ใบความรู้ เรื่องปริซึมและทรงกระบอก

ใบความรู้ ทรงกระบอก นางสาวศศิธร จนั ทร์เอยี ด รหสั นกั ศกึ ษา 6201102001023

กก คำนำ ใบความรู้ สำหรับนักเรียนระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เรื่อง ปริซึมและ ทรงกระบอก มีจุดมุ่งหมายเพื่อพัฒนาผู้เรียนให้มีความรู้ ความเข้าใจ เรื่องปริซึม และทรงกระบอก และเป็นการเพิ่มพูนทักษะ และกระบวนการต่าง ๆ ในการเรียน เรื่องปริซึมและทรงกระบอก ใบความรู้ที่จัดทำขึ้นนี้มีเนื้อหาที่สอดคล้อง ครอบคลุมตามหลักสูตรแกนกลาง การศึกษาขั้นพื้นฐาน พ.ศ. 2551 และหลักสูตรสถานศึกษา เนื้อหาในใบความรู้มี ด้วยกันทั้งหมด 4 เรื่อง ประกอบด้วย ความหมายและลักษณะของปริซึม ความหมายและลักษณะของทรงกระบอก พื้นที่ผิวของปริซึม และพื้นที่ผิวของ ทรงกระบอก ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่า ใบความรู้ สำหรับนักเรียนระดับชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 2 เรื่อง ปริซึมและทรงกระบอก จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนรู้สำหรับนักเรียน จนเกิดประสิทธิภาพและประสิทธิผลต่อไป ศศิธร จันทร์เอียด

ขข สารบัญ เร่ือง หน้า คำนำ....................................................................... ....................ก สารบัญ...................................................................................... ...ข สารบัญรูปภาพ.......................................................................... ....ค ปริซึม.................................................................................... ...1-6 ความหมายและลักษณะของปริซึม ............................................................. 1 ปริมาตรของปริซึม .......................................................................................2 พื้นท่ีผิวของปริซึม....................................................................................... 3 ทรงกระบอก............................................................................7-16 ความหมายและลักษณะของทรงกระบอก .................................................7 ปริม าตร ขอ งทร งกร ะบอ ก ............................................................................8 พ้ื น ท่ี ผิว ขอ งท รง กร ะบ อก ........................................................................... 12 ศกึ ษาเพม่ิ เตมิ ......................................................................................................18 บรรณานกุ รม.......................................................................................................19

คค สารบัญรูปภาพ หนา้ ภาพท่ี 1 ปรซิ ึมรูปต่าง ๆ.........................................................................................1 ภาพที่ 2 ลกั ษณะของปริซึมรูปตา่ ง ๆ.......................................................................1 ภาพท่ี 3 ปริซมึ สี่เหล่ียม..........................................................................................2 ภาพท่ี 4 รูปคล่กี ลอ่ งทรงลูกบาศก์............................................................................4 ภาพท่ี 5 ปริซมึ สามเหลยี่ ม......................................................................................5 ภาพท่ี 6 รูปทรงกระบอก.........................................................................................7 ภาพที่ 7 ลกั ษณะของรูปทรงกระบอก.......................................................................8 ภาพที่ 8 ถังน้ำรูปทรงกระบอก................................................................................10 ภาพท่ี 9 รูปคล่ีของทรงกระบอก..............................................................................12 ภาพที่ 10 รูปคล่ขี องทรงกระบอก.............................................................................13 ภาพท่ี 11 ทรงกระบอกเอยี ง....................................................................................15 ภาพที่ 12 รูปเรขาคณติ สามมิติ...............................................................................16

11 ปริซึม ความหมายและลักษณะของ ควปามริซหึมมายของปริซึม ปริซึม คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปเหลี่ยมที่เท่ากันทุก ประการ และฐานทั้งคู่อยู่ในระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูป สี่เหลี่ยมด้านขนาน การเรียกชื่อปริซึมจะเรียกตามลักษณะของฐาน เช่น ฐาน เป็นสี่เหล่ียมจัตุรัส เรียกว่า ปริซิมสี่เหล่ียมจัตุรัส เป็นต้น ภาพท่ี 1 ปริซมึ รูปต่าง ๆ ท่ีมา: (ชลธิชา วรรณทอง, 2555) ลักษณะของปริซึม - ปริซึมสี่เหล่ียม - ปริซึมสามเหลี่ยม สูง ฐาน สูง ฐาน ฐาน ด้านข้าง ด้านข้าง ฐาน ภาพที่ 2 ลกั ษณะของปรซิ มึ รูปต่าง ๆ ท่มี า: (ศศธิ ร จันทรเ์ อียด, 2564)

22 ปริมาตรของปริซึม สูตร ปริมาตรของปริซึม ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง ตัวอย่างท่ี 1 5 ซม. 5 ซม. 5 ซม. ภาพที่ 3 ปรซิ มึ สีเ่ หลี่ยม ทีม่ า: (ศศธิ ร จันทรเ์ อยี ด, 2564) วธิ ีทำ ปรมิ าตรของปริซมึ = พ้นื ทฐ่ี าน x ความสูง = (5 x 5) x 5 = 25 x 5 = 125 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร ตอบ 125 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

33 ตัวอย่างที่ 2 จงหาปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มี ฐานยาวด้านละ 15 เซนตเิ มตร และความสูง 20 เซนติเมตร วิธีทำ ปรมิ าตรของปริซมึ = พนื้ ที่ฐาน x ความสูง = (15 x 15) x 20 = 225 x 20 = 4,500 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร ตอบ 4,500 ลูกบาศก์เซนติเมตร พื้นที่ผิวของปริซึม ในทางคณิตศาสตร์ พื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดของวัตถุ จะเรียกว่า พื้นที่ผิว (Surface Area) ของวตั ถสุ ำหรบั การหาพ้นื ที่ของปรซิ ึมมีหลกั การง่าย ๆ คือ การ หาพื้นที่ของด้านข้างทั้งหมดรวมกับพื้นที่ของฐานทั้งสอง โดยการคำนวณหาพื้นที่ของ ปริซึมนั้น อาจร่างภาพรูปคลี่ (Net) เพื่อให้เห็นภาพของพื้นผิวทั้งหมดที่ต้องการ คำนวณหาพื้นที่ รูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติที่กล่าวถึงนี้จะเป็นรูปเรขาคณิตสองมิติ ท่ีแสดงหน้าแต่ละหนา้ ของรูปเรขาคณิตสามมติ ิที่คลอ่ี อกมาจากบรเิ วณที่เปน็ สนั หรือเส้น ขอบ ดังตัวอย่างรูปคลขี่ องกล่องทรงลูกบาศก์ ต่อไปนี้

44 พ้ืนที่ฐาน พื้นที่ผิวข้าง รูปท่ีคลี่ ภาพท่ี 4 รูปคล่ขี องกลอ่ งทรงลูกบาศก์ ทมี่ า: (วราภรณ์ สายศรี, 2554) พื้นที่ผิวของปริซึม หมายถึง ผลรวมพื้นท่ีทุกด้านของปริซึมรวมกบั พื้นที่ฐาน ท้งั สอง น่ันคือ พ้ืนที่รูปคล่ีท้ังหมด เรียกว่า พื้นท่ีผิวของปริซึม ดังน้ัน พื้นท่ีผิวของปริซึม = พื้นท่ีฐานท้ังสอง + พื้นท่ีผิวข้าง หรือ พ้ืนท่ีผิวของปริซึม = 2(พื้นที่ฐาน) + พื้นท่ีผิวข้าง พ้ืนที่ผิวข้าง = ความยาวรอบฐาน x สูง พ้ืนท่ีผิวของปริซึม = พ้ืนท่ีฐานทั้งสอง + พ้ืนท่ีผิวข้าง พื้นท่ีผิวข้าง = ความยาวรอบฐาน x สูง

55 ตัวอย่างท่ี 1 ปรซิ ึมนม้ี พี ้ืนที่ผวิ เทา่ ไร ภาพที่ 5 ปรซิ มึ สามเหลี่ยม ท่ีมา: (นงคน์ ชุ สุกใส, 2564) วิธีทำ ฐานของปริซึมเปน็ รูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัว จากพ้นื ท่ีรูปสามเหลี่ยม = 21 x ฐาน x สูง เน่ืองจาก ปรซิ ึมสามเหล่ยี มมฐี านทั้งสองดา้ นเปน็ รูปสามเหลี่ยม หนา้ จัว่ พ้ืนที่ฐานของปรซิ มึ = 2( 21 x 6 x 4) = 24 ตารางนิ้ว พิจารณาพ้นื ที่ผิวข้างของปริซึมเป็นรูปส่เี หล่ียมผืนผา้ จากพน้ื ท่รี ูปส่ีเหล่ียมผนื ผ้า = กว้าง x ยาว พ้นื ทผ่ี วิ ข้างของปรซิ ึม = 2(5 x 10) + (6 x 10) = 160 ตารางน้วิ นน่ั คือ พ้นื ที่ผิวปริซึม = พน้ื ทฐ่ี าน + พื้นที่ผวิ ขา้ ง = 24 + 160 = 184 ตารางนว้ิ ตอบ พนื้ ทผี่ ิวของปรซิ มึ เท่ากับ 184 ตารางน้วิ

66 ตัวอย่างท่ี 2 ความยาวรอบฐานของปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็น 12 เซนติเมตร ความสูงของปรซิ มึ 6 เซนตเิ มตร พน้ื ทผี่ วิ ข้างของปรซิ ึมเปน็ เทา่ ไร วธิ ที ำ พื้นทผี่ วิ ข้างของปริซึม = ความยาวรอบฐาน x สูง = 12 x 6 ตารางเซนติเมตร = 72 ตารางเซนติเมตร ตอบ พืน้ ทีผ่ ิวข้างของปริซึมเปน็ 72 ตารางเซนตเิ มตร

77 ทรงกระบอก ความหมายและลักษณะของทรงกระบอก ทรงกระบอก ทรงกระบอก คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็น วงกลมที่เท่ากันทุกประการ และอยู่บนระนาบที่ ขนานกัน และเมื่อตัดทรงสามมิตินี้ด้วยระนาบท่ี ขนานกันกับฐาน แลว้ จะไดห้ น้าตัดเปน็ วงกลมท่ี เท่ากันทกุ ประการกับฐานเสมอ ภาพท่ี 6 รูปทรงกระบอก ที่มา: (ศศธิ ร จนั ทรเ์ อียด, 2564)

88 ลักษณะของทรงกระบอก หน้าตัดหรือฐาน แกน ส่วนสูง ทรงกระบอกตรง หน้าตัดหรือฐาน ทรงกระบอกเอียง ภาพที่ 7 ลกั ษณะของทรงกระบอก ทีม่ า: (ศศิธร จนั ทรเ์ อยี ด, 2564) ปริมาตรของทรงกระบอก ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐานของทรงกระบอก x สูง พ้ืนที่ฐานของทรงกระบอก เป็นวงกลม พื้นที่วงกลม = πr2 ดังน้ัน ปริมาตรของทรงกระบอก = พ้นื ทฐี่ าน x ความสูง = πr2 x h หรือ = πr2h

99 เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก h แทนความสูงของทรงกระบอก *** ค่าพาย(π) ≈ 22 หรือ 3.14… 7 สูตร ปริมาตรของทรงกระบอก ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นท่ีฐาน x สูง = πr2h ตัวอย่างที่ 1 กระป๋องนำ้ ผลไมท้ รงกระบอกสูง 12 เซนตเิ มตร เสน้ ผ่านศูนย์กลาง 2.8 เซนติเมตร บรรจนุ ้ำผลไมเ้ ต็มกระป๋องมีปริมาตรเทา่ ไร จากโจทยจ์ ะได้รศั มเี ท่ากบั 21 วิธที ำ = ของเส้นผ่านศูนยก์ ลาง 21 x 2.8 = 1.4 เซนติเมตร ปริมาตรของทรงกระบอก = πr2h ≈ 272 x (1.4)2 x 12 ≈ 73.92 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร ตอบ กระปอ๋ งบรรจุน้ำผลไมไ้ ด้ประมาณ 73.92 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร

10 10 ตัวอย่างที่ 2 ถังนำ้ ทรงกระบอกมีรศั มี 7 เมตร สูง 19 เมตร ใสน่ ำ้ ไวเ้ พยี งคร่ึงถัง จงหาวา่ นำ้ ในถังมีประมาณเท่าใด 7 ม. 19 ม. ภาพที่ 8 ถงั นำ้ รูปทรงกระบอก ทมี่ า: (ศศิธร จนั ทรเ์ อียด, 2564) วธิ ที ำ จากปรมิ าตรของทรงกระบอก = πr2h จะได้ปรมิ าตรของทรงกระบอก ≈ 272 x 72 x 19 ≈ 2,926 ดังนั้น ปริมาตรของนำ้ ครง่ึ ถึง ≈ 2,9226 ≈ 1,463 ลูกบาศกเ์ มตร ตอบ นำ้ ในถงั มปี ระมาณ 1,463 ลูกบาศกเ์ มตร

11 11 ตัวอย่างท่ี 3 กระป๋องทรงกระบอกใบหนึ่งมีปริมาตร 396 ลูกบาศก์เซนติเมตร ถ้ากระปอ๋ งสูง 14 เซนตเิ มตร จงหาพ้นื ท่ฝี ากระปอ๋ งใบนี้ วิธีทำ กำหนดให้ กระปอ๋ งทรงกระบอกมีปรมิ าตร 396 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร กระป๋องสูง 14 เซนตเิ มตร จากสูตร ปรมิ าตรทรงกระบอก ≈ พนื้ ที่ฐาน x ความสูง จะได้ 396 ≈ พน้ื ท่ฐี าน x 14 31946 ≈ พืน้ ทีฐ่ าน 28.29 ≈ พน้ื ที่ฐาน ดงั นัน้ ฝากระป๋องมีพื้นที่ประมาณ 28.29 ตารางเซนติเมตร ตอบ ฝากระปอ๋ งมพี ื้นท่ีประมาณ 28.29 ตารางเซนติเมตร

12 12 พ้ืนท่ีผิวของทรงกระบอก พ้ืนทผ่ี ิวของทรงกระบอก หมายถึง ผลบวกของพื้นท่ผี ิวขา้ งกับพ้ืนท่ีฐานทง้ั สอง ของทรงกระบอก ภาพที่ 9 รูปคลีข่ องทรงกระบอก ท่มี า: (ชลธิชา วรรณทอง, 2555) จากรูปข้างต้น จะพบว่าพื้นที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอก จะประกอบไปด้วย 2 ส่วนหลัก ๆ คือ พื้นที่ฐาน และพื้นที่ผิวข้าง ดังนั้นการหาพื้นที่ผิวทั้งหมดจะต้อง หาจาก 1. พ้ืนที่ฐาน ซึง่ จะแตกตา่ งกันไปตามลักษณะของฐาน 2. พื้นที่ผิวข้าง ซึ่งไม่ว่าจะเป็นปริซึมหรือทรงกระบอก พื้นที่ผิวข้างจะ เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งหาพื้นที่ได้จากสูตร กว้าง x ยาว เหมือนกัน โดยที่ด้าน ยาวจะเทา่ กับความยาวของเสน้ รอบฐาน ขณะทด่ี ้านกว้างจะเท่ากับความสูง

13 13 r ฐาน ฐาน h พนื้ ที่ผวิ ขา้ ง ฐาน ฐาน ภาพที่ 10 รูปคล่ีของทรงกระบอก ท่มี า: (ศรีทอง ชัยชนะ) เมื่อคลี่ผิวข้างของทรงกระบอกใด ๆ พบวา จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผาที่มีความ ยาวเทากับเสนรอบฐานวงกลม และสวนสูงเทากับความสูงของทรงกระบอก พื้นที่ผิว ของทรงกระบอกจะเท่ากับพื้นทขี่ องรูปคลี่ของทรงกระบอก • พืน้ ทผี่ วิ ทเ่ี ป็นฐานทงั้ สองของทรงกระบอก เท่ากบั สองเท่าของพ้นื ทว่ี งกลม = 2πr2 ตารางหน่วย • พื้นที่ผิวข้าง เท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้างเท่ากับความสูง ของทรงกระบอก และความสูงเท่ากับความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมของฐาน ทรงกระบอก พื้นที่ผวิ ข้าง = h x 2πr ตารางหน่วย = 2πrh ตารางหนว่ ย

14 14 ดังนัน้ พ้ืนท่ีผิวของทรงกระบอก เทา่ กบั สองเทา่ ของพืน้ ทฐี่ านรวมกับพื้นท่ีผิว ข้าง พ้นื ทผ่ี วิ ของทรงกระบอก = พนื้ ที่หนา้ ตัดท้งั สอง + พ้ืนท่ีผิวด้านข้าง = [2x(พน้ื ทีว่ งกลม)] + พื้นทีร่ ูปสเี่ หลย่ี ม มมุ ฉาก = 2πr2 + 2πrh เมอ่ื h แทนสว่ นสูงของทรงกระบอก r แทนรศั มขี องฐาน พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พ้ืนท่ีหน้าตัดทั้งสอง + พ้ืนที่ผิวด้านข้าง = [2x(พื้นที่วงกลม)] + พ้ืนที่รูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก = 2πr2 + 2πrh

15 15 ตัวอย่างท่ี 1 หาพื้นที่ผิวของทรงกระบอกที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับ 8 เซนติเมตร และสูง 14 เซนติเมตร (กำหนดให้ π ≈ 272 ) ภาพที่ 11 ทรงกระบอกเอียง ท่มี า: (นงค์นุช สุกใส, 2564) วธิ ีทำ ทรงกระบอกมีเส้นผา่ นศูนย์กลางยาว 8 เซนตเิ มตร จะได้ รศั มียาว เทา่ กบั 21=ขอ21งxเส้น8ผ่านศูนยก์ ลาง รัศมี = 4 เซนตเิ มตร พน้ื ท่ีผวิ ของทรงกระบอก = 2πr2 + 2πrh ≈ (2 x 272 x 4 x 4) + (2 x 272 x 4 x 14) ≈ 100.57 + 352 ≈ 452.57 ตอบ พ้ืนที่ผวิ ของทรงกระบอกประมาณ 452.57 ตารางเซนตเิ มตร

16 16 ตัวอย่างท่ี 2 หาพื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติ ซึ่งมีฐานเป็นครึ่งหนึ่งของรูป วงกลมทม่ี รี ัศมี 2.2 เซนติเมตร และมีความยาว 8 เซนตเิ มตร (กำหนดให้ π ≈ 3.14) ภาพท่ี 12 รูปเรขาคณิตสามมติ ิ ทมี่ า: (นงค์นชุ สกุ ใส, 2564) วธิ ที ำ เนื่องจากรปู เรขาคณติ สามมิติรูปน้ีมฐี านเปน็ คร่งึ หน่ึงของรูปวงกลม 221121ππr(x22.32).124 จะได้ พืน้ ทฐ่ี าน = พื้นที่ฐาน = ≈ x 2.2 x 2.2 ≈ 2 x 7.6 ≈ 15.2 ตารางเซนตเิ มตร และ พืน้ ทผ่ี ิวขา้ ง = ความยาวเส้นรอบวง x ความสูง 2211 พน้ื ท่ผี วิ ขา้ ง = ( ของเสน้ รอบวง x ความสูง x 8 พื้นท่ีผวิ ข้าง = x (2πr) x h พน้ื ทผี่ วิ ข้าง 21 x 2 x 3.14 x 2.2) ≈ ≈ 55.26 ตารางเซนติเมตร

17 17 พืน้ ทผี่ ิวทั้งหมด = พืน้ ที่ฐาน + พนื้ ท่ีผวิ ขา้ ง พ้นื ท่ขี องรูปเรขาคณิตสามมิติ ≈ 15.2 + 55.26 ≈ 70.46 ตารางเซนติเมตร ตอบ พนื้ ทีผ่ ิวของรปู เรขาคณติ สามมติ ิ 70.46 ตารางเซนตเิ มตร

18 18 ศกึ ษาเพม่ิ เตมิ ไดท้ ่ี ท่ีมา: https://www.youtube.com/watch?v=AZbTxlZDOxg ท่มี า: https://www.youtube.com/watch?v=ygTeAqPRCCY ที่มา: https://www.youtube.com/watch?v=qW_MpnXu3pY

19 19 บรรณานุกรม กฤษณะ โสขมุ า. (2562). หนังสอื เรียนรายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษา ปีท่ี 2. กรุงเทพ: บริษัทพมิ พด์ ี จำกดั . ชลธิชา วรรณทอง. (2555). พื้นท่ีผวิ และปรมิ าตร. เข้าถึงได้จาก http://www.thaigoodview.com/node/132600?page=0,14 นงคน์ ุช สุกใส. (2564). ปรซิ มึ และทรงกระบอก. เขา้ ถงึ ได้จาก มูลนธิ กิ ารศกึ ทางไกลผา่ นดาวเทียม: https://www.dltv.ac.th/teachplan/episode/35946 วราภรณ์ สายศร.ี (2554). หนว่ ยการเรยี นรูท้ ี่ 1 ปริมาตรและพ้ืนผิว. ยโสธร. เขา้ ถงึ ได้จาก https://krunum11.wordpress.com/ ศรที อง ชยั ชนะ. (ม.ป.ป.). ชุดกิจกรรมปฏิบัตกิ ารคณิตศาสตร์ เรอ่ื งพืน้ ผิวและ ปรมิ าตรของทรงกระบอก. เข้าถงึ ได้จาก https://www.kroobannok.com/news_file/p66910601232.pdf สลี โรยร่วง. (ม.ป.ป.). สลี คลินกิ คณิตศาสตร์. เขา้ ถงึ ได้จาก https://sites.google.com/a/wsra.ac.th/kruaoi/bth-thi-1- phunthi-phiw-laea-primatr/krwy