1300mathformulas

Chapter 8 Differential Calculus = = = = cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=óI=ìI=î= ^êÖìãÉåí=EáåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉFW=ñ= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=ÅI=Ç= k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å= ^åÖäÉW= α = fåîÉêëÉ=ÑìåÅíáçåW= Ñ −N = = = 8.1 Functions and Their Graphs = 723. bîÉå=cìåÅíáçå= Ñ(− ñ) = Ñ (ñ)= = 724. lÇÇ=cìåÅíáçå= Ñ (− ñ) = −Ñ (ñ)= = 725. mÉêáçÇáÅ=cìåÅíáçå= Ñ (ñ + åq) = Ñ (ñ)= = 726. fåîÉêëÉ=cìåÅíáçå= ó = Ñ (ñ)=áë=~åó=ÑìåÅíáçåI= ñ = Ö(ó)=çê= ó = Ñ −N(ñ)=áë=áíë=áåîÉêëÉ= ÑìåÅíáçåK== = 191

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS ===== = = Figure 152. = 727. `çãéçëáíÉ=cìåÅíáçå= ó = Ñ (ì)I= ì = Ö(ñ)I= ó = Ñ (Ö(ñ))=áë=~=ÅçãéçëáíÉ=ÑìåÅíáçåK= = 728. iáåÉ~ê=cìåÅíáçå= ó = ~ñ + Ä I== ñ ∈o I== ~ = í~å α ==áë=íÜÉ=ëäçéÉ=çÑ=íÜÉ=äáåÉI==Ä==áë= íÜÉ=ó-áåíÉêÅÉéíK= = 192

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS ====== = = Figure 153. = 729. nì~Çê~íáÅ=cìåÅíáçå== ó = ñO I= ñ ∈o K= = ====== = = = Figure 154. 193

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS 730. ó = ~ñO + Äñ + Å I= ñ ∈o K= = === = = Figure 155. = 731. `ìÄáÅ=cìåÅíáçå== ó = ñP I= ñ ∈o K= = 194

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS = = = Figure 156. = 732. ó = ~ñP + ÄñO + Åñ + Ç I= ñ ∈o K= = 195

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS == = = Figure 157. = 733. mçïÉê=cìåÅíáçå== ó = ñå I= å∈ k K= = 196

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS ====== Figure 158. = = Figure 159. = = 197

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS 734. pèì~êÉ=oççí=cìåÅíáçå== ó = ñ I= ñ ∈[MI ∞) K= = ======= = Figure 160. = 735. bñéçåÉåíá~ä=cìåÅíáçåë= ó = ~ñ I= ~ > M I= ~ ≠ NI= ó = Éñ =áÑ= ~ = É I= É = OKTNUOUNUOUQSK = = = = = Figure 161. 198

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS 736. içÖ~êáíÜãáÅ=cìåÅíáçåë= ó = äçÖ~ ñ I= ñ ∈(MI ∞)I= ~ > M I= ~ ≠ NI= ó = äå ñ =áÑ= ~ = É I= ñ > M K= = = = Figure 162. = 737. eóéÉêÄçäáÅ=páåÉ=cìåÅíáçå== ó = ëáåÜ ñ I= ëáåÜ ñ = Éñ − É−ñ I= ñ ∈o K= O = 199

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS ==== = = Figure 163. = 738. eóéÉêÄçäáÅ=`çëáåÉ=cìåÅíáçå== ó = Åçë Ü ñ I= Åçë Ü ñ = Éñ + É−ñ I= ñ ∈o K= O ====== = = Figure 164. 200

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS 739. eóéÉêÄçäáÅ=q~åÖÉåí=cìåÅíáçå== ó = í~åÜ ñ I= ó = í~åÜ ñ = ëáåÜ ñ = Éñ − É−ñ I= ñ∈o K= ÅçëÜ ñ Éñ + É−ñ = ====== = = Figure 165. = 740. eóéÉêÄçäáÅ=`çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå== ó = Åçí Ü ñ I= ó = Åçí Ü ñ = ÅçëÜ ñ = Éñ + É−ñ I= ñ ∈o I= ñ ≠ M K= ëáåÜ ñ Éñ − É−ñ = 201

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS ====== = = Figure 166. = 741. eóéÉêÄçäáÅ=pÉÅ~åí=cìåÅíáçå== ó = ëÉÅ Ü ñ I= ó = ëÉÅ Ü ñ = N ñ = Éñ O I= ñ∈o K= ÅçëÜ + É−ñ Figure 167. = 202

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS 742. eóéÉêÄçäáÅ=`çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå== ó = ÅëÅÜ ñ I= ó = ÅëÅÜ ñ = N ñ = Éñ O I= ñ ∈o I= ñ ≠ M K= ëáåÜ − É−ñ = ====== = = Figure 168. = 743. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=páåÉ=cìåÅíáçå== ó = ~êÅëáåÜ ñ I= ñ ∈o K= = 203

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS ===== = = Figure 169. = 744. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=`çëáåÉ=cìåÅíáçå== ó = ~êÅÅçëÜ ñ I= ñ ∈[NI ∞)K= = ===== = = Figure 170. = 745. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=q~åÖÉåí=cìåÅíáçå== ó = ~êÅí~åÜ ñ I= ñ ∈(−NI N) K= = 204

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS ===== = = Figure 171. = 746. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=`çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå== ó = ~êÅÅçíÜ ñ I= ñ ∈(− ∞I−N)∪ (NI ∞)K== = 205

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS ===== = = Figure 172. = 747. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=pÉÅ~åí=cìåÅíáçå== ó = ~êÅëÉÅÜ ñ I= ñ ∈(MIN]K= = 206

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS Figure 173. = = 748. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=`çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå== ó = ~êÅÅëÅÜ ñ I= ñ ∈o I= ñ ≠ M K== Figure 174. = = 207

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS 8.2 Limits of Functions = cìåÅíáçåëW= Ñ (ñ)I= Ö(ñ)= ^êÖìãÉåíW=ñ= oÉ~ä=Åçåëí~åíëW=~I=â= = = 749. äáã[Ñ (ñ)+ Ö(ñ)]= äáãÑ (ñ)+ äáãÖ(ñ) = ñ→~ ñ→~ ñ→~ = 750. äáã[Ñ (ñ)− Ö(ñ)]= äáãÑ (ñ)− äáãÖ(ñ)= ñ→~ ñ→~ ñ→~ = 751. äáã[Ñ (ñ)⋅ Ö(ñ)]= äáãÑ (ñ)⋅ äáãÖ(ñ) = ñ→~ ñ→~ ñ→~ = äáãÑ (ñ) 752. äáã Ñ (ñ ) = ñ→~ I=áÑ= äáã Ö(ñ) ≠ M K= Ö(ñ ) ñ→~ äáã Ö(ñ ) ñ→~ ñ→~ = 753. äáã[âÑ (ñ)]= â äáãÑ (ñ)= ñ→~ ñ→~ = ( )754. äáãÑ(Ö(ñ)) = Ñ äáãÖ(ñ) = ñ→~ ñ→~ = 755. äáã Ñ (ñ) = Ñ (~)I=áÑ=íÜÉ=ÑìåÅíáçå= Ñ (ñ)=áë=Åçåíáåìçìë=~í= ñ = ~ K= ñ→~ = 756. äáã ëáå ñ = N= ñ→M ñ = 757. äáã í~å ñ = N = ñ→M ñ = 758. äáã ëáå−N ñ = N= ñ→M ñ 208

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS 759. äáã í~å−N ñ = N= ñ→M ñ = 760. äáã äå(N+ ñ) = N= ñ→M ñ = 761. äáã N + N ñ = É = ñ→∞ ñ  = 762. äáã N + â ñ = Éâ = ñ→∞ ñ  = 763. äáã ~ñ = N= ñ→M = = = 8.3 Definition and Properties of the Derivative = cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=óI=ìI=î= fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ= oÉ~ä=Åçåëí~åíW=â= ^åÖäÉW= α = = = 764. ó′(ñ) = äáã Ñ (ñ + ∆ñ)− Ñ (ñ) = äáã ∆ó = Çó == ∆ñ →M ∆ñ ∆ñ→M ∆ñ Çñ = 209

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS == = = Figure 175. = 765. Çó = í~å α == Çñ = 766. Ç(ì + î) = Çì + Çî = Çñ Çñ Çñ = 767. Ç(ì − î) = Çì − Çî = Çñ Çñ Çñ = 768. Ç(âì) = â Çì = Çñ Çñ = 769. mêçÇìÅí=oìäÉ= Ç(ì ⋅ î) = Çì ⋅ î + ì ⋅ Çî == Çñ Çñ Çñ = = 210

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS 770. nìçíáÉåí=oìäÉ= Ç  ì  Çì ⋅ î − ì ⋅ Çî Çñ  î  Çñ Çñ = îO = = 771. `Ü~áå=oìäÉ= ó = Ñ (Ö(ñ))I= ì = Ö(ñ)I== Çó = Çó ⋅ Çì K= Çñ Çì Çñ = 772. aÉêáî~íáîÉ=çÑ=fåîÉêëÉ=cìåÅíáçå= Çó = N I== Çñ Çñ Çó ïÜÉêÉ= ñ(ó)áë=íÜÉ=áåîÉêëÉ=ÑìåÅíáçå=çÑ= ó(ñ)K== = 773. oÉÅáéêçÅ~ä=oìäÉ= Çó Ç  N  = − Çñ = Çñ ó óO = 774. içÖ~êáíÜãáÅ=aáÑÑÉêÉåíá~íáçå= ó = Ñ (ñ)I= äå ó = äåÑ (ñ)I== Çó = Ñ (ñ)⋅ Ç [äåÑ (ñ)]K= Çñ Çñ = = 8.4 Table of Derivatives = fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ= oÉ~ä=Åçåëí~åíëW=`I=~I=ÄI=Å= k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å= 211

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS 775. Ç (`) = M = Çñ = 776. Ç (ñ ) = N= Çñ = 777. Ç (~ñ + Ä) = ~ = Çñ = ( )778. Ç ~ñO + Äñ + Å = ~ñ + Ä = Çñ = ( )779. Ç ñå = åñå−N = Çñ = ( )780. Ç ñ −å = − å = Çñ ñ å+N = 781. Ç  N  = − N = Çñ  ñ  ñO = ( )782. Ç ñ = N = Çñ O ñ = ( )783. Ç å ñ = N = Çñ å å ñ å−N = 784. Ç (äå ñ) = N = Çñ ñ = 785. Ç (äçÖ~ ñ) = ñ N I= ~ > M I= ~ ≠ N K= Çñ äå ~ = 212

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS ( )786. Ç ~ñ = ~ñ äå~ I= ~ > M I= ~ ≠ NK= Çñ = ( )787. Ç Éñ = Éñ = Çñ = 788. Ç (ëáå ñ ) = Åçë ñ = Çñ = 789. Ç (Åçë ñ ) = − ëáå ñ = Çñ = 790. Ç (í~å ñ) = N ñ = ëÉÅO ñ = Çñ ÅçëO = 791. Ç (Åçí ñ)= − N ñ = − ÅëÅO ñ = Çñ ëáåO = 792. Ç (ëÉÅ ñ) = í~å ñ ⋅ ëÉÅ ñ = Çñ = 793. Ç (ÅëÅ ñ) = − Åçí ñ ⋅ ÅëÅ ñ = Çñ = 794. Ç (~êÅëáå ñ) = N = Çñ N− ñO = 795. Ç (~êÅÅçë ñ) = − N = Çñ N− ñO = 796. Ç (~êÅí~å ñ) = N = Çñ N+ ñO = 213

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS 797. Ç (~êÅÅçí ñ) = − N N O = Çñ +ñ = 798. Ç (~êÅëÉÅ ñ) = N = Çñ ñ ñO −N = 799. Ç (~êÅÅëÅ ñ) = − N = Çñ ñ ñO −N = 800. Ç (ëáåÜ ñ ) = ÅçëÜ ñ = Çñ = 801. Ç (ÅçëÜ ñ ) = ëáåÜ ñ = Çñ = 802. Ç (í~åÜ ñ) = N ñ = ëÉÅÜOñ = Çñ ÅçëÜO = 803. Ç (ÅçíÜ ñ) = − N ñ = −ÅëÅÜOñ = Çñ ëáåÜO = 804. Ç (ëÉÅÜ ñ ) = −ëÉÅÜ ñ ⋅ í~åÜ ñ = Çñ = 805. Ç (ÅëÅÜ ñ) = −ÅëÅÜ ñ ⋅ ÅçíÜ ñ = Çñ = 806. Ç (~êÅëáåÜ=ñ) = N = Çñ ñO + N = 807. Ç (~êÅÅçëÜ=ñ) = N = Çñ ñ O − N 214

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS 808. Ç (~êÅí~åÜ=ñ) = N I= ñ < N K= Çñ N− ñO = 809. Ç (~êÅÅçíÜ=ñ) = − ñ N N I= ñ > NK= Çñ O− = ( )810. Ç ìî = îìî−N ⋅ Çì + ìî äåì ⋅ Çî = Çñ Çñ Çñ = = = 8.5 Higher Order Derivatives = cìåÅíáçåëW=ÑI=óI=ìI=î= fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ= k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å= = = 811. pÉÅçåÇ=ÇÉêáî~íáîÉ= Ñ ′′ = (Ñ ′) ′=  Çó  ′= Ç  Çó  = ÇOó =  Çñ  Çñ  Çñ  Çñ O = 812. eáÖÜÉê-lêÇÉê=ÇÉêáî~íáîÉ= ( )Ñ (å) Çåó ′= = Çñ å = ó (å) = Ñ (å−N) = 813. (ì + î)(å) = ì(å) + î(å) = = 814. (ì − î)(å) = ì(å) − î(å) = = 815. iÉáÄåáíò∞ë=cçêãìä~ë= (ìî)′′ = ì′′î + Oì′î′ + ìî′′ = 215

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS (ìî)′′′ = ì′′′î + Pì′′î′ + Pì′î′′ + ìî′′′ = (ìî )(å ) = ì(å)î + åì (å −N) î ′ + å(å − N) ì (å−O) î ′′ + K + ìî (å) = N⋅ O = ( )816. ñã (å) = ã> ñ ã−å = (ã − å)> = ( )817. ñå (å) = å> = = 818. (äçÖ~ ñ )(å ) = (− )N å−N(å − N)> = ñå äå~ = 819. (äå ñ )(å) = (− )N å−N(å − N)> = ñå = ( )820. ~ñ (å) = ~ñ äåå ~ = = ( )821. Éñ (å) = Éñ = = ( )822. ~ãñ (å) = ãå~ãñ äåå ~ = = 823. (ëáå ñ )(å ) = ëáå ñ + åπ  =  O  = 824. (Åçë ñ )(å) = Åçë ñ + åπ  =  O  = = = 216

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS 8.6 Applications of Derivative = cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=ó= mçëáíáçå=çÑ=~å=çÄàÉÅíW=ë== sÉäçÅáíóW=î= ^ÅÅÉäÉê~íáçåW=ï= fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ= qáãÉW=í= k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å= = = 825. sÉäçÅáíó=~åÇ=^ÅÅÉäÉê~íáçå= ë = Ñ (í) =áë=íÜÉ=éçëáíáçå=çÑ=~å=çÄàÉÅí=êÉä~íáîÉ=íç=~=ÑáñÉÇ= ÅççêÇáå~íÉ=ëóëíÉã=~í=~=íáãÉ=íI== î = ë′ = Ñ ′(í) =áë=íÜÉ=áåëí~åí~åÉçìë=îÉäçÅáíó=çÑ=íÜÉ=çÄàÉÅíI= ï = î′ = ë′′ = Ñ′′(í) =áë=íÜÉ=áåëí~åí~åÉçìë=~ÅÅÉäÉê~íáçå=çÑ= íÜÉ=çÄàÉÅíK== = 826. q~åÖÉåí=iáåÉ= ó − óM = Ñ ′(ñM )(ñ − ñM ) = = 217

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS = = Figure 176. = 827. kçêã~ä=iáåÉ= ó − óM = − Ñ N ) (ñ − ñM ) =EcáÖ=NTSF= ′(ñ M = 828. fåÅêÉ~ëáåÖ=~åÇ=aÉÅêÉ~ëáåÖ=cìåÅíáçåëK== fÑ= Ñ ′(ñM ) > M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=áåÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñM K=EcáÖ=NTTI= ñ < ñN I= ñO < ñ FI= fÑ= Ñ ′(ñM ) < M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñM K=EcáÖ=NTTI= ñN < ñ < ñO FI= fÑ= Ñ ′ (ñM )=ÇçÉë=åçí=Éñáëí=çê=áë=òÉêçI=íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK== = 218

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS = = Figure 177. = 829. içÅ~ä=ÉñíêÉã~= ^=ÑìåÅíáçå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã=~í= ñN =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ= íÜÉêÉ=Éñáëíë=ëçãÉ=áåíÉêî~ä=Åçåí~áåáåÖ= ñN =ëìÅÜ=íÜ~í= Ñ (ñN ) ≥ Ñ (ñ)=Ñçê=~ää=ñ=áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä=EcáÖKNTTFK== = ^=ÑìåÅíáçå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= ñ O =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ= íÜÉêÉ=Éñáëíë=ëçãÉ=áåíÉêî~ä=Åçåí~áåáåÖ= ñ O =ëìÅÜ=íÜ~í= Ñ (ñ O ) ≤ Ñ (ñ)=Ñçê=~ää=ñ=áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä=EcáÖKNTTFK= = 830. `êáíáÅ~ä=mçáåíë= ^=ÅêáíáÅ~ä=éçáåí=çå=ÑEñF=çÅÅìêë=~í= ñM =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ=ÉáíÜÉê= Ñ ′ (ñM )=áë=òÉêç=çê=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=ÇçÉëå∞í=ÉñáëíK= = 831. cáêëí=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=içÅ~ä=bñíêÉã~K= fÑ=ÑEñF=áë==áåÅêÉ~ëáåÖ==E Ñ ′ (ñ) > M F=Ñçê==~ää==ñ==áå==ëçãÉ==áåíÉêî~ä= (~I ñN ]==~åÇ==ÑEñF==áë==ÇÉÅêÉ~ëáåÖ==E Ñ′ (ñ) < M F==Ñçê=~ää==ñ=áå=ëçãÉ= áåíÉêî~ä= = [ñNI Ä)I= = íÜÉå= ÑEñF= Ü~ë= ~= = äçÅ~ä= ã~ñáãìã= = ~í= = ñN = EcáÖKNTTFK== 219

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS 832. fÑ=ÑEñF=áë=ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=E Ñ ′ (ñ) < M F=Ñçê=~ää=ñ=áå=ëçãÉ=áåíÉêî~ä= (~I ñ O ]=~åÇ=ÑEñF=áë=áåÅêÉ~ëáåÖ=E Ñ′ (ñ) > M F=Ñçê=~ää=ñ=áå=ëçãÉ= áåíÉêî~ä= [ñ O I Ä)I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= ñ O K== EcáÖKNTTFK= = 833. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=içÅ~ä=bñíêÉã~K= fÑ= Ñ ′ (ñN ) = M =~åÇ= Ñ ′′(ñN ) < M I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã= ~í== ñN K= fÑ= Ñ ′ (ñ O ) = M =~åÇ= Ñ ′′(ñ O ) > M I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã= ~í= ñ O K=EcáÖKNTTF= = 834. `çåÅ~îáíóK== ÑEñF= áë= = ÅçåÅ~îÉ= ìéï~êÇ= ~í= = ñM = = áÑ= = ~åÇ= = çåäó= = áÑ= = Ñ′ (ñ)= áë============ áåÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñM =EcáÖKNTTI= ñ P < ñ FK=== ÑEñF=áë==ÅçåÅ~îÉ==Ççïåï~êÇ=~í== ñM ==áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ== Ñ ′ (ñ)==áë=============== ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñM K=EcáÖKNTTI= ñ < ñ P FK=== = 835. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=`çåÅ~îáíóK== fÑ= Ñ ′′(ñM ) > M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÅçåÅ~îÉ=ìéï~êÇ=~í= ñM K== fÑ= Ñ ′′(ñM ) < M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÅçåÅ~îÉ=Ççïåï~êÇ=~í= ñM K= fÑ= Ñ ′′(ñ) =ÇçÉë=åçí=Éñáëí=çê=áë=òÉêçI=íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK= = 836. fåÑäÉÅíáçå=mçáåíë= fÑ== Ñ ′ (ñ P )==Éñáëíë==~åÇ== Ñ ′′(ñ)==ÅÜ~åÖÉë=ëáÖå=~í= ñ = ñ P I==íÜÉå= íÜÉ= éçáåí= (ñP IÑ (ñ P ))= áë= ~å= áåÑäÉÅíáçå= éçáåí= çÑ= íÜÉ= Öê~éÜ= çÑ= Ñ (ñ)K=fÑ= Ñ ′′(ñ P )=Éñáëíë=~í=íÜÉ=áåÑäÉÅíáçå=éçáåíI=íÜÉå= Ñ ′′(ñ P ) = M = EcáÖKNTTFK= = 837. i∞eçéáí~ä∞ë=oìäÉ= äáã Ñ (ñ) = äáã Ñ ′(ñ ) =áÑ= äáã Ñ (ñ ) = äáã Ö(ñ ) = M K== Ö(ñ ) Ö′(ñ ) ∞ ñ→Å ñ→Å ñ→Å ñ→Å = 220

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS 8.7 Differential = cìåÅíáçåëW=ÑI=ìI=î= fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ= aÉêáî~íáîÉ=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ó′(ñ) I= Ñ′(ñ)= oÉ~ä=Åçåëí~åíW=`= aáÑÑÉêÉåíá~ä=çÑ=ÑìåÅíáçå= ó = Ñ (ñ)W=Çó= aáÑÑÉêÉåíá~ä=çÑ=ñW=Çñ= pã~ää=ÅÜ~åÖÉ=áå=ñW= ∆ñ = pã~ää=ÅÜ~åÖÉ=áå=óW= ∆ó = = = 838. Çó = ó′Çñ = = 839. Ñ (ñ + ∆ñ) = Ñ (ñ)+ Ñ′(ñ)∆ñ = = = = Figure 178. 221

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS 840. pã~ää=`Ü~åÖÉ=áå=ó= ∆ó = Ñ (ñ + ∆ñ)− Ñ (ñ)= = 841. Ç(ì + î) = Çì + Çî = = 842. Ç(ì − î) = Çì − Çî = = 843. Ç(`ì) = `Çì = = 844. Ç(ìî) = îÇì + ìÇî = = 845. Ç ì  = îÇì − ìÇî =  î  îO = = = 8.8 Multivariable Functions = cìåÅíáçåë=çÑ=íïç=î~êá~ÄäÉëW= ò(ñIó)I= Ñ (ñIó) I= Ö(ñIó) I= Ü(ñIó)== ^êÖìãÉåíëW=ñI=óI=í= pã~ää=ÅÜ~åÖÉë=áå=ñI=óI=òI=êÉëéÉÅíáîÉäóW= ∆ñ I= ∆ó I= ∆ò K= = = 846. cáêëí=lêÇÉê=m~êíá~ä=aÉêáî~íáîÉë= qÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉ=ïáíÜ=êÉëéÉÅí=íç=ñ= ∂Ñ = Ññ =E~äëç= ∂ò = òñ FI= ∂ñ ∂ñ qÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉ=ïáíÜ=êÉëéÉÅí=íç=ó= ∂Ñ = Ñó =E~äëç= ∂ò = òó FK= ∂ó ∂ó = = 222

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS 847. pÉÅçåÇ=lêÇÉê=m~êíá~ä=aÉêáî~íáîÉë= ∂  ∂Ñ  = ∂OÑ = Ñññ I== ∂ñ  ∂ñ  ∂ñ O ∂  ∂Ñ  = ∂OÑ = Ñóó I== ∂ó ∂ó ∂ó O ∂  ∂Ñ  = ∂OÑ = Ññó I== ∂ó  ∂ñ  ∂ó∂ñ ∂  ∂Ñ  = ∂OÑ = Ñóñ K== ∂ñ ∂ó ∂ñ∂ó fÑ=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉë=~êÉ=ÅçåíáåìçìëI=íÜÉå== ∂OÑ = ∂OÑ K== ∂ó∂ñ ∂ñ∂ó = 848. `Ü~áå=oìäÉë== fÑ= Ñ (ñIó) = Ö(Ü(ñIó))=EÖ=áë=~=ÑìåÅíáçå=çÑ=çåÉ=î~êá~ÄäÉ=ÜFI=íÜÉå== ∂Ñ = Ö′(Ü(ñIó))∂Ü I= ∂Ñ = Ö′(Ü(ñIó))∂Ü K== ∂ñ ∂ñ ∂ó ∂ó = fÑ= Ü(í) = Ñ (ñ(í)Ió(í))I=íÜÉå= Ü′(í) = ∂Ñ Çñ + ∂Ñ Çó K== ∂ñ Çí ∂ó Çí = fÑ= ò = Ñ (ñ(ìIî)Ió(ìIî)) I=íÜÉå== ∂ò = ∂Ñ ∂ñ + ∂Ñ ∂ó I= ∂ò = ∂Ñ ∂ñ + ∂Ñ ∂ó K== ∂ì ∂ñ ∂ì ∂ó ∂ì ∂î ∂ñ ∂î ∂ó ∂î = 849. pã~ää=`Ü~åÖÉë= ∆ò ≈ ∂Ñ ∆ñ + ∂Ñ ∆ó = ∂ñ ∂ó = = 223

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS 850. içÅ~ä=j~ñáã~=~åÇ=jáåáã~= Ñ (ñI ó) =Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã=~í= (ñM I óM ) =áÑ= Ñ (ñI ó) ≤ Ñ (ñM IóM )= Ñçê=~ää= (ñI ó) =ëìÑÑáÅáÉåíäó=ÅäçëÉ=íç= (ñM IóM ) K== = Ñ (ñI ó) =Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= (ñM IóM ) =áÑ= Ñ (ñI ó) ≥ Ñ (ñM IóM )= Ñçê=~ää= (ñI ó) =ëìÑÑáÅáÉåíäó=ÅäçëÉ=íç= (ñM IóM ) K= = 851. pí~íáçå~êó=mçáåíë= ∂Ñ = ∂Ñ = M K= ∂ñ ∂ó içÅ~ä=ã~ñáã~=~åÇ=äçÅ~ä=ãáåáã~=çÅÅìê=~í=ëí~íáçå~êó=éçáåíëK= == 852. p~ÇÇäÉ=mçáåí= ^= ëí~íáçå~êó= = éçáåí= = ïÜáÅÜ= = áë= = åÉáíÜÉê= = ~= = äçÅ~ä= = ã~ñáãìã= åçê=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã= = 853. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=pí~íáçå~êó=mçáåíë= iÉí= (ñM I óM ) =ÄÉ=~=ëí~íáçå~êó=éçáåí=E ∂Ñ = ∂Ñ = M FK== ∂ñ ∂ó a= Ñññ (ñM I óM ) Ññó (ñ M I ó M ) K== Ñóñ (ñM I óM ) Ñóó (ñ M I ó M ) = fÑ= a > M I= Ñññ (ñM I óM ) > M I== (ñM I óM ) ==áë=~=éçáåí=çÑ=äçÅ~ä=ãáåáã~K= fÑ= a > M I= Ñññ (ñM I óM ) < M I== (ñM I óM ) ==áë=~=éçáåí=çÑ=äçÅ~ä=ã~ñáã~K= fÑ= a < M I= (ñM IóM ) =áë=~=ë~ÇÇäÉ=éçáåíK= fÑ= a = M I=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK= = 854. q~åÖÉåí=mä~åÉ= qÜÉ=Éèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=í~åÖÉåí=éä~åÉ=íç=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ò = Ñ (ñIó)= ~í= (ñM I óM IòM )=áë== ò − òM = Ññ (ñM I óM )(ñ − ñM )+ Ñó (ñM I óM )(ó − óM ) K= = 224

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS 855. kçêã~ä=íç=pìêÑ~ÅÉ= qÜÉ=Éèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=åçêã~ä=íç=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ò = Ñ (ñIó)=~í= (ñM I óM IòM )=áë== ñ − ñM = ó − óM = ò − òM K= −N Ññ (ñM I óM ) Ñó (ñM I óM ) = = = 8.9 Differential Operators = rá I= rà I= âr = råáí=îÉÅíçêë=~äçåÖ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉ=~ñÉëW= pÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçåë=EëÅ~ä~ê=ÑáÉäÇëFW= Ñ (ñI óIò)I= ì(ñNI ñO IKI ñå )= dê~ÇáÉåí=çÑ=~=ëÅ~ä~ê=ÑáÉäÇW= Öê~Ç ì I= ∇ì = a`asìÉááêîÅêÉÉíäÅç=êçíÖêáÑ=Éç=Ñ~åìå=Åîå~ÉÉäÅ==ÅíçÇíáÑÉçç=ê~åêá===îîÑEá~ÉîÉíÅÉäáÇíÅîçíWÉ=çêWÅ==êÑì∂=á∂ÑÉêÑáäääÉÇ=cärÇW=IF=ÇW∇=áîcr×cr(crmI=I=n∇I⋅ocr)== i~éä~Åá~å=çéÉê~íçêW= ∇O = = = 856. dê~ÇáÉåí=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå= Öê~Ç Ñ = ∇Ñ =  ∂Ñ I ∂Ñ I ∂Ñ  I== ∂ñ ∂ó ∂ò Öê~Ç ì = ∇ì =  ∂ì I ∂ì IKI ∂ì  K= ∂ñN ∂ñ O ∂ñ å = 857. aáêÉÅíáçå~ä=aÉêáî~íáîÉ= ∂Ñ = ∂Ñ Åçë α + ∂Ñ Åçëβ + ∂Ñ Åçë γ I== ∂ä ∂ñ ∂ó ∂ò 225

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS ïrä (ÜÅÉçêëÉα=íIÜÅÉç=ÇëβáêIÉÅÅçíáëçγå)=Iá=ëÅ=ÇçÉëÑOáαåÉ+ÇÅ=Äçóë=OíβÜÉ+=îÅÉçÅëíOçγê== NK== = 858. aáîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=~=sÉÅíçê=cáÉäÇ= cr cr Çáî = ∇ ⋅ = ∂m + ∂n + ∂o = ∂ñ ∂ó ∂ò = âr 859. `ìêä=çÑ=~=sÉÅíçê=rcá áÉäÇ=rà ∂= ∂ñ Åìêä cr = ∇ × cr = ∂ ∂ o ∂ñ ∂ñ mn =  ∂o − ∂n rá +  ∂m − ∂o rà +  ∂n − ∂m âr = ∂ó ∂ò  ∂ò ∂ñ  ∂ñ ∂ó = 860. i~éä~Åá~å=léÉê~íçê= ∇OÑ = ∂OÑ + ∂OÑ + ∂OÑ = ∂ñ O ∂ó O ∂ò O = cr = ∇ ⋅ ∇ × cr Çáî ( ) ( )861. Åìêä ≡M= = 862. Åìêä(Öê~Ç Ñ ) = ∇ × (∇Ñ ) ≡ M = = 863. Çáî(Öê~Ç Ñ ) = ∇ ⋅ (∇Ñ ) = ∇OÑ = = Åìêä cr cr − ∇Ocr = ∇ ∇ ⋅ cr − ∇Ocr = Åìêä ( ) ( ) ( )864. = Öê~Ç Çáî = = 226

Chapter 9 Integral Calculus = = = = cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=ìI=î= fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉëW=ñI=íI= ξ = fåÇÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ∫ Ñ (ñ)Çñ I= ∫ Ö(ñ)Çñ I=£= aÉêáî~íáîÉ=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ó′(ñ) I= Ñ′(ñ)I= c′(ñ)I=£= oÉ~ä=Åçåëí~åíëW=`I=~I=ÄI=ÅI=ÇI=â= k~íìê~ä=åìãÄÉêëW=ãI=åI=áI=à= = = 9.1 Indefinite Integral = 865. ∫ Ñ (ñ)Çñ = c(ñ) + ` =áÑ= c′(ñ) = Ñ (ñ)K= = ( )866. ∫Ñ (ñ)Çñ ′= Ñ(ñ)= = 867. ∫ âÑ (ñ)Çñ = â∫ Ñ (ñ)Çñ = = 868. ∫[Ñ(ñ)+ Ö(ñ)]Çñ = ∫ Ñ(ñ)Çñ + ∫ Ö(ñ)Çñ = = 869. ∫[Ñ(ñ)− Ö(ñ)]Çñ = ∫Ñ (ñ)Çñ − ∫Ö(ñ)Çñ = = 870. ∫ Ñ (~ñ )Çñ = N c(~ñ ) + ` = ~ 227

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 871. ∫ Ñ (~ñ + Ä)Çñ = N c(~ñ + Ä) + ` = ~ = 872. ∫ Ñ (ñ )Ñ ′(ñ )Çñ = N Ñ O (ñ ) + ` = O = Ñ ′(ñ ) Ñ (ñ ) 873. ∫ Çñ = äå Ñ (ñ ) + ` = = 874. jÉíÜçÇ=çÑ=pìÄëíáíìíáçå= ∫ Ñ (ñ)Çñ = ∫ Ñ (ì(í))ì′(í)Çí =áÑ= ñ = ì(í) K= = 875. fåíÉÖê~íáçå=Äó=m~êíë= ∫ ìÇî = ìî − ∫ îÇì I== ïÜÉêÉ= ì(ñ)I= î(ñ)=~êÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ=ÑìåÅíáçåëK== = = = 9.2 Integrals of Rational Functions = 876. ∫ ~Çñ = ~ñ + ` = = 877. ∫ ñÇñ = ñO +`= O = ∫878. ñ OÇñ = ñ P + ` = P = ∫879. ñ éÇñ = ñ é+N + ` I= é ≠ −NK= é+N = 228

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 880. ∫ (~ñ + Ä)å Çñ = (~ñ + )Ä å+N + ` I= å ≠ −NK= ~(å + N) = 881. ∫ Çñ = äå ñ + ` = ñ = 882. ∫ Çñ Ä = N äå ~ñ + Ä + ` = ~ñ + ~ = 883. ∫ ~ñ + Ä Çñ = ~ ñ + ÄÅ − ~Ç äå Åñ + Ç + ` = Åñ + Ç Å ÅO = 884. ∫ (ñ + Çñ + Ä) = ~ N Ä äå ñ + Ä + ` I= ~ ≠ Ä K= − ñ + ~ ~)(ñ = 885. ∫ ñÇñ = N (~ + Äñ − ~ äå ~ + Äñ )+ ` = ~ + Äñ ÄO = ∫886. ñ OÇñ = N N (~ + Äñ )O − O~(~ + Äñ ) + ~O äå ~ + Äñ  + ` = ~ + Äñ ÄP  O  = 887. ∫ Çñ = N äå ~ + Äñ +`= ~ ñ ñ(~ + Äñ) = 888. ∫ Çñ = − N + Ä äå ~ + Äñ +`= ~ñ ~O ñ ñ O (~ + Äñ ) = 889. ∫ (~ ñÇñ = N  äå ~ + Äñ + ~ ~  + ` = ÄO  + Äñ  + Äñ )O = 229

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ∫890. ñ OÇñ = N  ~ + Äñ − O~ äå ~ + Äñ − ~O  + ` = ÄP ~ + Äñ (~ + Äñ)O = 891. ∫ Çñ = ~(~ N Äñ ) + N äå ~ + Äñ +`= + ~O ñ ñ(~ + Äñ)O = 892. ∫ Çñ N = N äå ñ − N + ` = ñO − O ñ + N = 893. ∫ N Çñ O = N äå N + ñ +`= −ñ O N − ñ = ∫894. Çñ = N äå ~ + ñ +`= ~O − ñO O~ ~ − ñ = ∫895. Çñ = N äå ñ − ~ +`= ñO − ~O O~ ñ + ~ = ∫896. Çñ = í~å −N ñ +`= N+ ñO = ∫897. Çñ = N í~å −N ñ +`= ~O + ñO ~ ~ = ñÇñ = N äå ñO + ~O ñO + ~O O ∫ ( )898. +`= = 899. ∫ ~ Çñ = N ~êÅí~å ñ Ä  + ` I= ~Ä > M K= + Äñ O ~Ä ~ = 230

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ∫900. ~ ñÇñ = N äå ñO + ~ +`= + Äñ O OÄ Ä = Çñ N ñO ñ ~ + Äñ O O~ + Äñ O ( )∫901. = äå ~ +`= = ∫902. ~O Çñ = N äå ~ + Äñ +`= − ÄOñO O~Ä ~ − Äñ = ∫903. ~ñ O Çñ + Å = N äå O~ñ + Ä − ÄO − Q~Å + ` I= + Äñ ÄO − Q~Å O~ñ + Ä + ÄO − Q~Å ÄO − Q~Å > M K= = ∫904. ~ñ O Çñ + Å = O ~êÅí~å O~ñ + Ä + ` I= + Äñ Q~Å − ÄO Q~Å − ÄO ÄO − Q~Å < M K= = = = 9.3 Integrals of Irrational Functions = 905. ∫ Çñ Ä = O ~ñ + Ä + ` = ~ñ + ~ = 906. ∫ ~ñ + Ä Çñ = O (~ñ + Ä)PO + ` = P~ = O(~ñ − OÄ) 907. ∫ ñÇñ Ä = P~ O ~ñ + Ä + ` = ~ñ + = 231

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 908. ∫ñ ~ñ + Ä Çñ = O(P~ñ − OÄ) (~ñ + Ä)PO + ` = NR~ O = 909. ∫ (ñ + Çñ + Ä = N äå ~ñ + Ä − Ä − ~Å + ` I== Ä − ~Å ~ñ + Ä + Ä − ~Å Å) ~ñ Ä − ~Å > M K= = 910. ∫ (ñ + Çñ + Ä = N ~êÅí~å ~ñ + Ä + ` I== ~Å − Ä ~Å − Ä Å) ~ñ Ä − ~Å < M K= = 911. ∫ ~ñ + Ä Çñ = N (~ñ + Ä)(Åñ + Ç) − = = Åñ + Ç Å − ~Ç − ÄÅ äå ~(Åñ + Ç) + Å(~ñ + Ä) + ` I= ~ > M K= Å ~Å 912. ∫ ~ñ + Ä Çñ = N (~ñ + Ä)(Åñ + Ç) − = Åñ + Ç Å − ~Ç − ÄÅ ~êÅí~å ~(Åñ + Ç) + ` I=E ~ < M I= Å > M FK== Å ~Å Å(~ñ + Ä) = ∫ ( )913. ñO ~ + Äñ Çñ = O U~ O −NO~Äñ + NRÄOñO (~ + Äñ)P + ` = NMRÄP = ∫ ( )914. ñ OÇñ = O U~O − Q~Äñ + PÄOñO ~ + Äñ + ` = ~ + Äñ NRÄP = 915. ∫ñ Çñ = N äå ~ + Äñ − ~ + ` I= ~ > M K= ~ + Äñ ~ ~ + Äñ + ~ = 232

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 916. ∫ñ Çñ = O ~êÅí~å ~ + Äñ + ` I= ~ < M K= ~ + Äñ −~ −~ = 917. ∫ ~ − ñ Çñ = (~ − ñ)(Ä + ñ) + (~ + Ä)~êÅëáå ñ+Ä +`= Ä+ñ ~+Ä = 918. ∫ ~ + ñ Çñ = − (~ + ñ)(Ä − ñ) − (~ + Ä)~êÅëáå Ä−ñ +`= Ä−ñ ~+Ä = 919. ∫ N+ ñ Çñ = − N− ñO + ~êÅëáå ñ + ` = N− ñ = 920. ∫ (ñ − Çñ − ~) = O~êÅëáå ñ − ~ + ` = Ä − ~ ~)(Ä = ∫921. ~ + Äñ − ÅñO Çñ = OÅñ − Ä ~ + Äñ − ÅñO + = QÅ + ÄO − Q~Å ~êÅëáå OÅñ − Ä + ` = U ÅP ÄO + Q~Å = Çñ = N äå O~ñ + Ä + O ~ ~ñO + Äñ + Å + ` I== ~ñO + Äñ + Å ~ ( )∫922. ~ > M K= = ∫923. Çñ = − N ~êÅëáå O~ñ + Ä ÄO − Q~Å + ` I= ~ < M K= ~ñO + Äñ + Å ~ Q~ = ∫924. ñO + ~O Çñ = ñ ñO + ~O + ~O äå ñ + ñO + ~O + ` = OO = 233

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ñO + ~O Çñ = N P ∫ ( )925. O ñ ñO + ~O +`= P = ∫ ( )926. ñO ñO + ~O Çñ = ñ OñO + ~O ñO + ~O − = U − ~Q äå ñ + ñO + ~O + ` = U = 927. ∫ ñO + ~O Çñ =− ñO + ~O + äå ñ + ñO + ~O + ` = ñO ñ = Çñ = äå ñ + ñ O + ~ O + ` = 928. ∫ ñO + ~O = 929. ∫ ñO + ~O Çñ = ñO + ~O + ~ äå ñ +`= ñ ~+ ñO + ~O = ñO + ~O + `= ñÇñ = ñO + ~O + ` = 930. ∫ ñO + ~O = ñOÇñ = ñ ñO + ~O − ~O äå ñ + ñO + ~O O O 931. ∫ = ∫932. Çñ = N äå ñ + ` = ñ ñO + ~O ~ ~ + ñO + ~O = ∫933. ñO − ~O Çñ = ñ ñO − ~O − ~O äå ñ + ñO − ~O + ` = OO = ∫ ( )934. ñ ñO − ~O Çñ = N ñO − ~O PO + ` = P 234

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ∫935. ñO − ~O Çñ = ñO − ~O + ~ ~êÅëáå ~ + ` = ññ = 936. ∫ ñO − ~O Çñ = − ñO − ~O + äå ñ + ñO − ~O + `= ñO ñ = Çñ = äå ñ + ñ O − ~ O + ` = 937. ∫ ñO − ~O = ñÇñ = ñO − ~O + ` = ñO − ~O 938. ∫ = ∫939. ñOÇñ = ñ ñO − ~O + ~O äå ñ + ñO − ~O +` = ñO −~O O O = ∫940. Çñ = − N ~êÅëáå ~ + ` = ñ ñO − ~O ~ ñ = 941. ∫ (ñ ~ Çñ O − ~O = N ñ −~ +`= ~ ñ +~ + )ñ = 942. ∫ (ñ ~ Çñ O ~ O =−N ñ+~ +`= ~ ñ−~ − )ñ − = ∫943. Çñ = ñO − ~O +`= ñO ñO − ~O ~Oñ = Çñ ñ +`= ñO − ~O ñO − ~O ∫ ( )944. PO =− ~O = 235

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ñO − ~O PO Çñ = − ñ OñO − R~O ñO − ~O + = U ∫( ) ( )945. + P~Q äå ñ + ñO − ~O + ` = U = ∫946. ~O − ñO Çñ = ñ ~O − ñO + ~O ~êÅëáå ñ + ` = O O~ = =−N P ∫ ( )947. − ñO O ñ ~O − ñO Çñ ~O +`= P = ∫ ( )948. ñO ~O − ñO Çñ = ñ OñO − ~O ~O − ñO + ~Q ~êÅëáå ñ + ` = U U~ = ∫949. ~O − ñO Çñ = ~O − ñO + ~ äå ñ + ` = ñ ~ + ~O − ñO = 950. ∫ ~O − ñO Çñ = − ~O − ñO − ~êÅëáå ñ + ` = ñO ñ~ = Çñ = ~êÅëáå ñ + ` = 951. ∫ N− ñO = Çñ = ëáå ñ + ` = ~O − ñO ~ 952. ∫ = ñÇñ = − ~O − ñO + ` = ~O − ñO 953. ∫ = ∫954. ñOÇñ = − ñ ~O − ñO + ~O ~êÅëáå ñ + ` = ~O − ñO O O~ 236

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 955. ∫ (ñ ~ Çñ O ñ O =−N ~−ñ +`= O ~+ñ + )~ − = 956. ∫ (ñ ~ Çñ O ñ O = − N ~+ñ +`= O ~−ñ − )~ − = ∫957. Çñ = N ~êÅëáå Äñ + ~O +` I= Ä > ~ K= ÄO − ~O (ñ + Ä) ~O − ñO ~(ñ + Ä) = ∫958. Çñ = N äå ñ + Ä + `I = (ñ + Ä) ~O − ñO ~O − ÄO ~O − ÄO ~O − ñO + ~O + Äñ Ä < ~ K= = ∫959. ñO Çñ = − ~O − ñO +`= ~O − ñO ~Oñ = ∫( ) ( )960. P ñ ~O − ñO + P~Q ~êÅëáå ñ + ` = ~O − ñO O Çñ = R~O − OñO U U~ = ∫ ( )961. ~O Çñ P = ~O ñ +`= − ñO O ~O − ñO = = = 9.4 Integrals of Trigonometric Functions = 962. ∫ ëáå ñÇñ = − Åçë ñ + ` = = 963. ∫ Åçë ñÇñ = ëáå ñ + ` = 237

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 964. ∫ ëáåO ñ Çñ = ñ − N ëáå Oñ + ` = O Q = 965. ∫ ÅçëO ñ Çñ = ñ + N ëáå Oñ + ` = O Q = ∫966. ëáåP ñ Çñ = N ÅçëP ñ − Åçë ñ + ` = N ÅçëPñ − P Åçë ñ + ` = P NO Q = ∫967. ÅçëP ñ Çñ = ëáå ñ − N ëáåP ñ + ` = N ëáåPñ + P ëáå ñ + ` = P NO Q = 968. ∫ Çñ = ∫ÅëÅ ñ Çñ = äå í~å ñ +`= ëáå ñ O = 969. ∫ Çñ = ∫ ëÉÅ ñ Çñ = äå í~å ñ + π  + ` = Åçë ñ  O Q  = 970. ∫ Çñ = ∫ ÅëÅO ñ Çñ = −Åçí ñ + ` = ëáåO ñ = 971. ∫ Çñ ñ = ∫ ëÉÅO ñ Çñ = í~å ñ +`= ÅçëO = Çñ ÅëÅP ñ Çñ Åçë ñ N äå í~å ñ ëáåP ñ Oëáå Oñ O O ∫ ∫972. = = − + +`= = ∫ ∫973. Çñ ñ = ëÉÅP ñ Çñ = ëáå ñ + N äå í~å ñ + π  + ` = ÅçëP OÅçëO ñ O  O Q  = 974. ∫ ëáå ñ Åçë ñ Çñ = − N Åçë Oñ + ` = Q 238

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS ∫975. ëáåO ñ Åçë ñ Çñ = N ëáåP ñ + ` = P = ∫976. ëáå ñ ÅçëO ñ Çñ = − N ÅçëP ñ + ` = P = ∫977. ëáåO ñ ÅçëO ñ Çñ = ñ − N ëáåQñ + ` = U PO = 978. ∫ í~å ñÇñ = − äå Åçë ñ + ` = = 979. ∫ ëáå ñ Çñ = N ñ + ` = ëÉÅ ñ + ` = ÅçëO ñ Åçë = 980. ∫ ëáåO ñ Çñ = äå í~å ñ + π  − ëáå ñ + ` = Åçë ñ  O Q  = 981. ∫ í~åO ñ Çñ = í~å ñ − ñ + ` = = 982. ∫ Åçí ñÇñ = äå ëáå ñ + ` = = 983. ∫ Åçë ñ Çñ = − N ñ + ` = − ÅëÅ ñ + ` = ëáåO ñ ëáå = 984. ∫ ÅçëO ñ Çñ = äå í~å ñ + Åçë ñ +`= ëáå ñ O = 985. ∫ ÅçíO ñ Çñ = −Åçí ñ − ñ + ` = = 986. ∫ Çñ ñ = äå í~å ñ + ` = Åçë ñ ëáå 239

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS 987. ∫ Çñ ñ = − N + äå í~å ñ + π  + ` = ëáåO ñ Åçë ëáå ñ  O Q  = 988. ∫ ëáå Çñ O ñ = N + äå í~å ñ +`= ñ Åçë Åçë ñ O = ∫989. ëáåO Çñ ñ = í~å ñ − Åçí ñ + ` = ñ ÅçëO = ëáå(ã + å)ñ ëáå(ã − å)ñ O(ã + å) O(ã − å) 990. ∫ ëáå ãñ ëáå åñ Çñ = − + + ` I= ãO ≠ åO K= = Åçë(ã + å)ñ Åçë(ã − å)ñ O(ã + å) O(ã − å) 991. ∫ ëáå ãñ Åçë åñ Çñ = − − + ` I= ãO ≠ åO K= = ëáå(ã + å)ñ ëáå(ã − å)ñ O(ã + å) O(ã − å) 992. ∫ Åçë ãñ Åçë åñ Çñ = + + ` I= ãO ≠ åO K= = 993. ∫ ëÉÅ ñ í~å ñÇñ = ëÉÅ ñ + ` = = 994. ∫ ÅëÅ ñ Åçí ñÇñ = − ÅëÅ ñ + ` = = ∫995. ëáå ñ Åçëå ñ Çñ = − Åçëå+N ñ + ` = å+N = ∫996. ëáåå ñ Åçë ñ Çñ = ëáåå+N ñ + ` = å+N = 240