โจทย์ปัญหาระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

รายวิชา คณติ ศาสตร์ รหสั วิชา ค23102 โจทยป์ ัญหาเกีย่ วกบั ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 3 ผูส้ อน อ.ปรวรรต ศักดิ์พรหม

การแก้โจทย์ปญั หาโดยใชร้ ะบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร ขนั้ ตอนในการแกโ้ จทยป์ ญั หา อ่ำนโจทย์ให้เข้ำใจ วเิ ครำะหส์ ิ่งทโ่ี จทยถ์ ำม และทโ่ี จทย์กำหนดให้ กำหนดตวั แปรและสรำ้ งระบบสมกำร แกร้ ะบบสมกำรเพอ่ื หำคำตอบ ตรวจสอบคำตอบกับเงื่อนไขในโจทย์

การสรา้ งระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ตวั อยา่ งท่ี 1 ถำ้ ครึง่ หนง่ึ ของผลบวกของจำนวนสองจำนวนเปน็ 43 และสำมเท่ำของจำนวน นอ้ ยมำกกวำ่ สองเทำ่ ของจำนวนมำกอยู่ 23 จงหำจำนวนสองจำนวนนัน้ วิธที า ให้ x แทนจำนวนทม่ี ีค่ำมำกกวำ่ y แทนจำนวนท่ีมคี ำ่ น้อยกวำ่ จะไดร้ ะบบสมการ 1 ������ + ������ = 43 2 3������ − 2������ = 23

การสรา้ งระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ตวั อย่างท่ี 2 อตั รำค่ำเขำ้ ชมกำรแขง่ ขันฟุตบอลนดั พิเศษนดั หนงึ่ เปน็ ดงั นี้ ผใู้ หญค่ นละ 200 บำท เด็กคนละ 100 บำท ปรำกฏว่ำมผี ู้เขำ้ ชมทง้ั หมด 10,000 คน และขำย บัตรเขำ้ ชมได้เงิน 1,739,200 บำท อยำกทรำบวำ่ มผี ู้ใหญแ่ ละเด็กเข้ำชมกำร แขง่ ขันฟุตบอลครงั้ น้ีอย่ำงละกคี่ น วิธีทา ให้ x แทนจำนวนผูใ้ หญ่ทีเ่ ขำ้ ชมฟตุ บอล y แทนจำนวนเดก็ ทเ่ี ข้ำชมฟตุ บอล จะได้ระบบสมการ ������ + ������ = 10,000 200������ + 100������ = 1,739,200

การสรา้ งระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร ตวั อยา่ งท่ี 3 ถ้ำครง่ึ หน่งึ ของจำนวนหนง่ึ เปน็ สำมเท่ำของอีกจำนวนหนง่ึ และสเี่ ทำ่ ของ ผลต่ำงของสองจำนวนนน้ั เป็น 50 จงหำจำนวนสองจำนวนน้นั วธิ ีทา ให้ x แทนจำนวนจำนวนหนึ่ง y แทนจำนวนอีกจำนวนหน่งึ จะได้ระบบสมการ 1 ������ = 3������ 2 4(������ − ������) = 50

การสร้างระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร ตวั อยา่ งที่ 4 มนี ำ้ เช่ือมอย่สู องชนิด น้ำเชื่อมชนดิ A มนี ำ้ ตำล 25% นำ้ เชือ่ มชนดิ B มนี ้ำตำล 15% ถ้ำต้องกำรนำนำ้ เชื่อมท้งั สองชนิดมำผสมกันให้ได้น้ำเชอ่ื มท่มี ีนำ้ ตำล 18% จำนวน 600 ลกู บำศก์เซนติเมตร จะต้องใช้น้ำเชอ่ื มแตล่ ะชนิดในปริมำณเท่ำใด วิธีทา ให้ใช้นำ้ เชอ่ื มชนดิ A ท่มี ีนำ้ ตำล 25% จำนวน x ลบ.ซม. จะมนี ำ้ ตำลอยู่ 25 ������ = 0.25������ ลบ.ซม. 100 ใหใ้ ช้น้ำเชอื่ มชนิด B ทม่ี ีนำ้ ตำล 15% จำนวน y ลบ.ซม. จะมนี ำ้ ตำลอยู่ ลบ.ซม. 15 ������ = 0.15������ 100 ถำ้ ต้องกำรน้ำเชื่อมผสมทมี่ ีน้ำตำล 18% จำนวน 600 ลบ.ซม. จะมนี ้ำตำลอยู่ ลบ.ซม. 18 × 600 = 108 100 จะไดร้ ะบบสมการ 0.25������ + 0.15������ = 108 ������ + ������ = 600

การสร้างระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร ตัวอยา่ งที่ 5 เมืองบรู พำและเมอื งอำคเนยอ์ ย่หู ำ่ งกัน 480 กโิ ลเมตร ศรัณย์ขับรถยนต์จำกเมอื งบรู พำ ไปเมอื งอำคเนย์ สว่ นนอิ รขบั รถจำกเมืองอำคเนยไ์ ปเมืองบรู พำบนเสน้ ทำงเดยี วกัน ทั้ง สองคนออกเดินทำงเวลำ 06.00 น. พรอ้ มกัน และพบกันเวลำ 09.00 น. โดยศรนั ยข์ บั รถได้ระยะทำงมำกกวำ่ นิอร 30 กิโลเมตร จงหำวำ่ แต่ละคนขบั รถดว้ ยอัตรำเร็วเทำ่ ไร

การสรา้ งระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร ตวั อย่างท่ี 5 เมืองบรู พำและเมืองอำคเนย์อยู่ห่ำงกัน 480 กโิ ลเมตร ศรณั ย์ขบั รถยนต์จำกเมอื งบูรพำ ไปเมืองอำคเนย์ สว่ นนอิ รขับรถจำกเมอื งอำคเนย์ไปเมอื งบูรพำบนเสน้ ทำงเดียวกัน ทงั้ สองคนออกเดินทำงเวลำ 06.00 น. พรอ้ มกัน และพบกนั เวลำ 09.00 น. โดยศรันยข์ บั รถได้ระยะทำงมำกกวำ่ นิอร 30 กิโลเมตร จงหำวำ่ แต่ละคนขบั รถดว้ ยอัตรำเรว็ เทำ่ ไร วิธีทา ใหศ้ รณั ยข์ บั รถดว้ ยควำมเร็ว x กิโลเมตรตอ่ ช่วั โมง นอิ รขบั รถด้วยอัตรำเรว็ y กโิ ลเมตรตอ่ ชั่วโมง จะได้ระบบสมการ 3������ + 3������ = 480 3������ − 3������ = 30

ใบงานท่ี 1

เฉลยใบงานท่ี 1

เฉลยใบงานท่ี 1

การแกโ้ จทยป์ ญั หาโดยใช้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร ตวั อยา่ งท่ี 6 ถ้ำครึง่ หน่ึงของผลบวกของจำนวนสองจำนวนเปน็ 43 และสำมเทำ่ ของจำนวน นอ้ ยมำกกวำ่ สองเทำ่ ของจำนวนมำกอยู่ 23 จงหำจำนวนสองจำนวนนั้น วธิ ีทา 1 ������ + ������ = 43 .................... 1 2 ……………….. 2 3������ − 2������ = 23 1×2, ������ + ������ = 86 ……………….. 3 3 × 2 , 2������ + 2������ = 172 ……………….. 4 2 + 4 , 3������ − 2������ + 2������ + 2������ = 23 + 172

การแกโ้ จทย์ปัญหาโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ตัวอย่างท่ี 6 ถำ้ ครง่ึ หนงึ่ ของผลบวกของจำนวนสองจำนวนเป็น 43 และสำมเทำ่ ของจำนวน นอ้ ยมำกกว่ำสองเทำ่ ของจำนวนมำกอยู่ 23 จงหำจำนวนสองจำนวนนนั้ วิธที า 3������ − 2������ + 2������ + 2������ = 23 + 172 3������ − 2������ + 2������ + 2������ = 195 5������ = 195 ������ = 39 แทน y ดว้ ย 39 ในสมกำร 3 จะได้

การแก้โจทยป์ ัญหาโดยใชร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ตวั อยา่ งท่ี 6 ถำ้ คร่ึงหนึง่ ของผลบวกของจำนวนสองจำนวนเป็น 43 และสำมเทำ่ ของจำนวน นอ้ ยมำกกวำ่ สองเท่ำของจำนวนมำกอยู่ 23 จงหำจำนวนสองจำนวนน้นั วธิ ที า ������ + 39 = 86 ������ = 47 ตรวจสอบกับเงอ่ื นไขในโจทย์ ดังนนั้ จานวนสองจานวนนัน้ คอื 47 และ 39 1 47 + 39 = 1 86 = 43 และ 22 3 39 − 2 47 = 117 − 94 = 23 ซ่ึงเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์

การแกโ้ จทยป์ ัญหาโดยใชร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร ตวั อย่างท่ี 7 อตั รำค่ำเข้ำชมกำรแขง่ ขนั ฟุตบอลนดั พเิ ศษนดั หนึ่งเปน็ ดงั น้ี ผู้ใหญค่ นละ 200 บำท เด็กคนละ 100 บำท ปรำกฏว่ำมีผู้เข้ำชมทั้งหมด 10,000 คน และขำยบตั รเขำ้ ชมได้เงิน 1,739,200 บำท อยำกทรำบว่ำมีผู้ใหญแ่ ละเดก็ เขำ้ ชมกำรแขง่ ขันฟตุ บอลครั้งนอ้ี ยำ่ งละกคี่ น วิธีทา ������ + ������ = 10,000 .................... 1 200������ + 100������ = 1,739,200 ……………….. 2 2 ÷ 100 , 2������ + ������ = 17,392 ……………….. 3 3 – 1 , 2������ + ������ − ������ + ������ = 17,392 − 10,000 2������ + ������ − ������ − ������ = 7,392 ������ = 7,392

การแกโ้ จทย์ปญั หาโดยใช้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร ตวั อยา่ งที่ 7 อตั รำค่ำเข้ำชมกำรแข่งขันฟุตบอลนดั พเิ ศษนัดหนง่ึ เปน็ ดังน้ี ผู้ใหญค่ นละ 200 บำท เดก็ คนละ 100 บำท ปรำกฏวำ่ มผี เู้ ข้ำชมท้งั หมด 10,000 คน และขำยบัตรเขำ้ ชมได้เงิน 1,739,200 บำท อยำกทรำบว่ำมีผใู้ หญ่และเดก็ เขำ้ ชมกำรแขง่ ขันฟุตบอลครงั้ นีอ้ ย่ำงละกค่ี น วธิ ีทา แทน x ดว้ ย 7,392 ในสมกำร 1 ตรวจสอบกับเงอื่ นไขในโจทย์ จะได้ 7,392 + y = 10,000 ขำยบัตรผใู้ หญ่ไดเ้ งิน 200 x 7,392 = 1,478,400 บำท y = 2,608 ขำยบตั รเด็กได้เงนิ 100 x 2,608 = 260,800 บำท รวมได้เงนิ 1,478,400 + 260,800 = 1,739,200 บำท ดงั น้ัน มีผูเ้ ข้าชมเปน็ ผใู้ หญ่ 7,392 คน จำนวนผเู้ ขำ้ ชม 7,392 + 2,608 = 10,000 คน ซง่ึ เป็นจรงิ ตามเงอ่ื นไขในโจทย์ และเปน็ เด็ก 2,608 คน

การแกโ้ จทย์ปญั หาโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ตวั อยา่ งที่ 8 ถำ้ ครึ่งหนงึ่ ของจำนวนหน่งึ เป็นสำมเทำ่ ของอีกจำนวนหนึ่ง และสี่เทำ่ ของผลตำ่ งของสอง จำนวนนน้ั เปน็ 50 จงหำจำนวนสองจำนวนน้ัน วิธีทา 1 ������ = 3������ .................... 1 4 6������ − ������ = 50 2 ……………….. 2 4 5������ = 50 20������ = 50 4(������ − ������) = 50 5 ������ = 2 จำกสมกำร 1 จะได้ ……………….. 3 ������ = 6������ แทน x ดว้ ย 6y ในสมกำร 2 จะได้

การแก้โจทยป์ ญั หาโดยใช้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร ตวั อยา่ งท่ี 8 ถ้ำครึง่ หน่ึงของจำนวนหน่ึงเปน็ สำมเทำ่ ของอกี จำนวนหน่ึง และสี่เทำ่ ของผลตำ่ งของสอง จำนวนน้ันเปน็ 50 จงหำจำนวนสองจำนวนนั้น วิธที า แทน y ดว้ ย 5 ใน 3 จะได้ ตรวจสอบกบั เง่ือนไขในโจทย์ 2 ������ = 6 5 15 2 2 15 = 3 2 ������ = 15 15 15 2=2 ดงั น้ัน จานวนสองจานวนน้นั คอื 15 และ 5 และ 4 15 − 5 = 4 25 = 50 22 2 ซง่ึ เปน็ จรงิ ตามเงอ่ื นไขในโจทย์

ใบงานท่ี 2

เฉลยใบงานท่ี 2

การแกโ้ จทย์ปญั หาโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ตวั อยา่ งที่ 9 มนี ำ้ เช่ือมอยูส่ องชนิด นำ้ เชื่อมชนดิ A มีน้ำตำล 25% นำ้ เช่อื มชนดิ B มนี ้ำตำล 15% ถำ้ ต้องกำรนำนำ้ เชื่อมทั้งสองชนิดมำผสมกันให้ไดน้ ้ำเช่อื มท่มี นี ำ้ ตำล 18% จำนวน 600 ลูกบำศกเ์ ซนติเมตร จะตอ้ งใชน้ ้ำเชอ่ื มแต่ละชนิดในปรมิ ำณเท่ำใด วิธีทา 0.25������ + 0.15������ = 108 .................... 1 ……………….. 2 จำกสมกำร 2 ������ + ������ = 600 − ������ ……...….. 3 = 600 จะได้ ������ แทน y ดว้ ย 600 − ������ ในสมกำร 1 จะได้ 0.25������ + 0.15 600 − ������ = 108 0.25������ + 90 − 0.15������ = 108 0.1������ = 18 ������ = 180

การแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ตวั อย่างท่ี 9 มีนำ้ เชื่อมอยู่สองชนดิ น้ำเชื่อมชนดิ A มนี ้ำตำล 25% นำ้ เชือ่ มชนดิ B มนี ้ำตำล 15% ถำ้ ตอ้ งกำรนำนำ้ เช่ือมทง้ั สองชนิดมำผสมกนั ใหไ้ ดน้ ้ำเชอื่ มท่มี ีนำ้ ตำล 18% จำนวน 600 ลกู บำศก์เซนตเิ มตร จะตอ้ งใชน้ ้ำเชื่อมแต่ละชนดิ ในปรมิ ำณเท่ำใด วธิ ที า แทน x ดว้ ย 180 ในสมกำร 3 จะได้ ตรวจสอบกบั เงอ่ื นไขในโจทย์ ������ = 600 − 180 นำ้ เช่อื มชนิด A มนี ำ้ ตำล 25 × 180 = 45 ลบ.ซม. 100 ������ = 420 นจะำ้ ไเชดอ่ื น้ มำ้ ชเชน่อื ิดมผBสมมีน1้ำ8ต0ำล+11405200×=462000=ลบ6.3ซมล.บ.ซม. ดงั น้ัน ใชน้ ้าเช่ือมชนิด A และน้าเชอ่ื มชนิด B ซงึ่ มนี ้ำตำล 45 + 63 = 108 ลบ.ซม. 180 และ 420 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร ตามลาดับ คิดเป็นน้ำตำล 108 × 100 = 18% ซ่งึ เป็นจรงิ ตาม6เ0ง0อ่ื นไขในโจทย์

การแกโ้ จทยป์ ัญหาโดยใช้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร ตัวอย่างท่ี 10 เมอื งบรู พำและเมอื งอำคเนย์อยหู่ ่ำงกนั 480 กโิ ลเมตร ศรัณยข์ บั รถยนตจ์ ำกเมอื งบูรพำไปเมือง อำคเนย์ สว่ นนิอรขับรถจำกเมืองอำคเนย์ไปเมืองบูรพำบนเสน้ ทำงเดียวกัน ทั้งสองคนออกเดินทำง เวลำ 06.00 น. พร้อมกนั และพบกนั เวลำ 09.00 น. โดยศรนั ย์ขบั รถได้ระยะทำงมำกกว่ำนอิ ร 30 กโิ ลเมตร จงหำวำ่ แต่ละคนขับรถด้วยอัตรำเร็วเทำ่ ไร วธิ ที า 3������ + 3������ = 480 .................... 1 3������ − 3������ = 30 ……………….. 2 1+2, 6x = 510 ������ = 85 แทน x ด้วย 85 ในสมกำร 1 จะได้

การแก้โจทย์ปัญหาโดยใชร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร ตัวอย่างท่ี 10 เมอื งบรู พำและเมืองอำคเนยอ์ ยู่หำ่ งกนั 480 กโิ ลเมตร ศรัณย์ขบั รถยนตจ์ ำกเมืองบรู พำไปเมอื งอำคเนย์ ส่วนนิอรขับ รถจำกเมอื งอำคเนย์ไปเมอื งบูรพำบนเส้นทำงเดียวกัน ท้งั สองคนออกเดนิ ทำงเวลำ 06.00 น. พร้อมกนั และพบกนั เวลำ 09.00 น. โดยศรันย์ขบั รถได้ระยะทำงมำกกวำ่ นอิ ร 30 กิโลเมตร จงหำวำ่ แตล่ ะคนขับรถด้วยอตั รำเร็วเท่ำไร วธิ ีทา 3(85) + 3������ = 480 ตรวจสอบกบั เงอ่ื นไขในโจทย์ 255 + 3������ = 480 ศรณั ยข์ บั รถไดร้ ะยะทำง 3 × 85 = 255 กโิ ลเมตร นอิ รขบั รถไดร้ ะยะทำง 3 × 75 = 225 กโิ ลเมตร 3������ = 225 ������ = 75 ทง้ั สองคนขบั รถเขำ้ หำกนั ไดร้ ะยะทำง 255 + 225 = 480 กโิ ลเมตร ดังน้ัน ศรัณยแ์ ละนอิ รขบั รถยนตด์ ว้ ยอตั ราเร็ว ศรันยข์ ับรถได้ระยะทำงมำกกว่ำนอิ ร 85 และ 75 กโิ ลเมตรต่อชัว่ โมง ตามลาดบั 255 − 225 = 30 กโิ ลเมตร ซึง่ เปน็ จริงตามเง่อื นไขในโจทย์

ใบงานท่ี 3

เฉลยใบงานท่ี 3