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Módulo 4: Sucesiones y Sumatorias

Contenido 1.1 Sucesiones Empecemos por definir que es una Sucesión. Las sucesiones son conjunto de elementos u objetos que conservan su forma respecto a una regla determinada. Además, podemos considerar una sucesión como una función de un subconjunto de números enteros a un conjunto S (usualmente {0, 1, 2, 3, 4, …} o {1, 2, 3, 4, …}). Usualmente usamos la notación an para identificar la imagen de un entero n. Podemos pensar que an es el equivalente de f(n) donde f es una función desde {0, 1, 2, …} a S. Ejemplo: an = 1/n { an } = {a1, a2, a3, …}; entonces la solución es: 1, ½, 1/3, ¼, … Las sucesiones las podemos clasificar como sucesiones finitas y sucesiones infinitas. Las sucesiones finitas son aquellas que sus elementos se pueden determinar en n pasos. Los elementos se encuentran en un orden especifico. Las sucesiones infinitas son aquellas que sus elementos no se pueden determinar en n pasos, ya que tienden a continuar indefinidamente. Veamos estas dos sucesiones: • 2, 5, 8, 11, 14, 17 • 3, 5, 7, 9, 11, … Según la definición de la clasificación, podemos llegar a la conclusión que la primera es una sucesión finita y la segunda es una sucesión infinita. En adición a estas sucesiones nos podemos encontrar con la sucesión de Fibonacci. Esta la podemos definir como f0, f1, f2, …, para f0 = 0, f1 =1; como condiciones iniciales y una relación recurrente (será discutido más adelante en el módulo) fn = fn-1 + fn-2 Ejemplo: Determine f2, f3, f4, f5 y f6 Solucion: f2 = f1 + f0 = 1 + 0 = 1 f3 = f2 + f1 = 1 + 1 = 2 f4 = f3 + f2 = 2 + 1 = 3 f5 = f4 + f3 = 3 + 2 = 5

f6 = f5 + f4 = 5 + 3 = 8 1.1.1 Modelado de Fórmulas de Sucesiones La fórmula de una sucesión es aquella expresión de una o más variables que permite expresar el termino genérico de una sucesión. Esto tiene gran relevancia en el análisis de algoritmos complejos. Estas fórmulas se pueden dividir en dos tipos; fórmulas explícitas y fórmulas recurrentes. Las fórmulas explícitas se diseñan basadas en el valor exacto de un término en la sucesión. Las fórmulas recurrentes se diseñan basada en un índice que se refiere a la posición de un término y no al valor como la anterior. Veamos el siguiente ejemplo para una fórmula explicita. Ejemplo: Determine la sucesión para el cuadrado de números impares. Solución: Lo primero que identificamos es que es una sucesión infinita, no menciona hasta que numero impar. Por lo tanto, esta descrita como 12, 32, 52, 72, … Esto nos lleva a determinar la fórmula que cumpla con las condiciones: an = (2n – 1)2 Ahora veamos un ejemplo para determinar una formula recurrente. Ejemplo: Si tenemos – 5, 4, 13, 22, … determine la formula recursiva Solución: a1 = - 5 (condición inicial); por lo tanto, an = an-1 + 9, n ≥2 1.1.2 Relaciones Recurrentes Una relación recurrente para la sucesión {an} es una ecuación que expresa an en términos de uno o más de los términos previos de la sucesión, llamada, a0, a1, …, an-1, para todos los enteros n con n ≥ n0; donde n0 es un numero entero no-negativo. Ejemplo: Sea {an} la sucesión que satisface la relación recurrente an = an-1 + 3 para n = 1, 2, 3, 4, … y supone a0 = 2. ¿Cuáles son a1, a2, a3? Solución: a1 = a0 + 3 = 2 + 3 = 5 a2 = 5 + 3 = 8

a3 = 8 + 3 = 11 1.1.3 Solución de Relaciones Recurrentes Encontrar la fórmula para el nth término de una sucesión generado por una relación recurrente es llamado la solución de la relación recurrente. Esta fórmula es llamada fórmula cerrada (“closed formula”). Aquí ilustraremos el método de iteración donde necesitamos “adivinar” la formula. Veamos el ejemplo: Si {an} es la sucesión que satisface la relación recurrente an = an – 1 + 3 para n = 2, 3, 4, … y suponga que a1 = 2. Solución: a2 = 2 + 3 a3 = (2 + 3) + 3 = 2 + 3 * 2 a4 = (2 + 2 * 3) + 3 = 2 + 3 * 3 . . . an = an – 1 + 3 = (2 + 3 * (n – 2)) + 3 = 2 + 3(n – 1) 1.2 Progresiones Se denomina una progresión como una serie de números, sucesiones o términos algebraicos que pueden seguir un modelo dado. Tenemos dos tipos de progresiones: la progresión geométrica y la progresión aritmética. A continuación, veremos lo que distingue a cada una. 1.2.1 Progresión Geométrica La progresión geométrica es una secuencia que tiene la siguiente forma: a, ar, ar2, …, arn, … donde el primer término a y la razón r son números reales. Ejemplo: Si a = 2 y r = 5 {cn} = {c0, c1, c2, c3, …} = {2, 10, 50, 250, 1250, …}

1.2.2 Progresión Aritmética La progresión aritmética es una secuencia que tiene la siguiente forma: a, a + d, a + 2d, …, a + nd, … donde el primer término a y la diferencia d son números reales. Ejemplo: Si a = - 1 y d = 4 {sn} = {s0, s1, s2, s3, s4, …} = {- 1, 3, 7, 11, 15, …} 1.3 Sumatorias Una sumatoria es la suma de los términos am, am + 1, …, an de la sucesión {an}; esta sumatoria la expresaremos así: ∑������������=������ ������������ Y esto a su vez representa: am + am + 1 + … + an La variable j representa el índice de suma, y comienza con un entero desde el nivel más bajo (m) y termine en su límite más alto (n). Ejemplos: r0 + r1 + r2 + r3 + … + rn = ∑0������ ������������ 1 + 1 + 1+ 1+⋯= ∑1∞ 1 2 ������ 3 4 Si S = {2, 5, 7, 10} entonces ∑������∈������ ������������ = a2 + a5 + a7 + a10 1.3.1 Propiedades de la Sumatoria En esta sección se discutirán las cuatro propiedades relacionadas a las sumatorias. 1. El número de sumandos y de términos de una sumatoria es igual al índice superior menos el índice inferior más la unidad. ������ ∑ ������������ = (������ − ������) + 1] = ������ú������������������������ ������������ ������é������������������������������������ ������ = ������ 2. La sumatoria de una constante es igual al producto del número de sumandos por la constante. ������ ∑ [(������ − ������) + 1] ������ ������ = ������ 3. La sumatoria en el que el término general es una suma algebraica esta se puede descomponer en sumatorias independientes.

������ ������ ������ ∑ (������������2 + ������′������) = ∑ ������������2 + ∑ ������′������ ������ = ������ ������ = ������ ������ = ������ ������������������������������ ������ ������ ������′������������������ ������������������������������������������������������������ 4. Una sumatoria cuyo índice inferior no es la unidad puede descomponerse de esta manera. ������ ������ ������ − 1 ∑ ������������ = ∑ ������������ − ∑ ������������ ������ = ������ ������ = 1 ������ = 1 Veamos varios ejemplos: a. Determine el número de términos de la siguiente expresión: 45 ∑ ������ = (45 − 5) + 1 = 41 5 b. Hallar la sumatoria de la siguiente expresión 45 ∑ 4 = [(45 − 5) + 1] 4 = 164 ������ = 5 c. Descomponer la siguiente sumatoria ������ ������ ������ ∑ (2������ + 3������) = ∑ 2������2 + ∑ 3������ ������ = ������ ������ = ������ ������ = ������ d. Hallar la sumatoria de la siguiente expresión 11 11 4 ∑ ������ = ∑ ������ − ∑ ������ ������=5 ������=1 ������=1