ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์ By ครูณิ

E - Book ปริมาณสเกลลาร์และปริมาณเวกเตอร์ ชั้นมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 รายวิชาฟิ สิ กส์ เพิ่มเติม กลุ่มสาระวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี จัดทำโดย นางณิรดา จงจิตร โรงเรียนทุ่งสงวิทยา

คำนำ หนั งสื อ E-Book เล่มนี้ เป็ นส่ วนหนึ่ งของรายวิชา ฟิ สิ กส์ เพิ่ มเติ มชั้ นมัธยมศึ กษาปี ที่ 4 โดยมีจุ ดประสงค์ เพื่ อการศึ กษาความรู้เรื่องปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวก เ ต อ ร์ ผู้จัดทำได้ เลือกหั วข้อนี้ ในการทำ e-book เนื่ องมา จากเป็ นเรื่องที่ น่ าสนใจรวมถึ งเป็ นการที่ ข้าพเจ้าต้ องการ ให้ ผู้เรียนศึ กษาเรื่องปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์ ในการจัดการเรียนการสอนรู ปแบบออนไลน์ ในช่ วง สถานการณ์ แพร่ระบาดของเชื้ อไวรัสโคโรนา (covid 19) ผู้จัดทำหวังว่า e-book เล่มนี้ จะให้ ความรู้และเป็ น ประโยชน์ แก่ผู้อ่ านทุกๆท่ าน

สารบัญ หน้ า เรื่อง 1 2 ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์ 7 แบบทดสอบก่อนเรียน 8 1.ปริมาณสเกลาร์ 9 2.ปริมาณเวกเตอร์ 10 10 2.1. สัญลักษณ์ของปริมาณเวกเตอร์ 11 2.2. เวกเตอร์ที่เท่ากัน 11 2.3. เวกเตอร์ตรงข้ามกัน 15 2.4. การบวกลบเวกเตอร์ 26 31 2.4.1. วิธีการเขียนรู ป 2.4.2. วิธีการคำนวณ แบบฝึ กหัด แบบทดสอบหลังเรียน

หน้ าที่ 1 เรื่อง ปริมาณสเกลาร์ และปริมาณเวกเตอร์

หน้ าที่ 2 แบบทดสอบก่อนเรียน หน่วยที่ 3 เรื่อง ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์ คำสั่ง : จงเลือกคำตอบที่ถูกต้อง โจทย์ จงพิจารณากลุ่มปริมาณต่อไปนี้ ใช้ตอบคำถามข้อ 1 - 2 ก. อัตราเร็ว ความเร่งสนาม โน้ มถ่วง ข. ความเร็ว มวลเวลา ค. แรง น้ำหนั ก ความดัน ง. ระยะทาง พื้นที่ ปริมาตร 1. จงพิจารณาข้อต่อไปนี้ ข้อใดเป็นปริมาณ เวกเตอร์ ก. ข้อ ก. ข. ข้อ ข. ค. ข้อ ค. ง. ข้อ ง.

หน้ าที่ 3 2. จงพิจารณาข้อต่อไปนี้ ข้อใดเป็นปริมาณ สเกลาร์ ก. ข้อ ก. ข. ข้อ ข. ค. ข้อ ค. ง. ข้อ ง. 3. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ 1.วัตถุ A มวล 6 กิโลกรัม และ วัตถุ B มวล 8 กิโลกรัม มวลรวมบนโลกเท่ากับ 14 กิโลกรัม แต่มวลรวมในสภาพไร้น้ำหนักจะมี ค่าเป็น 0 กิโลกรัม 2.นายแดงเดินไปทางทิศตะวันออก 200 เมตร แล้วเดินย้อนกลับมาทางทิศตะวันตก 150 เมตร นายแดงอยู่จากจุดเริ่มต้น 50 เมตร ระยะ 50 เมตรนี้เป็นขนาดของปริมาณ สเกลาร์ ข้อความใดถูกต้อง ก.ข้อ 1 และข้อ 2 ถูก ข. ข้อ 1 เท่านั้น ค.ข้อ 2 เท่านั้น ง. ข้อ 1 และ ข้อ 2 ผิด

หน้ าที่ 4 4. เวกเตอร์ขนาด 5 หน่ วย และ 2 หน่ วย ทำมุมระหว่างกัน 37 องศา จงหาขนาด ของเวกเตอร์ลัพธ์ของเวกเตอร์ทั้งสอง ( cos 37 = ) ก. 4 หน่ วย ข. 3 หน่ วย ค. 2 หน่ วย ง. หน่ วย 5. นางสาวส้มเดินไปทางทิศตะวันตก 20 เมตร แล้วเดินย้อนกลับไปทางทิศ ตะวันออก 12 เมตร จงหาระยะทาง และ การกระจัดของนางสาวส้ มมีขนาดเท่าใด ก. 32 , 8 เมตร ตามลำดับ ข. 8 , 32 เมตร ตามลำดับ ค. 20 , 12 เมตร ตามลำดับ ง. 12 , 20 เมตร ตามลำดับ

หน้ าที่ 5 6. เมื่อเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ ทำมุมต่างๆกัน ผลรวมของเวกเตอร์ลัพธ์ต่ำสุด 1 หน่ วย และสูงสุด 7 หน่ วย ผลรวมของ เวกเตอร์ทั้งสองเมื่อตั้งฉากกันจะมีค่า เท่าใด ก. 6 หน่ วย ข. 5 หน่ วย ค. 4 หน่ วย ง. 3 หน่ วย 7. สมนึ กเดินจากบ้านไปทางทิศเหนื อถึง บ้านสมเดชได้ระยะทาง 400 เมตร แล้ว เดินต่อไปบ้านสมหวังไปทางทิศตะวันตก ได้ระยะทาง 300 เมตร อยากทราบว่าบ้าน สมนึ กห่างจากบ้านสมหวังใกล้สุดกี่เมตร ก. 700 เมตร ข. 500 เมตร ค. 200 เมตร ง. 100 เมตร

หน้ าที่ 6 8. จากรูปข้อใดกล่าวถูกต้อง ก. ข. ค. ง. 9. จากเวกเตอร์ ข้อใดให้ความสั มพันธ์ได้ถูกต้อง ก. ข. ค. ง. 10. เวกเตอร์ ขนาด 8.0 หน่ วย,เวกเตอร์ ขนาด 6.0 หน่ วย จงหาขนาดของเวกเตอร์ ลัพธ์ของ และ ที่เป็นไปไม่ได้ ก. 15.0 หน่ วย ข. 13.5 หน่ วย ค. 7.5 หน่ วย ง. 2.0 หน่ วย

หน้ าที่ 7 ปริมาณสเกลาร์ และปริมาณเวกเตอร์ ในการศึ กษาปริมาณต่างๆใน วิชาฟิสิกส์ พบว่าปริมาณเหล่านี้ แบ่งออก เป็น 2 ประเภท คือ ปริมาณสเกลาร์ และ ปริมาณเวกเตอร์ 1. ปริมาณสเกลาร์ ( Scalar quantity ) คือ ปริมาณที่บอกแต่ขนาดอย่างเดียวก็ได้ ความหมายสมบูรณ์ ไม่ต้องบอกทิศทาง เช่น ระยะทาง มวล เวลาปริมาตร ความ หนาแน่ น งานพลังงาน ฯลฯ การหา ผลลัพธ์ของปริมาณสเกลาร์ ก็อาศัยหลัก ทางพีชคณิต คือ การบวก ลบ คูณ หาร

หน้ าที่ 8 2.ปริมาณเวกเตอร์ ( Vector quantity ) คือ ปริมาณที่ต้องบอกทั้งขนาดและ ทิศทางจึงจะได้ความหมายสมบูรณ์ เช่น การกระจัด ความเร็ว ความเร่งแรง โมเมนตัม ฯลฯ การหาผลลัพธ์ของ ปริมาณเวกเตอร์ ต้องอาศัยวิธีการทาง เวกเตอร์โดยต้องหาผลลัพธ์ทั้งขนาดและ ทิศทาง

หน้ าที่ 9 2.1 สั ญลักษณ์ ของปริมาณเวกเตอร์ แทน ด้วยลูกศร ความยาวของลูกศรแทนขนาด หัวลูกศรแทนทิศทางและเขียนตัวอักษรที่มี ลูกศรครึ่งอยู่บนตัวอักษร ดังต่อไปนี้ โดย เวกเตอร์ มีขนาด 2หน่ วย ไปทางทิศ ตะวันออก เวกเตอร์ มีขนาด 3หน่ วยไปทางทิศเหนื อ เวกเตอร์ มีขนาด 3หน่ วย ทำมุม กับ แนวระดับ

หน้ าที่ 10 2.2 เวกเตอร์ที่เท่ากัน เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ เท่ากัน เมื่อมีขนาดเท่ากันและมีทิศไปทางเดียวกัน ดังรูป 2. 2.3 เวกเตอร์ตรงข้ามกัน เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ ตรงข้ามกัน เมื่อมีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงข้าม กัน ดังรูป 3.

หน้ าที่ 11 2.4 การบวกลบเวกเตอร์ การบวก ลบ ปริมาณเวกเตอร์ หรือการหา เวกเตอร์ลัพธ์ สามารถทำได้ 2 วิธี คือ 2.4.1 วิธีการเขียนรู ป โดยวิธีหางต่อหั ว เวกเตอร์ลัพธ์ที่ได้ จะมีขนาดและทิศจาก หางเวกเตอร์ตัวแรก ถึงหั วลูกศรเวกเตอร์ ตัวสุดท้าย ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่าง กำหนดให้

หน้ าที่ 12 1.จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ จาก + + +

หน้ าที่ 13 2. จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ จาก - + -

หน้ าที่ 14 3. จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ จาก - + -

หน้ าที่ 15 2.4.2. วิธีการคำนวณการใช้วิธีคำนวณในการ หาเวกเตอร์ลัพธ์ ก็เพื่อคำถูกต้องแน่ นอนกว่า การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีสร้างรูป เพราะ การสร้างรูป ถ้าลากความยาวหรือทิศลูกศร คลาดเคลื่อนเพียงเล็กน้ อย ผลของเวกเตอร์ ลัพธ์จะผิดไปจากเดิม จากรู ป

หน้ าที่ 16 ก. การหาค่าขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ R (ในกรณีนี้ จะพิจารณาเวกเตอร์เพียง 2 เวกเตอร์เท่านั้น) ได้จากสมการดังนี้ ข. การหาทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ จากรูป เวกเตอร์ลัพธ์ จะมีทิศทำมุม a กับ แนวระดับ

หน้ าที่ 17 ตัวอย่างที่ 1 จงหาขนาดและทิศทาง เวกเตอร์ลัพธ์ จาก มีขนาด 4 หน่ วย และ มีขนาด 3 หน่ วย โดยเวกเตอร์ทั้งสองทำมุม ระหว่างกันดังนี้ 0 องศา,60 องศา,90 องศา และ 180 องศา ตามลำดับ โดยวิธีสร้างรู ป และ วิธีคำนวณ วิธีทำ

หน้ าที่ 18

หน้ าที่ 19

หน้ าที่ 20

หน้ าที่ 21

หน้ าที่ 22

หน้ าที่ 23

หน้ าที่ 24

หน้ าที่ 25 จากตัวอย่างข้างบนนี้ สรุปเกี่ยวกับ ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ได้ว่า 1.เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ มีทิศไปทาง เหมือน ตย1 ก. เดียวกัน จะทำมุมระหว่างกัน…0..องศา ขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ จะได้จากการเอา ขนาดมารวมกัน ( R= A + B ) 2.เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ มีทิศตรงข้ามกัน เหมือน ตย1 ข. จะทำมุมระหว่างกัน …180.. องศา ขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ จะได้จากการเอา ขนาดมาลบกัน ( R= A - B ) 3.เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ มีทิศทำมุม เหมือน ตย1 ค. ระหว่างกัน องศา ขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ จะได้จากสมการ R= 4.เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ มีทิศทำมุม เหมือน ตย1 ง. ระหว่างกัน 90 องศา ขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ จะได้จากสมการ R=

หน้ าที่ 26 แบบฝึดหัด นักเรียนทำเอง 1 คำชี้แจง จากโจทย์ที่กำหนด ให้นั กเรียน แสดงวิธีทำ 1.นายสมเกียรติ เดินทางไปบ้านเพื่อน โดยเดิน ทางทิศเหนื อ 30 เมตร ต่อไปทางทิศตะวันตก 80 เมตร และต่อไปทางทิศเหนื ออีก 30 เมตร จงหา ระยะทางที่เดินถึงบ้านเพื่อน และระยะใกล้ สุดถึงบ้านเพื่อน 2.จากรูป จะต้องรวมเวกเตอร์ , , , , และ อย่างไร จึงจะมีค่าเป็นศูนย์

แบบฝึกหัด หน้ าที่ 27 นักเรียนทำเอง 2 ให้นั กเรียนเติมคำตอบที่ถูกต้องลงในช่องว่างต่อไปนี้ 1.นั กบินอวกาศ 2 คน เมื่ออยู่บนโลกจะมีมวล 90 กิโลกรัม และ 85 กิโลกรัม แต่เมื่ออยู่นอกโลก โดย ไม่มีแรงโน้ มถ่วงใดๆกระทำอยากทราบว่า นั กบิน อวกาศทั้ง 2 คนนี้ จะมีมวลรวมกันกี่กิโลกรัม 2.จากข้อ 1. อยากทราบว่า มวล 90 กิโลกรัม และ 85 กิโลกรัม เป็นปริมาณสเกลาร์หรือ ปริมาณเวกเตอร์ 3.ชายคนหนึ่ งมีมวล 60กิโลกรัมเมื่ออยู่บนโลกมีน้ำ หนั ก 600 นิ วตัน แต่เมื่ออยู่บนดวงจันทร์มีน้ำหนั ก 100 นิ วตัน ชายคนนี้ จะมีมวลต่างกันกี่กิโลกรัม 4.จากข้อ 3. ชายคนนี้ จะมีน้ำหนั กต่างกันกี่นิ วตัน 5.“นาย ก.เดินทางจากบ้านไปห้างสรรพสินค้าหนึ่ ง ได้ระยะทาง 1,200 เมตร” ปริมาณที่บอกการเดิน ทางของนาย ก. นี้ เป็นปริมาณสเกลาร์หรือ ปริมาณ เวกเตอร์

หน้ าที่ 28 6.“นาย ก.เดินทางจากบ้านมีทิศตรงไปยังห้างสรรพ สินค้าหนึ่ งได้ระยะทาง 800 เมตร” ปริมาณที่บอก การเดินทางของนาย ก. นี้ เป็นปริมาณสเกลาร์หรือ ปริมาณเวกเตอร์ 7.นายแดง เดินทางไปทางทิศเหนื อ 5กิโลเมตรแล้ว เดินทางย้อนกลับไปทางทิศใต้ 11 กิโลเมตร อยาก ทราบว่า ถ้ารวมการเดินทางนี้ แบบปริมาณสเกลาร์ จะได้ทางกี่กิโลเมตร 8.จากข้อ 7. ถ้ารวมการเดินทางนี้ แบบปริมาณ เวกเตอร์ จะได้ทางกี่กิโลเมตร และมีทิศไปทางใด 9.นางสาวเขียว เดินทางไปทางทิศตะวันออก 15 กิโลเมตร แล้วเดินทางไปทางทิศใต้อีก 20 กิโลเมตร อยากทราบว่า ถ้ารวมการเดินทางนี้ แบบปริมาณสเกลาร์ จะได้ทางกี่กิโลเมตร 10.จากข้อ 9. ถ้ารวมการเดินทางนี้ แบบปริมาณ เวกเตอร์ จะได้ทางกี่กิโลเมตร และมีทิศไปทางใด

แบบฝึกหัด หน้ าที่ 29 นั กเรียนทำเอง 3 1. สมศักดิ์เดินไปทางเหนื อ 4 กิโลเมตร แล้ว เดินไปทางทิศตะวันออก 3 กิโลเมตร หยุดพัก ก่อนจะเดินต่อไปอีก 6 กิโลเมตร พักอีกสักครู่ แล้วเดินไปทางเหนื อ 8 กิโลเมตร จึงถึงที่พัก อยากทราบว่า สมศักดิ์เดินได้ระยะทางทั้งหมด กี่กิโลเมตรและระยะที่ใกล้ที่สุดระหว่างจุดเริ่ม ต้นถึงที่พักกี่กิโลเมตร คำถาม 1 สมศักดิ์เดินได้ระยะทางทั้งหมด กี่กิโลเมตร คำถาม 2 ระยะที่ใกล้ที่สุดระหว่างจุดเริ่ม ต้นถึงที่พักกี่กิโลเมตร 2. เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ คือ ขนาด 6หน่ วย และ ขนาด 2 หน่ วยโดยเวกเตอร์ทั้งสองทำ มุมระหว่างกันดังนี้ 0 องศา ,60 องศา ,90 องศา และ 180 องศา ตามลำดับ โดยวิธีสร้างรูป และ วิธีคำนวณ

หน้ าที่ 30 3. เวกเตอร์ ขนาด 14 หน่ วย และ เวกเตอร์ ขนาด 10 หน่ วย เวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดมากที่สุด และน้ อยที่สุดเท่าใด คำถามที่ 1 เวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดมากที่สุด แสดงว่าเวกเตอร์ทั้งสองทำมุม 0 องศา คำถามที่ 2 เวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดน้ อยที่สุด แสดงว่าเวกเตอร์ทั้งสองทำมุม 180 องศา

หน้ าที่ 31 แบบทดสอบหลังเรียน หน่วยที่ 3 เรื่อง ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์ คำสั่ง : จงเลือกคำตอบที่ถูกต้อง โจทย์ จงพิจารณากลุ่มปริมาณต่อไปนี้ ใช้ตอบคำถามข้อ 1 - 2 ก. อัตราเร็ว ความเร่งสนาม โน้ มถ่วง ข. ความเร็ว มวลเวลา ค. แรง น้ำหนั ก ความดัน ง. ระยะทาง พื้นที่ ปริมาตร 1. จงพิจารณาข้อต่อไปนี้ ข้อใดเป็นปริมาณ สเกลาร์ ก. ข้อ ก. ข. ข้อ ข. ค. ข้อ ค. ง. ข้อ ง.



หน้ าที่ 33 4. จากรูปข้อใดกล่าวถูกต้อง ก. ข. ค. ง. 5. จากเวกเตอร์ ข้อใดให้ความสั มพันธ์ได้ถูกต้อง ก. ข. ค. ง. 6. เวกเตอร์ ขนาด 8.0 หน่ วย,เวกเตอร์ ขนาด 6.0 หน่ วย จงหาขนาดของเวกเตอร์ ลัพธ์ของ และ ที่เป็นไปไม่ได้ ก. 15.0 หน่ วย ข. 13.5 หน่ วย ค. 7.5 หน่ วย ง. 2.0 หน่ วย

หน้ าที่ 34 7. เวกเตอร์ขนาด 5 หน่ วย และ 2 หน่ วย ทำมุมระหว่างกัน 37 องศา จงหาขนาด ของเวกเตอร์ลัพธ์ของเวกเตอร์ทั้งสอง ( cos 37 = ) ก. 4 หน่ วย ข. 3 หน่ วย ค. 2 หน่ วย ง. หน่ วย 8. นางสาวส้มเดินไปทางทิศตะวันตก 20 เมตร แล้วเดินย้อนกลับไปทางทิศ ตะวันออก 12 เมตร จงหาระยะทาง และ การกระจัดของนางสาวส้ มมีขนาดเท่าใด ก. 32 , 8 เมตร ตามลำดับ ข. 8 , 32 เมตร ตามลำดับ ค. 20 , 12 เมตร ตามลำดับ ง. 12 , 20 เมตร ตามลำดับ

หน้ าที่ 35 9. สมนึ กเดินจากบ้านไปทางทิศเหนื อถึง บ้านสมเดชได้ระยะทาง 400 เมตร แล้ว เดินต่อไปบ้านสมหวังไปทางทิศตะวันตก ได้ระยะทาง 300 เมตร อยากทราบว่าบ้าน สมนึ กห่างจากบ้านสมหวังใกล้สุดกี่เมตร ก. 700 เมตร ข. 500 เมตร ค. 200 เมตร ง. 100 เมตร 10. เมื่อเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ ทำมุมต่างๆ กัน ผลรวมของเวกเตอร์ลัพธ์ต่ำสุด 1 หน่ วย และสูงสุด 7 หน่ วย ผลรวมของ เวกเตอร์ทั้งสองเมื่อตั้งฉากกันจะมีค่า เท่าใด ก. 6 หน่ วย ข. 5 หน่ วย ค. 4 หน่ วย ง. 3 หน่ วย