Buku Matematika Kelas 9 Marsigit

Di unduh dari : Bukupaket.com

Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Marsigit Mathilda Susanti Ali Mahmudi Atmini Dhoruri PUSAT KURIKULUM DAN PERBUKUAN Kementerian Pendidikan Nasional Di unduh dari : Bukupaket.com

Hak Cipta pada Kementerian Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-Undang Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Penulis Dr. Marsigit, M.A. Dra. Mathilda Susanti, M.Si. Editor Drs. Ali Mahmudi, M.Pd. Desain Isi Dra. Atmini Dhoruri, M.S. Desain sampul Ukuran buku Trija Fayeldi, S.Si. Riyono M. Nurhadi 17,6 x 25 cm Marsigit Matematika 3 / penulis, Marsigit...[et al] ; editor, Trija Fayeldi. -- Jakarta : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Kementerian Pendidikan Nasional, 2011. 2 jil.: ilus.; foto ; 25 cm. untuk SMP/MTs Kelas I X Termasuk bibliografi Indeks ISBN 978-979-095-661-2 (no.jil.lengkap) ISBN 978-979-095-666-7 (jil.3.2) 1.Matematika--Studi dan Pengajaran I. Judul II. Marsigit III. Trija Fayeldi 510.07 Hak Cipta buku ini dialihkan hak ciptanya kepada Kementerian Pendidikan Nasional dari Penerbit PT. Quadra Inti Solusi Diterbitkan oleh Pusat K u r i k u l u m d a n Perbukuan Kementerian Pendidikan Nasional 2011 Bebas digandakan sejak November 2010 s.d. November 2025 Diperbanyak oleh .... Di unduh dari : Bukupaket.com

Di unduh dari : Bukupaket.com

Daftar Isi Kata Sambutan ... iii Daftar Isi ... iv Sajian Isi Buku ... vi BAB I Semester 1 BAB III Kesebangunan ... 1 Statistika dan Peluang ... 69 Peta Konsep ... 2 Peta Konsep ... 70 Kata Kunci ... 2 Kata Kunci ... 70 A. Dua Bangun Datar yang Kongruen ... 4 A. Statistika ... 72 B. Dua Bangun Datar yang Sebangun ... 25 B. Peluang ... 93 C. Memecahkan Masalah yang Melibatkan Info Matematika: Gregor Johann Mendel ... 105 Rangkuman ... 106 Konsep Kesebangunan ... 39 Tugas Proyek 1 ... 106 Info Matematika: Thales ... 41 Soal Akhir Bab III ... 107 Rangkuman ... 42 Evaluasi 1 ... 110 Soal Akhir Bab I ... 43 BAB II BAB IV Semester 2 Bangun Ruang Pangkat dan Akar ... 115 Sisi Lengkung ... 47 Peta Konsep ... 116 Peta Konsep ... 48 Kata Kunci ... 116 Kata Kunci ... 48 A. Pangkat ... 117 A. Tabung ... 49 B. Akar ... 124 B. Kerucut ... 55 Info Matematika: Jejak Kaki Berumur C. Bola ... 60 Info Matematika: Erastothenes ... 65 6.000 Tahun ... 133 Rangkuman ... 66 Rangkuman ... 134 Soal Akhir Bab II ... 67 Soal Akhir Bab IV ... 135 iv Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

BAB V Tugas Proyek 2 ... 169 Soal Akhir Bab V ... 170 Barisan dan Deret Evaluasi 2 ... 172 Bilangan ... 137 Evaluasi Akhir ... 176 Soal-Soal Ujian Nasional ... 181 Peta Konsep ... 138 Daftar Pustaka ... 188 Kata Kunci ... 138 Daftar Simbol ... 189 A. Pola Bilangan ... 139 Kunci Jawaban ... 190 B. Barisan Bilangan ... 155 Glosarium ... 192 C. Deret Bilangan ... 161 Indeks ... 193 Info Matematika: Deret Fibonacci di Alam ... 168 Rangkuman ... 169 Daftar Isi v Di unduh dari : Bukupaket.com

Sajian Isi Buku Buku ini merupakan buku matematika dengan nuansa baru, namun tetap sesuai dengan kurikulum yang berlaku. Paparan pada buku ini terbagi sebagai berikut. 1. Apersepsi Awal Bab mempelajari suatu bahasan pada bab Bagian ini berisi gambaran mengenai tersebut. Soal-soal diberikan secara bertahap materi yang akan dibahas melalui wacana dengan tingkat kesulitan yang semakin kontekstual yang dilengkapi dengan gambar besar. penunjang. Selain itu, terdapat pula tujuan 7. Eksplorasi pembelajaran yang harus dicapai oleh peserta Pada bagian ini, peserta didik diajak untuk didik pada bab tersebut. memahami suatu materi melalui kegiatan 2. Peta Konsep dan Kata Kunci terbimbing. Pada bagian ini, peserta didik akan diberikan 8. Info Matematika gambaran pembagian bab secara sistematis Bagian ini berisi artikel matematika yang dalam bentuk diagram. Setelah itu, peserta berhubungan dengan materi yang telah didik akan dikenalkan pada istilah-istilah dipelajari. matematika yang akan ditemukan pada bab tersebut. Penjelasan setiap istilah dapat 9. Rangkuman dilihat pada Glosarium di akhir buku. Bagian ini berisi uraian singkat tentang 3. Uji Prasyarat Matematika materi yang telah dipelajari oleh peserta didik Sebelum mempelajari suatu bab, ada baiknya pada bab tersebut. peserta didik mengerjakan beberapa soal yang 10. Evaluasi dan Tugas Proyek merupakan prasyarat untuk mempelajari bab Evaluasi merupakan media bagi peserta didik tersebut. untuk menguji kemampuannya setelah 4. Paparan Materi mempelajari satu atau beberapa materi. Materi pada buku ini dipaparkan secara jelas, Evaluasi terdiri atas soal akhir bab, evaluasi 1 runtut, dan komunikatif sehingga memudah- dan 2, tugas proyek 1 dan 2, serta evaluasi kan peserta didik untuk mencapai tujuan akhir. pembelajaran yang diinginkan. 11. Daftar Simbol dan Glosarium 5. Ingat Kembali Apabila mengalami kesulitan untuk mengenali Berisi hal-hal penting pada materi-materi simbol ataupun istilah matematika yang sebelumnya yang akan digunakan kembali digunakan pada suatu bab, peserta didik pada pembahasan saat ini. dapat mencari pengertian simbol atau istilah tersebut melalui daftar simbol dan glosarium 5. Contoh Soal yang ada di akhir buku. Bagian ini berisi contoh-contoh soal 12. Indeks berkaitan dengan materi yang telah dipelajari Bagian ini berisi kata-kata penting yang sebelumnya. terdapat pada buku ini beserta halaman 6. Latihan kemunculannya. Bagian ini merupakan sarana bagi peserta didik untuk menguji kemampuannya setelah vi Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

Apabila sebagian sinar matahari terhalang oleh sebuah benda maka akan terbentuk bayangan dari benda tersebut. Coba kamu bandingkan antara bayanganmu dan bayangan menara di sampingmu. Adakah perbedaannya? Dengan membandingkan antara bayanganmu dan bayangan sebuah menara, kamu dapat mengukur tinggi menara tersebut. Konsep yang kamu gunakan untuk melakukan pengukuran ini adalah konsep kesebangunan. Apakah kesebangunan itu? Simaklah uraian berikut. Sumber: www.maxskywatcher.de I Sumber: www.mi.astro.it Bab Kesebangunan Tujuan Pembelajaran: Apa yang akan dipelajari pada bab ini? Setelah mempelajari bab ini, kamu A. Dua Bangun Datar yang Kongruen akan mampu untuk: B Dua Bangun Datar yang Sebangun a. mengenal berbagai bangun datar C. Memecahkan Masalah yang Melibatkan Konsep Kesebangunan yang sebangun dan kongruen, b. memahami sifat-sifat dua segitiga yang sebangun dan kongruen, serta c. memecahkan berbagai masalah yang melibatkan kesebangunan. Di unduh dari : Bukupaket.com

Peta Konsep Kesebangunan membahas Kongruen Sebangun Pengertian Syarat-syarat Segitiga-segitiga yang kongruen Pengertian Syarat-syarat Segitiga-segitiga yang sebangun Syarat-syarat sifat-sifat Menghitung Panjang 1. Ketiga sisi yang ber- Syarat-syarat sisi pada sesuaian sama panjang. segitiga yang 2. Dua sisi yang bersesuaian sebangun sama panjang dan sudut apitnya sama besar. 3. Dua sudut yang berse- suaian sama besar dan sisi persekutuan kedua sudut tersebut sama besar. 4. Satu sisinya sama panjang dan dua sudut yang bersesuaian sama besar. 5. Satu sudut sama besar dan dua sisi yang bersesuaian sama panjang. manfaat Menentukan tinggi sebuah menara Kata Kunci Pada bab ini, kamu akan menemukan istilah-istilah berikut. • bangun datar • kongruen • segitiga • maket • sebangun 2 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

U j i P r a s y a r a t M a t e m a t i k a Uji Prasyarat Sebelum membahas materi kesebangunan, perhatikan bangun-bangun geometri pada gambar berikut. Kemudian, jawablah pertanyaan-pertanyaan yang diberikan. 1. Apakah kamu menemukan bangun-bangun yang sama? 2. Adakah bangun-bangun yang ukurannya tidak sama, tetapi bentuknya sama? 3. Adakah bangun-bangun yang ukurannya sama dan bentuknya juga sama? Sumber: ecivilnet.com Kamu tentu dapat menemukan benda- benda di sekitarmu yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama. Jika kamu pernah melihat dua gedung yang kembar maka gedung- gedung tersebut merupakan contoh-contoh benda yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama. Dapatkah kamu menemukan benda-benda yang mempunyai bentuk sama, tetapi ukurannya berbeda? Ketika kamu memperhatikan produk alas kaki dari produsen tertentu dengan model dan tipe yang sama, kamu pasti akan dapat melihat alas kaki yang bentuknya sama, namun mempunyai ukuran yang bermacam-macam. Benda-benda yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan benda-benda yang kongruen . Adapun benda-benda yang mempunyai bentuk sama, tetapi ukurannya berbeda dengan syarat tertentu, dinamakan benda-benda yang sebangun . Gambar 1.1 Dua gedung kembar merupakan contoh benda- benda kongruen. Kesebangunan 3 sumber: www.topleftpixel.com Di unduh dari : Bukupaket.com

A. Dua Bangun Datar yang Kongruen Masihkah kamu ingat materi bangun datar di Kelas VII? Kamu tentu dapat menyebutkan contoh-contoh bangun datar di sekitarmu. Bentuk ubin (persegi), bentuk papan tulis (persegi panjang), bentuk penggaris segitiga, bentuk kartu ucapan untuk temanmu, bahkan bentuk kartu pelajarmu merupakan contoh-contoh bangun datar. Coba kamu ambil kartu pelajarmu, kemudian bandingkan dengan kartu pelajar temanmu. Bagaimanakah bentuk dan ukuran kartu pelajarmu dan kartu pelajar temanmu? Tentu sama. Dalam hal ini, kartu pelajarmu dan kartu pelajar temanmu dinamakan dua bangun datar yang kongruen . Coba kamu sebutkan contoh lain dari pasangan bangun datar yang kongruen. Bilakah dua bangun datar dikatakan kongruen? Berikut akan diuraikan syarat dua bangun datar kongruen. 1. Syarat Dua Bangun Datar Kongruen Coba kamu perhatikan gambar berikut. Sumber: seriouswheels.com Gambar 1.2 Dua gambar mobil yang mempunyai bentuk dan ukuran sama akan saling menutupi dengan tepat jika diimpitkan. Jika gambar mobil di sebelah kiri digeser searah dan sejauh ruas garis putus-putus maka gambar mobil tersebut akan menutupi dengan tepat gambar mobil di sebelah kanan. Dengan kata lain, hasil pergeseran suatu benda mempunyai bentuk dan ukuran sama dengan benda aslinya. Untuk mengetahui syarat dua bangun datar kongruen, coba kamu lakukan kegiatan berikut. Eksplorasi 1.1 Tujuan: Menemukan syarat dua bangun datar kongruen. Kegiatan: 1. Gambarlah bangun-bangun datar berikut pada buku latihanmu. G K J DC AB EF H I 4 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

Z SR ON XY PQ LM 2. Guntinglah gambar bangun-bangun tersebut. Ingat Kembali Kemudian, pilihlah pasangan gambar-gambar yang tepat saling menutupi ketika diimpitkan. Dalam penulisan, sudut Ternyata, diperoleh hasil sebagai berikut. dinotasikan dengan lambang ∠. a. Trapesium ABCD menutupi dengan tepat Misalnya, sudut DAB ditulis trapesium LMNO. ∠DAB. AB menempati LM. BC menempati MN. D/O C/N CD menempati NO. A/L B/M DA menempati OL. ∠DAB menempati ∠OLM. ∠ABC menempati ∠LMN. ∠BCD menempati ∠MNO. ∠CDA menempati ∠NOL. b. Segitiga EFG menutupi dengan tepat segitiga XYZ. G/Z F/Y EF menempati XY. E/X FG menempati .... GE menempati ZX. ∠GEF menempati ∠ZXY. ∠ ... menempati ∠XYZ. ∠FGE menempati ∠ .... c. Persegi panjang HIJK menutupi dengan tepat persegi panjang PQRS. HI menempati PQ. IJ menempati .... JK menempati .... K/S J/R I/Q ... menempati SP. ∠KHI menempati ∠ .... ∠ ... menempati ∠PQR. H/P ∠IJK menempati ∠QRS. ∠JKH menempati ∠ .... Setelah melakukan kegiatan tersebut, kamu dapat memahami bahwa jika dua bangun datar yang mempunyai bentuk dan ukuran sama saling diimpitkan maka kedua bangun tersebut akan saling menutupi dengan tepat. Dua bangun datar yang tepat saling menutupi atau saling berimpit disebut dua bangun datar yang kongr uen . Dengan demikian, dari hasil kegiatan tadi diperoleh bahwa: Kesebangunan 5 Di unduh dari : Bukupaket.com

a. Trapesium ABCD dan trapesium LMNO kongruen, Ingat Kembali ditulis trapesium ABCD ≅ trapesium LMNO . Dalam penulisan, segitiga b. ΔEFG dan ΔXYZ kongruen, ditulis ΔEFG ≅ ΔXYZ. dinotasikan dengan lambang Δ. Misalnya, segitiga EFG ditulis c. Persegi panjang HIJK dan persegi panjang PQRS ΔEFG. kongruen, ditulis persegi panjang HIJK ≅ persegi panjang PQRS . Dari hasil kegiatan yang sudah kamu lakukan, kamu telah dapat menemukan syarat dua bangun datar kongruen sebagaimana pernyataan berikut. a. Dua bangun datar dikatakan kongruen jika kedua bangun datar tersebut mempunyai sisi- sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. b. Jika dua bangun datar kongruen maka: 1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, dan 2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Untuk menentukan sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian dari dua bangun datar, biasanya dapat dilakukan dengan memperhatikan urutan dalam penamaan dua bangun datar tersebut. Coba kamu perhatikan ΔEFG dan ΔXYZ pada kegiatan tadi. Sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga tersebut adalah EF bersesuaian dengan XY, FG bersesuaian dengan YZ, dan GE bersesuaian dengan ZX. Adapun sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua segitiga tersebut adalah ∠GEF bersesuaian dengan ∠ZXY, ∠EFG bersesuaian dengan ∠XYZ, dan ∠FGE bersesuaian dengan ∠YZX. Coba kamu sebutkan sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian pada pasangan bangun datar yang lain pada kegiatan tadi. Contoh Soal 1.1 Tentukan pasangan-pasangan bangun datar berikut kongr uen atau tidak kongr uen . a. Persegi panjang ABCD dan persegi panjang EFGH D 3 cm C H 3 cm G 2 cm 2 cm A BE F V b. Persegi PQRS dan persegi panjang TUVW S 2 cm R W 3 cm 2 cm 2 cm PQ T U 6 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

c. Persegi IJKL dan segi empat MNOP P 2 cm O 2 cm 135° L 2 cm K 2 cm IJ 45° N M Penyelesaian : a. Diketahui persegi panjang ABCD dan persegi panjang EFGH. Sudut-sudut yang bersesuaian adalah ∠DAB bersesuaian dengan ∠HEF, ∠ABC bersesuaian dengan ∠EFG, ∠BCD bersesuaian dengan ∠FGH, dan ∠CDA bersesuaian dengan ∠GHE. Berikut adalah besar sudut dari sudut-sudut yang bersesuaian. ∠DAB = ∠HEF = 90° (sudut siku-siku), ∠ABC = ∠EFG = 90° (sudut siku-siku), ∠BCD = ∠FGH = 90° (sudut siku-siku), dan ∠CDA = ∠GHE = 90° (sudut siku-siku). Ternyata, diperoleh sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Sisi-sisi yang bersesuaian adalah AB bersesuaian dengan EF, BC bersesuaian dengan FG, CD bersesuaian dengan GH, dan DA bersesuaian dengan HE. Berikut adalah panjang sisi-sisi yang bersesuaian. AB = EF = 3 cm, BC = FG = 2 cm, CD = GH = 3 cm, dan DA = HE = 2 cm. Ternyata, diperoleh panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama. Oleh karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang maka persegi panjang ABCD dan persegi panjang EFGH kongruen. b. Coba kamu perhatikan sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi PQRS dan persegi panjang TUVW . PQ bersesuaian dengan TU, QR bersesuaian dengan UV, RS bersesuaian dengan VW , dan SP bersesuaian dengan WT. Berikut adalah panjang sisi-sisi yang bersesuaian. PQ = 2 cm, sedangkan TU = 3 cm sehingga PQ ≠ TU, QR = UV = 2 cm, RS = 2 cm, sedangkan VW = 3 cm sehingga RS ≠ VW , dan SP = WT = 2 cm. Oleh karena salah satu syarat dari dua bangun datar yang kongruen tidak dipenuhi, yaitu sisi-sisi yang bersesuaian tidak sama panjang maka persegi PQRS dan persegi panjang TUVW tidak kongruen. c. Coba kamu perhatikan sudut-sudut yang bersesuaian dari persegi IJKL dan segi empat MNOP . ∠LIJ bersesuaian dengan ∠PMN, ∠IJK bersesuaian dengan ∠MNO , ∠JKL bersesuaian dengan ∠NOP , dan ∠KLI bersesuaian dengan ∠OPM . Berikut adalah besar sudut-sudut yang bersesuaian. Kesebangunan 7 Di unduh dari : Bukupaket.com

∠LIJ = 90°, sedangkan ∠PMN = 45° sehingga ∠LIJ ≠ ∠PMN, ∠IJK = 90°, sedangkan ∠MNO = 135° sehingga ∠IJK ≠ ∠MNO , ∠JKL = 90°, sedangkan ∠NOP = 45° sehingga ∠JKL ≠ ∠NOP , dan ∠KLI = 90°, sedangkan ∠OPM = 135° sehingga ∠KLI ≠ ∠OPM . Oleh karena salah satu syarat dari dua bangun datar yang kongruen tidak dipenuhi, yaitu sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama besar maka persegi IJKL dan segi empat MNOP tidak kongruen. Latihan 1.1 Tunjukkan pasangan bangun-bangun datar yang kongr uen pada gambar berikut. Jelaskan jawabanmu . 1. (a) (b) (c) y x yx 2. √ (c) √ 123° x 123° 57° (a) (b) (c) 123° 123° 57° 57° 57° 3. 57° 123° 123° 57° (a) (b) 8 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

4. Dengan menggunakan syarat dua bangun datar kongruen, carilah pasangan-pasangan bangun berikut yang kongruen. 120° 60° ( 110° ( √108° 108° 125° 125° √√ √ √ 125° 125° 108° 108° 60° 120° ( 110° ( () √ √108° () (a) (b) (c) (d) () √60° √ 108° √ ( 125° 125° ( 110° 110° 120° 108° 108° ( 125° 125° ( 120° √√ () √108° 108° √ 60° (e) (f) (g) (h) 5. Diberikan pasangan bangun datar yang kongruen sebagai berikut. D 1 cm C Q 3 cm P D C 45° 2 cm 6 4 2 2 cm 2 2 cm 2 2 cm A 45° S 3 5 BR 1 3 cm 1 cm AB (a) (b) Sebutkan sisi-sisi yang bersesuaian dan sudut-sudut yang bersesuaian dari pasangan bangun datar yang kongruen tersebut. 2. Menentukan Panjang Sisi pada Dua Bangun yang Kongruen Setelah kamu memahami syarat dua bangun datar kongruen pada subbab sebelumnya, kali ini kamu akan mempelajari penerapannya. Ketika kamu sudah mengetahui ukuran kartu pelajarmu, kamu tentu dapat mengetahui ukuran kartu pelajar temanmu tanpa harus mengukurnya kembali, karena kartu pelajarmu dan kartu pelajar temanmu adalah dua bangun datar yang kongruen. Dengan demikian, syarat dua bangun datar kongruen dapat digunakan untuk menentukan panjang sisi pada dua bangun datar yang kongruen sebagaimana contoh berikut. Kesebangunan 9 Di unduh dari : Bukupaket.com

Contoh Soal 1.2 Pada gambar berikut, trapesium ABCD dan trapesium EFGH kongruen. Panjang AB = 6 cm, CD = 10 cm, dan EH = 8 cm. Tentukan panjang GH, EF, dan AD. E DC H F AB G Penyelesaian : Sisi-sisi yang bersesuaian adalah AB bersesuaian dengan EF, BC bersesuaian dengan FG, CD bersesuaian dengan GH, dan AD bersesuaian dengan EH. Oleh karena trapesium ABCD dan trapesium EFGH kongruen maka: Panjang GH = CD = 10 cm, Panjang EF = AB = 6 cm, dan Panjang AD = EH = 8 cm. Latihan 1.2 1. S RM L PQ K N Pada gambar di atas, trapesium PQRS dan trapesium KLMN kongruen. Jika panjang PQ = 4 cm, QR = 4 cm, dan RS = 7 cm, tentukan panjang NK. 10 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

2. Diberikan jajargenjang ABCD dan jajargenjang EFGH yang kongruen. Jika keliling jajargenjang ABCD adalah 10 cm, hitunglah nilai x, panjang sisi EF, FG, GH, dan HE. D (3x – 3) cm C H G x cm AB EF 3. Diberikan segi lima ABCDE dan segi lima FGHIJ yang kongruen. Jika EA = 2 cm, hitunglah panjang sisi FG, GH, HI, IJ, dan keliling segi lima FGHIJ . E D F (2x + 1) cm G 2 cm C (3x – 1) cm (2x – 1) cm H A B J x cm I 4. Diberikan trapesium ABCD dan trapesium EFGH yang kongruen. Jika AB = 3 cm, hitunglah panjang sisi EF, FG, GH, dan HE. DC F A 3 cm B G (2x + 1) cm 3x cm x cm E H 5. Diberikan jajargenjang ABCD dan jajargenjang EFGH yang kongruen. Jika besar ∠DAB = 45°, tentukan besar ∠HEF, ∠EFG, ∠FGH, dan ∠GHE. D C HG 45° ABE F Kesebangunan 11 Di unduh dari : Bukupaket.com

3. Segitiga-Segitiga yang Kongruen Kamu telah mempelajari materi dua bangun datar yang kongruen. Kali ini, kamu akan mempelajari kekongruenan dalam salah satu bangun datar, yaitu kekongruenan dalam segitiga. Oleh karena segitiga merupakan salah satu bentuk bangun datar, maka syarat dua bangun datar kongruen juga berlaku untuk syarat dua segitiga kongruen. Kamu dapat lebih memahaminya dengan mempelajari uraian berikut. a. Syarat Dua Segitiga Kongruen Jika suatu benda digeser maka bentuk maupun ukuran benda tersebut akan tetap sama. Demikian juga bentuk dan ukuran dari benda dan bayangannya pada cermin datar adalah sama. Untuk memahami syarat dua segitiga kongruen, kamu juga dapat melakukan pergeseran atau pencerminan dari bangun datar segitiga tersebut. Coba kamu perhatikan Gambar 1.3 untuk kasus pergeseran segitiga. CG Gambar 1.3 Kekongruenan dalam segitiga dengan pergeseran. A BE F Jika ΔABC digeser ke samping sejauh AE maka ΔABC akan berimpit atau menutupi dengan tepat ΔEFG. Jadi, ΔABC kongruen dengan ΔEFG, ditulis ΔABC ≅ ΔEFG. Karena ΔABC ≅ ΔEFG maka: ∠CAB = ∠GEF, ∠ABC = ∠EFG, ∠BCA = ∠FGE, AB = EF, BC = FG, dan AC = EG. Perhatikan juga Gambar 1.4 untuk kasus pencerminan segitiga. X Jika ΔKLM dicerminkan terhadap garis XY maka M L Q R bayangan ΔKLM adalah ΔPQR . Bentuk dan ukuran kedua segitiga sama. Jadi, ΔKLM dan ΔPQR kongruen. Karena ΔKLM ≅ ΔPQR maka: ∠MKL = ∠RPQ , ∠KLM = ∠PQR , ∠LMK = ∠QRP , KP KL = PQ, LM = QR , dan Gambar 1.4 Y KM = PR. Kekongruenan dalam segitiga dengan pencerminan. 12 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

Berdasarkan hasil dari pergeseran maupun pencerminan bangun datar segitiga pada uraian tadi maka dapat disimpulkan syarat dua segitiga kongruen sebagai berikut. Jika dua segitiga kongruen maka: • Sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sama panjang, dan • Sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar. Contoh Soal 1.3 Diberikan ΔABC ≅ ΔDEC seperti pada gambar. Tentukan sudut-sudut dan sisi-sisi yang kongruen dari kedua segitiga tersebut. E D C AB Penyelesaian : Coba kamu perhatikan sudut-sudut dan sisi-sisi yang bersesuaian dari ΔABC dan ΔDEC. Sudut-sudut yang bersesuaian adalah ∠CAB bersesuaian dengan ∠CDE, ∠ABC bersesuaian dengan ∠DEC, dan ∠ACB bersesuaian dengan ∠DCE. Oleh karena diketahui ΔABC ≅ ΔDEC maka berlaku: ∠CAB = ∠CDE (sudut siku-siku), ∠ABC = ∠DEC (sudut dalam berseberangan), dan ∠ACB = ∠DCE (sudut bertolak belakang). Jadi, sudut-sudut yang kongruen adalah ∠CAB kongruen dengan ∠CDE, ∠ABC kongruen dengan ∠DEC, dan ∠ACB kongruen dengan ∠DCE. Adapun sisi-sisi yang bersesuaian adalah AB bersesuaian dengan DE, BC bersesuaian dengan EC, dan CA bersesuaian dengan CD. Oleh karena diketahui ΔABC ≅ ΔDEC maka berlaku: AB = DE, BC = EC, dan CA = CD. Jadi, sisi-sisi yang kongruen adalah AB kongruen dengan DE, BC kongruen dengan EC, dan CA kongruen dengan CD. Kesebangunan 13 Di unduh dari : Bukupaket.com

b. Sifat-Sifat Dua Segitiga Kongruen Kamu telah memahami bahwa dua bangun datar yang saling menutupi (menempati) ketika diimpitkan maka kedua bangun datar tersebut kongruen. Pernyataan tersebut juga berlaku pada segitiga. Pada pembahasan sebelumnya, telah diperoleh kesimpulan bahwa jika dua segitiga kongruen maka sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sama panjang dan sudut- sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar. Apakah pernyataan sebaliknya juga berlaku, yaitu jika dua segitiga yang mempunyai sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar maka kedua segitiga tersebut kongruen? Untuk membuktikannya, coba kamu perhatikan Gambar 1.5. CM x x Gambar 1.5 Dua segitiga yang mempunyai sudut- sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sama o o panjang adalah kongruen. A BK L Diberikan ΔABC dan ΔKLM yang mempunyai sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar. Jika ΔABC diimpitkan dengan ΔKLM maka: ∠CAB dan ∠MKL saling menempati karena ∠CAB = ∠MKL, ∠ABC dan ∠KLM saling menempati karena ∠ABC = ∠KLM, ∠BCA dan ∠LMK saling menempati karena ∠BCA = ∠LMK, AB dan KL saling menempati karena AB = KL, BC dan LM saling menempati karena BC = LM, dan AC dan KM saling menempati karena AC = KM. Ternyata, jika ΔABC dan ΔKLM yang mempunyai sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar ketika diimpitkan akan saling menutupi. Jadi, ΔABC ≅ ΔKLM. Berdasarkan sifat dua segitiga kongruen tersebut, kamu dapat menurunkan syarat- syarat lain untuk menentukan dua segitiga kongruen. Berikut akan dijelaskan tentang kondisi dari unsur-unsur segitiga (sisi dan sudut) yang dapat menentukan dua segitiga kongruen. 1) Menentukan Dua Segitiga Kongruen Dilihat dari Ketiga Sisinya (sisi, sisi, sisi) Perhatikan gambar berikut. RW Gambar 1.6 P QU Kekongruenan dalam segitiga dilihat dari ketiga sisinya (sisi, sisi, sisi). V 14 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

Jika ΔPQR diimpitkan pada ΔUVW maka: PQ dan UV saling menempati karena PQ = UV, QR dan VW saling menempati karena QR = VW , dan PR dan UW saling menempati karena PR = UW. Jadi, ΔPQR dan ΔUVW saling menempati sehingga ΔPQR ≅ ΔUVW . Sekarang, kamu dapat menyimpulkan bahwa jika dua segitiga yang mempunyai sisi- sisi bersesuaian yang sama panjang diimpitkan maka akan saling menutupi dengan tepat. Dengan kata lain, kedua segitiga tersebut kongruen. Jika pada dua segitiga ketiga sisi (sisi, sisi, sisi) yang bersesuaian sama panjang maka kedua segitiga tersebut kongruen. Contoh Soal 1.4 Tunjukkan bahwa ΔPQY ≅ ΔRQY . R Penyelesaian : Q Perhatikan ΔPQY dan ΔRQY . Sisi-sisi yang bersesuaian adalah PQ bersesuaian dengan RQ, QY bersesuaian dengan QY , dan PY bersesuaian dengan RY. Di samping itu, Y diperoleh: PQ = RQ (diketahui), QY = QY (berimpit), dan PY = RY (diketahui). Oleh karena ketiga sisi yang bersesuaian dari ΔPQY dan P ΔRQY sama panjang maka ΔPQY ≅ ΔRQY (memenuhi syarat (sisi, sisi, sisi)). 2) Menentukan Dua Segitiga Kongruen Dilihat dari Dua Sisi dan Sudut Apitnya (sisi, sudut, sisi) Perhatikan gambar Berikut. C F Gambar 1.7 x Kekongruenan dalam x segitiga dilihat dari dua sisi A B dan sudut apitnya (sisi, D E sudut, sisi). Jika ΔABC diimpitkan pada ΔDEF maka: AB dan DE saling menempati karena AB = DE, ∠CAB dan ∠FDE saling menempati karena ∠CAB =∠FDE, dan AC dan DF saling menempati karena AC = DF. Jadi, ΔABC dan ΔDEF saling menempati, sehingga ΔABC ≅ ΔDEF. Kesebangunan 15 Di unduh dari : Bukupaket.com

Kamu telah membuktikan bahwa jika dua segitiga yang mempunyai dua sisi bersesuaian yang sama panjang dan sudut apit kedua sisi tersebut yang sama besar diimpitkan maka akan saling menutupi dengan tepat. Dengan kata lain, kedua segitiga tersebut kongruen. Jika dua segitiga dua sisinya yang bersesuaian sama panjang dan sudut apit kedua sisi tersebut sama besar (sisi, sudut, sisi) maka kedua segitiga tersebut kongruen. Contoh Soal 1.5 Tunjukkan bahwa ΔPQR ≅ ΔSTU R U 4 cm 4 cm 100° 100° P 5 cm QQ S 5 cm T Penyelesaian: Perhatikan ΔPQR dan ΔSTU. Sisi-sisi yang bersesuaian adalah PQ bersesuaian dengan ST, QR bersesuaian dengan TU, dan PR bersesuaian dengan SU. Oleh karena diketahui: PQ = ST = 5 cm, ∠PQR = ∠STU = 100°, dan QR = TU = 4 cm. Maka diperoleh dua sisi yang besesuaian dari ΔPQR dan ΔSTU sama panjang dan sudut apit kedua sisi tersebut sama besar. Akibatnya, ΔPQR ≅ ΔSTU (memenuhi syarat (sisi, sudut, sisi)). 3) Menentukan Dua Segitiga Kongruen Dilihat dari Dua Sudut dan Sisi yang Merupakan Persekutuan Dua Sudut (sudut, sisi, sudut) Perhatikan gambar berikut. R W Gambar 1.8 ox Kekongruenan dalam x segitiga dilihat dari P QU dua sudut dan sisi o persekutuan dua sudut V (sudut, sisi, sudut). Jika ΔPQR diimpitkan pada ΔUVW maka: ∠RPQ dan ∠WUV saling menempati karena ∠RPQ = ∠WUV , PQ dan UV saling menempati karena PQ = UV, dan ∠PQR dan ∠UVW saling menempati karena ∠PQR = ∠UVW . Jadi, ΔPQR dan ΔUVW saling menempati sehingga ΔPQR ≅ ΔUVW . 16 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

Dari persoalan di atas, diperoleh bahwa jika dua segitiga yang mempunyai dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang merupakan persekutuan kedua sudut tersebut sama panjang diimpitkan maka kedua segitiga tersebut saling menutupi dengan tepat. Dengan kata lain, kedua segitiga tersebut kongruen. Jika dua segitiga mempunyai dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang merupakan persekutuan kedua sudut tersebut sama panjang (sudut, sisi, sudut) maka kedua segitiga tersebut kongruen. Contoh Soal 1.6 O Tunjukkan bahwa ΔJKL ≅ ΔMNO . L 35° 35° J 3 cm K M 3 cm N Penyelesaian : Perhatikan ΔJKL dan ΔMNO . Sudut-sudut yang bersesuaian adalah ∠LJK bersesuaian dengan ∠OMN , ∠JKL bersesuaian dengan ∠MNO , dan ∠KLJ bersesuaian dengan ∠NOM . Oleh karena diketahui: ∠LJK = ∠OMN (sudut siku-siku), JK = MN = 3 cm, dan ∠JKL = ∠MNO = 35°. Maka diperoleh dua sudut yang bersesuaian dari ΔJKL dan ΔMNO sama besar dan sisi yang merupakan persekutuan kedua sudut tersebut sama panjang. Akibatnya, ΔJKL ≅ ΔMNO (memenuhi syarat (sudut, sisi, sudut)). 4) Menentukan Dua Segitiga Kongruen Dilihat dari Satu Sisi dan Dua Sudut (sisi, sudut, sudut) Pada subbab kali ini, kamu akan belajar menentukan dua segitiga kongruen dilihat dari satu sisi dan dua sudut (sisi, sudut, sudut), yaitu satu sudut terletak di sisi tersebut dan sudut yang lain terletak di depan sisi tersebut. Kesebangunan 17 Di unduh dari : Bukupaket.com

Perhatikan gambar berikut. F C x x Gambar 1.9 Kekongruenan dalam segitiga dilihat dari satu sisi dan dua sudut (sisi, sudut, sudut). o o E A BD Karena jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180° maka berlaku: ∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180° ⇔∠ABC = 180° – ∠BCA – ∠CAB Karena diketahui ∠BCA = ∠EFD dan ∠CAB = ∠FDE maka berakibat, ∠ABC = 180° – ∠BCA – ∠CAB ⇔∠ABC = 180° – ∠EFD – ∠FDE ⇔∠ABC = ∠DEF Sampai di sini, kamu telah memperoleh: 1. ∠ABC = ∠DEF, 2. AB = DE, dan 3. ∠CAB = ∠FDE. Kamu dapat mengamati bahwa ketiga keadaan tersebut memenuhi syarat (sudut, sisi, sudut). Jadi, ΔABC ≅ ΔDEF. Apa yang dapat kamu simpulkan? Ternyata, syarat (sisi, sudut, sudut) dapat dibawa ke bentuk syarat (sudut, sisi, sudut) sehingga diperoleh kekongruenan dalam segitiga. Jika dua segitiga satu sisinya yang bersesuaian sama panjang dan dua sudut yang bersesuaian, yaitu satu sudut terletak di sisi tersebut dan sudut yang lain terletak di depan sisi tersebut adalah sama besar (sisi, sudut, sudut) maka kedua segitiga tersebut kongruen. Contoh Soal 1.7 C B Tunjukkan bahwa ΔABC ≅ ΔBAD. A D 18 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

Penyelesaian : Sisi-sisi yang bersesuaian adalah AB bersesuaian dengan BA, BC bersesuaian dengan AD, dan CA bersesuaian dengan DB. Sudut-sudut yang bersesuaian adalah ∠CAB bersesuaian dengan ∠DBA, ∠ABC bersesuaian dengan ∠BAD, dan ∠BCA bersesuaian dengan ∠ADB. Oleh karena AB berimpit dengan BA maka AB = BA. Diketahui BC // AD, akibatnya ∠ABC = ∠BAD (sudut dalam berseberangan). Diketahui juga bahwa ∠BCA = ∠ADB (sudut siku-siku) maka sampai di sini kamu telah memperoleh: 1. AB = BA, 2. ∠ABC = ∠BAD, dan 3. ∠BCA = ∠ADB. Ketiga keadaan tersebut memenuhi syarat (sisi, sudut, sudut) sehingga ΔABC ≅ ΔBAD. 5) Menentukan Segitiga Kongruen Dilihat dari Satu Sudut dan Dua Sisi (sudut, sisi, sisi) Kali ini, kamu akan memahami cara menentukan dua segitiga kongruen dilihat dari satu sudut dan dua sisi (sudut, sisi, sisi), yaitu satu sisi tempat terletaknya sudut tersebut dan sisi yang lain terletak di depan sudut tersebut. Perhatikan Gambar 1.10. RU Po So Gambar 1.10 Q Kekongruenan dalam segitiga dilihat dari satu sudut dan dua sisi (sudut, sisi, sisi). T Karena RP dan US merupakan sisi-sisi yang bersesuaian dari ΔPQR dan ΔSTU maka sudut-sudut di depan kedua sisi tersebut merupakan sudut-sudut yang bersesuaian juga, yaitu ∠PQR dan ∠STU, dengan catatan ∠PQR dan ∠STU merupakan sudut sejenis (sudut yang sama lancip atau sudut yang sama tumpul). Diketahui bahwa RP = US (sama panjang) maka diperoleh ∠PQR = ∠STU (sama besar). Oleh karena jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180° maka berlaku: ∠QRP + ∠RPQ + ∠PQR = 180° ⇔∠QRP = 180° – ∠RPQ – ∠PQR Karena diketahui ∠RPQ = ∠UST dan telah diperoleh bahwa ∠PQR = ∠STU maka berakibat, ∠QRP = 180° – ∠RPQ – ∠PQR ⇔∠QRP = 180° – ∠UST – ∠STU ⇔∠QRP = ∠TUS Sehingga diperoleh: 1. QR = TU, 2. ∠QRP = ∠TUS, dan 3. RP = US. Kesebangunan 19 Di unduh dari : Bukupaket.com

Kamu dapat mengamati bahwa ketiga keadaan tersebut memenuhi syarat (sisi, sudut, sisi). Jadi, ΔPQR ≅ ΔSTU. Apa yang dapat kamu simpulkan? Ternyata, syarat (sudut, sisi, sisi) dapat dibawa ke bentuk syarat (sisi, sudut, sisi) sehingga diperoleh kekongruenan dalam segitiga. Jika dua segitiga satu sudutnya yang bersesuaian sama besar dan dua sisi yang bersesuaian, yaitu satu sisi tempat terletaknya sudut tersebut dan sisi yang lain terletak di depan sudut tersebut adalah sama panjang (sudut, sisi, sisi) maka kedua segitiga tersebut kongruen. Contoh Soal 1.8 Q Tunjukkan bahwa ΔPQR ≅ ΔQPS. R PS Penyelesaian : Perhatikan ΔPQR dan ΔQPS. Sisi-sisi yang bersesuaian adalah PQ bersesuaian dengan QP, QR bersesuaian dengan PS, dan RP bersesuaian dengan SQ. Sudut-sudut yang bersesuaian adalah ∠RPQ bersesuaian dengan ∠SQP, ∠PQR bersesuaian dengan ∠QPS, dan ∠QRP bersesuaian dengan ∠PSQ. Oleh karena diketahui PR // SQ, akibatnya ∠RPQ = ∠SQP (sudut dalam berseberangan). Kamu juga dapat memahami bahwa PQ = QP (berimpit). Oleh karena diketahui QR = PS maka sampai di sini kamu peroleh: 1. ∠RPQ = ∠SQP, 2. PQ = QP, dan 3. QR = PS. Dari ketiga keadaan tersebut maka berdasarkan syarat (sudut, sisi, sisi) didapatkan bahwa ΔPQR ≅ ΔQPS. 20 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

Latihan 1.3 1. Berikut diberikan pasangan-pasangan segitiga yang kongruen. Tentukan sisi-sisi dan sudut-sudut yang kongruen dari setiap pasangan segitiga tersebut. a. ΔABC ≅ ΔDEC d. ΔVWX ≅ ΔXYZ E DZ C BX Y A O W b. ΔKLM ≅ ΔNOP V P L M e. ΔABC ≅ ΔDEF N K CF c. ΔPQR ≅ ΔSQT T AD BE R Q PS 2. Tunjukkan bahwa pasangan-pasangan segitiga berikut kongruen. a. ΔABC dan ΔEDC b. ΔPQR dan ΔSTR E T D CB P R S Q A Kesebangunan 21 Di unduh dari : Bukupaket.com

c. ΔABD dan ΔCDB C D C AB A D B 3. Tentukan pasangan segitiga yang kongruen pada gambar di samping. B C D 4. Tunjukkan bahwa pasangan segitiga di samping adalah kongruen. Kemudian, tentukan pasangan segitiga tersebut. 5. Tunjukkan bahwa pasangan-pasangan segitiga berikut kongruen. a. ΔPQR dan ΔSTU RT A S 55° 55° QU c. ΔKLM dan ΔLKN P M b. ΔABC dan ΔDEF N 135° 135° C KL B A E D F 22 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

6. Tentukan pasangan segitiga berikut yang kongruen. D D C E B A 60° A C 7. Tunjukkan bahwa pasangan segitiga di 60° samping kongruen. Kemudian, tentukan pasangan segitiga tersebut. B 8. Tunjukkan bahwa pasangan-pasangan segitiga berikut kongruen. a. ΔAPB dan ΔDPC c. ΔABD dan ΔCBD BC P 2,5 cm D D 23° B 23° A 2,5 cm b. ΔAED dan ΔCEB CA D C 55° 2 cm 2 cm E 55° AB 9. Tunjukkan bahwa pasangan-pasangan segitiga berikut kongruen. a. ΔABC dan ΔEFD b. ΔSRT dan ΔQRP FT CQ E R A S D BP Kesebangunan 23 Di unduh dari : Bukupaket.com

c. ΔJKL dan ΔGHI e. ΔAFD dan ΔCEB C I D L F B G H J E d. ΔUVW dan ΔYXW K W A XV UX 10. Tunjukkan bahwa pasangan-pasangan segitiga berikut kongruen. a. ΔACD dan ΔACB c. ΔOSR dan ΔQTP CR Q T D 95° 95° B A O S H P b. ΔEFG dan ΔIHG F I G E 24 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

B. Dua Bangun Datar yang Sebangun Kamu telah memahami bahwa dua bangun datar kongruen mempunyai bentuk dan ukuran sama. Kali ini, kamu akan mempelajari dua bangun datar sebangun yang mempunyai bentuk sama, tetapi ukurannya berbeda dengan syarat tertentu. Sebelum membahas dua bangun datar yang Sumber: www.metromodels.net sebangun, masihkah kamu ingat materi Perbandingan di Kelas VII? Coba kamu Gambar 1.11 perhatikan Gambar 1.11. Maket stasiun kereta Maket stasiun kereta dirancang sama bentuknya tersebut mempunyai bentuk yang sama dengan dengan stasiun sebenarnya, tetapi ukurannya lebih stasiun kereta aslinya, tetapi ukuran aslinya kecil. diperkecil dengan perbandingan yang sama sehingga bagian-bagian yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama. Bagian- bagian yang bersesuaian tersebut di antaranya adalah panjang stasiun kereta dengan panjang maket, lebar stasiun kereta dengan lebar maket, dan tinggi stasiun kereta dengan tinggi maket. Oleh karena itu, dapat dibuat perbandingan sebagai berikut. Panjang maket Lebar maket Tinggi maket == Panjang sebenarnya Lebar sebenarnya Tinggi sebenarnya Dengan menggunakan perbandingan tersebut maka kamu dapat menentukan lebar stasiun kereta. Misalnya, tinggi stasiun kereta 3 m (300 cm), tinggi maket 3 cm, dan lebar maket 8 cm. Dalam kasus ini, kamu dapat memisalkan lebar stasiun adalah x cm. Akibatnya, dengan memilih sepasang perbandingan tadi diperoleh: Tinggi maket = Lebar maket Tinggi sebenarnya Lebar sebenarnya ⇔ 3 =8 300 x ⇔ 3x = 8 × 300 ⇔ 3x = 2.400 ⇔ x = 800 Jadi, lebar stasiun kereta adalah 800 cm (8 m). Oleh karena itu, diperoleh perbandingan bagian-bagian yang bersesuaian sebagai berikut. Tinggi maket = 3 = 1. Tinggi sebenarnya 300 100 Lebar maket = 8 = 1. Lebar sebenarnya 800 100 Kesebangunan 25 Di unduh dari : Bukupaket.com

Karena stasiun kereta dan maketnya mempunyai bentuk sama dan perbandingan bagian- bagian yang bersesuaian sama maka dikatakan stasiun kereta dan maketnya merupakan dua bangun yang sebangun . Seperti yang telah kamu pahami bahwa persegi panjang, segitiga, dan belah ketupat merupakan contoh-contoh bangun datar. Dalam subbab ini, kamu akan mempelajari dua bangun datar yang sebangun. Bagaimanakah dua bangun datar dikatakan sebangun? Berikut adalah paparan selengkapnya. 1. Syarat Dua Bangun Datar Sebangun Untuk mengetahui syarat dua bangun datar sebangun, coba kamu lakukan kegiatan berikut. Eksplorasi 1.2 Tujuan: Menemukan syarat dua bangun datar sebangun. Kegiatan: 1. Gunakan penggaris dan busur. 2. Pada buku latihanmu gambarlah sembarang satu titik dan segi empat. Misalnya, titik E dan segi empat ABCD dengan DE = 2 cm, AE = 2,5 cm, CE = 5 cm, BE = 4,25 cm, ∠CDA = ∠BCD = 60°, dan ∠DAB = ∠ABC = 120° seperti pada gambar berikut. 3. Gambarlah titik E di luar segi empat ABCD. D’ C’ DC E AB B’ A’ 4. Pada sinar EA, EB, EC, dan ED tentukan titik-titik A', B', C', dan D' sehingga EA’ = 2 EA, EB’ = 2 EB, EC’ = 2 EC, dan ED’ = 2 ED. 5. Lukislah segi empat A’B’C’D’. Pertanyaan: 1. Ukurlah ∠D’A’B’. Apakah ∠DAB = ∠D’A’B’? 2. Ukurlah ∠A’B’C’. Apakah ∠ABC = ∠A’B’C’? 3. Ukurlah ∠B’C’D’. Apakah ∠BCD = ∠B’C’D’? 4. Ukurlah ∠C’D’A’. Apakah ∠CDA = ∠C’D’A’? 5. Bandingkan sisi-sisi yang bersesuaian (seletak), apakah AB = BC = CD = AD ? A' B' B' C' C' D' A' D' 26 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

Setelah kamu melakukan kegiatan tersebut, ternyata suatu bangun datar jika diperbesar dengan skala perbesaran tertentu maka akan diperoleh dua bangun datar yang mempunyai bentuk sama dan sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar, tetapi ukuran panjang sisinya berbeda. Namun demikian, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) tetap sama. Bagaimanakah jika bangun datar tersebut diperkecil? Coba kamu diskusikan dengan teman-temanmu. Jadi, jika dua bangun datar mempunyai sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar dan perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sama maka dua bangun datar tersebut disebut dua bangun datar yang sebangun. Dua bangun datar dikatakan sebangun jika: 1. sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) pada kedua bangun datar sama besar, dan 2. perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) pada kedua bangun datar sama. Oleh karena pada dua bangun datar yang kongruen berlaku perbandingan panjang sisi- sisi yang bersesuaian adalah sama dan nilai perbandingannya 1 : 1 maka pada dua bangun datar yang sebangun berlaku perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama dan nilai perbandingannya tidak hanya 1 : 1. Contoh Soal 1.9 Diberikan dua bangun datar trapesium ABCD dan trapesium EFGH sebagai berikut. DC 2 2 cm HG 1 cm 45° 0,5 cm 2 cm 1 cm 2 cm 45° E 1,5 cm F A 3 cm B 1. Sebutkan sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua trapesium tersebut. 2. Sebutkan sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua trapesium tersebut. 3. Tentukan besar setiap sudut yang bersesuaian tersebut. 4. Tentukan perbandingan panjang sisi dari setiap sisi yang bersesuaian tersebut. 5. Apakah kedua bangun datar tersebut sebangun? Penyelesaian : 1. Pada dua bangun datar di atas, diberikan trapesium ABCD dan trapesium EFGH maka sudut-sudut yang bersesuaian adalah ∠DAB bersesuaian dengan ∠HEF, ∠ABC bersesuaian dengan ∠EFG, ∠BCD bersesuaian dengan ∠FGH, dan ∠CDA bersesuaian dengan ∠GHE. 2. Sisi-sisi yang bersesuaian dari trapesium ABCD dan trapesium EFGH adalah AB bersesuaian dengan EF, BC bersesuaian dengan FG, CD bersesuaian dengan GH, dan DA bersesuaian dengan HE. Kesebangunan 27 Di unduh dari : Bukupaket.com

3. Besar sudut-sudut yang bersesuaian adalah sebagai berikut. ∠DAB = ∠HEF = 90° (sudut siku-siku), ∠ABC = ∠EFG = 45°, ∠BCD = ∠FGH = 135°, dan ∠CDA = ∠GHE = 90° (sudut siku-siku). 4. Berikut adalah perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian. AB = 3 = 2 , BC = 2 2 = 2 , CD = 1 = 2 ,dan DA = 2 . EF 1,5 1 FG 2 1 GH 0,5 1 HE 1 Jadi, AB = BC = CD = DA = 2 . EF FG GH HE 1 5. Oleh karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama maka trapesium ABCD dan trapesium EFGH sebangun. Latihan 1.4 Dengan memper hatikan syarat dua bangun datar sebangun, coba kamu tentukan pasangan- pasangan bangun datar berikut sebangun atau tidak sebangun . a. Persegi panjang ABCD dan d. Persegi panjang ABCD dan persegi persegi panjang EFGH panjang EFGH H 2 cm G DC D C 2 cm 1 cm 2 cm HG A B A 1 cm E F BE F 3 cm 3 cm 1,5 cm b. Segi empat ABCD dan segi empat EFCG 2 cm GD C e. ΔPQR dan ΔSTU 1 cm R 1 cm x 2 cm 2 cm B A E 4 cm F 5 cm U x c. Segi empat ABCD dan segi empat EFCG 4 cm o 3 cm 2 cm GD C 2,5 cm P QS o T 3 cm 2,5 cm 1,5 cm 2 cm B F A E 2,5 cm 28 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

2. Menentukan Panjang Sisi pada Dua Bangun yang Sebangun Pada pembahasan sebelumnya, kamu telah mempelajari bahwa dua bangun dikatakan sebangun jika kedua bangun tersebut mempunyai bentuk sama dan perbandingan bagian- bagian yang bersesuaian sama. Demikian juga dua bangun datar dikatakan sebangun jika ukuran sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama. Dari pengertian tersebut, kamu dapat menggunakannya untuk menentukan panjang sisi pada dua bangun yang sebangun. Contoh Soal 1.10 1. Sebuah gudang mempunyai lebar bagian depan Sumber: www.coloradomodel.com 12 m dan tinggi 8 m. Jika maket gudang tersebut dibuat dengan lebar 6 cm, berapakah tinggi maket gudang tersebut? Penyelesaian: Diketahui lebar bagian depan gudang adalah 12 m (1.200 cm), tinggi gudang adalah 8 m (800 cm), dan lebar maket adalah 6 cm. Misalnya, tinggi maket adalah x cm. Dengan menggunakan pengertian perbandingan pada dua bangun yang sebangun diperoleh: Tinggi maket = Lebar maket Tinggi sebenarnya Lebar sebenarnya ⇔x = 6 800 1.200 ⇔ 1.200 x = 6 × 800 ⇔ 1.200 x = 4.800 ⇔ x=4 Jadi, tinggi maket gudang tersebut adalah 4 cm. 2. Diberikan trapesium ABCD dan trapesium PQRS sebangun seperti gambar berikut. Tentukan panjang CD dan PQ. D CQ P 10 cm 15 cm A 12 cm B R 9 cm S Kesebangunan 29 Di unduh dari : Bukupaket.com

Penyelesaian : Diketahui trapesium ABCD sebangun dengan trapesium PQRS sehingga berlaku: AD = CD = AB AD = CD = AB PS RS PQ PS RS PQ AD = CD AD = AB PS RS PS PQ ⇔ 10 = CD ⇔ 10 = 12 15 9 15 PQ ⇔ 15CD = 10 × 9 ⇔ 10PQ = 15 ×12 ⇔ 10PQ = 180 ⇔ 15CD = 90 ⇔ PQ = 180 ⇔ CD = 90 10 15 ⇔ PQ = 18 ⇔ CD = 6 Jadi, panjang CD adalah 6 cm dan panjang PQ adalah 18 cm. Latihan 1.5 30 cm 1. Sebuah pigura berbentuk persegi 5 cm panjang dengan ukuran tepi luar 30 cm × 20 cm. Jika tepi pigura diberi bingkai dengan lebar 5 cm, apakah persegi panjang tepi luar 20 cm pigura sebangun dengan persegi panjang tepi dalamnya? Jelaskan jawabanmu. Sumber: www.ppsnf.org 5 cm 5 cm 5 cm 2. Sebuah kapal berukuran panjang 150 m dan lebar 30 m akan dibuat modelnya. Panjang model 30 cm. a. Berapakah lebar model kapal? b. Jika tinggi model kapal adalah 3 cm, berapakah tinggi kapal sesungguhnya? 3. Persegi panjang ABCD dan KLMN D C M sebangun. Jika panjang AB = 12 cm, N 6 cm L AD = 8 cm, dan LM = 6 cm, hitunglah 8 cm keliling persegi panjang KLMN. A BK 12 cm 30 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

4. Dua bangun berikut adalah sebangun. Tentukan a dan b. 9 cm a b 12 cm 15 cm 20 cm 5. Sebuah monumen tampak pada layar TV dengan tinggi 10 cm dan lebar 4 cm. Jika lebar monumen sebenarnya 10 m, berapakah tinggi monumen sesungguhnya? 3. Segitiga-Segitiga yang Sebangun Kamu sudah mengetahui syarat dua bangun datar sebangun. Oleh karena salah satu bentuk dari bangun datar adalah segitiga, maka syarat dua bangun datar sebangun juga berlaku pada dua segitiga sebangun. Namun demikian, adakah syarat lain yang menunjukkan dua segitiga sebangun? Kamu dapat mengikuti uraian berikut untuk mengetahui jawabannya. a. Syarat Dua Segitiga Sebangun Syarat dua segitiga sebangun dapat kamu peroleh dengan melakukan kegiatan berikut. Eksplorasi 1.3 Tujuan: Menemukan syarat dua segitiga sebangun. Kegiatan: Lengkapi langkah-langkah berikut. 1. Gunakan penggaris, busur, dan pensil. 2. Gambarlah sembarang segitiga pada buku latihanmu, misalnya ΔABC dengan AB = 2 cm, CA = 1,5 cm, dan ∠BAC = 30° seperti pada gambar berikut. C AB 3. Perpanjang AB sampai titik D sehingga AD = 2 AB, dan perpanjang juga AC sampai titik E sehingga AE = 2 AC. E C A BD Kesebangunan 31 Di unduh dari : Bukupaket.com

4. Perhatikan ΔABC dan ΔADE. Ingat Kembali ∠ABC = ∠ADE (sudut sehadap) ∠BCA = ∠DEA (sudut sehadap) • Sudut sehadap mempunyai ∠CAB = ∠EAD (sudut berimpit) besar yang sama. Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian pada ΔABC dan • Sudut dalam berseberangan ΔADE sama besar. mempunyai besar yang sama. AB : AD = 1 : 2 (diketahui AD = 2 AB) AC : AE = 1 : 2 (diketahui AE = 2 AC) • Sudut berimpit mempunyai BC : DE = 1 : 2 (ukurlah) besar yang sama. • Sudut bertolak belakang mempunyai besar yang sama. Jadi, perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada ΔABC dan ΔADE sama. 5. Perpanjang AB sampai F sehingga AF = 3 AB, dan perpanjang AC sampai G sehingga AG = 3 AC. G E C AB D F 6. Perhatikan ΔABC dan ΔAFG. AB : AF = 1 : 3 AC : AG = … : … BC : FG = … : … Jadi, perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada ΔABC dan ΔAFG …. ∠ABC = ∠AFG (sudut sehadap) ∠BCA = ……… (……………...) ∠CAB = ∠GAF (……………...) Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian pada ΔABC dan ΔAFG sama besar. 7. Perhatikan ΔADE dan ΔAFG. ∠EAD = ∠GAF (sudut berimpit) AD : AF = 2 : 3 AE : AG = 2 : 3 Terlihat bahwa pada ΔADE dan ΔAFG mempunyai satu sudut yang sama besar dan perbandingan panjang sisi-sisi yang mengapit sudut tersebut sama. Pertanyaan: Tentukan besar sudut-sudut yang lain serta perbandingan panjang DE dengan FG. 32 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

Setelah kamu melakukan kegiatan tersebut, kamu tentu dapat memahami pernyataan- pernyataan berikut. • Jika sudut-sudut yang bersesuaian pada dua segitiga sama besar maka perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama. • Jika perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada dua segitiga sama maka sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. • Jika dua segitiga mempunyai satu sudut yang sama besar dan perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian yang mengapit sudut tersebut sama maka dua sudut yang lain sama besar. Jadi, dari pernyataan-pernyataan tersebut diperoleh hasil sebagai berikut. Syarat dua segitiga sebangun: 1. Jika sudut-sudut yang bersesuaian pada dua segitiga sama besar maka kedua segitiga tersebut sebangun. 2. Jika perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada dua segitiga sama maka kedua segitiga tersebut sebangun. 3. Jika dua segitiga mempunyai satu sudut yang sama besar serta perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian yang mengapit sudut tersebut sama maka kedua segitiga tersebut sebangun. Jika dua segitiga sebangun maka: 1. sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua segitiga tersebut sama besar, 2. perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga tersebut sama, dan 3. perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian yang mengapit satu sudut yang sama besar pada kedua segitiga tersebut adalah sama. Contoh Soal 1.11 C Diberikan ΔABC dan ΔDEF . Tentukan F pasangan segitiga berikut sebangun atau tidak 45° 1,5 cm sebangun. 2 cm A 45° 2 cm B D 1,5 cm E Penyelesaian : Kamu telah memahami syarat dua segitiga sebangun maka untuk menentukan sepasang segitiga sebangun atau tidak sebangun dapat dibuktikan dengan tiga cara. Cara 1: Menentukan besar sudut-sudut yang bersesuaian Sudut-sudut yang bersesuaian pada ΔABC dan ΔDEF adalah ∠CAB bersesuaian dengan ∠FDE, ∠ABC bersesuaian dengan ∠DEF, dan ∠BCA bersesuaian dengan ∠EFD. Adapun besarnya sudut-sudut yang bersesuaian tersebut adalah sebagai berikut. • ∠CAB = ∠FDE = 90° (sudut siku-siku). • ∠ABC = 45° (diketahui); ∠DEF = 180° – ∠FDE – ∠EFD = 180° – 90° – 45° = 45°. Jadi, ∠ABC = ∠DEF. Kesebangunan 33 Di unduh dari : Bukupaket.com

• ∠BCA = 180° – ∠CAB – ∠ABC = 180° – 90° – 45° = 45°; ∠EFD = 45° (diketahui). Jadi, ∠BCA = ∠EFD. Karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka ΔABC dan ΔDEF sebangun. Cara 2: Menentukan perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian Sisi-sisi yang bersesuaian pada ΔABC dan ΔDEF adalah AB bersesuaian dengan DE, BC bersesuaian dengan EF, dan CA bersesuaian dengan FD. Adapun perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian tersebut adalah sebagai berikut. AB = 2 = 4 , DE 1, 5 3 BC = 2 2 = 2 = 4 , dan EF 3 2 1, 5 3 2 CA = 2 = 4 . FD 1, 5 3 Oleh karena itu, diperoleh perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sebagai berikut. AB = BC = CA = 4 . DE EF FD 3 Oleh karena perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama maka ΔABC dan ΔDEF sebangun. Cara 3: Mengambil satu sudut yang sama besar, kemudian menentukan perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian yang mengapit sudut tersebut Pada ΔABC dan ΔDEF, ambillah ∠CAB = ∠FDE = 90°. Berarti, sisi-sisi yang bersesuaian yang mengapit sudut tersebut adalah AB bersesuaian dengan DE dan AC bersesuaian dengan DF. Berikut adalah perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian tersebut. AB = 2 = 4 , dan DE 1, 5 3 AC = 2 = 4 . DF 1, 5 3 Oleh karena itu, diperoleh perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian yang mengapit sudut yang sama besar (∠CAB = ∠FDE = 90°) sebagai berikut. AB = AC = 4 . DE DF 3 Oleh karena perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian yang mengapit sudut yang sama besar (∠CAB = ∠FDE = 90°) adalah sama maka ΔABC dan ΔDEF sebangun. 34 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

b. Menghitung Panjang Sisi pada Segitiga yang Sebangun Kamu telah memahami syarat dua segitiga sebangun. Hal tersebut dapat kamu gunakan untuk menentukan panjang sisi-sisi yang belum diketahui pada salah satu segitiga dari dua segitiga yang sebangun. Pahami contoh berikut dengan baik. Contoh Soal 1.12 1. Diberikan ΔPQR dan ΔXYZ sebagai berikut. Z R 12 cm 12 cm αβ αβ Y P 6 cm Q X 8 cm a. Apakah ΔPQR dan ΔXYZ sebangun? b. Tentukan panjang YZ. Penyelesaian: a. Perhatikan ΔPQR dan ΔXYZ. ∠RPQ = ∠ZXY = α, ∠PQR = ∠XYZ = β. Karena dua sudut pada ΔPQR dan ΔXYZ sama besar maka sudut yang lain juga sama besar. Jadi, ∠QRP = ∠YZX. Karena ketiga sudut yang bersesuaian pada ΔPQR dan ΔXYZ sama besar maka ΔPQR dan ΔXYZ sebangun. b. Ambillah pasangan perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian mengandung YZ. QR = PQ YZ XY ⇔ 12 = 6 YZ 8 ⇔ 6YZ = 12 × 8 ⇔ 6YZ = 96 ⇔ YZ = 96 6 ⇔ YZ = 16 Jadi, panjang YZ adalah 16 cm. Kesebangunan 35 Di unduh dari : Bukupaket.com

2. Pada gambar berikut, AD // CB, panjang AD = 6 cm, CB = 4 cm, dan BE = 6 cm. Tentukan panjang AE dengan terlebih dahulu membuktikan bahwa ΔAED dan ΔBEC sebangun. D B 6 cm E 4 cm 6 cm C A Penyelesaian : Perhatikan ΔAED dan ΔBEC. ∠DAE = ∠CBE (sudut dalam berseberangan), ∠AED = ∠CEB (sudut bertolak belakang), dan ∠EDA = ∠ECB (sudut dalam berseberangan). Karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka ΔAED dan ΔBEC sebangun. Jadi, dengan mengambil perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian yang mengandung AE diperoleh: AD = AE BC BE ⇔ 6 = AE 46 ⇔ 4AE = 6 × 6 ⇔ 4AE = 36 ⇔ AE = 36 4 ⇔ AE = 9 Jadi, panjang AE adalah 9 cm. Latihan 1.6 Tentukan pasangan-pasangan segitiga berikut sebangun atau tidak sebangun. 1. ΔABC dan ΔDEF a. C b. 3 cm F 1,5 cm B 5 cm E 10 cm 2 cm 1 cm 4 cm 7 cm A BD E A 8 cm C D 14 cm F 3 cm 1,5 cm 36 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

2. ΔABC dan ΔDEC b. A a. C D DE AB 3. ΔABC dan ΔDEF C E B a. F b. A D C 50° 50° 2,5 cm 3 cm 7 cm 4 cm 21 cm 12 cm A 60° B D 60° E CE F 2 cm 2,5 cm B 4. ΔABC dan ΔDBE b. C a. A C B D B A E E 5. ΔABC dan ΔEDC a. b. D C C 55° E E D D A B 55° A BB Kesebangunan 37 Di unduh dari : Bukupaket.com

6. Pada ΔABC dan ΔXYZ, diketahui besar ∠CAB = 50°, C 70° ∠BCA = 70°, ∠ZXY = 50°, dan ∠XYZ = 60°. Z a. Apakah ΔABC dan ΔXYZ sebangun? Jelaskan jawabanmu. b. Tuliskan pasangan sisi bersesuaian yang 50° B 50° 60° Y X sebanding. A 7. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga secara berturut-turut adalah 3 cm, 6 cm, dan 8 cm. Apakah segitiga tersebut sebangun dengan segitiga-segitiga yang mempunyai sisi-sisi sebagai berikut? a. 5 cm, 8 cm, 11 cm. b. 3 cm, 3 cm, 4 cm. 2 c. 1 cm, 2 cm, 8 cm. R 3 d. 12 cm, 24 cm, 32 cm. 8. Pada gambar di samping, besar ∠CAB = 30°, panjang AB = 4 cm, C 9 cm AC = 6 cm, besar ∠RPQ = 30°, 6 cm panjang PQ = 6 cm, dan PR = 9 cm. Apakah ΔABC dan ΔPQR sebangun? 30° 30° Jelaskan jawabanmu. A 4 cm BP 6 cm Q 9. Pada gambar berikut, panjang PT = 3 cm, TS = 5 cm, PR = 4,5 cm, dan PR // QS. S T Q 5 cm a. Buktikan bahwa ΔPTR dan ΔSTQ sebangun. b. Tentukan panjang QS. 3 cm R 4,5 cm P 10. Pada gambar berikut, KL // NM, panjang KM = 6 cm, LN = 9 cm, NM = 3 cm, dan KL = 6 cm. N 3 cm M a. Apakah ΔKLO dan ΔMNO sebangun? Jelaskan jawabanmu. b. Sebutkan pasangan sisi bersesuaian yang O sebanding. c. Tentukan panjang KO dan panjang NO. K 6 cm L 38 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

C. Memecahkan Masalah yang Melibatkan Konsep Kesebangunan Banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari Sumber: upload.wikimedia.org yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep kesebangunan. Misalnya, kamu ingin Gambar 1.12 mengetahui tinggi suatu benda, tetapi sulit untuk Tinggi menara dapat ditentukan dengan mengukur benda tersebut secara langsung. menggunakan konsep kesebangunan. Masalah tersebut identik dengan kasus ketika pada suatu waktu di siang hari, panjang bayangan anak yang tingginya 150 cm adalah 50 cm. Kemudian, pada waktu yang sama panjang bayangan menara adalah 10 m, berapakah tinggi menara tersebut? Kasus ini dapat kamu selesaikan dengan konsep kesebangunan pada bangun datar segitiga. Kamu akan mempelajarinya pada subbab ini. Dalam pemecahan masalah yang menggunakan konsep kesebangunan akan lebih mudah jika masalah tersebut kamu buat sketsa gambarnya sebagaimana contoh berikut. Contoh Soal 1.13 1. Pada suatu siang, seorang siswa yang tingginya 160 cm berdiri di samping menara. Jika pada saat yang sama panjang bayangan siswa tersebut adalah 2 m, sedangkan panjang bayangan menara adalah 8 m, berapakah tinggi menara? Penyelesaian : menara Sketsa masalah tersebut tergambar seperti di siswa samping. Tinggi siswa adalah 160 cm, panjang 160 cm bayangan siswa adalah 2 m (200 cm), dan panjang bayangan menara adalah 8 m 2m (800 cm). Coba kamu perhatikan bahwa sisi- 8m sisi yang bersesuaian pada sketsa gambar tersebut di antaranya adalah tinggi siswa bersesuaian dengan tinggi menara, panjang bayangan siswa bersesuaian dengan panjang bayangan menara sehingga perbandingan sisi- sisi yang bersesuaian di antaranya adalah Tinggi menara Panjang bayangan menara Tinggi siswa = Panjang bayangan siswa Misalnya, tinggi menara adalah t cm maka dengan menggunakan perbandingan dalam kesebangunan diperoleh: t = 800 160 200 ⇔ 200t = 160 × 800 Kesebangunan 39 Di unduh dari : Bukupaket.com

⇔ 200t = 128.00 ⇔ t = 128.000 200 ⇔ t = 640 Jadi, tinggi menara adalah 640 cm (6,4 m). 2. Ada suatu kolam yang airnya dingin sekali. Kolam tersebut berbentuk segitiga. Di dasar kolam, ditanami rangkaian tanaman air yang membentang. Ani ingin mengetahui panjang bentangan tanaman air di kolam, tetapi karena airnya dingin sekali dia tidak berani masuk kolam untuk mengukur panjang bentangan tanaman air tersebut. Sketsa gambar kolam dan tanaman air tersebut tampak seperti pada gambar berikut. Dapatkah kamu membantu Ani menentukan panjang bentangan tanaman air tersebut? C Penyelesaian : Sketsa kolam ABC tersebut tergambar E seperti di samping. Coba kamu 30 m perhatikan ΔABC dan ΔDBE. DE merupakan sketsa panjang bentangan D B tanaman air. Sisi-sisi yang bersesuaian A pada sketsa gambar tersebut adalah DE 20 m 40 m bersesuaian dengan AC, DB bersesuaian dengan AB, dan BE bersesuaian dengan BC sehingga perbandingan panjang sisi- sisi yang bersesuaian adalah DE , DB , dan BE . Oleh karena ΔABC dan ΔDBE sebangun maka berlaku AC AB BC DE = DB = BE AC AB BC Untuk menentukan panjang DE maka diambil persamaan perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian yang mengandung DE sebagai berikut. DB = DE AB AC ⇔ 40 = DE 40 + 20 30 ⇔ 40 = DE 60 30 ⇔ 60DE = 40 × 30 ⇔ 60DE = 1.200 ⇔ DE = 1.200 60 ⇔ DE = 20 Jadi, panjang bentangan tanaman air di dalam kolam tersebut adalah 20 m. 40 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

Latihan 1.7 1. Pada suatu siang, panjang bayangan seorang siswa yang tingginya 150 cm adalah 50 cm. Jika pada waktu yang sama panjang bayangan menara adalah 10 m, berapakah tinggi menara tersebut? 2. Sebatang pohon mempunyai bayangan sepanjang 1 m di atas tanah mendatar. Jika tiang yang tingginya 20 m mempunyai bayangan 10 m, hitunglah tinggi pohon tersebut. 3. Dua tiang bendera mempunyai bayangan yang panjangnya berturut-turut x m dan (x + 12) m. Jika panjang tiang yang pendek adalah 1 panjang tiang yang panjang, 3 hitunglah x. 4. Perbandingan dua sisi yang bersesuaian pada dua segitiga yang sebangun adalah 2 : 3. Jika panjang dua sisi yang bersesuaian mempunyai selisih 6 cm, hitunglah panjang kedua sisi tersebut. 5. Seorang laki-laki yang tingginya 175 cm berdiri pada jarak 12 m dari tiang telepon. Jika panjang bayangan laki-laki tersebut adalah 3 m, tentukan tinggi tiang telepon tersebut. Info Matematika Thales THALES adalah salah seorang matematikawan yang lahir di Miletus, Turki sekitar tahun 624 SM, dan wafat di tempat yang sama sekitar tahun 546 SM. Selain sebagai matematika- wan, Thales dikenal sebagai seorang filsuf dan ilmuwan. Andilnya sebagai matematikawan di antaranya adalah dalam bidang geometri. Thales memperkenalkan metode untuk mengukur jarak sebuah kapal di laut dari pantai dengan menggunakan konsep kesebangunan. Caranya adalah dengan membuat garis di pantai sebagaimana ilustrasi berikut. Sumber: www.phil.pku.edu.cn AB : Garis di pantai A’ : Tempat pengamat B’ C : Titik potong antara garis pengamatan dengan garis AB di pantai B’ : Tempat kapal yang diamati A C B Jarak sebuah kapal yang sedang berada di laut dari pantai (BB’) A’ dapat ditentukan cukup dengan mengukur jarak AC, BC, dan AA’ di pantai. Hal tersebut dilakukan dengan menggunakan Sumber: www.satimagingcorp.com perbandingan yang berlaku dalam konsep kesebangunan sebagai berikut. AA' AC = BB' BC Sumber: www.math.tamu.edu Kesebangunan 41 Di unduh dari : Bukupaket.com

Rangkuman 1. Dua bangun datar dikatakan kongruen jika kedua bangun datar tersebut mempunyai sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. 2. Jika pada dua segitiga ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang maka kedua segitiga tersebut kongruen. 3. Jika pada dua segitiga dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut apit kedua sisi tersebut sama besar maka kedua segitiga tersebut kongruen. 4. Jika dua segitiga mempunyai dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang merupakan persekutuan kedua sudut tersebut sama panjang maka kedua segitiga tersebut kongruen. 5. Jika dua segitiga satu sisinya yang bersesuaian sama panjang dan dua sudut yang bersesuaian, yaitu satu sudut terletak di sisi tersebut dan sudut yang lain terletak di depan sisi tersebut adalah sama besar maka kedua segitiga tersebut kongruen. 6. Jika dua segitiga satu sudutnya yang bersesuaian sama besar dan dua sisi yang bersesuaian, yaitu satu sisi tempat terletaknya sudut tersebut dan sisi yang lain terletak di depan sudut tersebut adalah sama panjang maka kedua segitiga tersebut kongruen. 7. Dua bangun datar dikatakan kongruen jika sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua bangun datar tersebut sama besar dan perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua bangun sama. 8. Jika sudut-sudut yang bersesuaian pada dua segitiga sama besar maka kedua segitiga tersebut sebangun. 9. Jika perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada dua segitiga sama maka kedua segitiga tersebut sebangun. 10. Jika dua segitiga mempunyai satu sudut yang sama besar serta perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian yang mengapit sudut tersebut sama maka kedua segitiga tersebut sebangun. 42 Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX Di unduh dari : Bukupaket.com

Soal Akhir Bab I11111111111111111111112222222222222222222222333333333333333333333344444444444444444444445555555555555555555555666666666666666666666677777777777777777777778888888888888888888888999999999999999999999900000000000000000000001111111111111111111111222222222222222222222233333333333333333333334444444444444444444444555555555555555555555566666666666666666666667777777777777777777777888888888888888888888899999999999999999999990000000000000000000000111111111111111111111122222222222222222222223333333333333333333333444444444444444444444455555555555555555555556666666666666666666666777777777777777777777788888888888888888888889999999999999999999999000000000000000000000011111111111111111111112222222222222222222222111111111111111111111122222222222222222222223333333333333333333333444444444444444444444455555555555555555555556666666666666666666666777777777777777777777788888888888888888888889999999999999999999999000000000000000000000011111111111111111111112222222222222222222222333333333333333333333344444444444444444444445555555555555555555555666666666666666666666677777777777777777777778888888888888888888888999999999999999999999900000000000000000000001111111111111111111111222222222222222222222233333333333333333333334444444444444444444444555555555555555555555566666666666666666666667777777777777777777777888888888888888888888899999999999999999999990000000000000000000000111111111111111111111122222222222222222222221111111111111111111111222222222222222222222233333333333333333333334444444444444444444444555555555555555555555566666666666666666666667777777777777777777777888888888888888888888899999999999999999999990000000000000000000000111111111111111111111122222222222222222222223333333333333333333333444444444444444444444455555555555555555555556666666666666666666666777777777777777777777788888888888888888888889999999999999999999999000000000000000000000011111111111111111111112222222222222222222222333333333333333333333344444444444444444444445555555555555555555555666666666666666666666677777777777777777777778888888888888888888888999999999999999999999900000000000000000000001111111111111111111111222222222222222222222211111111111111111111112222222222222222222222333333333333333333333344444444444444444444445555555555555555555555666666666666666666666677777777777777777777778888888888888888888888999999999999999999999900000000000000000000001111111111111111111111222222222222222222222233333333333333333333334444444444444444444444555555555555555555555566666666666666666666667777777777777777777777888888888888888888888899999999999999999999990000000000000000000000111111111111111111111122222222222222222222223333333333333333333333444444444444444444444455555555555555555555556666666666666666666666777777777777777777777788888888888888888888889999999999999999999999000000000000000000000011111111111111111111112222222222222222222222111111111111111111111122222222222222222222223333333333333333333333444444444444444444444455555555555555555555556666666666666666666666777777777777777777777788888888888888888888889999999999999999999999 A. Pilihlah jawaban yang tepat pada soal-soal berikut. 1. D C 4. Z H AB Im 6 cm 3 cm Pada gambar di atas, ΔABC dan ΔCDA kongruen. Syarat yang dipenuhi adalah .... 6 cm 95° a. sudut, sisi, sudut G b. sisi, sudut, sisi c. sisi, sisi, sisi 60° d. sudut, sudut, sudut 2. Perhatikan gambar berikut. X Y CB Pada gambar di atas, ΔGHI dan ΔXYZ 45° kongruen. Nilai m adalah .... E a. 60° b. 45° 45° c. 35° d. 25° AD 5. F Y X Diketahui, ∠CAE = ∠DBE. ΔAEC dan ΔBED 40° 70° kongruen karena memenuhi syarat .... a. sudut, sisi, sudut 70° 40° Z b. sisi, sudut, sisi D 8 cm E c. sisi, sisi, sisi d. sudut, sudut, sudut Pada gambar di atas, ΔDEF dan ΔXYZ kongruen. Panjang YZ adalah .... 3. M a. 8 cm b. 6 cm O c. 10 cm d. 12 cm 100° 6. Perhatikan gambar berikut. AB // CD. K Panjang AB adalah .... 100° a. 18 cm C 12 cm D N L b. 16 cm Pada gambar di atas, ΔKLO dan ΔKMN c. 14 cm 8 cm 8 cm kongruen karena memenuhi syarat .... a. sudut, sisi, sudut d. 12 cm E b. sisi, sudut, sisi c. sisi, sisi, sisi 12 cm 12 cm d. sudut, sudut, sudut AB Kesebangunan 43 Di unduh dari : Bukupaket.com