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Módulo 5: Matrices

Contenido 1.1 Matrices Empecemos por definir que es una matriz. Una matriz es un arreglo rectangular de números. Este arreglo de numero esta expresado en termino de filas (m) y columnas (n). Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, … y los elementos de estas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, … Un elemento que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij. Si el elemento aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz: A = (aij). El número total de elementos de una matriz A m x n es m * n. Veamos el ejemplo de cómo representar una matriz A m x n ������11 ������12. . . ������1������ ������22. . . A = [ ������21 ������������2. . . ������2������ ] ������������1 ������������������ La ith fila de A es la matriz 1 x n es: [ ai1 ai2 … ain]; mientras que la jth columna de A es la ������1������ matriz m x 1: [ ������2������ ] ������������������ El elemento (i, j) de A es el elemento aij. Podemos decir que A = [������������������] para denotar la matriz con su término (i, j) igual aij. Ahora veamos los distintos tipos de matrices. 1.1.1 Tipos de Matrices A continuación, veamos los tipos de matrices más comunes y/o que estaremos aplicando en este curso. Veamos la siguiente tabla que nos muestra el tipo de matriz, su definición y un ejemplo de esta. Tabla 1.1 Tipos de Matrices Tipo de matriz Definición Ejemplo Fila Matriz que tiene una sola fila, A1x3 = [7 2 − 5] Columna siendo su orden1xn −7 Matriz que tiene una columna, A3x1 = [ 1 ] siendo su orden mx1 6

Tipo de matriz Definición Ejemplo Rectangular Traspuesta Matriz que tiene distinto 13 2 9 Opuesta número de filas que de A3x4 = [5 7 −1 8] 0 3 5 1 Nula Cuadrada columnas, siendo su orden Simétrica Antisimétrica mxn, m≠n Dada una matriz A, su A = [13 2 57] traspuesta se obtiene −4 cambiando ordenadamente las 13 filas por columnas. Se At = [2 − 4] representa como At 57 La matriz opuesta de una 13 matriz A se obtiene A = [ 5 − 7] sustituyendo cada elemento de −6 4 la matriz por su opuesto. La −1 −3 opuesta de A es – A. - A = [− 5 7] −4 Si todos los elementos son 6 cero es una matriz nula. Se 00 denomina matriz cero y se 00 0 0] 03x4 = [0 0 00 00 denota como 0 mxn Matriz que tiene igual número 1 9 −6 de filas y columnas, m = n. Se A3= [ 0 2 1 ] denota como matriz de orden −2 4 5 n. Matriz cuadrada que es igual a 1 9 −6 su traspuesta. A3= [ 9 2 1 ] A = At, aij = aji Matriz que es igual a la −6 1 5 opuesta de su traspuesta. A = - At, aij = - aji 0 9 −6 A3 = [ 9 0 1 ] −6 1 0 Donde aji = 0

Tipo de matriz Definición Ejemplo Diagonal Matriz donde tiene todos sus 70 0 Escalar elementos nulos excepto la A = [0 5 0 ] Identidad diagonal principal. 0 0 −2 Triangular Matriz cuadrada que tiene Ortogonal todos sus elementos nulos 700 excepto los de la diagonal A = [0 7 0] Normal principal y son iguales. Matriz cuadrada que tiene 007 todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal 100 principal que son iguales a 1. I = [0 1 0] Matriz cuadrada que tiene todos los elementos por 001 encima o por debajo de la diagonal principal nulos. 13 5 A = [0 4 − 1] Una matriz ortogonal es cuadrada e invertible: A-1 = At 00 9 La inversa de una matriz 100 ortogonal es una matriz A = [5 4 0] ortogonal. 287 El producto de dos matrices A * At = At * A = I ortogonales es una matriz ������1 ������2 ������3 ortogonal. A = [������1 ������2 ������3] * Una matriz es normal si ������1 ������2 ������3 conmuta con su traspuesta. ������1 ������1 ������1 1 0 0 Las matrices simétricas, [������2 ������2 ������2] = [0 1 0] asimétricas u ortogonales son ������3 ������3 ������3 0 0 1 normales. A = [−54 54] A * At = At * A

Tipo de matriz Definición Ejemplo Inversa Decimos que una matriz cuadrada tiene inversa (A-1) si A = [21 13]; se verifica que: A * A-1 = A-1 * A-1 = [−11 −32] A=I 1.2 Operaciones con Matrices Al igual que realizamos operaciones básicas aritméticas con números, también lo podemos hacer con matrices. En esta sección aprenderás como trabajar operaciones de suma, multiplicación, inversas y otras propiedades y leyes comúnmente usadas en el algebra. 1.2.1 Suma La suma de dos matrices A = (aij) mxn y B = (bij) pxq de la misma dimensión, m = p y n =q es otra matriz C = A+B = (cij) mxn = (aij + bij). Veamos: A = [������������1211 ������12 ������������1233]; B = [������������1211 ������12 ������������1233] ������22 ������22 A + B = [������������2111 + ������11 ������12 + ������12 ������13 + ������������1233] + ������21 ������22 + ������22 ������23 + Ejemplo: A = [42 −3 −57] ; B = [−13 0 28] 1 5 A + B = [31 −3 17] 6 Nota: No se puede sumar matrices de distinto tamaño. 1.2.2 Propiedades de la Suma • Propiedad Conmutativa A+B=B+A Esta propiedad indica que puedes sumar dos matrices en cualquier orden y obtener el mismo resultado. Ejemplo: [32 47] + [85 21] = [32 + 5 7 + 21] = [180 59] + 8 4 +

Si comprobamos sumando B + A debe dar lo mismo. • Propiedad Asociativa (A + B) + C = A + (B + C) Esta propiedad indica que puedes cambiar la agrupación en la suma de matrices y obtener el mismo resultado. Ejemplo: A = [52 28] B = [39 46] C = [13 07] Solución: Apliquemos el lado izquierdo de la propiedad A + B = [181 164]; ahora le sumamos C =[194 261] Verifique si obtiene lo mismo usando el lado derecho de la propiedad. • Propiedad de la Identidad Esta propiedad establece que sumar una matriz y cero (0) obtendremos como resultado la matriz. A + 0 = A • Propiedad del Inverso Aditivo A + (- A) = 0 La opuesta de una matriz A es la matriz – A, en la cual cada elemento es el opuesto del elemento en la matriz A. Ejemplo: A = [−−32 81], entonces – A = [32 −−81] Si sumamos ambas matrices obtendremos como resultado igual a cero (0). 1.2.3 Multiplicación En cuanto a la multiplicación veremos dos tipos de operaciones; multiplicación de un escalar por una matriz y multiplicación de dos matrices. • Multiplicación de un escalar por una matriz: Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por cada termino en la matriz, produciendo una matriz del mismo orden. Veamos el ejemplo: A = [10 −2 83] 1 ������ = 5

λ * A = 5 * A = 5 * [10 −2 38] = [05 −10 −1450] 1 −5 • Multiplicación de dos matrices: Dadas dos matrices A = (aij) mxn y B = (bij) pxq donde n = p, es decir, el numero de columnas de la primera matriz es igual al numero de filas de la segunda. 1.2.4 Propiedades de la Multiplicación • Propiedad Asociativa (cd)A = c(dA) Ejemplo: c = 2, d = 3 y A = [58 14] Solución: (2*3) [85 41] = [66������������58 66������������14] = [4308 264] Compruebe de la forma c(dA) si se obtiene el mismo resultado y así corroborar la propiedad asociativa. • Propiedad Distributiva c(A + B) = cA + cB Ejemplo: c = 2, A = [53 21] y B = [32 46] Solución: 2 * [53 12] + [32 64] = 2 * [53 + 3 2 + 64] = 2 * [58 76] = [22������������85 22������������67] = + 2 1 + [1160 1124] Compruebe utilizando el otro lado de la ecuación, debe obtener el mismo resultado. • Propiedad de la Identidad Esta propiedad establece que cuando se multiplica cualquier matriz A por el escalar 1, el resultado es simplemente la matriz original A. Ejemplo: A = [12 57] Solución:

= [11������������21 11������������75] = [12 57] • Propiedad Multiplicativa del Cero Esta propiedad establece que, en la multiplicación escalar, 0 por cualquier matriz A de m x n es la matriz cero de m x n. Ejemplo: 0 * [36 87] = [00 00]