Matematik Proje ödevi

SAYMA VE OLASILIK

KONULAR ~TOPLAMA VE ÇARPMA YOLUYLA SAYMA ~FAKTÖRİYEL ~PERMÜTASYON ~KOMBİNASYON ~BİNOM ~OLASILIK

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma



Örnek 3 mektup 5 posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir? 5.5.5= 125 Örnek Rakamları farklı üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? 5 .4 .3. =60 2,4,6

Örnek 4 arkadaş bir sinemadaki yana yana olan 4 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir? 4.3.2.1 = 24 Örnek 2 kız ve 3 erkek öğrenci bir sıra boyunca erkekler yan yana olmak şartı ile kaç farklı şekilde sıralanabilir? KK EEE =3.2.1.3.2.1 =36

FAKTÖRİYEL

FAKTÖRİYEL \"!\" 8!=8.7.6.5.4.3.2.1 n! =n.(n-1).(n-2)...1 0!= 1!= 1 2!=2 3!=6 4! = 24 5! = 120 Örnek 7.6! 7! 6! 6! = =7

PERMÜTASYON

✓n ve r doğal sayı, r≤n olmak üzere; n elemanın farklı r tane elemanından oluşan dizilişlerin her birine n'nin r'li permütasyonu denir P(n,r) ile gösterilir. P (n,r) =n! (n-r)! ile hesaplanır. Örnek H={1,2,3,4,5,6} kümesinin ikili permütasyonlarının sayısı kaçtır? P(6,2)= 6! 6! (6-2)! 4!

Örnek A{0, 1,2,3,4} kümesinin kaç tane 3'lü permütasyonu vardır? P(5,3)= 5,4,3 =60 Örnek Çumr a kelimesinin harfleri ile anlamlı veya anlamsız beş harfli kaç kelime yazılır? P(5,5) 5.4.3.2.1 = 120

Tekrarlı Permütasyon → Nesnelerin özdeş, harflerin ya da sayıların aynı olduğu durumlarda sıralama yaparken kullanılır. Örnek ADANA Tüm harfler Tekrar edenler 5! = 5.4.3 3! 3 =20



KOMBİNASYON

C(n,r) = n =n! r!(n-r)! 10 kişilik gruptan 3 kişi kaç farklı şekilde seçilebilir? ( )Örne k130 10! = 10.9.8.7! =120 ( )10 10.9.8 3!(10-3)! 3.2.1.7! 3 3.2.1 =120 Bunları biliyor muydun? () (n =1 n (an)=(nb) )0 n =1 n ise a=b a+b=n ( ) ( )1 =n n^n-1 =n

Örnek 2. n+1 = n+1 Olduğuna ( ) ( )n 2 göre n ) kaçtır? 2 (n+1) = (n+1) 12 2(n+1) = (n+1).n 2 =n n=4 2.1 2 Örnek Bir kümenin üç elemanlı alt kümelerinin sayısı,2 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olduğuna göre,bu küme kaç elemanıdır? =)( (n n n =5 2 )3

Örnek 5 farklı çember en fazla kaç noktada kesişir? 5 5.4 .2 = 20 .. ()2 .2= 2 Örnek 6 farklı üçgen en fazla kaç .. 6 noktada kesişir?.... ( )2 .6 = 6.5 2 = 90

BİNOM

Pascal üçgeni 1 121 13 3 1 14 64 1 (x + y)⁰ = 1 (x + y)² = x + y (x + y)² = x² + 2xy + y² (x + y)² = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ )0 ) (11) (0 1 (0 (20) (12) (22) (30) (13) (23) (33)

(x+y)^n ifadesinin x'in azalan kuvvetine göre açılımı; NOT n E N için (x+y)^n açılımında n+1 tane terim vardır. (x+y)^N açılımındaki katsayıların işaretleri +,-,+,- şeklindedir. Örnek (3x+y)⁵ ifadesinin açılımının terim sayısı kaçtır? 5+1= 6

Not (x+y)^n açılımında Kat Sayılar toplamını bulmak için değişken yerine \"1\" yazılır. Not Sabit terimi bulmak için değişkenler yerine \"0\" yazılır. Not (x+y)^n açılımında baştan (r +) terim (n/r) x^n-r r^r dir.

Örnek (a+2b)³ açılımını yapalım. () () () ()3 3 3 (a+2b)^3= 0 a^3+ 1 a^2 2b+ 2 a (2b)^2+3 (2b)^3 3 =a^3+6a^b+12ab^2+8b^3 dir. Örnek (5x-2)⁶ ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulunuz. X=0 için, (5.0-2)⁶= (-2)⁶= 2⁶ Sabit terimi 2⁶ dir.

Örnek (X-2y)⁷ İfadesinin açılımında katsayılar toplamı kaçtır? X=1 y=1 (1-2.1)⁷=(-1)⁷= =-1 Örnek (x-2)⁵ İfadesinin açılımında sabit terim kaçtır? X=0 (0-2)⁵= -32 Örnek (5x+y)⁴ İfadesinin açılımında terim sayısı kaçtır? 4+1= 5

BASİT OLAYLARDA OLASILIK

Basit Olayların Olasılığı Deney: Tekrarlanabilen, farklı tekrarlarda farklı sonuçlar elde edilebilen süreçtir. Çıktı: Deneyde elde edilen sonuçların her biridir. Örnek Uzay: Deneydeki tüm çıktıların oluşturduğu kümedir. Olayın Tümleyeni: A olayının tümleyeni, A' ile gösterilir. A olayında olmayan, örnek uzayda olan çıktıları içerir. Örnek Bir zar atıldığında 2 den büyük sayı gelme olasılığı kaçtır? 5 = 2 6 3

Eş Olası Olay: Aynı örnek uzaydaki iki farklı olaya ait olası durumların sayısının eşit olmasıdır. Ö#rneHk;ocalara Geldik çalışan 20 bünyesinde sayısal alan öğretmeni, 12 sözel alan öğretmeni vardır. Bu öğretmenler arasından rastgele bir sayısal alan öğretmeni seçme olayı ile rastgele bir sözel alan öğretmeni seçme olayının eş olay olup olmadıklarını bulunuz. 20 12 32 32 Eş değildirler!

Ayrık Olay: Ortak elemanları olmayan kümelerin temsil ettiği olaydır. A ve B ayrık ise AnB = Ø olur. A ve B'nin ortak elemanı varsa ANBØ olur. Olasılık Kavramı E örnek uzay ve A bu örnek uzayın bir olayı olmak üzere, A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) ile gösterilir. P(A) = A olayının eleman sayısı= s(A) Örnek uzayın eleman sayısı = s(E) 0 < P(A) < 1 İmkansız Kesin Olay Olay

Örnek Bir hilesiz zar atma deneyinde üst yüze çift sayı gelme ihtimali A,tek asal sayı gelme olayı B olsun. Buna göre,bu olayların gerçekleşme olasılıkları kaçtır? P(A)= 3 P(B)= 2 6 6 Örnek İki hilesiz zar düz bir zemine atılıyor ve üst yüzlerine gelen rakamlar toplanıyor. Bu toplamın asal sayı olma olasılığı kaçtır? P(A)= 15 = 5 36 12

Örnek Ali'nin şekildeki balonları vurması olasılığı balonun numarası ile doğru orantılıdır. 1234 Ali bu hedeflere iki kez atış yaptığında tek numaralı balonların vurulmuş olması olasılığı kaçtır? 1—k 2. K .3k = 3 2—2k 10k 10k 50 3—3k 4—4k Örnek Sekiz katlı bir binanın zemin katında asansöre binen 4 kişiden her birinin farklı katlarda inmesi olasılığı kaçtır? 8.7.6.5 = 105 8.8.8.8 256

KAYNAKÇA •CANVA •HOCALARA GELDİK (YOUTUBE) •VAF YAYINLARI 10.SINIF MATEMATİK AKILLI SORU BANKASI (SEYİT ÇETİN-BEKİR İLHAN) •KAREKÖK YAYINLARI MATEMATİK 10. SINIF SORU BANKASI Hazırlayan Özge Kumcu 435 10/D