Kumpulan Rumus Matematika SMA

Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat 123 Kumpulan Rumus MATEMATIKA tingkat SMA/MA/SMK 1

Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat PERSAMAAN KUADRAT 1 1 =x1x1+xx2 2 x1 x2 Bentuk umum Persamaan Kuadrat: + ax2 + bx + c =0 = − b c Akar-akar persamaan kuadrat: x1,2 = −b ± b2 − 4ac Susunan Persamaan Kuadrat Baru 2a Persamaan kuadrat dengan akar-akarnya meliputi Nilai Diskriminan: D= b2 − 4ac xse1pdearnti bx2erimkuetm. iliki susunan persaman kuadrat Kriteria dari nilai diskriminan: mmm x2 − (x1 + x2 )x + x1 ⋅ x2 =0 1. D ≥ 0 (Akar Real) • D = 0 → Persamaan kuadrat mempunyai TIPS & TRIK IDSCHOOL akar kembar • Dua akar berbeda: D > 0 Rumus cepat persamaan kuadrat baru dengan 2. D < 0 (Akar Imajiner/tidak real) akar-akar persamaan kuadrat baru Jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat: Jikakxu1addarnatxa2xm2 +erbuxpa+kcan= akar-akar dari persamaan 0 maka persamaan kuad- x1 + x2 =− ba rat baru yang akar-akarnya: x1 ⋅ x2 c Akar-akar Baru Rumus Cepat =a Persamaan Kuadrat Baru cx2 + bx + a =0 x1 − x2 =± D 1 dan 1 a x1 x2 Rumus lain terkait akar-akar persamaan kuadrat: n⋅ x 1 dan n⋅ x 2 ax2 + nbx + n2c =0 x 1+ n dan x 2 + n ( )x12 2 2 − 2x1x2 a(x − n)2 + b(x − n) + c =0 + x 2 = x1 + x2 = − b 2 − 2 c x 12 dan x 12 ( )a2x2 − b2 − 2ac x + c2 =0 a  a x1 x2 = b2 − 2 c x2 dan x1 ( )ac ⋅ x2 − b2 − 2ac x + ac =0 a2 a a2x2 + a(b − c)x − bc =0 x 1+x 2 dan x 1⋅x 2 ( ) ( )x13 + x23 = x1 + x2 3 − 3x1x2 x1 + x2 = − b 3 − 3 c  − b  a  a  a  b3 + 3 bc =− a3 a2 2

Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat FUNGSI KUADRAT Kriteria definit: 1. Definit positif: a > 0 dan D < 0 Bentuk umum: ax2 + bx + c =0 2. Definit negatif: a < 0 dan D < 0. Cara Menggambar Kurva/Grafik Fungsi Kuadrat: CONTOH SOAL 1. Menentukan titik potong dengan sumbu x 1. Persamaan kuadrat (p − 1)x2 + 4x + 2p = 0 dan sumbu y. mempunyai dua akar real yang berbeda. Maka nilai p yang memenuhi adalah .... 2. Menentukan titik puncak melalui titik koor- A. p < −1 atau m > 2 dinat yang dinyatakan melalui rumus B. p ≤ −2 atau m > 1 C. 1 < p < 2  −b , D  D. −2 < p < 1  2a −4a  E. −1 < p < 2 Hubungan nilai a, b, c, dan D dengan Kurva: Pembahasan: 1. Nilai a berhubungan dengan bentuk kurva, Diketahui persamaan kuadrat mempunyai dua apakah terbuka ke atas atau ke bawah: akar yang berbeda maka nilai D > 0, sehingga a. Untuk a > 0: kurva terbuka ke atas D>0 b. Untuk a < 0: kurva terbuka ke bawah 16 − 4(p −1)2p > 0 2. Nilai b berhubungan dengan letak posisi kurva, kriteria nilai b dan kurva ditunjukkan seperti ( )16 − 4 2p2 − 2p > 0 gambar di bawah. 16 − 8p2 + 8p > 0 b>0 b=0 b<0 8p2 − 8p −16 > 0 p2 − p − 2 > 0 (p − 2)(p +1) > 0 b<0 b=0 b>0 Harga nol: (p −2)(p + 1) = 0 Diperoleh nilai p = 2 atau p = −1 Mencari daerah yang memenuhi 3. Nilai c berhubungan dengan titik potong den- +++ −−− +++ gan sumbu y. 2 a. Untuk nilai c > 0, memotong sumbu y positif. −1 b. Untuk nilai c = 0, memotong sumbu y = 0. c. Untuk nilai c < 0, memotong sumbu y negatif. Jadi, nilai p yang memenuhi adalah −1 < p < 2. 4. Nilai D menujukkan jumlah titik potong kurva Jawaban:E: dengan sumbu x. a. Untuk nilai D > 0, kurva akan memotong sumbu x pada dua titik. b. Untuk nilai D = 0, kurva akan menyinggung sumbu x (memotong sumbu x pada dua titik). c. Untuk nilai D < 0, kurva tidak memotong sumbu x. 3

Pertidaksamaan SIFAT-SIFAT PERTIDAKSAMAAN CONTOH SOAL Sifat-sifat pertidaksamaan: 1. Himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan 1. Jika a > b, maka x − 2 2 < 5 x − 2 − 6 adalah .... • a ± p > b ± p A. x < − 6 • ap > bp, p > 0 B. − 6 < x < 0 • ap < bp, p < 0 C. 0 < x < 6 • a3 > b3 D. x < 0 atau x > 6 E. x > 6 2. Jika a > b > 0, maka • a2 > b2 Pembahasan: 11 Misalkan: p = |x − 2| • a < b maka akan diperoleh pertidaksamaan kuadrat 3. Jika a > b dan b > c maka a > c p2 < 5p − 6 4. Jika a > b dan c > d maka a + c > b + d 5. Jika a > b > 0 dan c > d > 0 maka ac > bd p2 − 5p + 6 < 0 PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA (p −3)(p −2) < 0 Harga nol: (p − 3)(p − 2) = 0 Diperoleh p = 3 atau p = 2 Daerah yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat. Untuk a > 1 +++ −−− +++ 1. Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) > g(x) dan f(x) > 0, g(x) > 0 2 3 2. Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) < g(x) Sehingga, diperoleh hasil pertidaksamaan dan f(x) > 0, g(x) > 0 berikut. Untuk 0 < a < 1 2<p<3 1. Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) < g(x) dan f(x) > 0, g(x) > 0 2< x−2 <3 2. Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) > g(x) dan f(x) > 0, g(x) > 0 Untuk | x − 2 | > 2 x−2 >2 x − 2 > 2 atau x − 2 < −2 PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK x − 2 > 2 atau x − 2 < −2 x > 4 atau x < 0 1. x = x, x>0 Syarat I −x, x<0 2. x < a → −a < x < a 0 4 3. x > a → x > a atau x < −a 4. x < y → x2 < y2 Untuk | x − 2 | < 3 x−2 <3 −3 < x − 2 < 3 −3 + 2 < x < 3 + 2 −1< x < 5 4

Pertidaksamaan Syarat II 0 6 Gabungan antara syarat I dan syarat II 46 Jadi, himpunan penyelesaian untuk per tidaksamaan x − 2 2 < 5 x − 2 − 6 adalah 0 < x < 6. Jawaban C: 5

PENGERTIAN FUNGSI Relasi dan Fungsi FUNGSI KOMPOSISI 1. Relasi dari A ke B disebut fungsi (pemetaan) 1. Simbol untuk komposisi fungsi adalah o jika setiap anggota A dipasangkan satu kali ke (bundaran). anggota B. 2. Fungsi komposisi h(x) = g o f (x) = g (f(x)) 2. Domain, Kodomain, dan Range AB A BC f(x) g(x) Range h(x) Domain Kodomain 3. Fungsi komposisi h(x) = g o f (x) = g (f(x)) 4. Sifat-sifat fungsi komposisi a. Domain: daerah asal b. Kodomain: daerah kawan a. Tidak Komutatif c. Range: daerah hasil b. Asosiatif c. Memiliki elemen identitas 3. Jenis-jenis fungsi FUNGSI INVERS a. Fungsi Injektif (Fungsi Into) 1. Suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi tersebut merupakan fungsi satu-satu. 2. Invers f(x) dinotasikan f −1(x). b. Fungsi Surjektif (Fungsi Onto) 3. Jika y = f(x) maka x = f −1(y) 4. Fungsi invers untuk komposisi fungsi c. Fungsi Bijektif (Fungsi Korespondensi Satu-Satu) 6

Relasi dan Fungsi B. x − 6 2x − 5 5. Beberapa rumus cepat menentukan fungsi x+6 invers. C. 2x − 5 Fungsi f(x) Invers Fungsi f −1(x) D. x−6 2x + 5 f(x=) ax + b f −1(x) = x − b E. 2x − 5 a x+6 f(x) = ax + b f −1(x) = −dx + b Pembahasan: ax + b cx − a 1. Mencari komposisi fungsi (f g)(x) f (g(x)) f=(x) n ax + b f −1(x) = xn − b 3 x a  2x 1 f(x) = ax f −1(x) = a log x = 3 x + 2x 1 f(x) = apx 1 = 3 x + 2(2x 1) 2x +1 f −1(x) = a log xp 2x +1 3− x + 4x + 2 f(x) =a log x f −1(x) = ax 2x 1 3x 5 f(x) = ax2 + bx + c 2x 1 f −1(x) =± a1 x + b2 − 4ac  − b 2. Mencari invers dari komposisi fungsi yang 4a  2a telah diperoleh di atas (gunakan panduan  rumus cepat). 6. Sifat invers fungsi pada komposisi fungsi. ( f  g)(x) = 3x +5 2x +1 ( )a. (f  )g −1(x) = g−1  f −1 (x) ( )b. (f  g )h −1(x) = h−1  g−1  f −1 (x) (f  )g −1(x) = −x + 5 c. (=(f  g)  g−1)(x) (=g−1  (g f ))(x) f(x) 2x − 3 d. (=f−1  (f  g))(x) (=(g f )  f−1)(x) g(x) = −x + 5 × −1 2x − 3 −1 = x−5 3 − 2x Jawaban: A CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN 1. Diketahui fungsi f(x) = x + 2 dan g(x) = 3−x 2x +1 maka (f  )g −1(x) adalah .... A. x−6 5 − 2x 7

GRADIEN Gradien dan Persamaan Garis CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN 1. Gradien merupakan nilai yang digunakan 1. Garis 2x + 3y = 6 saling tegak lurus dengan untuk menyatakan kemiringan suatu garis. garis (1 − p)x − 6y = 7. Maka nilai p adalah .... 2. Kriteria nilai gradien: A. −10 a. Condong ke kanan = positif b. Condong ke kiri = negatif B. −8 c. Datar: 0 d. Tegak: ∞ C. −6 D. −4 E. −1 Pembahasan: Informasi di soal menerangkan bahwa kedua 3. Cara menentukan nilai gradien: garis saling tegak lurus, maka m1 × m2 = −1. a. Persamaan garis y = mx + c Nilai gradien = m Mencari nilai gradien garis 2x + 3y = 6: 2 b. Persamaan garis ax + by + c = 0 m1 = − 3 Nilai gradien m= − a b c. Melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) Mencari nilai gradien garis (1 − p)x − 6y = 7: 1− p y2 y1 m2 = 6 x2 x1 Nilai gradien m = − − Mencari nilai p: d. Sudut antara garis dengan sumbu x positif adalah α maka gradien nya dinyatakan m1 × m2 =−1 melalui fungsi tangen, m = tan α. − 2 × 1− p =−1 3 6 4. Persamaan garis dengan gradien m yang melalui titik (x1, y1) adalah y − y1 = m(x − x1). 2 − 2p =1 18 2 − 2p =18 HUBUNGAN GRADIEN DUA GARIS 2p = −16 1. Hubungan gradien garis yang saling sejajar: p = −126 m1 = m2 2. Hubungan gradien garis yang saling tegak = −8 lurus: Jadi, nilai p adalah −8. m1 × m2 = −1 Jawaban: B 3. Garis membentuk sudut α: tg α = m1 − m2 1+ m1 ⋅ m2 4. Jarak titik (x1, y1) ke garis ax + by + c = 0 d = ax1 + by1 + c a2 + b2 8

Program Linear LANGKAH-LANGKAH MENENTUKAN Menentukan daerah layak: PENYELESAIAN OPTIMUM y Berikut ini adalah langkah-langkah menyelesaikan 50 soal program linear dengan metode titik sudut. 1. Menggambar garis lurus pada soal yang mewakili 10x + 5y = 200 fungsi kendala dari soal yang diberikan. 40 2. Menentukan daerah layak yang memenuhi. 3. Menentukan titik-titik sudut perpotongan dua x + y = 30 garis yang memenuhi daerah layak. 30 A(0, 30) 4. Menentukan nilai fungsi objektif pada setiap titik 20 B sudut. a. Jika fungsi tujuan atau fungsi objektif 10 memaksimalkan maka pilih nilai yang paling D(0, 0) C(20, 0) x besar. b. Jika fungsi tujuan atau fungsi objektif 0 10 20 30 40 50 meminimalkan maka pilih nilai yang paling paling kecil. Mencari titik pojok dari daerah layak: a. Titik A (0, 30) b. Titik B (metode eliminasi dan substitusi) Mencari nilai x: CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN x + y =30 2x +y =40 − −x =−10 1. Seorang pedagang besar untuk perabot rumah tangga meja dan kursi akan membeli paling x = 10 banyak 30 buah barang dagangan. Sebuah meja mempunyai harga senila Rp100.000,00 Mencari nilai y: kemudian akan dijual seharga Rp115.000,00. x + y =30 Sedangkan sebuah harga dibeli dengan harga Rp50.000,00 kemudian akan dijual dengan har- 10 + y =30 ga Rp60.000,00. Jika pedagang tersebut mem- punyai modal sebesar Rp2.000.000,00 maka =y 30 −10 keuntungan maksimum yang akan diperoleh pedagang tersebut adalah .... y = 20 A. Rp500.000,00 B. Rp450.000,00 C. Rp400.000,00 c. Titik C (20, 0) D. Rp350.000,00 E. Rp300.000,00 d. Titik D (0, 0) Mencari nilai fungsi tujuan: Titik Nilai fungsi tujuan f(x) = 15.000x + 10.000y A (0, 30) f(x) = 15.000(0) + 10.000(30) = 300.000 Pembahasan: B (10, 20 ) f(x) = 15.000(10) + 10.000(20) Misalkan jumlah meja dan kursi yang akan = 350.000 dibeli diwakilkan oleh dua variabel berikut, C (20, 0) f(x) = 15.000(20) + 10.000(0) Meja = x D (0, 0) = 300.000 Kursi = y f(x) = 15.000(0) + 10.000(0) = 0 Fungsi tujuan (fungsi objektif ): memaksimalkan fungsi f(x) = 15.000x + 10.000y Fungsi kendala: Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diper- x + y < 30 oleh adalah Rp350.000,00. 100.000x + 50.000y < 2.000.000 →2x + y = 40 Jawaban D 9

SEGITIGA Trigonometri 1. Pembagian Kuadran 4. Aturan Sinus y C Kuadran II Kuadran I a B Sin dan All (+) b Cosec (+) x Ac Kuadran III Kuadran IV Tan dan Cos dan Cotan (+) Sec (+) abC s=in A s=in B sin C 2. Hubungan sisi segitiga dengan sudut α 5. Aturan Cosinus C r a y α x b B Ac sin α =yr cose=c α si=n1 α r a2 = b2 + c2 − 2bc ⋅ cos A y b2 = a2 + c2 − 2ac ⋅ cos B c2 = a2 + b2 − 2ab ⋅ cos C cos α = x s=ec α co=s1 α r r x tan α = y cot=an α ta=n1 α x JUMLAH DAN SELISIH SUDUT x y 1. Rumus dua sudut trigonometri TIPS & TRIK IDSCHOOL sin(α + β=) sinαcosβ + cosαsinβ Perhatikan segitiga di bawah! Sisi Miring sin(α − β=) sinαcosβ − cosαsinβ α Sisi Depan cos(α + β=) cosαcosβ − sinαsinβ Sisi Samping sin(α − β=) sinαcosβ + cosαsinβ Jembatan Keledai: SinDeMi CosSaMi TanDeSa tan(α + β) =1t−antaαn+αttaannββ 3. Identitas Trigonometri tan(α − β) = tanα − tanβ 1+ tanα tanβ sin2x + cos2x = 1 10

Trigonometri 2. Rumus sudut kembar 1 =1−sicnoαs α 2 sin2=α 2sinαcosα tan α cos2α = cos2 α − sin22αα = 1− 2sin22αα = 2cos2 α −1 tan 1 α = ± 1− cosα 2 1+ cosα tan2α =1−2 tanα tan2 α LUAS SEGITIGA SEMBARANG JUMLAH DAN SELISIH FUNGSI C 1. Jumlah dan selisih → perkali sinα +=sinβ 2 sin 1 (α + β)cos 1 (α − β) ba 2 2 sinα–+=sinβ 2 cos 1 (α + β)sin 1 (α − β) B 2 2 Ac cosα +=cosβ 2 cos 1 (α + β)cos 1 ( α − β) L =∆ABC 1 bc ⋅ sin A 2 2 2 cos α − cosβ = −2 sin 1 (α + β)sin 1 (α − β) L =∆ABC 1 ac ⋅ sin B 2 2 2 2. Perkalian → jumlah dan selisih L =∆ABC 1 ab ⋅ sin C 2 2sinαcos=β sin(α + β) + sin(α − β) −2sinαsi=nβ cos(α + β) − cos(α − β) SUDUT ISTIMEWA TRIGONOMETRI 2cosαsin=β sin(α + β) − sin(α − β) 1. Kuadran I 2cosαco=sβ cos(α + β) + cos(α − β) Sudut 0o 30o 45o 60o 90o sin α 0 1 1 2 1 3 1 cos α 2 2 2 0 RUMUS SUDUT TENGAHAN tan α ∞ 1 1 3 1 2 1 2 2 2 1 1− cosα sin 2 α = ± 2 1 3 0 3 1 3 cos 1 α = ± 1+ cosα 2 2 tan 1 α =1+sicnoαs α 2 11

Trigonometri 2. Kuadran II CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN Sudut 120o 135o 150o 180o 1. Tentukan besar sudut sin 105o + sin 15o! sin α 1 3 1 2 1 0 Pembahasan: cos α 2 2 2 –1 0 120o 90o 1 1 2 1 3 sin105o + sin15=o 2 sin 2 ⋅ cos 2 −2 −2 −2 = 2sin60o ⋅ cos 45o tan α − 3 –1 − 1 3 =2 ⋅ 21 3 ⋅ 1 2 3 2 = 1 6 2 3. Kuadran III Sudut 210o 225o 240o 270o sin α cos α − 1 − 1 2 − 1 3 –1 tan α 2 2 2 0 − 1 3 − 1 2 − 1 2 2 2 1 3 1 3∞ 3 4. Kuadran IV Sudut 300o 315o 330o 360o sin α − 1 3 − 1 2 − 1 0 cos α 2 2 2 1 tan α 0 1 1 2 1 3 2 2 2 −3 –1 − 1 3 3 12

Limit LIMIT FUNGSI ALJABAR 2. lim sin ax = a bx b f(x) x→0 g(x) 1. Hasil akhir substitusi dari lim memiliki 3. lim ax = a sin bx b x→a x→0 bentuk tak tentu 0 4. lim tanx = 1 0 x x→0 a. Kerjakan dengan pemfaktoran: tan ax a bx b lim F(x) lim (x − a) ⋅ f(x) 5. lim = G(x) (x − a) ⋅ g(x) x→a = x→a x→0 = lim f(x) 6. lim ax = a g(x) tan bx b x→a x→0 = f(a) CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN g(a) ( )1. x2 b. Kerjakan dengan L’ Hospital: Nilai dari lim + x − 2 sin(x − 1) = ... x→0 x2 − 2x +1 1 lim F(x) = lim F'(x) A. − 2 G(x) G'(x) x→a x→a = F'(a) B. 1 G'(a) −4 2. Hasil akhir substitusi dari lim f(x) memiliki C. 0 g(x) D. 2 x→∞ E. 4 bentuk ∞ Pembahasan: ∞ 0, n < m =ba00 , n m ( )lim ∞, n > m x→0 lim a0 x n + a1xn−1 ++.=.....++abnm x2 + x − 2 sin(x −1) b0xm + b1xm−1 x→∞ x2 − 2x +1 = lim (x −1) (x + 2)sin(x −1) x→0 (x −1) (x −1) 3. Bentuk lim[f(x) − g(x)] lim ( x 2 ) sin( x −1) (x − 1) x→∞ = x→0 + (a. lim ax2 + bx + c − )ax2 + px + q =b2−ap = 2×1 x→∞ ( )b. lim (ax + b) − =2ab2a− p =2 x→∞ a2x2 + px + q Jawaban: D LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI Persamaan dasar dalam limit fungsi trigonometri: sinx 1. lim x =1 x→0 13

Turunan RUMUS DASAR TURUNAN yang memenuhi .... A. x < −1 atau x > 4 1. Persamaan turunan B. x < −3 atau x > 1 f ( x h) f ( x ) C. −1 < x < 1 atau 1 < x < 3 f ' ( x ) = lim + h − D. −3 < x < 1 atau x > 1 h→0 E. −3 < x < −1 2. Tabel fungsi dan turunannya Pembahasan: Syarat untuk fungsi turun adalah f’(x)<0, Sehingga perlu dicari turunannya terlebih dahulu Funsi f(x) Turunan f’(x) x2 +3 f(x) = k f’(x) = 0 f ( x ) = x −1 f(x) = xn f’(x) = n⋅kxn−1 f ' ( x ) = 2x ( x −1) − (x2 + 3)1 f(x) = u ± v f(x) = u’ ± v’ (x −1)2 f(x) = u ⋅ v f(x) = u’v + uv’ = 2x2 − 2x − x2 − 3 (x −1)2 f(x) = u f ' ( x ) = u' v− uv ' = x2 − 2x − 3 v v2 (x −1)2 y = f(g(x)) y’ = f’(g(x)) ⋅ g’(x) (x − 3)(x +1) y = sin x y’ = cos x = (x −1)2 y = cos x y’ = −sin x Mencari himpunan penyelesaian yang memenuhi syarat. f'(x) < 0 PENGGUNAAN TURUNAN ( x −3)(x + 1) < 0 (x −1)2 1. Menentukan gradien (m) garis singgung Perhatikan bahwa penyebut akan selalu Jika titik g(xa1,r eiysn1)sgitanenrglegptueankrsgpaamddiaafa(ynx1=,myf(1=x) )dfm’a(paxk)aat bernilai positif. Untuk memenuhi nilai gradien hd kurang dari nol, ma nilai pembilang harus diperole negatif. Pembilang negatif dan penyebut positif 2. Menentukan nilia dan kriteria kurva (naik/ +++ −−− +++ turun, minimal/maksimal) −1 3 a. Turun f’(x) < 0 b. Naik f’(x) > 0 +++ +++ c. Maksimal f’(x) = 0 f’’(x) < 0 1 d. Minimal f’(x) = 0 Gabungan kedua syarat: f’’(x) > 0 e. Titik belok f’’(x) = 0 CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN −1 1 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah −1 < x < 1. Fungsi f (x) = x2 + 3 akan turun untuk nilai x x −1 1 atau 1 < x < 3. Jawaban: C 14

DEFINISI INTEGRAL Integral JENIS INTEGRAL 1. Simbol integral: ∫ 1. Integral Substitusi 2. Jika turunan fungsi F(x) adalah f(x) maka ∫ f (g(x))g'(x)dx = ∫ f (u)du ∫ f(x)=dx F(x) + C 2. Integral Parsial 3. Fungsi integral untuk eksponen dengan n ≠ 1 ∫u d=v uv − ∫ v du diberikan melalui persamaan di bawah. ∫=xn 1 xn+1dx + C INTEGRAL TRIGONOMETRI + n 1 1. ∫ sinx dx =−cosx + C INTEGRAL TAK TENTU ∫2. cosx=dx sinx + C Tabel rumus dasar pada integral tak tentu: ∫3. tanx dx =−ln cosx + C Fungsi f(x) Hasil Integral ∫4. sec2 x=dx tanx + C ∫ kxndx k ⋅ 1 1x n+1 + C + n ∫5. cot a=n x dx ln sin x + C ∫ x −1dx = ∫ 1 dx ln x + C a x b ∫6. a cos=bx dx sin bx + C ∫(f (x) ± g(x))dx ∫ f (x)dx ± ∫g(x)dx ∫7. a sin bx dx =− ba cos bx + C ∫ sin x dx −cos x + C ∫ cos x dx sin x + C ∫8. sinn x ⋅ cos x d=x 1 1sinn+1 x +C ∫ sin (ax + b) dx + ∫ cos (ax + b) dx 1 n a − cos ( ax + b) + C ∫9. cosn x ⋅ sin x dx =− n1+ 1cosn+1 x + C 1 sin(ax + b ) + C ∫10. cosec2 x dx =−co tanx + C a INTEGRAL TENTU ∫11. sinx ⋅ tanx dx =sec x + C 12. ∫ cosec x ⋅ cotanx dx =−cosec x + C a b a ∫ f (x ) dx = [F( ]x) ∫13. dx dx =−cot x+C sin2 x b = F(b) − F(a) ∫14. dx x=dx tan x + C cos2 15

Integral APLIKASI INTEGRAL b. Dibatasi dua buah kurva dan diputar pada sumbu x 1. Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva a. Dibatasi Sebuah kurva y y y y = f(x) y1 = f(x) y1 = f(x) y2 = g(x) y2 = g(x) bx ab x ab x b b L = ∫ f(x) dx ∫ a b. Dibatasi Dua Buah Kurva V = ( f ( x ) )2 dx y a g(x) f(x) x c. Dibatasi dua buah kurva dan diputar pada sumbu y ab y d y = f(x) y c y = f(x) b ∫=L {f ( x ) − g( x )} dx a 2. Menghitung Volume xx a. Dibatasi sebuah kurva dan diputar pada sumbu x ∫ ( )y V = π d f(y) 2dy y y = f(x) c y = f(x) x a bx ∫V = π b(f(x))2dx a 16

Integral d. Dibatasi dua buah kurva dan diputar pada Pembahasan: sumbu y Bagi luas daerah menjadi beberapa bagian, seperti y y2 = g(x) y terlihat pada gambar di bawah. y2 = g(x) y1 = f(x) y d y1 = f(x) b c x ∫(f(x) − g(x))dx x a f(x) 0 a b c d g(x) x c { d ∫=π d (f(y))2 ∫ f (x) dx c ∫g(x) dx ( )V b − ((g(y))2 dxy b Sehingga, luas daerah yang dibatasi integral pada soal yang diberikan adalah CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN a ∫ ∫ ∫b(f(x) − g(x)) dx + dg(x) dx − c f(x) dx bb 1. Perhatikan gambar di bawah! Jawaban: A y f(x) TIPS & TRIK IDSCHOOL 0a b c d g(x) x Rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva yang memiliki bentuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0: Luas daerah yang diarsir pada gambar di atas dapat dinyatakan dengan rumus .... dengan D = b2 − 4ac b(f(x) − g(x)) dx + dg(x) dx − c f(x) dx a bb ∫ ∫ ∫A. B. b ( f( x ) − g(x )) dx + d ( g( x ) − f (x )) dx ∫a ∫b C. d ( f( x ) − g(x )) dx ∫a ∫ ∫D. d(f(x) − g(x)) dx − dg(x) dx ac E. b ( f( x ) − g(x )) dx + d ( g( x ) − f (x )) dx ∫a ∫c 17

Lingkaran BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN KEDUDUKANTITIKTERHADAP LINGKARAN 1. Bentuk umum persamaan lingkaran: Kedudukan titik (x1, y1) terhadap lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + Ax + By + C =0 dapat dilihat x2 + y2 + Ax + By + C =0 dari hasil substitusi titik ke persamaan lingkaran, dengan kriteria seperti berikut ini. 2. Pusat lingkaran: Pusat = − 1 A, − 21 B  Kedudukan Titik Kriteria 2  Di dalam lingkaran Pada lingkaran x12 + y12 + Ax1 + By1 + C < 0 3. Rumus jari-jari lingkaran: Di luar lingkaran x12 + y12 + Ax1 + By1 + C = 0 x12 + y12 + Ax1 + By1 + C > 0 Jari-jari(r)= 1 A2 + 1 B2 − C 4 4 PERSAMAAN LINGKARAN BERBEDA PUSAT KEDUDUKAN GARIS TERHADAP LINGKARAN 1. Persamaan Umum Lingkaran Pusat O(0,0) dan Kedudukan garis y = mx + c terhadap lingkaran jari-jari r dengan persamaan x2 + y2 + Ax + By + C =0 dapat y dilihat dari nilai diskriminan pada hasil substitusi r persamaan garis ke persamaan lingkaran. Kriteria kedudukan garis terhadap lingkaran adalah sebagai berikut. −r O (0,0) r x Kedudukan Garis Kriteria Memotong lingkaran di dua −r titik D<0 Menyinggung lingkaran x2 + y2 =r2 (hanya ada satu titik potong) D=0 2. Persamaan Umum Lingkaran Pusat P(a,b) dan Tidak memotong lingkaran D>0 jari-jari r y b r P (a,b) a x (x − a)2 + (y − b)2 =r2 18

Lingkaran KEDUDUKAN DUA LINGKARAN Sehingga, persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2, 3) dan melalui titik (5, −1) adalah PDb2eibrsteeurrirtkuaatn-mtudarsuuiant gbr1-udmaahanslirinn2,ggdklaiannrgarnk1 >adrrae2nn, gmanempuiliskaitjPar1id-jaarni (x − 2)2 + (y − 3)2 =25 x2 − 4x + 4 + y2 − 6y + 9 =25 Kedudukan Kriteria x2 + y2 − 4x − 6y + 4 + 9 − 25 =0 Memiliki pusat sama | P1 P2 | = 0 x2 + y2 − 4x − 6y −12 =0 Bersinggungan di | P1 P2 | = r1 − r2 Jawaban:A dalam lingkaran Lingkaran kecil terletak | P1 P2 | ≤ r1 − r2 di dalam lingkaran besar Berpotongan di dua titik r1 − r2 < | P1 P2 | < r1 + r2 Mau kumpulan soal latihan yang lebih banyak lagi dan cara mengerjakannya? Bersinggungan di luar | P1 P2 | = r1 + r2 lingkaran Ayo kunjungi idschool.net Tidak bersinggungan | P1 P2 | > r1 + r2 (saling lepas) CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN 1. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2, 3) dan melalui titik (5, −1) adalah .... A. x2 + y2 − 4x − 6y − 12 = 0 B. x2 + y2 − 4x − 6y − 25 = 0 C. x2 + y2 − 4x − 6y − 13 = 0 D. x2 + y2 − 2x − 3y − 10 = 0 E. x2 + y2 + 2x + 3y + 25 = 0 Pembahasan: Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 3) dan jari-jari r memiliki persamaan: (x − 2)2 + (y − 3)2 = r2 Substitusi titik (5, −1) ke persamaan lingkaran (x − 2)2 + (y − 3)2 = r2 untuk mendapatkan nilai jari-jari. (x − 2)2 + (y − 3)2 =r2 (5 − 2)2 + (−1− 3)2 =r2 (3)2 + (−4)2 =r2 9 +16 = r2 → r2 = 25 19

Irisan Kerucut ELIPS 1. Bagian-bagian penyusun elips LRoeccttuusm y Keterangan: b Penyusun Elips Pusat elips F1(−c,0) F2 (c,0) ax Bagian −a O (0,0) Sumbu mayor O Garis Arah −a → a Q −b (direktris) Sumbu minor −b → b −a, −b, a, b Garis Arah Puncak elips F1 dan F2 (direktris) Fokus elips 2. Persamaan pada elips horizontal y y b −a O (0,0) ax q a satuan P (p, q) b satuan −b x Pusat O(0, 0) p Pusat P(p, q) Keterangan Elips Horizontal Elips Horizontal Pusat Pusat O(0, 0) Pusat P(p, q) Fokus Panjang Sumbu Mayor O(0,0) P(p, q) Panjang Sumbu Minor Puncak (±c, 0) (p ± c, q) Bentuk umum persamaan 2a 2a Garis arah (direktris) 2b 2b Panjang Loctus Rectum (±a, 0) dan (0, ±b) (p ± a, q) dan (p, q ± b) Eksentrisitas x2 x2 =1 (x − p)2 + (y − q)2 =1 a2 + b2 a2 b2 x= a2 x= p ± a2 ±c c LR = 2b2 LR = 2b2 a a e = c e = c a a 20

Irisan Kerucut 3. Persamaan pada elips vertikal yy a −b O (0,0) x b satuan b b P (p, q) a satuan −a a x Pusat O(0, 0) Pusat P(p, q) Keterangan Elips Vertikal Elips Vertikal Pusat O(0, 0) Pusat P(p, q) Pusat O(0,0) P(p, q) Fokus (±c, 0) (p ± c, q) Panjang Sumbu Mayor 2a 2a Panjang Sumbu Minor Puncak 2b 2b Bentuk umum persamaan (±a, 0) dan (0, ±b) (p ± a, q) dan (p, q ± b) Garis arah (direktris) x2 x2 =1 (x − p)2 + (y − q)2 =1 a2 + b2 Panjang Loctus Rectum b2 a2 y = a2 y= q ± a2 ±c c LR = 2b2 LR = 2b2 a a Eksentrisitas e = c e = c a a 21

PARABOLA Irisan Kerucut 1. Parabola dengan pusat O(0, 0) y y Titik Fokus Titik Fokus F(p, 0) x Titik Puncak F(0, p) gx aris arah (direktris) garis arah (direktris) Titik Puncak Keterangan Parabola Horizontal Parabola Vertikal Puncak O(0,0) O(0, 0) Fokus (p, 0) (0, p) Garis arah (direktris) x = −p y = −p Bentuk Umum Persamaan y2 = 4px x2 = 4py 2. Parabola dengan puncak P(a, b) y y x=a Titik Fokus sumbu b Titik Fokus simetri F(a+p, b) y=b F(a, b + p) garis arah Titik Puncak (direktris) x x a garis arah (direktris) Titik Puncak sumbu simetri Keterangan Parabola Horizontal Parabola Vertikal Puncak P(a, b) P(a, b) Fokus (a+p, b) (a, b+p) Garis arah (direktris) x=a−p y=b−p Bentuk Umum Persamaan (y − b)2 = 4p(x − a) (x − a)2= 4p(y − b) 22

Irisan Kerucut HIPERBOLA 1. Bagian-bagian penyusun hiperbola asimtot y asimtot garis arah (direktris) pusat c=2 a2 + b2 hipCe(0r,bbo) la F1(−c, 0) b c x A(−a, 0) B(a, 0) F2(c, 0) a D(0, −b) titik puncak garis arah (direktris) 23

Irisan Kerucut 2. Persamaan pada hiperbola denga pusat O(0,0) yy F2(c, 0) C(0, b) C(−b, 0) c B(0, a) x bc b a D(b, 0) A(−a, 0) a F1(−c, 0) F2(c, 0) x B(a, 0) A(−a, 0) D(0, −b) F1(−c, 0) Hiperbola Horizontal Hiperbola Vertikal Persamaan terkait hiperbola horizontal dan hiperbola vertikal Keterangan Hiperbola Hiperbola Pusat Horizontal Vertikal Fokus O(0,0) O(0,0) Puncak Garis arah (±c, 0) (0, ±c) (direktris) (±a, 0) (0, ±a) Asimtot x= a2 x= a2 Eksentrisitas ±c ±c Loctus Rectum y = b y= b ±a ±a Bentuk umum persamaan e = c e = c a a LR = 2b2 LR = 2b2 a a x2 y2 =1 x2 − y2 =−1 a2 − b2 b2 a2 24

Irisan Kerucut 3. Persamaan pada hiperbola denga pusat P(p, q) y y C x F2 x F1 A b B F2 B a (p, q) a D C b (p, q) D Hiperbola Horizontal A F1 Hiperbola Vertikal Keterangan Hiperbola Hiperbola Pusat Horizontal Vertikal Fokus Puncak P(p, q) P (p, q) Garis arah (p ± c, q) (p, q ± c) (direktris) (p ± a, q) (p, q ± a) Asimtot y= pq ± a2 y= q ± a2 c c Loctus Rectum y − q =± b ( x − p) y − q =± b ( x − p) Bentuk umum a a persamaan LR = 2b2 LR = 2b2 a a (x − p)2 − (y − q)2 =1 (x − p)2 (y − q)2 =−1 a2 b2 b2 − a2 25

Dimensi Tiga BAGIAN-BAGIAN PADA DIMENSI KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG 1. Diagonal Sisi: AF, AH, AC, BE, BG, BD, CF, CH, 1. Kedudukan Titik DG, DE, EG, dan FH a. Kedudukan titik pada garis HG H G EF EF DC DC A A B B Titik A terletak pada garis AB 2. Diagonal Ruang: AG, EC, BH, dan DF b. Kedudukan titik di luar garis HG HG EF EF DC DC A B A B Titik C terletak di luar garis AB 3. Bidang Frontal: ABFE, BCGF, CDHG, DAEH, c. Kedudukan titik pada Bidang ABCD, dan EFGH HG HG EF EF DC DC A B A B Titik A terletak pada bidang ABCD 4. Bidang Diagonal: BDHF dan ACGE d. Kedudukan titik di luar bidang HG HG EF EF DC DC A B A B Titik C terletak pada bidang ABCD 26

Dimensi Tiga 2. Kedudukan Garis b. Sejajar G a. Garis terletak pada bidang H H G EF EF DC DC A B A B Bidang ABFE sejajar dengan bidang ABFE Garis AB terletak pada bidang ABFE b. Garis memotong bidang c. Berpotongan G H G H EF EF DC DC A B A B Bidang ABFE berpotongan bidang ABCD Garis BC terletak pada bidang ABFE c. Garis sejajar bidang JARAK PADA DIMENSI TIGA H G 1. Jarak Titik ke Titik a. Jika diketahui letak titik pada gambar kubus EF (dimensi tiga) dapat menggunakan rumus DC pada theorema pythagoras. =r a2 + b2 A B b. Jika diketahui dua titik koordinat A(x1, y1, z1) Garis GH terletak pada bidang ABFE dan B(x2, y2, z2) 3. Kedudukan Bidang AB = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2 a. Berimpit G 2. Jarak Titik ke Garis H Jarak antara titik A ke garis g adalah panjang EF garis tegak lurus titik A ke garis g (proyeksinya DC titik A pada garis g). A A B Bidang ABFE berimpit dengan bidang ABFE A’ g 27

Dimensi Tiga 3. Jarak Titik ke Bidang 6. Jarak Bidang ke Bidang Jarak antara titik A ke bidang α adalah panjang Jarak antara dua bidang atau jarak bidang ke garis tegak lurus dari titik A ke bidang α. bidang adalah panjang ruas garis yang saling A tegak lurus pada kedua bidang tersebut. βA α A’ A’ α 4. Jarak Garis ke Garis Jarak antara dua garis adalah panjang ruas CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN garis yang menghubungkan antara garis 1. Sebuah kubus ABCD.EFGH mempunyai pertama dan garis kedua, di mana ruas garis panjang rusuk 6 cm, maka jarak titik D tersebut tegak lurus dengan garis pertama dan terhadap bidang ACH adalah .... garis kedua. A. 2 cm B. 2 3 cm P C. 3 cm g D. 3 3 cm E. 4 3 cm P’ h Pembahasan: Perhatikan gambar berikut! 5. Jarak Garis ke Bidang H G Jarak antara garis dan bidang merupakan jarak E F antara garis dengan garis proyeksinya pada D’ C bidang. D g H’ A A 6 cm B α Jarak titik D terhadap bidang ACH sama A’ dengan jarak DD’ di mana D’ merupakan titik proyeksi D pada bidang ACH yang terletak pada garis HH’. BD = diagonal bidang = 6 2 cm maka =DH' 21=BD 3 2 cm DH = 6 cm 28

Dimensi Tiga sehingga, =HH' DH2 + DH'2 = 62 + (3 2 )2 = 36 +18 = 54 = 3 6 cm Selanjutnya perhatikan segitiga HDH’ (siku-siku di D)! H 6 cm 3 6 cm D’ D 3 2 cm H’ Berdasarkan luas segitiga HDH’ akan diperoleh: 21·HH'·DD' = 21·DH'·DH HH'·DD' = DH'·DH DD' = DH'·DH HH' = 3 2·6 3 6 = 18 2 × 6 3 6 6 = 18 12 18 = 12 = 2 3 cm Jadi jarak D ke bidang ACH adalah DD’= 2 3 cm Jawaban: B 29

EKSPONEN Eksponen & Logaritma 1. Sifat-sifat Eksponen 4. Persamaan Fungsi Eksponen i. ap ⋅ aq = ap + q i. af(x) = ag(x) → f(x) = g(x) ii. ap : aq = ap − q ii. F(x)f(x) = F(x)g(x) iii. (a ⋅ b)p = ap ⋅ bp • F(x) = 1 vi. (ap)q = apq • Untuk F(x) ≠ 0 dan F(x) ≠ 1 maka f(x) = g(x) • F(x) = −1, jika (−1)f(x) = (−1)g(x) v. a−p = 1 • F(x) = 0, jika f(x) > 0 dan g(x) > 0 ap 5. Pertidaksamaan Fungsi Eksponen q i. Untuk a > 1 • Jika af(x) > ag(x), maka f(x) > g(x) vi. ap = p aq • Jika af(x) < ag(x), maka f(x) < g(x) ii. Untuk 0 < a < 1 vii. p a ⋅b = p a ⋅ p b • Jika af(x) > ag(x), maka f(x) < g(x) • Jika af(x) < ag(x), maka f(x) > g(x) viii. p a = p a b p b xi. p q=a pq=a 1 LOGARITMA apq x. p q r=a pq=r a 1 1. Sifat-Sifat Logaritma apqr i. alog x =y → ay =x , dengan a > 0, a ≠ 1, dan x > 0 2. Grafik Fungsi Eksponen ii. alo=g xy a log x +a log y a. Untuk nilai x > 1 iii. alo=g yx a log x −a log y y iv. alog xp= p ⋅a log x y = ax v. a log b= c log b x c log a (0, 1) vi. alog a = 1 0 b. Untuk nilai 0 < x <1 vii. aalog b = b y d d ⋅a log b c viii. ac log bd= a log b c= 2. Persamaan Fungsi Logaritma i. alog f=(x) a log g(x) → f=(x) g(x) y = ax ii. f(x)log =g(x) f(x) log h(x) →=g(x) h(x) (0, 1) Syarat: f(x) > 0, g(x) > 0, dan h(x) > 0 0 x 30

Eksponen & Logaritma 3. Grafik Fungsi Logaritma Pembahasan: a. Untuk nilai 0 < a < 1 y ( ) ( )3log36 2 − 3log4 2 3log 12 ( )( )3log36 +3 log4 3log36 −3 log4 =1 3log 122 ( )=  3 36  (0, 1) 3log36 ⋅ 4  log 4  x 0 y = alog x 1 ⋅3 log 12 2 b. Untuk nilai a > 1 = ( 3log 144)( 3log 9) y 1 ⋅3 log 12 2 y = alog x = ( )( )3log 122 3log 32 1 ⋅3 log 12 2 (0, 1) x = (2 ⋅3 log 12)(2 ⋅3 log 3) 0 1 ⋅3 log 12 2 = 2 ⋅ 3log 12 × 2 ⋅1 4. Pertidaksamaan Logaritma 1 ⋅3 log 12 i. Untuk 0 < a < 1 2 • Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) < g(x) dan f(x) > 0, g(x) > 0 = 2 ×2 ⋅1 • Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) > g(x) 1 dan f(x) > 0, g(x) > 0 2 =8 Jawaban: C ii. Untuk a > 1 • Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) > g(x) dan f(x) > 0, g(x) > 0 • Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) < g(x) dan f(x) > 0, g(x) > 0 CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN 3log36 2 − 3log4 2 3log 12 ( ) ( )1. = .... A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 E. 18 31

Barisan & Deret DERET ARITMETIKA barisan geometri baru maka rasio deret/barisan tersebut dapat diketahui melalui rumus berikut. 1. Beda = b = U2 − U1 = U3 − U2 = U4 − U3 = .... r = n+1 p 2. Un =a + (n −1)b a 3. =Sn n ( a + Un ) 2 S=n n (2a + (n − 1)b ) CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN 2 4. U=n Sn − Sn−1 1. Jumlah penduduk suatu kota setiap 10 tahun menjadi dua kali lipat. Menurut perhitungan, pada tahun 2069 nanti akan mencapai 3,2 juta 5. Ut = a + Un orang. Pada tahun 2019, jumlah penduduk 2 kota tersebut mencapai ... orang. 6. Uk + Ul =2Uk+l A. 100.000 D. 200.000 2 B. 120.000 E. 400.000 DERET GEOMETRI C. 160.000 Pembahasan: Misal: 1. Rasio ==r UU=21 UU=23 UU=43 ... UUn1 = jumlah penduduk tahun 2019 2. Un = arn−1 = jumlah penduduk tahun 2069 ( )3. Berdasarkan soal, diperoleh informasi seperti Sn = a rn −1 berikut. r −1 r = 2 (Jumlah penduduk suatu kota setiap sepuluh 4. U=n Sn − Sn−1 tahun menjadi dua kali lipat) 5. U=t a ⋅Un n = 6 (Jumlah penduduk suatu kota setiap sepuluh tahun menjadi dua kali lipat) tUanh=un3,220j6u9tanoanratni agk(aMnemnuenructappearih3it,2unjugtaano,rpaandga) 6. Uk ⋅ Ul = Uk +l 2 Sehingga,   2 U=n U1 ⋅rn−1 DERET GEOMETRI TAK HINGGA 3,2 juta= U1 ⋅ 26−1 1. Untuk deret geometri konvergen (mempunyai 3,2 juta= U1 ⋅ 25 100.000 orang jumlah) dengan −1< r < 1, maka berlaku rumus =U1 3=.20302.000 jumlah deret geometri tak hingga berikut ini. Jadi, jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2019 mencapai 100.000 orang. S∞ = a Jawaban:A 1− r TIPS & TRIK IDSCHOOL Jika di antara bilangan a dan p disisipkan n buah bilangan dan membentuk sebuah deret/ 32

Logika Matematika KONJUNGSI, DISJUNGSI, IMPLIKASI, DAN SIFAT-SIFAT EKUVALENSI EKUIVALENSI 1. p ∧ (q ∨ r) ≡ (q ∧ r) ∨ (q ∧ r) 1. Konjungsi (atau): ∧ 2. p ∨ (q ∧ r) ≡ (q ∨ r) ∧ (q ∨ r) 2. Disjungsi (dan): ∨ 3. p → q ≡ ~p ∨ q 3. Implikasi (jika ... maka ...): → 4. ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q 4. Ekuivalensi ( ... bila dan hanya bila ...): ↔ 5. ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q 5. Nilai kebenaran untuk konjungsi, disjungsi, 6. ~(p → q) ≡ p ∧ ~q 7. p → q ≡ (p → q) ∧ (q → p) implikasi, dan ekuiivalensi. 8. p → q ≡ (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q) p q p∧q p∨q p→q p↔q PENARIKAN KESIMPULAN BB B B B B BS S S S S 1. Modus Ponen SB S S B S SS S S B B P1= p → q (benar) IMPLIKASI, KONVERS, INVERS, DAN P2 = p (benar) KONTRAPOSISI ∴= q (benar) 2. Modus Tollens P1= p → q (benar) p q ~p ~q p → q q → p ~p → ~q ~q→~p P2 =~ q (benar) BB S S B B B B ∴=~ p (benar) BS S B S B B S SBB S B S S B 3. Silogisme P1= p → q (benar) SSB B B B B B P2= q → r (benar) Implikasi Konvers Invers Kontraposisi ∴= p → r (benar) KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI DARI SUATU IMPLIKASI p→q Konvers q→p Invers Kontraposisi Invers ~p → ~q Konvers ~q → ~p Sutau implikasi ekuivalen dengan kontraposisi 33

Matriks KOMPONEN MATRIKS 2. Determinan Matriks Orda 3 × 3 1. Susunan matriks: baris, kolom, diagonal a b c   A =  d e f   x11 x12 ... x1n  Baris  g h i    abc   X =  x21 x22 ... x2n A=d e f    gh i    = a e f −b d f +c d e  xm1 xm2 ... xmn  h i g i g h Kolom Diagonal = a(ei − hf ) − b(di − gf ) + c(dh − ge) 2. Ordo matriks: banyak baris × banyak kolom TIPS & TRIK IDSCHOOL OPERASI MATRIKS + + + −− − 1. Penjumlahan dan Pengurangan a b ca b a. Am×n + Bm×n = Cm×n A=d e fd e b. Berlaku sifat A + B = B + A c. Am×n − Bm×n = Dm×n g h ig h d. Contoh: A = aei + bfg + cdh − gec − hfa − idb a b  +  e f = ca ++ ge b + f   d   g h  d + h   c     a b  −  e f  = ca −− ge b −f  INVERS MATRIKS  c d   g h  d −h      2. Perkalian 1. =A a b  → A=−1 1 d −b  a. Dua buah matriks dapat dikalikan jika jumlah  d    kolom matriks pertama sama dengan jumlah  c  ad − bc  −c a  baris matriks ke dua. 2. AX = B → X = A−1B Am×n × Bn×k =Cm×k 3. XA = B → X = BA−1 4. A−1⋅A = I sama CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN b. A × B ≠ B × A 1. Diketahui matriks A =  1 2 dan matriks AB  3 c. Contoh:  4   a b   p q r = acpp ++ dbss acqq + bt ar + bu  d  ×  s t u  + dt cr + du  c    1 0 yang memenuhi persamaan AB =  0 1  .  DETERMINAN MATRIKS Matriks B yang dapat memenuhi persamaan tersebut adalah .... 1. Determinan Matriks Orda 2 × 2  −2 −1   a b A.   A =  c d  → A = ad − bc  3 − 1   2 2 34

Matriks  −2 −1 C. 5 3     B.  3 1   9 13  2 2 9 5  −2 1  D. 12 3  C.  3 1  3 5  2 2  E.  9 23     −2 1  Pembahasan:   D.  3 − 1   2 1 2 2  4 3  AB−1 =   −2 1 AB−1 ⋅B = 24 1 1 2   3 3 E.  − 3 1  5  2 2  A ⋅I = 2 1 1 2  4 3 3  Pembahasan: 5  =A =42 ++ 39 84++155 5 9 13  1 0  23  1  A=B  0  → A=B I Jawaban A:  B = A−1 Mencari Invers A: A =  1 2  3   4  A −1 = 1  4 −2  −  −3  4 6  1  = 1  4 −2  −2  −3   1   −2 1    =  3 − 1  2 2 Jawaban: D 2. Jika B = 1 2 dan AB−1 = 2 1 maka A = ....    3   3 5   4 A. 5 9 13  23  B. 13 5    9 23  35

Transformasi Geometri PENCERMINAN 4. Pencerminan terhadap Garis y = − x 1. Pencerminan Terhadap Sumbu-x y y b A(a,b) b A(a,–b) y = –x 0a x –b A’(a,b) x –b a 0 –a Matriks Transformasi: A(–b, –a) A(a,b) Sumbu x→=A' =ba ''  1 −01=ba  a     0  −b  =ba ''  0 −01=ba   −b  A(a,b) garisy=−x→=A'  −1  −a     2. Pencerminan Terhadap Sumbu-y y 5. Pencerminan Terhadap Titik Asal O(0, 0) A’(–a,b) b A(a,b) –a y 0 ax b A(a,b) Matriks Transformasi: –a 0 a x A(a,b) Sumbu y→=A' =ba ''   −1 01=ba   −a     0  b  A(–a, –b) –b 3. Pencerminan Terhadap Garis y = x A(a,b) titikO(0,0)→=A' =ba ''   −1 −01=ba   −a     0  −b  y y=x 6. Pencerminan Terhadap Garis x = h b A(a,b) y a A(b, a) x=h 0a b x A(a,b) A’(2h – a, b) b Matriks Transformasi: =ba ''  0 1 =ba  b 0 A(a,b) garisy=x→=A'  1  a  0 a 2h – a x    A(a,b) garisx=h→=A' =ba''   2h − a     b  36

Transformasi Geometri ROTASI/PERPUTARAN 4. Rotasi dengan Pusat P(m, n) sebesar α kemudian diteruskan sebesar β 1. Rotasi dengan Pusat O(0,0) sebesar α y y A(a,b) P(a,b) α P(m,n) α x β O(0,0) x A’(a’, b’) A’’(a’’, b’’) P(a’, b’) =ba ''''   cos(α + β) −sin(α + β)  a−m   m  cos(α + β)  b−n   n  =A''  sin(α + β)   +    =ba''   cosα −sinα  a  =A'     sinα cosα  b  DILATASI 2. Rotasi dengan Pusat P(m, n) sebesar α 1. Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat O(0, 0) dengan faktor skala m y y A(a,b) A’ α P(m,n) A x c B B’ x A’(a’, b’) =ba ''   cosα − sinα  a−m   m  =A' =ba ''  m 0  =ba   am  cosα  b−n   n   m    =A'  sinα   +    0   bm   3. Rotasi dengan Pusat O(0,0) sebesar α kemudian 2. Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat P(k, l) den- diteruskan sebesar β gan faktor skala m y y A’ A(a,b) A α O(0,0) x P(k,l) B B’ β x A’(a’, b’) A’’(a’’, b’’) =ba ''  m 0   a −k   k  m   b −l   l  =A'' =ba ''''   cos(α + β ) −sin(α + β ) a  =A'  0    +     sin(α + β ) cos(α + β )   b      37

Vektor PENYAJIAN VEKTOR 2. Vektor Posisi pada Dimensi Tiga 1. Bentuk Analitik z OA= a=  x1  x= ai + dj z1  y1  y= bi + ej    z1  z= ci + fj a 2. Bentuk Komponen y x a d x a + d x1 y  =b e  y  =b  x  +  →  + e  z c  f  z  c + f  3. Penyajian Vektor pada bidang kartesius 3. Panjang Vektor 5 sat. ke bawah Vektor Vektor Panjang Vektor Posisi p =p x2 + y2 p = (x, y) u =  5 3 sat. ke atas w  −5  ba a = (x1 , y1) AB = (x2 − )x1 2 + (y2 − )y1 2  3   −5  b = (x2 , y2 )  =   5 sat. ke kanan q q = (x, y, z) q = x2 + y2 + z2 3 sat. ke atas v =  −5  5 sat. ke kiri    3  dc c = (x1 , y1, z1 ) CD = d = (x2 , y2 , z2 ) 5 sat. ke kiri (x2 − )x1 2 + (y2 − )y1 2 + (z2 − )z1 2 Keterangan: PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN a. Tanda positif (+): arah vektor ke kanan atau VEKTOR ke atas 1. Pe==nbajumxxlBaAiih++anyyVBAejjktor b. Tanda negatif (−): arah vektor ke kiri atau ke a + b= ( xA + xB )i + ( yA + yB ) j a + b= a 2 + b 2 + 2 a b cosα bawah. VEKTOR POSISI DAN PANJANG VEKTOR 2. Pe==banguxxraBAnii g++ayynBAVjjektor 1. Vektor Posisi pada Dimensi Dua a − b= ( xA − xB )i + ( yA − yB ) j y y1 p OP= p=  x1     y 2  x1 x a − b= a 2 + b 2 − 2 a b cosα 38

Vektor PERKALIAN VEKTOR b. Titik pembagi berada setelah ruas garis ( ) ( )1. Sabi..f atkk-sai−f=aatapk=e−rkkalaian m c. ka = k a A BP n (( kkm+ )ma )=ak=kmaa+ AAPP PB=BP = ( )d. m, ak ,m∈R ∈ R : m : n p = m⋅B + (−n)⋅ A , k,m : m : −n m−n e. ( )f. k a + b = ka + kb 2. Sai.f ata-s⋅ifbat=Pbe⋅rakalian Dua Vektor CONTOH SOAL PEMBAHASAN ( )b. a ⋅ b + c = a ⋅b + a ⋅ c 1. Titik sudut segitiga PQR adalah P(3, 0, 6), ( ) ( ) ( )c. k a ⋅b = ka ⋅b = a ⋅ kb Q(0, −3, −3), dan R(1, 0, −4). Titik A membagi PQ di dalam dengan perbandingan 1 : 2. Titik B d. a ⋅ a =a 2 merupakan titik yang berada di tengah-tengah ruas garis PR. Sedangkan titik C membagi PEMBAGIAN/PERBANDINGAN VEKTOR QR di luar dengan perbandingan 2 : 1. Nilai perbandingan panjang AB : BC adalah .... 1. Perbandingan Vektor di Dalam A. 1 : 3 D. 2 : 1 nB B. 3 : 1 E. 2 : 3 C. 1 : 2 Pembahasan: Ilustrasi segItiga pada soal dapat dilihat pada gambar di bawah. Q(0, 3, −3) mP p m ⋅B + n⋅ A A2 2 A m+n 1 = P(3, 0, 6) 1B 1 R (1, 0, −4) 2. Perbandingan Vektor di Luar −1 a. Titik pembagi berada sebelum ruas garis C mB Mencari titik koordinat A: PA A = 2 (3, 0, 6) + (0,3, −3) + 2 1 n A = (6, 0,12) + ( 0, 3, −3) 3 PAAP PPBB p : = m:n −m ⋅ B + n⋅ A A = (6 + 0, 0 + 3,12 + (−3)) : = −m : n −m + n 3 = =A (=6, 33, 9 ) (2,1,3) 39

Vektor Mencari titik koordinat B: (3, 0, 6 ) + (1, 0, −4 Sehingga, perbandingan AB : BC adalah B = 1+ 1 ) AB 5 BC 5 = 3 B = (3 + 1, 0 + 0, 6 + (−4)) AB =31 → AB 2 BC : BC =1: 3 =B (=4,20,2) ( 2, 0,1) Jawaban: A Mencari titik koordinat C: C = 2 (1, 0, −4 ) + (−1)(0, 3, −3) 2 −1 C = (2,0, −8) + (0, −3, 3) 1 C = (2 + 0, 0 − 3, −8 + 3) 1 C= (2, −3, −5) (2, −3, −5) 1= Panjang AB: AB= B − A =AB (2,0,1) − (2,1,3) AB = (2 − 2,0 −1,1− 3) AB= (0, −1, −2) A=B 02 + (−1)2 + (−2)2 AB= 0 +1+ 4= 5 satuan Panjang BC: BC= C − B BC = (2,−3,−5) − (2,0,1) BC = (2 − 2, −3 − 0, −5 −1) BC = (0, −3, −6) B=C 02 + (−3)2 + (−6)2 BC = 0 + 9 + 36 BC = 45 = 9 × 5 = 3 5 satuan 40

Statistika dan Peluang STATISTIKA • Desil 1. Mean, Median, dan Modus Data Kelompok =Di data ke − i (n + 1) a. Mean: rata-rata 10 x x1f1 + x2f2 + ... + xnfn f1 + f2 + ... + fn = • Persentil i (n + 1) n =Pi data ke − 100 .. + xnfn atau x ∑ xifi . + fn i=1 b. Data Kelompok n • Kuartil ∑ fi i=1 b. Median: nilai tengah data setelah diurutkan Q=i Tb +  i n− fk   4 fi p 1    2 n − fk    p  M=e Q=2 Tb +   fi  • Desil i c. Modus: nilai yang paling sering muncul 10 D=i Tb +  n − fk  (mempunyai frekuensi paling tinggi).  fi p    d1 p  M=o Tb  d1 + d2   +  • Persentil 2. Rumus Kuartil, Desil, dan Persentil =Pi Tb  i n − fk  a. Data Tunggal  100 p +    fi • Kuartil Jenis Rumus Kuartil  Kuartil Data Tunggal Kuartil Bawah Q1 = x 1 (n+1) PELUANG 4 Kuartil Tengah Q2 = x 21(n+1) 1. Permutasi a. Rumus Permutasi k unsur dari n unsur Kuartil Atas Q3 = x 3 (n+1) =nPk n! , k ≤ n 4 −k (n )! 41

Statistika dan Peluang b. Rumus Permutasi a dan b unsur dari n unsur 2. Perhatikan tabel di bawah! n! P = a!b! Berat Badan Frekuensi 50 – 54 4 c. Permutasi siklik 55 – 59 6 P= (n −1)! 60 – 64 8 65 – 69 10 2. Kombinasi 70 – 74 8 75 – 79 4 =n Ck (n −n=k!)!k! n Pk , k ≤ n Kuartil atas dari data pada tabel adalah .... k! A. 69,50 C. 70,08 E. 71,08 B. 69,78 D. 70,78 Pembahasan: CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN Kuartil atas = Q3 Jumlah data = 4 + 6 + 8 + 10 + 8 + 4 = 40 1. Dalam sebuah kotak ada 4 bola merah dan 3 bola hitam. Dari dalam kotak tersebut diambil Letak kuartil atas (Q3) pada data ke =43 × 40 =30 satu buah bola pertama dan satu buah bola kedua secara berturut-turut tanpa pengembalian. Perhatikan tabel yang sudah dilengkapi dengan Peluang terambilnya bola pertama merah dan frekuensi komulatif kurang dari (fkk) dan letak bola kedua putih adalah .... kuartil atas. A. 2 D. 2 7 B. 3 5 Berat Badan Frekuensi fkk 7 E. 3 panjang 50 – 54 4 4 5 kelas (p = 5) 55 – 59 6 5 8 10 fkk sebelum C. 7 60 – 64 10 18 kelas Q3 65 – 69 8 28 Pembahasan: 70 – 74 4 75 – 79 36 fLie=ta3k6Q3 A : kejadian terambilnya sebuah bola merah 40 pada pengambilan pertama Tb = 70 – 0,5 P(A) = 4 = 69,5 7 B : kejadian terambilnya sebuah bola hitam Sehingga, nilai kuartil atasnya adalah: pada pengambilan kedua  3 ·40 − 28  63= 1 =69,5 +  4  P(B | A=) 2 Q3 36 × 5   Dengan demikian peluang terambilnya bola  pertama merah dan bola kedua hitam adalah: Q3 =69,5 +  30 − 28  × 5  36  P(A ∩B) =P(A)·P(B | A) Q3 =69, 5 +  2  × 5 P(A ∩B) =74·21  36  P(A ∩B) =72 Q3 = 69,5 + 0,28 = 69,78 Jawaban: B Jawaban: A 42