คำนำ

ใบความรู Ë.Ã.Á áÅÐ ¤.Ã.¹ ชั้นประถมศกึ ษาปท่ี 6 นางสาวสริ ินภา ศิริวรรณพร รหสั นักศึกษา 6201102001021

ก คำนำ ใบความรู้สำหรับนักเรยี นช้ันประถมศกึ ษาปีท่ี 6 เร่ืองตวั หารรว่ มมาก และตวั คณู รว่ มน้อย มี จดุ มุ่งหมายเพื่อพฒั นาผเู้ รียนให้มีความรู้ ความเขา้ ใจ เรอื่ งตวั หารร่วมมาก และตัวคูณร่วมนอ้ ย และ เป็นการเพิ่มพนู ทกั ษะ และกระบวนการตา่ ง ๆ ในการเรียนเรื่องตวั หารร่วมมาก และตัวคณู ร่วมน้อย ผูจ้ ัดทำหวังเปน็ อย่างยิง่ ว่า ใบความรู้ สำหรับนกั เรียนระดบั ช้นั ประถมศกึ ษาปีที่ 6 เร่อื งตัวหาร รว่ มมาก และตัวคูณรว่ มน้อย จะเป็นประโยชนต์ อ่ การเรยี นรสู้ ำหรบั นักเรียนจนเกดิ ประสิทธิภาพและ ประสิทธิผลตอ่ ไป สริ นิ ภา ศิรวิ รรณพร

ข สารบัญ เรื่อง หน้า คำนำ......................................................................................................................................ก สารบัญ...................................................................................................................................ข ตัวหารร่วมมาก......................................................................................................................1-5 ตวั หารรว่ มมาก (Common Factor)..................................................................................1 ตวั หารร่วมมากหรือ ห.ร.ม. (Greatest Common Factor ; GCF)....................................2 สรปุ ความรตู้ วั หารรว่ มมาก..................................................................................................5 ตัวคูณรว่ มน้อย......................................................................................................................6-11 ตัวคูณร่วม (Common multiple)......................................................................................6 ตัวคูณรว่ มนอ้ ยหรอื ค.ร.น. (Least Common Multiple ; LCM)......................................7 สรุปความรู้ตวั คณู ร่วมน้อย.................................................................................................11 ศึกษาเพิม่ เติม.........................................................................................................................12 บรรณานกุ รม..........................................................................................................................13

1 1. ตัวหารร่วมมาก 1.1 ตวั หารรว่ มมาก (Common Factor) พจิ ารณาจำนวนนับทห่ี าร 18 และ 24 ลงตัว จำนวนนบั ทห่ี าร 18 ลงตัว ได้แก่ 1, 2, 3, 6, 9 และ 18 จำนวนนับทีห่ าร 24 ลงตัว ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 และ 24 จำนวนนับทีห่ าร 18 และ 24 ลงตวั ได้แก่ 1, 2, 3 และ 6 กล่าวได้วา่ 1, 2, 3 และ 6 เป็นตัวหารรว่ มของ 18 และ 24 สาระสำคญั จำนวนนบั ที่หารจำนวนนับต้งั แต่สองจำนวนขน้ึ ไปลงตัว เรียกว่า “ตัวหารร่วม” หรอื “ตัวประกอบร่วม” ของจำนวนนบั เหลา่ นนั้ ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาตวั รว่ มของ 15 และ 45 วธิ ีทำ จำนวนนับทห่ี าร 15 ลงตวั ได้แก่ 1, 3, 5 และ 15 จำนวนนบั ทีห่ าร 45 ลงตัว ไดแ้ ก่ 1, 3, 5, 9, 15 และ 45 ดังนน้ั ตวั หารรว่ มของ 15 และ 45 ได้แก่ 1, 3, 5 และ 15 ตอบ ตัวหารร่วมของ 15 และ 45 ไดแ้ ก่ 1, 3, 5 และ 15

2 1.2 ตวั หารรว่ มมากหรือ ห.ร.ม. (Greatest Common Factor ; GCF) พจิ ารณาจำนวนนบั ท่ีหาร 18 และ 24 ลงตัว จำนวนนบั ท่ีหาร 18 ลงตัว ได้แก่ 1, 2, 3, 6, 9 และ 18 จำนวนนบั ท่หี าร 24 ลงตวั ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 และ 24 ตัวหารร่วมของ 18 และ 24 ได้แก่ 1, 2, 3 และ 6 จะเหน็ วา่ 6 เป็นตวั หารร่วมของ 18 และ 24 ทีม่ ากทส่ี ดุ กลา่ วไดว้ า่ ห.ร.ม. ของ 18 และ 24 คอื 6 สาระสำคญั ตวั หารร่วมที่มากทส่ี ดุ ของจำนวนนับตง้ั แต่สองจำนวนขึ้นไป เรยี กวา่ “ตัวหารร่วมมาก” ของจำนวนนบั เหลา่ นั้น ใช้อักษรย่อวา่ ห.ร.ม. (Greatest Common Factor ; GCF) ตวั อยา่ งที่ 2 จงหา ห.ร.ม. ของ 14 และ 42 ใช้วิธกี ารหาตวั หารร่วม วิธที ำ จำนวนนับท่ีหาร 14 ลงตวั ได้แก่ 1, 2, 7 และ 14 ทีม่ ากทสี่ ุด จำนวนนบั ท่หี าร 42 ลงตัว ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 และ 42 ตวั หารรว่ มของ 14 และ 42 ไดแ้ ก่ 1, 2, 7 และ 14 ดงั น้นั ห.ร.ม. ของ 14 และ 42 คือ 14 ตอบ ห.ร.ม. ของ 14 และ 42 คอื 14

3 ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหา ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 60 ใชว้ ิธีการแยกตวั ประกอบ วิธีทำ 24 = 2 x 2 x 2 x 3 โดยนำจำนวนเฉพาะที่เปน็ ตวั ประกอบรว่ ม 36 = 2 x 2 x 3 x 3 ของทัง้ สามจำนวนมาคณู กนั 60 = 2 x 2 x 3 x 5 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 60 คือ 2 x 2 x 3 = 12 ตอบ ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 60 คอื 2 x 2 x 3 = 12 นักเรียนได้รจู้ กั วธิ กี ารหา ห.ร.ม. โดยวธิ กี ารหาตัวร่วมทมี่ าก ทสี่ ดุ และวิธีการแยกตัวประกอบกันไปแลว้ ตอ่ ไปจะเปน็ วธิ กี ารหา ห.ร.ม. โดย วิธกี ารตัง้ หาร โดยการหาตวั หารรว่ มทส่ี ามารถหารจำนวนนับทง้ั สองจำนวนได้ ลงตวั แลว้ นำมาหารต่อไปเรอื่ ย ๆ จนไมม่ จี ำนวนนบั ใดนอกจาก 1 หาร จำนวนนบั ทัง้ สองจำนวนได้

4 ตวั อยา่ งที่ 4 จงหา ห.ร.ม. ของ 60 และ 90 วิธที ำ 3 ) 60 90 5 ) 20 30 2) 4 6 23 ดังนน้ั ห.ร.ม. ของ 60 และ 90 คือ 3 x 5 x 2 = 30 ตอบ ห.ร.ม. ของ 60 และ 90 คอื 30 ใช้วิธกี ารตั้งหาร โดยการหาตัวหารร่วมทสี่ ามารถหารจำนวนนบั ทุกจำนวนไดล้ งตัว แล้วนำมาหารตอ่ ไปเรอื่ ย ๆ จนไม่มีจำนวนนบั ใดนอกจาก 1 หารจำนวนนบั เหล่าน้นั ได้ จากตวั อย่างที่ 2-4 แสดงใหเ้ หน็ วา่ การหา ห.ร.ม. มี 3 วิธี คอื 1) โดยวิธกี ารหาตวั หารรว่ มท่มี ากทสี่ ดุ หรือหาตัวประกอบร่วมทมี่ ากทส่ี ุด (ตวั อยา่ งท่ี 2) 2) โดยวธิ ีการแยกตวั ประกอบ (ตัวอยา่ งที่ 3) 3) โดยวธิ กี ารตง้ั หาร (ตัวอย่างที่ 4)

5 สรุปความรู้ จำนวนนบั ที่หารจำนวนนับตงั้ แตส่ องจำนวนข้นึ ไปลงตัว เรยี กวา่ “ตัวหารรว่ ม” หรอื “ตวั ประกอบรว่ ม” ของจำนวนนับเหลา่ นน้ั ตวั หารร่วม ตัวประกอบของ 6 คอื 1, 2, 3 และ 6 ตัวประกอบของ 42 คอื 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 และ 42 ตัวหารรว่ มทม่ี ากทสี่ ดุ ของจำนวนนับตั้งแต่สองจำนวนข้นึ ไป เรยี กวา่ ตวั หารร่วมมากหรอื ห.ร.ม. (Greatest Common Factor ; GCF) 1. โดยวธิ กี ารหาตวั หารรว่ มทม่ี ากท่ีสดุ หรือ ตัวประกอบรว่ มที่มากท่ีสดุ วธิ กี ารหา 2. โดยวธิ ีการแยกตวั ประกอบ 3. โดยวธิ ีการตงั้ หาร

6 2. ตัวคูณรว่ มน้อย 2.1 ตวั คูณร่วม (Common multiple) พิจารณาจำนวนนับท่หี ารด้วย 2 และ 6 ลงตวั จำนวนนบั ท่ีหารดว้ ย 2 ลงตวั ได้แก่ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, … เรียกจำนวนนับเหลา่ นวี้ า่ ตัวคูณของ 2 จำนวนนบั ที่หารด้วย 6 ลงตัว ไดแ้ ก่ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, … เรียกจำนวนนับเหล่านว้ี า่ ตัวคูณของ 6 จำนวนนบั ทีห่ ารด้วย 2 และ 6 ลงตวั ได้แก่ 6, 12, 18, … เรียก 6, 12, 18, … วา่ ตวั คูณร่วมของ 2 และ 6 สาระสำคญั จำนวนนับท่ีหารด้วยจำนวนนบั ต้ังแต่สองจำนวนขึ้นไปลงตัว เรียกวา่ “ตวั คูณรว่ ม” ของจำนวนนบั เหล่านั้น

7 ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาตวั คณู รว่ มของ 8 และ 12 วธิ ีทำ ตวั คณู ของ 8 ได้แก่ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, … ตวั คูณของ 12 ไดแ้ ก่ 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, … ดังนน้ั ตัวคณู รว่ มของ 8 และ 12 ได้แก่ 24, 48, 72, … ตอบ ตวั คูณร่วมของ 8 และ 12 ไดแ้ ก่ 24, 48, 72, … 2.2 ตัวคูณร่วมนอ้ ยหรอื ค.ร.น. (Least Common Multiple ; LCM) พิจารณาตัวคณู ของ 6 และ 9 ตัวคณู ของ 6 ไดแ้ ก่ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, … ตัวคูณของ 9 ไดแ้ ก่ 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, … ตัวคูณร่วมของ 6 และ 9 ได้แก่ 18, 36, 54, … จะเหน็ วา่ 18 เปน็ ตวั คณู ร่วมของ 6 และ 9 ทน่ี อ้ ยทสี่ ุด กลา่ วได้วา่ ค.ร.น. ของ 6 และ 9 คือ 18 สาระสำคัญ ตวั คณู รว่ มท่ีนอ้ ยทส่ี ุดของจำนวนนบั ต้งั แตส่ องจำนวนข้นึ ไป เรยี กวา่ “ตวั คูณรว่ มนอ้ ย” ของจำนวนนบั เหล่าน้ัน ใชอ้ กั ษรย่อว่า ค.ร.น. (Least Common Multiple ; LCM)

8 ตัวอย่าที่ 2 ใช้วธิ กี ารหาตัวคณู รว่ มทน่ี ้อยท่สี ดุ จงหา ค.ร.น. ของ 2 และ 5 วธิ ที ำ ตวั คูณของ 2 ไดแ้ ก่ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, … ตัวคณู ของ 5 ได้แก่ 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, … ตัวคูณร่วมของ 2 และ 5 ไดแ้ ก่ 10, 20, … ดังนั้น ค.ร.น. ของ 2 และ 5 คอื 10 ตอบ ค.ร.น. ของ 2 และ 5 คอื 10 นอกจากจะใช้วธิ กี ารหาตวั คูณร่วมทีน่ อ้ ยทสี่ ดุ ในการหา ค.ร.น. แล้ว นกั เรียนยงั สามารถหา ค.ร.น. ได้จากวธิ กี ารแยกตวั ประกอบ โดยนำจำนวนเฉพาะท่เี ปน็ ตวั ประกอบ ร่วมและตัวประกอบเฉพาะทเ่ี หลอื มาคูณกัน ดงั ตัวอย่างตอ่ ไปนี้ ตวั อย่างท่ี 3 จงหา ค.ร.น. ของ 8 และ 10 วิธที ำ 8 = 2 x 2 x 2 10 = 2 x 5 ดงั นน้ั ค.ร.น. ของ 8 และ 10 คือ 2 x 2 x 2 x 5 = 40 ตอบ ค.ร.น. ของ 8 และ 10 คอื 40

9 ตวั อย่างท่ี 4 ใชว้ ิธกี าร แยกตัวประกอบ โดยนำจำนวน จงหา ค.ร.น. ของ 4, 24 และ 30 เฉพาะท่ีเปน็ ตวั ประกอบรว่ มของทั้งสาม วธิ ที ำ 4 = 2 x 2 จำนวน สองจำนวน และตัวประกอบเฉพาะที่ 24 = 2 x 2 x 2 x 3 เหลือมาคณู กนั 30 = 2 x 3 x 5 ดงั นัน้ ค.ร.น. ของ 4, 24 และ 30 คอื 2 x 2 x 3 x 2 x 5 = 120 ตอบ ค.ร.น. ของ 4, 24 และ 30 คอื 120 นกั เรียนไดร้ ู้จกั วธิ กี ารหา ค.ร.น. โดยวิธกี ารหาตวั คณู รว่ มทน่ี อ้ ยท่สี ดุ และวิธีการแยกตัวประกอบกันไปแลว้ ตอ่ ไปจะเป็นวธิ ีการหา ค.ร.น. โดย วธิ กี ารตั้งหาร โดยการนำตวั หารทกุ ตัวและผลหารข้ันสดุ ทา้ ยทกุ ตัวมาคณู กัน ตัวอยา่ งที่ 5 จงหา ค.ร.น. ของ 70 และ 90 วิธีทำ 2 ) 72 90 3 ) 36 45 3 ) 12 15 45 ดังนนั้ ค.ร.น. ของ 70 และ 90 คือ 2 x 3 x 3 x 4 x 5 = 360 ตอบ ค.ร.น. ของ 70 และ 90 คอื 360

10 ตัวอยา่ งที่ 6 ใชว้ ธิ ีการตัง้ หาร โดยตวั หารตอ้ งหารจำนวนนบั ท่ี จาก ค.ร.น. ของ 30, 84 และ 90 กำหนดให้อย่างนอ้ ยสองจำนวนได้ลงตวั แลว้ นำ วิธที ำ 2 ) 30 84 90 ตัวหารทุกตัว และผลหารขั้นสุดทา้ ยทุกตวั มาคณู กนั 5 ) 15 42 45 3 ) 3 42 9 1 14 3 ดงั น้นั ค.ร.น. ของ 30, 84 และ 90 คอื 2 x 5 x 3 x 1 x 14 x 3 = 1,260 ตอบ ค.ร.น. ของ 30, 84 และ 90 คือ 1,260 จากตวั อยา่ งท่ี 2-6 แสดงใหเ้ ห็นว่าการหา ค.ร.น. มี 3 วิธี คือ 1) โดยวิธกี าร หาตัวคณู รว่ มที่นอ้ ยท่สี ดุ (ตัวอยา่ งท่ี 2) 2) โดยวิธกี าร แยกตัวประกอบ (ตัวอย่างที่ 3-4) 3) โดยวิธีการ ตัง้ หาร (ตวั อย่างท่ี 5-6)

11 สรุปความรู้ จำนวนนับที่หารดว้ ยจำนวนนับต้งั แตส่ องจำนวนขน้ึ ไปลงตวั เรยี กว่า “ตัวคูณรว่ ม” ของจำนวนนบั เหลา่ น้ัน ตวั คูณรว่ ม ของ 2 และ 6 คอื 6, 12, 18, … ตัวคณู ของ 2 คอื 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, … ตวั คณู ของ 6 คอื 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, … ตัวคูณรว่ มทีน่ ้อยท่ีสุดของจำนวนนับต้งั แต่สองจำนวนขึน้ ไป เรียกว่า ตวั คูณร่วมน้อยหรอื ค.ร.น. (Least Common Multiple ; LCM) วิธีการหา 1. โดยวธิ กี ารหาตวั คณู รว่ มท่นี อ้ ยทสี่ ุด 2. โดยวธิ กี ารแยกตัวประกอบ 3. โดยวธิ ีการต้ังหาร

¥ È¡Ö ÉÒà¾ÁèÔ àµÔÁ䴌·èÕ 12 ·ÁèÕ Ò: https://youtu.be/blB-c209yLY ·èÕÁÒ: https://youtu.be/muFbvB97gbE MATH ·ÕÁè Ò: https://youtu.be/N7oRg3iA4gA

13 บรรณานกุ รม เฉลมิ พงศ์ วรวรรโณทยั . (2560). หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร์ชัน้ ประถมศกึ ษา ปที ี่ 6. กรงุ เทพ: บริษัทเลิร์น เอ็ดดเู คชน่ั จำกัด. มัทนญี า บุญราษฎร.์ (ม.ป.ป.). คณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน. เขา้ ถึงไดจ้ าก https://sites.google.com/site/wichakhnitsastrphunthan/home/bth-thi-1- kar-ha-kh-r-n-laea-h-r-m ภาชนิ ี มากพันธ์. (2562). โจทยป์ ญั หา ห.ร.ม. กับ ค.ร.น. 1 ก.ค. 62 (มีแบบฝกึ หดั ประกอบการสอนและเฉลยแบบฝึกหัด). เขา้ ถงึ ได้จาก มูลนิธกิ ารศึกษาทางไกลผ่าน ดาวเทยี ม: https://www.dltv.ac.th/teachplan/episode/1542 สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี. (2560). หนงั สือเรยี นรายวชิ าพืน้ ฐาน คณติ ศาสตร์. กรุงเทพ: สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี ไพศาล จรรยา. (2560). หนงั สอื เรยี นรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร์ ป.6. กรงุ เทพ: บริษทั อักษร อินสไปร์ จำกัด.