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Módulo 1: Lógica Proposicional

Contenido 1.1 Proposiciones Para poder entender lo que es una proposición se debe examinar primero lo que es la lógica. La lógica es el fundamento del razonamiento matemático y sus reglas definen las oraciones o expresiones matemáticas. Estas reglas son usadas para distinguir si un argumento es valido o no. La lógica es ampliamente usada para el diseño de circuitos digitales, desarrollo de programados de computadora y validaciones de estos. Por otro lado, las proposiciones son esa pieza que le da el fundamento a la lógica. La proposición es una oración declarativa que puede ser Cierta (“Truth”) o Falsa (“False”), pero no ambas. Por lo general, estas se identifican con la letra T para las proposiciones ciertas y la letra F para las proposiciones falsas. Por ejemplo: • El sol sale por el este y se esconde por el oeste. • 2+2=4 • La letra b es una vocal. Las tres oraciones o expresiones son proposiciones, pero las primeras dos son ciertas (T) y la ultima es falsa (F). Expresiones que tengan mas de un valor cierto (T) o ninguno, no son proposiciones. Por ejemplo: • ¿Qué hora es? • Vamos a jugar. • X+1=2 Para expresar proposiciones como las antes vistas, usaremos variables. Estas variables son, por conveniencia; p, q, r, s. Por ejemplo, podemos dividir la proposición El sol sale por el este y se esconde por el oeste, en dos proposiciones. El sol sale por el este como la proposición p y se esconde por el oeste como la proposición q. De esta manera representamos las proposiciones usando variables, esto es muy conveniente a la hora de usar proposiciones compuestas y en el diseño de las tablas de la verdad. 1.2 Conectivos Lógicos Ya sabemos que una proposición puede tomar dos valores, Cierto (T) o Falso (F); y de esta manera podemos evaluar todos los posibles escenarios al unir dos proposiciones por un

conectivo lógico. El conectivo lógico es lo que hará que dos proposiciones se conviertan en una proposición compuesta. Para lograr esto existen diversos conectivos lógicos. • Negación, cuyo símbolo es: ¬ Si tenemos la proposición p, la negación de esta será expresada como ¬ p. Lo que al traducirse significa: el valor opuesto a p. Por ejemplo, “El día esta soleado”; la negación puede ser expresada como “El día no está soleado”. • Conjunción, cuyo símbolo es: ˄ Si tenemos las conjunciones p y q, su conjunción se expresaría p ˄ q. Lo que significa que la conjunción es cierta si ambas son ciertas. Ejemplo: p = “Hoy es viernes” q = “Hoy está lloviendo” p ˄ q = “Hoy es viernes y hoy está lloviendo” Esto seria cierto si es viernes y si está lloviendo, si no se cumple alguna de las condiciones la hace falsa. • Disyunción, cuyo símbolo es ˅ Si tenemos las conjunciones p y q, su conjunción se expresaría p ˅ q. Lo que significa que la conjunción es cierta si cualquier proposición es cierta. Si usamos el ejemplo anterior, tendríamos que seria cierto si es viernes o si está lloviendo; o ambas condiciones. Las dos proposiciones no se tienen que cumplir; de igual forma seria falso si no es viernes y si llueve otro día que no es viernes. • O Exclusivo (Exclusive OR – XOR), cuyo símbolo es ⊕ Si tenemos las conjunciones p y q, su conjunción se expresaría p ⊕ q. Lo que significa que la conjunción es cierta si una de las proposiciones es cierta y la otra es falsa. Si ambas son ciertas o ambas son falsas hacen la proposición falsa. Si usamos el ejemplo anterior, tendríamos que sería cierto si es viernes o si está lloviendo. Seria falso si ambas son ciertas o si ambas son falsas; en otras palabras, una de ellas tiene que ser cierta. • Implicación, cuyo símbolo es → Si tenemos las conjunciones p y q, su conjunción se expresaría p → q. En este caso p es una hipótesis o premisa y q es una conclusión o consecuencia. La implicación es falsa si p es cierta y q es falso, para todas las demás posibilidades es cierto.

• Bi-condicional, cuyo símbolo es ↔ Si tenemos las conjunciones p y q, su conjunción se expresaría p ↔ q. En este caso se hace cierto si ambas tienen valores ciertos o valores falsos. Si una de ella es cierta y la otra falsa, hace la proposición falsa. 1.3 Tablas de la Verdad Las Tablas de la Verdad o “Truth Tables” representan en un formato de filas y columnas todas las posibles combinaciones de valores. A continuación, se presentan las Tablas de la Verdad para cada uno de los conectivos lógicos. 1. Tabla de la Verdad para Negación p ¬p TF FT Según se explicó en la sección anterior, la proposición negada simplemente invierte el valor de la proposición original. 2. Tabla de la Verdad para Conjunción q p˄q p TTT TFF FTF FFF En esta tabla podemos corroborar la función de conjunción, el resultado o unión de dos proposiciones es cierto si ambas son ciertas; de lo contrario es falso. 3. Tabla de la Verdad para Disyunción q p˅q p TTT TFT FTT FFF

Contrario a la conjunción, la disyunción de dos proposiciones se hace cierta cuando cualquier valor de las proposiciones es cierto. 4. Tabla de la Verdad para XOR p q p⊕q TTF TFT FTT FFF Esta tabla demuestra el conectivo de O-exclusivo, al fijarnos bien podemos notar que se hace cierta siempre y cuando los valores de las proposiciones sean distintos; si son iguales se hace falsa. 5. Tabla de la Verdad para Implicación q p→q p TTT TFF FTT FFT En esta tabla se demuestra que la implicación siempre será cierta a menos que la hipótesis sea cierta y la conclusión falsa. 6. Tabla de la Verdad para Bi-condicional p↔q pq TTT TFF FTF FFT Si ambos valores son iguales se cumple el bi-condicional, si son diferentes valores el resultado es falso.