ทฤษฎีเบื้องต้นของความน่าจะเป็น

ทฤษฎีเบ้ืองตน้ ของความนา่ จะเปน็ จดั ทาโดย นางสาวณราธนิ ี เขื่อนแกว้ รหัส 61941900105 กลมุ่ 1

ก คานา ในปัจจบุ ัน การเรียนรไู้ มไ่ ดจ้ ากดั อยู่แตเ่ พยี งบนกระดาษเทา่ นั้น ในยุคนเ้ี ราสามารถหาความรู้ ได้หลากหลาย เชน่ ความรจู้ ากคลิปวดิ ีโอตามเว็บไซตต์ า่ งๆ ความรจู้ ากเนอื้ หาบนเว็บไซต์ หรือแมแ้ ต่ หนังสอื อเิ ลก็ ส์ทรอนิกสห์ รอื ท่ีหลายคนคนุ้ หดู ้วยคาวา่ E-book หนงั สืออเิ ล็กทรอนิกส์ฉบับนี้ เปน็ ส่วนหนึ่งของวชิ านวัตกรรมและเทคโนโลยสี ารสนเทศทาง การศึกษา โดยไดร้ บั มอบหมายจาก ผศ.ดร.สมชาย เมอื งมลู ให้สบื คน้ ขอ้ มลู และจดั ทาเปน็ หนังสอื อิเลก็ ทรอนกิ ส์เพื่อเปน็ ฐานความรู้ใหแ้ ก่ตนเองและผอู้ ื่น โดยการจัดทาเปน็ หนงั สืออเิ ล็กทรอนกิ ส์ เพ่ือ ความเขา้ ถึงง่าย สามารถเรียนรู้ไดท้ ุกท่ีทกุ เวลา หากเกิดข้อผิดพลาดประการใด ผู้จัดทาขออภยั มา ณ ทน่ี ้ดี ว้ ย นางสาวณราธนิ ี เขือ่ นแก้ว

สารบัญ ข เร่ือง หน้า ทฤษฎเี บือ้ งตน้ ของความน่าจะเป็น 1 เหตกุ ารณ์ 3 อินเตอร์เซกชนั ของเหตกุ ารณ์ 4 คอมพลเี มนตข์ องเหตุการณ์ 5 ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ 7 กิจกรรมที่ 1 เรอ่ื งเหตุการณ์ 16 กจิ กรรมที่ 2 เร่ืองความน่าจะเป็น 18

1 ทฤษฎีเบือ้ งตน้ ของความนา่ จะเป็น ในชีวิตประจาวนั ทกุ คนคงเคยได้ยินและได้ใช้คาว่า “ความนา่ จะเป็น” “โอกาส” หรอื คา ท่มี ีความหมายอย่างเดยี วกับคาท่ีกล่าวข้างตน้ อยู่เสมอ ๆ เช่น โอกาสท่ีฝนจะตกวันนมี้ ีน้อย โอกาสที่ ฝนจะตกวนั นี้มีน้อย โอกาสทท่ี มี ฟตุ บอลของโรงเรียนจะเป็นทมี ชนะเลิศในปีนม้ี ีมาก นักมวยไทยเปน็ ต่อนักมวยคู่แข่งขัน 3 : 1 การคาดการณ์ล่วงหน้าของเหตุการณ์ต่าง ๆ ท่ีจะเกิดข้ึนส่วนใหญ่อาศัย ข้อมูลของเหตุการณ์นั้น หรือเหตุการณ์ทานองเดียวกันท่ีเคยเกิดข้ึนมาก่อนแล้วความน่าจะเป็นที่ได้ กล่าวมาแล้วนี้สามารถนาไปใช้ช่วยในการตัดสินใจเกี่ยวกับเหตุการณ์ต่าง ๆ ได้ถูกต้องมากข้ึน เช่น ควรจะเตรียมรว่ มหรอื เสื้อฝนเวลาออกนอกบา้ นหรือไม่ เปน็ ต้น 1. การทดลองสมุ่ และแซมเปิลสเปซ การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซ่ึงทราบว่าผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถ บอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่าในแต่ละคร้ังท่ีทดลองผลท่ีเกิดขึ้นจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจ เปน็ ได้เหลา่ นน้ั บทนิยาม แซมเปิลสเปซ คือ เซตท่ีมีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ท่ีอาจจะเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลอง สุ่ม

2 ตัวอย่างที่ 1 การทอดลูกเต๋าลูกเดียวหนึ่งคร้ัง ถือว่าเป็นการทดลองสุ่มเพราะสามารถบอกได้ว่า ผลลัพธ์ท่ีอาจจะเกิดขึ้นคือแต้ม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 แต่บอกไม่ได้แน่นอนวา่ เมื่อทอด ลูกเต๋าแลว้ จะไดแ้ ต้มใด การทดลองสุ่มท่ีกล่าวข้างต้น ถ้าผลลัพธ์ท่ีสนใจ คือ แต้มท่ีจะได้และให้ S1 แทนแซม เปลิ สเปซของการทดลองน้ี จะได้ S1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } แตถ่ ้าสนใจเพยี งว่าเต้มท่ีได้จะเปน็ จานวนคู่หรอื จานวนค่ี ผลท่ไี ด้จากการทดลองอาจจะเป็น จานวนคหู่ รือจานวนค่ีอย่างใดอย่างหนง่ึ และถ้าให้ S2 เป็นแซมเปิลสเปซของการทดลองส่มุ น้แี ล้วจะ ได้ S2 = { จานวนค,ู่ จานวนค่ี } จะเหน็ วา่ ในการทดลองสุ่มเดยี วกนั อาจเขยี นแซมเปิลสเปซไดม้ ากกว่าหนึ่งแบบทง้ั นข้ี ึน้ อยู่กับ ผลลพั ธ์ทีส่ นใจ ตัวอยา่ งที่ 2 ในการตรวจสภาพของสนิ ค้าชนิดหนึ่งซ่ึงผลิตจากเคร่ืองจกั รโดยการหยบิ ขนึ้ มาตรวจ 3 ชิน้ หยบิ ทลี ะชิ้นโดยไม่เจาะจงถอื ว่าเป็นการทดลองสมุ่ ถ้าผลลพั ธท์ ส่ี นใจคอื สภาพของ สินคา้ ท้งั 3 ชน้ิ ทีห่ ยบิ ข้นึ มาวา่ ชารุดหรือไม่ชารุด ใหส้ นิ ค้าท่ีชารุดแทนด้วย “ช” และ สินค้าทไี่ ม่ชารดุ แทนดว้ ย “ม” แซมเปลิ สเปซจะเปน็ เซตซ่งึ ประกอบด้วยสมาชิกดังน้ี S1 = { ชชช, ชชม, ชมช, มชช, ชมม, มชม, มมช, มมม } แต่ถ้าผลลัพธ์ท่ีสนใจคือ จานวนช้ินท่ีชารดุ โดยไม่สนใจวา่ เรยี งลาดับอย่างไร แซมเปิลสเปซ คอื S2 = { 0, 1, 2, 3 } ตวั อยา่ งท่ี 3 จงเขียนแซมเปลิ สเปซของการทดลองสุ่มในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี (1) ทีมฟุตบอล ก ลงแขง่ กบั ทมี ฟตุ บอล ข และสนใจผลการแข่งขนั ของทีม ก (2) โยนเหรยี ญหน่ึงอันสีค่ รัง้ และสนใจจานวนครงั้ ทขี่ ้นึ หัว (3) ผลิตหลอดไฟฟา้ และสนใจจานวนหลอดท่เี สยี เมอื่ ผลิตครบ 24 ช่วั โมง (4) หยิบลูกปิงปองหนง่ึ ลกู ออกมาจากกล่องซง่ึ มีลูกปิงปองสีขาว สแี ดง และสนใจว่าได้ ลูกปิงปองสใี ด วิธที า ให้ S1, S2, S3 และ S4 เป็นแซมเปิลสเปซของการทดลองสุม่ ท่ตี ้องการตามลาดบั จะได้ S1 = { ชนะ, แพ้, เสมอ } S2 = { 0, 1, 2, 3, 4 }

3 S3 = { 0, 1, 2, 3, ..., M } เมื่อ M เป็นจานวนหลอดไฟฟ้าที่สามารถผลิตได้สูงสุดได้ 24 ช่ัวโมง S4 = { สีขาว, สีแดง } 2. เหตุการณ์ บทนิยาม เหตกุ ารณ์ คือ สบั เซตของแซมเปลิ สเปซ จากบทนยิ ามนี้จะเห็นวา่ แซมเปลิ สเปซเปน็ เหตุการณแ์ ละ  ก็เปน็ เหตกุ ารณเ์ ช่นเดยี วกัน ตัวอยา่ งท่ี 1 ในการทอดลูกเต๋าลูกเดยี วหนงึ่ ครั้ง ถา้ ผลลพั ธ์ทีส่ นใจคอื แตม้ ท่ีได้ แซมเปลิ สเปซ คือ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ถ้า E1 เปน็ เหตุการณท์ ไี่ ดแ้ ต้มซ่ึงหารดว้ ย 3 ลงตวั จะได้ E1 = { 3, 6 } ถ้า E2 เปน็ เหตุการณ์ท่ไี ดแ้ ต้มต่ากวา่ 4 จะได้ E2 = { 1, 2, 3 } ตัวอย่างท่ี 2 ในการช่ังน้าหนักนักเรียนแต่ละคนในชั้น ถ้าแทนเซตของผลของการช่ังน้าหนักซึ่งมี หน่วยเปน็ กโิ ลกรัมด้วยแซมเปลิ สเปซ S S = { w | w > 0 } ( นา้ หนกั ของนักเรยี นเป็นจานวนจริงที่มากกวา่ 0 เสมอ ) เหตุการณท์ ่ีสนใจอาจเป็นเหตกุ ารณ์ที่นา้ หนักของนกั เรียนแต่ละคนในช้ันน้นั เกิน 60 กโิ ลกรมั และถ้าแทนเหตุการณ์นดี้ ว้ ย E1 จะได้ E1 = { W | W > 60 } แต่ถ้าเหตุการณ์ท่ีสนใจคือน้าหนักของนักเรียนแต่ละคนในช้ันน้ันที่หนักต้ังแต่ 50 กิโลกรัม ถงึ 60 กโิ ลกรมั และแทนเหตกุ ารณ์นด้ี ้วย E2 จะได้ E2 = { W | 50  W  60 } ยูเนียนของเหตกุ ารณ์ ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตกุ ารณส์ องเหตกุ ารณ์แลว้ ยูเนียนของเหตุการณ์ E1 และ E2 คือ เหตุการณซ์ ึง่ ประกอบด้วยสมาชิกของเหตกุ ารณ์ E1 หรอื ของเหตุการณ์ E2 หรอื ของท้งั สองเหตุการณ์ เขยี นแทน ยูเนียนของเหตุการณ์ E1 และ E2 ด้วยสัญลักษณ์ E1  E2

4 ตวั อยา่ งที่ 3 ในการทอดลกู เต๋าพร้อมกนั สองลูก ถา้ E1 เป็นเหตุการณ์ทไ่ี ด้ผลรวมของแต้มเปน็ 10 และ E2 เป็นเหตุการณ์ท่ีได้ผลรวมของแต้มหารด้วย 5 ลงตัว จงหายูเนียนของ เหตุการณ์ E1 และ E2 วิธีทา แซมเปิลสเปซซ่ึงเป็นเซตที่ประกอบด้วยผลรวมของแต้มบนลูกเต๋าทั้งสองท่ีอาจเป็นไปได้ ท้งั หมด คอื S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } ดงั นน้ั E1 = { 10 } E2 = { 5, 10 } ดังนั้น E1 และ E2 = { 5, 10 } ซึ่งก็คือเหตุการณ์ท่ีได้ผลรวมของแต้มเป็น 10 หรือ ผลรวมของแต้มหารด้วย 5 ลงตวั อนิ เตอรเ์ ซกชนั ของเหตุการณ์ ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์ณืแล้ว อินเตอร์เซกชันของเหตุการณ์ E1 และ E2 คือเหตุการณ์ซ่ึงประกอบด้วยสมาชิกท่ีอยู่ท้ังในเหตุการณ์ E1 และเหตุการณ์ E2 เขียนแทน อินเตอร์เซกชนั ของเหตกุ ารณ์ E1 และ E2 ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ E1  E2 ตัวอย่างท่ี 4 อินเตอร์เซกชันของเหตุการณ์ E1 และ E2 ในตัวอย่างที่ 3 คือเหตุการณ์ที่ได้ผลรวม ของแต้มเป็น 10 และหารดว้ ย 5 ลงตัว ดงั นน้ั E1  E2 = { 10 } ตัวอย่างท่ี 5 ในการรับสมัครเข้าทางานของหน่วยงานแห่งหน่ึง ถ้าให้ E1 เป็นเหตุการณ์ท่ีผู้สมัคร จะตอ้ งมอี ายุต้งั แต่ 20 ปีขนึ้ ไป และ E2 เป็นเหตุการณท์ ่ผี ู้สมคั รจะต้องเป็นชายแล้ว E1  E2 คือเหตกุ ารณท์ ่ีผู้สมคั รจะต้องเปน็ ชายท่มี อี ายุตงั้ แต่ 20 ปีขึน้ ไป เหตุการณท์ ่ไี มเ่ กดิ รว่ มกนั ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์ และ E1  E2 =  แล้ว จะเรียก เหตกุ ารณ์ E1 และ E2 ว่าเหตกุ ารณท์ ไี่ ม่เกดิ รว่ มกนั ตัวอย่างท่ี 6 ให้ E1 เป็นเหตุการณ์ท่ีจะได้แต้มเป็นจานวนคู่ และ E2 เป็นเหตุการณ์ที่จะได้แต้ม เป็นจานวนคี่ จะได้ E1 = { 2, 4, 6 } และ E2 = { 1, 3, 5 }

5 E1  E2 =  ดงั นัน้ E1 และ E2 เป็นเหตกุ ารณท์ ไ่ี ม่เกดิ รว่ มกัน ตัวอย่างที่ 7 ในการหยิบไพ่หนึ่งใบจากไพ่ทั้งสารับ ถ้า E1 เป็นเหตุการณ์ท่ีได้โพแดง และ E2 เป็นเหตุการณณ์ ทื ไ่ี ด้ดอกจิก E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน เพราะไพ่ใบหน่ึงจะเป็นทั้งโพแดงและ ดอกจิกในขณะเดยี วกนั ไมไ่ ด้ คอมพลีเมนตข์ องเหตกุ ารณ์ ถา้ S เปน็ แซมเปลิ สเปซ และ E เป็นเหตุการณ์ทเ่ี ปน็ สับเซตของ S แล้ว คอมพลีเมนต์ของ เหตุการณ์ E คือเหตุการณ์ท่ีประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในแซมเปิดสเปซ S แต่ไม่อยู่ในเหตุการณ์ E เขยี นแทนคอมพลเี มนต์ของเหตุการณ์ E ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ E ตัวอยา่ งท่ี 8 คอมพลเี มนต์ของเหตกุ ารณ์ E1 ในตวั อย่างที่ 7 คอื E1 = { โพดา, ดอกจิก, ข้าวหลามตัด } ตวั อยา่ งที่ 9 ในการสอบวชิ าภาษาอังกฤษซึ่งมคี ะแนนเต็ม 10 คะแนน ถา้ พจิ ารณาเฉพาะคะแนนซ่ึง เป็นจานวนเต็มเทา่ นัน้ แซมเปลิ สเปซ S คอื S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } ถ้าให้ E เป็นเหตุการณ์ที่คะแนนของเด็กชายกาธรเป็น 6 ข้ึนไป กล่าวคือ E = { 6, 7, 8, 9, 10 } คอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ E คือ เหตุการณ์ท่ีคะแนนของเด็กชายกาธรน้อยกว่า 6 คือ 0, 1, 2, 3, 4 หรอื 5 น่ันคือ E = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } ความน่าจะเป็น ถ้า E เป็นเหตุการณท์ เ่ี ราสนใจในการทดลองสมุ่ อย่างหนงึ่ เรามักอยากทราบวา่ เหตุการณ์ E จะมีโอกาสเกิดข้ึนมากน้อยเพียงใด วิธีหน่ึงท่ีจะหาคาตอบได้ก็ได้ ทาการทดลองสุ่มนั้นซ้าหลาย ๆ ครั้ง สมมุติว่าทา N คร้ัง แล้วดูผลว่าเหตุการณ์ E เกิดข้ึนทั้งหมดก่ีครั้ง สมมุติว่าเกิดข้ึน n คร้ัง อัตราส่วน n จะบอกให้ทราบว่าเหตุการณ์ E มีโอกาสเกิดข้ึนมากน้อยเพียงใด จานวคร้ังท่ีทาการ N n ทดลองสุ่มยงิ่ มากเท่าใดกจ็ ะได้ค่า N ทเ่ี ชอ่ื ถือไดม้ ากข้ึนเท่าน้นั อย่างไรกด็ ี วธิ นี ีไ้ มส่ ามารถบอกได้

6 แน่นอนว่าควรทาการทดลองสุ่มนั้น ๆ ก่ีคร้ังจึงจะเหมาะสม เช่น 1,000 คร้ัง 2,000 ครั้ง หรือ 10,000 คร้ัง อีกทั้งการทดลองสุ่มหลาย ๆ คร้ังย่อมเสียเวลามากและไม่สะดวก เราจึงใช้วีหาความ น่าจะเป็นโดยคานวณจากแซมเปิลสเปซ และเหตุการณ์ที่สนใจของการทดลองสุ่มน้ัน โดยห า อัตราส่วนระหว่างจานวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่สนใจกับจานวนสมรชกิ ของแซมเปิลสเปซ ท้ังนี้แซม เปิลสเปซทใ่ี ช้ในการคานวณนจ้ี ะต้องเปน็ เซตจากัดและประกอบด้วยสมาชิกทีม่ โี อกาสเกิดขน้ึ ได้เท่า ๆ กัน ตัวอยา่ งเช่น ในการทดลองลกู เต๋าลูกเดยี วหนง่ึ คร้ัง ถา้ เหตกุ ารณท์ ่ีสนใจคือได้แตม้ 3 ในที่น้ี แซมเปิลสเปซคือ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } สมาชิกแต่ละตัวของ S มโี อกาสเกิดขึน้ ไดเ้ ทา่ ๆ กัน ส่วน เหตุการณท์ ี่สนใจคือ E={3} โอกาสที่เหตกุ ารณ์ E จะเกดิ ขนึ้ เทา่ กบั 1 ซ่ึงเป็นอัตราสว่ นระหว่าง 6 จานวนสมาชกิ ของ E กบั จานวนสมาชิกของ S พิจารณาอีกตัวอย่างหน่ึง ในการทอดลูกเต๋าสองลูกหน่ึงคร้ัง ถ้าเหตุการณ์ท่ีสนใจคือได้ ผลรวมของแต้มเป็น 5 แซมเปลิ สเปซเป็น 5 แซมเปิลสเปซ S และเหตกุ ารณ์ทส่ี นใจ E อาจเขยี นได้ ดงั นี้ S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } และ E = {5} สมาชิกแต่ละตัวของ S ในท่ีน้ี มีโอกาสเกิดข้ึนได้ไม่เท่ากัน เช่นการที่จะได้ผลรวมของแต้ม เป็น 2 มีโอกาสท่ีจะเกิดข้ึนได้วิธีเดียว คือ ลูกแรกขึ้น 1 และลูกหลังขึ้น 1 ด้วย แต่การที่จะได้ ผลรวมของแตม้ เปน็ 4 มีโอกาสท่จี ะเกิดข้ึนไดถ้ งึ 3 วิธี คือ ลูกแรกขน้ึ 1 และลูกหลงั ขนึ้ 3 ลกู แรกขึ้น 3 และลูกหลังขน้ึ 1 หรอื ลกู แรกข้ึน 2 และลูกหลงั ขึน้ 2 จะเหน็ วา่ การท่ีจะได้ผลรวมของแตม้ เปน็ 4 มีโอกาสท่ีจะเกดิ ขนึ้ ไดม้ ากกว่าการทีจ่ ะได้ผลรวม ของแตม้ เป็น 2 ดังนนั้ เพอ่ื ใช้ในการคานวณหาโอกาสท่ีจะได้ผลรวมของแตม้ เปน็ 5 จะต้องพจิ ารณา แซมเปิลสเปซ S1 ทั้ง 36 วิธีทอี่ าจเป็นไปไดใ้ นการทอดลูกเตา๋ สองลกู กลา่ วคือ S1 = { (1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3,1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6,1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

7 ให้ E1 แทนเหตุการณ์ท่ีจะได้ผลรวมของแตม้ เป็น 5 จะได้ E1 = { (1, 4), (2, 3) (3, 2) (4, 1) } ดังน้ัน โอกาสท่ีจะได้ผลรวมของแต้มเป็น 5 คือ อัตราส่วนระหว่างจานวนสมาชิกใน E1 4 1 กับจานวนสมาชกิ ใน S1 ซึ่งเทา่ กับ 36 = 9 ถ้าสมาชิกของแซมเปิลสเปซมีโอกาสเกิดขึ้นเท่า ๆ กันแล้ว เรียกอัตราส่วนระหว่างจานวน สมาชกิ ของเหตุการณ์ท่สี นใจกับจานวนสมาชกิ ของแซมเปลิ สเปซ วา่ ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ บทนิยม ถ้า N เป็นจานวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซ S ซึ่งประกอบดว้ ยสมาชิกที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้ เท่า ๆ กัน และ n เป็นสมาชิกของเหตุการณ์ E ซึ่งเป็นสับเซตของ S แล้ว ความน่าจะเป็น ของเหตกุ ารณ์ E เทา่ กับ n N ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ E เขียนแทนดว้ ย P(E) อาจกล่าวไดว้ ่า ความน่าจะเป็น เป็นจานวนที่บอกให้ทราบว่าเหตุการณ์ท่ีเราสนใจมีโอกาส เกิดข้นึ มากน้อยเพยี งใด กลา่ วคือ ถ้า P (E) = 0 หมายความว่าเหตุการณ์ E ไม่มีโอกาสเกิดข้ึนเลย หรือเป็นไปไม่ได้ที่ เหตุการณ์ E จะเกิดขน้ึ เช่น ถา้ E เปน็ เหตุการณท์ ไ่ี ดเ้ ตม้ 7 จากการทอดลกู เต๋าหนง่ึ ลูกครงั้ เดียว ถา้ P (E) = 1 หมายความว่าโอกาสที่เหตุการณ์ E จะเกิดข้นึ อย่างแน่นอน เช่น ถ้า E เป็น เหตกุ ารณ์ท่ไี ดแ้ ต้มเป็นจานวนค่หู รือจานวนค่ีจากการทอดลกู เต๋าหน่ึงลูกครั้งเดียว ถา้ P (E) = 1 หมายความวา่ โอกาสที่เหตกุ ารณ์ E จะเกดิ หรอื ไม่เกดิ มีเท่า ๆ กนั เชน่ E 2 เป็นเหตกุ ารณท์ ่ีได้แต้มคู่จากการทอดลกู เต๋าหนงึ่ ลกู ครัง้ เดียว ถ้า P (E1) = 1 และ P (E2) = 2 หมายความว่าเหตุการณ์ E2 มีโอกาสที่จะเกิดข้นึ 5 5 มากกว่าเหตุการณ์ E1 จากที่ไดก้ ลา่ วมาแล้ว อาจสรุปสมบตั ิที่สาคญั ของความนา่ จะเป็นได้ดงั น้ี (1) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E ใด ๆ จะมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 เสมอ น่ันคือ 0  P (E) 1 (2) ความน่าจะเปน็ ของแซมเปลิ สเปซ S มีคา่ เท่ากบั 1 น่ันคอื P (S) = 1 (3) ความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ท่ีเปน็ เซตว่างมคี า่ เทา่ กับ 0 น่นั คอื P () = 0

8 บทนิยามท่ีให้ไว้ใช้คานวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จากแซมเปิลสเปซที่เป็นเซตจากัด และสมาชิกแต่ละตัวมีโอกาสเกิดข้นึ ได้เท่า ๆ กัน ส่วนการคานวณจากแซมเปิลสเปซที่เปน็ เซตอนันต์ จะยงั ไม่กลา่ วถึงในชนั้ นี้ ตัวอยา่ งที่ 1 ในการโยนเหรียญหนึ่งอันสองครั้ง ให้ E เปน็ เหตุการณณ์ ืที่ขน้ึ หัวหนึ่งครง้ั จงหาความ น่าจะเปน็ ของ E ดงั นั้น แซมเปลิ สเปซคอื S = { 0, 1, 2 } แต่สมาชิกแต่ละตัวของ S มีโอกาสท่ีจะเกดิ ข้ึนได้ไม่เท่ากัน เพราะผลลัพธ์ที่เป็นไปไดใ้ นการ โยนเหรียญหนึ่งอันสองครั้งมี 4 วิธี คือ หัว – หัว, หัว – ก้อย, ก้อย – หัว และ ก้อย – ก้อย จะ เห็นได้ว่าความน่าจะเป็นทีจ่ ะขึ้นหัวหน่งึ ครัง้ มี 2 วิธีในจานวนวธิ ีท้ังหมด 4 วธิ ี ดังนนั้ ความน่าจะเปน็ ที่ เหรยี ญจะข้นึ หวั หนึ่งครง้ั เท่ากับ 1 2 เพื่อความสะดวกในการคานวณความน่าจะเป็น จึงควรเขียนแซมเปิลสเปซให้อยู่ในรูปท่ี สมาชิกแต่ละตวั มีโอกาสท่ีจะเกิดขน้ึ ไดเ้ ท่า ๆ กัน วธิ ที า ถ้าให้ “ห” แทนหวั “ก” แทนก้อย จะได้แซมเปลิ สเปซ S และ เหตกุ ารณ์ E ดังนี้ S = { (ห, ห), (ห, ก), (ก, ห), (ก, ก) } E = { (ห, ก), (ก, ห) } ดงั นัน้ P (E) = 2 = 1 4 2 ตัวอย่างที่ 2 ถ้าสมุ่ ครอบครัวทีม่ ีบุตรสองคนมาครอบครวั หนงึ่ จงหาความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ที่ ครอบครัวนัน้ (1) มบี ตุ รคนแรกเปน็ ชาย บตุ รคนท่สี องเป็นหญงิ (2) มีบตุ รเป็นชายอย่างน้อย 1 คน (3) ไม่มีบตุ รชายเลย (4) มีบตุ รชาย 1 คน บตุ รหญิง 1 คน (5) มีบตุ รหญิง 3 คน วธิ ที า ให้ E1, E2, E3, E4 และ E5 เปน็ เหตกุ ารณ์ในขอ้ (1), (2), (3), (4) และ (5) ตามลาดบั แซมเปิลสเปซในที่น้ีคือ S = { (ชาย, ชาย), (ชาย, หญิง), (หญิง, ชาย), (หญิง, หญิง) } จานวนสมาชิกของ S เทา่ กบั 4

9 จะได้ P(E1) = 1 4 ดงั น้ัน ความน่าจะเป็นท่ีครอบครัวนนั้ จะมีบุตรคนแรกเปน็ ชาย และบุตรคนท่ีสองเป็นหญิง เทา่ กบั 1 4 3 P(E2) = 4 ดังนั้น ความนา่ จะเป็นท่ีครอบครวั น้นั ไม่มบี ุตรชายอย่างนอ้ ยหนึ่งคนเท่ากับ 3 4 1 P(E3) = 4 ดังน้นั ความน่าจะเป็นทค่ี รอบครัวน้ันไม่มีบุตรชายเลย เท่ากับ 1 4 2 1 P(E4) = 4 = 2 ดงั นัน้ ความนา่ จะเปน็ ที่ครอบครวั นนั้ มบี ุตรชายหนึ่งคน บุตรหญงิ หนึง่ คน เทา่ กับ 1 2 P(E5) = P() = 0 ดงั นน้ั ความน่าจะเปฯ็ ท่ีครอบครวั นัน้ มีบุตรหญงิ สมคน เท่ากับ 0 ตวั อย่างที่ 3 ในการทอดลูกเตา๋ สองลกู หนึ่งครงั้ ให้หาความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณท์ ่ี (1) ผลบวกของแต้มมากกว่าหรอื เทา่ กับ 10 (2) ผลบวกของแต้มหารดว้ ย 3 ลงตัว วิธที า ในการทอดลูกเตา๋ สองลูก ลกู เตา๋ ลูกแรกปรากฏผลได้ 6 วธิ ี และลกู เต๋าลูกทสี่ องปรากฏผลได้ อีก 6 วิธี ดงั น้ันจานวนวิธที จี่ ะได้ผลรวมของแตม้ จะเท่ากบั 6  6 = 36 ดงั แสดงในตารางตอ่ ไปน้ี แตม้ ลูกที่ 1 1 23 4 5 6 แต้มลกู ท่ี 2 1 234567 2 345678 3 456789 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

10 ให้ E1 และ E2 เป็นเหตกุ ารณ์ในข้อ (1) และ (2) ตามลาดับ สมาชิกของ E1 เขยี นแทนได้ดว้ ยคอู่ นั ดับของแตม้ ทไี่ ด้จากลกู เตา๋ ลูกท่ี 1 และลูกท่ี 2 คือ E1 = { (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } จานวนสมาชกิ ของ E1 เท่ากับ 6 จะได้ P(E1) = 6 = 1 36 6 1 ดังน้ัน ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ท่ีผลบวก ของแตม้ มากกวา่ หรอื เทา่ กับ 10 คือ 6 เนื่องจาก E2 = { (1, 2), (2, 1), (1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3), (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (6, 6) } นน่ั คือ จานวนสมาชกิ ของ E2 เท่ากับ 12 จะได้ P(E2) = 12 = 1 36 3 1 ดังนัน้ ความนา่ จะเป็นท่ผี ลบวกของแตม้ หารดว้ ย 3 ลงตัวเท่ากับ 3 ตัวอย่างท่ี 4 ในการเลือกตัวเลขสองตัวโดยไม่เจาะจงจาก { 1, 2, 3, 4, 5 } โดยเลือกทีละตัวและ ไม่ให้ซา้ กันจงหาความน่าจะเป็นทจ่ี ะได้เลขสองตวั ที่มีผลบวกเป็น 6 วธิ ที า มวี ิธเี ลือกเลขตวั ทหี่ นึ่ง 5 วิธี และมีวิธเี ลอื กตวั ทีส่ อง 4 วธิ ี ดงั นนั้ มีวธิ ีเลือกตวั เลขสองตวั ท้งั หมด 5  4 = 20 วิธี ให้ E เป็นเหตกุ ารณท์ จ่ี ะไดต้ ัวเลขสองตวั ซ่งึ บวกกนั แลว้ ได้ 6 จะได้ E = { (1, 5), (2, 4), (4, 2), (5, 1) } ดังน้นั P(E) = 4 = 1 20 5 1 นนั่ คอื ความนา่ จะเป็นทีจ่ ะไดเ้ ลขสองตัวซ่งึ บวกกนั แล้วได้ 6 เทา่ กบั 5 ตัวอย่างท่ี 5 กล่องใบหน่ึง มีลูกแก้วขนาดเดียวกัน 5 ลูก เป็นสีขาว 2 ลูก สีแดง 3 ลูก สุ่มหยิบ ลกู แก้วมา 2 ลกู จงหาความนา่ จะเปน็ ท่จี ะได้ลูกแก้วสีขาว 1 ลกู สแี ดง 1 ลูก วธิ ที า วิธที ี่จะหยบิ ลูกแกว้ 2 ลกู มีทง้ั หมด  5  วิธี 2

11 ให้ E เปน็ เหตกุ ารณท์ ่ีจะหยิบได้ลกู แกว้ สีขาว 1 ลกู สีแดง 1 ลูก วธิ ที ่ีจะหยิ บไดล้ ูกแก้วสขี าว 1 ลูก และสแี ดง 1 ลูก มี 12 13 วิธี 12  13 ดังนัน้ P(E) = 5 = 3  2  5 นัน่ คือ ความนา่ จะเปน็ ท่ีจะได้ลกู แกว้ สขี าว 1 ลูก สีแดง 1 ลกู เทา่ กับ 3 5 2.4 กฎที่สาคัญบางประการของความน่าจะเปน็ กฎขอ้ ท่ี 1 ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตกุ ารณใ์ ดๆ ที่เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ S แลว้ P( E1  E2 ) = P( E1) + P( E2 ) - P( E1  E2 ) พสิ ูจน์ ให้ n1 เป็นจานวนสมาชกิ ของเหตกุ ารณ์ E1 ให้ n2 เปน็ จานวนสมาชิกของเหตกุ ารณ์ E2 ให้ n3 เป็นจานวนสมาชกิ ของเหตุการณ์ E1  E2 ให้ n4 เปน็ จานวนสมาชิกของเหตกุ ารณ์ E1  E2 ให้ N เป็นจานวนสมาชกิ S จะได้ n4 = n1 + n2 - n3 ดังนนั้ n4 = 1 ( n1 + n2 - n3 ) = n1 + n2 - n3 N N N N N

12 จากบทนยิ ามความน่าจะเป็น จะได้ P( E1  E2 ) = P( E1) + P( E2 ) - P( E1  E2 ) กฎขอ้ ที่ 2 ถา้ E1 และ E2 เป็นเหตกุ ารณใ์ ดๆ ทไ่ี มเ่ กิดร่วมกนั แลว้ P( E1  E2 ) = P( E1) + P( E2 ) พสิ ูจน์ P( E1  E2 ) = P( E1) + P( E2 ) - P( E1  E2 ) ( จากกฎขอ้ ท่ี 1 ) = P( E1) + P( E2 ) - P ( ) ( E1  E2 =  ) = P( E1) + P( E2 ) - 0 = P( E1) + P( E2 ) กฎข้อที่ 3 ถ้า E เป็นเหตุการณ์ใดๆ ทเ่ี ป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ S แลว้ P(E') = 1 - P(E) พิสูจน์ เน่ืองจาก E1  E2 =S ดงั น้นั P(E1  E2) = P(S) = 1 แต่ P(E1  E2) = P(E1) + P(E2) , (E  E=  ) ดังน้นั P(E') = 1 - P(E) ตัวอย่างที่ 1 หมู่บ้านแหง่ หน่งึ มีปะชากรอาศยั อยู่ 200 ครอบครัว มีครอบครัวท่ปี ลกู ข้าง 100 ครอบครวั ปลกู ข้าวโพด 120 คอรบครัว และปลูกท้งั ข้าวและข้าวโพด 40 ครอบครัว จงหา ความนา่ จะเป็นที่ครอบครัวหนง่ึ ในหมู่บา้ นนนั้ จะปลูกขา้ วหรือขา้ วโพด วิธที า ให้ E1 เปน็ เซตของครอบครวั ที่ปลกู ข้าว ให้ E2 เปน็ เซตของครอบครวั ท่ีปลกู ขา้ วโพด วิธีที่ 1 จากสงิ่ ท่กี าหนดใหใ้ นโจทย์ เขยี นแผนภาพแสดงจานวนสมาชิกของแต่ละสว่ นของ E1  E2 ได้ดังน้ี

13 ดังน้นั P( E1  E2 ) = 60 + 40 + 80 = 0.9 200 วธิ ที ่ี 2 ใช้กฎของความนา่ จะเปน็ P( E1  E2 ) = P( E1) + P( E2 ) - P( E1  E2 ) = 100 + 120 - 40 = 200 200 200 0.9 ดงั น้ัน ความน่าจะเป็นที่ครอบครวั หนงึ่ ในหมบู่ ้านนั้นจะปลุกข้าวหรือข้าวโพดเท่ากับ 0.9 ตวั อยา่ งที่ 2 โรงเรยี นแหง่ หนง่ึ มีนักเรียนชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 จานวน 80 คน นกั เรยี นแตล่ ะคน จะตอ้ งเรียนวิชาฟสิ กิ ส์ เคมี หรอื คณิตศาสตรอ์ ย่างนอ้ ยหนึ่งวชิ า จากการนับจานวนนักเรียนทเ่ี ลอื ก เรียนในแต่ละวชิ า ปรากฏวา่ มีนักเรยี นท่ีเลอื กเรยี นวชิ าฟสิ ิกส์ เคมี หรือคณิตศาสตร์เปน็ จานวน 50 ,40 และ 33 คน ตามลาดับ ในจานวนดังกลา่ วน้ี มผี ทู้ ี่เลอื กเรียนทง้ั สามวชิ าอยู่ 5 คน เลอื ก เรียนวชิ าคณติ ศาสตร์อย่างเดียว 10 คน เลือกเรยี นวชิ าเคมีอยา่ งเดยี ว 12 คน และเลอื กเรยี นทั้ง วชิ าเคมี และวิชาคณิตศาสตร์ 13 คน จงหาความน่าจะเป็นท่นี ักเรียนคนหนง่ึ ในชั้นนี้จะเรยี นวชิ า (1) ฟิสกิ ส์หรอื เคมี (2) คณติ ศาสตร์หรือฟิสิกส์ (3) เคมีหรอื คณิตศาสตร์ วิธีทา ให้ E1 , E2 และ E3 เปน็ เหตกุ ารณ์ทนี่ กั เรยี นคนหน่ึงในชน้ั นจ้ี ะเรียนวชิ าฟสิ กิ ส์ เคมี และ คณติ ศาสตร์ ตามลาดบั เขยี นแผนภาพแสดงจานวนสมาชิกได้ดงั รปู (1) P( E1  E2 ) = P( E1) + P( E2 ) - P( E1  E2 ) = 50 + 40 - 20 80 80 80

14 = 0.875 ดังน้นั ความนา่ จะเป็นที่นกั เรยี นคนหน่ึงในช้นั นีจ้ ะเรยี นวชิ าฟสิ ิกส์หรือ เคมเี ท่ากบั 0.875 (2) P( E3  E1) = P( E3 ) + P( E1) - P( E3  E1) = 33 + 50 - 15 80 80 80 = 0.850 ดงั นน้ั ความน่าจะเป็นท่นี ักเรียนคนหนึง่ ในชนั้ น้ีจะเรยี นวิชาคณติ ศาสตรห์ รือฟิสกิ ส์เท่ากับ 0.850 (3) P( E2  E3 ) = P( E2 ) + P( E3 ) - P( E2  E3 ) = 40 + 33 - 13 80 80 80 = 0.750 ดังนัน้ ความน่าจะเป็นทน่ี ักเรยี นคนหนึ่งในชั้นนจ้ี ะเรียนวิชาเคมหี รืคณติ ศาสตรเ์ ท่ากับ 0.750 ตวั อยา่ งท่ี 3 เดก็ คนหนง่ึ มลี ุกแกว้ ขนาดเดียวกัน 4 ลกู อยใู่ นกระเปา๋ กางเกงเป็นสีแดง 2 ลูก สี เขยี วและสีเหลืองอย่างละ 1 ลกู จงหาความนา่ จะเป็นท่ีเด็กคนนั้นลว้ งกระเป๋า หยบิ ลูกแก้วขน้ึ มา หนึ่งลกู แล้ว (1) ได้ลูกแก้วสีแดงหรอื ลกู แก้วสเี ขยี ว (2) ไม่ได้ลกู แกว้ สแี ดงหรือสเี ขยี ว วิธีทา ให้ E1 เปน็ เหตุการณท์ ่ีหยบิ ได้ลกู แก้วสแี ดง ให้ E2 เปน็ เหตุการณ์ท่หี ยิบไดล้ กู แกว้ สเี ขียว (1) เมอ่ื หยิบลูกแกว้ ข้ึนมาหน่งึ ลกู จะไดล้ กู แกว้ สีแดงและลูกแกว้ สเี ขยี วในขณะเดยี วกนั ยอ่ ม ไม่ไดด้ งั นนั้ E1  E2 =  น่นั คือ E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์ทไ่ี มเ่ กิดรว่ มกัน

15 ดงั นน้ั P( E1  E2 ) = P( E1) + P( E2 ) = 2+1 44 = 0.75 น่ันคอื ความนา่ จะเป็นในการทเี่ ด็กคนนน้ั หยบิ ได้ลูกแกว้ สีแดงหรือลูกแก้วสีเขียวเทา่ กับ 0.75 เนื่องจากเหตกุ ารณท์ ี่ไม่ได้ลกู แกว้ สีแดงหรอื สเี ขียวคือ ( E1  E2 )' ดงั นั้น P( ( E1  E2 )') = 1 - P ( E1  E2 ) (จากกฎข้อที่ 3) = 1 – 0.75 = 0.25 น่นั คอื ความน่าจะเปน็ ในการทีเ่ ด็กคนนั้นหยิบไมไ่ ดล้ ูกแกว้ สีแดงหรือลกู แกว้ สีเขยี วเทา่ กับ 0.25 ตัวอย่างที่ 4 ในกลอ่ งใบหน่งึ มลี กู บอลสแี ดง 5 ลกู สีขาว 3 ลกู ถา้ หยิบลกู บอลมา สองลกู พรอ้ มกันโดยวธิ สี มุ่ จงหาความน่าจะเป็นท่ลี ูกบอลท้งั สองลกู จะมีสเี ดียวกนั วธิ ที า ให้ E1 เปน็ เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลสแี ดงทั้งคู่ E2 เปน็ เหตกุ ารณ์ทหี่ ยบิ ได้ลูกบอลสขี าวทงั้ คู่ เหตุการณท์ ี่จะได้ลกู บอลสองลูกมีสเี ดียวกันคือ E1  E2 เน่ืองจาก เม่อื หยิบได้ลูกบอลมาสองลกู จะได้ลูกบอลสแี ดงท้ัง 2 ลูก และสขี าวทงั้ 2 ลกู ในขณะเดยี วกนั ไม่ได้ ดงั นั้น E1  E2 = นน่ั คอื E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์ทไ่ี มเ่ กิดร่วมกนั ความนา่ จะเปน็ ท่ีลกู บอลทง้ั สองจะมีสีเดยี วกนั คือ P ( E1  E2 ) จากกฎข้อที่ 2 P ( E1  E2 ) = P( E1) + P( E2 )  5  5 เนื่องจาก P( E1) = 2 = 14  8  2 และ P( E2 )  3  = 2 = 3  8  28 2 จะได้ P ( E1  E2 ) = 5 + 3 = 0.46 14 28 ดังนั้น ความน่าจะเป็นท่ลี ูกบอลทั้งสองจะมสี เี ดียวกนั เทา่ กับ 0.46

16 กจิ กรรมที่ 1 เรื่อง เหตุการณ์ คาชี้แจง จงเติมชอ่ งวา่ งให้สมบูรณ์ (ข้อละ 1 คะแนน) 1. กลอ่ งใบหนึ่งมลี ูกบอลสีแดง 1 ลูก สฟี ้า 1 ลกู สุ่มหยิบลกู บอลคร้งั ละ 1 ลูก 3 ครั้ง โดยหยิบแล้วใส่ คนื กอ่ นทจ่ี ะหยบิ คร้งั ตอ่ ไป จงหาเหตกุ ารณท์ ่ีจะไดล้ กู บอลเป็นสเี ดยี วกัน 2 ครั้งติดกนั ในการหยบิ คร้ังท่ี 1 และคร้ังที่ 2 เท่าน้นั วิธที า ให้ ด แทน ลูกบอลสแี ดง ฟ แทน ลกู บอลสฟี า้ แซมเปลิ สเปซ คือ S = {ดดด , ดดฟ , ดฟด , ดฟฟ , ฟดฟ , ฟดด , ฟฟด , ฟฟฟ} ดงั นน้ั n (S) = 8 ให้ E แทน เหตกุ ารณท์ ี่จะไดล้ ูกบอลเปน็ สีเดียวกนั 2 คร้งั ตดิ กันในการหยบิ ครง้ั ท่ี 1 และครัง้ ที่ 2 เท่านั้น ดังนัน้ E = {...............................................................................} จะได้ n (E) = .......................................... 2. ในการโยนเหรียญ 2 อนั หน่งึ ครงั้ จงหา 2.1 เหตุการณ์ทเี่ หรียญขึ้นหนา้ ก้อยทัง้ สองเหรียญ 2.2 เหตกุ ารณ์ทเ่ี หรียญขึน้ หน้าก้อยอย่างนอ้ ยหนง่ึ เหรียญ วธิ ีทา แซมเปิลสเปซ คอื S = {HH , HT , TH , TT} ดังนัน้ n (S) = 4 2.1 ให้ E1 แทน เหตุการณ์ท่เี หรยี ญขึน้ หนา้ กอ้ ยทัง้ สองเหรียญ ดังนั้น E1 = {..............................................................................} จะได้ n (E1 ) = ........................................... 2.2 ให้ E 2 แทน .................................................................................. ดงั น้นั E 2 = {...............................................................................} จะได้ n (E 2 ) = ...........................................

17 3. ในการโยนลกู เต๋า 1 ลูก 1 ครงั้ จงหา 3.1 เหตุการณ์ท่ีลูกเตา๋ ข้ึนหนา้ เป็นเลขคู่ 3.2 เหตกุ ารณ์ทล่ี ูกเตา๋ ข้นึ หนา้ ทีห่ ารด้วย 3 ลงตัว 3.3 เหตกุ ารณ์ท่ลี ูกเต๋าขน้ึ หนา้ เป็นจานวนเฉพาะ วิธีทา แซมเปลิ สเปซ คอื S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ดงั น้ัน n (S) = 6 3.1 ให้ E1 แทน เหตุการณ์ทล่ี กู เตา๋ ข้นั หน้าเป็นเลขคู่ ดังนั้น E1 = {......................................................................................} จะได้ n (E1 ) = ................................................. 3.2 ให้ E 2 แทน เหตกุ ารณ์ท่ีลกู เตา๋ ข้นึ หนา้ ที่หารดว้ ย 3 ลงตวั ดงั นั้น E 2 = {......................................................................................} จะได้ n (E 2 ) = ................................................. 3.3 ให้ E 3 แทน ......................................................................................... ดงั นน้ั E 3 = {......................................................................................} จะได้ n (E 3 ) = ................................................

18 กจิ กรรมที่ 2 เรือ่ ง ความนา่ จะเป็น 1. ตนู ทายวันเกดิ เพื่อน โดยเพ่ือนบอกใบ้ใหว้ ่าเขาเกิดเดอื นมีนาคม จงหาความน่าจะเป็นที่ตนู ทายถูก วา่ เพื่อนเกิดวันท่ีเท่าไร วิธที า 2. เกมปาเป้ามีรางวัลตามภาพในเป้า เป้าถูกปั่นให้หมุนจนไม่เห็น ภาพรางวัล แล้วให้ผู้เล่นเกมปาลูกดอกใส่เป้า 1 ครั้ง ลูกดอกปักใน ช่องใด ผู้เล่นเกมได้รางวัลตามภาพที่อยู่ในช่องน้ัน ถ้าลูกดอกปักใน ช่องทีไ่ มม่ ีภาพ ผู้เล่นเกมไมไ่ ด้รางวัล จงหาความน่าจะเป็นที่ 1.1) ผเู้ ล่นได้รางวลั เป็นต๊กุ ตาหมี 1.2) ผเู้ ล่นได้รางวลั เปน็ ไอศรีม 1.3) ผเู้ ลน่ ไม่ไดร้ างวลั ใดเลย 1.4) ผ้เู ล่นไดร้ างวัลใดรางวัลหนง่ึ วธิ ที า

19 3. ในขวดโหล มีลกู กวาดรสสม้ 4 ลูก, ลูกกวาดรสมะนาว 3 ลูก, ลูกกวาดรสสตรอเบอร่ี 5 ลูก หยบิ ลูกกวาด 1 ลกู จากขวดโหลนี้ จงหาความน่าจะเป็นทห่ี ยบิ ไดล้ กู กวาดรสมะนาว วธิ ีทา 4. ลานจอดรถแห่งหน่งึ มีรถจอดอยู่ 100 คัน เป็นรถเก๋ง 50 คัน รถกระบะ 40 คนั ท่เี หลอื เปน็ รถตู้ รถ ทกุ คนั มีโอกาสท่ีจะขับออกจากลาดจอดรถเท่ากัน จงหาความนา่ จะเปน็ ทร่ี ถคนั แรกทขี่ ับออกจากลาน จอดรถเป็นรถตู้ วิธีทา 5. นกั เรียนหอ้ งหนงึ่ ประกอบดว้ ยนกั เรียนชาย 20 คน นักเรียนหญิง 25 คน โดยนกั เรยี นหอ้ งนมี้ ผี ทู้ ่ี เป็นจิตอาสา 18 คน ซง่ึ เปน็ ชาย 8 คนและเปน็ หญงิ 10 คน ในการแจกของขวัญวันเด็ก นกั เรียนหญิง ได้รบั โบว์ผกู ผม นกั เรยี นชายไดร้ บั หมวกแก็ป นกั เรยี นทีเ่ ป็นจิตอาสาได้รับเสอื้ ยดื จงหาความนา่ จะ เปน็ ที่มนี กั เรยี นหอ้ งนไี้ ด้รบั ทง้ั โบว์ผูกผมและเสื้อยืด วิธีทา

20 ข้อสอบท้ายบท ตอนที่ 1 จงเลอื กคาตอบทถ่ี กู ต้องที่สุดเพยี งคาตอบเดียว แล้วทาเคร่อื งหมาย X ลงในกระดาษคาตอบใหช้ ัดเจน 1. ในการเลือกบัตร 2 ใบ จากบัตร 5 ใบ ที่มีหมายเลข 4. โรงแรมแห่งหน่ึงมีห้องว่างชั้นที่หน่ึง 15 ห้อง ชั้นที่ 1, 2, 3, 4, 5 กากับอยู่ โดยหยิบบัตรใบแรกมาวางไว้ไม่ สอง 10 ห้อง ชั้นที่สาม 25 ห้อง ถ้าทองเอกต้องการเข้า ใส่คืนจึงหยิบใบท่ี 2 เหตุการณ์ท่ีหมายเลขบนบัตร 2 ใบ พักโรงแรมแห่งนโ้ี ดยวธิ ีสุ่มแลว้ ความน่าจะเปน็ ทที่ องเอก นัน้ รวมกนั เป็น 6 มีจานวนสมาชกิ เทา่ ใด จะได้เข้าพกั ชน้ั ท่สี องของโรงแรมเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 2 2. 4 1. 1 2. 1 3. 20 4. 25 10 2 3. 3 4. 1 10 5 2. โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ และลูกเต๋า 1 ลูก พร้อม 5. นักเรียน 4 คน นาบัตรประจาตัวนักเรียนของตนเอง กัน 1 ครง้ั จะมสี มาชิกในแซมเปลิ สเปซเท่าใด ใสก่ ล่องรวมกัน แล้วนกั เรยี นคนหน่งึ สมุ่ หยบิ บตั รขึ้นมา 1 1. 6 2. 12 ใบจงหาความน่าจะเป็นทีน่ กั เรยี นคนนีจ้ ะหยิบไดบ้ ตั รของ 3. 18 4. 36 ตนเอง 1. 1 2. 19 100 100 3. 1 4. 1 10 5 3. ความน่าจะเป็นที่รางวัลเลขท้าย 2 ตัว ของสลากกิน 6. ครอบครัวหนงึ่ ต้องการมีบตุ รเพยี ง 2 คน ความน่าจะ แบ่งรัฐบาลจะออกเลขทั้งสองหลักเป็นเลขเดียวกัน เป็นที่ครอบครัวน้ีมีบุตรเป็นหญิงอย่างน้อย 1 คน เป็น เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี เท่าใด 1. 1 2. 2 1. 1 2. 2 10 10 45 3. 1 4. 2 3. 3 4. 4 99 45

21 7. ขวดโหลใบหนง่ึ มีลกู กวาด 5 เม็ด เป็นสแี ดง 2 เมด็ สี 9. ลูกเต๋าลูกหนึ่งถูกถ่วงน้าหนักให้แต้มคู่แต่ละหน้ามี ขาว 3 เม็ด หยิบข้ึนมาทีละเม็ด 2 ครั้งโดยหยิบแล้วใส่ โอกาสจะเกิดขึ้นเป็นสองเท่าของแต้มค่ีแต่ละหน้า ความ คืน จงหาความน่าจะเป็นในการท่ีจะหยิบได้ลูกสีแดง น่าจะเป็นที่โยนลูกเต๋า 1 คร้ังได้แต้มเป็น 1 หรือ แต้มคู่ อยา่ งนอ้ ย 1 ลกู เท่ากับข้อใด 1. 16 2. 4 i 2. 2 25 5 1. 3 3 3. 14 4. 1 4 4. 5 25 5 3. 7 8 9 8. ในการจัดงานของบริษัทแห่งหน่ึง ได้แจกบัตรแก่ 10. โยนลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นท่ี ผรู้ ่วมงาน 100 ใบซ่งึ มีเลขต้งั แต่ 00 ถึง 99 กากับอยู่ สมุ่ ผลรวมของแต้มของลกู เต๋าทั้งสองเปน็ 5 และผลต่างของ หยิบต้นขั้วของบตั รขึ้นมา 1 ใบ เพื่อมอบรางวัลแก่ผู้เขา้ แต้มเปน็ 3 ชมงาน ผู้ท่ีมีบัตรซ่ึงมีหมายเลขที่ตรงกับต้นขั้วจะได้รับ 1. 1 2. 7 รางวัลท่ี 1 ส่วนผู้ท่ีมีหมายเลขซ่ึงมีหลกั หน่วยตรงกนั กบั ต้นขั้วหรือหลักสิบตรงกับต้นขั้วเพียงหลักเดียวจะได้รับ 3 18 3. 1 4. 1 9 18 รางวัลท่ี 2 ถ้าสมชายได้รับแจกบตั รมา 1 ใบความนา่ จะ เป็นท่สี มชายจะไดร้ บั รางวัลคือข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 1 2. 1 100 10 3. 19 4. 1 100 5 ตอนท่ี 2 จงแสดงวธิ ีทาโดยละเอยี ดลงในกระดาษคาตอบ 3 ข้อ 1. โยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครงั้ จงหาความนา่ จะเป็นทไ่ี ด้แตม้ ท่ีหารด้วย 2 ลงตวั 2. ในถุงมธี นบัตรใบละ 1,000 บาท 2 ใบ, ธนบตั รใบละ 500 บาท 5 ใบ, ธนบตั รใบละ 100 บาท 8 ใบ, ธนบัตรใบ ละ 50 บาท 20 ใบ, ธนบตั รใบละ 20 บาท 15 ใบ ล้วงธนบัตร 1 ใบจากถุง จงหาความน่าจะเป็นท่ีล้วงได้ธนบตั รทีม่ ี มูลคา่ สงู สุด 3. ในการชิงโชคทหี่ ้างสรรพสนิ คา้ แห่งหน่งึ มแี ผน่ ปา้ ย 30 แผ่น เขยี นเลขกากบั ไว้ตง้ั แต่ 1 ถึง 30 ผ้ทู เ่ี ลน่ เกมจน เขา้ รอบสุดท้ายไดร้ างวัลโดยใหเ้ ลือกแผน่ ป้าย 1 แผน่ จากแผน่ ปา้ ยท้ังหมด 30 แผ่น ถา้ เลอื กไดเ้ ลขท่ีหารดว้ ย 2 ลง ตวั จะได้รางวลั เปน็ โทรศพั ทม์ ือถอื ถา้ เลือกไดเ้ ลขท่หี ารด้วย 3 ลงตัวจะได้รางวัลเปน็ โทรทศั น์ ฟ้าเขา้ รอบสุดท้าย จง หาความนา่ จะเปน็ ทีฟ่ ้าได้โทรทัศน์

ค บรรณานุกรม นุตพล ธรรมลังกา. ทฤษฎีเบื้องต้นของความนา่ จะเปน็ . สบื คน้ เมอื่ 1 มีนาคม 2562, จาก กกกกกกกhttp://www.lansang2.tak1.org/chalom/webnut50. สจุ นิ ต์ หอมเนียม. เหตุการณ์. สบื ค้นเม่ือ 1 มนี าคม 2562, จาก http://www.pp.ac.th/ กกกกกกกppweb/doc/sujin