หน่วยที่ 1 ปริมาณเวกเตอร์

เอกสารประกอบการเรียนการสอน รหัสวชิ า 30000 -1304 Science for Mechanical and production Works หน่วยที่ 1 ปริมาณเวกเตอร์ ครูเสาวคนธ์ ศานตธิ รรม แผนกสามัญสัมพนั ธ์(วทิ ยาศาสตร์)

หน่วยท่ี 1 ปริมาณเวกเตอร์ แนวคิด ปริมาณเวกเตอร์เป็นปริมาณทต่ี อ้ งทราบท้งั ขนาดและทศิ ทางจึงจะทาใหเ้ กิดความเขา้ ใจ เช่น การบอก ตาแหน่งท่ีอยขู่ องนกั ศึกษาว่าห่างจากวิทยาลยั ไปทางทิศเหนือ 2 กิโลเมตร ปริมาณเวกเตอร์เป็ นปริมาณทม่ี ี ท้งั ขนาดและทิศทางเป็ นองค์ประกอบ การนาปริมาณเวกเตอร์มาบวก ลบ คูณกนั จะไม่สามารถทาได้ เหมือนกบั คณิตศาสตร์ ดงั น้ันเราจึงตอ้ งศึกษาวิธีการบวก ลบ และคูณ ปริมาณเวกเตอร์ เพื่อใช้ในการหา เวกเตอร์ลพั ธ์ สาระการเรียนรู้ 1.องคป์ ระกอบของเวกเตอร์ 2.การบวกเวกเตอร์ 3.การคูณเวกเตอร์ ผลการเรียนรู้ทีค่ าดหวงั 1.หาองคป์ ระกอบของเวกเตอร์ในแนวแกน X, Y ได้ 2.หาเวกเตอร์ลพั ธข์ องการบวกเวกเตอร์ได้ 3.หาผลลพั ธข์ องการคูณเวกเตอร์ได้

1.องคป์ ระกอบของเวกเตอร์ องคป์ ระกอบของเวกเตอร์ โดยปริมาณเวกเตอร์เป็นปริมาณทมี่ ีท้งั ขนาดและทศิ ทาง การหาทศิ ทาง ของปริมาณเวกเตอร์สามารถทาไดง้ า่ ยข้นึ โดยกาหนดทิศทางของปริมาณเวกเตอร์เป็น 3 มิติ เป็นระบบแกน x, y และ z องคป์ ระกอบของเวกเตอร์ 2 มิติ องคป์ ระกอบของเวกเตอร์ 2 มิติ ซ่ึงเป็ นเวกเตอร์ท่อี ยบู่ นระนาบใดระนาบหน่ึง เช่น ระนาบ x-y ระนาบ y-z หรือระนาบ x-z ซ่ึงเวกเตอร์เหล่าน้ีจะเป็นผลบวกของเวกเตอร์ 2 แกน 1.1 การหาขนาดของเวกเตอร์ในระนาบ ซ่ึงมีวธิ ีการหาค่าได้ 2 แบบ 1) การหาจากเวกเตอร์หน่ึงหน่วย (unit vector i, j และ k) ในการบอกลกั ษณะของเวกเตอร์แบบน้ี จะเขียนเวกเตอร์โดยบอกขนาดของเวกเตอร์หน่ึงหน่วย (i, j และ k) ทาให้เราทราบขนาดของเวกเตอร์ใน แนวแกน x, y และ z ได้ การหาขนาดของเวกเตอร์บนระนาบจะหาจากคุณสมบตั ิของสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจาก unit vector ท้งั สามต้งั ฉากกนั โดยเอาขนาดของ unit vector ยกกาลงั สองบวกกนั แลว้ ถอดรากทสี่ องตามทฤษฎี ของพธี ากอรสั

2) การหาจากขนาดของเวกเตอร์และมุมของเวกเตอร์ (θ) ในกรณีทีท่ ราบขนาดของเวกเตอร์ และมมุ (θ) ของเวกเตอร์ จะหาค่าขนาดของเวกเตอร์ ใน แนวแกน x, y และ z ไดจ้ ากการใชต้ รีโกณมิตมิ าเป็ นตวั ช่วย 1.3 องคป์ ระกอบของเวกเตอร์ 3 มิติ ซ่ึงเวกเตอร์ทไี่ ม่ไดอ้ ยบู่ นระนาบใดระนาบหน่ึงหรือแกนใดแกนหน่ึงจะเป็ นเวกเตอร์ท่ีมี องคป์ ระกอบท้งั 3 แกน หรือ 3 มิติ โดยจะมีขนาดของเวกเตอร์แกน x, แกน y และแกน z พรอ้ มกนั ดงั น้นั ลกั ษณะของเวกเตอร์จะเขียนอยใู่ นรูปของ

2. การบวกเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์ คือ การนาเวกเตอร์แต่ละเวกเตอร์มาเรียงตอ่ กนั ไป โดยไม่ใหค้ ุณสมบตั ิของ เวกเตอร์ท่นี ามาต่อเปลี่ยนไป ผลลพั ธจ์ ะเป็ นปริมาณเวกเตอร์ทล่ี ากจากจุดเร่ิมตน้ (หางของเวกเตอร์แรก) ไป ยงั จดุ ส้ินสุด (หวั ของเวกเตอร์สุดทา้ ย) 2.1 การหาเวกเตอร์ลพั ธข์ องการบวกเวกเตอร์ 2.1.1 การหาเวกเตอร์ลพั ธใ์ น 1 มิติ กรณีทเี่ วกเตอร์ทนี่ ามาบวกกนั มีทศิ ทางอยใู่ นแนวเดียวกนั สามารถนาขนาดของเวกเตอร์มา บวกกนั ไดเ้ ลย แต่ถา้ เวกเตอร์ใดมีทศิ ตรงขา้ มกบั เวกเตอร์อ่ืน ขนาดของเวกเตอร์น้นั จะมีคา่ เป็ นลบ

2.12 การหาเวกเตอร์ลพั ธใ์ น 2 มิติ เม่ือทิศทางของเวกเตอร์ไม่อยใู่ นแนวเดียวกนั การหาขนาดของเวกเตอร์ลพั ธไ์ ม่สามารถนา ขนาดของเวกเตอร์มาบวกลบกนั ได้ ขนาดของเวกเตอร์ลพั ธจ์ ะหาไดโ้ ดยแบ่งออกเป็น 2 กรณีดงั น้ี 1)กรณีทีม่ ีเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ทามุมกนั ในการบวกเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์จะหาไดจ้ ากการคานวณโดยใชส้ ูตร 2)กรณีที่มีเวกเตอร์ มากกวา่ 2 เวกเตอร์บวกกนั เมื่อนาเวกเตอร์มาบวกกนั โดยวธิ ีการวาดรูปการหาขนาดและทศิ ทางของเวกเตอร์ลพั ธจ์ ะตอ้ งใช้ วธิ ีการวดั ดงั ตวั อยา่ ง 2.1.3 การหาเวกเตอร์ลพั ธใ์ น 3 มิติ กรณีทเี่ วกเตอร์ไม่ไดอ้ ยบู่ นระนาบใดระนาบหน่ึง ถา้ แตล่ ะเวกเตอร์มีขนาดของ unit vector ในแตล่ ะแกน การหาขนาดของเวกเตอร์ลพั ธจ์ ะนาขนาดของ unit vector ในแนวเดียวกนั มาบวกกนั เป็นขนาดของเวกเตอร์ลพั ธใ์ นแตล่ ะแกน

3. การคูณเวกเตอร์ ในการนาเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์มาคูณกนั จะแบ่งลกั ษณะของการคูณออกเป็น 2 แบบ คอื 3.1 Dot - Product เป็นวิธีการคูณเวกเตอร์ท่ีให้ผลลพั ธอ์ อกมาเป็นปริมาณสเกลาร์ ซ่ึงเป็นวธิ ีการท่ี จะทาใหป้ ริมาณเวกเตอร์กลายเป็นปริมาณสเกลาร์ได้ โดยนิยามของการคูณมีดงั น้ี 3.2 Cross – Product เป็นการคูณเวกเตอร์ท่ีไดผ้ ลลพั ธอ์ อกมาเป็นปริมาณเวกเตอร์เหมือนเดิม แต่ ทิศทางของเวกเตอร์จะต้งั ฉากกบั ระนาบของเวกเตอร์ท้งั สอง โดยนิยามของการคูณมีดงั น้ี ในการหาทิศทางของเวกเตอร์ลพั ธ์ จะใชก้ ารกามือขวา โดยหวั แม่มือแสดงทศิ ทางของเวกเตอร์ลพั ธ์ การกามือจะกาจากเวกเตอร์แรกไปหาเวกเตอร์ท่ี 2 ดงั น้นั การคูณแบบ cross – product จึงไม่สามารถจะสลบั ทส่ี าหรับการคูณได้