ ผลสรุป ผชู้ ายบางคนเป็นคณะกรรมการ 4. เหตุ 1) ร้านขายวทิ ยทุ ุกร้านท่ีขายเคร่ืองบนั ทึกเสียง 2) ร้านขายวทิ ยบุ างร้านที่ขายขา้ วเหนียว ผลสรุป มีร้านขายวทิ ยแุ ละขายขา้ วเหนียว

3. เหตุ 1) ไม่มีคนขยนั ที่เป็นคนตกงาน 7 2) มีคนตกงานที่มีการใชจ้ ่ายเงินเป็นจาํ นวนมาก 3) มีคนขยนั ท่ีไม่มีการใชจ้ ่ายเงินเป็นจาํ นวนมาก ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคซ่ึงเป็นผลสรุปท่ีสมเหตุผล 1. คนขยนั ที่มีการใชจ้ ่ายเงินเป็นจาํ นวนมาก 2. มีคนที่มีการใชจ้ ่ายเงินเป็นจาํ นวนมาก ที่เป็นคนตกงาน 3. มีคนที่มีการใชจ้ ่ายเงินเป็นจาํ นวนมาก ท่ีเป็นคนขยนั 4. มีคนตกงานที่เป็นคนขยนั 4. จงพจิ ารณาขอ้ ความดา้ นล่างต่อไปน้ี 1) นกั กอลฟ์ เก่ง ๆ ทุกคนเป็นตนท่ีมีสายตาดี 2) นกั กอลฟ์ บางคนท่ีสามารถตีลกู กอลฟ์ ไดถ้ ึงระยะ 300 หลา ซ่ึงเป็นตน ที่มีสายตาดี 3) คุณทองชยั สามารถตีลกู กอลฟ์ ไดไ้ ม่ถึงระยะ 300 หลา ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือ รูปแบบสาํ หรับตรวจสอบการใหเ้ หตุผล 3 ประโยคดา้ นบนน้ี 1. 2. 3. 4.4.

5. กาํ หนดให้ เหตุ 1) จงั หวดั ท่ีอยไู่ กลจากกรุงเทพ ฯ ทุกจงั หวดั จะมีอากาศดี 8 //2) จงั หวดั เชียงใหม่มีอากาศไม่ดี . ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือประโยคซ่ึงเป็นผลสรุปที่สมเหตุผล 1. จงั หวดั เชียงใหม่อยไู่ ม่ไกลจากกรุงเทพ ฯ 2. จงั หวดั นราธิวาสอยไู่ ม่ไกลจากกรุงเทพ ฯ 3. จงั หวดั เชียงใหม่อยไู่ กลจากกรุงเทพ ฯ 4. จงั หวดั นราธิวาสอยไู่ กลจากกรุงเทพ ฯ 6. จากรูปแบบท่ีกาํ หนดใหด้ า้ นล่าง ดงั น้ี ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือ ค่าของท่ีเท่ากบั 2a - b + c โดยใชก้ ารใหเ้ หตุผลเชิงอุปนยั 1. 11 2. 22 3. 33 4. 44 7. ป้ อป, ดอล, ดาร์ม, อนั , และ อาร์ม เป็นทีมบาสเกตบอลของโรงเรียน ขอ้ เทจ็ จริง เกี่ยวกบั ความสูงของพวกเขามีดงั น้ี: - มีอยา่ งนอ้ ยสองคนท่ีต่าํ กวา่ อาร์ม - อนั ต่าํ กวา่ ดาร์ม. - ดอลไม่ไดต้ ่าํ ที่สุด - อนั สูงกวา่ อาร์ม ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือ การเรียงลาํ ดบั ความสูงจากต่าํ สุดไปสูงสุด 1. ป้ อป, ดอล, ดาร์ม, อนั , อาร์ม 2. อาร์ม, ป้ อป, ดอล, ดาร์ม, อนั 3. อนั , ดาร์ม, ดอล, ป้ อป, อาร์ม 4. ป้ อป, ดอล, อาร์ม, อนั , ดาร์ม

9 8. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือ /2 เทอมถดั ไปของอนุกรมขา้ งล่างน้ี 2, – 4, 8, – 16, 32, . . . 1. 64, 128 2. – 64, 128 3. – 64, – 128 4. 64, – 128 9. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือ /2 เทอมถดั ไปของอนุกรมขา้ งล่างน้ี 32, 48, 56, 60, 62, 63, . . . 1. 64, 65 2. 63, 64 3. 62, 63 4. 63.5, 63.75 10. ขอ้ ใดต่อไปน้ี คือ /2 เทอมถดั ไปของอนุกรมฟี โบนกั ชี (Fibonancci) ขา้ งล่างน้ี 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . 1. 19, 26 2. 21, 26 3. 21, 34 4. ไม่มีคาํ ตอบท่ีถูกตอ้ ง

ข้อสอบแบบแสดงวธิ ีทาํ 10 11. ถา้ มี 7 คนพบกนั และจบั มือกนั จะมีการจบั มือกนั กี่คร้ัง จงใชก้ ระบวนการการให้ เหตุผลเชิงอุปนยั เพือ่ เขียนสูตรสาํ หรับจาํ นวนการจบั มือกนั เมื่อมีจาํ นวน n คน วธิ ีทาํ 12. จงตรวจสอบวา่ ผลสรุปที่ไดจ้ ากเหตุต่อไปน้ีวา่ สมเหตุผล หรือ ไม่สมเหตุผล เหตุ 1) สุนขั บางตวั มีขนยาว 2) เฮดล่ียค์ ือสุนขั ของฉนั ผลสรุป เฮดลี่ยค์ ือสุนขั ขนยาว วธิ ีทาํ 13. จงตรวจสอบวา่ ผลสรุปที่ไดจ้ ากเหตุต่อไปน้ีวา่ สมเหตุผล หรือ ไม่สมเหตุผล เหตุ 1) มา้ ทุกตวั มี 4 ขา 2) ไม่มีสตั ว์ 4 ขา ที่บินได้ ผลสรุป ไม่มีมา้ ที่บินได้ วธิ ีทาํ

14. จงตรวจสอบวา่ ผลสรุปท่ีไดจ้ ากเหตุต่อไปน้ีวา่ สมเหตุผล หรือ ไม่สมเหตุผล 11 เหตุ 1) จาํ นวนนบั ทุกจาํ นวนเป็นจาํ นวนเตม็ 2) จาํ นวนเตม็ บางจาํ นวนเป็นจาํ นวนลบ ผลสรุป มีจาํ นวนเตม็ นบั ลบอยบู่ างจาํ นวน วธิ ีทาํ 15. ใหเ้ ขียนขอ้ สรุปผลที่สมเหตุผล ถา้ เป็นไปไม่ไดใ้ หเ้ ขียนขอ้ สรุปผลท่ีไม่สมเหตุผล จากการกาํ หนดเหคุใหด้ งั ต่อไปน้ี “ถา้ คุณอาศยั อยทู่ ่ีเมืองพรอวเิ ดนซ์ แลว้ คุณจะอาศยั อยทู่ ่ีรัฐโรดไอส์แลนด์ ถา้ คุณอาศยั อยใู่ นรัฐโรดไอส์แลนด์ แลว้ คุณจะอาศยั อยใู่ นรัฐที่เลก็ ท่ีสุดของ สหรัฐอเมริกา ชานนทอ์ าศยั อยใู่ นเมืองพรอวเิ ดนซ์” วธิ ีทาํ 16. ใหเ้ ขียนขอ้ สรุปผลท่ีสมเหตุผล ถา้ เป็นไปไม่ไดใ้ หเ้ ขียนขอ้ สรุปผลท่ีไม่สมเหตุผล จากการกาํ หนดเหคุใหด้ งั ต่อไปน้ี “ถา้ ฝนไม่ตก แลว้ จะมีการรวมทีมเพือ่ ฝึกซอ้ ม ถา้ มีการรวมทีมเพอื่ ฝึกซอ้ ม แลว้ สมาชิกในทีมจะอุ่นเครื่องโดยวิง่ เหยาะๆสองไมล์ ฝนไม่ตกในวนั องั คาร” วธิ ีทาํ

คาํ ตอบ (การให้เหตุผลเชิงคณติ ศสตร์ : หน้า 6) 12 1. 4 2. 3 3. 2 4. 4 5. 1 6. 4 7. 4 8. 2 9. 4 10. 3 11. 720, (n – 1)! 12. ไม่สมเหตุผล 13. สมเหตุผล 14. ไม่สมเหตุผล 15. ชานนทอ์ าศยั อยใู่ นรัฐที่เลก็ ท่ีสุดของ สหรัฐอเมริกา 16. สมาชิกในทีมจะอุน่ เคร่ืองโดยวิง่ เหยาะๆสองไมล์

บรรณานุกรม 13 Arshavsky, N. et al. (2000). Impact Mathematics: Algebra and More for the Middle Grades. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Bass, L. E. et al. (2004). Prentice Hall Mathematics: Geometry. New Jersey: Prentice Hall. Bluman, A. G. (2004). Elementary Statistics: A Step by Step Approach. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Clements, D. H. et al. (2002). Mathematics. New York: McGraw-Hill School Division. Emanuel, R. et al. (2002 a). Pure Mathematics 1. England: Pearson Education Limited. Emanuel, R. et al. (2002 b). Pure Mathematics 2. England: Pearson Education Limited. Epp, S. S. (2004). Discrete Mathematics with Applications. California: Books/Cole-Thomson Learning Finney, R. L. et al. (2007). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic. New York: Pearson Prentice Hall. Gerver, R. et al. (1998). Geometry: An Integrated Approach. Illinois: National Textbook Company. Haffmann. L. D. et al. (2005). Applied Calculus for Business, Economics, and Social and Life Science. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Hungerford, T. W. et al. (2002). Precalculus: A Graphing Approach. New York: Holt, Rinehart and Winston. Payne, V. et al. (2002). Precalculus: A Graphing Approach. New York: Holt, Rinehart and Winston. Schultz, J. E. et al. (2004 a). Algebra 1. New York: Holt, Rinehart and Winston. Schultz, J. E. et al. (2004 b). Algebra 2. New York: Holt, Rinehart and Winston. Senk, S. L. et al. (1998). Functions, Statistics, and Trigonometry. California: Addition Wesley Longman Inc.

Educations Sri Nakharinwirot University, Prasarnmitr, Thailand 1967 B.Ed. Mathematics 1971 M.Ed. Mathematics Vanderbilt University, Peabody College, USA 1992 Ed.D. Curriculum and Supervision, Mathematics Concentration Academic and Administrative Experience 006 – 2016 Lecturer in Mathematics, Asian University 2003 – 2004 Adviser to the President, Naresuan University 2001 – 2003 Vice-President for Research, Naresuan University 1996 – present Full Professor in Mathematics Education, Naresuan University 1998 – 2003 Part Time Lecturer in Mathematics, Mae Fah Luang University 1992 – 1996 Associate Professor in Mathematics, Naresuan University 1977 – 1992 Assistance Professor in Mathematics, Naresuan University 1971 – 1977 Lecturer in Mathematics, Naresuan University