TCOM 500 M3 Flip Book

Módulo 3: Funciones

Contenido 1.1 Funciones Para los historiadores de las matemáticas, el concepto moderno de función lo dio el matemático suizo Leonhard Euler. Sin embargo, antes que Euler, el matemático y filósofo francés Rene Descartes (1596–1650) mostró en sus trabajos de geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de ``variable’’ y ``función’’, realizando una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultánea, las ecuaciones que las representan. Esta definición de función permaneció sin cambio hasta los inicios de 1800 cuando Fourier en su trabajo sobre las series trigonométricas, encontró relaciones más generales entre las variables. La definición de Fourier es: “En general, la función f(x) representa una sucesión de valores u ordenadas cada una de las cuales es arbitraria. Para una infinidad de valores dados a la abscisa x, hay un número igual de ordenadas f(x). Todas tienen verdaderos valores numéricos, ya sea positivos o negativos o nulos. No suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una ley común; se siguen una a la otra, de cualquier manera, como sea, y cada una de ellas está dada como si fuera una cantidad única” (Rüting, 1984). Para efectos del curso el concepto de función se asumirá similar al de correspondencia o aplicación. Muchos matemáticos diferencian el concepto de correspondencia con el de aplicación y el de aplicación con el de función. Aquí la explicación: • Sean A y B conjuntos numéricos. Si cada elemento de A está relacionado con uno y solo un elemento del conjunto B se dice que f es una función y se escribe f: A→B. Así que f(x)=y si y es el único elemento de B asignado por f al elemento x de A. La notación f(x) para una función de x se debe al matemático suizo Leonhard Euler. Si A= Conjunto de los números reales= R, se hablará de función real. Ejemplo: Si f: R→R es una relación definida por f = {(x, y) / 7xy-4x+2y=5}. ¿es f una función? Solución: Despejamos para y: y = (4x+5) / (7x+2), Para que esto se cumpla 7x + 2 ≠ 0 x ≠ - 2/7; por lo tanto, f no es función. 1.1.1 Dominio e Imágenes de una Función

De una función se pueden mencionar y definir conjuntos de gran importancia en el desarrollo de las matemáticas y de las ciencias, estas son: dominio e imágenes. Por ejemplo, en las aplicaciones de lenguajes de programación se utiliza para evaluar la variable de control de un ciclo. Si tenemos los conjuntos A y B y una función definida de A en B, entonces el dominio de la función es A. Podemos expresarlo como D(f) = {x | xfy} = A. Usando esta misma relación podemos determinar las imágenes para la función. Las imágenes de una función son todos aquellos segundos elementos de la función. Podemos expresarlo Im(f) = {y |xfy}. Algunos matemáticos le llaman a este concepto rango de una función o codominio. Veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo: Basado en la imagen que se presenta, determine lo siguiente: • f(a) = ___; en este caso si nos fijamos bien el elemento a tiene correspondencia con z, por lo tanto, la respuesta es z. • Imagen de c = ___; basado en la definición de imagen seria la z. • Dominio de f = ___; según la definición de dominio tenemos que sería A. • Codominio de f = ___; según la definición seria B. En la próxima sección veremos los distintos tipos de funciones y su aplicación al área de estudio. 1.2 Clasificaciones o tipos de Funciones Existen varios tipos de funciones usadas con gran aplicación en matemáticas, en esta sección veremos las de tipo reales.

1.2.1 Función Lineal Una función lineal es aquella cuyo dominio y rango son números reales y su expresión es un polinomio de primer grado de la forma, f(x) = ax + b; donde a y b son constantes. Ejemplo: A = {1, 3, 4} y B = {2, 4, 5} y f(x) = x + 1; determine f f(1) = 2; f(1) = 1 + 1 = 2; por lo tanto, f(3) = 4; f(4) = 5 1.2.2 Función Idéntica Función en el cual cada elemento del dominio tiene como imagen a el mismo, f(x) = x. 1.2.3 Función por tramos Función formada por la unión de dos o más funciones, f(x) = f1x Imagen recuperada: https://medium.com/@matematicasdiscretaslibro/cap%C3%ADtulo-9-funciones-75268894b5bb 1.2.4 Función Constante Función donde los elementos del dominio tienen la misma imagen. Ejemplo f(x) = 5. 1.2.5 Función Inyectiva Esta función también conocida como uno a uno, donde cada elemento del codominio es imagen de un solo elemento en el dominio.

1.2.6 Función Sobreyectiva Una función de A a B es sobreyectiva si los elementos de B son imagen de al menos un elemento en A. 1.2.7 Función Biyectiva Una función es biyectiva solo si es inyectiva y sobreyectiva a la misma vez. 1.2.8 Función Inversa Una función de A a B tiene inversa si es biyectiva. Esta función se representa como f-1, esta a su vez seria la función de B a A. 1.2.9 Composición de Funciones Si tenemos la función f de B a C y la función g de A a B; la composición de f y g, simbolizada f ᵒ g es la función de A a C.

Ejemplo: Determine f ᵒ g y g ᵒ f f(x) = x2 g(x) = 2x + 1 f ᵒ g = f(g(x)) = (2x + 1)2 g ᵒ f = g(f(x)) = 2x2 + 1 1.3 Gráficas de Funciones Sea f una función del conjunto A al conjunto B, su grafica será el conjunto de pares ordenados {(a,b) | a ∈A and f(a) = b}. Ejemplos: f(x) = 2x + 1 f(x) = x2

La grafica a representa una función de piso (“floor”) y la gráfica b representa una función de techo (“ceiling”). El tema de graficas será discutido con más detenimiento en el módulo ocho.