Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΝΑΛΥΣΗ - 20 Επαναληπτικά Θέματα (τεύχος 5)

20 επαναληπτικά θέματαγια τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος 5 – σχολικό έτος 2016-2017)Γράφουν οι μαθηματικοί:Βζρρασ ΟδυςςζασΚώνςτασ ΧάρθσΛιτηερίνοσ ΧριςτόδουλοσΜποφηασ ΔθμιτρθσΠετρόπουλοσ ΒαςίλθσΨαρράσ Παναγιώτθσελεφθερη διάθεςη για εκπαιδευτικοφσ ςκοποφσ από: Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 1οΈζηω ζπλάξηεζε f δύν θνξέο παξαγωγίζηκε θαη θπξηή ζην 0,  . Δπηπιένλ ηζρύεη όηη:  f 0  f 0  0  lim f x 2 xxΑ. Να δεηρζεί όηη ππάξρεη κνλαδηθόο αξηζκόο  0,  ηέηνηνο ώζηε f     2017 .Β. Έζηω ε επζεία   : yx θαη ε ζπλάξηεζε gx  f x , κε Dg  0,  . x Β.1 Να δεηρζεί όηη ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα. Β.2 Να βξεζεί ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο g . Β.3 Να απνδεηρζεί όηη ε επζεία   ηέκλεη ηε C f ζε έλα κόλν ζεκείν κε ηεηκεκέλε xo 0,   Β.4 Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη κνλαδηθό ζεκείν   , f   , κε  0,  , ηέηνην ώζηε ε εθαπηνκέλε ζην Α λα είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία   2

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 2οΈζηω ζπλάξηεζε f : R  R δύν θνξέο παξαγωγίζηκε θαη κε ζπλερή δεύηεξε παξάγωγν.3 t  dt 10 x 1 3 f  x dx  10 . ln x  Α. Αλ ηζρύεη όηη f γηα θάζε x  0 , ηόηε λα δεηρζεί όηη:11Β. Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα  1,3 ηέηνην ώζηε f    5 . Γ. Έζηω όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη ε f 1 είλαη ζπλερήο ζην R. Αλ 5 f 1  x dx   f  x dx , f 0 0 όπνπ  ν αξηζκόο ηνπ εξωηήκαηνο Β, λα απνδεηρζεί όηη: 5  2  f  x dx  15 0Γ. Αλ επηπιένλ ηζρύεη όηη 1 f  x dx  0 ηόηε λα απνδεηρζεί όηη ππάξρεη  0,1 ηέηνην x 0 ώζηε ην ζεκείν  , f    λα είλαη πηζαλό ζεκείν θακπήο ηεο C f . 3

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 3οΓίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο f  x  xx θαη g  x  x ln x  ln x  x , κε x 0,  . x 1Α. Να απνδεηρζεί όηη f έρεη κνλαδηθή ζέζε νιηθνύ ειαρίζηνπ ζην xo 0,1 .Β. Να βξεζεί ην πιήζνο ηωλ ξηδώλ ηεο εμίζωζεο f  x  1 2 Γ. Να ππνινγηζηεί ν αξηζκόο   0 ώζηε ην όξην lim 9x2 x  g  x λα ππάξρεη θαη x λα ηζνύηαη κε πξαγκαηηθό αξηζκό.Γ. Να απνδεηρζεί όηη  x  2ln  x 1  x ln x  ln  x  2 γηα θάζε x  1.Δ. Έζηω ε ζπλάξηεζε h  x  f  x g  x , κε x 0,  . Να ππνινγηζηεί ην εκβαδόλ ηνπ x 1 ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηε Ch , ηνλ άμνλα xx θαη ηηο επζείεο x  1 θαη x  2 . 4

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 4οΓίλεηαη ε ζπλάξηεζε g  x  ln x , γηα x  0 .Α. Έζηω ε ζπλάξηεζε w γηα ηελ νπνία ηζρύεη  g  w x  ln x  x , γηα x  0 . 2 Α.1 Να απνδεηρζεί όηη w x  x  ex , κε x  0 .Α.2 Να ιπζεί ε αλίζωζε: x x ln 3 3 e2 Β. Έζηω ε ζπλάξηεζε f g xκε f x  x2  2 , γηα θάζε x  0 .Β.1 Να βξεζεί ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο fΒ.2 Να βξεζεί ε νξηδόληηα αζύκπηωηε   ηεο C f ζην Β.3 Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηηο   , C f θαη ηηο θαηαθόξπθεο επζείεο x  1 θαη x  e . 5

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 5οΈζηω ζπλάξηεζε f , παξαγωγίζηκε ζην R , γηα ηελ νπνία ηζρύεη f  x  f  x  2x  ex , γηαθάζε x  R .Α. Να ππνινγηζηνύλ ηα όξηα: lim f  x θαη lim f  x x xΒ. Αλ ε εθαπηνκέλε ηεο C f ζην xo  0 είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία y  2x  2017 ηόηε λα  δεηρζεί όηη ν ηύπνο ηεο f είλαη f  x  x2  2 ex . Σηε ζπλέρεηα λα κειεηεζεί ε f ωο πξνο ηελ θπξηόηεηα.   Γ. Να ιπζεί ε αλίζωζε f x2 1  f x2  f  x 1  f  xΓ. Να ππνινγηζηεί ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f , ηνλ άμνλα xx , ηνλ άμνλα yy θαη ηελ επζεία x  1.Δ. Έζηω ζπλάξηεζε g : 0, 2  R κε ζπλερή πξώηε παξάγωγν. Αλ ε g έρεη ηελ ίδηα θπξηόηεηα κε ηελ f θαη ηζρύεη όηη:  f 0 g x egxdx  0 ηόηε λα απνδεηρζεί όηη ππάξρεη 0 κνλαδηθό  0, 2 ζην νπνίν ε g παξνπζηάδεη αθξόηαην θαη λα πξνζδηνξηζηεί ην είδνο ηνπ αθξνηάηνπ. 6

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 6οΈζηω νη ζπλαξηήζεηο f , g κε Df  Dg  R , παξαγωγίζηκεο ζην R κε ζπλερείο παξαγώγνπο,όπνπ g x  0 γηα θάζε x  R . 2 f  x dx  2 g  x dx απνδεηρζεί όηη ππάξρεη xo 1, 2 ηέηνην ώζηε 1 1 Α. Αλ , λαf  xo   g  xo  .Β. Αλ επηπιένλ: f x  egx  3  g  x2 ηόηε λα απνδεηρζεί όηη νη ζπλαξηήζεηο f , g είλαη gx e f x  3  f  x2ίζεο.Γ. Αλ f 2  f 0  3642 λα απνδεηρζεί όηη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R .   Γ. Να ιπζεί ε αλίζωζε f 2ln x2  f x2 1 7

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 7οΈζηω ζπλάξηεζε f , παξαγωγίζηκε ζην R , γηα ηελ νπνία ηζρύεη:  f  x  f  x 1 x , γηα θάζε x  R  f 0 1Α. Να απνδεηρζεί όηη f  x  x  ex θαη ζηε ζπλέρεηα λα βξεζνύλ νη αζύκπηωηεο ηεο C f .Β. Να βξεζεί ε εθαπηνκέλε ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ 0, 0 . Γ. Έζηω ζεκείν  x t , y t  ην νπνίν θηλείηαη ζηε C f θαη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ηεηκεκέλεο ηνπ είλαη 2  / sec . Να απνδεηρζεί όηη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ηεηαγκέλεο ηνπ Μ, ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ ε εθαπηνκέλε ζην Μ δηέξρεηαη από ην 0, 0 , είλαη 2e  2  / secΓ. Έζηω νη ζπλαξηήζεηο: h x  x ex  ex  e θαη g  x   f  x  x  e2  x  22 . Γ.1 Να απνδεηρζεί όηη ε εμίζωζε h  x  0 έρεη αθξηβώο κία ξίδα. Γ.2 Να απνδεηρζεί όηη ε g έρεη δύν ηνπηθά ειάρηζηα θαη έλα ηνπηθό κέγηζην. 8

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 8οΈζηω ζπλάξηεζε f παξαγωγίζηκε ζην 0,1 γηα ηελ νπνία ηζρύεη e f x  f  x  f 1 x  x ,γηα θάζε x 0,1 .Α. Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα  0,1 ηέηνην ώζηε: e f   f    1Β. Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη  0,1 ηέηνην ώζηε: 3f   f  1   f  1   f  1  2   3   4 Γ. Αλ f 0  0 λα απνδεηρζεί όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα xo 0,1 ηέηνην ώζηε f  xo   0Γ. Να δεηρζεί όηη ππάξρεη  0,1 ηέηνην ώζηε 1 e f x  x dx  2 f   0Δ. Να απνδεηρζεί όηη 1  f  1  0  2  9

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 9οΈζηω ζπλάξηεζε f : R  R , παξαγωγίζηκε, γηα ηελ νπνία ηζρύεη: f  x  x  x2 1 , γηα θάζε x  R x2 1 lim x f x2x  1x0  xΑ. Να δεηρζεί όηη f 0  1 θαη ζηε ζπλέρεηα λα βξεζεί ν ηύπνο ηεο f .Β. Να δεηρζεί όηη f  x   f  x θαη λα κειεηεζεί ε f ωο πξνο ηα θνίια. x2 1Να βξεζεί ε εθαπηνκέλε ηεο C f ζην xo  0 θαη λα απνδεηρζεί όηη 2 1 f  x dx  1Γ. 0Γ. Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα xo 0,3 ηέηνην ώζηε ε εθαπηνκέλε ηεο C f ζην xo λα δηέξρεηαη από ην ζεκείν 3, 1 .Δ. Έζηω    είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f , ηνλ άμνλα xx θαη ηηο θαηαθόξπθεο επζείεο x   θαη x   1, κε   0 . Να ππνινγηζηεί ην lim   .   10

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 10οΈζηω ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην D  3,3 θαη παξαγωγίζηκε εζωηεξηθά ηνπ D . Ιζρύεη όηη: lim x  f  x  2x 1x0 x f  x f  x  x , γηα θάζε x 3,3Α. Να απνδεηρζεί όηη f 0  3 θαη ζηε ζπλέρεηα λα βξεζεί ό ηύπνο ηεο f ζην D .Β. Έζηω f  x  9  x2 , κε x 3,3 θαη ηα ζεκεία 3,0, 3,0 θαη  , f   , κε  3,3 , ζεκεία ηεο C f . Β.1 Να γίλεη πξόρεηξν ζρήκα ηεο C f . Β.2 Να βξεζνύλ ηα κήθε ηωλ πιεπξώλ  θαη  ώζηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΜΒ λα είλαη κέγηζην.Γ. Έζηω ζπλάξηεζε g ζπλερήο θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R , όπνπ ηα ζεκεία  1, 2 θαη  2, 4 ζεκεία ηεο Cg . Να απνδεηρζεί όηη νη Cf , Cg ηέκλνληαη ζε κνλαδηθό ζεκείν κε ηεηκεκέλε xo 1, 2 .Γ. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξωκα I  3 x3 f  x dx . 2 Δ. Έζηω ζεκείν  x t , y t  πνπ δηαηξέρεη ηε C f . Να βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ Ν θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή to ζηελ νπνία ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ηεηκεκέλεο είλαη ίζνο κε απηόλ ηεο ηεηαγκέλεο yto   xto   0 . 11

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 11οΈζηω ζπλάξηεζε f δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην 0,  γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:  f 1  0  f  x  x 1 , γηα θάζε x  0  e f x1  f  x  1 , γηα θάζε x  0 .Α. Να δεηρζεί όηη ε f είλαη θπξηή θαη ζηε ζπλέρεηα όηη: f 1   f 1   0 , γηα θάζε  0,1Β. Να απνδεηρζεί όηη f 1  1 θαη ζηε ζπλέρεηα λα βξεζεί ν ηύπνο ηεο f .Γ. Αλ f  x  x ln x λα ππνινγηζηεί ην όξην 1  f  1  lim x  ex 1  x x   Γ. Αλ ,  0,  , κε    θαη ηζρύεη όηη    ηόηε λα δεηρζεί όηη    1 ,1  eΔ. Να απνδεηρζεί όηη x2x   x 1 x1  x 1 x1 , γηα θάζε x  1ΣΤ. Έζηω x1, x2 , κε 0  x1  x2 , ξίδεο ηεο εμίζωζεο 3 f  x 1  0 . Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη xo  x1, x2  ηέηνην ώζηε: 3xo  f  xo   1 3 f  xo  12

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 12οΈζηω ζπλάξηεζε f , ηξεηο θνξέο παξαγωγίζηκε ζην Df  0,  γηα ηελ νπνία ηζρύεη:  f  x  0 , γηα θάζε x  0  f 2  0 , f 4  0 , f 6  0Α. Να δεηρζεί όηη ε εμίζωζε f  x  0 έρεη κνλαδηθή ξίδα ζην 0, Β. Να δεηρζεί όηη ε f είλαη θπξηή.Γ. Να δεηρζεί όηη ε f έρεη νιηθό ειάρηζην.Γ. Έζηω ζπλάξηεζε g  x  f  x , κε x  0 . x Γ.1 Αλ ε g έρεη αθξόηαην ζην x   , κε   6 , λα απνδεηρζεί όηη απηό είλαη ην κνλαδηθό αθξόηαην ηεο g θαη λα βξεζεί ην είδνο ηνπ. Γ.2 Να δεηρζεί όηη g    0 13

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 13ο Έζηω ζπλερήο ζπλάξηεζε f κε Df  f Df  0,  , γηα ηελ νπνία ηζρύεη: f f  x  ex f x γηα θάζε x  0 .Α. Να απνδεηρζεί όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη όηη f 1  x  ln  f  x  x γηα θάζε x  0 . Β. Να απνδεηρζεί όηη δελ ππάξρεη ζεκείν  xo , f 1  xo  ζην νπνίν ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f 1 λα ηέκλεη ηελ επζεία y  x . Γ. Έζηω όηη ε f 1 είλαη παξαγωγίζηκε ζην xo , κε f 1   xo   1, όπνπ xo 0,  . Γ.1 Να απνδεηρζεί όηη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην xo . Γ.2 Να δεηρζεί όηη ε εθαπηνκέλε ηεο Cg ζην xo , κε g  x  ln f  x , είλαη ε νξηδόληηα επζεία y  f 1  xo   xoΓ. Αλ ε f είλαη παξαγωγίζηκε θαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην 0,  ηόηε λα δεηρζεί όηη:Γ.1 Η f 1 είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην 0,  .Γ.2 lim f  x   . x0Γ.3 lim  f x f 1  x    x0 14

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 14οΈζηω νη ζπλαξηήζεηο f , g , w γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη:  g θπξηή θαη παξαγωγίζηκε ζην R  f  x  g  x  2ex1  1 x3  2x  1 , γηα θάζε x  R 33  w x  2ex1  x2  2Α. Να δεηρζεί όηη: Α.1 ε w είλαη γλεζίωο αύμνπζα Α.2 2x  x2  2ex  ln x2 eeΒ. Αλ επηπιένλ ηζρύεη g  x  x2  3   1 lim x1 x 1 2 Β.1 Να βξεζνύλ ηα g 1 θαη g1 Β.2 Να δεηρζεί όηη ε f είλαη θπξηή Β.3 Να δεηρζεί όηη f  x  3  x 15

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 15οΈζηω ζπλάξηεζε f παξαγωγίζηκε ζην R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:  f 0  f 0 1 f  x  0 , γηα θάζε x  R  f  x f  x   f  x2 , γηα θάζε x  RΑ. Να δεηρζεί όηη f  x  ex θαη λα ππνινγηζηνύλ ηα όξηα:lim x2 ln x θαη lim  f  x 1 ln xx0   f  x 1 x0Β. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε g  x  f  x  x 1 Β.1 Να δεηρζεί όηη g  x  0 , γηα θάζε x 0,1Β.2 Να δεηρζεί όηη ππάξρεη  0,1 ηέηνην ώζηε  1 g    2  1  g       Γ. Δπηπιένλ δίλεηαη ε ζπλάξηεζε w x  ln 1 f  xΓ.1 Να απνδεηρζεί όηη ε w αληηζηξέθεηαη θαη λα βξεζεί ε w1 .Γ.2 Αλ Δ είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηε Cw , ηνπο άμνλεο xx, yy θαη ηελ θαηαθόξπθε επζεία x  1 , λα απνδεηρζεί όηη: ln 2    ln 1 eΓ.3 Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξωκα: 1 ex  x  w x dx 0 16

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 16οΓίλεηαη ε ζπλάξηεζε f  x    x x , κε x  0,   x  2 Α. Να κειεηεζεί ε f ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα.  Να απνδεηρζεί όηη  x dxΒ.  8 2 f  2 .  4Γ. Να δεηρζεί όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα xo   0,   ηέηνην ώζηε ε εθαπηνκέλε ηεο Cf ζην  2  xo λα δηέξρεηαη από ην ζεκείν    1 , 1 .  2Γ. Να κειεηεζεί ε f ωο πξνο ηα θνίια θαη ηα ζεκεία θακπήο.Δ. Έζηω ην ζεκείν ηεο C f    , f     4  4   Δ.1 Να βξεζεί ε εθαπηνκέλε ηεο C f ζην Β. Δ.2 Να απνδεηρζεί όηη 2 f  x  x 1  , γηα x  0,   θαη 2 f  x  x 1  , γηα 4  4 4 x    ,   4 2       4  2  4 f  x dx 0 0 ΣΤ. Αλ I  θαη J f  x dx , λα ππνινγηζηνύλ ηα I, J. 17

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 17οΈζηω ζπλάξηεζε f παξαγωγίζηκε ζην R γηα ηελ νπνία ηζρύεη: f  x3  2 f x  ex  x4 x 1 , κε R θαη γηα θάζε xR 4Α. Να δεηρζεί όηη f 0  0Β. Αλ f  x  0 , γηα θάζε x  R , λα βξεζεί ε ηηκή ηνπ αΓ. Γηα   1 λα βξεζνύλ ηα αθξόηαηα ηεο fΓ. Να δεηρζεί όηη ε εμίζωζε f  x  ln x  0 δελ έρεη ξίδεο. ln  2Δ. Να δεηρζεί όηη ππάξρεη  1, 2 ηέηνην ώζηε f  x  ln x dx  0 1  18

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 18ο Έζηω ζπλάξηεζε f παξαγωγίζηκε ζην R κε f  x  ln x2  e 1  2x2 1Α. Να απνδεηρζεί όηη ε f  είλαη άξηηα θαη όηη lim f  x  lim f  x   x xΒ. Να κειεηεζεί ε f ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηελ θπξηόηεηα.Γ. Να απνδεηρζεί όηη f  x  f 2 x  2 f 2  f 2 γηα θάζε x , 0 θαη ζηε ζπλέρεηα όηη lim f  x   x Γ. Να απνδεηρζεί όηη θάζε εθαπηνκέλε ηεο C f ζε ζεκείν   , f   κε   0 , έρεη έλα κόλν θνηλό ζεκείν κε ηε C f εθηόο ηνπ ζεκείνπ επαθήο.Δ. Έζηω ην ρωξίν  πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ Cf , ηνλ άμνλα xx θαη ηηο επζείεο x1 θαη 2 x1. 2 Δ.1 Να δεηρζεί όηη f x  f  x  2 f 0 , γηα θάζε x  R . Δ.2 Αλ f   1   0 ηόηε λα δεηρζεί όηη   f 0 .  2  19

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 19οΑ. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f  x  ln x x 1 Α.1 Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ θαη ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f . Α.2 Να απνδεηρζεί όηη ε f είλαη «1-1».Β. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε g  x  ex  xe , κε Dg  0,  . Β.1 Να κειεηεζεί ε g ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα. Β.2 Να βξεζεί ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο g  f  x e  e 1 Γ.  x  έρεη κνλαδηθή ιύζε.Να δεηρζεί όηη ε εμίζωζε f  ln 20

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2017)Θέμα 20οΈζηω νη ζπλαξηήζεηο f , g : R  R γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη:  f δύν θνξέο παξαγωγίζηκε θαη θπξηή  g  x  f  x x , γηα θάζε x  R  Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο g έρεη θακπή ζην x   2Α. Να δεηρζεί όηη ε f έρεη ειάρηζην.Β. Αλ ε επζεία y  x εθάπηεηαη ζηε C f ζην x   , ηόηε: Β.1 λα βξεζνύλ ηα f   θαη f   Β.2 λα δεηρζεί όηη f 0  f 2   2 Β.3 λα δεηρζεί όηη f  x  2  f  x  2 , γηα θάζε x  Γ. Αλ επηπιένλ ηζρύεη όηη f x  x , γηα θάζε x  0,   , ηόηε λα απνδεηρζεί όηη 2   g  x dx   1 2 02 21