ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

รายวชิ า คณิตศาสตร์ รหสั วชิ า ค23102 ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 3 ผูส้ อน อ.ปรวรรต ศกั ดพิ์ รหม

แนะนาระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร ให้ a, b, c, d, e และ f เป็นจำนวนจรงิ ท่ี a, b ไม่เปน็ ศนู ยพ์ รอ้ มกนั และ c, d ไม่เปน็ ศนู ยพ์ รอ้ มกัน ระบบทีป่ ระกอบด้วยสมกำร ax + by = e cx + dy = f เรยี กวำ่ ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปรทีม่ ี x และ y เปน็ ตัวแปร โดยที่ a และ c เปน็ สัมประสิทธ์ิของ x b และ d เปน็ สัมประสทิ ธิข์ อง y

แนะนาระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร จงพจิ ำรณำว่ำ ระบบสมกำรต่อไปนเี้ ปน็ ระบบสมกำรเชิงเสน้ สองตัวแปรหรือไม่ 4x + 3y = 10 x(x + 3) = 4 5x - 3y = -7 2x – y = 0 5x – y = 2 4y = 8 ตอบ ตอบ ตอบ เป็น ไม่เปน็ เปน็ เพรำะ x(x+3)=4 คอื ������2 + 3������ = 4

คาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร คำตอบของระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตวั แปร คอื คู่อนั ดบั (x,y) ที่สอดคลอ้ งกับ สมกำรท้งั สองของระบบสมกำร หรอื กล่ำวไดว้ ่ำ เป็นค่อู นั ดับ (x,y) ทค่ี า่ x และคา่ y ทาใหไ้ ดส้ มการท่ีเป็นจรงิ ทั้งสองสมการ ตัวอย่าง จำกระบบสมกำร จำกสมกำร 2x – 5y = -23 จำกสมกำร 4x + y = 9 แทนค่ำได้ 2(1) – 5(5) = -23 แทนคำ่ ได้ 4(1) + 5 = 9 2x – 5y = -23 4x + y = 9 2 – 25 = -23 4+5=9 -23 = -23 9=9 พจิ ำรณำวำ่ (1,5) เปน็ คำตอบ ของระบบสมกำรนห้ี รือไม่ สมการเป็นจริง สมการเปน็ จรงิ

คาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร กำรพจิ ำรณำคำตอบของระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตวั แปรจำกกรำฟ ตวั อย่างท่ี 1 กำหนดให้ 3x – y = 3 2x + y = 2 เน่อื งจำกกรำฟเสน้ ตรงทงั้ สองตัดกันท่ี (1,0) เพยี งจุดเดียว ดงั นั้น คาตอบของระบบสมการนี้ จงึ มเี พยี ง คาตอบเดียว คอื (1,0)

คาตอบของระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร กำรพิจำรณำคำตอบของระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตัวแปรจำกกรำฟ ตวั อย่างที่ 2 กำหนดให้ 2x – 4y = 2 x – 2y = 1 เนื่องจำกกรำฟเส้นตรงทั้งสองทับกนั หรือเปน็ เสน้ ตรงเดียวกัน ดงั นั้น คาตอบของระบบสมการน้ี จงึ มี มากมายไมจ่ ากดั

คาตอบของระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร กำรพิจำรณำคำตอบของระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปรจำกกรำฟ ตัวอยา่ งท่ี 3 กำหนดให้ 3x – 2y = -6 3x – 2y = 3 เน่อื งจำกกรำฟเส้นตรงทัง้ สองขนำนกัน จงึ ไม่ มีจดุ ตดั ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการนี้ จึงไม่มี คาตอบ

คาตอบของระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร สรปุ คำตอบของระบบสมกำรเชิงเสน้ สองตวั แปร มี 3 กรณี มคี าตอบเดยี ว มีคาตอบมากมายไม่จากดั ไมม่ คี าตอบ

คาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร ลองทาดู จำกกรำฟของระบบสมกำรเชงิ เสน้ สองตวั แปรตอ่ ไปน้ี จงพจิ ำรณำวำ่ แตล่ ะระบบสมกำรมคี ำตอบหรือไม่ ถำ้ มคี ำตอบคืออะไร คาตอบของระบบ ระบบสมการนี้ ระบบสมการน้ี สมการน้ี คือ (3, -3) มีคาตอบมากมาย ไม่มีคาตอบ

ใบงานที่ 1 คาชแ้ี จง จงเขียนกรำฟของระบบสมกำรเชงิ เสน้ สองตัวแปรในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ แล้วพิจำรณำว่ำแตล่ ะระบบสมกำรนั้นมคี ำตอบเดียว หรือ มคี ำตอบ มำกมำยไมจ่ ำกดั หรอื ไมม่ ีคำตอบ 1) x + 2y = 4 3) x – 3y = 6 2x + 3y = 7 2x – 6y = 8 2) y + x = -2 4) 2x – y = -3 2y + 2x = -4 -4x + 2y = 6

เฉลยใบงานท่ี 1

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร กำรพิจำรณำคำตอบของระบบสมกำรเชงิ เสน้ สองตวั แปรจำกกรำฟเส้นตรง อำจทำให้ไดค้ ำตอบทคี่ ลำดเคลื่อน เนื่องจำก

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร เพอื่ ควำมถูกตอ้ งในกำรหำคำตอบของระบบสมกำร เรำอำจใช้สมบตั ิกำร เทำ่ กนั เช่น • สมบตั สิ มมาตร • สมบตั กิ ารเทา่ กนั • สมบตั ิของการเท่ากนั เกี่ยวกบั การบวก • สมบัตขิ องการเท่ากนั เกย่ี วกบั การคูณ มำช่วยในกำรหำคำตอบของระบบสมกำรได้

การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร ตวั อย่างที่ 4 จงแก้ระบบสมกำรตอ่ ไปนี้ x + 2y = 1 x – 2y = 5 วิธที า (วิธีที่ 1) x + 2y = 1 .............. 1 x – 2y = 5 ..………… 2 1 + 2 , (x + 2y) + (x – 2y) = 1 + 5 แทน x ดว้ ย 3 ใน 1 จะได้ 3 + 2y = 1 x + 2y + x – 2y = 6 2y = -2 2x = 6 y = -1 x = 3 ดงั นน้ั ระบบสมการนีม้ คี าตอบคอื (3,-1)

การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร ตัวอย่างท่ี 4 จงแกร้ ะบบสมกำรตอ่ ไปน้ี แทน y ด้วย -1 ใน 1 จะได้ x + 2(-1) = 1 x + 2y = 1 x + (-2) = 1 x – 2y = 5 x=3 วิธที า (วธิ ีท่ี 2) x + 2y = 1.............. 1 ดังนัน้ ระบบสมการนีม้ ีคาตอบคือ (3,-1) x – 2y = 5 ..………… 2 1 – 2 , (x + 2y) - (x – 2y) = 1 – 5 x + 2y - x + 2y = -4 4y = -4 y = -1

การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ตัวอย่างที่ 5 จงแกร้ ะบบสมกำรต่อไปนี้ 3x + 2y – 2 = 0 2x + 2y + 1 = 0 วธิ ที า 3x + 2y – 2 = 0 .............. 1 2x + 2y + 1 = 0 ..………… 2 1 – 2 , (3x + 2y - 2) - (2x + 2y + 1) = 0 แทน x ดว้ ย 3 ใน 1 จะได้ 3x + 2y – 2 – 2x – 2y – 1 = 0 3(3) + 2y – 2 = 0 x–3 = 0 2y + 7 = 0 x=3 y = − ������ ������ ดงั นน้ั ระบบสมการน้มี ีคาตอบคือ (3, − ������) ������

การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ตวั อยา่ งท่ี 6 จงแก้ระบบสมกำรต่อไปน้ี 3x – 4y = 0 3x + 4y = -24 วิธที า 3x – 4y = 0 .............. 1 3x + 4y = -24 ..………… 2 1 + 2 , (3x – 4y) + (3x + 4y) = 0 + (-24) แทน x ดว้ ย -4 ใน 1 จะได้ 3(-4) – 4y = 0 3x – 4y + 3x + 4y = -24 -12 – 4y = 0 6x = -24 -4y = 12 x = -4 y = -3 ดังนัน้ ระบบสมการน้มี ีคาตอบคือ (-4,-3)

การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร ตวั อยา่ งท่ี 7 จงแกร้ ะบบสมกำรตอ่ ไปน้ี -2x + 3y = -13 2x + 4y = -8 วธิ ีทา -2x + 3y = -13 .............. 1 2x + 4y = -8 ..………… 2 1 + 2 , (-2x + 3y) + (2x + 4y) = (-13) + (-8) แทน y ด้วย -3 ใน 1 จะได้ -2x + 3(-3) = -13 -2x + 3y + 2x + 4y = -21 -2x – 9 = -13 7y = -21 -2x = -4 y = -3 x=2 ดังน้ัน ระบบสมการนีม้ คี าตอบคือ (2,-3)

ใบงานท่ี 2

เฉลยใบงานท่ี 2

สรปุ การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร กำรแกร้ ะบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปรดว้ ยวธิ กี ำรกำจดั ตัวแปร (elimination method) มีข้นั ตอนดังน้ี 1. ทำสมั ประสิทธข์ิ องตวั แปรใดตวั แปรหนึ่งใหเ้ ป็นจานวนตรงข้ามกนั หรือเป็นจานวนทเี่ ทา่ กัน 2. นำจำนวนทอ่ี ยู่ข้ำงเดยี วกันของเครื่องหมำยเท่ำกับของสมกำรท้ังสอง มำบวกหรือลบกัน สมกำรจะเหลือเพียงตวั แปรเดยี ว 3. แกส้ มกำรเพื่อหำค่ำของตวั แปร 4. นำค่ำของตวั แปรทไี่ ด้ไปแทนในสมกำรที่เหมำะสม เพ่อื หำคำ่ ของตัว แปรทเี่ หลอื

การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร ตวั อย่างที่ 8 จงแก้ระบบสมกำรต่อไปนี้ แทน y ด้วย -2 ใน 1 จะได้ x + 4(-2) = -5 x + 4y = -5 x – 8 = -5 3x + 2y = 5 x=3 วิธีทา x + 4y = -5 .............. 1 ดงั นน้ั ระบบสมการนีม้ คี าตอบคอื (3,-2) 3x + 2y = 5 ..………… 2 1 × 3 , 3x + 12y = -15 …………… 3 3 – 2 , (3x + 12y) – (3x + 2y) = -15 – 5 3x + 12y – 3x – 2y = -20 10y = -20 y = -2

การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ตวั อย่างที่ 9 จงแกร้ ะบบสมกำรต่อไปน้ี 0.2x – 0.3y = -0.5 0.5x – 0.2y = -0.7 วิธที า 0.2x – 0.3y = -0.5 .............. 1 0.5x – 0.2y = -0.7 ..………… 2 1 × 10 , 2x – 3y = -5 ………….. 3 2 × 10 , 5x – 2y = -7 ………….. 4 3 × 2 , 4x – 6y = -10 ………….. 5 4 × 3 , 15x – 6y = -21 ………….. 6

การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร ตัวอย่างท่ี 9 จงแกร้ ะบบสมกำรต่อไปน้ี แทน x ดว้ ย -1 ใน 3 จะได้ 0.2x – 0.3y = -0.5 2(-1) – 3y = -5 0.5x – 0.2y = -0.7 -2 – 3y = -5 -3y = -3 วิธีทา y=1 5 – 6 , (4x – 6y) – (15x – 6y) = -10 – (-21) ดงั นน้ั ระบบสมการน้มี คี าตอบ คือ (-1,1) 4x – 6y – 15x + 6y = 11 -11x = 11 x = -1

การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร ตวั อยา่ งท่ี 10 จงแกร้ ะบบสมกำรต่อไปนี้ 2x + 4y = 3 3x + 6y = 8 วิธที า (6x + 12y) – (6x + 12y) = 9 – 16 6x + 12y – 6x – 12y = -7 0 = -7 ซง่ึ เปน็ สมการที่ไมเ่ ปน็ จรงิ ดงั นนั้ ระบบสมการนไ้ี ม่มีคาตอบ

การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร ตวั อย่างที่ 11 จงแก้ระบบสมกำรต่อไปนี้ x – 2y = -3 -3x + 6y = 9 วิธที า x – 2y = -3 ………. 1 -3x + 6y = 9 ………. 2 2 ÷ (-3) , x – 2y = -3 ………. 3 จะเหน็ ว่ำ สมกำร 3 ท่ไี ดจ้ ำกสมกำร 2 เป็นสมกำรเดียวกันกบั สมกำร 1 แสดงวำ่ สมกำร 1 และสมกำร 2 มคี ำตอบเหมือนกนั และมคี ำตอบมำกมำยไม่จำกดั

การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร ตวั อย่างที่ 11 จงแกร้ ะบบสมกำรตอ่ ไปนี้ x – 2y = -3 -3x + 6y = 9 วิธที า x – 2y = -3 …………… 1 -3x + 6y = 9 …………… 2 หำคู่อนั ดบั ท่ีเปน็ คำตอบของระบบสมกำรนไี้ ดจ้ ำกสมกำรใดสมกำรหนงึ่ ดังนี้ จำกสมกำร 1 , 2y = x + 3 y = ������+3 2 ดงั นั้น ระบบสมการนีม้ ีคาตอบมากมายไมจ่ ากัดในรูป ������, ������+������ ������

ใบงานท่ี 3

เฉลยใบงานท่ี 3