Cours Math - Fonctions exponentielles - Bac Math

M_r__A_B_ID__I _F_a_ri_d__________________________________________________________________C_o_u_r_s_d_e__4_A__n_n_é_e Les fonctions exponentielles�Définitions et théorèmes : Par définition, La fonction exponentielle est bijection réciproque de la fonction ln. On la note exp. Pour tout x réel, exp x=exRègles de calculs : e0 =1 e xy=ex×e y e− x= 1 e x− y = e x ex n=enx ex e yÉtude et représentation graphique de la fonction exponentielle :a) Sens de variation : La fonction exponentielle est dérivable et strictement positive sur ℝ .∀ x∈ℝ , exp  x=exp '  x  d'où exp '  x 0 donc la fonction exponentielle est strictement croissante.On dit que la fonction exponentielle est une bijection de ℝ sur ℝ*+ . Conséquences : ; ∀ x∈]−∞ ;0 [ , 0 ex1 ; ∀ x∈]0 ;∞ [ , e x1e x=e y ⇔ x= y ; e xe y ⇔ x yb) Limites : lim e x=∞ x  ∞ lim e x=0 x−∞c) Autres limites importantes :∀ n∈ℕ , lim e x =∞ donc en particulier pour n=1 : lim ex =∞ x ∞ x n x x ∞∀ n∈ℕ , lim xn ex=0 donc en particulier pour n=1 : lim xe x=0 x −∞ x  −∞ e x −1 xlim =1x0___________________________________________________________________________________________ page 1/5

M__r_A_B_I_D_I_F_a_r_id___________________________________________________________________C_o_u_rs__d_e_4__A_n_n_é_eFonctions exponentielles de base a (a > 0) :a) Définition : On appelle fonction exponentielle de base a ( a ∈ℝ+* ) la fonction qui se note x  expa  x  oux  ax . a x=e xln aPar conséquence : ∀ b ∈ℝ et ∀ a∈ℝ*+ ab= eb lna  ⇔ ln ab=b ln  ab) Étude de variation :Soit f a la fonction définie sur ℝ par f a x=ax=ex ln a ( a ∈ℝ+*∀ x∈ℝ , f '  x=ln a ⋅ex ln a= ln a ⋅a x a∀ x∈ℝ , a x=e xln a0 donc f '  x est du signe de ln a . aDonc 3 cas possibles :�Si a = 1 : f a est la fonction x  1 .Si a > 1 :ln a0 donc : 'f a 0 et donc la fonction f a est strictement croissante sur ℝ .lim x lna =∞ et lim e X =∞ donc lim ex ln a=∞x ∞ X ∞ x  ∞lim x lna =−∞ et lim e X =0 donc lim e xln a= 0x −∞ X −∞ x −∞On en déduit donc ce tableau de variation : x −∞ 01 ∞ + ∞ f '  x a a 1 f a x 0Exemples :�___________________________________________________________________________________________ page 2/5

M_r__A_B_ID__I _F_a_ri_d__________________________________________________________________C_o_u_r_s_d_e__4_A__n_n_é_eSi 0 < a < 1 :ln a0 donc : 'f a 0 et donc la fonction f a est strictement décroissante sur ℝ .lim x lna =−∞ et lim e X =0 donc lim e xln a= 0x ∞ X −∞ x ∞lim x lna =∞ et lim e X =∞ donc lim e xln a=∞x −∞ X  ∞ x −∞On en déduit donc ce tableau de variation : x −∞ 01 ∞ ∞ + f '  x 0 a 1 a f a xExemples : Remarque : Les courbes représentatives des fonctions 1 x a x ax et x avec a0 sont symétriques   d'axe la droite d'équation x=0 . En effet, a x=e xln a et1x x ln 1 = e−x lna  . a a =ec) Primitives :Les fonctions x ax admettent pour primitives les fonctions x  1 a x C avec C une a ln constante réelle, a ∈] 0,1[∪] 1,∞ [ . (Si a=1 alors les primitives sont les fonctions x  xC )d) Règles de calcul : Les règles de calcul sont les même qu'avec la fonction exponentielle qui n'est en fait qu'un casparticulier : ( a et b sont des réels strictement positifs)___________________________________________________________________________________________ page 3/5

M_r__A_B_ID__I _F_a_ri_d__________________________________________________________________C_o_u_r_s_d_e__4_A__n_n_é_e a− x = 1 x− y a x  ax a x ax a y x ba0=1 a xy=a x×a y a = a xn=anx b = abx=a x bxFonctions puissance :a) Définition : On appelle fonction puissance toute fonction f  définie sur ℝ*+ par f = x=eln x .b) Étude de variation :f  est dérivable sur ] 0 ;∞[ et f  x =ln  x ' x=  x= x−1 . xSens de variation :Si 0 alors f '  x 0 et donc f  est strictement croissante. Si 0 alors f '  x 0 et donc f  est strictement décroissante. Limites :�Si 0 :�lim ln  x =−∞ donc lim xa=0�x0 x0lim  ln x =∞ donc lim xa=∞x ∞ x ∞Si 0 :lim ln  x =∞ donc lim xa=∞x0 x0lim  ln x =−∞ donc lim xa=0x ∞ x ∞Tableaux de variations : 0 : 0 :x0 ∞ x 0 ∞ ∞ ∞ 0x 0 x___________________________________________________________________________________________ page 4/5

M_r__A_B_ID__I _F_a_ri_d__________________________________________________________________C_o_u_r_s_d_e__4_A__n_n_é_e Représentation graphique :� La courbe admet les axes de coordonnées comme asymptotes. On définit la fonction f  en 0 en posant f 0=0 ___________________________________________________________________________________________ page 5/5

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