Pithanotites_Statistiki_unloc

42Παράδειγµα 8.2. Κατά ζεύγη αλλά όχι πλήρως ανεξάρτητα ενδεχόµενα. Αςθεωρήσουµε δύο διαδοχικές ρίψεις ενός συνήθους κύβου και έστω A1 το ενδεχόµενοεµφάνισης άρτιου αριθµού στην πρώτη ρίψη, A2 το ενδεχόµενο εµφάνισης άρτιουαριθµού στη δεύτερη ρίψη και A3 το ενδεχόµενο το άθροισµα των αριθµών πουεµφανίζονται

42στις δύο ρίψεις να είναι άρτιος αριθµός. Να εξετασθεί κατά πόσον τα ενδεχόµεναA1, A2 και A3 είναι ανεξάρτητα. Ο δειγµατικός χώρος Ω του τυχαίου πειράµατος των δύο ρίψεων του κύβουπεριλαµβάνει N (Ω) = 62 = 36 ισοπίθανα δειγµατικά σηµεία, που είναι οι διατάξειςτων 6 αριθµών (εδρών) {1, 2,..., 6} ανά 2 µε επανάληψη. Επίσης A1 = {(2,1), (2, 2), (2,3), (2, 4), (2,5), (2, 6), (4,1), (4, 2), (4,3), (4, 4), (4,5), (4, 6), (6,1), (6, 2), (6,3), (6, 4), (6,5), (6, 6)} , A2 = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6) , (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}, A3 = {(1,1), (1,3), (1,5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3,1), (3,3), (3,5) , (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5,1), (5, 3), (5,5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)} .και A1 A2 = A1 A3 = A2 A3 = A1 A2 A3 = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)} .Σύµφωνα µε τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας, P( A1 ) = P( A2 ) = P( A3 ) = 18 = 1 , 36 2 P( A1 A2 ) = P( A1 A3 ) = P( A2 A3 ) = 9 = 1 , 36 4 P( A1 A2 A3 ) = 9 = 1 36 4και έτσι P( A1 A2 ) = P( A1 )P( A2 ), P( A1 A3 ) = P( A1 )P( A3 ) , P( A2 A3 ) = P( A2 )P( A3 ) ,ενώ P( A1 A2 A3 ) ≠ P( A1 )P( A2 )P( A3 ) .Εποµένως τα ενδεχόµενα A1, A2 και A3 είναι κατά ζεύγη ανεξάρτητα ενώ δεν είναιπλήρως ανεξάρτητα.Παράδειγµα 8.3. Ας θεωρήσουµε µία ακολουθία τριών ρίψεων ενός συνήθουςνοµίσµατος. Έστω Aj το ενδεχόµενο της εµφάνισης στην j ρίψη της όψης κεφαλή

43(κορώνα), j = 1, 2,3 . Να εξετασθεί κατά πόσον τα ενδεχόµενα A1, A2 και A3 είναιανεξάρτητα. Ο δειγµατικός χώρος είναι το σύνολοΩ = {(γ ,γ ,γ ), (γ ,γ ,κ ), (γ ,κ ,γ ), (κ ,γ ,γ ), (γ ,κ ,κ ), (κ ,γ ,κ ), (κ ,κ ,γ ), (κ ,κ ,κ )}και A1 = {(κ ,γ ,γ ), (κ ,γ ,κ ), (κ ,κ ,γ ), (κ ,κ ,κ )} , A2 = {(γ ,κ ,γ ), (γ ,κ ,κ ), (κ ,κ ,γ ), (κ ,κ ,κ )} , A3 = {(γ ,γ ,κ ), (γ ,κ ,κ ), (κ ,γ ,κ ), (κ ,κ ,κ )} .Επίσης A1 A2 = {(κ ,κ ,γ ), (κ ,κ ,κ )}, A1 A3 = {(κ ,γ ,κ ), (κ ,κ ,κ )}, A2 A3 = {(γ ,κ ,κ ), (κ ,κ ,κ )}, A1 A2 A3 = {(κ ,κ ,κ )}.Σύµφωνα µε τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας, P( A1 ) = P( A2 ) = P( A3 ) = 4 = 1 , 8 2 P( A1 A2 ) = P( A1 A3 ) = P( A2 A3 ) = 2 = 1 , 8 4 P( A1 A2 A3 ) = 1 8και έτσι P( A1 A2 ) = P( A1 )P( A2 ), P( A1 A3 ) = P( A1 )P( A3 ) , P( A2 A3 ) = P( A2 )P( A3 ) , P( A1 A2 A3 ) = P( A1 )P( A2 )P( A3 ) .Εποµένως τα ενδεχόµενα A1, A2 και A3 είναι πλήρως ανεξάρτητα.9. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ∆ΟΚΙΜΕΣ Η έννοια των ανεξαρτήτων δοκιµών ενός τυχαίου πειράµατος αποτελεί βασικόστοιχείων των περισσοτέρων στοχαστικών προτύπων (µοντέλων) που µελετά ηΘεωρία των Πιθανοτήτων. Για την εισαγωγή της έννοιας αυτής ας θεωρήσουµεαρχικά δύο τυχαία πειράµατα µε δειγµατικούς χώρους Ω1 και Ω2 . Η διαδοχική (ή καιταυτόχρονη) εκτέλεση των δύο αυτών τυχαίων πειραµάτων ορίζει ένα (διδιάστατο)σύνθετο τυχαίο πείραµα. Ένας κατάλληλος δειγµατικός χώρος για τη µελέτη τουτυχαίου αυτού πειράµατος είναι το καρτεσιανό (ή συνδυαστικό) γινόµενο

44 Ω1 × Ω2 = {(ω1, ω2 ) : ω1 ∈ Ω1, ω2 ∈ Ω2} .Ένα διδιάστατο σύνθετο τυχαίο πείραµα το οποίο συνίσταται στη διαδοχική εκτέλεσηενός τυχαίου πειράµατος µε δειγµατικό χώρο Ω καλείται ειδικότερα ακολουθία δύοδοκιµών του τυχαίου αυτού πειράµατος. Στην ειδική αυτή περίπτωση, στην οποίαΩ1 = Ω και Ω2 = Ω , ο δειγµατικός χώρος είναι το καρτεσιανό γινόµενο του Ω µε τονεαυτό του, Ω 2 = {(ω1, ω2 ) : ωi ∈ Ω, i = 1, 2} . Ας θεωρήσουµε ένα ενδεχόµενο Ai ⊆ Ωi (ως προς το δειγµατικό χώρο Ωi ),i = 1, 2 . Το ενδεχόµενο αυτό ως προς το δειγµατικό χώρο Ω1 × Ω2 , του συνθέτουπειράµατος, εκφράζεται από το σύνολο Bi ⊆ Ω1 × Ω2 , i = 1, 2 , όπου B1 = A1 × Ω2και B2 = Ω1 × A2 . Τα ενδεχόµενα B1 και B2 αναφέρονται ως ενδεχόµενα εξαρτώµενααπό το πρώτο και δεύτερο τυχαίο πείραµα, αντίστοιχα. Ειδικότερα, στην περίπτωσηπου Ω1 = Ω και Ω2 = Ω τα ενδεχόµενα B1 και B2 αναφέρονται ως ενδεχόµεναεξαρτώµενα από την πρώτη και δεύτερη δοκιµή του τυχαίου πειράµατος, αντίστοιχα.Η πραγµατοποίηση ή µη του ενδεχοµένου Bi εξαρτάται αποκλειστικά από τοαποτέλεσµα του i-οστού πειράµατος (ή της i-οστής δοκιµής), i = 1, 2 . Η έννοια τηςστοχαστικής ανεξαρτησίας ενδεχοµένων µεταφέρεται και σε τυχαία πειράµατα καικατά συνέπεια και σε δοκιµές τυχαίου πειράµατος. Συγκεκριµένα έχουµε: ∆ύο τυχαία πειράµατα µε δειγµατικούς χώρους Ω1 και Ω2 καλούνται ανεξάρτητα ανκαι µόνο αν ισχύει η σχέση P(B1B2 ) = P(B1 )P(B2 ) (9.1)για κάθε B1 = A1 × Ω2 και B2 = Ω1 × A2 ενδεχόµενα (ως προς το δειγµατικό χώροΩ1 × Ω2 ) εξαρτώµενα από το πρώτο και δεύτερο τυχαίο πείραµα, αντίστοιχα. Η σηµασία των ανεξαρτήτων τυχαίων πειραµάτων και ειδικότερα τωνανεξαρτήτων δοκιµών τυχαίου πειράµατος, έγκειται κυρίως στο ότι δύνανται ναχρησιµοποιηθούν για την κατασκευή χρησίµων στοχαστικών προτύπων (µοντέλων).Στην περίπτωση αυτή δεν αρχίζει κάποιος ορίζοντας αξιωµατικά την πιθανότηταP(B) για κάθε ενδεχόµενο B ⊆ Ω1 × Ω2 και µετά εξετάζοντας κατά πόσονικανοποιείται η σχέση (9.1) διαπιστώνει την ανεξαρτησία των τυχαίων πειραµάτων (ήτων δοκιµών του τυχαίου πειράµατος). Αντίθετα µάλιστα, ορίζονται πρώτα οιπιθανότητες P( Ai ) για κάθε ενδεχόµενο Ai ⊆ Ωi i = 1, 2 και µετά υποθέτοντας ότιτα τυχαία πειράµατα είναι ανεξάρτητα ορίζεται η πιθανότητα P(B) για κάθεενδεχόµενο B ⊆ Ω1 × Ω2 έτσι ώστε να ισχύει η σχέση (9.1). Σηµειώνουµε ότι, από

45πρακτική άποψη, η υπόθεση της ανεξαρτησίας των τυχαίων πειραµάτωνδιατυπώνεται µετά την εξέταση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελούνται καισύµφωνα µε τα αποτελέσµατα σειράς παρατηρήσεων. Ας υποθέσουµε για απλότητα ότι οι δειγµατικοί χώροι Ω1 και Ω2 είναι διακριτοί.Ο ορισµός της πιθανότητας P(B) για κάθε ενδεχόµενο B ⊆ Ω1 × Ω2 µέσω τωνπιθανοτήτων P( Ai ) για κάθε ενδεχόµενο Ai ⊆ Ωi i = 1, 2 , στην περίπτωση πουυποθέτουµε ότι τα τυχαία πειράµατα είναι ανεξάρτητα, επιτυγχάνεται ως εξής:Αρχικά, χρησιµοποιώντας την (9.1), ορίζεται η πιθανότητα για κάθε στοιχειώδεςενδεχόµενο {(ω1, ω2 )} του δειγµατικού χώρου Ω1 × Ω2 : P({(ω1, ω2 )}) = P({ω1})P({ω2}) .Η πιθανότητα P(B) για κάθε ενδεχόµενο B ⊆ Ω1 × Ω2 , ορίζεται τότε, µέσω τηςπιθανότητας των στοιχειωδών ενδεχοµένων, από τη σχέση ∑P(B) = P({(ω1, ω2 )}) . (ω1 ,ω2 )∈BΠαρατηρούµε ότι αν B1 = A1 × Ω2 και B2 = Ω1 × A2 , τότε P(B1) = P( A1) , P(B2 ) = P( A2 ) .Επίσης P( A1 × A2 ) = P( A1)P( A2 )και έτσι P(B1B2 ) = P(B1)P(B2 ) . Οι ανωτέρω έννοιες και συµπεράσµατα επεκτείνονται, χωρίς καµµιά περαιτέρωδυσκολία, σε οποιοδήποτε πεπερασµένο αριθµό ν τυχαίων πειραµάτων (ή δοκιµώντυχαίου πειράµατος).Παράδειγµα 9.1. Ας θεωρήσουµε µια ακολουθία 5 ρίψεων ενός ζεύγουςδιακεκριµένων κύβων. Να υπολογισθεί η πιθανότητα όπως σε 2 τουλάχιστο ρίψεις οαριθµός που εµφανίζει ο δεύτερος κύβος υπερβαίνει τον αριθµό που εµφανίζει οπρώτος κύβος. Ας θεωρήσουµε, αρχικά, το τυχαίο πείραµα της ρίψης ενός ζεύγουςδιακεκριµένων κύβων µε δειγµατικό χώρο Ω = {(i, j) : i = 1, 2,...,6, j = 1, 2,...,6},

46ο οποίος περιλαµβάνει N (Ω) = 62 = 36 ισοπίθανα δειγµατικά σηµεία. Το ενδεχόµενοΑ όπως ο αριθµός που εµφανίζει ο δεύτερος κύβος υπερβαίνει τον αριθµό πουεµφανίζει ο πρώτος κύβος, A = {(i, j) : j = i + 1, i + 2,...,6, i = 1, 2,...,5},περιλαµβάνει N ( A) = 15 δειγµατικά σηµεία. Χαρακτηρίζοντας ως επιτυχία ε τοενδεχόµενο Α και ως αποτυχία α το συµπληρωµατικό ενδεχόµενο A′ , ο δειγµατικόςχώρος Ω δύναται να παρασταθεί ως Ω1 = {α, ε}. Τότε p = P({ε}) = 15 = 5 , q = P({α}) = 21 = 7 . 36 12 36 12Περαιτέρω, ο δειγµατικός χώρος του τυχαίου πειράµατος µιας ακολουθίας 5 ρίψεωνενός ζεύγους διακεκριµένων κύβων είναι το Ω5 = {(ω1,ω 2 ,ω3 ,ω4 ,ω5 ):ωi ∈{α,ε} , i = 1, 2,3, 4, 5} .To ενδεχόµενο Β πραγµατοποίησης κ επιτυχιών σε 5 ρίψεις (δοκιµές): B = {(ω1,ω 2 ,ω3 ,ω4 ,ω5 ):ωi = ε για κ ακριβώς δείκτες i ∈{1, 2,3, 4,5}}περιλαµβάνει ⎜⎝⎜⎛ 5 ⎠⎟⎞⎟ δειγµατικά σηµεία, όσα και ο αριθµός των επιλογών των κ θέσεων kγια τις επιτυχίες από τις 5 συνολικά θέσεις. Επιπλέον κάθε τέτοιο δειγµατικό σηµείο,το οποίο περιλαµβάνει σε κ θέσεις το ε και σε 5 − κ θέσεις το α, έχει πιθανότητα P({(ω1, ω2 , ω3 , ω4 , ω5 )}) = P({ω1})P({ω2})P({ω3})P({ω4})P({ω5}) = ⎛⎜ 5 ⎟⎞κ ⎜⎛ 7 ⎞⎟5−κ . ⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠Εποµένως η πιθανότητα pκ = P(B) δίδεται από την ⎛⎜⎝⎜ 5 ⎞⎟⎠⎟⎝⎛⎜ 5 ⎟⎞ κ ⎛⎜ 7 ⎟⎞ 5−κ κ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ pκ = , κ = 0,1,...,5 .Η πιθανότητα όπως σε 2 τουλάχιστο ρίψεις ο αριθµός που εµφανίζει ο δεύτεροςκύβος υπερβαίνει τον αριθµό που εµφανίζει ο πρώτος κύβος, έστω Q2 , η οποία είναιίση µε την πιθανότητα 2 τουλάχιστο επιτυχιών, είναι ίση µε ⎛⎜ 7 ⎟⎞ 5 5 ⎛⎜ 7 ⎟⎞ 4 ⎝ 12 ⎠ 12 ⎝ 12 ⎠ Q2 =1− p0 − p1 = 1 − − 5 = 1 − 0.0675 − 0.2412 = 0.6913 .Παράδειγµα 9.2. Nόµος κληρονοµικότητας του Mendel. Η κληρονοµικότηταχαρακτηριστικών οφείλεται σε ειδικούς φορείς καλουµένους γονίδια. Τα κύτταρα

47ενός οργανισµού, µε εξαίρεση τους γαµέτες που είναι τα κύτταρα αναπαραγωγής,φέρουν γονίδια κατά ζεύγη τα οποία είναι είτε του τύπου Α είτε του τύπου α. Έτσιανάλογα µε τα ζεύγη των γονιδίων που φέρουν τα κύτταρα κάθε οργανισµός ανήκεισε ένα από τους τρεις γονότυπους ΑΑ, Αα και αα (δεν υπάρχει διάκριση µεταξύ τωνΑα και αΑ). Οι γαµέτες φέρουν ένα µόνο γονίδιο που στην περίπτωση των γονοτύπωνΑΑ και αα είναι του τύπου Α και α, αντίστοιχα, ενώ στην περίπτωση του γονοτύπουΑα είναι εξίσου πιθανόν να είναι του τύπου Α ή του τύπου α. Τα παιδιά κληρονοµούναπό τους γονείς τους τα γονίδια ένα από τον καθένα. Έστω ότι οι γονότυποι ΑΑ, Αακαι αα εµφανίζονται σε ποσοστά p, 2q και r αντίστοιχα µε p + 2q + r = 1 ανεξάρτηταφύλου. Οι πιθανότητες των τριών γονοτύπων ΑΑ, Αα και αα για οποιονδήποτε απόγονογονέων που εκλέγονται τυχαία δύνανται να υπολογισθούν ως εξής: Ας θεωρήσουµετα ενδεχόµενα A1, A2 και A3 όπως ένα αρσενικό άτοµο το οποίο εκλέγεται τυχαίααπό τον αρχικό πληθυσµό είναι του γονοτύπου ΑΑ, Αα και αα, αντίστοιχα και ταενδεχόµενα B1, B2 και B3 όπως ένα θηλυκό άτοµο το οποίο εκλέγεται τυχαία από τοναρχικό πληθυσµό είναι του γονοτύπου ΑΑ, Αα και αα, αντίστοιχα. Επίσης αςθεωρήσουµε τα ενδεχόµενα Α και Β όπως ένας απόγονος ζευγαρώµατος δύο ατόµων(αρσενικού και θηλυκού) του αρχικού πληθυσµού κληρονοµήσει το γονίδιο Α απότον πατέρα και τη µητέρα, αντίστοιχα. Τότε, σύµφωνα µε το θεώρηµα της ολικήςπιθανότητας, P( A) = P( A1 )P( A | A1 ) + P( A2 )P( A | A2 ) = p ⋅1 + 2q 1 = p+q 2και P(A′) = 1 − P( A) = 1 − ( p + q) = q + rεφ’ όσον p + 2q + r = 1. Οµοίως P(B) = p + q , P(B′) = q + r . Ας θεωρήσουµε τώρα και τα ενδεχόµενα Γ1, Γ 2 και Γ3 όπως ένας απόγονοςζευγαρώµατος δύο ατόµων (αρσενικού και θηλυκού) του αρχικού πληθυσµού είναιτου γονοτύπου ΑΑ, Αα και αα, αντίστοιχα. Τότε Γ1 = AB , Γ 2 = AB′ ∪ A′B καιΓ3 = A′B′ . Τα ενδεχόµενα Α και Β είναι ανεξάρτητα, οπότε τόσο τα ενδεχόµενα Ακαι B′ όσο και τα ενδεχόµενα A′ και Β και τα ενδεχόµενα A′ και B′ είναιανεξάρτητα (βλ. Παρατήρηση 8.1). Εποµένως P(Γ1 ) = P( AB) = P( A)P(B) = ( p + q)2

48 P(Γ 2 ) = P( AB′ ∪ A′B) = P( AB′) + P( A′B) = P( A)P(B′) + P( A′)P(B) = 2( p + q)(q + r) , P(Γ3 ) = P( A′B′) = P( A′)P(B′) = (q + r)2 .ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ. 1 1. Η σειρά εξέτασης τεσσάρων µαθηµάτων α, β, γ και δ καθορίζεται µε κλήρωσηγια την αποφυγή διαµαρτυριών είτε από τους εξεταζόµενους είτε από τουςεπιτηρητές. Να ορισθεί κατάλληλος δειγµατικός χώρος για την περιγραφή τουτυχαίου αυτού πειράµατος. Έστω ότι Α είναι το ενδεχόµενο το µάθηµα α να εξετασθείπρώτο και Β το ενδεχόµενο το µάθηµα β να εξετασθεί δεύτερο. Να καταχωρηθούν ταδειγµατικά σηµεία των ενδεχοµένων A, B, A ∪ B και A ∩ B . 2. Κατά την τυχαία εκλογή µιας οικογένειας 4 παιδιών ενδιαφερόµαστε για ταενδεχόµενα: A όπως ο αριθµός των αγοριών ισούται µε τον αριθµό των κοριτσιών, Βόπως αγόρια και κορίτσια εναλλάσσονται (αναφορικά µε τη σειρά γέννησης) και Γόπως τρία παιδιά του ιδίου φύλου γεννούνται διαδοχικά. Ποιος είναι οκαταλληλότερος δειγµατικός χώρος Ω που µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε και ποιατα δειγµατικά σηµεία που ανήκουν σε κάθε ένα από τα ενδεχόµενα που µαςενδιαφέρουν. 3. Ας θεωρήσουµε το δειγµατικό χώρο Ω ενός στοχαστικού πειράµατος και έστωΑ,Β ⊆ Ω ενδεχόµενα µε 2P( A) = 3P(B) = 4P( AB) , P(B − A) = 1/ 2 .Να υπολογισθούν οι πιθανότητες P( A) , P(B) και P( AB) και στη συνέχεια οιπιθανότητες P( A − B) , P( A ∪ B) , P( A ∪ B′) , P( AB′ ∪ A′B) . 4. Αν P( A) = 3 / 4 , P(B) = 2 / 3 και P( AB) = 3 / 5 να υπολογισθούν οιπιθανότητες: P( A − B) , P( A ∪ B) και P( A′B′) . 5. Αν A′ είναι το συµπληρωµατικό ενός ενδεχοµένου Α και ισχύειP( A′) = 2P( A) + 1/ 5 να υπολογισθεί η πιθανότητα P( A) .6. Αν P( AB) = 2P( A) + P(B) , να αποδείξετε ότι P( A) = P(B) . 3

49 7. Αν P( A) = 1/ 2 , P(B) = 1/ 3 και P( A ∪ B) = 2 / 3 να εξετασθεί κατά πόσον ταενδεχόµενα Α και Β είναι ανεξάρτητα. Οµοίως αν P( A) = 1/ 2 , P(B) = 1/ 5 καιP( A′B′) = 3 / 5 .8. Αν Ρ( Α) = 3 / 4 και Ρ(Β) = 3 / 8 , δείξτε ότι:(α) Ρ( Α ∪ Β) ≥ 3 / 4 ,(β) 1 ≤ Ρ( ΑΒ) ≤ 3 . 8 8Να βρεθούν ανάλογες ανισότητες αν Ρ( Α) = 1/ 3 , Ρ(Β) = 1/ 4 .9. Αποδείξτε τους νόµους De Morgan: (α) ( A1 ∪L∪ Av )′ = A1′ L Av′ , και (β) ( A1 L Av )′ = A1′ ∪L∪ Av′ . 10. Αν τα ενδεχόµενα Α και Β είναι ανεξάρτητα, αποδείξτε ότι (α) τα Α και B′είναι ανεξάρτητα, (β) τα A′ και Β είναι ανεξάρτητα, και (γ) τα A′ και B′ είναιανεξάρτητα. 11. Να δειχθούν τα (i) και (ii) της Παρατήρησης 6.2 µε τη βοήθεια του Σχήµατος6.1. 12. Ρίχνουµε ν συµµετρικά ζάρια. Υπολογίστε την πιθανότητα όπως ηµεγαλύτερη ένδειξη (από τις ν) είναι η κ, για κ = 1, 2,3, 4,5, 6 . 13. Εκλέγουµε 10 τραπουλόχαρτα από µία τράπουλα. Ποια η πιθανότητα ναδιαλέξουµε ακριβώς κ κόκκινα, για κ = 0,1,...,10 ; 14. (Πρόβληµα de Méré). Τι είναι πιο πιθανό, να φέρουµε τουλάχιστον ένα έξισε 4 ρίψεις ενός ζαριού, ή τουλάχιστον µία φορά εξάρες σε 24 ρίψεις δύο ζαριών; 15. Έστω ότι ένας αριθµός τηλεφώνου εκλέγεται τυχαία από τον τηλεφωνικόκατάλογο. Να υπολογισθεί η πιθανότητα όπως και τα τέσσερα τελευταία ψηφία τουείναι διαφορετικά. 16. Aποβιβάσεις ανελκυστήρα. Έστω ότι ανελκυστήρας ν-όροφης οικοδοµήςξεκινά από το ισόγειο µε κ άτοµα. Να υπολογισθούν οι πιθανότητες αποβίβασης (α)και των κ ατόµων σε διαφορετικό όροφο, (β) r1, r2 ,..., rν ατόµων από τα κ στουςορόφους 1, 2,...,ν , αντίστοιχα, µε r1 + r2 +L+ rν = κ . 17. Ας θεωρήσουµε ένα τραπέζι το οποίο είναι χωρισµένο σε ισόπλευρα τρίγωναπλευράς α. Ένα νόµισµα διαµέτρου r µε r < α τοποθετείται τυχαία στο τραπέζι. Ναυπολογισθεί η πιθανότητα όπως το νόµισµα κείται στο εσωτερικό τριγώνου.

50 18. Έστω Ω = {ω1,ω2 ,...,ων } ο δειγµατικός χώρος ενός στοχαστικούπειράµατος. Αν P({ωi }) = 2P({ωi+1}) , i = 1, 2,...,ν −1, να υπολογισθούν οιπιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχοµένων P({ωi}) , i = 1, 2,...,ν . Επιπλέον ναυπολογισθεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου Α = {ω1,ω 2 ,...,ωκ }, κ ≤ ν . 19. Ας θεωρήσουµε το τυχαίο πείραµα 5 διαδοχικών ρίψεων δύο διακεκριµένωνκύβων. Να υπολογισθεί η πιθανότητα όπως κάθε ένα από τα ζεύγη (5, 6) , (6,5) και(6, 6) εµφανισθεί µία τουλάχιστο φορά. 20. Έστω ότι το ποσοστό των γυναικών µιας ορισµένης περιοχής που πάσχουναπό καρκίνο της µήτρας είναι 0.001. Το τεστ Παπανικολάου κάνει ορθή διάγνωσητης ασθένειας µε πιθανότητα 0.97. ∆εδοµένου ότι το τεστ για µια γυναίκα είναιθετικό ποια είναι η πιθανότητα να πάσχει πραγµατικά από καρκίνο; 21. Έστω ότι ένας γιατρός όταν, µετά από κλινική εξέταση και µία σειράαρχικών εργαστηριακών εξετάσεων, είναι τουλάχιστο κατά 80% βέβαιος ότι έναςασθενής του έχει µία συγκεκριµένη ασθένεια συνιστά χειρουργική επέµβαση, ενώ σεαντίθετη περίπτωση συστήνει πρόσθετες επώδυνες και πολυέξοδες εξετάσεις. Αςθεωρήσουµε έναν ασθενή για τον οποίο ο γιατρός, µετά από κλινική εξέταση, είναικατά 60% βέβαιος ότι έχει τη συγκεκριµένη ασθένεια και συνιστά µια σειρά αρχικώνεξετάσεων, η οποία κάνει ορθή διάγνωση της ασθένειας σε 99% των περιπτώσεων.Το αποτέλεσµα των εξετάσεων αυτών είναι θετικό και ο γιατρός είναι έτοιµος νασυστήσει χειρουργική επέµβαση όταν για πρώτη φορά ο ασθενής του αναφέρει ότιείναι διαβητικός. Η πληροφορία αυτή περιπλέκει τα πράγµατα γιατί η αρχική αυτήσειρά των εξετάσεων ενώ σε υγιείς κάνει λάθος διάγνωση σε 1% των περιπτώσεων,σε διαβητικούς κάνει λάθος διάγνωση σε 30% των περιπτώσεων. Συνεκτιµώντας τοαποτέλεσµα της σειράς των αρχικών εξετάσεων και το νέο δεδοµένο ότι ο ασθενήςείναι διαβητικός ποιά πρέπει να είναι η απόφαση του γιατρού; 22. Ας θεωρήσουµε το σύνολο των ασθενών που επισκέπτονται τα εξωτερικάιατρεία ενός νοσοκοµείου σε µία συγκεκριµένη µέρα εφηµερίας και τα ενδεχόµεναόπως ένας ασθενής που προσέρχεται για εξέταση Α: πάσχει από σοβαρή ασθένεια, Β:χρειασθεί εισαγωγή στο νοσοκοµείο και Γ: είναι κάτω των 50 ετών. Έστω ότιισχύουν τα εξής: P( A) = 0.30 , P(B) = 0.25 , P(Γ ) = 0.40 , P( AB) = 0.15 ,P( ΑΓ ) = 0.20 , P(ΒΓ ) = 0.10 και P( ΑΒΓ ) = 0.05 . Να υπολογισθούν οι πιθανότητεςP(A′B′) , P(A ∪ B ∪ Γ ) , P(A − Γ ) και P(AB′ ∪ Γ ′) . 23. Ας θεωρήσουµε ένα σύνολο κ ατόµων {α1,α 2 ,...,ακ −1,ακ } των οποίωνκαταγράφουµε τα γενέθλια. Να υπολογισθεί η πιθανότητα όπως το συγκεκριµένο

51άτοµο ακ έχει γενέθλια την ίδια µέρα µε ένα τουλάχιστο από τα υπόλοιπα κ −1άτοµα {α1,α 2 ,...,ακ −1} . 24. Οι εταιρείες ασφάλισης αυτοκινήτων κατατάσσουν τους οδηγούς σε 10κατηγορίες ανάλογα µε την πιθανότητα που έχουν να προκαλέσουν δυστύχηµα. Έστωότι η πιθανότητα όπως ένας οδηγός της κατηγορίας κ έχει σε ένα δωδεκάµηνο ένατουλάχιστο δυστύχηµα είναι κ /100 , κ = 1, 2,...,10 . Ας θεωρήσουµε µία ασφαλιστικήεταιρεία στην οποία τα κ / 55 των οδηγών που ασφαλίζει ανήκουν στην κ κατηγορίακ = 1, 2,...,10 . Αν ένας οδηγός ασφαλισµένος στην εταιρεία αυτή αναφέρει ένατουλάχιστο δυστύχηµα σε ένα δωδεκάµηνο ποια είναι η πιθανότητα να ανήκει στην κκατηγορία, κ = 1, 2,...,10 ; 25. Έστω ότι σε µία συγκεκριµένη διαδροµή η πιθανότητα όπως οποιοδήποτεφανάρι της τροχαίας να είναι του ιδίου χρώµατος µε το προηγούµενο είναι 4/5. Αν τοπρώτο φανάρι είναι πράσινο µε πιθανότητα 3/5 και κόκκινο µε πιθανότητα 2/5 ναυπολογισθεί η πιθανότητα το τρίτο φανάρι να είναι πράσινο. 26. Στο τυχαίο πείραµα της ρίψης ενός νοµίσµατος δύο φορές ας θεωρήσουµε ταενδεχόµενα όπως εµφανισθεί Α: η ένδειξη κεφαλή µια τουλάχιστο φορά, Β: στηνπρώτη ρίψη η ένδειξη γράµµατα και Γ: σε κάθε ρίψη διαφορετική ένδειξη.Υπολογίζοντας τις σχετικές πιθανότητες, δείξετε ότι P(B | A) < P(B) , P(Γ | A) > P(Γ ) , P(Γ | Β) = P(Γ ) . 27. Έστω ότι ένα νόµισµα ρίχνεται διαδοχικά κ φορές. Ας θεωρήσουµε τοενδεχόµενο Α εµφάνισης και των δύο όψεων του νοµίσµατος και το ενδεχόµενο Βεµφάνισης µια το πολύ φορά της όψης κεφαλή. Να εξετασθεί κατά πόσον ταενδεχόµενα Α και Β είναι ανεξάρτητα. 28. Έστω ότι το ποσοστό των ατόµων µιας ορισµένης περιοχής που πάσχουν απόµία σοβαρή ασθένεια είναι 0.01. Ένα άτοµο υποβάλλεται σε δύο ανεξάρτητα µεταξύτους τέστ καθένα από τα οποία κάνει ορθή διάγνωση µε πιθανότητα 0.95. Ναυπολογισθούν οι δεσµευµένες πιθανότητες να πάσχει το άτοµο (α) δεδοµένου ότι ένατουλάχιστο τέστ είναι θετικό και (β) δεδοµένου ότι και τα δύο τεστ είναι θετικά. 29. Έστω ότι ένα µόριο δύναται να χωρισθεί σε 0 ή 1 ή 2 µόρια µε πιθανότητες1/4, 1/2 και 1/4, αντίστοιχα. Ας θεωρήσουµε τα σύνολα των µορίων της πρώτης καιτης δεύτερης γενιάς προερχόµενα από το αρχικό µόριο, του προγεννήτορα. Αν Aκείναι το ενδεχόµενο όπως ο αριθµός των µορίων της πρώτης γενιάς είναι κ, κ = 0,1, 2και Br είναι το ενδεχόµενο όπως ο αριθµός των µορίων της δεύτερης γενιάς είναι r,r = 0,1,..., 6 , να υπολογισθούν οι πιθανότητες P(B0 ) , P(B1) και P( A2 | B1) .

52 30. Τα ποσοστά των φοιτητών που πέρασαν τα µαθήµατα Α, Β, Γ είναι 50%, 40%και 40%, αντίστοιχα. Και στα δύο µαθήµατα Α, Β επέτυχε το 35% των φοιτητών. ΣταΑ και Γ πέτυχε το 25% ενώ στα Β και Γ το 20%. Τέλος, 15% των φοιτητών πέτυχεκαι στα τρία µαθήµατα. Ποιο είναι το ποσοστό των φοιτητών που δεν πέτυχε σεκανένα µάθηµα; 31. Η κάλπη A1 περιέχει λ1 λευκά και µ1 µαύρα σφαιρίδια, ενώ η Α2 περιέχει λ2λευκά και µ2 µαύρα. Εξάγουµε ένα σφαιρίδιο (στην τύχη) από την Α1 και τοτοποθετούµε (χωρίς να το δούµε) στην Α2 . Στην συνέχεια εξάγουµε ένα από την Α2και το τοποθετούµε στην A1 . Τέλος, εξάγουµε ένα σφαιρίδιο από την A1 .(α) Ποια η πιθανότητα να είναι λευκό το τελευταίο σφαιρίδιο;(β) Αν το τελευταίο σφαιρίδιο είναι λευκό, ποιά η πιθανότητα τα δύο πρώτα σφαιρίδια να ήταν µαύρα; 32. Από µία (καλά ανακατεµένη) τράπουλα διαλέγουµε στην τύχη διαδοχικά καιχωρίς επανατοποθέτηση τρία τραπουλόχαρτα.(α) Ποια είναι η πιθανότητα το τρίτο χαρτί να είναι άσσος;(β) Αν δούµε ότι το τρίτο τραπουλόχαρτο ήταν άσσος, ποιά η πιθανότητα τα δύο πρώτα τραπουλόχαρτα να είναι άσσοι; (εννοείται χωρίς να τα δούµε!) 33. Αποδείξτε ότι αν από µία τράπουλα εκλέξουµε διαδοχικά και χωρίςεπανατοποθέτηση ν χαρτιά (1 ≤ v ≤ 52) , τότε η πιθανότητα όπως το κ κατά σειράχαρτί είναι άσσος είναι 4/52, για κ = 1, 2,..., v . 34. Κάποιος έχει ν κλειδιά εκ των οποίων µόνο το 1 ανοίγει την πόρτα. Επειδήδεν θυµάται ποιο είναι το σωστό κλειδί, αρχίζει και δοκιµάζει ένα-ένα τα κλειδιάµέχρι να βρει αυτό που ταιριάζει (εννοείται ότι δεν ξαναπροσπαθεί µε τα κλειδιά πουήδη δοκίµασε). ∆είξτε ότι η πιθανότητα να ανοίξει την πόρτα στην κ δοκιµή είναι 1/νγια κ = 1,..., v . 35. Στην προηγούµενη άσκηση, υποθέτοντας ότι s κλειδιά ταιριάζουν (από τα ν),ποια η πιθανότητα να ανοίξει στην κ δοκιµή για 1 ≤ κ ≤ ν − s + 1; 36. (α) Να βρείτε την πιθανότητα όπως σε ν ρίψεις ενός συµµετρικού νοµίσµατοςφέρουµε τουλάχιστον µία φορά κεφάλι. (β) Υποθέτουµε ότι κάθε παιδί που γεννιέταισε µία οικογένεια έχει την ίδια πιθανότητα να είναι αγόρι ή κορίτσι. Πόσα παιδιάπρέπει να έχει µία οικογένεια, έτσι ώστε να υπάρχει κορίτσι µε πιθανότητατουλάχιστον 95%; Πόσα παιδιά πρέπει να κάνει έτσι ώστε να αποκτήσει παιδιά καιτων δύο φύλων µε πιθανότητα τουλάχιστον 95%;

53 37. Στον πληθυσµό των οικογενειών µε ν παιδιά, έστω Α το ενδεχόµενο ναυπάρχουν παιδιά και των δύο φύλων και Β το ενδεχόµενο να υπάρχει το πολύ ένακορίτσι. ∆είξτε ότι αν τα Α και Β είναι ανεξάρτητα, τότε η οικογένεια έχει τρίαπαιδιά. 38. (Ανισότητα Bonferroni). ∆είξτε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόµενα A1,..., Av , P( A1 ... Av ) ≥ P( A1) +L+ P( Av ) − v + 1. 39. Στην Λευκωσία το 75% των κατοίκων είναι Ελληνοκύπριοι και οι υπόλοιποιΤουρκοκύπριοι. Από τους Ελληνοκύπριους το 20% γνωρίζει Αγγλικά, ενώ τοαντίστοιχο ποσοστό για τους Τουρκοκύπριους είναι 10%. Αν συναντήσουµε κάποιονστο δρόµο και µιλάει Αγγλικά, ποια είναι η πιθανότητα να είναι Ελληνοκύπριος; Τιποσοστό των κατοίκων της Λευκωσίας µιλάει Αγγλικά; 40. ∆ύο συρτάρια περιέχουν χρυσά και αργυρά νοµίσµατα. Το πρώτο συρτάριπεριέχει 2 χρυσά και 1 αργυρό, ενώ το δεύτερο συρτάρι περιέχει 1 χρυσό και 2αργυρά νοµίσµατα. Κλέφτης, χωρίς να βλέπει (στα σκοτεινά!), ανοίγει ένα συρτάρι(στην τύχη) και παίρνει ένα νόµισµα (στην τύχη).(α) Ποια η πιθανότητα το νόµισµα να είναι χρυσό;(β) Αν το νόµισµα που λείπει είναι χρυσό, ποια η πιθανότητα ο κλέφτης να άνοιξε το πρώτο συρτάρι; 41. Ας θεωρήσουµε έναν αρχικό πληθυσµό στον οποίο οι γονότυποι ΑΑ, Αα καιαα εµφανίζονται σε ποσοστά p, 2q και r αντίστοιχα µε p + 2q + r = 1 ανεξάρτηταφύλου. Έστω ότι καθένας από τους γονείς (πατέρας και µητέρα) κληρονοµεί,σύµφωνα µε το νόµο κληρονοµικότητας του Mendel, σε κάθε παιδί του ένα από ταγονίδια Α και α. Να υπολογισθεί η δεσµευµένη πιθανότητα ο πατέρας να είναι τουτύπου Αα δεδοµένου ότι το παιδί είναι του τύπου ΑΑ. 42. Έστω ότι 7% των ανδρών και 2% των γυναικών πάσχουν από αχρωµατοψία.Αν το 48% του πληθυσµού αυτού είναι άνδρες και το 52% είναι γυναίκες ναυπολογισθεί η πιθανότητα όπως ένα άτοµο που εκλέγεται τυχαία από τον πληθυσµόαυτό να έχει αχρωµατοψία. 43. Έστω ότι το 50% των γυναικών έχουν το γονίδιο της αιµοφιλίας. Αν µίαγυναίκα έχει το γονίδιο η πιθανότητα να το κληρονοµήσει στο παιδί της είναι 1/2. Ναδειχθεί ότι η πιθανότητα µια γυναίκα να έχει το γονίδιο της αιµοφιλίας δεδοµένου ότιαπέκτησε υγιή γιό ελαττώνεται κατά 1/3. 44. Μία αιµατολογική εξέταση ανιχνεύει σωστά την έλλειψη σιδήρου στο 95%των περιπτώσεων, δηλαδή ανιχνεύει (ορθά) έλλειψη σιδήρου στο 95% των ατόµων

54που πράγµατι έχουν έλλειψη, καθώς και ανιχνεύει (εσφαλµένα) έλλειψη στο 5% τωνατόµων που έχουν επάρκεια σιδήρου.α) Αν το ποσοστό των ατόµων του πληθυσµού που έχουν έλλειψη σιδήρου είναι 10%, ποια είναι η πιθανότητα ένα άτοµο στο οποίο έγινε διάγνωση έλλειψης σιδήρου να έχει πράγµατι έλλειψη;β) Ας υποθέσουµε ότι δεν γνωρίζουµε το ποσοστό ατόµων του πληθυσµού που έχουν έλλειψη σιδήρου, αλλά διαθέτουµε µία δεύτερη (δαπανηρή) εξέταση που κάνει πάντα σωστή διάγνωση. Εφαρµόζοντας τη δεύτερη αυτή εξέταση σε όλα τα άτοµα για τα οποία η πρώτη εξέταση ήταν θετική, διαπιστώθηκε ότι τα µισά από αυτά τα άτοµα είχαν πράγµατι έλλειψη σιδήρου. Τι ποσοστό του πληθυσµού έχει έλλειψη σιδήρου; 45. Θεωρούµε ότι τα άτοµα µε ξανθά µαλλιά έχουν γονότυπο ΚΚ, τα άτοµα µεκαστανά µαλλιά έχουν γονότυπο ΚΓ και τα µελαχρινά άτοµα έχουν γονότυπο ΓΓ (δενγίνεται διάκριση µεταξύ των γονοτύπων ΚΓ και ΓΚ). Ας υποθέσουµε ότι οι γονότυποιΚΚ, ΚΓ και ΓΓ είναι µοιρασµένοι στον πληθυσµό σε ποσοστά 10%, 40% και 50%,αντίστοιχα. Κατά τη διασταύρωση δύο ατόµων, το τέκνο τους κληρονοµεί τον έναγονότυπο από τον πατέρα και τον άλλο από τη µητέρα. Φυσικά, ένα άτοµο τηςµορφής ΚΚ δεν µπορεί να δώσει γονότυπο Γ στο παιδί του, όπως και ένα άτοµο τηςµορφής ΓΓ δεν µπορεί να δώσει Κ. Τέλος, τα καστανά άτοµα µπορούν να δώσουν Κ ήΓ µε πιθανότητα 1/2. Ας υποθέσουµε ότι διασταυρώνουµε δύο άτοµα στην τύχη.(α) Ποια η πιθανότητα το τέκνο να είναι ξανθό, και ποια µελαχρινό;(β) ∆εδοµένου ότι το τέκνο είναι ξανθό, ποια είναι η πιθανότητα ο πατέρας να είναι καστανός και η µητέρα καστανή; 46. (α) ∆είξτε ότι το ενδεχόµενο ∅ είναι στοχαστικά ανεξάρτητο µε κάθεενδεχόµενο (και µε τον εαυτό του).(β) Το ίδιο ισχύει για το Ω.(γ) Αν ένα ενδεχόµενο Α είναι στοχαστικά ανεξάρτητο µε κάθε ενδεχόµενο τότε P(A) = 0 ή P(A) = 1. 47. Από ν ανδρόγυνα ( 2v άτοµα) επιλέγουµε µία επιτροπή κ ατόµων στην τύχη.Ποια η πιθανότητα να µην υπάρχουν σύζυγοι στην επιτροπή; Ποια η πιθανότητα ναυπάρχουν ακριβώς r ζευγάρια στην επιτροπή (κ − 2r ≤ v − r) ; 48. Από τους αριθµούς 1, 2,..., v διαλέγουµε έναν αριθµό x στην τύχη. Μετά,διαλέγουµε τυχαία έναν αριθµό y τους αριθµούς 1,..., x . Ποια η πιθανότητα ο y ναείναι 1; Αν ο y είναι 1, ποια η πιθανότητα ο x να είναι 1; 49. Αν τα ενδεχόµενα Α, Β και Γ είναι ανεξάρτητα, τότε και τα επόµενα ζεύγηενδεχοµένων είναι ανεξάρτητα:

55(α) Α και BΓ .(β) Α και B ∪ Γ .(γ) Α και B − Γ . 50. Ρίχνουµε δύο δίκαια νοµίσµατα και θέτουµε A = { το πρώτο νόµισµα έφερεκ}, B = {το δεύτερο νόµισµα έφερε κ}, και Γ = { τα νοµίσµατα έφεραν την ίδιαένδειξη}. ∆είξτε ότι τα A, B, Γ είναι ανά ζεύγη ανεξάρτητα (δηλαδή, τα Α, Β είναιανεξάρτητα, τα A, Γ είναι ανεξάρτητα και τα B, Γ είναι ανεξάρτητα), αλλά τα Α, B, Γδεν είναι ανεξάρτητα. 51. Η επίπτωση µιας νόσου σ’ ένα πληθυσµό είναι 5%. Το 80% από τουςασθενείς της νόσου αυτής έχουν ένα ορισµένο σύµπτωµα, ενώ 10% από τα άτοµα πουδεν έχουν την νόσο έχουν το ίδιο σύµπτωµα. Αν ένα άτοµο από τον πληθυσµό αυτόέχει το σύµπτωµα, ποια είναι η πιθανότητα να έχει τη νόσο; 52. Έστω ότι τα ενδεχόµενα Α1, A2 και A3 είναι ανεξάρτητα. ∆είξετε ότι ταενδεχόµενα (α) A1 και A2 ∪ A3 , (β) A2 και A1 ∪ A3 και (γ) A3 και A1 ∪ A2 είναιανεξάρτητα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ1. ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Τα δειγµατικά σηµεία (στοιχειώδη ενδεχόµενα) ενός δειγµατικού χώρουστοχαστικού (τυχαίου) πειράµατος (ή φαινοµένου) δύνανται να είναι αριθµοί, όπωςγια παράδειγµα στην περίπτωση που εκφράζουν ποσοτικό χαρακτηριστικό τουστοχαστικού πειράµατος, ή συµβολικές εκφράσεις µε γράµµατα του αλφαβήτου,όπως για παράδειγµα στην περίπτωση που περιγράφουν ποιοτικό χαρακτηριστικό τουστοχαστικού πειράµατος. Οι περιπτώσεις αυτές αντιµετωπίζονται ενιαία µε τηναντιστοίχηση σε κάθε δειγµατικό σηµείο ενός πραγµατικού αριθµού. Επιπλέον, σεένα στοχαστικό (τυχαίο) πείραµα (ή φαινόµενο) το ενδιαφέρον και από πρακτικήάποψη εστιάζεται στην πραγµατοποίηση ή µη αριθµητικών µεγεθών τα οποίααντιστοιχούν σε δειγµατικά σηµεία. Σχετικά θέτουµε τον ακόλουθο ορισµό.Ορισµός 1.1. Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός στοχαστικού (τυχαίου) πειράµατος.Μια πραγµατική συνάρτηση Χ που ορίζεται στο δειγµατικό χώρο Ω καλείται τυχαίαµεταβλητή (τ.µ.). Η συνάρτηση αυτή αντιστοιχεί σε κάθε δειγµατικό σηµείο ω ∈ Ω ένανπραγµατικό αριθµό x = X (ω) . Σηµειώνουµε ότι οι τυχαίες µεταβλητές συµβολίζονται µε τα κεφαλαία γράµµαταχωρίς δείκτες X ,Y , Z,W ή µε δείκτες X1, X 2 ,..., X κ και οι τιµές τους µε τααντίστοιχα µικρά γράµµατα x, y, z, w ή x1, x2 ,..., xκ . Το σύνολο RX ⊆ R των τιµών της τυχαίας µεταβλητής Χ αποτελεί το νέοδειγµατικό χώρο του στοχαστικού (τυχαίου) πειράµατος (ή φαινοµένου). Τοδιάστηµα (−∞, x] είναι βασικό ενδεχόµενο στο νέο αυτόν δειγµατικό χώρο.Οποιοδήποτε άλλο ενδεχόµενο B ⊆ RX δύναται να εκφρασθεί (ή να προσεγγιστεί)συναρτήσει τέτοιων διαστηµάτων. Είναι εποµένως χρήσιµη η εισαγωγή τηςακόλουθης συνάρτησης.Ορισµός 1.2. Η συνάρτηση F η οποία ορίζεται από τη σχέση F (x) = P( X ≤ x) = P({ω ∈ Ω: X (ω) ≤ x}) , − ∞ < x < ∞

58καλείται συνάρτηση κατανοµής (σ.κ.) ή αθροιστική συνάρτηση κατανοµής (α.σ.κ.) τηςτ.µ. Χ. Στις περιπτώσεις που υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης η συνάρτηση κατανοµής της τ.µ.Χ συµβολίζεται µε FX και η τιµή της στο x µε FX (x) . Σηµειώνουµε ότι η συνάρτησηκατανοµής, ως πιθανότητα, λαµβάνει τιµές στο διάστηµα [0,1] : 0 ≤ F(x) ≤ 1, − ∞ < x < ∞ .Επίσης είναι αύξουσα συνάρτηση, F (x1) ≤ F (x2 ) , − ∞ < x1 ≤ x2 < ∞ ,επειδή {ω ∈ Ω: X (ω) ≤ x1} ⊆ {ω ∈ Ω: X (ω) ≤ x2} και ισχύει F (−∞) ≡ lim F (x) = 0 , F (+∞) ≡ lim F (x) = 1, x→−∞ x→+∞επειδή lim {ω ∈ Ω: X (ω) ≤ x} = ∅ , lim {ω ∈ Ω: X (ω) ≤ x} = Ω . Τέλος x→−∞ x→+∞σηµειώνουµε ότι οποιαδήποτε συνάρτηση κατανοµής είναι δεξιά συνεχής. Η πιθανότητα όπως µια τυχαία µεταβλητή βρίσκεται σε συγκεκριµένο διάστηµατων πραγµατικών αριθµών δύναται να εκφρασθεί συναρτήσει της συνάρτησηςκατανοµής της. Σχετικά αποδεικνύουµε το ακόλουθο θεώρηµα.Θεώρηµα 1.1. Έστω F η συνάρτηση κατανοµής µιας τυχαίας µεταβλητής Χ. Τότε P(α < X ≤ β) = F (β) − F (α) (2.2)για κάθε πραγµατικούς αριθµούς α και β µε α < β .Απόδειξη. Το ενδεχόµενο {ω ∈ Ω:α < X ≤ β} δύναται να εκφρασθεί ως διαφορά δύοενδεχοµένων ως εξής: {ω ∈ Ω:α < X ≤ β} = {ω ∈ Ω: X (ω) ≤ β} − {ω ∈ Ω: X (ω) ≤ α}µε {ω ∈ Ω: X (ω) ≤ α} ⊆ {ω ∈ Ω: X (ω) ≤ β} , εφ’ όσον α < β . Εποµένως,χρησιµοποιώντας την (6.5) του Κεφ. 1, συνάγουµε, σύµφωνα µε τη (2.1), τη σχέση(2.2).Παράδειγµα 1.1. Ας θεωρήσουµε δύο διαδοχικές ρίψεις ενός συνήθους νοµίσµατος.Ένας κατάλληλος δειγµατικός χώρος για τη µελέτη του τυχαίου αυτού πειράµατοςείναι το σύνολο Ω = {(γ ,γ ),(γ ,κ ), (κ ,γ ),(κ ,κ )} ,όπου σηµειώνεται µε κ η όψη κεφαλή (ή κορώνα) και µε γ η όψη γράµµατα. Ησυνάρτηση

59 ⎧0, ω = (κ, κ) X(ω) = ⎨⎪1, ω ∈{(γ, κ), (κ, γ)} ⎪⎩2, ω = (γ, γ)η οποία ορίζεται στο δειγµατικό χώρο Ω και παίρνει τιµές στο σύνολο RX = {0,1, 2}είναι τυχαία µεταβλητή και εκφράζει τον αριθµό εµφανίσεων της όψης γράµµατα. Ησυνάρτηση κατανοµής F της τ.µ. Χ υπολογίζεται ως εξής: Παρατηρούµε ότι ⎧∅ , − ∞ < x < 0 ⎪⎪{0} ,{ω ∈ Ω : X (ω) ≤ x} = ⎨⎪{0,1}, 0≤ x<1 1≤ x < 2 ⎩⎪Ω , 2 ≤ x < ∞και σύµφωνα µε τον ορισµό 1.2, ⎧0 , − ∞ < x < 0 ⎪⎪1/ 4,F ( x) = P( X ≤ x) = ⎪⎨3 / 4, 0 ≤ x < 1 . 1 ≤ x < 2 ⎩⎪ 1 , 2 ≤ x < ∞ Η γραφική παράσταση της F (x) δίδεται στο Σχήµα 1.1. Παρατηρούµε ότι αυτήείναι σκαλωτή συνάρτηση µε άλµατα στα σηµεία x = 0,1, 2 µεγέθους 1/4, 1/2, 1/4αντίστοιχα. F(x) 1 3/4 1/2 1/4 0 1 2 3xΣχήµα 1.1. Η συνάρτηση κατανοµής F (x) .Παράδειγµα 1.2. Ας θεωρήσουµε το τυχαίο πείραµα της ρίψης ενός συνήθους κύβου.Καταγράφοντας την ένδειξη της επάνω έδρας του κύβου ο δειγµατικός χώρος τουτυχαίου αυτού πειράµατος είναι το σύνολο Ω = {1, 2,3, 4,5, 6}.Έστω Χ το αποτέλεσµα της ρίψης (η ένδειξη της επάνω έδρας) του κύβου.

60 Η ταυτοτική αυτή συνάρτηση X (ω) = ω , ω ∈ Ω , είναι µια τυχαία µεταβλητή. Ησυνάρτηση κατανοµής F της Χ υπολογίζεται ως εξής: Παρατηρούµε ότι ⎧∅, − ∞ < x < 1 ⎪⎪{1}, 1 ≤ x < 2 ⎪{1, 2}, 2≤ x<3 {ω ∈ Ω: X (ω) ≤ x} = ⎨⎪{1, 2,3}, 3≤ x<4 ⎪⎪{1, 2,3, 4}, 4≤ x<5 ⎪{1, 2,3, 4,5}, 5≤ x<6 ⎪⎩Ω, 6 ≤ x < ∞και σύµφωνα µε τον ορισµό 1.2, ⎧0, − ∞ < x < 1 ⎪⎪1/ 6, 1 ≤ x < 2 ⎪2 / 6, 2 ≤ x < 3 F (x) = P( X ≤ x) = ⎨⎪3 / 6, 3 ≤ x < 4 . ⎪⎪4 / 6, 4 ≤ x < 5 ⎪5 / 6, 5 ≤ x < 6 ⎪⎩1, 6 ≤ x < ∞Η γραφική παράσταση της F (x) δίδεται στο Σχήµα 1.2. Παρατηρούµε ότι αυτή είναισκαλωτή συνάρτηση µε άλµατα στα σηµεία x = 1, 2,3, 4,5, 6 µεγέθους 1/6 το καθ’ένα. F(x) x 1 5/6 4/6 3/6 2/6 1/6 0 123456 Σχήµα 1.2. Η συνάρτηση κατανοµής F (x)

61Παράδειγµα 1.3. Ας θεωρήσουµε µία τυχαία µεταβλητή Χ µε τιµές x στο διάστηµα[0,1] και ας υποθέσουµε ότι η συνολική πιθανότητα P(0 ≤ X ≤ 1) = 1 κατανέµεταιοµοιόµορφα στο διάστηµα [0,1] (κατά το ανάλογο της οµοιόµορφης κατανοµής τηςµάζας µιας ράβδου µε άκρα τα σηµεία 0 και 1). Στην περίπτωση αυτή η πιθανότητα ηΧ να βρίσκεται στο διάστηµα (x1, x2 ] µε 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ 1 είναι ανάλογη του µήκουςx2 − x1, δηλαδή P(x1 < X ≤ x2 ) = c(x2 − x1 ) ,όπου η c είναι η σταθερά αναλογίας. Επιπλέον έχουµε P(−∞ < X < 0) = 0 , P(1 < X < ∞) = 0 .Εποµένως θέτοντας x1 = 0 , x2 = 1 λαµβάνουµε P(0 < X ≤ 1) = cκαι επειδή P(0 < X ≤ 1) = 1 συµπεραίνουµε ότι c = 1. Η συνάρτηση κατανοµής F τηςΧ είναι τότε η ⎧0, − ∞ < x < 0 F (x) = P( X ≤ x) = ⎨⎪x, 0 ≤ x < 1 ⎩⎪1, 1 ≤ x < ∞.Η γραφική παράσταση της F (x) δίδεται στο Σχήµα 1.3. Παρατηρούµε ότι αυτή είναισυνεχής συνάρτηση. F(x) 1 01x Σχήµα 1.3. Η συνάρτηση κατανοµής F (x)2. ∆ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Η µελέτη πολλών σηµαντικών εννοιών που συνδέονται µε τις τυχαίες µεταβλητέςδιευκολύνεται µε το διαχωρισµό των δύο βασικών κατηγοριών: των διακριτών καιτων συνεχών τυχαίων µεταβλητών. Σχετικά θέτουµε τους ακόλουθους ορισµούς.

62Ορισµός 2.1. Μία τυχαία µεταβλητή Χ καλείται διακριτή (ή απαριθµητή) αν παίρνει, µεπιθανότητα 1, αριθµήσιµο (πεπερασµένο ή αριθµησίµως άπειρο) σύνολο τιµώνRX = {x0 , x1,..., xν ,...}. Η συνάρτηση f η οποία σε κάθε σηµείο xκ , κ = 0,1, 2,...,εκχωρεί την πιθανότητά του f (xκ ) = P( X = xκ ) = P({ω ∈ Ω: X (ω) = xκ }) , κ = 0,1, 2,..., (2.1)καλείται συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής Χ. Στις περιπτώσεις που υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης η συνάρτηση πιθανότητας τηςτ.µ. Χ συµβολίζεται µε f X και η τιµή της στο xκ µε f X (xκ ) . Σηµειώνουµε ότι, χρησιµοποιώντας την παράσταση RX = {x0} ∪{x1} ∪L∪{xν} ∪L , η συνθήκη P( X ∈ RX ) δύναται να γραφεί στη µορφή ∞ ∑ P( X = xκ ) = 1. κ =0Επίσης η συνάρτηση πιθανότητας, όπως προκύπτει άµεσα από τον ορισµό της, είναιµη αρνητική f (xκ ) ≥ 0 , κ = 0,1, 2,... και f (x) = 0 , x ∉ RX (2.2)και ∞ (2.3) ∑ f (xκ ) = 1. κ =0Στην περίπτωση που το σύνολο των τιµών της τυχαίας µεταβλητής Χ είναιπεπερασµένο, RX = {x0 , x1,..., xν } , η σειρά (2.3) γίνεται ένα πεπερασµένο άθροισµα ν ∑ f (xκ ) = 1. κ =0 Η συνάρτηση πιθανότητας f (xκ ) = P( X = xκ ) , κ = 0,1, 2,... µιας διακριτήςτυχαίας µεταβλητής συνδέεται µε τη συνάρτηση κατανοµής αυτής F (x) = P( X ≤ x) ,− ∞ < x < ∞ . Συγκεκριµένα, στη µερική περίπτωση που x0 < x1 < x2 <L, ισχύουν οισχέσεις r (2.4) ∑F (x) = f (xκ ) , xr ≤ x < xr+1 , r = 0,1, 2,..., κ =0µε F (x) = 0 για − ∞ < x < x0 και f (xκ ) = F (xκ ) − F (xκ −1 ) , κ = 1, 2,... (2.5)

63µε f (x0 ) = F (x0 ) . Γενικότερα ισχύει η σχέση F (x) = ∑ f (xκ ) , − ∞ < x < ∞ , (2.6) xκ ≤ xόπου η άθροιση εκτείνεται σε όλα τα xκ τα οποία είναι µικρότερα ή ίσα του x.Σηµειώνουµε ότι η συνάρτηση κατανοµής F µιας διακριτής τ.µ. X είναι σταθερήκατά διαστήµατα (Σχήµατα 1.1 και 1.2) και αυξάνει µόνο µε άλµατα στα σηµείαxk ∈ RX .Ορισµός 2.2. Μία τυχαία µεταβλητή Χ καλείται συνεχής αν υπάρχει µη αρνητικήσυνάρτηση, f (x) ≥ 0 , − ∞ < x < ∞ , (2.7)µε ∫ ∞ f ( x)dx = 1 (2.8) −∞τέτοια ώστε για κάθε πραγµατικούς αριθµούς α και β µε α < β να ισχύει P(α < X ≤ β) = β f (x)dx . (2.9) ∫αΗ f (x) καλείται πυκνότητα πιθανότητας ή απλώς πυκνότητα της τυχαίας µεταβλητήςΧ. Άµεση συνέπεια των ορισµών της συνάρτησης κατανοµής F (x) και τηςσυνάρτησης πυκνότητας f (x) µιας συνεχούς τυχαίας µεταβλητής Χ είναι η σχέση F ( x) = ∫x f (t)dt , −∞< x <∞, (2.10) −∞που δείχνει ότι η συνάρτηση κατανοµής F µιας συνεχούς τ.µ. X είναι συνεχήςσυνάρτηση (Σχήµα 1.3). Συνεπώς, αν η X είναι συνεχής τ.µ., τότε για κάθε x ∈ R ,P(X < x) = F(x) = P(X ≤ x) . Αν η συνάρτηση f (x) είναι συνεχής στο σηµείο x τότε παραγωγίζοντας τη σχέση(2.10) παίρνουµε την F ′(x) = dF (x) = f (x) . (2.11) dx Σηµειώνουµε ότι οι σχέσεις (2.10) και (2.11) είναι οι αντίστοιχες των (2.4) και(2.5) για συνεχείς τυχαίες µεταβλητές. Η πυκνότητα f (x) , σε αντίθεση µε τησυνάρτηση πιθανότητας, δεν παριστάνει την πιθανότητα κάποιου ενδεχοµένου. Η

64πιθανότητα P( X = x0 ) = 0 και εποµένως η f (x0 ) δεν παριστάνει βέβαια αυτή τηνπιθανότητα. Μόνον όταν η συνάρτηση αυτή ολοκληρώνεται µεταξύ δύο σηµείων,όπως στην (2.9), δίδει κάποια πιθανότητα. Κατά προσέγγιση για µικρό ∆x > 0έχουµε P(x < X ≤ x + ∆x) ≅ f (x)∆x .Παράδειγµα 2.1. Ας επανέλθουµε στο τυχαίο πείραµα, του παραδείγµατος 1.1, τωνδύο διαδοχικών ρίψεων ενός συνήθους νοµίσµατος. Ο αριθµός Χ των εµφανίσεων τηςόψης γράµµατα είναι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή εφ’ όσον το σύνολο των τιµώντης RX = {0,1, 2} είναι διακριτό (απαριθµητό). Η συνάρτηση πιθανότητας της τ.µ. Χυπολογίζεται ως εξής: f (0) = P( X = 0) = P[{(κ, κ)}] = 1 , f (1) = P( X = 1) = P[{(γ, κ), (κ, γ)}] = 1 , 4 2 f (2) = P( X = 2) = P[{(γ, γ)}] = 1 . 4Σηµειώνουµε ότι ∑2 f (x) = 1 + 1 + 1 = 1, 4 2 4 x=0όπως απαιτείται από τον ορισµό µιας διακριτής τυχαίας µεταβλητής.Παράδειγµα 2.2. Ας θεωρήσουµε µια τυχαία µεταβλητή Χ µε τιµές x στο διάστηµα[0,1] και ας υποθέσουµε ότι η συνολική πιθανότητα κατανέµεται οµοιόµορφα στοδιάστηµα αυτό (βλ. Παράδειγµα 1.3). Να προσδιορισθεί η πυκνότητα της Χ. Η συνάρτηση κατανοµής της Χ έχει υπολογισθεί στο Παράδειγµα 1.3 και είναι η ⎧0, −∞< x<0 F (x) = ⎨⎪x, 0≤ x<1 1 ≤ x < ∞. ⎪⎩1,Παραγωγίζοντας αυτή συνάγουµε, σύµφωνα µε τη (2.11), την πυκνότητα της τ.µ. Χ f ( x) = ⎧1, 0≤ x ≤1 ⎨⎩0, x < 0 ή x > 1.Αξίζει να σηµειώσουµε ότι η F ′(x) δεν υπάρχει στα ακραία σηµεία x = 0 και x = 1.Αποδεικνύεται ότι χωρίς βλάβη της γενικότητας µπορούµε να ορίζουµε αυθαίρετα τιςτιµές της πυκνότητας σε τέτοια µεµονωµένα σηµεία όπου η F ′(x) δεν υπάρχει.

65Παράδειγµα 2.3. Έστω ότι ο χρόνος απορρόφησης ενός φαρµάκου µετρούµενος σεώρες είναι µία συνεχής τυχαία µεταβλητή Χ µε πυκνότητα f (x) = 2(θ − x) , 0 ≤ x ≤ θ , θ2όπου θ > 0 είναι παράµετρος της κατανοµής. Να υπολογισθούν η συνάρτησηκατανοµής F (x) , − ∞ < x < ∞ , και οι πιθανότητες P(α < X ≤ β) , P( X > α) µε0<α< β≤θ.Η συνάρτηση κατανοµής για 0 ≤ x ≤ θ είναι ∫x 0 ∫x 2 ∫ 0x(θ ⎡ (θ −t ) 2 ⎤x −∞ 0 θ2 −⎢ θ2 ⎥F ( x) = f (t)dt = ∫ −∞ f (t)dt + f (t)dt = − t)dt = ⎦0 ⎣ =1− (θ − x)2 . θ2Επίσης F (x) = 0 , − ∞ < x < 0 και F (x) = 1 , θ ≤ x < ∞ . ζητούµενες πιθανότητες Χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση κατανοµής οιυπολογίζονται ως εξής: P(α < X ≤ β) = F(β) − F (α) = (θ − α)2 − (θ − β)2 , θ2 P(X > α) =1− F (α) = (θ − α)2 . θ23. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στην πιθανοθεωρητική µελέτη ενός στοχαστικού (τυχαίου) πειράµατος (ήφαινοµένου), όπως επίσης και στη στατιστική συµπερασµατολογία, αναφύεται συχνάη ανάγκη προσδιορισµού της κατανοµής µιας τυχαίας µεταβλητής Y = g( X ) , ηοποία είναι συνάρτηση µιας άλλης τυχαίας µεταβλητής Χ µε γνωστή κατανοµή.Συνήθως το ενδιαφέρον αφορά την περίπτωση που τόσο η τυχαία µεταβλητή Χ όσοκαι η τυχαία µεταβλητή Υ είναι συνεχείς. Στην περίπτωση αυτή ο προσδιορισµός τηςκατανοµής της Υ επιτυγχάνεται ευκολότερα µε την εύρεση, αρχικά, της συνάρτησηςκατανοµής. Η πυκνότητα της Υ προσδιορίζεται µε παραγώγιση της συνάρτησηςκατανοµής. Η έκφραση της συνάρτησης κατανοµής της τυχαίας µεταβλητήςY = g(X ) , FY ( y) = P(Y ≤ y) = P[g( X ) ≤ y] ,

66συναρτήσει της συνάρτησης κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής Χ απαιτεί τονπροσδιορισµό του συνόλου {x : g(x) ≤ y} . Τούτο επιτυγχάνεται εύκολα αν οµετασχηµατισµός y = g(x) είναι ένα προς ένα από το σύνολο RX των τιµών της Χεπί του συνόλου RY των τιµών της Υ και γνησίως µονότονος. Τότε υπάρχει οαντίστροφος µετασχηµατισµός x = g −1( y) και είναι γνησίως µονότονος. Στηνπερίπτωση αυτή η σχέση g(x) ≤ y είναι ισοδύναµη µε τη σχέση x ≤ g −1( y) , αν ηy = g(x) είναι γνησίως αύξουσα και µε τη σχέση x ≥ g −1( y) , αν η y = g(x) είναιγνησίως φθίνουσα και εποµένως FY ( y) = P[ X ≤ g −1( y)] = FX (g −1( y)) ,αν η y = g(x) είναι γνησίως αύξουσα και FY(y) = P[X ≥ g−1(y)] = 1 − P[X < g−1(y)] = 1 − P[X ≤ g−1(y)] = 1 − FX (g−1(y)) ,αν η y = g(x) είναι φθίνουσα. Αν η αντίστροφη συνάρτηση x = g −1( y)παραγωγίζεται και η παράγωγος dg −1( y) / dy είναι συνεχής για κάθε y στο RY , τότεπαραγωγίζοντας την ανωτέρω έκφραση της συνάρτησης κατανοµής FY ( y) , σύµφωναµε τον κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης , συνάγουµε τη σχέση fY ( y) = f ( g −1 ( y)) dg −1( y) , dy Xαν η y = g(x) είναι γνησίως αύξουσα και τη σχέση fY ( y) = − f ( g −1 ( y)) dg −1( y) , dy Xαν η y = g(x) είναι γνησίως φθίνουσα. Εποµένως fY ( y) = f ( g −1 ( y)) dg −1 ( y ) . dy X Τα αποτελέσµατα αυτά συνοψίζονται στο ακόλουθο θεώρηµα.Θεώρηµα 3.1. Έστω ότι η Χ είναι µια συνεχής τυχαία µεταβλητή µε πυκνότητα f X (x) ,x ∈ RX . Αν ο µετασχηµατισµός Y = g( X ) είναι γνησίως µονότονος από το σύνολο RXεπί του συνόλου RY = g(RX ) και υπάρχει η παράγωγος dg −1( y) / dy και είναι συνεχήςγια κάθε y στο RY , τότε η τυχαία µεταβλητή Y = g( X ) είναι συνεχής µε πυκνότητα fY ( y) = f ( g −1 ( y )) dg −1 ( y ) , y ∈ RY . (3.1) dy X

67 Στη µερική περίπτωση που y = g(x) = αx + β , όπου α και β πραγµατικές σταθερέςµε α ≠ 0 , ο αντίστροφος µετασχηµατισµός είναι ο x = g −1( y) = ( y − β) / α καιdg −1 ( y) / dy = 1/ α . Έτσι συνάγουµε το ακόλουθο πόρισµα.

67Πόρισµα 3.1. Έστω ότι η Χ είναι µια συνεχής τυχαία µεταβλητή µε πυκνότητα f X (x) ,x ∈ RX . Τότε η Y = αΧ + β , α ≠ 0 , είναι µια συνεχής τυχαία µεταβλητή µε πυκνότητα fY (y) = f ⎜⎛ y − β ⎟⎞ 1 , y ∈ RY . (3.2) ⎝ α ⎠ α X | |Παράδειγµα 3.1. Ας θεωρήσουµε µια συνεχή τυχαία µεταβλητή Χ µε πυκνότητα 1 exp⎡⎢− (x − µ ) 2 ⎤ 2π ⎣ 2σ 2 ⎥ f X (x) = σ ⎦ , −∞ < x <∞,όπου − ∞ < µ < ∞ και 0 < σ < ∞ είναι παράµετροι της κατανοµής. Σηµειώνουµε ότιαυτή είναι η πυκνότητα της κανονικής κατανοµής. Να προσδιορισθεί η πυκνότητατης τυχαίας µεταβλητής Y = αX + β , α ≠ 0 . Χρησιµοποιώντας την (3.2) παίρνουµε fY ( y) = 1 exp⎡⎢− (y − αµ − β )2 ⎤ , −∞ < y < ∞. |σ ⎣ 2(ασ )2 ⎥ |α 2π ⎦Θέτοντας µY = αµ + β , σ Y = | α | σ ,η πυκνότητα αυτή γράφεται στη µορφή 1 exp⎡⎢− ( y − µy ) 2 ⎤ 2π ⎣ ⎥ fY ( y) = σY 2σ 2 ⎦ , −∞ < y < ∞, Yη οποία είναι η πυκνότητα της κανονικής κατανοµής µε παραµέτρους µY = αµ + βκαι σ Y = | α | σ . Ειδικά για α = 1/ σ και β = −µ / σ , οπότε µY = 0 και σ Y = 1 , η πυκνότητα τηςτυχαίας µεταβλητής Y = X −µ σπαίρνει τη µορφή fY ( y) = 1 e−y2 /2 , − ∞ < y < ∞ , 2πη οποία είναι γνωστή ως τυποποιηµένη κανονική πυκνότητα. Η περίπτωση που ο µετασχηµατισµός y = g(x) δεν είναι ένα προς ένα από τοσύνολο RX των τιµών της Χ επί του συνόλου RY των τιµών της Υ δύναται να

68αντιµετωπισθεί µε τον προσδιορισµό του συνόλου {x : g(x) ≤ y} και την εύρεση,αρχικά, της συνάρτησης κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής Υ. Μια τέτοια περίπτωσηεξετάζεται στο επόµενο παράδειγµα.Παράδειγµα 3.2. (α) Ας θεωρήσουµε µια συνεχή τυχαία µεταβλητή Χ µε πυκνότητα f X (x) , x ∈ RX και συνάρτηση κατανοµής FX (x) , x ∈ R . Να προσδιορισθεί ηπυκνότητα της τυχαίας µεταβλητής Y = X 2 . Η τυχαία µεταβλητή Υ δεν µπορεί να πάρει αρνητικές τιµές και έτσι για− ∞ < y ≤ 0 , FY ( y) = 0 ενώ για 0 < y < ∞ , FY ( y) = P(Y ≤ y) = P( X 2 ≤ y) = P(− y ≤ X ≤ y ) = FY ( y ) − FY (− y ) .Παραγωγίζοντας τη συνάρτηση αυτή, σύµφωνα µε τον κανόνα παραγώγισηςσύνθετης συνάρτησης, συνάγουµε τη συνάρτηση πυκνότητας fY ( y) = 2 1 {fX ( y ) + fX (− y )} , 0 < y < ∞ . y (β) Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει την τυποποιηµένη κανονική πυκνότητα fX (x) = 1 e−x2 /2 , − ∞ < x < ∞ . 2πΝα προσδιορισθεί η πυκνότητα της Y = X 2 . Παρατηρούµε ότι η f X είναι άρτια συνάρτηση, f X (−x) = f X (x) , και έτσι ηανωτέρω έκφραση της fY ( y) συναρτήσει της f X (x) γίνεται fY ( y) = 1 fX ( y), 0< y < ∞. yΕποµένως fY ( y) = 1 e−y/2 , 0 < y < ∞ . 2πy4. ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ ∆ΙΑΣΠΟΡΑ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η κατανοµή πιθανότητας µιας τυχαίας µεταβλητής, όπως έχουµε ήδηπαρατηρήσει, δύναται να εκφρασθεί είτε από τη συνάρτηση κατανοµής είτε από τησυνάρτηση πιθανότητας ή πυκνότητας αυτής. Μια περιληπτική περιγραφή τηςπιθανοθεωρητικής συµπεριφοράς µιας τυχαίας µεταβλητής παρέχεται από τηθεώρηση και µελέτη µερικών βασικών παραµέτρων της κατανοµής της. Η µέση τιµή

69που αποτελεί µέτρο θέσης ή κεντρικής τάσης και η διασπορά που αποτελεί µέτροσυγκεντρωτικότητας ή µεταβλητότητας είναι οι πιο βασικές παράµετροι τηςκατανοµής µιας τυχαίας µεταβλητής. Στο εδάφιο αυτό εισάγονται διαδοχικά καιµελετώνται η µέση τιµή και η διασπορά µιας τυχαίας µεταβλητής. Η µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής αποτελεί γενίκευση του αριθµητικού µέσουµιας ακολουθίας τιµών. Συγκεκριµένα έχουµε τον ακόλουθο ορισµό.Ορισµός 4.1. (α) Έστω ότι η Χ είναι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε συνάρτησηπιθανότητας f (xκ ) = P( X = xκ ) , κ = 0,1, 2,... . Τότε η µέση τιµή αυτής,συµβολιζόµενη µε Ε( Χ ) ή µΧ ή απλώς µ αν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης, ορίζεταιαπό τη σχέση ∞ (4.1) ∑µ ≡ E( X ) = xκ f (xκ ) . κ =0 (β) Έστω ότι η Χ είναι µια συνεχής τυχαία µεταβλητή µε πυκνότητα f (x) ,− ∞ < x < ∞ . Τότε η µέση τιµή αυτής ορίζεται από τη σχέση µ ≡ E(X ) = ∫∞ xf ( x)dx . (4.2) −∞ Σηµειώνουµε ότι η µέση τιµή µ, οριζόµενη από την (4.1) ή την (4.2), είναι έναςπραγµατικός αριθµός, − ∞ < µ < ∞ . Αυτό συµβαίνει όταν η σειρά στο δεξιό µέλοςτης (4.1) ή το ολοκλήρωµα στο δεξιό µέλος της (4.2) συγκλίνουν απολύτως (σεαντίθετη περίπτωση, η µέση τιµή δεν ορίζεται). Αξίζει να σηµειωθεί η αναλογία µεταξύ της µέσης τιµής µιας τυχαίας µεταβλητήςκαι του κέντρου βάρους µάζας στη µηχανική. Αν µια µονάδα µάζας κατανέµεται στασηµεία x0 , x1, x2 ,... µιας ευθείας και f (xκ ) είναι η µάζα στο σηµείο xκ ,κ = 0,1, 2,... τότε η (4.1) παριστάνει το κέντρο βάρους (περί την αρχή). Κατά τον ίδιοτρόπο αν η µονάδα µάζας έχει συνεχή κατανοµή σε µια ευθεία και αν η f (x)παριστάνει την πυκνότητα µάζας στο x τότε η (4.2) ορίζει και πάλι το κέντρο βάρους.Με την έννοια αυτή η µέση τιµή θεωρείται ως το κέντρο της κατανοµής πιθανότητας,δηλαδή η τυχαία µεταβλητή X παίρνει τιµές «γύρω» από τη µέση της τιµή µ.Παράδειγµα 4.1. Έστω Χ ο αριθµός της επάνω έδρας στο τυχαίο πείραµα της ρίψηςενός συνήθους κύβου (βλ. Παράδειγµα 1.2). Να υπολογισθεί η µέση τιµή E( X ) . Η συνάρτηση πιθανότητας της τ.µ. Χ δίδεται από τηνf (x) = P( X = x) = 1 , x = 1, 2,..., 6 . 6Εποµένως, σύµφωνα µε τον ορισµό 4.1 (α),

70 ∑µ 1 6 1+ 2 + 3+4 + 5+ 6 21 7 = E(X ) = 6 x =1 x = 6 = 6 = 2 .Σηµειώνουµε ότι, όπως φαίνεται και από το απλό αυτό παράδειγµα, η µέση τιµή µιαςδιακριτής τυχαίας µεταβλητής δεν είναι κατ’ ανάγκη µια από τις δυνατές τιµές της.Παράδειγµα 4.2. Ας θεωρήσουµε µια συνεχή τυχαία µεταβλητή Χ η οποίακατανέµεται οµοιόµορφα στο διάστηµα [−θ,θ] . Να υπολογισθεί η µέση τιµή E( X ) . Η συνάρτηση πυκνότητας της τ.µ. Χ δίδεται από την f (x) = 1 , −θ ≤ x ≤ θ . 2θΕποµένως, σύµφωνα µε τον ορισµό 4.1 (β), µ = E(X ) = ∫ ∞ xf ( x)dx = 1 ∫ θ xdx = ⎡x2 ⎤θ = 0. −∞ 2θ −θ ⎢ ⎥ ⎣ 4θ ⎦ −θΣηµειώνουµε ότι η µέση τιµή της Χ είναι Ε( Χ ) = 0 , ανεξάρτητη της παραµέτρου θ.Στην κατανοµή αυτή η παράµετρος θ καθορίζει τη συγκεντρωτικότητα των τιµών τηςΧ περί τη µέση τιµή. Όσο πιο µικρό είναι το θ τόσο πιο µεγάλη είναι ησυγκεντρωτικότητα. Ας θεωρήσουµε µια τυχαία µεταβλητή Χ, διακριτή µε συνάρτηση πιθανότηταςf X (xκ ) = P( X = xκ ) , κ = 0,1, 2,... ή συνεχή µε πυκνότητα f X (x) , − ∞ < x < ∞ .Σηµειώνουµε ότι µια συνάρτηση αυτής Y = g( X ) είναι επίσης τυχαία µεταβλητή καιη συνάρτηση πιθανότητας fY ( yr ) = P(Y = yr ) , r = 0,1, 2,... ή πυκνότητας fY ( y) ,− ∞ < y < ∞ αυτής προσδιορίζεαι µέσω της συνάρτησης πιθανότητας f X (xκ ) ,κ = 0,1, 2,... ή πυκνότητας f X (x) της τυχαίας µεταβλητής Χ. Είναι εποµένωςενδιαφέρον και έχει έννοια ο υπολογισµός της µέσης τιµής της Y = g( X ) . Ουπολογισµός αυτός δύναται να γίνει, σύµφωνα µε τον ορισµό 4.1, αφού πρώταυπολογισθεί η συνάρτηση πιθανότητας ή πυκνότητας της Υ. Τούτο δεν είναι αναγκαίονα γίνεται σε κάθε µερική περίπτωση. Σχετικά ισχύει η ακόλουθη έκφραση ∞ (4.3) ∑E(Y ) ≡ E[g( X )] = g(xκ ) f X (xκ ) , κ =0αν η Χ είναι διακριτή (µε την προϋπόθεση ότι η σειρά συγκλίνει απολύτως), και ηέκφραση E(Y ) ≡ E[g( X )] = ∫ ∞ g(x) f X ( x)dx , (4.4) −∞αν η Χ είναι συνεχής (µε την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωµα συγκλίνει απολύτως).

71 Η διασπορά µιας τυχαίας µεταβλητής αποτελεί ένα µέτρο της συγκεντρωτικότηταςή µεταβλητότητας της κατανοµής της. Η ύπαρξη κατανοµών οι οποίες έχουν την ίδιαµέση τιµή και των οποίων οι τιµές είναι περισσότερο ή λιγότερο διασπαρµένες (βλ.Παράδειγµα 4.2) καθιστά αναγκαία την εισαγωγή ενός τέτοιου µέτρου. Η διασπορά,η οποία δύναται να χρησιµοποιηθεί για τη διάκριση των κατανοµών αυτών, είναι ηµέση τιµή του τετραγώνου της απόκλισης g( X ) = ( X − µ)2 , της τυχαίας µεταβλητήςΧ από τη µέση της τιµή µ = E( X ) και υπολογίζεται µε τη χρησιµοποίηση των (4.3)και (4.4) ανάλογα µε το αν Χ είναι διακριτή ή συνεχής τυχαία µεταβλητή.Ορισµός 4.2. Έστω Χ µια τυχαία µεταβλητή µε µέση τιµή µ = E(X ) . Τότε η διασποράή διακύµανση της Χ, συµβολιζόµενη µε Var( X ) ή σ 2 ή απλώς σ 2 αν δεν υπάρχει Xκίνδυνος σύγχυσης, ορίζεται από τη σχέσησ 2 ≡ Var( X ) = E[(X − µ)2 ] . (4.5)Η θετική τετραγωνική ρίζα της διασποράς Var( X ) ,σ ≡ σ X = Var( X ) (4.6)καλείται τυπική απόκλιση της τυχαίας µεταβλητής Χ. Σύµφωνα µε τις (4.3) και (4.4), αν η Χ είναι µια διακριτή τ.µ. µε συνάρτησηπιθανότητας f (xκ ) = P( X = xκ ) , κ = 0,1, 2,..., τότεVar( X ) = ∞ − µ)2 f (xκ ), ∑ (xκ κ=0και αν η Χ είναι µια συνεχής τ.µ. µε πυκνότητα f (x) , τότεVar( X ) = ∫ ∞ ( x − µ)2 f ( x)dx . −∞Σηµειώνουµε ότι η αναλογία που υπάρχει µεταξύ της µέσης τιµής µιας τυχαίαςµεταβλητής και του κέντρου βάρους µάζας στη µηχανική επεκτείνεται και µεταξύ τηςδιασποράς και της ροπής αδρανείας περί το κέντρο βάρους. Στο επόµενο θεώρηµα αποδεικνύουµε βασικές ιδιότητες της µέσης τιµής και τηςδιασποράς.Θεώρηµα 4.1. Έστω Χ µια τυχαία µεταβλητή µε E( X ) = µ , Var( X ) = σ 2 και α, βσταθερές. ΤότεE(αX + β) = αµ + β , (4.7)E[g( X ) + h( X )] = E[g( X )] + E[h( X )] , (4.8)

72 Var(αX + β) = α 2σ 2 , (4.9) Var( X ) = E( X 2 ) − µ 2 . (4.10)Απόδειξη. Έστω ότι η Χ είναι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε συνάρτησηπιθανότητας f (xκ ) = P( X = xκ ) , κ = 0,1, 2,.... Τότε σύµφωνα µε την (4.3)παίρνουµε ∞ ∞∞ ∑ ∑ ∑E(αΧ + β) = (αxκ + β) f (xκ ) = α xκ f (xκ ) + β f (xκ ) = αE( X ) + β κ =0 κ =0 κ =0και ∞ ∞∞ ∑ ∑ ∑E[g( X ) + h( X )] = [g(xκ ) + h(xκ )] f (xκ ) = g(xκ ) f (xκ ) + h(xκ ) f (xκ ) κ =0 κ =0 κ =0 = E[g(X )] + E[h(X )] .Στην περίπτωση που η Χ είναι συνεχής, χρησιµοποιώντας την (4.4), συνάγουµε κατάτον ίδιο τρόπο τις (4.7) και (4.8). Σύµφωνα µε τον ορισµό 4.2 της διασποράς και χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (4.7),(4.8), Var(αX + β) = E[[(αX + β) − (αµ + β)]2 ] = E[α 2 ( Χ − µ)2 ] = α 2 E[( X − µ)2 ] = α 2σ 2 .Αναπτύσσοντας το τετράγωνο ( X − µ)2 , της απόκλισης της τ.µ. Χ από τη µέση τιµήµ = E( X ) , και χρησιµοποιώντας τις (4.7) και (4.8) παίρνουµε Var( X ) = E[( X − µ)2 ] = E( X 2 − 2µX + µ 2 ) = E( X 2 ) − E(2µX − µ 2 ) = E( X 2 ) − 2µE( X ) + µ 2 = E( X 2 ) − µ2 .Παρατήρηση 4.1. (α) Τυποποιηµένη τυχαία µεταβλητή. Αν Χ είναι µια τυχαίαµεταβλητή µε E( X ) = µ και Var( X ) = σ 2 > 0 , τότε η τυχαία µεταβλητή Z = X −µ (4.11) σέχει µέση τιµή, σύµφωνα µε την (4.7), E(Z ) = E[(X − µ) /σ ] = [E( X ) − µ] /σ = 0και διασπορά, σύµφωνα µε την (4.9), Var(Z ) = Var[( X − µ) / σ] = Var( X ) / σ 2 = 1.

73Η τυχαία µεταβλητή Ζ που ορίζεται από την (4.11) καλείται τυποποιηµένη τυχαίαµεταβλητή που αντιστοιχεί στη Χ.(β) Αξίζει να σηµειωθεί ότι στην περίπτωση που Var( X ) = 0 , τότε υπάρχειπραγµατικός αριθµός c τέτοιος ώστε P( X = c) = 1.Παρατήρηση 4.2. Παραγοντικές ροπές. Η έκφραση (4.10) διευκολύνει τονυπολογισµό της διασποράς µιας τυχαίας µεταβλητής Χ, ιδιαίτερα στην περίπτωση πουαυτή είναι συνεχής. Αν η τυχαία µεταβλητή Χ είναι διακριτή τότε η διασπορά αυτήςυπολογίζεται ευκολότερα µε τη χρησιµοποίηση της παραγοντικής ροπής δεύτερηςτάξης, µ(2) = E[( X )2 ] ,όπου ( X )2 = X ( X −1) . Συγκεκριµένα έχουµε (4.12) Var( X ) = E[( X )2 ] + µ − µ 2 .Η σχέση αυτή συνάγεται άµεσα από την (4.10) και τηνµ(2) = E[( X )2 ] = E[ X ( X −1)] = E( X 2 − X ) = E( X 2 ) − µ .Παράδειγµα 4.3. Έστω Χ ο αριθµός της επάνω έδρας στο τυχαίο πείραµα της ρίψηςενός συνήθους κύβου. Να υπολογισθεί η διασπορά Var( X ) . Η συνάρτηση πιθανότητας της τ.µ. Χ δίδεται από την f (x) = P( X = x) = 1 , x = 1, 2,..., 6 . 6Εποµένως, σύµφωνα µε την (4.3)∑E ( X2) = 1 6 x2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91 . 6 x=1 6 6Χρησιµοποιώντας την (4.10) και το ότι (βλ. Παράδειγµα 4.1) µ = E( X ) = 7 / 2 ,παίρνουµε 91 ⎛⎜ 7 ⎞⎟ 2 91 49 35 6 ⎝ 2 ⎠ 6 4 12Var( X ) = E(X 2)− µ2 = − = − = .Παράδειγµα 4.4. Να υπολογισθεί η διασπορά της τυχαίας µεταβλητής Χ µεπυκνότητα f (x) = 1 , − θ ≤ x ≤ θ . 2θΧρησιµοποιώντας την (4.4) παίρνουµε

74 E(X 2) = ∫ ∞ x2 f (x)dx = 1 ∫ θ x2dx = ⎡ x3 ⎤θ = θ2 −∞ 2θ −θ ⎢ ⎥ 3 ⎣ 6θ ⎦ −θκαι σύµφωνα µε την (4.10) και επειδή (βλ. Παράδειγµα 4.2) µ = E( X ) = 0συµπεραίνουµε ότι Var( X ) = E( X 2 ) = θ 2 / 3 .Παράδειγµα 4.5. Έστω ότι ο χρόνος απορρόφησης ενός φαρµάκου µετρούµενος σεώρες είναι µια συνεχής µεταβλητή Χ µε πυκνότητα f (x) = 2(θ − x) , 0 ≤ x ≤ θ , θ2όπου θ > 0 είναι παράµετρος της κατανοµής (βλ. Παράδειγµα 2.3). Να υπολογισθούνο µέσος χρόνος απορρόφησης του φαρµάκου E( X ) και η διασπορά του χρόνουαπορρόφησης Var( X ) . Η µέση τιµή E( X ) , σύµφωνα µε τον ορισµό 4.1, δίδεται από την E(X ) = ∫ ∞ xf ( x)dx = 2 ∫ θ x(θ − x)dx = ⎡ x2 − 2x3 ⎤θ = θ . −∞ θ2 0 ⎢ ⎥ 3 ⎣ θ 3θ 2 ⎦ 0Επίσης χρησιµοποιώντας την (4.4), παίρνουµε E(X 2) = ∫ ∞ x2 f ( x)dx = 2 ∫ θ x 2 (θ − x)dx = ⎡2x3 − x4 ⎤θ = θ2 −∞ θ2 0 ⎢ 2θ 2 ⎥ 6 ⎣ 3θ ⎦0και έτσι Var( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2 = θ2 θ2 = θ2 . 6 −9 18 Οι βασικές ανισότητες που ικανοποιούνται από τη µέση τιµή περιγράφονται στοΘεώρηµα 4.1. Έστω Χ µια τυχαία µεταβλητή µε τιµές στο RX και g οποιαδήποτεσυνάρτηση µε πεδίο ορισµού το RX για την οποία υπάρχει η E[g(X)] .(i) Αν g(x) ≥ α για κάθε x ∈ RX τότε E[g(X)] ≥ α . (4.13)(ii) Αν g(x) ≤ β για κάθε x ∈ RX τότε (4.14) E[g(X)] ≤ β .(iii) Αν α ≤ g(x) ≤ β για κάθε x ∈ RX τότε (4.15) α ≤ E[g(X)] ≤ β .

75(iv) Αν η συνάρτηση h, για την οποία υπάρχει η E[h(X )] , είναι τέτοια ώστε h(x) ≤ g(x)για κάθε x ∈ RX τότεE[h(X)] ≤ E[g(X)] . (4.16)Απόδειξη. (iv) Έστω ότι η Χ είναι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε συνάρτησηπιθανότητας f (xκ ) = P( X = xκ ) , κ = 0,1, 2,.... Τότε σύµφωνα µε την (4.3)παίρνουµε ∞∞ E[h(Χ )] = ∑ h(xκ) f (xκ) ≤ ∑ g(xκ) f (xκ) = E[g(Χ )] , κ=0 κ=0επειδή h(xκ) ≤ g(xκ) , κ = 0,1, 2, K, δηλαδή την (4.16). Η απόδειξη γίνεται κατά τονίδιο τρόπο στην περίπτωση που η Χ είναι συνεχής, χρησιµοποιώντας την (4.4).(i) Προκύπτει από την (4.16) για h(x) ≡ α .(ii) Είναι − g(x) ≥ −β για κάθε x ∈ RX , και εφαρµόζοντας την (4.13), − E[g(Χ)] = E[−g(X)] ≥ −β ,από την οποία συνάγεται η (4.14).(iii) Άµεση συνέπεια των (4.13) και (4.14).AΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ. 2 1. Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει συνάρτηση κατανοµής ⎧0, −∞< x<0 ⎪⎪1 0≤ x <1 ⎪5 , 1≤ x < 2 2≤ x<3F ( x) = ⎪13 , 3≤ x<4 ⎪⎪ 25 , 4 ≤ x < ∞. ⎨⎪19 ⎪ 25 ⎪ ⎪ 23 , ⎪ 25 ⎪⎩1, Να υπολογισθούν (α) οι πιθανότητες P(1 < X ≤ 3) , P( X > 2) και (β) ησυνάρτηση πιθανότητας f (x) = P( X = x) , x = 0,1, 2,3, 4 . 2. Έστω ότι ο χρόνος αναµονής Χ σε λεπτά σε συγκεκριµένο σταθµό του υπογείουσιδηροδρόµου είναι µια συνεχής τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση κατανοµής

76 ⎧0, − ∞ < x < 0 F (x) = ⎪⎪⎨⎪1x//22,, 0≤ x <1 1≤ x < 2 ⎪⎪x / 4, 2≤ x<4 ⎩⎪1, 4 ≤ x < ∞. Να υπολογισθούν (α) οι πιθανότητες P( X ≤ 2) , P(1 < X ≤ 3) , P( X > 3) και (β) ηπυκνότητα f (x) . 3. Ας θεωρήσουµε το τυχαίο πείραµα της ρίψης δύο διακεκριµένων κύβων καιέστω Χ η τυχαία µεταβλητή η οποία στο σηµείο (i, j) του δειγµατικού χώρουαντιστοιχεί το σηµείο i + j − 2 , i = 1, 2,..., 6 , j = 1, 2,...,6 . Να υπολογισθούν ησυνάρτηση πιθανότητας f X (x) = P( X = x) , x = 0,1,...,10 και η συνάρτησηκατανοµής FX (x) = P( X ≤ x) , − ∞ < x < ∞ της τυχαίας µεταβλητής Χ. 4. Έχει διαπιστωθεί εµπειρικά ότι ο αριθµός Χ των πεταλούδων σε µια ορισµένηπεριοχή έχει συνάρτηση κατανοµής ∑F (x)= ⎧⎪ [ x] 0, /κ, −∞ < x <1 ⎨⎩⎪c κ =1 θκ 1≤ x <∞όπου [x] παριστάνει το ακέραιο µέρος του x και θ είναι παράµετρος µε 0 < θ < 1 . Ναπροσδιορισθούν η σταθερά c και η συνάρτηση πιθανότητας f (x) = P( X = x) ,x = 1, 2,... . 5. Η ποσότητα βενζίνης Χ (σε χιλιόλιτρα) που πωλεί πρατήριο βενζίνης σε µιαµέρα είναι συνεχής τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πυκνότητα ⎧cx, 0 ≤ x < 1 ⎪⎪c, f (x) = ⎪⎨c(3 − x), 1≤ x < 2 2≤ x<3 ⎪⎩0, 3 ≤ x < ∞.Να υπολογισθούν (α) η σταθερά c και (β) οι πιθανότητες P( X ≤ 3 / 4) ,P(1/ 2 < X ≤ 5 / 2) , P( X > 9 / 4) και (γ) η µέση τιµή E( X ) και η διασπορά Var( X ) . 6. Η εκατοστιαία περιεκτικότητα σε οινόπνευµα ενός παρασκευάσµατος είναι µιασυνεχής µεταβλητή Χ µε πυκνότητα f (x) = cx3 (1 − x) , 0 < x < 1 .

77 (α) Να υπολογισθούν η σταθερά c και οι πιθανότητες p1 = P(0 < X ≤ 1/ 3) καιp2 = P(1/ 3 < X ≤ 2 / 3) . (β) Αν το παρασκεύασµα πωλείται προς 3 j χιλιάδεςδραχµές το λίτρο όταν η περιεκτικότητα σε οινόπνευµα είναι ( j −1) / 3 < X ≤ j / 3 ,ενώ κοστίζει j + 1 χιλιάδες δραχµές, j = 1, 2,3 , να υπολογισθεί το µέσο κέρδος ανάλίτρο και η διασπορά του κέρδους. 7. Έστω ότι το ετήσιο εισόδηµα µισθωτού Χ, µετρούµενο σε χιλιάδες Ευρώ, είναιµία συνεχής τυχαία µεταβλητή µε πυκνότηταf (x) = 324 , 3 ≤ x < ∞. x5Να υπολογισθούν (α) η συνάρτηση κατανοµής F (x) , − ∞ < x < ∞ και (β) το µέσοεισόδηµα E( X ) και η διασπορά του εισοδήµατος Var( X ) . 8. Ο χρόνος πέψης Χ, µετρούµενος σε ώρες, µιας µονάδας τροφής είναι µιασυνεχής τυχαία µεταβλητή µε πυκνότηταf (x) = θ 2 xe−θ x , 0 < x < ∞ , (0 < θ < ∞) .Να υπολογισθούν (α) η συνάρτηση κατανοµής F (x) , − ∞ < x < ∞ , (β) η πιθανότηταόπως για την πέψη µιας µονάδας τροφής απαιτηθεί περισσότερο από µια ώρα και (γ)ο µέσος χρόνος πέψης µιας µονάδας τροφής E( X ) .9. Έστω ότι Χ µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότηταςf (x) = 1 , x = ±1, ± 2,..., ± ν . 2νΝα υπολογισθούν η µέση τιµή E( X ) και η διασπορά Var( X ) . 10. Έστω Χ µια συνεχής τυχαία µεταβλητή µε πυκνότητα f X (x) και συνάρτησηκατανοµής FX (x) . (α) Να προσδιορισθούν η συνάρτηση κατανοµής FY ( y) και ηπυκνότητα fY ( y) της τυχαίας µεταβλητής Y =| X |. (β) Αν f X (x) = 1/ 3 , −1 ≤ x ≤ 2 ,να βρεθεί η πυκνότητα fY ( y) της Y =| X |.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ΒΑΣΙΚΕΣ ∆ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Η κατανοµή πιθανότητας, η µέση τιµή και η διασπορά µιας τυχαίας µεταβλητήςεξετάσθηκαν στο Κεφάλαιο 2. Στο κεφάλαιο αυτό µελετώνται διεξοδικά οισηµαντικότερες διακριτές κατανοµές. Πιο συγκεκριµένα διατυπώνονται τα πιοβασικά και χρήσιµα στοχαστικά πρότυπα (µοντέλα) καθ’ ένα από τα οποία δύναταινα χρησιµοποιηθεί για την περιγραφή µιας ευρείας κλάσης στοχαστικών (τυχαίων)πειραµάτων ή φαινοµένων. Ορίζονται διακριτές τυχαίες µεταβλητές και σε κάθεπερίπτωση προσδιορίζεται η κατανοµή τους, υπολογίζοντας τη συνάρτησηπιθανότητας αυτής. Επίσης υπολογίζονται η µέση τιµή και η διασπορά της κατανοµήςκαι αποδεικνύονται χρήσιµες ιδιότητές της. Για τη διευκόλυνση των εφαρµογώνγίνεται χρήση των πινάκων των κατανοµών αυτών. Στο επόµενο κεφάλαιοµελετώνται µε τον ίδιο διεξοδικό τρόπο οι σπουδαιότερες συνεχείς κατανοµές.2. ΚΑΤΑΝΟΜΗ BERNOULLI ΚΑΙ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ2.1. Κατανοµή Bernoulli Ας θεωρήσουµε ένα τυχαίο πείραµα µε δειγµατικό χώρο Ω και ένα ενδεχόµενο Αστον Ω. Αν A′ είναι το συµπληρωµατικό ενδεχόµενο του Α στον Ω, τότε ταενδεχόµενα ( A, A′) αποτελούν µια διαίρεση του δειγµατικού χώρου Ω, εφ’ όσονA ∩ A′ = ∅ και A ∪ A′ = Ω . Το ενδεχόµενο Α χαρακτηρίζεται συνήθως ως επιτυχίακαι το A′ ως αποτυχία. Παριστάνοντας µε ε την επιτυχία και α την αποτυχία οδειγµατικός χώρος δύναται να παρασταθεί ως Ω = {α, ε}. Ένα τέτοιο τυχαίο πείραµακαλείται δοκιµή Bernoulli. Έστω P({ε}) = p , P({α}) = 1 − P({ε}) = 1 − p = q , (2.1)και ας θεωρήσουµε την ακόλουθη τυχαία µεταβλητή.Ορισµός 2.1. Έστω Χ ο αριθµός των επιτυχιών σε µια δοκιµή Bernoulli µε πιθανότηταεπιτυχίας p (και αποτυχίας q = 1 − p ). Η κατανοµή της δίτιµης (µηδέν-ένα) τυχαίαςµεταβλητής Χ καλείται (µηδέν-ένα) κατανοµή Bernoulli µε παράµετρο p.(Συµβολίζουµε X ~ b( p)) .

80 Οι συναρτήσεις πιθανότητας και κατανοµής, όπως επίσης η µέση τιµή και ηδιασπορά της κατανοµής Bernoulli δίδονται στο ακόλουθο θεώρηµα.Θεώρηµα 2.1. Η συνάρτηση πιθανότητας της κατανοµής Bernoulli µε παράµετρο pδίδεται από την f (x) = P( X = x) = p x q1−x , x = 0,1 . (2.2)και η συνάρτηση κατανοµής από την ⎧0, − ∞ < x < 0 (2.3) F (x) = ⎪⎨q, 0 ≤ x < 1 ⎪⎩1, 1 ≤ x < ∞.Η µέση τιµή και διασπορά της κατανοµής Bernoulli µε παράµετρο p δίδονται από τις µ = E( X ) = p , σ 2 = Var( X ) = pq . (2.4)Απόδειξη. Ο αριθµός Χ των επιτυχιών σε µια δοκιµή Bernoulli είναι µια τυχαίαµεταβλητή ορισµένη στον Ω = {α, ε} µε X (α) = 0 , X (ε) = 1,και έτσι συνάγουµε τις πιθανότητες P( X = 0) = P({ω ∈ Ω: X (ω) = 0}) = P({α}) = q , P( X = 1) = P({ω ∈ Ω: X (ω) = 1}) = P({ε}) = p ,οι οποίες συνεπάγονται τη συνάρτηση πιθανότητας (2.2). Η συνάρτηση κατανοµής(2.3) προκύπτει άµεσα από τη (2.2) µε τη χρησιµοποίηση της (2.4) του Κεφ. 2. H µέση τιµή της τυχαίας µεταβλητής Χ είναι 1 ∑µ = E( X ) = xp xq1−x = p x=0και η διασπορά αυτής συνάγεται ως εξής: σ2 = Var( X ) = E[( X − µ)2 ] = 1 p)2 p x q1−x = p2q + q2 p = pq . ∑(x − x=02.2. ∆ιωνυµική κατανοµήΟρισµός 2.1. Έστω Χ ο αριθµός των επιτυχιών σε µια ακολουθία ν ανεξαρτήτωνδοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας p (και αποτυχίας q = 1 − p ), P({ε}) = p , P({α}) = q = 1 − p ,

81σταθερή (ίδια) σε όλες τις δοκιµές. Η κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής Χ καλείταιδιωνυµική µε παραµέτρους ν και p. (Συµβολίζουµε µε X ~ b(v, p)) . Προτού υπολογίσουµε τις συναρτήσεις πιθανότητας και κατανοµής τηςδιωνυµικής, διατυπώνουµε το εξής θεώρηµα.Θεώρηµα 2.2. ∆ιωνυµικό Θεώρηµα, Τύπος ∆ιωνύµου του Νεύτωνα. Γιαοποιουσδήποτε πραγµατικούς x, y , ισχύει η ταυτότητα (x + y)v = k∑=v 0⎝⎜⎜⎛ v ⎟⎟⎠⎞ x k y v−k , v = 1, 2,... . kΑπόδειξη. Είναι (x + y)v = (x + y)(x + y)L(x + y) = p1(x, y) ⋅ p2 (x, y)L pv (x, y) ,όπου pi = pi (x, y) = x + y , i = 1, 2,..., v . Εκτελώντας τις πράξεις σύµφωνα µε τηνεπιµεριστική ιδιότητα θα προκύψουν προσθετέοι της µορφής xv , xv−1 y,..., xk yv−k ,..., xyv−1, y v , δηλαδή της γενικής µορφής xk y v−k για k = 0,1,..., v . Εποµένως, µετάτην εκτέλεση των πράξεων, η έκφραση για το (x + y)v θα πάρει τη µορφή ∑(x + y)v = v Cv,k x k y v−k , k =0όπουCv,k = φορές που εµφανίζεται ο όρος xk yv−k µετά την εκτέλεση των πράξεων.Είναι φανερό ότι ο όρος xk yv−k σχηµατίζεται όταν και µόνο όταν επιλέξουµε k απότις παρενθέσεις p1,..., pv , από τις οποίες θα λάβουµε το x (και άρα, από τις υπόλοιπεςv − k παρενθέσεις θα λάβουµε το y). Τελικά, Cv,k = πλήθος τρόπων που επιλέγονται k στοιχεία από τα p1,..., pv = ⎜⎝⎜⎛ v ⎟⎟⎠⎞ , kλόγω του Θεωρήµατος 4.1 (β) του Κεφ. 1. Οι συναρτήσεις πιθανότητας και κατανοµής της διωνυµικής κατανοµήςσυνάγονται στο ακόλουθο θεώρηµα.Θεώρηµα 2.3. Η συνάρτηση πιθανότητας της διωνυµικής κατανοµής µε παραµέτρους νκαι p δίδεται από την f (x) = P( X = x) = ⎜⎜⎛⎝ ν ⎠⎞⎟⎟ p x qν −x , x = 0,1, 2,..., ν (2.5) x

82και η συνάρτηση κατανοµής από την ⎧0, −∞< x<0 ⎪ 0≤ x<ν ⎪ [ x] ⎜⎜⎛⎝ ν ⎟⎠⎞⎟ pκ q ν−κ ν ≤ x < ∞, κ ∑F ( x) = ⎨ , (2.6) ⎪κ=0 ⎪⎩1,όπου [x] παριστάνει το ακέραιο µέρος του x.Απόδειξη. Ο δειγµατικός χώρος του συνθέτου τυχαίου πειράµατος των νανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli είναι, σύµφωνα µε το Εδάφιο 9 του Κεφ. 1, το ν-πλόκαρτεσιανό γινόµενο του Ω = {α, ε} µε τον εαυτό του, Ων = {(ω1, ω2 ,..., ων ) : ωi ∈{α, ε}, i = 1, 2,..., ν} .Το ενδεχόµενο {X = x} να πραγµατοποιηθούν x επιτυχίες στις ν δοκιµέςπεριλαµβάνει ⎜⎝⎜⎛ ν ⎠⎟⎞⎟ στοιχειώδη ενδεχόµενα, όσα και ο αριθµός των επιλογών των x xθέσεων για τις επιτυχίες από τις ν θέσεις. Επιπλέον κάθε τέτοιο στοιχειώδεςενδεχόµενο, επειδή οι δοκιµές είναι ανεξάρτητες, έχει πιθανότητα p x qν −x .Εποµένως f (x) = P( X = x) = ⎛⎝⎜⎜ ν ⎟⎟⎠⎞ p x qν − x , x = 0,1, 2,..., ν . x Σηµειώνουµε ότι f (x) > 0 , x = 0,1, 2,..., ν , f (x) = 0 , x ∉{0,1, 2,..., ν}και σύµφωνα µε τον τύπο του διωνύµου του Νεύτωνα, ∑ ∑ν ν ⎝⎛⎜⎜ ν ⎠⎞⎟⎟ x qν x = ( p + q)ν x=0 x x=0 f (x) = p − = 1,όπως απαιτείται από τον ορισµό της συνάρτησης πιθανότητας. Η συνάρτηση κατανοµής (2.6) προκύπτει άµεσα από τη (2.5) µε τηχρησιµοποίηση της (2.4) του Κεφ. 2. Οι πίνακες της συνάρτησης πιθανότητας (2.5) και της συνάρτησης κατανοµής(2.6) της διωνυµικής κατανοµής διευκολύνουν τους υπολογισµούς πουπεριλαµβάνουν διωνυµικές πιθανότητες και χρησιµοποιούνται ευρύτατα, ιδιαίτεραστη Στατιστική. Οι πίνακες της διωνυµικής κατανοµής δίνουν συνήθως τη συνάρτηση

83πιθανότητας (2.5) για ν = 1, 2,..., 20 και p = 0.05, 0.10,..., 0.50 . Στην περίπτωση πουp > 0.5 οπότε q = 1 − p < 0.5 , χρησιµοποιείται ο τύπος ⎛⎜⎝⎜ ν ⎠⎞⎟⎟ p x qν − x = ⎜⎛⎝⎜ ν ⎟⎠⎞⎟qν −x pν −(ν − x) . (2.7) x − ν x Στο επόµενο θεώρηµα συνάγονται η µέση τιµή και η διασπορά της διωνυµικήςκατανοµής.Θεώρηµα 2.3. Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί τη διωνυµική κατανοµή µεσυνάρτηση πιθανότητας την (2.5). Τότε η µέση τιµή και η διασπορά της αυτής δίδονταιαπό τις µ = E( X ) = νp , σ 2 = Var( X ) = νpq . (2.8)Απόδειξη. Η µέση τιµή της τ.µ. Χ, σύµφωνα µε τον ορισµό, δίδεται από την ∑µ ν x⎛⎜⎝⎜ ν ⎞⎟⎠⎟ p x qν x = E(X ) = x =1 x − .Χρησιµοποιώντας τη σχέση x⎛⎜⎜⎝ ν ⎟⎞⎟⎠ = x ν! x)! = ν ( x (ν −1)! x)! = ν⎛⎝⎜⎜ ν −−11⎞⎟⎠⎟ x x!(ν − −1)!(ν − xπαίρνουµε ν ⎜⎝⎜⎛ ν − 11⎟⎞⎟⎠ x qν x ν −1 ⎜⎝⎜⎛ ν − 1⎟⎠⎞⎟ y qν −1− y x=1 x − y νp y=0 ∑ ∑µ p = E(X ) = ν p − =και σύµφωνα µε τον τύπο του διωνύµου του Νεύτωνα συµπεραίνουµε ότι µ = E( X ) = νp( p + q)ν −1 = νp .Επίσης ∑ ∑µ(2) ν ⎜⎝⎛⎜ ν ⎟⎞⎟⎠ x qν x ν 1)⎜⎝⎜⎛ ν ⎟⎠⎞⎟ x qν x = E[( X )2 ] = x= ( x) x p − = x=0 x( x − x p − 2 2και επειδήx( x − 1)⎜⎜⎝⎛ ν ⎟⎠⎞⎟ = x(x − 1) ν! x)! = ν(ν − 1) ( x (ν − 2)! x)! = ν(ν − 1)⎝⎛⎜⎜ ν − 22 ⎞⎠⎟⎟ x x!(ν − − 2)!(ν − x −παίρνουµε∑ ∑µ(2) = E[( X ) ] = ν(ν − 1) ν ⎛⎜⎝⎜ ν − 2 ⎞⎟⎟⎠ p x qν − x = ν(ν − 1) p 2 ν −2 ⎝⎜⎜⎛ ν − 2 ⎟⎟⎠⎞ p y qν −2− y x= x − 2 y=0 y 2 2

84 = ν(ν −1) p 2 ( p + q)ν −2 = ν(ν −1) p 2 .Εποµένως, σ 2 = Var( X ) = E[( X )2 ] + µ − µ 2 = ν(ν −1) p 2 + νp − ν2 p 2 = νpq .Παράδειγµα 2.1. Έστω ότι σε ν ασθενείς µετρείται η πίεση του αίµατος πριν καιµετά τη χορήγηση ενός ορισµένου φαρµάκου και τα αποτελέσµατα είναι ( y1, z1) ,( y2 , z2 ),...,( yν , zν ) . Αν yκ > zκ θεωρούµε ότι η κ–οστή δοκιµή είχε αποτέλεσµαεπιτυχία, ενώ αν yκ ≤ zκ αποτυχία, κ = 1, 2,..., ν . Αν το φάρµακο δεν έχει καµµιάεπίδραση τότε η πιθανότητα επιτυχίας p είναι ίση µε την πιθανότητα αποτυχίαςq = 1 − p και εποµένως p = 1/ 2 . Έστω Χ ο αριθµός των επιτυχιών στις ν δοκιµές. Τότε, υποθέτοντας ότι τοφάρµακο δεν έχει καµµιά επίδραση στην πίεση του αίµατος, f (x) = P( X = x) = ⎜⎛⎝⎜ ν ⎟⎞⎟⎠⎛⎝⎜ 1 ⎟⎞ν , x = 0,1, 2,..., ν . x 2 ⎠(Σηµειώνουµε ότι πολύ µικρός αριθµός επιτυχιών αποτελεί ένδειξη ότι το φάρµακοέχει αρνητική επίδραση (αυξάνει την πίεση), ενώ πολύ µεγάλος αριθµός επιτυχιώνσηµαίνει ότι έχει ευεργετική επίδραση (µειώνει την πίεση)). Να υπολογισθούν οιπιθανότητες (α) 2 το πολύ επιτυχιών και (β) 7 τουλάχιστον επιτυχιών στην περίπτωσην = 8 ασθενών. Έχουµε P(X ≤ 2) = x∑=20⎛⎜⎝⎜ 8 ⎞⎠⎟⎟(0.5) 8 = 0.0039 + 0.0312 + 0.1094 = 0.1445 , x P(X ≥ 7) = x∑=87⎛⎜⎝⎜ 8 ⎟⎠⎞⎟(0.5)8 = 0.0312 + 0.0039 = 0.0351 . xΠαράδειγµα 2.2. Ας θεωρήσουµε έναν αρχικό πληθυσµό στον οποίο οι γονότυποιAA, Aα και αα εµφανίζονται µε πιθανότητες p, 2q και r ( p + 2q + r = 1),ανεξάρτητα φύλου. Έστω ότι καθένας από τους γονείς (πατέρας και µητέρα)κληρονοµεί, σύµφωνα µε το νόµο κληρονοµικότητας του Mendel, σε κάθε παιδί τουένα από τα γονίδια Α και α. Ας θεωρήσουµε ένα ζευγάρι (άνδρα και γυναίκα) από τον πληθυσµό αυτό τοοποίο αποκτά ν παιδιά και έστω ότι το ενδιαφέρον για κάθε παιδί εστιάζεται στο κατάπόσον έχει το γονότυπο AA . Χαρακτηρίζοντας το ενδεχόµενο Γ1 όπως ένα παιδί έχειτο γονότυπο AA ως επιτυχία και το συµπληρωµατικό του ως αποτυχία, η γέννησηενός παιδιού δύναται να θεωρηθεί ως δοκιµή Bernoulli µε πιθανότητες (βλ.Παράδειγµα 9.2 του Κεφ. 1)

85 p1 = P({ε}) = P(Γ1) = ( p + q)2 , q1 = P({α}) = P(Γ1′) = 1 − ( p + q)2 .Η σειρά των ν γεννήσεων αποτελεί µια ακολουθία ν ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulliκαι έτσι ο αριθµός Χ των παιδιών που έχουν το γονότυπο AA ακολουθεί τηδιωνυµική κατανοµή µε συνάρτηση πιθανότητας f (x) = ⎜⎛⎝⎜ ν ⎞⎟⎠⎟ p1x q1ν − x , x = 0,1,..., ν . x Στη µερική περίπτωση που οι πιθανότητες των τριών γονοτύπων στον αρχικόπληθυσµό είναι p = q = r = 1/ 4 , οπότε p1 = 1/ 4 , q1 = 3 / 4 , ο αριθµός Χ τωνπαιδιών που έχουν το γονότυπο AA , σε σύνολο ν = 4 παιδιών, έχει συνάρτησηπιθανότητας ⎜⎛⎜⎝ 4 ⎞⎟⎠⎟⎛⎜⎝ 1 ⎟⎞ x ⎜⎛ 3 ⎟⎞ 4− x x 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ f (x) = , x = 0,1, 2,3, 4 .Η πιθανότητα όπως ένα τουλάχιστο από τα 4 παιδιά έχει το γονότυπο AA είναι ίσηµεP(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − ⎜⎛⎝ 3 ⎟⎠⎞4 = 175 = 0.6836 . 4 256Ο αναµενόµενος αριθµός παιδιών µε το γονότυπο AA είναι µ = E(X ) = 4 ⋅ 1 = 1 . 43. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗ PASCAL3.1. Γεωµετρική κατανοµήΟρισµός 3.1. Ας θεωρήσουµε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µεπιθανότητα επιτυχίας p (και αποτυχίας q), P({ε}) = p , P({α}) = q = 1 − p ,σταθερή (ίδια) σε όλες τις δοκιµές. Έστω Χ ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτηεπιτυχία. Η κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής Χ καλείται γεωµετρική µε παράµετρο p.(Συµβολίζουµε X ~ G( p)) . Οι συναρτήσεις πιθανότητας και κατανοµής της γεωµετρικής κατανοµήςσυνάγονται στο ακόλουθο θεώρηµα.Θεώρηµα 3.1. Η συνάρτηση πιθανότητας της γεωµετρικής κατανοµής µε παράµετρο pδίδεται από την

86 f (x) = P( X = x) = pq x−1 , x = 1, 2,... (3.1)και η συνάρτηση κατανοµής από την F (x) = ⎧0, q[ x] , −∞ < x <1 (3.2) ⎩⎨1 − 1 ≤ x < ∞,όπου [x] παριστάνει το ακέραιο µέρος του x.Απόδειξη. Το ενδεχόµενο {X = x} , η πρώτη επιτυχία να πραγµατοποιηθεί στη x-οστή δοκιµή, περιλαµβάνει ένα µόνο δειγµατικό σηµείο (στοιχειώδες ενδεχόµενο) καισυγκεκριµένα το {(α, α,..., α, ε)},όπου στις x −1 θέσεις (δοκιµές) έχει αποτυχία και στη x-οστή θέση (δοκιµή) έχειεπιτυχία. Χρησιµοποιώντας ότι οι δοκιµές είναι ανεξάρτητες τούτο έχει πιθανότητα q x−1 p .Εποµένως η συνάρτηση πιθανότητας της τ.µ. Χ είναι η f (x) = P( X = x) = pq x−1 , x = 1, 2,... . Σηµειώνουµε ότι f (x) > 0 , x = 1, 2,... , f (x) = 0 , x ∉{1, 2,...}και σύµφωνα µε τον τύπο του αθροίσµατος των απείρων όρων γεωµετρικής προόδου(σειράς), ∑ ∑∞ f (x) = p ∞ q x−1 = p(1 − q)−1 = 1, x=1 x=1όπως απαιτείται από τον ορισµό της συνάρτησης πιθανότητας. Η συνάρτηση κατανοµής (3.2) προκύπτει άµεσα από τη συνάρτηση πιθανότητας(3.1) µε τη χρησιµοποίηση της (2.4) του Κεφ. 2. Στο επόµενο θεώρηµα συνάγονται η µέση τιµή και η διασπορά της γεωµετρικήςκατανοµής.Θεώρηµα 3.2. Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί τη γεωµετρική κατανοµή µεσυνάρτηση πιθανότητας την (3.1). Τότε η µέση τιµή και η διασπορά αυτής δίδονται απότις µ = E(X ) = 1 , σ2 = Var( X ) = q . (3.3) p p2

87Απόδειξη. Η µέση τιµή και η δεύτερης τάξης παραγοντική ροπή της γεωµετρικήςκατανοµής δίδονται από τις ∞∞ ∑ ∑µ = E( X ) = xpq x−1 = p xq x−1 x=1 x=1και ∞∞ ∑ ∑µ(2) = E[( X )2 ] = (x)2 pq x−1 = pq x(x − 1)q x−2 . x=2 x=2Παρατηρούµε ότι, παραγωγίζοντας διαδοχικά ως προς q τη γεωµετρική σειρά ∞ ∑ q x = (1 − q)−1 , x=0συνάγουµε τις σχέσεις ∞∞ ∑ ∑xq x−1 = (1 − q)−2 , x(x −1)q x−2 = 2(1 − q)−3 . x=1 x=2Εποµένως µ = E(X ) = ∑∞ xq x −1 = p = 1 , (1 − q)2 p p x=1και µ(2) = E[(X )2] = ∞ x(x − 1)q x−2 = 2 pq = 2q , (1 − q)3 p2 pq∑ x=2οπότε σ2 = Var( X ) = E[( X )2 ] + µ − µ2 = 2q + 1 − 1 = q . p p p2 p2 Η έλλειψη µνήµης αποτελεί χαρακτηριστική ιδιότητα της γεωµετρικήςκατανοµής. Η ιδιότητα αυτή αποδεικνύεται στο επόµενο θεώρηµα.Θεώρηµα 3.3. Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί τη γεωµετρική κατανοµή µεσυνάρτηση πιθανότητας την (3.1). Τότε P( X > κ + r | X > κ) = P( X > r) , κ, r = 0,1, 2,... . (3.4)Απόδειξη. Η δεσµευµένη πιθανότητα του ενδεχοµένου {ω: X(ω) > κ + r} δεδοµένουτου ενδεχοµένου {ω: X(ω) > κ}, λαµβάνοντας υπόψη ότι {ω: X(ω) > κ + r}⊆ {ω: X(ω) > κ} και χρησιµοποιώντας την (3.2), είναι ίση µε

88 P(X >κ+r| X > κ) = P( X > κ + r, X > κ) = P(X > κ + r) P(X > κ) P(X > κ) = 1 − F (κ + r ) = qκ +r = qr 1 − F (κ ) qκκαι επειδή P(X > r) = 1− F(r) = qrσυνάγεται η (3.4). Σηµειώνουµε ότι η ιδιότητα αυτή σηµαίνει έλλειψη µνήµης της γεωµετρικήςκατανοµής µε την ακόλουθη έννοια: Η πιθανότητα να απαιτηθούν επιπρόσθεταπερισσότερες από r δοκιµές µέχρι την πρώτη επιτυχία δεδοµένου ότι δεν έχειπραγµατοποιηθεί επιτυχία στις κ πρώτες δοκιµές είναι η ίδια µε την (µη δεσµευµένη)πιθανότητα να απαιτηθούν περισσότερες από r δοκιµές µέχρι την πρώτη επιτυχία.Εποµένως η πληροφορία µη επίτευξης του στόχου (επιτυχία) ξεχνιέται και ηπροσπάθεια συνεχίζεται όπως όταν πρωταρχίζει.Παρατήρηση 3.1. Η συνάρτηση πιθανότητας του αριθµού Υ των αποτυχιών µέχριτην πρώτη επιτυχία υπολογίζεται µε τη χρησιµοποίηση της σχέσης Y = X −1 και της(3.1) ως εξής: fY(y) = P(Y = y) = P(X = y + 1) = pqy , y = 0,1, 2,... . (3.5)Η κατανοµή της τ.µ. Υ καλείται επίσης γεωµετρική µε παράµετρο p. H µέση τιµή καιη διασπορά αυτής προκύπτουν από τις (3.3):E(Y ) = E(X − 1) = E(X ) −1 = q , Var(Y) = Var(X −1) = Var(X) = q . (3.6) p p2Παράδειγµα 3.1. Το κόστος εκτέλεσης για πρώτη φορά ενός συγκεκριµένουπειράµατος είναι 100 Ευρώ. Αν το πείραµα αποτύχει, για ορισµένες µεταβολές πουπρέπει να γίνουν πριν από την επόµενη εκτέλεσή του απαιτείται ένα πρόσθετο ποσόν20 Ευρώ. Υποθέτουµε ότι οι δοκιµές είναι ανεξάρτητες µε πιθανότητα επιτυχίαςp = 4 / 5 και ότι συνεχίζονται µέχρι την πρώτη επιτυχία. Να υπολογισθούν (α) ηπιθανότητα να απαιτηθούν 4 το πολύ δοκιµές µέχρι την πρώτη επιτυχία και (β) τοαναµενόµενο κόστος µέχρι την πρώτη επιτυχία. (α) Ο αριθµός Χ των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία ακολουθεί τηγεωµετρική κατανοµή µε συνάρτηση πιθανότητας 4 ⎜⎛ 1 ⎟⎞ x−1 5 ⎝ 5 ⎠ f (x) = P(X = x) = , x = 1, 2,...

89και συνάρτηση κατανοµής ⎧0, − ∞ < x < 1 ⎪ F (x) = ⎪⎨1 − ⎛⎜ 1 ⎞⎟[ x ] , 1 ≤ x < ∞. ⎩ ⎝ 5 ⎠Εποµένως ⎜⎛ 1 ⎟⎞ 4 ⎝ 5 ⎠ P( X ≤ 4) = F (4) = 1 − = 0.9984 . (β) Αν Κ είναι το κόστος µέχρι την πρώτη επιτυχία τότε K = 100X + 20( X −1) = 120X − 20και E(K ) = 120E( X ) − 20 .Η µέση τιµή της τυχαίας µεταβλητής Χ είναι ίση µε E(X ) = 1 = 5 p 4και συνεπώς E(K ) = 130 .3.2. Κατανοµή Pascal (Αρνητική ∆ιωνυµική)Ορισµός 3.2. Ας θεωρήσουµε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µεπιθανότητα επιτυχίας p (και αποτυχίας q), P({ε}) = p , P({α}) = q = 1 − p ,σταθερή (ίδια) σε όλες τις δοκιµές. Έστω Χ ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την r-οστήεπιτυχία. Η κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής Χ καλείται κατανοµή Pascal ή Αρνητική∆ιωνυµική, µε παραµέτρους r και p. (Συµβολίζουµε X ~ NB(r, p)) Οι συναρτήσεις πιθανότητας και κατανοµής της κατανοµής Pascal συνάγονται στοακόλουθο θεώρηµαΘεώρηµα 3.4. Η συνάρτηση πιθανότητας της κατανοµής Pascal µε παραµέτρους r καιp δίδεται από την f (x) = P( X = x) = ⎛⎜⎝⎜ x − 11⎟⎠⎞⎟ p r q x−r , x = r, r + 1,... (3.7) r −και η συνάρτηση κατανοµής από την

90 ⎧0, − ∞ < x < r ⎪ ∑F (x) = ⎨ [ x] ⎝⎜⎜⎛ κ −−11⎠⎟⎞⎟ r −r (3.8) =r r ⎪ p qκ , r ≤ x < ∞, ⎩κόπου [x] παριστάνει το ακέραιο µέρος του x.Απόδειξη. Το ενδεχόµενο {X = x} περιλαµβάνει τα δειγµατικά σηµεία (στοιχειώδηενδεχόµενα) (ω1, ω2 ,..., ωx−1, ε) , µε r −1 επιτυχίες στις x −1 πρώτες δοκιµές καιεπιτυχία στη x-οστή δοκιµή, τα οποία είναι πλήθους ⎜⎜⎝⎛ x −−11⎟⎠⎞⎟ , όσα και ο αριθµός των rεπιλογών των r −1 θέσεων για τις επιτυχίες από τις x −1 δυνατές θέσεις. Επιπλέονκάθε τέτοιο δειγµατικό σηµείο έχει πιθανότητα pr q x−r .Εποµένως f (x) = P( X = x) = ⎝⎛⎜⎜ x −−11⎠⎞⎟⎟ p r q x−r , x= r, r + 1,... . r Σηµειώνουµε ότι f (x) > 0 , x = r, r + 1,... , f (x) = 0 , x ∉{r, r + 1,...}και χρησιµοποιώντας το αρνητικό διωνυµικό ανάπτυγµα, x∑∞=0⎛⎜⎜⎝r + x − 1⎠⎟⎞⎟ t x = (1 − t)−r, −1< t <1, (3.9) xσυνάγουµε τη σχέση ∞ f (x) = ∞ ⎜⎛⎜⎝ x − 11⎟⎟⎠⎞ prq x−r = ∑pr y∞=0⎛⎜⎜⎝r +y −1⎟⎟⎠⎞ qy = pr(1 − q)−r = 1, r − y ∑ ∑ x=r x=rόπως απαιτείται από τον ορισµό της συνάρτησης πιθανότητας. Η συνάρτηση κατανοµής (3.8) προκύπτει άµεσα από τη συνάρτηση πιθανότητας(3.7) µε τη χρησιµοποίηση της (2.4) του Κεφ. 2. Στο επόµενο θεώρηµα συνάγονται η µέση τιµή και η διασπορά της κατανοµήςPascal.Θεώρηµα 3.5. Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανοµή Pascal µεσυνάρτηση πιθανότητας την (3.7). Τότε η µέση τιµή και η διασπορά αυτής δίδονται απότις

91 µ= E(X ) = r, σ2 = Var( X ) = rq . (3.10) p p2Απόδειξη. Η µέση τιµή της τ.µ. Χ δίδεται από την ∑µ ∞ x⎝⎜⎜⎛ x − 11⎟⎟⎠⎞ r x −r = E(X ) = x=r r − p q ,οπότε, χρησιµοποιώντας τη σχέση x⎜⎛⎜⎝ x −−11⎟⎞⎟⎠ = x (r (x −1)! r)! = r x! r)! = r⎝⎜⎛⎜ x x r ⎞⎠⎟⎟ r −1)!(x − r!(x − −και την (3.9), συνάγουµε την έκφραση µ = rpr ∞ ⎜⎝⎛⎜ x ⎠⎟⎟⎞q x−r = rpr y∑∞=0⎛⎝⎜⎜r + y⎟⎟⎠⎞ q y = rpr(1 − q)−r−1 = r . − y p ∑ x r x=rΗ δεύτερης τάξης ανοδική παραγοντική ροπή της τ.µ. Χ δίδεται από την ∑µ[2] ∞ 1)⎜⎝⎜⎛ x − 11⎟⎞⎠⎟ p r x r = E[ X ( X + 1)] = x=r x( x + r − q − ,οπότε, χρησιµοποιώντας τη σχέσηx(x + 1)⎝⎜⎜⎛ x −−11⎠⎟⎞⎟ = x(x + 1) (r (x −1)! r)! = r(r + 1) (r (x + 1)! r)! = r(r + 1)⎜⎜⎝⎛ x + 1r ⎠⎟⎞⎟ r −1)!(x − + 1)!(x − x −και την (3.9), συνάγουµε την έκφραση r(r + 1) p r ∞ ⎛⎝⎜⎜ x + 1 ⎠⎞⎟⎟q x−r r(r + 1) p r ∞ ⎜⎛⎝⎜ r + y + 1⎟⎞⎠⎟q y∑ ∑µ[2] x=r x − r y=0 y = E[ X ( X + 1)] = = = r(r + 1) p r (1 − q)−r−2 = r(r + 1) p −2 .Εποµένως η διασπορά της τ.µ. Χ είναι σ2 = Var( X ) = E[ X ( X + 1)] − µ − µ 2 = r(r + 1) − r − r2 = rq . p2 p p2 p2Παρατήρηση 3.2. Ας θεωρήσουµε τον αριθµό Υ των αποτυχιών µέχρι τη r-οστήεπιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίαςp. Η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας αυτής µεταβλητής δύναται να υπολογισθείείτε απευθείας είτε µε τη χρησιµοποίηση της σχέσης Y = X − r και της συνάρτησηςπιθανότητας (3.7) της Χ. Έχουµε