STAT300_M4

Módulo 4: Medidas de variación STAT 300

Objetivos de aprendizaje En esta unidad aprenderemos a: 1. Explicar las caracterizaciones de variación de una distribución de frecuencia bajo análisis. 2. Evaluar las medidas descriptivas de variación acorde a la distribución de frecuencias de datos no agrupados o agrupados; con el apoyo del programado MS Excel. 3. Juzgar las medidas de variación (dispersión) y forma de distribuciones de frecuencias de datos no agrupados y agrupados. 4. Explicar el Teorema de Chebyshev y la regla empírica. 2

Medidas de variación ▪ También conocidas como medidas de dispersión, ofrecen información Rango sobre la variabilidad de los datos en relación con la medida de tendencia Coeficiente Variación Varianza central. de Igual centro, variación diferente variación Desviación estándar

Medidas de variación: Rango Datos no agrupados ▪ Medida mas elemental de variación. ▪ Diferencia entre dato mayor y menor. Rango = X mayor – X menor Ejemplo: Rango = 30-21 = 9 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Medidas de variación: El rango puede ser engañoso Datos no agrupados ▪ Ignora la forma en que los datos se distribuyen 21 22 23 24 25 26 21 22 23 24 25 26 Rango = 26-21 = 5 Rango = 26-21 = 5 ▪ Sensitivo a puntos extremos Rango = 55-11 = 44 11,11,11,11,22,22,22,22,22,33,33,33,33,44,55 11,11,11,11,22,22,22,22,22,33,33,33,33,44,155 Rango = 155-11 = 144

Medidas de tendencia: varianza de la muestra Datos no agrupados ▪ Promedio aproximado de las desviaciones cuadradas de los datos en relación con la media. o Varianza de la muestra: n Donde (Xi − X)2 S2 = i=1 n-1 X = media aritmética n = tamaño de la muestra Xi = valor ésimo de la variable X

Medidas de variación: desviación estándar de la muestra Datos no agrupados ▪ Medida de variación mayormente utilizada. ▪ Demuestra la variación en relación con la media ▪ Es la raíz cuadrada de la varianza ▪ Contiene las mismas unidades que los datos originales o Desviación estándar de la muestra: n (Xi − X)2 S = i=1 n-1

Medidas de variación: desviación estándar Datos no agrupados Pasos para calcular la desviación estándar 1. Calcule la diferencia entre cada valor del arreglo ordenado y la media. 2. Eleve al cuadrado cada diferencia. 3. Sume los cuadrados de las diferencias. 4. Divida el total por n-1 para obtener la varianza de la muestra. 5. Calcule la raíz cuadrada de la varianza de la muestra.

Medidas de variación: Rango Datos agrupados ▪ Medida mas elemental de variación. ▪ Diferencia entre marca de clase de intervalo mayor y menor. Rango = m mayor – m menor Ejemplo: Distribución de frecuencias del tiempo de espera en minutos para recibir un servicio de una institución financiera Clase Intervalo m f F f/n F/n Rango = 56.5-16.5 = 40.0 1 12 21 16.5 4 4 0.20 0.20 2 22 31 26.5 6 10 0.30 0.50 3 32 41 36.5 5 15 0.25 0.75 4 42 51 46.5 3 18 0.15 0.90 5 52 61 56.5 2 20 0.10 1.00

Medidas de variación: varianza de la muestra Datos agrupados ▪ Para datos agrupados, la varianza de la muestra se calcula ������ ������������ − ���ത��� 2(������ሻ Donde ������ − 1 ������2 = ෍ ���ത��� = media aritmética n = tamaño de la muestra ������=1 mi = marca de clase del intervalo fi = frecuencia absoluta de la clase Ejemplo: Distribución de frecuencias del tiempo de espera en minutos para recibir un servicio de una institución financiera Clase Intervalo m f F f/n F/n 1 12 21 16.5 4 4 0.20 0.20 2 22 31 26.5 6 10 0.30 0.50 3 32 41 36.5 5 15 0.25 0.75 4 42 51 46.5 3 18 0.15 0.90 5 52 61 56.5 2 20 0.10 1.00

Medidas de variación: desviación estándar de la muestra ▪ Desviación estándar de la muestra cuando los datos son agrupados, es la raíz cuadrada de la varianza para datos agrupados Ejemplo: Distribución de frecuencias del tiempo de espera en minutos para recibir un servicio de una institución financiera Clase Intervalo m f F f/n F/n 1 12 21 16.5 4 4 0.20 0.20 2 22 31 26.5 6 10 0.30 0.50 3 32 41 36.5 5 15 0.25 0.75 4 42 51 46.5 3 18 0.15 0.90 5 52 61 56.5 2 20 0.10 1.00

Medidas de variación: contraste de desviaciones estándar Datos X Media = 15.5 s = 3.338 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Datos Y Media = 15.5 s = 0.926 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Datos Z Media = 15.5 s = 4.570 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Medidas de variación: contraste de desviaciones estándar Menor desviación estándar Mayor desviación estándar

Medidas de variación: resumen de características 1. A mayor separación de los datos, mayor el rango, la varianza y la desviación estándar. 2. Mientras más concentrados se encuentren los datos, menor el rango, la varianza y la desviación estándar. 3. Si todos los valores son iguales, no existe variación. 4. En la práctica, ninguna de las tres medidas son cero nunca.

Medidas de variación: coeficiente de variación ▪ Mide la variación relativa ▪ Se expresa en porciento (%) ▪ Presenta variación relativa a la media ▪ Puede utilizarse para comparar la variabilidad entre dos o más conjuntos de datos con diferentes unidades de medición ������ ������������ = ���ത��� (100ሻ

Medidas de variación: contraste de coeficientes de variación ▪ Valor X: o Precio promedio el pasado año = $200 o Desviación estándar= $55 ������������ = ������ 100 = 25050(100) = 27.5% Ambos valores ���ത��� tienen la misma desviación ▪ Valor Y: estándar; pero el valor X es menos o Precio promedio el pasado año = $175 variable en relación con su o Desviación estándar= $55 precio. ������������ = ������ 100 = 15755(100) = 31.4% ���ത���

Resumen de medidas de variación Datos no Rango Rango = X mayor – X menor agrupados n Varianza (Xi − X)2 S2 = i=1 n-1 Desviación estándar n Coeficiente de variación (Xi − X)2 Rango S = i=1 Varianza n-1 ������ ������������ = ���ത��� (100ሻ Datos Rango = m mayor – m menor agrupados ������ ������������ − ���ത��� 2(������ሻ ������ − 1 ������2 = ෍ ������=1 Desviación estándar Coeficiente de variación ������ ������������ = ���ത��� (100ሻ

Rango intercuartílico (RI) ▪ El RI = Q3 – Q1 y mide la dispersión el centro del 50% de los datos. ▪ También conocido como dispersión media ya que cubre el 50% de los datos centrales. ▪ El RI es una medida de variación que no se impacta por valores extremos. ▪ Medidas como el Q1, Q3, y RI que no se impactan por puntos extremos, son conocidas como medidas de resistencia.

Cálculo del rango intercuartílico Ejemplo de diagrama de caja y bigotes: X Q1 Mediana Q3 X (Q2) mínimo máximo 25% 25% 25% 25% 22 30 45 77 90 Rango intercuartílico = 77 – 30 = 57

Regla empírica ▪ La regla empírica, aproxima la variación de los datos en una distribución simétrica (acampanada) ▪ Establece que aproximadamente el 68% de los datos en la distribución simétrica (acampanada) se encuentran a ± una (1) desviación estándar de la media, µ ± 1σ 68% μ μ 1σ

Regla empírica (cont.) ▪ Aproximadamente el 95% de los ▪ Aproximadamente el 99.7% de los datos en la distribución simétrica datos en la distribución simétrica (acampanada) se encuentran a ± (acampanada) se encuentran a ± dos (2) desviaciones estándar de la tres (3) desviaciones estándar de la media, µ ± 2σ media, µ ± 3σ 95% 99.7% μ  2σ μ  3σ

Regla empírica: ejemplo ▪ Suponga que la variable, puntuación en prueba estandardizada de entrada a la universidad, tiene forma acampanada con media de 525 y desviación estándar de 100. Entonces, o 68% de quienes tomaron la prueba obtuvieron puntuaciones entre 400 y 600 (500 ± 100). o 95% de quienes tomaron la prueba obtuvieron puntuaciones entre 300 y 700 (500 ± 200). o 99.7% de quienes tomaron la prueba obtuvieron puntuaciones entre 200 y 800 (500 ± 300).

Regla de Chebyshev ▪ Indistintamente de cómo se distribuyen los datos, por lo menos (1 - 1/k2) x 100% de los valores se encuentran a k desviaciones estándar de la media (para todo k > 1) o Ejemplos: Al menos entre (1 - 1/22) x 100% = 75% …....... k=2 (μ ± 2σ) (1 - 1/32) x 100% = 89% ………. k=3 (μ ± 3σ)

Recursos para repaso de conceptos y prácticas ▪ Elorza, A. (2008). Estadística para Ciencias Sociales del comportamiento y de la salud. México: Cengage Leasing Editores https://www.uv.mx/rmipe/files/2015/09/Estadistica-para-las-ciencias- sociales-del-comportamiento-y-de-la-salud.pdf ▪ Pérez Juste, R. (2012). Estadística aplicada a las Ciencias Sociales. Madrid: Universidad Nacional de Educación a Distancia ▪ Medidas de variación o https://www.youtube.com/watch?v=2it1aEsA0Yk o https://www.youtube.com/watch?v=1myBo87lYyU o https://youtu.be/Y2mv3eFVRSI o https://youtu.be/pMRBbo3tn1w

¡Felicitaciones ha revisado el resumen teórico del tema de esta semana! Recuerde que para construir exitosamente su aprendizaje es importante que: Repase cuantas veces requiera la información contenida en la carpeta de módulos (incluye esta presentación). Lea el material de referencia para aclarar dudas. Desarrolle todas las actividades según consta en las instrucciones. Envíe las tareas en la fecha indicada a través de la plataforma educativa. Participe activamente en las sesiones colaborativas.