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Módulo 2: Conjuntos

Contenido 1.1 Conjuntos La teoría de conjuntos fue estudiada por el matemático alemán Georg Cantor en el siglo XIX, este fue considerado como el padre de esta teoría. Es considerada teoría importante en las matemáticas como objeto propio de estudio; utilizando métodos propios y relacionada a muchas otras teorías matemáticas. Un conjunto es la agrupación de elementos u objetos no repetidos ni ordenados. Estos elementos u objetos están bien definidos y cumplen una propiedad determinada. Ejemplo de elementos pueden ser personas, animales, letras o números. Los siguientes son ejemplos de conjuntos: • amarillo, azul, rojo, blanco • 3, 6, 9, 2, 8 • m, a, k, i, x Se puede denotar del ejemplo anterior que todos estos elementos son de una misma clase; colores, números, letras y así podríamos definir muchos más. Una vez identificados se procede a nombrar ese conjunto. Para esto utilizaremos letras mayúsculas del abecedario. Si el conjunto contiene letras, estas se usarán en forma de minúsculas. Este método se conoce como notación de conjuntos por extensión o “roster notation”. Por ejemplo: • A = {amarillo, azul, rojo, blanco} • B = {3, 6, 9, 2, 8} • C = {m, a, k, i, x} Si tuviéramos un conjunto que repite elementos, tales como 1, 3, 6, 6, 8, 1; lo podríamos expresar de dos formas. A = {1, 3, 6, 6, 8, 1} ó B = {1, 3, 6, 8} En este caso no es necesario repetir los elementos en común, basta con que se representen una vez. Otro caso que debemos tener en cuenta es cuando tenemos un conjunto que contiene todos los elementos de una clase. Por ejemplo, el abecedario, no es necesario mostrar o escribir todos los elementos. Se puede representar de la siguiente manera: A = {a, b, c, d, e, …, z}

Otros conjuntos del tipo extensión usados frecuentemente en matemáticas son los siguientes: • N = números naturales = {0, 1, 2, 3, …} • Z = enteros = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} • R = todos los números reales • C = números complejos • Q = números racionales El otro tipo de notación de conjuntos es el de comprensión. Este enuncia la cualidad o propiedad que representan los elementos. La notación es {x / x cumple con propiedad}. Esta se lee el conjunto de x tal que x cumple con la propiedad. Los ejemplos son los siguientes: • S = {x / x es un positivo menor de 10} • O = {x / x es un numero primo entre 0 y 20} 1.1.1 Tipos de Conjuntos Existen seis tipos de conjuntos y estos son: a. Conjunto Finito – Este conjunto es aquel cuya cantidad de elementos se pueden contar. b. Conjunto Vacío – Este conjunto se le conoce como nulo o sin elementos. Este se representa con los siguientes símbolos: ∅, {} c. Conjunto Unitario – Conjunto que solo contiene un elemento. A = {3} d. Conjunto Binario – Conjunto que contiene dos elementos. B = {2, -2} e. Conjunto Universal – Un conjunto es universal respecto a otro conjunto si, A ⊆ U. En este caso U es universal referente al conjunto A. Por ejemplo: U = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, A = {3, 9, 11}, B = {2, 5, 7, 9}, C = {1, 7, 11, 5} U es universal con respecto a A y C, y no con B. B contiene elementos que no están en U Conjunto Infinito – Conjunto donde no se pueden contar o nombrar todos sus elementos. Por ejemplo: A = {N}, conjunto de números naturales. 1.2 Relaciones de Conjuntos Existen tres tipos de relación entre conjuntos. Estos son pertenencia, inclusión e igualdad.

1.2.1 Pertenencia La relación de pertenencia se da cuando un elemento x pertenece al conjunto A o que x esta dentro de A. Este se simboliza: x ∈ A Ax x ∉ A ¬ Ax (en este caso es si no pertenece) Ejemplo: El conjunto de colores rojo, azul y blanco son los de la bandera de Estados Unidos. Por lo tanto, rojo ∈ A, azul ∈ A, blanco ∈ A 1.2.2 Inclusión En cuanto a la inclusión se refiere cuando un conjunto es el subconjunto de otro. Podríamos decir que el conjunto A es un subconjunto de B y expresarlo de la siguiente manera. A⊆B A ⊈ B (si la condición es que no pertenece) A es subconjunto de B si todos los elementos de A también están B, por lo tanto, podemos A⊆B expresarlo: (Ɐx)(x∈A → x∈B) Ejemplo: El conjunto de estudiantes de ingeniería es un subconjunto de todos los estudiantes en la universidad. Si A es un conjunto de B, pero existen elementos del conjunto B que no están A, entonces A es un subconjunto propio de B y se expresa así: A⸦B Entonces A es un conjunto propio de B o A esta propiamente incluido en B. A ⊆ B (Ɐx)(x∈A → x∈B) ˄ (Ǝx)(x∈B ˄ x∉A) Ejemplo: Instrucciones: Entrarán al foro asignado para este módulo y discutirán porque es cierto o falso cada enunciado. Si tenemos los siguientes conjuntos: A = {3, 5, 6, 9, 4} B = {3, 4, 7, 9, 6, 5} C = {3, 9, 5, 7, 4, 6, 8}

Cierto o Falso: a. B ⸦ A b. B ⊆ A c. A ⸦ C 1.2.3 Igualdad Por último, tenemos la igualdad, que la vamos a denotar por A = B. Esto quiere decir que todo elemento de A esta en B y viceversa, sin importar el orden que estén los elementos en cada conjunto. A = B (Ɐx)(x ∈ A ↔ x ∈ B) Ejemplo: A= {x/x es un número primo positivo menor que 8} B= {x/x es un factor de 210} Compruebe que A = B A= {2, 3, 5, 7} B= {2, 3, 5, 7} Por lo tanto, pudimos comprobar que A = B 1.3 Operaciones con Conjuntos Con los conjuntos podemos aplicar cuatro tipos de operaciones. Estos son: unión, intersección, diferenciación y complemento. 1.3.1 Unión La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos comunes y no comunes de ambos conjuntos (sin repetir elementos) y se expresa: A∪B {x/x ∈ A ˅ x ∈ B} Ejemplo: Determine la unión para A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} también se puede representar mediante gráficos la operación de unión de dos conjuntos:

1.3.2 Intersección La intersección de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos que ambos conjuntos tengan en común y lo podemos expresar: A∩B {x/x ∈ A ˄ x ∈ B} Ejemplo: Determine la intersección para A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} A ∩ B = {3} también se puede representar mediante gráficos la operación de intersección de dos conjuntos: 1.3.3 Complemento Si U es un conjunto universal con respecto al conjunto A, entonces el complemento de A son los elementos de U que no están en A. Lo describimos de la siguiente manera: Ā o A’ Ā = {x ∈ U | x ∉ A} Ejemplo: Si U son los enteros menores de 100, determine el complemento {x/x > 70} Solución: {x/x ≤ 70} La representación gráfica seria:

1.3.4 Diferenciación La diferencia entre de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos no comunes del conjunto B respecto al conjunto A; es decir, los elementos que están en A, pero no están en B y se expresa A-B. A – B = {x | x ∈ A  x ∉ B} La representación gráfica es la siguiente: Ejemplo: Determine la siguiente operación de conjuntos: C - B dado que B = {1,2,9,5}, C = {2,4,6,9} y U= {1,2,9,5,4,6,8,7} Solución: C – B = {4, 6} 1.4 Identidades de Conjuntos En esta sección se discutirá las identidades y/o leyes aplicables a los conjuntos. Los conjuntos tienen una serie de símbolos y operaciones derivadas del algebra y el cálculo y se utilizan básicamente para demostrar la igualdad entre conjuntos o construir y simplificar conjuntos complejos y siempre que tengan determinadas propiedades. A continuación, la descripción de estas identidades y su aplicación. • Leyes de Identidad o A∪∅=A o A∩U=A • Leyes de Dominación o A∪U=U o A∩∅=∅ • Leyes de Idempotencia o A∪A=A

o A∩A=A • Ley de Complementación o • Leyes Conmutativas o A∪B=B∪A o A∩B=B∩A • Leyes Asociativas o A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C o A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C • Leyes Distributivas o A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) o A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) • Ley de De Morgan o A∪B=A∩B o A∩B=A∪B • Ley de Absorción o A ∪ (A ∩ B) = A o A ∩ (A ∪ B) = A • Leyes de Complemento o A∪A=U o A∩A=∅ Aplicaciones: Veamos el siguiente ejemplo de como podemos aplicar las leyes de identidad de conjuntos. Ejemplo: Compruebe que A – B = A ∩ B A – B = {x | x ∈ A  x ∉ B}: definición de diferencia = {x | x ∈ A  ¬ (x ∈ B)}: definición no pertenencia

= {x | x ∈ A  x ∈ B} =A∩B