ตัวอย่างข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ระดับชั้นมัธยมศึกษาตตอนปลาย

รวมข้อสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ เข้าห้อง Gifted ระดบั ช้ันมธั ยมศึกษาตอนปลาย 1. ให้ p และ q เป็นประพจน์ ถา้ p * q เป็นพจนท์ ี่มีคา่ ความจริงตามตารางขา้ งล่างน้ี p q p*q TT F TF F FT F FF T แลว้ ประพจน์ p * q สมมูลกบั ประพจน์ในขอ้ ใดต่อไปน้ี ก. ~ (~p  q) ข. ~p  q ค. ~(q  ~p) ง. q  ~p จ. ~p  ~q 2. กาหนดเอกภพสัมพทั ธ์ U = {1, -1, i, -i} โดยที่ i = 1 ขอ้ ใดมีค่าความจริงเป็ นเทจ็ ก. z [z2 = 1] ข. z [z36 = 1] ค. z 1  z  2 ง. z [z3 – z = 0] จ. z [z2 = 0] 3. ให้ A = {1, a, 2, b, 3, c} , B = {1, 2} จานวนสับเซต S ของ A ซ่ึง S  B   เท่ากบั ค่าในขอ้ ใดต่อไปน้ี ก. 54 ข. 48 ค. 24 ง. 16 จ. 6

4. กาหนดให้ f (x) = 1 3x3 1 2 g (x) = 3  x g h (x) =  x2  5x  6 h ถา้ U = แลว้ Rf  Du เป็นสบั เซตของเซตในขอ้ ใดดงั ต่อไปน้ี ก. (-4, 1) ข. (-1, 5) ค. (2, 7) ง. (4, 8) จ. (0, 8) 5. กาหนดฟังกช์ นั f และ g จากเซตของจานวนจริง R ไปยงั R โดย f (x) = 1 + x 1 g (x) = f(x) (gof)(x) มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1 1 x ก. 1 + x ข. 2 + x ค. ง. -2 + x จ. 1 2 x 6. กาหนดให้ a และ b เป็นจานวนจริงลบท้งั คู่ ถา้ a < x < b แลว้ ขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็นจริง 1 1 ก.  x  + a > 0 ข.  x  + b < 0 ค. x < b ง. 1 < 1 จ. 1 > 1 x a x a 7. กาหนดให้ p คือประพจน์ “ถา้ a, b และ c เป็นจานวน ab < ac แลว้ b < c” และ q คือประพจน์ “ถา้ x และ y เป็นจานวนอตรรยะ แลว้ x + y เป็นจานวนอตรรกยะ” ประพจน์ใดต่อไปน้ีมีความจริ งเป็ นจริ ง ก. p  ~q ข. p  q ค. ~p  ~q ง. ~p  q จ. p  ~q

8. สบั เซตของจานวนเชิงซ้อนในขอ้ ใดต่อไปน้ีท่ีสมาชิกทุกตวั มีอินเวอร์สมการคูณอยใู่ นเซตน้นั ก. {1, 1 – i, 1 + i} ข.{-1, 1 – i, 1 + i} ค. 1, 1i, 1 1 i   1 ง. 1, cos 1 i sin 1, cos 1- i sin 1 จ. 1, cos 1 i sin 1, cos 1  i sin 1 9. ถา้ F เป็นจุดโฟกสั ของไฮเพอร์โบลา 6x2 – 10y2 – 12x – 40y – 94 = 0 อยใู่ นควอดแรนทท์ ี่ส่ี แลว้ สมการของพาราโบลาที่มีจุดยอดท่ี F และมีแกนสังยคุ ของไฮเพอร์โบลาเป็ นเส้นไดเรกตริกซ์ คือสมการในขอ้ ใดต่อไปน้ี ก. y2 + 4y - 4x = 0 ข. y2 + 4y - 4x + 24 = 0 ค. y2 + 4y - 16x - 44 = 0 ง. y2 + 4y - 16x + 84 = 0 จ. y2 + 4y = 0 10. พาราโบลารูปหน่ึง จุดโฟกสั อยทู่ ่ี (5, -1) จุดยอดอยบู่ นเส้นตรง y= x เส้นไดเรกตริกซ์ 2 ขนานกบั แกน x สมการของเส้นไดเรกตริกซืของพาราโบลารูปน้ีคือสมการในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 7 5 ก. y = 7 ข. y 2 ค. y = 2 ง. y = 4 จ. y = 6 11. ให้ a, b เป็นค่าคงท่ี และ f (x) = a sin x + bx cos x + x2 สาหรับทุกค่า x  R ถา้ f (x) = 3 แลว้ f (-2) เท่ากบั ค่าในขอ้ ใดต่อไปน้ี ก. 5 ข. 3 ค. 1 ง. -1 จ. -3 12. คา่ ของ sin  arctan 3  + cos  2 arcsin 3  เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี  2 4  5    1 6 1 6 1 7 ก. 10  25 ข. 3  25 ค. 10  25 ง. 1  7 จ. 1  7 3 25 5 25

13. สุดายนื อยทู่ างทิศตะวนั ออกของตึกหลงั หน่ึง มองเห็นยอดตึกเป็นมุมเงย 45 จากจุดน้ีสุดา เดินไปทางทิศใตเ้ ป็นระยะ 100 เมตร จะมองเห็นยอดตึก (ที่ตาแหน่งเดิม) เป็นมุมเงย 30 ความสูงของตึกเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 100 3 ก. 100 ข. 50 2 ค. 50 3 ง. จ. 50 14. ฟังกช์ นั ท่ีนิยามในขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็นฟังกช์ นั ลด 1  x 2 ก. f(x) = (sin 45) – x ข. g (x) = (log7) x ค. h(x) =   ง. r (x) = x จ. t (x) = (log1) x 15. ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตอนุกรมหน่ึงเท่ากบั 430 ถา้ พจนท์ ี่ 10 ของอนุกรมน้ี คือ 79 แลว้ ผลบวก 3 พจน์แรกมีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี ก. 40 ข. 42 ค. 43 ง. 45 จ. 47 16. นาย ก. ข. และ ค. จะข้ึนลิฟทซ์ ่ึงมีท้งั หมด 3 ตวั จานวนวธิ ีที่นาย ก. และ ข. ข้ึนดว้ ยกนั แตน่ าย ค. ข้ึนคนเดียวมีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี ก. 6 ข. 7 ค. 8 ง. 9 จ. 10 17. กาหนดใหเ้ ซต A มีสมาชิก 4 ตวั และเซต B มีสมาชิก 5 ตวั ถา้ สร้างฟังกช์ นั จาก A ไป B แลว้ ความน่าจะเป็ นท่ีจะไดฟ้ ังกช์ นั 1 – 1 มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 24 120 ก. 625 ข. 60 ค. 625 625 24 120 ง. 196 จ. 196

18. เลือกจานวนเตม็ ซ่ึงหารดว้ ย 3 ลงตวั มาหน่ึงจานวนใหม้ ีค่าอยใู่ นระหวา่ ง 10 ถึง 200 ความน่าจะเป็นที่จานวนที่เลือกมาน้ีจะหารดว้ ย 7 ลงตวั เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี3 1 2 7 ก. 7 ข. 7 ค. ง. 4 จ. 5 7 7 75 4 19. กาหนดใหฟ้ ังกช์ นั f(x) = 3x 3 12x 3  24x 3 ค่าของ lim f (x  h)  f (x) เม่ือ x=8 x2 h h0 เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 3 จ. 4 20. นกั เรียนหอ้ งหน่ึงมี 40 คน เป็ นชายและหญิงจานวนเทา่ กนั ในการสอบวชิ าหน่ึงคะแนนของกลุ่ม นกั เรียนชายและกลุ่มนกั เรียนหญิงมีคา่ เฉล่ียเท่ากนั แตม่ ีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็ น 4 และ 3 ตามลาดบั ถา้ คะแนนของแต่ละกลุ่มมีการแจกแจกปกติ และให้ x1 , x2 , x3 แทนคะแนนที่เป็ นตาแหน่งเปอร์เซน ไทล์ท่ี 95 ของคะแนนของนกั เรียนท้งั ห้อง ของกลุ่มนกั เรียนชาย และของกลุ่มนกั เรียนหญิง ตามลาดบั แลว้ ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูก ก. x1 < x2 < x3 ข. x1 < x3 < x2 ค. x2 < x3 < x1 ง. x3 < x1 < x2 จ. x3 < x2 < x1

เฉลยข้อสอบ 1. ตอบข้อ ก p q ~p ~p  q ~(~p  q) q  ~p ~(q  ~p) TTF T F F T TFF T F T F FTT T F T F FFT F T T F  p * q  ~ (~p  q)  ~(p  q) 2. ตอบข้อ ง 1. z [z2 = 1] มีค่าความจริงเป็นจริง (เม่ือแทน z ดว้ ย 1, -1) มีคา่ ความจริงเป็นจริง (เมื่อแทน z ดว้ ย i – i , 1, -1) 2. z [z36 = 1] มีค่าความจริงเป็นจริง (เมื่อแทน z ดว้ ย 1, i) 3. z 1  z  2 มีค่าความจริงเป็นเทจ็ (เม่ือแทน z ดว้ ย i) 4. z [z3 – z = 0] 3. ตอบข้อ ข  A มีสมาชิก 6 สมาชิก สับเซตท้งั หมดของเซต A มี 26 = 64 เซต แต่ S  A และ S  B    S  {a, b, c, 3} ซ่ึงสับเซตของ {a, b, c, 3} มีเท่ากบั 24 = 16 เซต  จานวนสบั เซต S ของ A ซ่ึง S  B   เทา่ กบั 64 – 16 = 48

4. ตอบข้อ ข  f(x) = 1 3x2 1 2  3x2  0 ทุก ๆ x  R 3x2 + 1  1 3x2 1  1 2 1 1  2 3x2 1  2  Rf =  1 ,   2 g (x) = 3 x  3 – x  0 หรือ x  3  Dg =  ,3 h (x) =  x2  5x  6  - x2 + 5x + 6  0 x2 – 5x – 6  0 (x + 1) (x – 6)  0 -1  x  6 Dh = [-1, 6] แต่ h(x) = 0 เม่ือ  x2  5x  6 = 0 - x2 + 5x + 6 = 0 x2 – 5x – 6 = 0 (x + 1) (x – 6) = 0  Du = (Du  Dh) - {xh(x) = 0} = ((-, 3]  [-1, 6]) – {-1, 6} = (-, 3]  (-1, 6) = (-1, 3]  Rf  Du =  1 ,   (-1, 3] =  1 ,3  2  2  1 ,3  (-1, 5)  2

5. ตอบข้อ จ  f (x) = 1 + x, g (x) = 1 f(x)  (gof) (x) = g (f(x)) = g (1 + x) = 1 = 1 f (1 x ) 1 1x 1 1 = 1 (1 x ) = 2 x 6. ตอบข้อ ค  a<x<b  b<x<a  1 < 1 < 1 a x b 7. ตอบข้อ ค  p มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ 1. p ~q 2. p q FF FT F F 4. ~p q TF 3. ~p ~q F TT T 8. ตอบข้อ ง

9.ตอบข้อ ง  6x2 – 10y2 – 12x – 40y – 94 = 0 (6x2 – 12x) – (10y2 + 40y) = 94 6 (x2 – 2x) – 10 (y2 – 4y) = 94 6 (x2 – 2x + 1) – 10 (y2 + 4y + 4) = 94 + 6 – 40 6 (x – 1)2 – 10 (y + 2)2 = 60 (x 1)2  (y  2)2 =1 10 6 ไฮเพอร์โบลาน้ีมีแกนตามขวางขนานกบั แกน x คือเส้นตรง y = -2 จุดศูนยก์ ลางอยทู่ ี่ (1, -2) และ a2 = 10, b2 = 6  c2 = a2 + b2 = 16  c = 4  F (1 – 4, - 2) และ F (1 + 4, - 2)  F (5, - 2) และมีแกนสังยคุ คือ เส้นตรง x = 1  พาราโบลาน้ี คือ (y + 2)2 = 4c (x – 5) (y + 2)2 = 4  4 (x – 5) y2 + 4y + 4 = 16x – 80 y2 + 4y – 16x + 84 = 0 10. ตอบข้อ จ  ไดเรกตริกซ์ขนานกบั แกน x  แกนพาราโบลาขนานกบั แกน y จุดโฟกสั อยทู่ ่ี (5, -1)  แกนพาราโบลา คือ เส้นตรง x = 5  จุดยอดอยทู่ ี่ x = 5, y = 5 = 2.5 2 จุดยอดอยทู่ ี่ (5, 2.5)  ระยะระหวา่ งจุดยอด และโฟกสั เท่ากบั 3.5 หน่วย  ระยะไดเรคตริกซ์กบั จุดยอด เทา่ กบั 3.5  สมการไดเรคตริกซ์ คือ y = 6

11. ตอบข้อ ก  f (x) = a sin x + bx cos x + x2 f (2) = a sin 2 + 2b cos2 + 4 3 = a sin 2 + 2b cos2 + 4  a sin 2 + 2b cos 2 = -1 และ f ( -2) = a sin (-2) – 2b cos (-2) + 4 = -a sin 2 – 2b cos 2 + 4 = - (a sin2 + 2b sin 2) + 4 = - (-1) + 4 = 5 12. ตอบข้อ ค ให้ arctan 3 =A  4 3 tan A = 4 sin A = 3 5 3  A = arcsin 5 cos A = 4 5 3  sin  arctan 4  + cos  2arcsin 3  = sin A + cos 2 A  2  5 2    1 cos A =  2  (2 cos2 A 1) = 1  4  2 16  1 2 5 25  = 1   32 1 = 1  7 10 25 10 25

13. ตอบข้อ ข ให้ AB เป็นความสูงของตึก = x เมตร P, Q เป็นตาแหน่งของผสู้ ังเกต PQ = 100 เมตร PAB : PB = x cot 45 = x QAB : QB = x cot 30 = x 3 PQB : QB2 = PB2 + PQ2 3x 2 = x2 + (100)2 2x 2 = (100)2 x 2 = 100  50 x = 100  2  25 = 50 2 ความสูงของตึก = 50 2 เมตร 14. ตอบข้อ ข ฟังกช์ นั ท่ีนิยามในขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็นฟังกช์ นั ลด 1. f (x) = (sin 45)-x =  sin 1 x 45 1 เป็นฟังกช์ นั เพ่ิม  0 < sin 45 < 1  sin 45 >1 2. g (x) = (log 7)x เป็นฟังกช์ นั ลด  0 < log 7 < 1 3. h (x) =  1 x = 2z เป็นฟังกช์ นั เพ่มิ  2 > 1 2 4. r (x) = x เป็นฟังกช์ นั เพ่มิ   > 1

15. ตอบข้อ ง  Sn = n (2a1 + (n – 1) d ) 2 10  S10 = 2 (2a1 + 9d) = 10a1 + 45d  10a1 + 45d = 430 2a1 + 9d = 86 -------------------- -------------------- an = a1 + (n – 1) d a10 = a1 + 9d  a1 + 9d = 79  –  ได้ a1 = 7 แทนใน  ได้ 7 + 9ก = 79 9d = 72 d =8  a1 7, a2 = 15, a3 = 23  a1 + a2 + a3 = 7 + 15 + 23 = 45 16. ตอบข้อ ก จานวนวธิ ีที่ ก และ ข ข้ึนดว้ ยกนั = 3  1 = 3 วธิ ี และจานวนวธิ ีที่ ค ข้ึน = 2 วธิ ี  จานวนวธิ ีท้งั หมด = 3  2 = 6 วธิ ี 17. ตอบข้อ ค n(A) = 4 n(B) = 5 จานวนฟังกช์ นั จาก A ไป B = 5  5  5  5 = 54 = 625 ฟังกช์ นั จานวนฟังกช์ นั 1 – 1 จาก A ไป B = 5  4  3  2 = 120 ฟังกช์ นั  n(S) = 625 n(E) = 120 120  P(E) = 625 n(E) = n(S) สูตรลดั 1. จานวนฟังกช์ นั จาก A ไป B = n(B)n (A) 2. จานวนฟังกช์ นั ชนิด 1 – 1 จาก A ไป B = n (B) Pn (A)

18. ตอบข้อ ก S = {12, 15, 18,..., 198}  an = a1 + (n – 1) d 198 = 12 + (n – 1) (3) 198 = 12 + 3n – 3 198 = 9 + 3n n = 63  n(S) = 63 E = {21, 42, 63, 84, 105, 126, 147, 168, 189} n(E) = 9 9 1 63 7  P(E) = n(E) = = n(S) 19. ตอบข้อ ข  lim f (x  h)  f (x) = f  (x) h h0 ดงั น้นั คาถามจึงตอ้ งการใหเ้ ราหา f (8) = ? 75 4  f (x) = 3x 2 12x 3  24x 3 x2 1 13 23 f (x) = 3x 3 12x  24x  f (x) = x23  4x43 16x53  f (8) = 823  4 8 4  16853 3      = 23 23  4 23 43 16 23 35 = 2-2 + 4  2-4 + 16  2-5 1 4 16 = 4  16  32 = 1  1  1 = 1 4 4 2

20. ตอบข้อ ง  Sรวม = 20(4) 2  20(3)2 40 2016 209 = 40 = 320 180 40 500 50 = 40 = 40 = 5 2 = 3.535 2  คา่ Z และ X X1  X Z = 3.535 3.535Z = X1 - X  X1 = 3.535Z + X และ Z X2 X = 4 4Z = X2 - X  X2 = 4Z + X X3 X และ Z = 3 3Z = X3 - X  X3 = 3Z - X  X3 < X1 < X2