Biostat_for_PH_Book_OrawanKeeratisiroj

ชีวสถติ สิ ำหรับสำธำรณสุข: หนว่ ยท่ี 4 กำรวดั แนวโนม้ เข้ำสสู่ ่วนกลำงและกำรกระจำย 1.6 สรปุ การหาคา่ เฉล่ียเลขคณติ มัธยฐาน และฐานนิยม 1) สรุปวธิ กี ารหาคา่ กลาง ไดด้ ังตำรำงที่ 4.1 ตารางที่ 4.1 สรุปวิธกี ำรหำคำ่ กลำงของขอ้ มูล ค่ากลาง สรุป คำ่ เฉลีย่ เลขคณิต เป็นกำรหำคำ่ กลำงทใี่ ชก้ ับตัวแปรระดับช่วงสเกลขึ้นไป โดยจะตอ้ งนำขอ้ มลู ทั้งหมดมำใช้ในกำรคำนวณ ค่ำมธั ยฐำน เป็นกำรหำคำ่ กลำงโดยจดั อันดับข้อมูล ค่ำฐำนนิยม กำรคำนวณอยูบ่ นพ้ืนฐำนของข้อมลู ท่ีอยู่ในมำตรำอนั ดับสเกลขึ้นไป เป็นคำ่ หรือช้นั ทีม่ คี วำมถีส่ ูงท่ีสุด ใชก้ บั ตัวแปรระดบั นำมสเกลขึน้ ไป กำรคำนวณไม่ได้ขึน้ อยกู่ ับค่ำตำ่ งๆ หรือกำรจดั อันดับแตด่ ทู ่คี วำมถ่ี 2) เสน้ โคง้ ของความถ่ีของข้อมลู 2.1) กำรแจกแจงของข้อมูลมีลักษณะสมมำตร (Symmetry) หรือ ปกติ (Normal distribution) เส้นโค้งจะเป็นรูประฆังคว่ำ ซึ่งจะมี ค่ำเฉลี่ยเลขคณิต = มัธยฐำน = ฐำนนิยม (ภำพท่ี 4.2 ก) 2.2) เส้นโค้งเบ้ทำงขวำหรือทำงบวก (Skew to the Right) ซ่ึงจะมี ค่ำเฉลี่ยเลขคณิต > มัธยฐำน > ฐำนนิยม (ภำพท่ี 4.2 ข) 2.3) เส้นโค้งเบ้ทำงซ้ำยหรือทำงลบ (Skew to the Left) ซึ่งจะมี ค่ำเฉล่ียเลขคณิต < มัธยฐำน < ฐำนนยิ ม (ภำพที่ 4.2 ค) Mean Mode Mode Median Median Median Mode Mean Mean ก เสน้ โค้งปกติ ข เสน้ โคง้ เบข้ วำ ค เส้นโค้งเบ้ซ้ำย ภาพที่ 4.2 เสน้ โค้งควำมถ่ีของข้อมูล ~ 39 ~

ชวี สถิติสำหรบั สำธำรณสขุ : หนว่ ยท่ี 4 กำรวัดแนวโนม้ เขำ้ สู่ส่วนกลำงและกำรกระจำย 3) สรปุ การเลือกใช้คา่ กลาง ได้ดงั ตำรำงท่ี 4.2 ตารางที่ 4.2 สรุปกำรเลอื กใชค้ ่ำกลำง คา่ กลาง ข้อมูลเชิงปริมาณ ขอ้ มูลอันดับสเกล ขอ้ มูลนามสเกล (ช่วงสเกล, อัตรำสว่ นสเกล) ค่ำเฉลยี่  ค่ำมธั ยฐำน   ค่ำฐำนนิยม   เมื่อข้อมูลมีกำรแจกแจงแบบปกติจะใช้ค่ำเฉล่ยี มัธยฐำน หรือฐำนนิยม ค่ำใดค่ำหนึ่งเป็นค่ำกลำง ของข้อมูลก็ได้ เน่ืองจำก 3 ค่ำข้ำงต้นมีค่ำเท่ำกัน แต่เม่ือข้อมูลมีกำรแจกแจงแบบไม่ปกติ ไม่ว่ำจะเป็น กรณีที่ข้อมูลเบซ้ ำ้ ยหรือเบ้ขวำ จะใช้มธั ยฐำนเป็นคำ่ กลำง เนื่องจำกเปน็ ท่ีอยูต่ รงกลำงระหว่ำงคำ่ เฉล่ียและ คำ่ ฐำนนยิ ม จงึ เป็นค่ำกลำงทด่ี ีที่สุดกรณขี อ้ มูลมีกำรแจกแจงไม่ปกติ (ภำพที่ 4.2) 2. การวัดการกระจาย (Measure of dispersion) เป็นกำรวัดค่ำกำรกระจำยของข้อมูล เพื่อใช้นำเสนอให้เห็นควำมแตกต่ำงหรือควำมห่ำงระหว่ำง ข้อมูลภำยในชุดข้อมูล โดยกำรนำเสนอร่วมกับค่ำกลำง เช่น ค่ำพิสัย ค่ำส่วนเบ่ียงเบนมำตรฐำน ค่ำส่วน เบยี่ งเบนควอไทล์ 2.1 พิสัย (Range) พิสัย = ข้อมูลสูงสุด - ข้อมูลต่ำสุด โดยปกติกำรนำเสนอค่ำกำรกระจำยด้วยค่ำ พิสัยนิยมนำเสนอด้วยค่ำต่ำสุดร่วมกับค่ำสูงสุด มำกกว่ำกำรนำเสนอด้วยค่ำพิสัย เพรำะทำให้เห็น รำยละเอียดของข้อมูลมำกกว่ำ ค่ำพิสัยบอกกำรกระจำยของข้อมูลได้แบบหยำบๆ ดังนั้นจึงไม่ใช่ค่ำท่ีบอก กำรกระจำยได้ดี ตวั อยา่ งที่ 6 ข้อมลู ระยะเวลำพักฟ้นื เป็นวันหลงั ผำ่ ตดั ของคนไข้ 10 คน มดี งั น้ี 15, 20, 13, 8, 7, 12, 16, 6, 9, 10 จงหำพสิ ยั วธิ ีทา พิสัย = ขอ้ มลู สูงสดุ – ขอ้ มูลต่ำสดุ = 20 – 6 = 14 ตอบ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.2 สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) และความแปรปรวน (Variance) สว่ นเบ่ียงเบนมำตรฐำนคอื คำ่ รำกที่ 2 ของควำมแปรปรวน โดยที่ คำ่ ควำมแปรปรวน คอื ค่ำเฉล่ีย ของควำมแตกต่ำงกำลงั สองของข้อมูลแตล่ ะคำ่ กบั ค่ำเฉลยี่ มวี ธิ ีกำรคำนวณ ดงั น้ี 1) ขอ้ มลู เป็นค่าเดยี ว มีสตู รกำรคำนวณคำ่ ส่วนเบ่ยี งเบนมำตรฐำน ดงั นี้    Xi  2 สำหรับประชำกร ................................................................(8) N ~ 40 ~

ชีวสถติ ิสำหรับสำธำรณสุข: หนว่ ยที่ 4 กำรวัดแนวโน้มเข้ำสู่ส่วนกลำงและกำรกระจำย   sd   Xi  X 2 สำหรบั ตัวอยำ่ ง ...................................................................(9) n 1 2) ข้อมลู จดั กลุ่ม มสี ูตรกำรคำนวณคำ่ ส่วนเบ่ยี งเบนมำตรฐำน ดงั น้ี     fi Xi  2 สำหรบั ประชำกร ..............................................................(10) N สำหรับตัวอย่ำง .................................................................(11)   sd  fi Xi  X 2 n 1 โดยที่  = ค่ำสว่ นเบีย่ งเบนมำตรฐำนในประชำกร, sd = ค่ำส่วนเบี่ยงเบนมำตรฐำนในตัวอยำ่ ง ������������= ค่ำของข้อมูลแตล่ ะคำ่ หรอื คำ่ ก่งึ กลำงช้ันท่ี i ของตำรำงแจกแจงควำมถ่ี  = คำ่ เฉลย่ี ในประชำกร, ������̅ = ค่ำเฉล่ียในตัวอย่ำง N = ขนำดประชำกร, n = ขนำดตัวอย่ำง ������������= ควำมถชี่ ั้นท่ี i ของตำรำงแจกแจงควำมถี่ ตัวอยา่ งท่ี 7 จำกขอ้ มลู นำ้ หนกั ของเด็ก 7 คน ดังนี้ 7, 6, 8, 5, 7, 4, 3 จงคำนวณหำควำมแปรปรวนและส่วนเบ่ียงเบนมำตรฐำนของน้ำหนักตัวของเด็กกลุ่มน้ี วิธีทา นา้ หนัก (Xi) Xi  X  X i  X 2 7 7-5.71=1.29 1.66 6 6-5.71=0.29 0.08 8 8-5.71=2.29 5.24 5 5-5.71= -0.71 0.50 7 7-5.71=1.29 1.66 4 4-5.71= -1.71 2.92 3 3-5.71= -2.71 7.34  Xi = 40 19.4 ควำมแปรปรวน = 19.4/7 = 2.77 kg2 สว่ นเบี่ยงเบนมำตรฐำน = 1.66 kg ตอบ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ~ 41 ~

ชีวสถติ สิ ำหรับสำธำรณสขุ : หน่วยที่ 4 กำรวัดแนวโน้มเข้ำสูส่ ่วนกลำงและกำรกระจำย 3. การวดั ตาแหน่งของข้อมูล ด้วยค่ำต่ำงๆ ดงั นี้ 3.1 เปอร์เซน็ ตไ์ ทล์ (Percentile) เป็นกำรแบ่งตำแหน่งของข้อมลู เป็น 100 ส่วน 3.2 เดไซล์ (Decile) เป็นกำรบ่งตำแหนง่ ขอ้ มลู เปน็ 10 สว่ น 3.3 ควอไทล์ (Quatile) เป็นกำรแบ่งตำแหนง่ ของข้อมูลเป็น 4 ส่วน แต่ละวิธีมีวิธีกำรคำนวณเป็น 2 กรณี โดยในที่น้ีจะนำเสนอวิธีกำรคำนวณค่ำเปอร์เซ็นต์ไทล์ ส่วนกำร คำนวณค่ำตำแหน่งของของมูลด้วยวิธีเดไซล์ หรือ ควอไทล์ ใช้สูตรเดียวกันแต่เปล่ียนตัวเลขที่เป็นตัวหำร จำก 100 เปน็ 10 หรือ 4 ตำมกำรแบง่ สว่ นของข้อมูล ดงั น้ี 1) ข้อมูลเปน็ คา่ เดียว คำนวณได้จำกสตู ร Rk  k  n 1 .............................................................................(12) 100 เมอื่ k = ลำดับที่ของเปอร์เซน็ ต์ไทล์ n = จำนวนขอ้ มูลทงั้ หมด 2) ข้อมลู จดั กลุ่ม    คำนวณได้จำกสูตร n  k   Fi 1  c .................................................(13) 100  Pk  Li  fi เมื่อ k = ลำดบั ทีข่ อง percentile ชัน้ ท่มี ีลำดับท่ี k อยู่ i= จำนวนขอ้ มูลท้งั หมด ขดี จำกดั ชั้นล่ำงจริงของชนั้ ที่ i n= ควำมถสี่ ะสมของชน้ั ท่ี i -1 Li = ควำมถีข่ องชนั้ ที่ i Fi-1 = อนั ตรภำคชน้ั fi = c= 4. การเปรยี บเทียบคา่ การกระจาย สัมประสิทธิความแปรปรวน (Coefficient of Variation: CV) ใช้เปรียบเทียบกำรกระจำย ระหวำ่ งขอ้ มลู ตำ่ งชดุ หรือมีหน่วยกำรวดั ตำ่ งกัน sd คำนวณไดจ้ ำกสูตร cv= x̅ ×100 …………………………………………………………………………(14) ตัวอยา่ งท่ี 8 จงเปรียบเทยี บกำรกระจำยระหว่ำงขอ้ มูลควำมสูง 2 กล่มุ น้ี นิสิตอนำมยั ชุมชน ชน้ั ปที ่ี 3 ������̅ = 162 cm, sd = 12 cm และนิสติ อนำมัยสง่ิ แวดลอ้ ม ชนั้ ปีที่ 3 ������̅ = 158 cm, sd = 12 cm sd วธิ ที า จำกสูตร cv= x̅ ×100 CV ควำมสูงของนสิ ติ อนำมยั ชมุ ชน  12 100 162  7.41% ~ 42 ~

ชวี สถติ สิ ำหรับสำธำรณสุข: หน่วยที่ 4 กำรวัดแนวโนม้ เข้ำสู่ส่วนกลำงและกำรกระจำย CV ควำมสงู ของนิสติ อนำมัยส่งิ แวดล้อม  12 100 158  7.59% ดงั น้ัน ขอ้ มลู ควำมสงู ของนิสิตอนำมยั สิง่ แวดล้อมมีกำรกระจำยมำกกวำ่ ตอบ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- เฉลยแบบฝกึ หัด 1. จำกข้อมูลระดบั ไขมนั ในเลอื ดของผูป้ ่วยจำนวน 50 คน จงคำนวณหำคำ่ ตอ่ ไปน้ี 1.1 คำ่ เฉล่ียเลขคณติ 1.2 ค่ำมัธยฐำน 1.3 คำ่ ฐำนนยิ ม 270 240 200 210 202 245 228 245 225 269 243 150 300 306 331 285 296 208 358 263 189 215 282 306 295 222 245 181 260 262 245 281 185 419 235 316 365 256 289 185 273 239 273 185 335 325 245 328 256 275 1.1 คำ่ เฉลย่ี เลขคณิต N วธิ ีทา จำกสูตร  xi   i1 N   13,041 50   260.82 ดงั นนั้ จะไดว้ ำ่ คำ่ เฉลีย่ ระดับไขมันในเลือดของผปู้ ่วยจำนวน 50 คน เท่ำกบั 260.82 mg/dL Ans. 10 --------------------------------------------- 1.2 ค่ำมัธยฐำน วิธีทา ค่ำมัธยฐำน คือ ข้อมูลที่อยู่ตรงก่ึงกลำงของข้อมูลทั้งหมดเม่ือจัดเรียงลำดับของข้อมูลจำกค่ำน้อย ไปค่ำมำกหรือจำกค่ำมำกไปค่ำน้อย นำข้อมูลระดับน้ำตำลในเลือดมำจัดเรียงลำดับจำกน้อยไปมำก ได้ ดงั นี้ 123456789 150 189 215 239 245 260 273 285 306 331 181 200 222 240 245 262 273 289 306 335 185 202 225 243 245 263 275 295 316 358 185 208 228 245 256 269 281 296 325 365 185 210 235 245 256 270 282 300 328 419 ~ 43 ~

ชวี สถติ สิ ำหรบั สำธำรณสุข: หน่วยที่ 4 กำรวัดแนวโน้มเข้ำสสู่ ่วนกลำงและกำรกระจำย เม่ือจำนวนขอ้ มูลท้ังหมดเป็นเลขคู่ ตำแหนง่ ของมธั ยฐำน อยรู่ ะหวำ่ ง N และ N 1 22 นั่นคือ อยู่ระหว่ำง ตำแหน่งที่ 50 และ 50 1 = 25 และ 26 22 ดงั นัน้ จะไดค้ ่ำมธั ยฐำน เท่ำกบั 256  260  258 Ans. 2 --------------------------------------------- 1.3 คำ่ ฐำนนยิ ม คำ่ ฐำนนิยม คือ คำ่ ของข้อมลู ทมี่ ีควำมถ่ีซ้ำกนั มำกท่สี ุด นน่ั คือ 245 ซงึ่ มีควำมถ่ี เทำ่ กับ 5 Ans. 2. จำกขอ้ 1 ขอ้ มูลระดบั ไขมันในเลือดของผปู้ ว่ ยเม่ือนำมำสร้ำงตำรำงแจกแจงควำมถ่เี ป็นดงั น้ี ระดบั ไขมนั ในเลอื ด (Xi) ความถี่ (fi) ความถ่ีสะสม (Fi) P50 150-179 1 1 180-209 8 9 210-239 7 16 240-269 13 29 270-299 10 39 300-329 6 45 330-359 3 48 360-389 1 49 390-419 1 50 จงแสดงวธิ คี ำนวณหำคำ่ ต่ำงๆ ต่อไปนี้ 2.3 คำ่ ฐำนนยิ ม 2.1 เปอร์เซ็นตไ์ ทล์ ที่ 50 (P50) 2.2 ค่ำมัธยฐำน 2.1 เปอร์เซ็นต์ไทล์ ท่ี 50 (P50)   k     วิธีทา จำกสตู ร ลำดับทีข่ อง 100   n fi Fi1 c k= Pk  Li  คอื 50 percentile i = ช้นั ทีม่ ลี ำดับท่ี k อยู่ คอื ชน้ั ท่ี 4 n = จำนวนขอ้ มลู ทง้ั หมด เทำ่ กับ 50 Li = ขดี จำกดั ช้นั ลำ่ งจรงิ ของชนั้ ที่ i เทำ่ กบั 239.5 Fi-1 = ควำมถีส่ ะสมของชน้ั ท่ี i -1 เท่ำกับ 16 fi = ควำมถข่ี องชั้นที่ i เทำ่ กบั 13 c = อนั ตรภำคชน้ั เท่ำกับ 30 ~ 44 ~

ชวี สถิติสำหรับสำธำรณสุข: หน่วยที่ 4 กำรวัดแนวโน้มเข้ำสู่ส่วนกลำงและกำรกระจำย  50  50   16 100  แทนค่ำ P50  239.5   30 13 P50  239.5  20.77 P50  260.27 ดังน้นั จะไดว้ ำ่ เปอร์เซน็ ต์ไทล์ ท่ี 50 มีคำ่ เทำ่ กับ 260.27 Ans. 2.2 ค่ำมธั ยฐำน วิธที า ตำแหนง่ มัธยฐำน เทำ่ กับ N  50  25 22 ดงั น้นั มธั ยฐำนมีตำแหน่งตรงกบั ข้อมูลตำแหนง่ ที่ 25 ซ่ึงอยู่ในชน้ั 4 ของตำรำงแจกแจงควำมถี่ จำกสูตร มธั ยฐำน เทำ่ กบั  N  F  L I 2   f  จะได้ L = ขอบเขตล่ำงของคะแนนในชั้นทม่ี ีมัธยฐำน เท่ำกบั 239.5 I = ค่ำอนั ตรภำคช้ันท่มี ีมัธยฐำน เทำ่ กบั 30 N = จำนวนข้อมูลทง้ั หมด เทำ่ กับ 50 F = ควำมถสี่ ะสมของชน้ั กอ่ นชนั้ ท่มี ีมธั ยฐำน เท่ำกบั 16 f = ควำมถ่ขี องชั้นที่มมี ธั ยฐำน เทำ่ กับ 13 แทนคำ่  50 16  median  239.5  30 2   13  median  239.5  20.77 median  260.27 Ans. ดงั น้ัน จะได้วำ่ ค่ำมธั ยฐำนของข้อมูลชดุ น้ี เทำ่ กบั 260.27 2.3 คำ่ ฐำนนิยม วธิ ที า จำกตำรำงแจกแจงควำมถี่พบว่ำฐำนนิยมอย่ใู นชัน้ ที่ 4  d1    d2  จำกสูตร ฐำนนยิ ม เท่ำกบั L  I  d1  จะได้ L = ขอบเขตล่ำงของคะแนนในชนั้ ทมี่ ฐี ำนนยิ ม เทำ่ กบั 239.5 I = ค่ำอนั ตรภำคชั้นของชน้ั ที่มีฐำนนิยม เทำ่ กับ 30 d1 = ผลต่ำงของควำมถข่ี องชั้นท่มี ีฐำนนยิ มกบั ช้นั ท่ีอยู่ตดิ กันซึง่ มคี ำ่ ขอ้ มลู ต่ำกวำ่ = 13-7=6 d2 = ผลตำ่ งของควำมถขี่ องชั้นที่มฐี ำนนยิ มกบั ชั้นท่ีอยูต่ ิดกนั ซึง่ มคี ่ำข้อมูลสูงกว่ำ=13-10=3 ~ 45 ~

ชีวสถิติสำหรับสำธำรณสุข: หนว่ ยที่ 4 กำรวัดแนวโนม้ เขำ้ สสู่ ่วนกลำงและกำรกระจำย แทนคำ่ Mode  239.5  30 6  63 Mode  239.5  20.1 Mode  259.60 ดังน้ัน จะได้วำ่ ค่ำฐำนนยิ มของข้อมูลชดุ นี้ เท่ำกับ 259.60 Ans. 3. ข้อมูลชนิดใดท่ีสำมำรถคำนวณหำค่ำฐำนนิยมได้ แต่หำค่ำพิสัยไม่ได้ จงยกตัวอย่ำงข้อมูลดังกล่ำวมำ 1 ตวั อยำ่ ง ตอบ ข้อมูลท่ีสำมำรถหำค่ำฐำนนิยมได้ แต่หำค่ำพิสัยไม่ได้ คือ ข้อมูลเชิงคุณภำพ (ไม่เป็นตัวเลข) เช่น ควำมคิดเห็นเก่ียวกับควำมชอบวิชำสถิติของนิสิต จำนวน 10 คน ได้แก่ ชอบ, ไม่ชอบ, ไม่ชอบ,ไม่ชอบ, ชอบ, ชอบ, ชอบ, ชอบ, ชอบ, ไมช่ อบ จำกข้อมูลพบว่ำ ฐำนนิยมคือ ชอบ เป็นควำมคิดเห็นท่ีมีจำนวนนิสิตส่วนใหญ่ตอบมำกที่สุด ซึ่งข้อมูล ชดุ นีไ้ ม่สำมำรถหำค่ำพิสยั ได้ 4. จงบอกลักษณะควำมเบ้ของข้อมูลน้ำหนัก (กิโลกรัม) แตล่ ะชุดต่อไปนี้ ตำมลักษณะของตัวกลำงทั้งสำม ประเภท ชุดท่ี 1 คำ่ เฉลย่ี (mean) = 60.5 มธั ยฐำน (median) = 55.0 ฐำนนยิ ม (mode) = 50.0 ชุดที่ 2 คำ่ เฉลีย่ (mean) = 50.0 มัธยฐำน (median) = 50.0 ฐำนนยิ ม (mode) = 50.0 ชดุ ที่ 3 ค่ำเฉลีย่ (mean) = 48.3 มธั ยฐำน (median) = 52.5 ฐำนนยิ ม (mode) = 58.0 ตอบ จำกโจทย์จะไดว้ ำ่ mean > median > mode ข้อมูลชุดที่ 1 ดังนั้น กำรแจกแจงของขอ้ มูลมลี กั ษณะเบ้ขวำ จำกโจทย์จะได้วำ่ mean = median = mode ขอ้ มูลชุดที่ 2 ดงั นั้น กำรแจกแจงของข้อมูลมลี ักษณะสมมำตร (ปกติ) จำกโจทยจ์ ะไดว้ ำ่ mode > median > mean ข้อมูลชุดที่ 3 ดังนั้น กำรแจกแจงของข้อมลู มลี กั ษณะเบ้ซ้ำย ~ 46 ~

ชวี สถิติสำหรบั สำธำรณสุข: หนว่ ยท่ี 5 ควำมน่ำจะเปน็ หน่วยท่ี 5 ความนา่ จะเป็น วัตถปุ ระสงค:์ หลังจำกจบกำรเรยี นในหัวขอ้ นแ้ี ลว้ นสิ ติ สำมำรถ 1. คำนวณค่ำควำมนำ่ จะเป็นทง้ั แบบมีเง่ือนไขและแบบไม่มเี ง่ือนไขได้ 2. บอกลกั ษณะของกำรเกิดเหตุกำรณ์ทั้งแบบ Mutually exclusive และ Independence ได้ 3. อธิบำยควำมหมำยและคำนวณ ค่ำต่ำงๆ เหล่ำนี้ได้ Sensitivity, Specificity, False positive, False negative, Positive predictive value, Negative predictive value เนื้อหา: ควำมน่ำจะเปน็ 1. ควำมหมำยของควำมนำ่ จะเปน็ 2. กำรหำค่ำควำมน่ำจะเป็น 3. นยิ ำมศพั ท์ 4. กฎกำรบวก 5. ควำมนำ่ จะเปน็ แบบมีเง่อื นไข 6. เหตกุ ำรณท์ ่เี ป็นอิสระต่อกนั 7. กฎกำรคูณ 8. ทฤษฎขี องเบย์และกำรประยุกต์ใช้ รปู แบบการเรียนการสอน: กำรเรยี นรู้แบบรว่ มมอื 1. ผเู้ รียนแต่ละคนศึกษำเนือ้ หำตำมหัวข้อบรรยำยจำกเอกสำรประกอบกำรสอนและสรปุ เปน็ แผนผงั ควำมคดิ (Mind map) กอ่ นเขำ้ ชน้ั เรยี น 2. แบ่งกลุม่ กำรเรยี น เช็คช่ือสมำชกิ ภำยในกลุ่ม และอภิปรำยเนอ้ื หำตำมที่ไดร้ ับมอบหมำย ภำยในกลุ่มและภำยในชั้นเรยี น 3. สรปุ เน้อื หำโดยอำจำรยผ์ สู้ อน 4. ผู้เรยี นแต่ละกล่มุ คิดโจทย์แบบฝึกหดั พร้อมเฉลยหลงั จำกจบบทเรยี น และสง่ ภำยในสัปดำห์ ถดั ไป ~ 47 ~

ชวี สถติ สิ ำหรับสำธำรณสุข: หนว่ ยที่ 5 ควำมน่ำจะเปน็ 1. ความหมายของความนา่ จะเปน็ ควำมน่ำจะเป็น (Probability) หมำยถงึ โอกำส (Chance) ในกำรเกิดเหตุกำรณ์ใดเหตุกำรณ์หน่ึง ท่ีสนใจ โดยทั่วไปควำมไม่แน่นอนเกิดขึ้นเสมอ ในชีวิตประจำวันเรำได้กล่ำวถึงควำมน่ำจะเป็น เช่น วันนี้ จะฝนตก 100% โอกำสที่คนไข้จะรอด คือ 50 ต่อ 50 เป็นต้น ควำมน่ำจะเป็นมีค่ำอยู่ระหว่ำง 0 (ศูนย์) ถึง 1 (หน่ึง) โดยที่ค่ำควำมน่ำจะเป็นเข้ำใกล้ 0 หมำยถึงโอกำสเกิดข้ึนน้อย จนกระท่ังไม่เกิดขึ้นเลยเมื่อค่ำ ควำมน่ำจะเป็นเท่ำกับ 0 และค่ำควำมน่ำจะเป็นเข้ำใกล้ 1 หมำยถึงโอกำสเกิดขึ้นมำก จนกระท่ังเกิดขึ้น แนน่ อนเม่อื ค่ำเทำ่ กับ 1 (ภำพท่ี 5.1) ภาพที่ 5.1 ค่ำควำมนำ่ จะเป็น 2. การหาคา่ ความนา่ จะเปน็ กำรหำคำ่ ควำมน่ำจะเป็นจำแนกเปน็ 2 วิธี ได้แก่ 2.1 กำรหำควำมน่ำจะเป็นโดยวิธีอัตนัย (Subjective probability) เป็นวิธีกำรหำค่ำควำมน่ำจะ เป็นโดยอำศัย อำศัยควำมรู้หรือประสบกำรณ์ของผู้ประเมิน ร่วมกับเง่ือนไขและสภำพแวดล้อมอ่ืนๆ เช่น แพทยป์ ระเมินควำมน่ำจะเป็นที่คนไขม้ ีโอกำสท่จี ะรอดหลังกำรผำ่ ตัด เท่ำกับ 0.9 (หรอื 90%) วธิ ีกำรนี้ไม่ มีกฎเกณฑต์ ำยตวั คำ่ ทไี่ ดไ้ ม่แน่นอน 2.2 กำรหำค่ำควำมน่ำจะเป็นโดยวิธีปรนัย (Objective probability) เป็นวิธีกำรหำค่ำควำม นำ่ จะเปน็ โดยอำศยั ควำมถี่ของกำรเกิดเหตุกำรณ์ มี 2 วิธี คือ 1) Classical probability หรือ Prior probability เป็นกำรคำนวณค่ำควำมน่ำจะเป็น ของเหตุกำรณท์ ส่ี นใจ โดยนำเหตุกำรณท์ ีส่ นใจหำรดว้ ยเหตกุ ำรณ์ทัง้ หมดทเี่ กิดขึ้นได้ ดังน้ันกำรหำค่ำควำม น่ำจะเป็นวิธีน้ีจะต้องทรำบเหตุกำรณ์ท้ังหมดท่ีเป็นไปได้ ซ่ึงแต่ละเหตุกำรณ์จะเกิดพร้อมกันไม่ได้ และ ควำมนำ่ จะเป็นของแต่ละเหตุกำรณ์จะเทำ่ กัน เช่น ควำมนำ่ จะเป็นท่ีกำรตัง้ ครรภเ์ ด่ียวจะไดล้ กู ชำย เทำ่ กับ 0.5 เปน็ ตน้ ถ้ำ P(A) คอื ควำมนำ่ จะเปน็ ของกำรเกิดเหตุกำรณ์ A สรปุ กำร คำนวณ P(A) ไดด้ งั นี้ P(A)= จำนวนผลลพั ธข์ องเหตุกำรณ์ A ………………………………………………...............…(1) จำนวนผลลพั ธท์ ่เี ปน็ ไปไดท้ ง้ั หมด 2) Posterior / Relative frequency probability เป็นกำรคำนวณค่ำควำมน่ำจะเป็น โดยกำรทดลอง หรือสังเกตเหตุกำรณ์ที่สนใจภำยใต้เงื่อนไขเดียวกัน จำนวน n ครั้ง ถ้ำเหตุกำรณ์ท่ีสนใจ คือ A เกิดขึ้น m คร้ัง และ n มีค่ำมำกพอ กำรหำค่ำควำมน่ำจะเป็นโดยวิธีน้ีสำมำรถใช้คำนวณกรณีท่ี เหตุกำรณ์ท่ีเกิดข้ึนท้ังหมดมีจำนวนอนันต์ หรือกรณีที่ควำมน่ำจะเป็นของกำรเกิดเหตุกำรณ์ไม่เท่ำกันได้ เช่น สุ่มนิสิตมำจำนวนหน่ึง ควำมน่ำจะเป็นท่ีนิสิตซ่ึงสุ่มมำได้จะมีเลือดกรุ๊ปโอ เท่ำกับ 0.6 สรุปกำร คำนวณคำ่ P(A) ไดด้ ังนี้ P(A)= จำนวนครง้ั ที่เกดิ เหตกำรณ์ A (m) ………………………………………………………........…(2) จำนวนครัง้ ในกำรทดลองทง้ั หมด (n) ~ 48 ~

ชีวสถติ สิ ำหรบั สำธำรณสุข: หน่วยท่ี 5 ควำมนำ่ จะเป็น 3. นิยามศพั ท์ 3.1 Sample space (S) คอื เซ็ต (set) ของเหตุกำรณ์ทเ่ี ป็นไปได้ทัง้ หมดของกำรทดลองหนงึ่ ๆ ตัวอยำ่ ง กำหนดให้ S = {นิสิตทเี่ คยสอบตก 0, 1, 2, 3, 4, หรือ 5+ ครั้ง} A = {นิสติ ทเ่ี คยสอบตก 0, 1 หรือ 2 ครั้ง} B = {นิสิตที่เคยสอบตก 2, 3 หรือ 4 คร้งั } C = {นสิ ติ ทีเ่ คยสอบตก 7 ครงั้ } D = {นิสิตทเ่ี รยี นวิชำชีวสถิติฯ} 3.2 Complement (Ac, A̅, A') คือ เซ็ตทม่ี ีสมำชิกทไี่ มใ่ ช่ A จำกตัวอย่ำง จะได้ A̅ = {นิสิตที่เคยสอบตก 3, 4 หรือ 5+ คร้ัง} แสดงดังแผนภำพเวน (vein diagram) ภำพท่ี 5.2 A ������̅ A̅ ภาพท่ี 5.2 แผนภำพเวนแสดง Complement 1.3 Union () คือ กำรรวมเหตุกำรณ์เข้ำด้วยกัน A  B หมำยถึง เซ็ตท่ีมีสมำชิกเป็น A หรอื B จำกตัวอย่ำงจะได้ A  B = {นสิ ติ ทเ่ี คยสอบตก 0, 1, 2, 3, 4 ครั้ง} ดงั แผนภำพเวนภำพที่ 5.3 AB ภาพท่ี 5.3 แผนภำพเวนแสดง Union จำกตัวอย่ำงจะได้ A  A̅ = {นสิ ติ ทเ่ี คยสอบตก 0, 1, 2, 3, 4, หรือ 5+ คร้ัง} นนั่ คอื A  A̅ คอื เหตุกำรณ์ท้งั หมดทเี่ ปน็ ไปได้ ซ่ึงหมำยถึง Sample space (S) ดงั น้ัน จะได้ P (A  A̅) = P(S) = 1 ~ 49 ~

ชวี สถิตสิ ำหรับสำธำรณสุข: หนว่ ยท่ี 5 ควำมนำ่ จะเปน็ 1.4 Intersection () คือ เหตุกำรณ์ที่ข้ึนเกิดร่วมกัน หมำยถึง เซ็ตที่มีสมำชิกเป็น A และ B จำกตัวอย่ำงจะได้ A  B = {นิสิตท่ีเคยสอบตก 2 ครัง้ } และ A  A̅ = เซ็ตว่ำง () ดังแผนภำพเวน ภำพท่ี 5.4 ภาพที่ 5.4 แผนภำพเวนแสดง Intersection 3.5 Mutually exclusive คอื เหตกุ ำรณ์ทไ่ี ม่สำมำรถเกดิ ข้ึนรว่ มกนั ได้ เทำ่ กบั  จำกตวั อยำ่ งจะไดว้ ำ่ A และ C ไม่สำมำรถเกดิ ขึ้นร่วมกนั ดงั แผนภำพเวนภำพที่ 5.5 AC ภาพท่ี 5.5 แผนภำพเวนแสดง Mutually exclusive 4. กฎการบวก (Additive law) ถ้ำ A และ B เปน็ เหตุกำรณ์ 2 เหตุกำรณ์ จะได้วำ่ P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) ..................................................................................(3) หรือ ถำ้ A และ C เป็นเหตกุ ำรณ์ทีไ่ ม่เกดิ ร่วมกนั แล้ว จะได้วำ่ P(AC) = P(A) + P(C) …………………………………………………………………………………………(4) ตัวอย่างท่ี 1 ประชำกรกลุ่มหนึ่ง 30% เป็นโรคอ้วน 3% เป็นโรคเบำหวำน และ 2% เป็นท้ังโรคอ้วน และเบำหวำน ถ้ำสุ่มมำ 1 คน จงหำควำมน่ำจะเป็นทค่ี นๆ น้ัน จะเป็นโรคอว้ นหรอื เบำหวำน วธิ ที า ให้ A = เหตุกำรณท์ ีป่ ระชำกรเป็นโรคอ้วน B = เหตุกำรณ์ทปี่ ระชำกรเป็นโรคเบำหวำน จำก P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) จะได้ P(AB) = 0.30 + 0.03 – 0.02 = 0.31 ดงั นน้ั ควำมน่ำจะเป็นท่ีคนๆ หน่ึงจะเปน็ โรคอว้ นหรือเบำหวำนเทำ่ กบั 0.31 ตอบ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ~ 50 ~

ชีวสถิตสิ ำหรบั สำธำรณสขุ : หนว่ ยที่ 5 ควำมน่ำจะเปน็ ตารางที่ 5.1 จำนวนนสิ ติ ทสี่ อบตกจำแนกตำมจำนวนคร้งั ท่สี อบตกและวิชำทลี่ งทะเบียน จานวนครัง้ วชิ าทล่ี งทะเบียนเรยี น รวม (คร้ัง) ชีวสถิตฯิ ระบาดวทิ ยา 0 85 1 60 25 30 20 10 11 2 6 3 38 7 4 24 3 5+ 52 30 142 รวม 93 49 ตวั อยา่ งท่ี 2 จำกตำรำงที่ 5.1 จงหำ P(AB) วิธที า P(A) = 85  30  11  0.89 11 61427  0.17 P(B) = 142 P(AB) = 11  0.08 142 จำก P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) แทนคำ่ P(AB) = 0.89 + 0.17 – 0.08 = 0.98 ตอบ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 5. ความนา่ จะเปน็ แบบมเี งอ่ื นไข (Conditional probability) หมำยถึง ควำมน่ำจะเปน็ ของทั้ง 2 เหตุกำรณ์ ตอ่ เหตุกำรณ์ทก่ี ำหนด คำนวณไดจ้ ำก P(A|D) = P(AD) / P(D) .........................................................................................................(5) โดยท่ี P(D)  0 ข้อสังเกต: - แม้สมกำรจะมี 2 เหตุกำรณ์ แต่หมำยถึงควำมน่ำจะเป็นของเหตุกำรณ์เดียว เหตุกำรณ์ แรกเป็นเหตกุ ำรณท์ ่ีเรำสงสยั วำ่ จะเกดิ ขึ้นหรือไม่ ~ 51 ~

ชวี สถิตสิ ำหรับสำธำรณสุข: หนว่ ยท่ี 5 ควำมนำ่ จะเป็น - เคร่ืองหมำย “ | ” อ่ำนว่ำ “given that” หมำยถึง มีเง่ือนไขว่ำ หรือ กำหนดให้ โดย สมมติวำ่ เหตกุ ำรณ์หลังได้เกิดข้ึนแล้ว ตัวอยา่ งที่ 3 จำกขอ้ มูลในตำรำงที่ 1 กำหนดให้ D คอื เซ็ตของนสิ ิตท่เี รยี นวิชำชีวสถติ ฯิ จงหำ P(A|D) วธิ ที า P(A|D) = P(AD) / P(D) = (60 + 20 + 3) / 93 = 0.89 ตอบ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ตัวอย่างที่ 4 ประชำกรกลุ่มหน่ึง 15% เป็นโรคควำมดันโลหิตสูง (HT) 75% ไม่รู้ว่ำตนเองเป็นโรคนี้ 6% ของผู้ที่เป็นโรคควำมดันโลหิตสูงโดยที่ตนเองไม่ทรำบ ถ้ำบุคคลหน่ึงอ้ำงว่ำเขำไม่ได้เป็นโรคนี้ จงหำ โอกำสทแ่ี ทจ้ รงิ แลว้ เขำอำจเปน็ โรคนี้ (โดยท่ีไม่รูต้ ัว) วธิ ที า กำหนด A = คนไขเ้ ป็นโรค HT = P(A) = 0.15 D = คนไข้ไม่รวู้ ่ำตนเองเป็นโรค HT = P(D) = 0.75 P(AD) = 0.06 จะได้ P(A|D) = P(AD) / P(D) = 0.06 / 0.75 = 0.08 ตอบ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ จำกตวั อย่ำงที่ 3 และ 4 นำมำสรำ้ งตำรำงควำมนำ่ จะเปน็ ร่วมกนั ได้ดังน้ี ตารางความนา่ จะเปน็ ร่วมกนั ของตัวอย่างท่ี 3 จำนวนคร้งั ทสี่ อบตก ≤2 (A) >2 (A̅) รวม วชิ ำ ชวี สถิตฯิ (D) 83 10 93 ระบำดฯ (̅D) 43 6 49 รวม 126 16 142 ตารางความน่าจะเปน็ รว่ มกนั ของตวั อย่างที่ 4 กำรรบั รกู้ ำรเปน็ โรค ไมท่ รำบ (D) ทรำบ (D̅) รวม ควำมดนั โลหติ สงู (A) 0.06 0.09 0.15 0.85 ปกติ (A̅) 0.69 0.16 1.00 รวม 0.75 0.25 6. เหตุการณท์ ่เี ป็นอสิ ระต่อกนั ถำ้ A และ E เปน็ เหตุกำรณท์ ี่เปน็ อิสระตอ่ กนั จะไดว้ ำ่ P(A|E) = P(A) และ P(E|A) = P(E) .........................................................................................(6) ตัวอย่างที่ 5 ตำรำงควำมน่ำจะเปน็ รว่ มกันระหว่ำงจำนวนครัง้ กำรสอบตกและกำรขำดเรียน ~ 52 ~

ชีวสถิติสำหรบั สำธำรณสขุ : หน่วยท่ี 5 ควำมน่ำจะเป็น จำนวนคร้ังทสี่ อบตก ≤2 (A) >2 (A̅) รวม กำรขำดเรียน ขำด (E) 33 11 44 ไมข่ ำด (E̅) 93 5 98 รวม 126 16 142 จำกข้อมูลในตำรำง 5.1 จงหำควำมน่ำจะเป็นท่ีนิสิตซ่ึงสอบตก ≤2 ครั้ง คนใดคนหนึ่งจะขำดเรียน และพจิ ำรณำควำมเปน็ อิสระระหวำ่ งกำรสอบตกและกำรขำดเรียน วิธที า P(A|E) = P(A) P(AE) / P(E) = P(A) 33 / 44 = 126 / 142 0.75  0.89 ดงั น้ัน ควำมน่ำจะเปน็ ท่ีนิสติ ซึง่ สอบตก ≤2 ครัง้ คนใดคนหน่งึ จะขำดเรียน เท่ำกับ 0.75 และ จะได้วำ่ A และ E เปน็ เหตกุ ำรณ์ทไ่ี มอ่ สิ ระตอ่ กัน เน่อื งจำก P(A|E)  P(A) หมำยควำมวำ่ โอกำสท่ีนิสิตจะสอบตก ≤2 ครง้ั ขึ้นอยู่กบั กำรขำดเรยี น ตอบ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ตัวอย่างท่ี 6 จำกตำรำงควำมน่ำจะเป็นร่วมกันของตัวอย่ำงท่ี 3 จงพิจำรณำว่ำเหตุกำรณ์ A และ D เป็นอิสระต่อกันหรือไม่ วิธีทา P(A|D) = P(A) P(AD) / P(D) = P(A) 83 / 93 = 126 / 142 0.89 = 0.89 ดงั น้ัน A และ D เปน็ เหตกุ ำรณท์ ี่อิสระตอ่ กัน หมำยควำมว่ำ โอกำสท่ีนสิ ติ ซึง่ สอบตก ≤2 ครง้ั ไมข่ นึ้ อยกู่ บั วชิ ำท่ีลงทะเบียนเรียน ตอบ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7. กฎการคูณ (Multiplicative law) ถ้ำ A และ D เป็นเหตุกำรณ์ 2 เหตุกำรณ์ จะไดว้ ่ำ P(AD) = P(A|D).P(D) ………………………………………………………………………………..(7) หรือถ้ำ A และ E เป็น 2 เหตกุ ำรณ์ทีเ่ ป็นอสิ ระตอ่ กัน จะไดว้ ่ำ P(AE) = P(A).P(E) ………………………………………………………………………………..(8) ตัวอย่างท่ี 7 จำกตำรำงควำมน่ำจะเป็นร่วมกันของตัวอย่ำงที่ 3 จงหำควำมน่ำจะเป็นท่ีนิสิตซึ่งสอบ ตก ≤2 คร้ัง และลงทะเบยี นวิชำชวี สถติ ฯิ วธิ ีทา จำกกฎกำรคูณ เมื่อทรำบวำ่ 2 เหตกุ ำรณ์เป็นอิสระต่อกนั จะได้ P(AD) = P(A).P(D) = (126 / 142) (93 / 142) = (0.89) (0.65) ~ 53 ~

ชวี สถิติสำหรบั สำธำรณสุข: หนว่ ยท่ี 5 ควำมนำ่ จะเปน็ = 0.58 ดังนัน้ ควำมนำ่ จะเปน็ ทนี่ สิ ติ ซ่งึ สอบตก ≤2 ครงั้ และลงทะเบยี นวชิ ำชีวสถติ ิฯ คอื 0.58 ตอบ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ตัวอย่างท่ี 8 จำกตำรำงควำมน่ำจะเป็นร่วมกันของตัวอย่ำงท่ี 5 จงหำควำมน่ำจะเป็นท่ีนิสิตซึ่งสอบ ตก ≤2 ครง้ั และขำดเรียน วิธีทา จำกกฎกำรคูณ เมอ่ื ทรำบว่ำ 2 เหตกุ ำรณ์ไมเ่ ปน็ อิสระต่อกัน จะได้ P(AE) = P(A|E).P(E) P(AE) = (33 / 44) (44 / 142) = (0.75) (0.31) = 0.23 ดังนน้ั ควำมนำ่ จะเปน็ ท่ีนสิ ิตซ่ึงสอบตก ≤2 คร้งั และขำดเรยี น คอื 0.23 ตอบ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8. ทฤษฎขี องเบยแ์ ละการประยุกตใ์ ช้ ทฤษฎีของเบย์ ต้ังขึ้นโดย Thomas Bayes (1761) เป็นกำรหำควำมน่ำจะเป็นแบบมีเงื่อนไข เม่ือไม่ สำมำรถใช้ P(A|D) = P(AD) / P(D) ได้ เนือ่ งจำก ไมท่ รำบค่ำ P(AD) และ P(D) ถำ้ B1, B2,...Bk เป็น Partition ใน sample space (S) และ A เปน็ เหตกุ ำรณ์ใน Sample space (S) โดยท่ี P(A)  0 จะได้ว่ำ PBr A  PA Br PBr  ……………………………………………………………………..(9) k PA Bi PBi   i 1 ข้อสังเกต: B1, B2,...Bk เป็น Partition ใน sample space (S) หมำยควำมว่ำ ถ้ำจับคู่ Bi และ Bj โดยท่ี ij แลว้ Bi และ Bj จะเป็นเหตกุ ำรณท์ ี่ Mutually exclusive (ไมเ่ กดิ รว่ มกนั ) ดังภำพที่ 5.6 ภาพที่ 5.6 Partition (กล่มุ เหตกุ ำรณ)์ B1, B2,..Bk และเหตกุ ำรณ์ A 8.1 การประยุกต์ใช้ในการทดสอบเพ่ือวินจิ ฉยั (Diagnostic test) ~ 54 ~

ชีวสถิตสิ ำหรับสำธำรณสขุ : หนว่ ยท่ี 5 ควำมน่ำจะเปน็ เป็นกำรทดสอบเพื่อวินิจฉัยว่ำบุคคลน้ันเป็นโรคที่สงสัยหรือไม่ กำรทดสอบอำจเป็นทำง ห้องปฏิบัติกำร หรือกำร x-ray หรือเป็นเคร่ืองมือท่ีสร้ำงขึ้นโดยเฉพำะ มีวิธีกำรคำนวณควำมถูกต้องและ ควำมเช่อื ถือได้ของเครอ่ื งมือ ดงั นี้ (ภำพที่ 5.8 ถึง 5.9) ผลกำรทดสอบ ผลบวก (T+) กำรเป็นโรค รวม ผลลบ (T-) เปน็ โรค (D+) ไมเ่ ป็นโรค (D-) a+b รวม ab c+d cd N a+c b+d ภาพที่ 5.7 กำรวินิจฉยั ถกู ต้อง ~ 55 ~

ชวี สถิติสำหรบั สำธำรณสขุ : หนว่ ยที่ 5 ควำมนำ่ จะเปน็ ภาพที่ 5.8 กำรวนิ ิจฉยั ไม่ถูกตอ้ ง ภาพที่ 5.9 คุณค่ำกำรทำนำย ตัวอย่างท่ี 9 สถิติผลกำรตรวจวินิจฉัยโรคปอดอักเสบ ปรำกฏว่ำควำมน่ำจะเป็นที่ผลตรวจถูกต้อง กรณีที่พบว่ำเป็นโรค เท่ำกับ 0.99 ควำมน่ำจะเป็นท่ีผลตรวจถูกต้องกรณีพบว่ำไม่เป็นโรคเท่ำกับ 0.95 ควำมน่ำจะเป็นของประชำกรที่จะเป็นป่วยเป็นโรคดังกล่ำว เท่ำกับ 0.0001 ถ้ำนิสิตรับกำรตรวจ วินจิ ฉัยโรคแลว้ ผลออกมำว่ำนิสติ ป่วยเป็นโรคดังกลำ่ ว ควำมน่ำจะเปน็ ที่นิสติ จะปว่ ยจรงิ มคี ่ำเท่ำใด วิธีทา กำหนดให้ D+ = เป็นโรคปอดอกั เสบ D- = ไม่เป็นโรคปอดอกั เสบ T+ = ผลกำรตรวจวนิ จิ ฉัยวำ่ เปน็ โรค T- = ผลกำรตรวจวินิจฉยั วำ่ ไม่เป็นโรค จำกขอ้ มูลเขียนแผนผงั และตำรำงควำมนำ่ จะเปน็ ร่วมกนั ได้ดงั นี้ ผลกำรตรวจ เป็นโรค (T+) โรคปอดอักเสบ รวม ไมเ่ ป็นโรค (T-) เป็นโรค (D+) ไม่เปน็ โรค (D-) a+b 0.99 0.05 c+d 0.01 0.95 ~ 56 ~

ชีวสถติ ิสำหรับสำธำรณสุข: หน่วยที่ 5 ควำมนำ่ จะเปน็ รวม a+c b+d N จำกโจทยถ์ ำมหำ P(D+|T+) = ? ซงึ่ คอื คำ่ Positive predictive value จำกทฤษฎขี องเบย์    P T  D P D       P(D  T)  P T  D P D  P T  D P D แทนคำ่ P(D+|T+) = (0.99 x 0.0001) / [(0.99 x 0.0001) + (0.05 x 0.9999)] P(D+|T+) = 0.00197  0.002 นัน่ คือ ถ้ำนิสิตรับกำรตรวจวนิ ิจฉัยโรคแล้วผลออกมำว่ำนิสติ ป่วยเป็นโรคปอดอักเสบ ควำมน่ำจะเป็น ทน่ี สิ ติ จะปว่ ยจริงมีค่ำเทำ่ กับ 0.002 ตอบ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ~ 57 ~

ชวี สถติ ิสำหรับสำธำรณสุข: หน่วยที่ 5 ควำมนำ่ จะเปน็ เฉลยแบบฝึกหดั 1. ถ้ำ 18% ของนิสิตระดับมหำวิทยำลัยเคยมีควำมรู้สึกซึมเศร้ำในช่วงเวลำหน่ึง 2% เคยคิดฆ่ำตัวตำย 19% เคยมคี วำมรูส้ กึ ซึมเศรำ้ หรืออยำกฆำ่ ตวั ตำย ถ้ำสมุ่ นิสิตมำ 1 คน จงหำ 1.1 โอกำสทเี่ ขำจะเคยรสู้ ึกซึมเศรำ้ และคดิ ฆ่ำตัวตำย 1.2 โอกำสทเี่ ขำจะรสู้ ึกซึมเศรำ้ แตไ่ ม่เคยคิดฆำ่ ตัวตำย 1.1 โอกำสที่เขำจะเคยรูส้ ึกซมึ เศรำ้ และคิดฆำ่ ตวั ตำย วิธที า กำหนดให้ A = เหตุกำรณท์ นี่ สิ ิตเคยมีควำมรู้สึกซมึ เศร้ำ B = เหตุกำรณท์ น่ี ิสิตเคยคดิ ฆำ่ ตวั ตำย จำกโจทยจ์ ะได้ P(A) = 0.18, P(B) = 0.02, P(AB) = 0.19 จำกกฎกำรบวก P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) จะได้ P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) แทนค่ำ P(AB) = 0.18 + 0.02 – 0.19 = 0.01 ดงั นน้ั ถำ้ สุ่มนิสิตมำ 1 คน โอกำสทีเ่ ขำจะเคยรูส้ กึ ซึมเศรำ้ และคดิ ฆำ่ ตัวตำย เท่ำกับ 1% ตอบ 1.2 โอกำสท่เี ขำจะรสู้ ึกซึมเศรำ้ แต่ไม่เคยคดิ ฆ่ำตวั ตำย วิธีทา โจทยต์ ้องกำรทรำบ PA B จะได้ว่ำ PA  B = P(A) – P(AB) = 0.18 – 0.01 = 0.17 ดังนนั้ ถ้ำสุ่มนสิ ิตมำ 1 คน โอกำสที่เขำจะร้สู กึ ซึมเศรำ้ แตไ่ ม่เคยคิดฆำ่ ตัวตำย เทำ่ กับ 17% ตอบ 2. ถ้ำ 55% ของประชำกรมีน้ำหนักเกินเกณฑ์มำตรฐำน 20% เป็นโรคควำมดันโลหิตสูง และ 60% มี น้ำหนักเกินเกณฑ์มำตรฐำนหรือควำมดันโลหิตสูง ต้องกำรทรำบว่ำกำรท่ีบุคคลหน่ึงมีน้ำหนักเกินเกณฑ์ มำตรฐำน จะเป็นเหตุกำรณ์ท่ีเปน็ อิสระกับกำรเปน็ โรคควำมดนั โลหิตสูงหรอื ไม่ วธิ ีทา กำหนดให้ A = เหตกุ ำรณ์ท่ปี ระชำกรมีน้ำหนกั เกนิ เกณฑม์ ำตรฐำน B = เหตุกำรณ์ทป่ี ระชำกรเป็นโรคควำมดนั โลหิตสูง จำกโจทย์จะได้ P(A) = 0.55, P(B) = 0.20, P(AB) = 0.60 จำกกฎกำรบวก P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) จะได้ P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) แทนคำ่ P(AB) = 0.55 + 0.20 – 0.60 = 0.15 เม่อื เหตกุ ำรณ์ A และ B เปน็ อสิ ระต่อกนั จะได้วำ่ P(A|B) = P(A) พสิ จู น์ P(AB)/P(B) = P(A) 0.15/0.55 = 0.55 0.75  0.55 ~ 58 ~

ชวี สถติ สิ ำหรับสำธำรณสขุ : หน่วยที่ 5 ควำมนำ่ จะเป็น ดังน้ัน กำรทบี่ ุคคลหน่ึงมีน้ำหนักเกินเกณฑม์ ำตรฐำน เป็นเหตุกำรณ์ท่ีไม่เป็นอิสระกบั กำรเป็นโรคควำมดัน โลหิตสูง น่นั คือ กำรท่บี คุ คลหนึ่งมนี ้ำหนักเกนิ เกณฑม์ ำตรฐำนข้นึ อยกู่ ับกำรเป็นโรคควำมดนั โลหิตสงู ตอบ 3. วัคซีนทดสอบกำรต้ังครรภ์ ให้ผลกำรตรวจสอบดงั น้ี ผลตรวจ +- ชำย 51 96 147 เพศ หญิง 78 75 153 129 171 300 + เทำ่ กบั ผลตรวจแสดงว่ำตัง้ ครรภ์ 3.1 จงหำโอกำสทจี่ ะได้เพศหญงิ ถ้ำผลกำรตรวจเป็น + 3.2 จงหำโอกำสที่ผลกำรตรวจจะเปน็ + ถ้ำทำรกในครรภเ์ ปน็ เพศชำย 3.1 จงหำโอกำสท่ีจะได้เพศหญิงถ้ำผลกำรตรวจเปน็ + ตอบ วิธีทา P(หญิง|+) = P(หญิง  +) / P(+) = 78 / 129 = 0.605 ดงั นั้น โอกำสท่จี ะได้เพศหญิงถ้ำผลกำรตรวจเปน็ + เทำ่ กบั 60.5% 3.2 จงหำโอกำสทผ่ี ลกำรตรวจจะเปน็ + ถำ้ ทำรกในครรภ์เป็นเพศชำย ตอบ วธิ ที า P(+|ชำย) = P(+  ชำย) / P(ชำย) = 51 / 147 = 0.347 ดงั นน้ั โอกำสทผี่ ลกำรตรวจจะเป็น + ถำ้ ทำรกในครรภเ์ ปน็ เพศชำย เทำ่ กับ 34.7% 4. จงหำค่ำ false positive ( ) และ false Negative (  ) จำกผลกำรตรวจเกี่ยวกบั โรคไตในผ้ปู ่วยโรค ควำมดันโลหิตสงู โดยใช้วิธีกำรตรวจแบบใหม่ การเป็นโรคไต ผลการ เปน็ โรค ไม่เปน็ โรค ตรวจแบบ พบ (+) 44 23 67 ใหม่ ไม่พบ (-) 10 60 70 54 83 137 ~ 59 ~

ชวี สถิตสิ ำหรบั สำธำรณสุข: หนว่ ยที่ 5 ควำมน่ำจะเปน็ วธิ ีทา  (false positive) = P(T+ | D-) ตอบ = b/ (b+d) ตอบ = 23 / 83 = 0.277 ดังนัน้ โอกำสในกำรวินิจฉัยผดิ โดยบอกว่ำคนไขเ้ ปน็ โรคไต เทำ่ กับ 27.7%  (false Negative) = P(T- | D+) = c/ (a+c) = 10 / 54 = 0.185 ดังน้นั โอกำสในกำรวินิจฉัยผดิ โดยบอกวำ่ คนไข้ไมเ่ ปน็ โรคไต เทำ่ กบั 18.5% ~ 60 ~

ชีวสถิตสิ ำหรบั สำธำรณสุข: หนว่ ยท่ี 6 กำรแจกแจงควำมนำ่ จะเป็น หน่วยท่ี 6 การแจกแจงความนา่ จะเปน็ วตั ถุประสงค:์ หลงั จำกจบกำรเรียนในหัวขอ้ นีแ้ ล้วนิสิตสำมำรถ 1. อธบิ ำยลกั ษณะของตัวแปรสมุ่ ได้ 2. จำแนกควำมแตกต่ำงระหว่ำงกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นแบบตอ่ เนื่องและแบบไม่ต่อเน่อื งได้ 3. ทรำบลักษณะกำรแจกแจงแบบทวินำม แบบพวั ซอง และแบบปกติ 4. คำนวณคำ่ ควำมนำ่ จะเปน็ ของกำรแจกแจงแบบทวนิ ำม แบบพวั ซอง และแบบปกติได้ เน้อื หา: กำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็น 1. ตวั แปรส่มุ 2. กำรแจกแจงควำมน่ำจะเปน็ 3. กำรแจกแจงแบบทวินำม 4. กำรแจกแจงแบบพวั ซอง 5. กำรประมำณคำ่ กำรแจกแจงแบบทวนิ ำมด้วยกำรแจกแจงแบบพวั ซอง 6. กำรแจกแจงแบบปกติ 7. กำรประมำณคำ่ กำรแจกแจงแบบทวินำมดว้ ยกำรแจกแจงแบบปกติ รูปแบบการเรยี นการสอน: กำรเรียนรแู้ บบรว่ มมือ 1. ผเู้ รยี นแตล่ ะคนศึกษำเน้อื หำตำมหวั ข้อบรรยำยจำกเอกสำรประกอบกำรสอนและสรุปเปน็ แผนผงั ควำมคิด (Mind map) กอ่ นเขำ้ ชัน้ เรียน 2. แบ่งกลุม่ กำรเรยี น เช็คชอื่ สมำชิกภำยในกล่มุ และอภปิ รำยเนือ้ หำตำมทีไ่ ด้รับมอบหมำย ภำยในกลุม่ และภำยในชัน้ เรยี น 3. สรปุ เนอื้ หำโดยอำจำรย์ผูส้ อน 4. ผเู้ รยี นแต่ละกลมุ่ คดิ โจทย์แบบฝกึ หัดพร้อมเฉลยหลังจำกจบบทเรียน และส่งภำยในสปั ดำห์ ถัดไป ~ 61 ~

ชีวสถติ ิสำหรับสำธำรณสขุ : หนว่ ยที่ 6 กำรแจกแจงควำมน่ำจะเปน็ กำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็น (Probability distribution) เป็นกำรหำค่ำควำมน่ำจะเป็นที่มีควำม ซับซอ้ นยงิ่ ขึน้ เนื่องจำกเหตุกำรณ์ตำ่ งๆ มีคุณสมบตั ิเฉพำะที่แตกต่ำงกันออกไป ซ่ึงในที่นีจ้ ะกล่ำวถึงเฉพำะ กำรแจกแจงแบบทวินำม กำรแจกแจงแบบพัวซอง และ กำรแจกแจงแบบปกติ 1. ตวั แปรสมุ่ (Random variable) ค่ำของตัวแปรเปล่ียนแปลงตำมแต่ละหน่วยสังเกต เม่ือหน่วยสังเกตนั้นๆ ถูกสุ่มเป็นตัวอย่ำงจึง เรียกตวั แปรท่ไี ด้จำกหน่วยตวั อยำ่ งทถ่ี กู สุ่มว่ำ ตวั แปรสมุ่ รำยละเอยี ดดังตำรำงที่ 6.1 และภำพท่ี 6.1 ตารางท่ี 6.1 ลกั ษณะตำ่ งๆ ทีเ่ ก่ยี วข้องกบั ตวั แปรสุม่ ลักษณะ ความหมาย / รายละเอียด ตวั แปร (Variable) ลักษณะที่สนใจของหน่วยสงั เกต ตวั แปรสุ่ม (Random variable) ตัวแปรทีไ่ ด้จำกหน่วยตวั อยำ่ งทส่ี ุ่มมำ X (พมิ พ์ใหญ)่ แทนตวั แปรสมุ่ เช่น X = เพศ x (พมิ พ์เล็ก) แทนคำ่ ของตัวแปรส่มุ เช่น x = 1 (ชำย), 2 (หญิง) ภาพท่ี 6.1 ตวั แปรสุ่ม 2. การแจกแจงความน่าจะเปน็ (Probability distribution) เป็นกำรแสดงควำมน่ำจะเป็นของทุกค่ำที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม ซึ่งในรูปแบบ ตำรำง กรำฟ หรอื ฟังกช์ ันทำงคณติ ศำสตร์ เชน่ สมมตุ ิ มีประชำกร 2 คน เปน็ โรคฟันพุ 1 คน (D+) ไมผ่ ุ 1 คน (D-) ทำกำรสุม่ 2 คร้ังแบบใส่คืน กำรสุ่มแต่ละคร้งั จะได้ควำมน่ำจะเป็นดังนี้ P(D+) = 1/2 , P(D-) = 1/2 เม่ือสมุ่ 2 ครงั้ จะได้ควำมน่ำจะเป็นดังน้ี S = {D+D+, D+D-, D-D+, D-D-} ความนา่ จะเปน็ ในการเกิดเหตกุ ารณ์ ถำ้ ค่ำของตวั แปรส่มุ ท่ีสนใจ คอื ฟันผุ (x) ~ 62 ~

ชวี สถติ สิ ำหรบั สำธำรณสุข: หน่วยท่ี 6 กำรแจกแจงควำมน่ำจะเปน็ ควำมน่ำจะเป็นท่ี X = x เขียนแทนดว้ ย P(X = x) จำกเหตุกำรณ์ท่เี กดิ ขน้ึ ทงั้ หมดหำค่ำควำมนำ่ จะเป็น ได้ดงั น้ี 1 1 1 P(X=2)= P(D+D+)= 2 × 2 = 4 P(X=1)= P(D+D-)+P(D-D+)= (21 × 21) + (21 × 12) = 1 P(X=0)= 2 1 1 1 P(D-D-)= 2 × 2 = 4 การแจกแจงความน่าจะเปน็ ในรปู ต่างๆ 1) ตาราง ตารางที่ 6.2 ตำรำงแจกแจงควำมนำ่ จะเปน็ ของกำรเปน็ โรคฟนั ผขุ องประชำกร 2 คน X ความน่าจะเป็น 0 1/4 1 2/4 = 1/2 2 1/4 2) กราฟ ภาพที่ 6.2 กรำฟแจกแจงควำมน่ำจะเป็นของกำรเปน็ โรคฟนั ผุของประชำกร 2 คน 3) ฟงั ก์ชัน่ ทางคณติ ศาสตร์ f(x)  x 1; x  0,1 4 x 1; x  2 4 2.1 การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเน่ือง เป็นกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นของตัวแปรไม่ ต่อเนื่อง เช่น กำรเจบ็ ป่วย (ป่วย/ไม่ป่วย) กำรหำยจำกโรค (หำย/ไม่หำย) ได้แก่ กำรแจกแจงแบบแบบทวิ นำม และกำรแจกแจงแบบพัวซอง ~ 63 ~

ชีวสถติ สิ ำหรบั สำธำรณสุข: หนว่ ยที่ 6 กำรแจกแจงควำมนำ่ จะเป็น คณุ สมบตั กิ ารแจกแจงความน่าจะเป็นไมต่ ่อเน่อื ง 1. f(x) = P(X = x) (ควำมหมำย คำ่ ฟังก์ชนั ของตัวแปรสมุ่ X ทคี่ ำ่ = x คือควำมนำ่ จะเปน็ ที่ X มคี ่ำ= x) 2. f(x)  0 ทกุ ค่ำของ x 3.  P(X  x)   f(x)  1 (ควำaมll หx มำย ผลรวมคaวllำxมน่ำจะเป็นของทุกค่ำของ X มคี ำ่ = 1) กรำฟแสดงกำรแจกแจงควำมนำ่ จะเป็นแบบไมต่ อ่ เนื่องมลี กั ษณะเปน็ กรำฟแทง่ ดังภำพที่ 6.2 2.2 การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเน่ือง เป็นกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นของตัวแปรต่อเนื่อง เชน่ อำยุ น้ำหนกั ควำมสูง ควำมดนั โลหิต ได้แก่ กำรแจกแจงแบบปกติ และกำรแจกแจงแบบที คณุ สมบัตกิ ารแจกแจงความน่าจะเป็นต่อเน่อื ง 1. f(x)  0 ทุกคำ่ ของ x 2.   f(x)dx  1  (ควำมหมำย พน้ื ท่ใี ตโ้ ค้ง f(x) ทั้งหมดคือควำมนำ่ จะเปน็ ของทกุ คำ่ ของ x มีคำ่ เท่ำกบั 1) 3. P(X=a) =0 เม่ือ a=คำ่ คงที่ (ควำมหมำย ควำมนำ่ จะเปน็ ของ X ที่มคี ่ำเทำ่ กับคำ่ คงทีม่ คี ่ำเทำ่ กับ 0) ดังนนั้ P(a ≤ x ≤b) = P(a < x < b) = P(a ≤ x < b) = P(a < x ≤ b) กรำฟแสดงกำรแจกแจงควำมน่ำจะเปน็ แบบต่อเนื่องมีลักษณะเป็นกรำฟเส้น ดงั ภำพที่ 6.3 โดยท่ีพ้ืนที่ ใต้โคง้ f(x) ทง้ั หมดคอื ควำมน่ำจะเปน็ ของทุกคำ่ ของ x มคี ำ่ เทำ่ กบั 1 (-∞ ถงึ ∞) ภาพท่ี 6.3 กรำฟแสดงกำรแจกแจงควำมนำ่ จะเปน็ แบบต่อเนือ่ ง 3. การแจกแจงแบบทวนิ าม (Binomial distribution) เป็นกำรแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องชนิดหนึ่งซงึ่ กำรทดลองหลำยๆ อย่ำงมักจะมคี ำตอบที่มีทำงเลือก อยู่สองทำง เช่น ป่วย /ไม่ป่วย หำย /ไม่หำย ชำย/หญิง ฯลฯ ตัวอย่ำงง่ำยๆ ของกำรทดลอง เช่น กำร ~ 64 ~

ชีวสถติ สิ ำหรับสำธำรณสขุ : หนว่ ยที่ 6 กำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็น โยนเหรียญที่สมดุลอันหนึ่งหลำยๆ คร้ัง แต่ละคร้ังจะมีผลหนึ่งในสองทำงซึ่งจะเกิดร่วมกันไม่ได้ คือ หัว/ กอ้ ย ซงึ่ ควำมนำ่ จะเป็นของกำรสังเกตค่ำหน่ึงในสองน้ีจะเท่ำกัน ให้ X แทนจำนวนท่ีสนใจอย่ำงใดอย่ำงหน่ึงใน 2 อย่ำง เช่น จำนวนของควำมสำเร็จ จำนวนของ กำรสอบได้ ตัวแปรสุ่มท่ีมคี ุณลกั ษณะเชน่ น้ี เรียกวำ่ ตัวแปรสมุ่ ทวินำม 3.1 การเกดิ เหตุการณ์ของการแจกแจงทวนิ าม 1. กำรเกิดเหตกุ ำรณ์เป็นอิสระตอ่ กัน 2. กำรเกิดเหตุกำรณ์ ให้ผลลัพธ์ อย่ำงใดอย่ำงหน่ึง ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ สำเร็จ อีกผลลัพธ์ คือ ไม่ สำเรจ็ 3. ควำมน่ำจะเป็นของควำมสำเร็จมีค่ำคงทเ่ี ท่ำกับ p ควำมน่ำจะเป็นของควำมไม่สำเร็จมีค่ำคงท่ี เทำ่ กับ 1- p 3.2 ฟังก์ชั่นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวินาม (Probability Distribution Function; p.d.f.) เมือ่ ตวั แปรสมุ่ X มีกำรแจกแจงแบบทวินำมจะมีฟงั ก์ช่ันกำรแจกแจงดังนี้ f(x)   n p x (1  p)n x ;x  0,1,2,...n …………………………………………………….(1) x เขียนฟงั กช์ นั่ แทนด้วยสญั ลักษณ์ X ~ b(n, p) หรือ X ~ b(x; n, p) (อ่ำนวำ่ ตวั แปรสุม่ X มีกำรแจกแจงแบบทวนิ ำม ท่มี พี ำรำมเิ ตอร์ n และ p) 3.3 ลักษณะการแจกแจงแบบทวินาม 1) มพี ำรำมเิ ตอร์ 2 ตวั ได้แก่ n และ p 2) ค่ำเฉลี่ย เทำ่ กบั np 3) ควำมแปรปรวน เท่ำกบั np(1-p) 4) สว่ นเบ่ียงเบนมำตรฐำน = np(1 p) 5) ลักษณะกำรแจกแจงข้นึ อย่กู ับ n และ p ดงั นี้ (ภำพท่ี 6.4) 5.1) เม่อื n นอ้ ย ลักษณะกำรแจกแจงที่พบ เป็นดงั นี้ - p นอ้ ย กำรแจกแจง เบ้ขวำ (ทำงบวก) - p = 0.5 แนวโนม้ กำรแจกแจงสมมำตร - p มำก กำรแจกแจง เบ้ซำ้ ย (ทำงลบ) 5.2) เม่อื n มำก ลักษณะกำรแจกแจงแบบสมมำตร ~ 65 ~

ชวี สถิตสิ ำหรับสำธำรณสขุ : หนว่ ยท่ี 6 กำรแจกแจงควำมนำ่ จะเปน็ ทีม่ า: Surfstat.australia: an online text in introductory Statistics (https://surfstat.anu.edu.au/surfstat-home/3-2-8.html) ภาพที่ 6.4 ลกั ษณะกำรแจกแจงแบบทวินำม ตัวอย่างท่ี 1 ควำมน่ำจะเป็นท่ีคนไข้จะหำยจำกกำรเป็นโรคชนิดหนึ่งหลังจำกได้รับกำรรักษำเป็น 0.4 ถำ้ มีคนไข้ที่เปน็ โรคชนิดนี้ 10 คน จงหำควำมนำ่ จะเปน็ ท่ี ก. มีผหู้ ำยจำกโรคนี้อยำ่ งนอ้ ยท่สี ุด 9 คน ข. มผี ู้หำยจำกโรคนีอ้ ย่ำงมำก 9 คน วิธที า ให้ X แทนจำนวนผูท้ ่ีจะหำยจำกกำรเป็นโรค ดงั น้ัน X ~ b (10, 0.4) และ p.d.f ของ X คือ p( x)  10  (0.4) x (0.6)10 x , x  0,1,2,...,10    x  ก. มีผ้หู ำยจำกโรคนอ้ี ย่ำงน้อยที่สดุ 9 คน เปิดตำรำงกำรแจกแจงทวินำม (ตำรำง ส 2) โดยใชค้ ำ่ n = 10, P=0.4 และแทน X=9, 10 จะได้ P(X9) = P(X=9) +P(X=10) = 0.0016 + 0.0001 = 0.0017 ตอบ ข. มีผหู้ ำยจำกโรคน้ีอย่ำงมำก 9 คน P(X≤9) = 1 - P(X>9) = 1- P(X=10) = 1 – 0.0001 = 0.999 ตอบ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ~ 66 ~

ชีวสถติ สิ ำหรับสำธำรณสขุ : หน่วยท่ี 6 กำรแจกแจงควำมนำ่ จะเปน็ จากตัวอย่างที่ 1 กรณไี มส่ ำมำรถเปิดตำรำงได้ จะหำคำ่ ควำมนำ่ จะเปน็ โดยแทนค่ำ n, p, x ลงใน p.d.f. ดงั น้ี ก. P(X  9)  P(X  9)  P(X  10)  10  (0.4)9 (0.6)  10  (0.4)10 (0.6)0  0.0017 ตอบ   10   9   ข. P(X  9)  1 P(X  9)  1 P( X  10)  1  (0.4)10 ---------------------------1-0-.-9--09-.-90-9-0--0-1---------------------------------------------------------------------------ต--อ--บ- 4. การแจกแจงแบบพวั ซอง (Poisson distribution) เป็นกำรแจกแจงแบบไม่ต่อเน่ืองอีกชนิดหนึ่ง โดยท่ีอธิบำยถึงจำนวนครั้งของเหตุกำรณ์หรือ จำนวนสิ่งที่สนใจที่เกิดขึ้นในช่วงเวลำหรือขอบเขตที่กำหนด ตัวอย่ำงของตัวแปรสุ่มพัวซอง เช่น จำนวน อุบัติเหตุจรำจรต่อเดือนที่ส่ีแยกหน้ำมหำวิทยำลัยนเรศวร จำนวนเม็ดสิวบนใบหน้ำ จำนวนเม็ดเลือดขำว ในเลือดหนงึ่ หยด จำนวนผู้ป่วยทหี่ ้องฉกุ เฉิน ใน 1 วัน 4.1 การเกิดเหตกุ ารณ์ของการแจกแจงพัวซอง 1) เหตุกำรณ์ที่เกิดขึ้นเป็นอิสระต่อกัน โดยที่เหตุกำรณ์ที่เกิดขึ้นในช่วงใดช่วงหน่ึงหรือเวลำ ใดเวลำหนง่ึ จะไม่มีผลต่อควำมนำ่ จะเป็นของกำรเกดิ เหตุกำรณ์ ในช่วงหรอื เวลำอืน่ ๆ 2) ในช่วงเวลำหรอื ขอบเขตใดขอบเขตหน่ึงมีจำนวนเหตุกำรณ์ที่เกิดข้ึนอย่ำงไม่จำกดั 3) ควำมน่ำจะเปน็ ของกำรเกดิ เหตุกำรณใ์ นชว่ งใดๆ เป็นสดั สว่ นกับควำมยำวของช่วงทัง้ หมด 4) ในชว่ งเวลำส้นั ควำมน่ำจะเปน็ ของกำรเกดิ เหตกุ ำรณ์จะมคี ่ำนอ้ ย 4.2 ฟังก์ช่ันการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบพัวซอง ถ้ำให้ x เป็นจำนวนเหตุกำรณ์ท่ีเกิดข้ึนในช่วงเวลำหรือขอบเขตที่กำหนด ควำมน่ำจะเป็นของ เหตุกำรณ์ที่เกดิ ขึน้ ได้แก่ f(x)  eλλn ; x  0,1,2,...;e  2.7182 .................................................................(2) x! เม่อื  (Lambda) = คำ่ เฉล่ยี ของจำนวนคร้ังของเหตุกำรณท์ ีเ่ กดิ ขน้ึ ในชว่ งเวลำหรือขอบเขต เขียนฟงั ก์ชั่นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ X ~ p() หรอื X ~ P(x; ) 4.3 ลกั ษณะของการแจกแจงแบบพวั ซอง 1) มีพำรำมเิ ตอร์ 1 ตวั ไดแ้ ก่  2) ค่ำเฉล่ยี เทำ่ กับ ควำมแปรปรวน เทำ่ กบั  3) ส่วนเบยี่ งเบนมำตรฐำน เทำ่ กบั  ลักษณะกำรแจกแจงแบบพัวซองขึ้นอยู่กับค่ำ  คือเมื่อ  เพิ่มขึ้น กำรแจกแจงจะมี ลกั ษณะสมมำตรมำกขน้ึ ดังภำพที่ 6.5 ~ 67 ~

ชวี สถติ สิ ำหรบั สำธำรณสุข: หนว่ ยท่ี 6 กำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็น =1 =2  = 5  = 10 ท่มี า: de Smit, MJ, 2015 (http://www.statsref.com/HTML/index.html?poisson.html) ภาพที่ 6.5 ลักษณะกำรแจกแจงแบบพวั ซอง ตัวอย่างที่ 2 สมมติว่ำ จำนวนวัยรุ่นท่ีมีปัสสำวะสีม่วงในสถำนเริงรมย์แต่ละแห่ง มีกำรแจกแจง แบบพัวซอง ซึ่งโดยเฉล่ียแล้วมีจำนวน 3 คน ต่อสถำนเริงรมย์หน่ึงแห่ง จำกกำรตรวจจับของเจ้ำหน้ำท่ี ตำรวจทบี่ ุกตรวจสถำนเริงรมย์ 3 แห่งในคนื หนง่ึ จงหำควำมนำ่ จะเป็นท่ีจะพบวยั รุ่นมีปัสสำวะสีมว่ ง ก. 9 คน ข. อย่ำงนอ้ ย 3 คน วิธีทา ให้ X แทนจำนวนวัยรุ่นทีม่ ีปสั สำวะสีมว่ งในสถำนเริงรมย์ 3 แหง่ โดยเฉลยี่ แล้วสถำนเริงรมย์ 1 แห่งมวี ัยรนุ่ ทม่ี ปี ัสสำวะสีมว่ ง 3 คน ดังนัน้ เฉล่ยี แล้วสถำนเริงรมย์ 3 แห่งมวี ัยร่นุ ทม่ี ีปสั สำวะสมี ่วง 3 x 3 = 9 คน ก. 9 คน เปดิ ตำรำงกำรแจกแจงพวั ซอง (ตำรำง ส 3) โดยใชค้ ำ่  = 9, x = 9 จะได้ P(X=9) = 0.1318 ตอบ ข. อยำ่ งน้อย 3 คน เปดิ ตำรำงกำรแจกแจงพวั ซอง (ส 3) โดยใช้ค่ำ  = 9, x = 0, 1, 2 จะได้ P(X ≥ 3) = 1 - P (X < 3) = 1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)] = 1 – (0.0001+0.0011+0.0050) = 0.9938 ตอบ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ~ 68 ~

ชีวสถติ ิสำหรับสำธำรณสุข: หน่วยท่ี 6 กำรแจกแจงควำมน่ำจะเปน็ จากตัวอย่างท่ี 2 กรณีไม่สำมำรถเปิดตำรำงได้ จะหำค่ำควำมน่ำจะเป็นโดยแทนค่ำ  , x ลงใน p.d.f. ดังน้ี P(X  x)  f (x)  ex x! ก. P( X  9)  f (9)  e999  0.1318 9! ข. P( X  3)  1 P( X  3)  1 2 e9 9x  0.9938 x0 x! ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5. การประมาณค่าการแจกแจงแบบทวนิ ามดว้ ยการแจกแจงแบบพวั ซอง ในกำรทดลองแบบทวินำม จำนวนครงั้ ของกำรทดลอง n ท่ีมีคำ่ มำก และ p มคี ่ำเข้ำใกล้ศนู ย์ จะทำให้ m = np มีค่ำเกือบคงท่ี จึงทำให้สำมำรถประมำณค่ำควำมน่ำจะเป็นแบบทวินำม ด้วยควำมน่ำจะเป็น แบบพัวซองได้ โดยทั่วไปจะใช้กำรแจกแจงแบบพัวซอง ประมำณค่ำกำรแจกแจงแบบทวินำม เมื่อ n  20 และ p  0.05 ตัวอย่างที่ 3 ในกำรฉีดวัคซีนชนิดหนึ่งในเด็กทำรกจำนวน 2,000 คน ซ่ึงโดยท่ัวไปแล้ว เด็กทำรกจะ เกดิ กำรแพว้ คั ซนี 1 ใน 10,000 คน จงหำควำมนำ่ จะเปน็ ทีเ่ ดก็ จะแพ้วัคซีนจำนวน 3 คน ก. โดยวธิ กี ำรแจกแจงควำมนำ่ จะเปน็ แบบทวินำม ข. โดยวธิ ปี ระมำณค่ำควำมนำ่ จะเป็นแบบ ทวินำมด้วยควำมน่ำจะเปน็ แบบพัวซอง วธิ ีทา ก. โดยวิธกี ำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นแบบทวินำม ให้ X แทนจำนวนเด็กทำรกทีแ่ พว้ คั ซนี x = 0, 1, 2,…, 2,000 X ~ b (2000, 0.0001) P( X  3)   2, 000  (0.0001)3 (0.9999)1997  3  ตอบ = 0.0011 ข. โดยวธิ ปี ระมำณค่ำควำมน่ำจะเปน็ แบบ ทวนิ ำมด้วยควำมนำ่ จะเปน็ แบบพัวซอง เนือ่ งจำก n มคี ่ำมำกและ p มคี ่ำนอ้ ย ดงั น้ัน สำมำรถประมำณควำมน่ำจะเป็นด้วยกำรแจกแจงพัวซอง X ~ p (=np=0.2) จะได้ P( X  3)  e0.2 0.23  0.0011 ตอบ 3! จะเห็นว่ำควำมน่ำจะเป็นท่ีคำนวณได้ใน ข้อ ก (ทวินำม) และ (พวั ซอง) มีคำ่ เทำ่ กนั ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ~ 69 ~

ชีวสถติ สิ ำหรับสำธำรณสขุ : หนว่ ยที่ 6 กำรแจกแจงควำมน่ำจะเปน็ 6. การแจกแจงแบบปกติ (Normal distribution) กำรแจกแจงปกติเป็นกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นแบบต่อเน่ืองท่ีสำคัญและใช้มำกที่สุดในกำร วิเครำะห์ข้อมูลทำงสถิติ เพรำะเหตุกำรณ์ที่เกิดขึ้นส่วนใหญ่มักจะมีลักษณะใกล้เคียงกำรแจกแจงรูปแบบ ปกติ เช่น ระดับน้ำตำลในเลือด อัตรำกำรเต้นของหัวใจ ระดับคอเลสเทอรอล คะแนนกำรสอบ บำงคร้ัง อำจเรียกกำรแจกแจงแบบปกติน้ีว่ำ กำรแจกแจงแบบ Guassian ตำมชื่อนักคณิตศำสตร์ชำวเยอรมันซ่ึง เปน็ ผนู้ ำควำมร้เู ร่ืองกำรแจกแจงแบบปกตไิ ปเผยแพร่ ทำให้มกี ำรใช้กันอย่ำงแพรห่ ลำย 6.1 ฟงั ก์ชัน่ การแจกแจงความนา่ จะเปน็ แบบปกติ f(x)   1 e(xμ)2 /2σ2 ...............................................................................(3) 2π โดยที่  = 3.1459 e = 2.71828  = คำ่ เฉลยี่  = สว่ นเบี่ยงเบนมำตรฐำน เขยี นสญั ลักษณ์ X ~ n( , 2) 6.2 คุณสมบตั ิการแจกแจงแบบปกติ 1) รปู โค้งระฆงั ควำ่ ด้ำนซ้ำยและขวำของ  มีควำมเทำ่ กัน (สมมำตรรอบคำ่ เฉลี่ย) 2) ปลำยท้งั สองข้ำงของโค้งค่อยๆ ลำดลงสู่แกน x จรดแกน x ทีอ่ นนั ต์ 3) มีจุดเปลย่ี นเวำ้ ที่   4) คำ่ เฉลย่ี มธั ยฐำน ฐำนนิยม มคี ่ำเท่ำกัน เมื่อลำกเส้นจำกยอดโคง้ ตัง้ ฉำกกับแกน x 5) พนื้ ท่ีทงั้ หมดใต้โค้งเหนือแกน x หรือ ค่ำควำมนำ่ เป็นของพนื้ ท่เี ทำ่ กับ 1 6) เมอื่ แบ่งโคง้ โดยลำกเสน้ ต้ังฉำกจำกยอดถึงแกน x ระยะห่ำงจำกคำ่ เฉลีย่ ทงั้ สองขำ้ งเป็นดงั นี้ 1 หน่วยส่วนเบ่ยี งเบนมำตรฐำน (1) พ้นื ทีใ่ ต้โค้งเทำ่ กับ 68.26% 2 หนว่ ยส่วนเบยี่ งเบนมำตรฐำน (2) พน้ื ทใ่ี ต้โค้งเทำ่ กบั 95.45% 3 หน่วย สว่ นเบ่ยี งเบนมำตรฐำน (3) พื้นที่ใตโ้ คง้ เท่ำกับ 99.73% ดงั ภำพที่ 6.6 ~ 70 ~

ชวี สถิตสิ ำหรบั สำธำรณสขุ : หน่วยท่ี 6 กำรแจกแจงควำมน่ำจะเปน็ ภาพที่ 6.6 พ้ืนที่ภำยใตโ้ ค้งกำรแจกแจงปกติ 7) ควำมแตกตำ่ งของกำรแจกแจงแบบปกติ ข้นึ อยกู่ บั คำ่  และ 2 7.1) เม่ือคำ่  แตกตำ่ งกนั ตำแหน่งบนแกน x แตกต่ำงกนั (ภำพที่ 6.7) ภาพที่ 6.7 ลักษณะโคง้ กำรแจกแจงปกตทิ ีค่ ่ำ  ตำ่ งกัน 7.2) ถ้ำค่ำ  แตกต่ำงกัน ควำมแบนรำบและควำมโดง่ แตกตำ่ ง ภาพท่ี 6.8 ลักษณะโคง้ กำรแจกแจงปกติทีค่ ่ำ  ตำ่ งกนั ~ 71 ~

ชวี สถติ สิ ำหรบั สำธำรณสขุ : หนว่ ยท่ี 6 กำรแจกแจงควำมนำ่ จะเปน็ 6.3 การคานวณความน่าจะเป็นโดยใชก้ ารแจกแจงแบบปกติ ถ้ำต้องกำรคำนวณควำมน่ำจะเป็นที่ X จะอยู่ระหว่ำง 5 กับ 45 เม่ือ X มีกำรแจกแจงแบบ ปกติท่ีมี  = 10 และ  = 2 จะต้องคำนวณพื้นท่ีภำยใต้โค้งระหว่ำง X = 5 และ X = 45 เน่ืองจำก X เปน็ ตวั แปรชนดิ ต่อเนือ่ ง กำรคำนวณหำพนื้ ที่ภำยใต้เส้นโคง้ จึงตอ้ งอำศยั สตู รกำรอนิ ทเิ กรต ดงั นี้ 45 1 e dx1X  2,  X   2 5 2 จะเห็นว่ำกำรหำค่ำควำมน่ำจะเป็นโดยกำรหำพื้นที่ใต้เส้นโค้งมีควำมยุ่งยำก ดังนั้นจึงมีกำร สร้ำงตำรำงควำมน่ำจะเป็นโดยอำศัยควำมสัมพันธ์ระหว่ำงกำรแจกแจงปกติและกำรแจกแจงปกติ มำตรฐำน (ภำคผนวก ตำรำง ส4) 6.4 การแจกแจงปกติมาตรฐาน (Standard Normal Distribution) เป็นกำรแจกแจงปกติที่มีค่ำเฉลี่ย () เท่ำกับ ศูนย์ (0) และส่วนเบ่ียงเบนมำตรฐำน () เทำ่ กบั 1 บำงครั้งอำจเรยี กวำ่ Unit normal distribution (ภำพที่ 6.9) ภาพท่ี 6.9 โค้งกำรแจงแจงแบบปกติมำตรฐำน กำรแจกแจงปกตมิ ำตรฐำนแปลงได้จำกคำ่ ตวั แปรสมุ่ ดงั สตู ร z  xi μ ........................................................................................................................(4) σ เชน่ X 50 60 70 80 90 70.00 12.91 Z -1.55 -0.77 0.00 0.77 1.55 0.00 1  ~ 72 ~

ชีวสถติ สิ ำหรับสำธำรณสขุ : หน่วยท่ี 6 กำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็น ภาพท่ี 6.10 กำรแปลงกำรแจกแจงปกติเปน็ กำรแจกแจงปกติมำตรฐำน 6.5 ฟังก์ชันการแจกแจงปกติมาตรฐาน f(x)  1 e  z2 /2 .............................................................................................(5) 2π โดยท่ี  = 3.1459 e = 2.71828 Z =ค่ำมำตรฐำน เขยี นสญั ลกั ษณ์ Z~N(0,1) 6.6 การหาคา่ ความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่ ทีม่ ีการแจกแจงปกติ ถำ้ X มคี ำ่ อยู่ระหวำ่ ง X1 และ X2 จะได้วำ่ Z มีคำ่ อยรู่ ะหวำ่ ง Z1  X1   และ Z2  X2    P( X 1  X  X2)  P( X1    X   X2 )     P(Z1  Z  Z2 ) ดังน้ัน ค่ำ Z มีควำมสำคัญ เพรำะเม่ือทรำบค่ำ Z สำมำรถหำค่ำควำมน่ำจะเป็นได้ โดยกำร เปดิ ตำรำงควำมน่ำจะเปน็ (ตำรำง ส 1) เชน่ Z = 1.96 มีคำ่ ควำมน่ำจะเป็นเท่ำกบั 0.025 Z = -1.96 มีค่ำควำมน่ำจะเปน็ เทำ่ กบั 0.025 0.025 0.025 ภาพท่ี 6.11 กำรหำค่ำควำมนำ่ จะเปน็ ของตัวแปรสุ่มท่ีมีกำรแจกแจงปกติ ~ 73 ~

ชวี สถติ ิสำหรบั สำธำรณสุข: หนว่ ยที่ 6 กำรแจกแจงควำมนำ่ จะเป็น ตวั อย่างที่ 4 ค่ำ CHOL ประชำกร ~N(0,1) มี  = 200 mg/100ml,  = 20 mg/100ml จงหำควำมนำ่ จะเปน็ ทค่ี น คนหน่ึงมำจำกประชำกรมคี ำ่ CHOL a. ระหวำ่ ง 180 ถงึ 200 mg/100ml b. มำกกว่ำ 225 mg/100ml c. น้อยกว่ำ 150 mg/100ml วธิ ีทา a. ระหวำ่ ง 180 ถงึ 200 P(180<X<200) = P[(180-200) / 20]<Z< [(200-200) / 20] = P(-1<Z<0) = 0.3413 ตอบ b. มำกกวำ่ 225 mg/100ml ตอบ P(X>225) = P[Z> [(225-200) / 20] = P(Z>1.25) = 0.1056 c. นอ้ ยกว่ำ 150 mg/100ml ตอบ P(X<150) = P[Z< [(150-200) / 20] = P(Z< -2.5) = 0.0062 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7. การประมาณค่าการแจกแจงแบบทวนิ ามดว้ ยการแจกแจงแบบปกติ เมื่อ n มีขนำดใหญ่ลักษณะกำรแจกแจงแบบทวินำม จะเข้ำใกล้กำรแจกแจงแบบปกติ ดังนั้น ในทำง ปฏิบัติ เมื่อ np หรือ n(1-p) > 5 จะสำมำรถประมำณค่ำกำรแจกแจงทวินำมด้วยกำรแจกแจงแบบปกติ โดยแปลงคำ่ X~b(n, p) เป็น Z~N(0, 1) ด้วยสตู ร Z  x  np ......................................................................................................................(6) np(1 p) ~ 74 ~

ชีวสถติ ิสำหรบั สำธำรณสุข: หน่วยที่ 6 กำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็น เฉลยแบบฝึกหดั 1. ควำมน่ำจะเป็นท่ีผู้ชำยคนหนึ่งเป็นตำบอดสี เท่ำกับ 0.1 สมมติว่ำผู้ท่ีเป็นตำบอดสีไม่มีผลต่อคนอื่นๆ ส่มุ เลือกชำย 15 คน จงหำ ก. ควำมนำ่ จะเปน็ ท่พี บว่ำมีผู้ชำยตำบอดสี 5 คน ข. ควำมนำ่ จะเป็นทพี่ บวำ่ มผี ชู้ ำยตำบอดสมี ำกกว่ำ 4 คน ค. ควำมนำ่ จะเปน็ ท่พี บวำ่ มีผูช้ ำยตำบอดสี 3 คน ถึง 8 คน ง. คำ่ เฉลยี่ ของจำนวนผู้ชำยตำบอดสี ให้ X แทนจำนวนผชู้ ำยตำบอดสี ดังนนั้ X ~ b (15, 0.1) และ p.d.f ของ X คอื f (x)  15 0.1x 0.915x , x  0,1,2,...,15 x ก. ควำมนำ่ จะเปน็ ทพ่ี บว่ำมผี ชู้ ำยตำบอดสี 5 คน วิธีทา เปิดตำรำงกำรแจกแจงทวินำม (ส 2) โดยใช้ค่ำ n = 15, P=0.1 และแทน X = 5 จะได้ P(X=5) = P(X=5) = 0.0105 ดงั น้ัน โอกำสทีพ่ บว่ำมผี ชู้ ำยตำบอดสี 5 คน เท่ำกับ 1.05% ตอบ ข. ควำมน่ำจะเป็นท่ีพบวำ่ มีผู้ชำยตำบอดสีมำกกว่ำ 4 คน วธิ ที า เปิดตำรำงกำรแจกแจงทวินำม (ส 2) โดยใช้ค่ำ n = 15, P=0.1 และแทน X = 0, 1, 2, 3, 4 จะได้ P(X>4) = 1 - P(X  4) = 1 – [P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4)] = 1 – (0.2059+0.3432+0.2669+0.1285+0.0428) = 1 – 0.9873 = 0.0127 ดังนนั้ โอกำสที่พบว่ำมผี ูช้ ำยตำบอดสีมำกกวำ่ 4 คน เท่ำกับ 1.27% ตอบ ค. ควำมน่ำจะเปน็ ทพี่ บวำ่ มผี ชู้ ำยตำบอดสี 3 คน ถงึ 8 คน วิธที า เปิดตำรำงกำรแจกแจงทวนิ ำม (ส 2) โดยใช้คำ่ n = 15, P=0.1 แทน X = 3, 4, 5, 6, 7, 8 จะได้ P(3  X  8) = P(X=3)+ P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) = 0.1285+0.0428+0.0105+0.0019+0.0003+0.0000 = 0.1840 ดังนน้ั โอกำสทพ่ี บวำ่ มีผชู้ ำยตำบอดสี 3 คน ถงึ 8 คน เท่ำกับ 18.4% ตอบ ง. ค่ำเฉล่ยี ของจำนวนผชู้ ำยตำบอดสี วธิ ที า X ~ b (15, 0.1) ค่ำเฉลย่ี ของกำรแจกแจงแบบทวนิ ำม = np = 15  0.1 = 1.5 ~ 75 ~

ชวี สถิติสำหรับสำธำรณสขุ : หนว่ ยท่ี 6 กำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็น ดังนนั้ คำ่ เฉล่ยี ของจำนวนผ้ชู ำยตำบอดสี เทำ่ กับ 1.5 ตอบ 2. ควำมน่ำจะเป็นท่ีคนไข้เอดส์จะหำยเท่ำ กับ 0.4 ถ้ำทรำบว่ำคนไข้ 15 คนเป็นเอดส์ จงหำควำมน่ำจะ เป็นท่ี ก. อย่ำงน้อยรอด 10 คน ข. รอด 3 ถึง 8 คน ให้ X แทนจำนวนคนไขท้ ่ีจะหำย จำกโรคเอดส์ ดังน้นั X ~ b (15, 0.4) และ p.d.f ของ X คอื f (x)  15 0.4x 0.615x , x  0,1,2,...,15 x ก. อย่ำงนอ้ ยหำย 10 คน ตอบ วธิ ที า เปิดตำรำงกำรแจกแจงทวินำม (ส 2) โดยใช้คำ่ n = 15, P=0.4 และแทน X = 10, 11, 12, 13, 14, 15 จะได้ P(X  10) = P(X=10)+P(X=11)+P(X=12)+P(X=13)+P(X=14)+P(X=15) = 0.0245+0.0074+0.0016+0.0003+0.0000+0.0000 = 0.0338 ดังนน้ั โอกำสท่ีคนไขเ้ อดส์จะหำยอยำ่ งน้อย 10 คน เทำ่ กับ 3.38% ข. หำย 3 ถงึ 8 คน วิธที า เปดิ ตำรำงกำรแจกแจงทวินำม (ส 2) โดยใชค้ ่ำ n = 15, P=0.4 แทน X = 3, 4, 5, 6, 7, 8 จะได้ P(3  X  8) = P(X=3)+ P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) = 0.0634+0.1268+0.1859+0.2066+0.1771+0.1181 = 0.8779 ดงั นั้น โอกำสทีค่ นไขเ้ อดสจ์ ะรอด 3 ถงึ 8 คน เทำ่ กบั 87.79% ตอบ 3. สมมติว่ำประชำกร 1,000 คน จะติดสุรำ 1 คน จงหำควำมน่ำจะเป็นท่ีตัวอย่ำงเชิงสุ่มของ 8,000 คน แล้วมคี นตดิ สรุ ำนอ้ ยกว่ำ 7 คน วธิ ีทา เนื่องจำก n  20 และ p  0.05 ลักษณะกำรแจกแจงแบบ Binomial เข้ำใกล้กำรแจกแจง แบบ Poisson ดงั น้นั จึงประมำณคำ่ กำรแจกแจงแบบ Binomial ด้วยกำรแจกแจงแบบ Poisson ดงั น้ี  n p x q n-x  e- x โดยท่ี  = np = 8,000 x (1/1,000) = 8 x x! เปิดตำรำงกำรแจกแจงพัวซอง (ส 3) โดยใช้ค่ำ  = 8 P(X<7) = P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4)+ P(X=5)+ P(X=6) = 0.0003+0.0027+0.0107+0.0286+0.0573+0.0916+0.1221 ~ 76 ~

ชวี สถติ ิสำหรับสำธำรณสุข: หนว่ ยที่ 6 กำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็น = 0.3133 ดงั นนั้ โอกำสทต่ี วั อยำ่ งเชงิ สุ่มของ 8,000 คน แล้วมคี นติดสุรำนอ้ ยกว่ำ 7 คน เท่ำกบั 31.33% ตอบ 4. ถ้ำคะแนนทดสอบวิชำชีวสถิติประยุกต์ในงำนสำธำรณสุขของนิสิต 50 คน มีกำรแจกแจงแบบปกติท่ีมี คำ่ เฉลยี่ 66.3 คะแนน และค่ำเบย่ี งเบนมำตรฐำน 14.5 คะแนน จงหำ ก. รอ้ ยละของนิสติ นักศกึ ษำทีไ่ ดค้ ะแนนมำกกวำ่ 84 คะแนน ข. จำนวนนิสิตทไี่ ด้คะแนนนอ้ ยกว่ำ 50 ค. คะแนนต่ำสดุ ของนสิ ติ ทไ่ี ด้เกรด A ถำ้ มีนสิ ติ ไดเ้ กรด A อยูร่ อ้ ยละ 10 ก. รอ้ ยละของนิสิตทไ่ี ด้คะแนนมำกกว่ำ 84 คะแนน ตอบ วธิ ีทา P(X>84) = P[Z>(84-66.3) / 14.5] = P(Z>1.22) = 0.1112 ดงั น้ัน นสิ ติ นักทไ่ี ดค้ ะแนนมำกกวำ่ 84 คะแนน เท่ำกบั ร้อยละ 11.12 0.1112 1.22 ตอบ ข. จำนวนนิสติ ท่ไี ด้คะแนนนอ้ ยกวำ่ 50 วธิ ีทา P(X<50) = P[Z<(50-66.3) / 14.5] = P(Z<-1.12) = 0.1314 ดังนนั้ นสิ ิตท่ไี ดค้ ะแนนนอ้ ยกวำ่ 50 คะแนน มีจำนวน = 13.14 x 50 / 100 = 6.57 ประมำณ 7 คน 0.1314 -1.12 ~ 77 ~

ชีวสถติ สิ ำหรบั สำธำรณสุข: หน่วยท่ี 6 กำรแจกแจงควำมนำ่ จะเปน็ ค. คะแนนตำ่ สดุ ของนสิ ติ ท่ีได้เกรด A ถำ้ มนี ักศกึ ษำไดเ้ กรด A อยู่ร้อยละ 10 วธิ ีทา จำกตำรำง normal distribution ที่ ควำมน่ำจะเปน็ เทำ่ กบั 0.10 พบว่ำค่ำ Z = 1.28 จำก Z  X i    ดังนนั้ 1.28  X i  66.3 14.5 X i  (1.28 14.5)  66.3  84.86 ตอบ จะได้ว่ำ คะแนนตำ่ สดุ ของนักศึกษำทไี่ ด้เกรด A เท่ำกบั 84.86 0.1000 Z=1.28 Xi=84.86 ~ 78 ~

ชวี สถิติสำหรบั สำธำรณสขุ : หนว่ ยท่ี 7 กำรแจกแจงค่ำสถิติ หนว่ ยที่ 7 การแจกแจงค่าสถิติ วตั ถุประสงค:์ หลงั จำกจบกำรเรยี นในหัวข้อนแี้ ล้วนิสติ สำมำรถ 1. ทรำบค่ำเฉลยี่ และควำมแปรปรวนของกำรแจกแจงค่ำเฉล่ยี ของตวั อย่ำง 2. อธบิ ำยลักษณะกำรแจกแจงค่ำเฉลี่ยของตวั อยำ่ งได้ 3. ทรำบประโยชน์ของกำรแจกแจงคำ่ เฉล่ยี ของตวั อย่ำง 4. คำนวณค่ำควำมนำ่ จะเป็นของกำรแจกแจงคำ่ เฉล่ียของตวั อย่ำงได้ถูกต้อง 5. อธิบำยกำรแจกแจงผลตำ่ งระหวำ่ งคำ่ เฉลีย่ ของตวั อยำ่ งจำกสองประชำกร เน้ือหา: กำรแจกแจงค่ำสถิติ 1. ค่ำเฉลี่ยและควำมแปรปรวนของกำรแจกแจงค่ำเฉลีย่ ของตัวอย่ำง 2. ลักษณะกำรแจกแจงคำ่ เฉลี่ยของตัวอย่ำง 3. ประโยชน์ของกำรแจกแจงคำ่ เฉล่ียของตวั อย่ำง 4. กำรคำนวณคำ่ ควำมนำ่ จะเปน็ ของกำรแจกแจงคำ่ เฉลยี่ ของตัวอย่ำง 5. กำรแจกแจงผลต่ำงระหวำ่ งคำ่ เฉล่ียของตวั อย่ำงจำกสองประชำกร รปู แบบการเรยี นการสอน: กำรเรยี นรู้แบบร่วมมือ 1. ผู้เรียนแต่ละคนศึกษำเนื้อหำตำมหัวข้อบรรยำยจำกเอกสำรประกอบกำรสอนและสรปุ เปน็ แผนผงั ควำมคิด (Mind map) ก่อนเขำ้ ชัน้ เรียน 2. แบง่ กลุ่มกำรเรยี น เช็คชอ่ื สมำชกิ ภำยในกลมุ่ และอภปิ รำยเนือ้ หำตำมทไี่ ดร้ ับมอบหมำย ภำยในกลุ่มและภำยในช้นั เรยี น 3. สรปุ เนอ้ื หำโดยอำจำรย์ผสู้ อน 4. ผเู้ รียนแต่ละกลมุ่ คดิ โจทย์แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยหลงั จำกจบบทเรยี น และสง่ ภำยในสปั ดำห์ ถัดไป ~ 79 ~

ชีวสถติ ิสำหรับสำธำรณสุข: หนว่ ยที่ 7 กำรแจกแจงคำ่ สถติ ิ กำรแจกแจงค่ำสถิติ (Statistic distribution) ใช้ในกำรอนุมำนค่ำสถิติต่ำงๆ ของตัวอย่ำงไปเป็น ค่ำพำรำมิเตอร์ของประชำกร เพ่ือให้สำมำรถสรุปข้อมูลของประชำกรได้ (ภำพที่ 7.1) ดังน้ันควำมรู้เร่ือง กำรแจกแจงค่ำสถิติจึงมีประโยชน์อย่ำงมำกในงำนวิจัยที่มีกำรเก็บข้อมูลจำกตัวอย่ำง และเป็นพื้นฐำน สำคัญของสถิติอนุมำนซึ่งจะได้กล่ำวในเน้ือหำต่อไป ในหน่วยนี้จะอธิบำยเฉพำะกำรแจกแจงค่ำเฉลี่ยของ ตัวอย่ำง และกำรแจกแจงผลต่ำงระหว่ำงค่ำเฉล่ียของตัวอย่ำง ส่วนกำรแจกแจงแบบที (t) ไคสแคว์ (2) และเอฟ (F) จะกล่ำวถงึ ในหน่วยต่อไป ภาพที่ 7.1 กระบวนกำรทำงสถติ ิ 1. ค่าเฉล่ยี และความแปรปรวนของการแจกแจงคา่ เฉลี่ยของตวั อยา่ ง 1.1 สุ่มตัวอย่ำงจำกนิสิตคณะสำธำรณสุขศำสตร์ ชั้นปีท่ี 3 จำนวน n คน เพ่ือหำค่ำเฉล่ียของ น้ำหนัก ไดเ้ ท่ำกับ x1̅ 1.2 สุ่มตัวอย่ำงจำกนิสิตคณะสำธำรณสุขศำสตร์ ช้ันปีท่ี 3 จำนวน n คน อีกครั้ง เพ่ือหำค่ำเฉลี่ย ของนำ้ หนกั ได้เทำ่ กบั x2̅ 1.3 สุ่มตัวอย่ำงไปเร่ือยๆ k ครั้ง เพ่ือหำค่ำเฉลี่ยของน้ำหนัก จะได้ได้ค่ำเฉล่ียแต่ละคร้ังเท่ำกับ x1̅ ,…,x2̅ ,…,x3̅ ,…,xk̅ 1.4 นำค่ำเฉลี่ยที่ได้จำกกำรสุ่มตัวอย่ำงแต่ละคร้ังมำสร้ำงกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็น จะได้กำร แจกแจงค่ำเฉลี่ยของตัวอย่ำง ท่ีมีค่ำเฉล่ีย (μx̅) เท่ำกับ ค่ำเฉลี่ยของประชำกร () และควำมแปรปรวน (σ2x̅) เท่ำกบั ควำมแปรปรวนของประชำกร หำรดว้ ยขนำดตัวอย่ำง (2/n) ดงั ภำพที่ 7.2 ~ 80 ~

ชีวสถติ สิ ำหรบั สำธำรณสขุ : หน่วยท่ี 7 กำรแจกแจงค่ำสถิติ ภาพท่ี 7.2 กำรแจกแจงค่ำสถิตขิ องตวั อยำ่ ง ตัวอย่างเช่น ข้อมูลน้ำหนักของประชำกรนิสิต จำนวน 6 คน คือ 49 45 51 43 53 47 นำมำหำ คำ่ เฉลย่ี และควำมแปรปรวนไดด้ ังน้ี σμ2==∑∑i6N=1 i6x=1=(N4x9i -+x4)̅5+251=+64(34+593-+4487)=24+8(k4g5-48)2 +(51-48)2 +6(43-48)2 +(53-48)2 +(47-48)2 = 11.67 km2 กรณที ่ี 1 สมุ่ แบบใสค่ ืน ถ้ำสุ่มตวั อย่ำง n=2 จำกประชำกรนิสติ 6 คน โดยกำรหยิบแล้วใส่คืน จำนวนตัวอย่ำงท่ีเป็นไปได้ ทั้งหมดจะเทำ่ กบั 36 แบบ ดังภำพที่ 7.3 และ 7.4 ������̅= 46 kg S2 = 20 kg ภาพท่ี 7.3 กำรสุม่ ตวั อย่ำง n=2 จำกประชำกร 6 คน ~ 81 ~

ชวี สถติ สิ ำหรับสำธำรณสุข: หน่วยที่ 7 กำรแจกแจงคำ่ สถิติ สุ่มครง้ั ท่ี 1 43 สุ่มครง้ั ท่ี 2 43 45 47 49 51 53 43 44 44 45 46 47 48 45 45 45 46 47 48 49 47 46 46 47 48 49 50 49 47 47 48 49 50 51 51 48 48 49 50 51 52 53 49 50 51 52 53 ภาพท่ี 7.4 แสดงค่ำเฉลยี่ ของตวั อยำ่ งท่เี ป็นไปได้ทง้ั หมด นำค่ำเฉลีย่ มำแจกแจงควำมถ่ี เรียกว่ำ “Sampling Distribution of Mean” ค่ำเฉล่ีย 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 ควำมถ่ี 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 เม่ือนำค่ำเฉลยี่ มำคำนวณค่ำเฉลย่ี เรยี กวำ่ ค่ำเฉลย่ี ของค่ำเฉลย่ี x คำนวณไดด้ ังนี้ x  xi  43  44  44  ... 53 N n 36  48 เพรำะฉะนัน้ จะไดว้ ำ่ กำรแจกแจงคำ่ เฉล่ียของตัวอยำ่ ง (μx̅) เท่ำกับค่ำเฉล่ียของประชำกร (μ) และเมื่อคำนวณค่ำควำมแปรปรวนของคำ่ เฉลยี่ เรยี กว่ำ ควำมแปรปรวนของคำ่ เฉล่ีย  2 x  2x  (xi  x )2 nx  (43  48)2  .. (53  48)2 36  5.83  x2  2  11.67  5.83 n 2 x   n ~ 82 ~

ชวี สถิตสิ ำหรับสำธำรณสุข: หน่วยท่ี 7 กำรแจกแจงค่ำสถติ ิ เพรำะฉะนั้นจะได้ว่ำ กำรแจกแจงควำมแปรปรวนของตัวอย่ำง (σ2x̅) เท่ำกับควำมแปรปรวน ของประชำกรหำรดว้ ยขนำดตัวอย่ำง (2/n) และส่วนเบย่ี งเบนมำตรฐำนของกำรแจกแจงค่ำสถติ ิ คือ x   เรียกว่ำ “Standard Error of the mean; SEM” n กรณีที่ 2 สุ่มแบบไม่ใสค่ ืน ถำ้ สุ่มตัวอย่ำง n=2 จำกประชำกรนิสิต 6 คน โดยกำรหยิบแล้วไม่ใสค่ ืน จำนวนตัวอย่ำงท่ีเป็นไป ไดท้ ้ังหมดจะเท่ำกับ 30 แบบ (จะไม่มีค่ำเฉล่ียตำมแนวทแยงภำพท่ี 7.3) จะได้ค่ำ x เท่ำกบั  (เชน่ เดียวกับกำรส่มุ แบบใสค่ ืน) และคำ่  2 เทำ่ กับ  x2 2.N n (ต่ำงจำกกำรส่มุ แบบใส่คืน) x n N 1 โดยสว่ นที่แตกตำ่ งคอื ค่ำ N  n ท่มี ีกำรคณู เพ่ิมเขำ้ ไป เรียกวำ่ “Finite population” ซง่ึ N 1 ในกรณีท่ีประชำกรมีขนำดใหญ่หรือมีขนำดอนันต์ ค่ำ Finite population น้ีจะมีค่ำเข้ำใกล้ 1 ดังนั้น กำร ส่มุ ตวั อยำ่ งจำกประชำกรทม่ี ีขนำดใหญจ่ งึ ไมต่ ้องปรับด้วยคำ่ Finite population 2. ลักษณะการแจกแจงคา่ เฉลี่ยของตัวอย่าง กรณีท่ีประชำกรแม่มีกำรแจกแจงแบบปกติ ท่ีมีค่ำเฉล่ียเท่ำกับ  และควำมแปรปรวนเท่ำกับ 2 กำรแจกแจงคำ่ เฉล่ียของตัวอย่ำงทส่ี ุ่มมำจำกประชำกรดังกล่ำว จะมกี ำรแจกแจงแบบปกติท่ีมคี ่ำเฉลี่ย เทำ่ กับ  และ ควำมแปรปรวนเทำ่ กับ 2/n เมื่อประชำกรแม่มีกำรแจกแจงแบบอน่ื ๆ โดยมีค่ำเฉลี่ยเท่ำกับ  และควำมแปรปรวนเทำ่ กับ 2 กำรแจกแจงค่ำเฉลี่ยของตัวอย่ำงท่ีได้จะมีค่ำเข้ำใกล้กำรแจกแจงแบบปกติที่มีค่ำเฉล่ียเท่ำกับ  และ ควำมแปรปรวนเท่ำกับ 2/n มำกขึ้นเมื่อขนำดตัวอย่ำงใหญ่ขึ้น และเม่ือตัวอย่ำงที่สุ่มมำมีขนำดใหญ่พอ (n  30) กำรแจกแจงค่ำเฉล่ียของตัวอย่ำงจะมีกำรแจกแจงแบบปกติ เรียกว่ำ ทฤษฎีลู่เข้ำสู่ส่วนกลำง (Central limit theorem) ดงั ภำพที่ 7.5 (นสิ ติ จะได้ศกึ ษำวิธีกำรตรวจสอบลักษณะกำรแจกแจงแบบปกติ จำกคู่มือปฏิบัติกำรกำรใช้โปรแกรมสำเร็จรูป SPSS Statistics 17.0 for windows สำหรับกำรวิเครำะห์ ข้อมลู ในงำนสำธำรณสขุ ) 3. ประโยชนข์ องการแจกแจงคา่ เฉล่ียของตัวอย่าง ในกำรอนมุ ำนค่ำสถติ ิของตวั อย่ำงไปยังค่ำพำรำมิเตอรข์ องประชำกรจะอำศัยกำรแจกแจงค่ำเฉล่ีย ของตัวอย่ำงท้ังในส่วนของกำรประมำณค่ำและกำรทดสอบสมมติฐำน ซ่ึงกระบวนกำรสุ่มตัวอย่ำงในทำง ปฏิบัติจะเป็นลักษณะกำรสุ่มแบบไม่ใส่คืน เพียงครั้งเดียว โดยเม่ือตัวอย่ำงมีขนำดใหญ่พอ ค่ำ Finite population จะมีค่ำเข้ำใกล้ 1 และอำศัยควำมรู้เก่ียวกับกำรแจกแจงค่ำเฉลี่ยของตัวอย่ำง จึงสำมำรถ อนุมำนค่ำพำรำมเิ ตอร์ในประชำกรได้ ~ 83 ~

ชีวสถิตสิ ำหรับสำธำรณสขุ : หน่วยท่ี 7 กำรแจกแจงคำ่ สถติ ิ ภาพที่ 7.5 ลกั ษณะกำรแจกแจงคำ่ เฉล่ยี ของตวั อย่ำงเมื่อ n มขี นำดตำ่ งๆ 4. การคานวณค่าความน่าจะเป็นของการแจกแจงคา่ เฉล่ยี ของตวั อย่าง กำรคำนวณค่ำควำมน่ำจะเป็นของค่ำเฉลี่ยของตัวอย่ำง เช่น ถ้ำทรำบค่ำเฉลี่ยของตัวอย่ำง (x)̅ สำมำรถทำใหเ้ ปน็ คำ่ Z ได้ดงั น้ี Z  X  ……..…………………………………………………………………………………………………………..(1)  n ~ 84 ~

ชวี สถิตสิ ำหรับสำธำรณสขุ : หน่วยที่ 7 กำรแจกแจงคำ่ สถติ ิ เม่ือตัวอย่ำงมีขนำดใหญ่ หรือ สุ่มจำกประชำกรท่ีมีกำรแจกแจงแบบปกติ กำรแจกแจงค่ำเฉลี่ยของ ตัวอยำ่ งจะเป็นแบบปกติ ตัวอย่างที่ 1 กำรแจกแจงควำมดัน systolic มีกำรแจกแจง N~(120,400) ถ้ำสุ่มตัวอย่ำงมำ 25 คน จงหำควำมนำ่ จะเป็นที่ ค่ำเฉลีย่ ของ ควำมดนั systolic a. มคี ่ำอย่รู ะหว่ำง 110-120 mmHg b. มำกกว่ำ 135 mm.Hg วิธที า a. หำควำมน่ำจะเป็นท่ีตัวอย่ำง 25 คน มีค่ำเฉลี่ยของควำมดัน systolic อยู่ระหว่ำง 110 – 120 mmHg จำกโจทย์  = 120,  = 20 ดงั น้ัน P(110< x̅ <120) = P[(110 120 )  Z  (120 120 )] = P(-2.5<Z<0) 20 / 25 20 / 25 = 0.4938 ตอบ -2.5 b. หำควำมน่ำจะเป็นทต่ี วั อยำ่ ง 25 คน มีค่ำเฉลี่ยของควำมดัน systolic มำกกวำ่ 135 mmHg จำกโจทย์  = 120,  = 20 ดังน้ัน P(x̅ >135) = P[Z  (135 120 )] = P(Z>3.75) 20 / 25 = 0.0001 ตอบ --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 5. การแจกแจงผลต่างระหวา่ งคา่ เฉลี่ยของตัวอยา่ งจากสองประชากร เป็นกำรเปรียบเทียบค่ำเฉล่ียของตัวอย่ำงที่สุ่มมำจำก 2 ประชำกร เช่น เปรียบเทียบน้ำหนักระหว่ำง เพศชำยและหญิงว่ำแตกต่ำงกันหรือไม่ ทำได้โดยนำค่ำเฉล่ียน้ำหนักของเพศชำยและเพศหญิงมำ เปรียบเทียบกัน ถ้ำผลต่ำงเป็นศูนยแ์ สดงว่ำ น้ำหนักของเพศชำยและหญิงเท่ำกัน ถ้ำผลตำ่ งไม่เท่ำกับศูนย์ แสดงว่ำน้ำหนักระหว่ำงเพศชำยและหญิงแตกต่ำงกัน ซ่ึงกำรท่ีจะอนุมำนค่ำสถิติจำกตัวอย่ำงไปเป็น ค่ำพำรำมิเตอร์ของประชำกรจะต้องอำศัยควำมน่ำจะเป็นของกำรแจกแจงผลต่ำงระหว่ำงค่ำเฉลี่ยของ ตวั อยำ่ ง (x1̅ -x2̅ ) แสดงดงั ภำพที่ 7.6 กำรแจกแจงผลตำ่ ง 2 กรณี คือ 1) กรณไี มต่ ่ำงกัน x1̅ -x2̅ = 0 2) กรณีต่ำงกนั x1̅ -x2̅ ≠ 0 ~ 85 ~

ชีวสถติ สิ ำหรบั สำธำรณสขุ : หนว่ ยที่ 7 กำรแจกแจงคำ่ สถติ ิ ภาพท่ี 7.6 กำรแจกแจงผลต่ำงระหว่ำงคำ่ เฉล่ียของตัวอยำ่ งจำกสองประชำกร กรณีท่ีประชำกรท้ัง 2 กลุ่ม มีกำรแจกแจงแบบปกติและเป็นอิสระต่อกัน กำรแจกแจงของผลต่ำง ระหวำ่ งค่ำเฉลี่ยของตัวอยำ่ งจะมกี ำรแจกแจงแบบปกติ ทีม่ ี คา่ เฉลีย่ ( X1X2 )  1  2 …………………………………………………………………….(2) …………………………………………………………………….(3) ความแปรปรวน 2   2   2 1 2 X1X2  n1 n2 กำรหำค่ำควำมน่ำจะเป็นของกำรแจกแจงผลต่ำงระหว่ำงค่ำเฉลี่ยของตัวอย่ำง ทำได้โดยแปลงให้ เป็นค่ำปกติมำตรฐำน (Z) แล้วหำคำ่ ควำมน่ำจะเป็นโดยเปดิ ตำรำงสถติ ิของกำรแจกแจงปกติมำตรฐำนเพ่ือ หำพื้นทใี่ ตเ้ สน้ โคง้ กำรแจกแจงปกตมิ ำตรฐำน ดังน้ี Z  X1  X 2  X1X2  …………………………………………………………………….(4)  X1X2  Z  X1  X 2  1  2  หรอื  2   2 …………………………………………………………………….(5) 1 2 n1 n2 ~ 86 ~

ชีวสถติ สิ ำหรับสำธำรณสุข: หนว่ ยท่ี 7 กำรแจกแจงคำ่ สถติ ิ เฉลยแบบฝึกหัด 1. ถ้ำสุม่ ตัวอย่ำงเด็กจำนวน 36 คน จำกประชำกรเด็ก 100 คน แบบคืนที่ ซึ่งมีค่ำเฉล่ียของอำยุเท่ำกับ 4 ส่วนเบีย่ งเบนมำตรฐำน เทำ่ กับ 5 จงหำควำมนำ่ จะเปน็ ท่คี ่ำเฉลย่ี อำยุของตวั อย่ำงมีค่ำมำกกวำ่ 5 วธิ ที า จำกโจทย์  = 4,  = 5 = P[Z  ( 5  4 )] ดังน้นั P( X >5) = P(Z>1.2) 5 / 36 = 0.1151 ดงั น้ัน ควำมนำ่ จะเป็นท่คี ่ำเฉลยี่ อำยขุ องตัวอย่ำงมีค่ำมำกกวำ่ 5 เท่ำกบั 0.1151 ตอบ 0.1151 0 1.2 2. กำหนดให้ควำมดันโลหิต systolic ของประชำกรผู้ป่วยโรคควำมดันโลหิตสูงท่ีมำรับบริกำรที่คลินิก 5 คน เป็นดังน้ี 140, 145, 150, 142, 147 mmHg เม่ือสุ่มข้อมูลควำมดันโลหิตของผู้ป่วยมำ 2 คนจำก ประชำกร แบบใส่คนื ท่ี จงหำ 2.1 คำ่ เฉลย่ี ของกำรแจกแจงคำ่ เฉลยี่ ควำมดนั โลหติ แบบ systolic จะมีคำ่ เทำ่ ไร 2.2 ควำมแปรปรวนของกำรแจกแจงค่ำเฉล่ียควำมดนั โลหิตแบบ systolic จะมคี ำ่ เท่ำไร วิธที า ข้อมูลควำมดันโลหติ systolic มีดงั นี้ 140, 145, 150, 142, 147 สุ่มข้อมูลควำมดันโลหิตของผู้ป่วยมำ 2 คนจำกประชำกร แบบใส่คืนที่ (n = 2) จะได้ตัวอย่ำงที่ เปน็ ไปได้ 25 แบบ โดยมคี ่ำเฉลย่ี แตล่ ะแบบ ดงั น้ี สุ่มคนที่ 1 สุ่มคนที่ 2 140 145 150 142 147 140 140 142.5 145 141 143.5 145 142.5 145 147.5 143.5 146 150 145 147.5 150 146 148.5 142 141 143.5 146 142 144.5 147 143.5 146 148.5 144.5 147 ~ 87 ~

ชวี สถติ ิสำหรับสำธำรณสุข: หน่วยที่ 7 กำรแจกแจงคำ่ สถติ ิ นำค่ำเฉลย่ี มำแจกแจงควำมถี่ ไดด้ งั นี้ ความถ่ี (f) ค่าเฉลย่ี X  1 2 140 1 141 2 142 4 142.5 2 143.5 3 144.5 4 145 1 146 2 147 2 147.5 1 148.5 150 2.1 คำ่ เฉลย่ี ของกำรแจกแจงค่ำเฉลยี่ ควำมดนั โลหิตแบบ systolic จะมีคำ่ เท่ำไร x  xi  140  141  141  142  ...  150 N n 52 144.8 ดงั นัน้ คำ่ เฉลยี่ ของกำรแจกแจงคำ่ เฉลีย่ ควำมดันโลหิตแบบ systolic มีค่ำเท่ำกับ 144.8 mmHg ตอบ 2.2 ควำมแปรปรวนของกำรแจกแจงคำ่ เฉลีย่ ควำมดันโลหิตแบบ systolic จะมีคำ่ เทำ่ ไร ตอบ  2 x  (xi   x )2 nx  (140 144.8)2  ..  (150 144.8)2 25  6.28 ดังนน้ั ควำมแปรปรวนของกำรแจกแจงค่ำเฉลี่ยควำมดนั โลหิต systolic เทำ่ กบั 6.28 mmHg2 3. ในกำรศึกษำเร่ืองควำมดันโลหิต systolic พบว่ำมีกำรแจกแจงแบบปกติ โดยมีค่ำเฉล่ีย เท่ำกับ 120 mmHg และส่วนเบี่ยงเบนมำตรฐำน เท่ำกับ 10 mmHg จงหำว่ำค่ำที่ครอบคลุม รอ้ ยละ 95.45 ของพ้ืนท่ี ใตโ้ คง้ ปกติ ของค่ำ systolic blood pressure มคี ำ่ เท่ำไร วิธีทา จำกตำรำง normal distribution ที่ควำมน่ำจะเป็น เท่ำกับ 1-0.9545 = 0.0455 พบว่ำค่ำ Z มี คำ่ เทำ่ กบั 1.69 จำก Z  X i    ~ 88 ~