อัตราส่วนตรีโกณมิติ

รายวชิ า คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน รหัสวชิ า 23102 ชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 3 อัตราส่วนตรโี กณมิติ ผสู้ อน อ.ปรวรรต ศกั ดพิ์ รหม

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometry ratios) ความหมายของตรโี กณมิติ ตรีโกณมติ ิ หมายถงึ วิทยาศาสตร์วิเคราะห์ (Analytic Science) จดุ เริม่ ตน้ ของวิชานีเ้ รมิ่ ในศตวรรษท่ี 17 หลังจากได้พัฒนาสญั ลกั ษณ์ของ พชี คณิต ตรโี กณมติ ิ หมายถงึ เรขาคณิตท่เี กี่ยวกบั ดาราศาสตร์ ซง่ึ เก่ียวกบั การวัด มุม ตน้ กาเนิดวิชานอ้ี าจจะขนึ้ อย่ทู ี่ผลงานของ ฮปิ พาร์คัส (Hipparchus)

อตั ราส่วนรปู สามเหล่ยี ม ชาวอียิปต์โบราณทาการวัดฐานของพีระมดิ โดยการแบ่งเสน้ เชือกออกเป็น 12 ส่วน เทา่ ๆ กัน แล้วทาเชอื กให้เปน็ ปมตรงสว่ นท่ีแบง่ นน้ั แลว้ ดึงใหต้ ึงเป็นรูปสามเหล่ยี ม ดว้ ย อตั ราส่วนของดา้ น 3 : 4 : 5 และมมุ ทอี่ ยตู่ รงขา้ มกับดา้ นที่ยาวที่สุดจะเปน็ มุมฉากเสมอ จงึ เป็นที่น่าเชอ่ื ไดว้ ่าทฤษฎปี ีทากอรัสเป็นที่รู้จักกันมาแพรห่ ลายแล้ว ทฤษฎบี ทปีทากอรัส ในรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก ดา้ นตรงข้ามมุมฉากยกกาลงั สองมีคา่ เท่ากบั ผลบวกของกาลังสองของอกี สองดา้ น

พิจารณารปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก B จะได้วา่ ������������ + ������������ = ������������ หรือ ������ = ������������ + ������������ a c a แทนความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A b แทนความยาวของด้านตรงข้ามมมุ B c แทนความยาวของดา้ นตรงข้ามมุม C C bA

ดา้ นชดุ ท่ีพบบ่อย 11,60,61 28,45,53 12,35,37 33,56,65 3,4,5 13,84,85 36,77,85 5,12,13 16,63,65 39,80,89 7,24,25 20,21,29 48,55,73 8,15,17 9,40,41

อัตราส่วนตรโี กณมิติ (Trigonometric ratio) อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ หมายถึง อตั ราส่วนระหว่างความยาวของดา้ นทงั้ สองดา้ นของ รปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก โดยวธิ ีการเรยี กด้านทง้ั สามในรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก โดยจะองิ กับ B “มุมท่สี นใจ” เช่น ถา้ สนใจมุม A จะเรียก ดา้ นตรงข้ามมมุ A วา่ “ขา้ ม” ดา้ นตรงขา้ ม ดา้ น ด้านประชดิ มุม A ว่า “ชิด” มมุ ฉาก ตรงขา้ ม ถ้า สนใจมมุ B จะเรยี ก ด้านตรงข้ามมมุ B ว่า “…………” ด้านประชิดมมุ B วา่ “…………” A ด้านประชดิ C

C CB A สนใจมมุ B C AB B สนใจมมุ A A สนใจมุม C

ตัวอย่างที่ 1 จงเรยี กดา้ นแตล่ ะด้านตอ่ ไปนี้เทยี บกับมุมท่กี าหนดให้พรอ้ มกับความยาวด้าน 1) A AC ว่า ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ยาว ……………. หนว่ ย b c BC วา่ ดา้ นตรงข้ามมมุ A ยาว ………..…. หน่วย AB ว่า ……………………………..ยาว ……………. หน่วย BC ว่า …………………………….. ยาว ……………. หน่วย C a B AB วา่ …………………………….. ยาว ……………. หนว่ ย

ตวั อยา่ งที่ 1 จงเรยี กด้านแตล่ ะดา้ นต่อไปน้ีเทียบกบั มมุ ทีก่ าหนดใหพ้ ร้อมกบั ความยาวดา้ น 2) P PR ว่า ……………………………….ยาว ……………. หนว่ ย r q PQ วา่ ……………………………….ยาว ………..…. หน่วย RQ ว่า ……………………………..ยาว ……………. หน่วย PQ วา่ …………………………….. ยาว ……………. หน่วย Qp RQ วา่ …………………………….. ยาว ……………. หน่วย R

ตัวอยา่ งที่ 1 จงเรยี กด้านแต่ละดา้ นต่อไปน้ีเทียบกบั มมุ ทีก่ าหนดใหพ้ ร้อมกบั ความยาวดา้ น 3) D e EF ว่า ……………………………….ยาว ……………. หนว่ ย f DF ว่า ……………………………….ยาว ………..…. หน่วย F DE ว่า ……………………………..ยาว ……………. หน่วย d DF วา่ …………………………….. ยาว ……………. หน่วย E DE วา่ …………………………….. ยาว ……………. หน่วย

ตัวอยา่ งที่ 2 จงหาความยาวด้านทีเ่ หลือ (x) ของสามเหล่ียมมุมฉากต่อไปนี้ 1) 3) x 3 2) 1 2 4) 4 41 x 3x x 22 9

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาความยาวดา้ นทเ่ี หลอื (x) ของสามเหล่ียมมุมฉากตอ่ ไปน้ี 5) 7) 25 7 6) x 17 8) 15 7x x 5x 4 1

ใบงานท่ี 1 คาชีแ้ จง จงหาความยาวของด้านท่เี หลอื จากรูปสามเหล่ยี มมุมฉากที่กาหนดให้ตอ่ ไปน้ี

บทนยิ าม อัตราส่วนตรีโกณมิติ sine A (ไซน์ของมุม A) เขยี นยอ่ วา่ sin A เขยี นแทนด้วย sin = ………. นั่นคือ sin A = ความยาวของด้านตรงขา้ มมุม A ความยาวด้านตรงขา้ มมุมฉาก cosine A (โคไซนข์ องมมุ A) เขียนยอ่ วา่ cos A เขยี นแทนด้วย cos = ………. นน่ั คอื cos A = ความยาวของด้านประชิดมุม A ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก tangent A (แทนเจนตข์ องมุม A) เขียนยอ่ วา่ tan A เขียนแทนดว้ ย tan = ………. นนั่ คอื tan A = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A ความยาวด้านประชดิ มมุ A

อัตราสว่ นตรีโกณมิติ sin, cos และ tan ทเี่ ป็นอัตราสว่ นตรีโกณมิติของมมุ ภายในรปู สามเหลีย่ ม นอกจากอัตราสว่ นตรีโกณมิติท้งั 3 ยังมีอัตราส่วนตรีโกณมติ ิ 3 อตั ราส่วนทีส่ าคญั เช่นกนั ดังนี้ cosecant A (โคเซแคนตข์ องมมุ A) เขียนยอ่ วา่ cosec A เปน็ ส่วนกลับของ sin A เขียนแทนด้วย น่ันคอื cosec A = 1 เมื่อ sin A ≠ 0 cosec = ………. sin A secant A (เซแคนต์ของมุม A) เขยี นยอ่ วา่ sec A เป็นสว่ นกลบั ของ cos A เขียนแทนดว้ ย น่ันคอื sec A = 1 เมอื่ cos A ≠ 0 ses = ………. cos A cotangent A (โคแทนเจนต์ของมมุ A) เขียนย่อวา่ cot A เป็นส่วนกลับของ tan Aเขียนแทนด้วย นัน่ คอื cot A = 1 เม่อื tan A ≠ 0 cot = ………. tan A

ตวั อย่างท่ี 3 สามเหลี่ยม ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากที่มีมุม B เปน็ มมุ ฉากดังรูป วธิ ีทา A จงหา 1) sin A = ………... cos A = ……….. 5 tan A = …..…... cosec A = …….. 3 sec A = ………... cot A = ……….. 2) sin C = ………... cos C = ……….. tan C = ………... cosec C = …….. C 4 B sec C = ………... cot C = ………..

ตวั อยา่ งที่ 4 สามเหล่ียม XYZ เปน็ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม Y เปน็ มมุ ฉากดงั รูป วิธีทา X จงหา 1) sin X = ………... cos X = ……….. tan X = …..…... cosec X = …….. 8 sec X = ………... cot X = ……….. 2) sin Z = ………... cos Z = ……….. tan Z = ………... cosec Z = …….. Z 6 Y sec Z = ………... cot Z = ………..

ใบงานท่ี 2 คาชี้แจง จงหาคา่ ไซน์ โคไซน์และแทนเจนตข์ องมมุ ท่กี าหนดให้จากรปู สามเหลี่ยมตอ่ ไปน้ี

ใบงานท่ี 2 คาชี้แจง จงหาคา่ ไซน์ โคไซน์และแทนเจนตข์ องมมุ ท่กี าหนดให้จากรปู สามเหลี่ยมตอ่ ไปน้ี

ใบงานท่ี 2 คาชี้แจง จงหาคา่ ไซน์ โคไซน์และแทนเจนตข์ องมมุ ท่กี าหนดให้จากรปู สามเหลี่ยมตอ่ ไปน้ี

ใบงานท่ี 2 คาชี้แจง จงหาคา่ ไซน์ โคไซน์และแทนเจนตข์ องมมุ ท่กี าหนดให้จากรปู สามเหลี่ยมตอ่ ไปน้ี

ใบงานท่ี 3 คาชี้แจง จากรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากตอ่ ไปนี้ จงเตมิ คาตอบในช่องวา่ งใหถ้ ูกตอ้ ง

ใบงานท่ี 3 คาชี้แจง จากรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากตอ่ ไปนี้ จงเตมิ คาตอบในช่องวา่ งใหถ้ ูกตอ้ ง

ใบงานท่ี 3 คาชี้แจง จากรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากตอ่ ไปนี้ จงเตมิ คาตอบในช่องวา่ งใหถ้ ูกตอ้ ง

ตวั อยา่ งที่ 5 สามเหลยี่ ม ABC มมี ุม B เป็นมมุ ฉาก ถา้ AB = 5, AC = 13 จงหา วิธีทา 1) sin A = ………... cos A = ……….. tan A = …..…... cosec A = …….. sec A = ………... cot A = ……….. 2) sin C = ………... cos C = ……….. tan C = ………... cosec C = …….. sec C = ………... cot C = ………..

ตัวอย่างท่ี 6 กาหนดให้ sin A = 4 จงหา cosec A, cos A, และ tan A 5 วธิ ีทา cosec A = …….. cos A = ……….. tan A = ………...

ตัวอยา่ งท่ี 7 กาหนดให้ ABC มมี ุม C เป็นมุมฉาก ถา้ cos A = 2 จงหา sin B + cos A วธิ ีทา

ใบงานที่ 4 คาชแ้ี จง จงแสดงวธิ ีทาเพื่อหาคา่ ไซน์ โคไซน์ หรอื แทนเจนต์จากโจทยแ์ ตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

ใบงานที่ 4 คาชแ้ี จง จงแสดงวธิ ีทาเพื่อหาคา่ ไซน์ โคไซน์ หรอื แทนเจนต์จากโจทยแ์ ตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

ใบงานที่ 4 คาชแ้ี จง จงแสดงวธิ ีทาเพื่อหาคา่ ไซน์ โคไซน์ หรอื แทนเจนต์จากโจทยแ์ ตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

ใบงานที่ 4 คาชแ้ี จง จงแสดงวธิ ีทาเพื่อหาคา่ ไซน์ โคไซน์ หรอื แทนเจนต์จากโจทยแ์ ตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

ใบงานที่ 4 คาชแ้ี จง จงแสดงวธิ ีทาเพื่อหาคา่ ไซน์ โคไซน์ หรอื แทนเจนต์จากโจทยแ์ ตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

ตัวอยา่ งที่ 8 กาหนดให้ ABC เปน็ รูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากทีม่ มี ุม C เปน็ มุมฉาก ด้าน AC ยาว 5 หน่วย ดา้ น BC ยาว 12 หน่วย จงหาค่าของ sin A , cos A และ tan A วิธีทา จากรปู หาความยาวดา้ น AB ซึง่ เป็นความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก โดยใชท้ ฤษฎีบทปีทาโกรัส

ตัวอยา่ งที่ 9 กาหนดให้ ABC เปน็ รูปสามเหลีย่ มมมุ ฉากที่มีมุม C เปน็ มุมฉาก sin A = 2 จงหา cos A และ tan A 3 วิธีทา

ใบงานที่ 5 คาชแ้ี จง จงแสดงวธิ ีทาเพื่อหาคา่ ไซน์ โคไซน์ หรอื แทนเจนต์จากโจทยแ์ ตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

ใบงานที่ 5 คาชแ้ี จง จงแสดงวธิ ีทาเพื่อหาคา่ ไซน์ โคไซน์ หรอื แทนเจนต์จากโจทยแ์ ตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

ใบงานที่ 5 คาชแ้ี จง จงแสดงวธิ ีทาเพื่อหาคา่ ไซน์ โคไซน์ หรอื แทนเจนต์จากโจทยแ์ ตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

ใบงานที่ 5 คาชแ้ี จง จงแสดงวธิ ีทาเพื่อหาคา่ ไซน์ โคไซน์ หรอื แทนเจนต์จากโจทยแ์ ตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

ใบงานที่ 5 คาชแ้ี จง จงแสดงวธิ ีทาเพื่อหาคา่ ไซน์ โคไซน์ หรอื แทนเจนต์จากโจทยแ์ ตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี