Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore รายงานโครงงานล่าสุดพิม

รายงานโครงงานล่าสุดพิม

Published by มนัสวี อุตรภาศ, 2020-09-16 11:00:44

Description: รายงานโครงงานล่าสุดพิม

Search

Read the Text Version

โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎบี ทอธิบายความลีล้ ับในเลขยนั ต์ Theorems Explaining the Mystery of Numbers in Amulet โดย 1. นางสาวอสั รีนา รบเมือง 2. นางสาวรตั นพร ทองจุน้ 3. นางสาวสุกญั ญา ยอดนวล ครทู ปี่ รกึ ษา 1. นายมนัสวี อตุ รภาศ 2. นางสาวสุชาวดี วิเศษแก้ว โรงเรยี นท่าฉางวทิ ยาคาร สานกั งานเขตพนื้ ที่การศึกษามธั ยมศกึ ษาเขต 11 รายงานฉบบั นเ้ี ปน็ สว่ นประกอบของโครงงานคณติ ศาสตร์ ประเภทสรา้ งทฤษฎีหรือคาอธบิ ายทางคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษาตอนปลาย เนอื่ งในงานมหกรรมความสามารถทางศิลปหัตถกรรมวิชาการและเทคโนโลยีของนักเรยี น ปีการศึกษา 2561

ทฤษฎีบทอธบิ ายความลี้ลบั ในเลขยนั ต์ Theorems Explaining the Mystery of Numbers in Amulet โดย รบเมือง 1. นางสาวอัสรีนา ทองจนุ้ 2. นางสาวรัตนพร ยอดนวล 3. นางสาวสกุ ญั ญา ครทู ีป่ รึกษา 1. นายมนัสวี อุตรภาศ 2. นางสาวสุชาวดี วเิ ศษแก้ว โรงเรียนท่าฉางวทิ ยาคาร สานกั งานเขตพ้นื ท่ีการศกึ ษามัธยมศกึ ษาเขต 11 รายงานฉบับนเ้ี ปน็ ส่วนประกอบของโครงงานคณติ ศาสตร์ ประเภทสรา้ งทฤษฎีหรือคาอธิบายทางคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษาตอนปลาย เนอื่ งในงานมหกรรมความสามารถทางศิลปหตั ถกรรมวิชาการและเทคโนโลยขี องนกั เรียน ปกี ารศึกษา 2561

ก ช่อื โครงงาน ทฤษฎบี ทอธบิ ายความลล้ี บั ในเลขยนั ต์ ประเภทโครงงาน Theorems Explaining the Mystery of Numbers in Amulet. ผจู้ ดั ทา สร้างทฤษฎีหรอื คาอธิบายทางคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษาตอนปลาย นางสาวอัสรนี า รบเมือง ครูทป่ี รึกษา นางสาวรัตนพร ทองจนุ้ สถานศึกษา นางสาวสุกัญญา ยอดนวล นายมนัสวี อุตรภาศ นางสาวสุชาวดี วิเศษแกว้ โรงเรียนท่าฉางวทิ ยาคาร อาเภอท่าฉาง จงั หวัดสรุ าษฎร์ธานี บทคัดยอ่ โครงงานเร่ือง “ ทฤษฎีบทอธิบายความล้ีลับในเลขยันต์ ” มีวัตถุประสงค์เพ่ือศึกษาสมบัติ ทางคณิตศาสตร์ของตัวเลขท่ีพบในจัตุรัสกล จากยันต์อริยสัจโสฬสมงคลเปรียบเทียบกับยันต์โทน พุทธคุณ สร้างบทนิยามร่วมของจัตุรัสกลจากยันต์ท้ังสอง สร้างและพิสูจน์ทฤษฎีบทเพื่ออธิบาย สมบัติทางคณิตศาสตร์ของตัวเลขในจัตุรัสกลจากยันต์ท้ังสอง ศึกษาสมบัติบางประการของการ ดาเนินการบนเมทริกซ์ของจตั ุรสั กลท่ีนยิ ามขึน้ มาใหม่ และนาความรู้ทีไ่ ด้มาประยุกตใ์ ช้ในดา้ นอ่นื ๆ ผู้จัดทาพบว่าจัตุรัสกลจากยันต์ทั้งสองมีสมบัติเหมือนกัน 13 สมบัติ ผู้จัดทาจึงใช้ความ เหมือนกันของการจัดวางตัวเลข มาสร้างบทนิยามของจัตุรัสกลใหม่ ที่มีสมาชิกเป็นจานวนจริงใด ๆ และมีค่าคงตัวกลใด ๆ ให้ชื่อว่าจัตุรัสกลอริยสัจโสฬส สร้างและพิสูจน์ 3 บทตั้ง 3 ทฤษฎีบท เพ่ืออธิบายสมบัติทางคณิตศาสตร์ของตัวเลขดังกล่าว 4 บทแทรก 2 ทฤษฎีบทจากการศึกษาสมบัติ ของการดาเนินการบนเมทริกซ์ ระหว่างจัตุรัสกลที่นิยามข้ึนมาใหม่ และสามารถนาความรู้ที่ได้มา ประยุกตใ์ ชใ้ นการสรา้ งสรรค์เปน็ ผลงานศลิ ปะ จากการศกึ ษานี้ทาให้เห็นวา่ ความลลี้ บั ของตวั เลขในยันต์ สามารถอธิบายได้ดว้ ยความรู้ทาง คณิตศาสตร์ สามารถนาความรู้ทีไ่ ด้มาประยุกต์ใช้ในด้านอืน่ ๆ และเหน็ แนวทางในการศกึ ษาเพ่ิมเติม ด้วยความรูท้ างคณิตศาสตร์ในระดบั ที่สูงขึ้น คาสาคัญ จตั ุรสั กล ยันต์โทนพทุ ธคุณ ยนั ตอ์ รยิ สัจโสฬสมงคล สมบตั ทิ างคณิตศาสตร์ เมทรกิ ซ์

ข กติ ตกิ รรมประกาศ โครงงานคณิตศาสตร์เรื่อง “ทฤษฎีบทอธิบายความล้ีลับในเลขยันต์” สาเร็จลุล่วงลงได้ด้วย ความกรณุ าจาก ครู มนัสวี อตุ รภาศ และครู สชุ าวดี วเิ ศษแก้ว ในดา้ นการใหค้ าแนะนาการดาเนนิ งาน และแนวทางในการพิสูจน์ทฤษฎี ตลอดจนตรวจสอบความถูกต้อง และช่วยแก้ไขข้อบกพร่องต่าง ๆ ของโครงงานมาโดยตลอด ขอขอบคุณ ดร.อมรรัตน์ โสธารัตน์ ผู้อานวยการโรงเรยี น ท่ีสนับสนุนการ ดาเนินงาน ให้คาแนะนาในการจัดทาโครงงาน ขอขอบคุณ ดร.สมพงษ์ ฉุยสุริยฉาย อาจารย์ประจา ภาควิชาคณิตศาสตร์และสถิติ สาขาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์ วิทยาเขตหาดใหญ่ สาหรับคาแนะนาในการจดั ทาโครงงาน สดุ ท้ายน้ี ขอขอบคุณผูท้ ่ีม่ีส่วนเกี่ยวขอ้ งในการศึกษา เผยแพร่ อนุรักษม์ รดกทางวฒั นธรรมท่ี แอบแฝงความรู้ทางคณิตศาสตร์ ความหมายทางศาสนาของยันต์อริยสัจโสฬสมงคล และยันต์โทน พทุ ธคุณ ซ่งึ คณะผู้จัดทาไดน้ ามาพัฒนาตอ่ ยอดองค์ความรู้ในโครงงานฉบับน้ี คณะผจู้ ัดทาโครงงาน

ค สารบญั หน้า บทคดั ยอ่ ก กิตติกรรมประกาศ ข สารบัญ ค สารบญั ตาราง จ สารบญั รปู ภาพ ฉ คาอธิบายสญั ลกั ษณ์ ช บทท่ี 1 บทนา 1 1 ทม่ี าและความสาคัญ 2 วตั ถุประสงค์ในการทาโครงงาน ประโยชนท์ ค่ี าดว่าจะไดร้ บั 2 สมมุตฐิ าน 3 ขอบเขตในการศึกษา 3 นยิ ามศพั ท์เฉพาะ 3 ประโยชน์ทค่ี าดว่าจะไดร้ ับ 4 บทที่ 2 เอกสารท่ีเกีย่ วข้อง 5 จตั รุ สั กล (Magic Square) 9 ยันตโ์ ทนพุทธคุณ 11 ยนั ต์อริยสัจโสฬสมงคล 11 เมทรกิ ซ์ (Matrices) 15 บทที่ 3 วธิ ีการดาเนนิ การ 16 บทที่ 4 ผลการดาเนินการ ผลการเปรยี บเทยี บสมบตั ิทางคณิตศาสตรร์ ะหวา่ งยันตอ์ รยิ สจั โสฬสมงคล 16 กบั ยันต์โทนพทุ ธคณุ 17 ผลการขยายบทนิยามรว่ มระหวา่ ง ยนั ตอ์ รยิ สัจโสฬส และ ยันต์โทนพทุ ธคณุ 18 สร้างและพสิ จู น์ทฤษฎบี ทจากจัตุรสั กลท่นี ยิ ามข้ึนมาใหม่ 23 สมบตั ิบางประการของการดาเนินการบนเมทรกิ ซ์ ของจัตุรัสกลอริยสัจโสฬส

สารบญั (ตอ่ ) ง บทท่ี 5 สรุป อภิปรายผล และขอ้ เสนอแนะ หนา้ บรรณานกุ รม 27 ภาคผนวก 31 32 ตวั อย่างสมบัตทิ างคณติ ศาสตร์ของตัวเลขในจัตรุ ัสกลอริยสัจโสฬส 32 ตวั อย่างสมบัติบางประการของการดาเนนิ การบนเมทริกซ์ 39 ตวั อยา่ งการสรา้ งผลงานศิลปะจากจตั ุรัสกลอรยิ สัจโสฬส 39 ตวั อยา่ งการสร้างจัตุรัสกลด้วยวธิ ีสยาม 40

จ สารบญั ตาราง ตารางท่ี หน้า ตารางท่ี 1 ผลการเปรยี บเทยี บสมบตั ิทางคณิตศาสตร์ของยันตท์ งั้ สอง 16 ตารางที่ 2 การนาผลที่ได้จากการศกึ ษามาอธิบายสมบัติทางคณติ ศาสตรข์ องยนั ต์ ……… ….28

สารบัญรปู ภาพ ฉ ภาพท่ี หน้า ภาพที่ 2.1 จัตุรัสกลปรกตขิ นาด 4 × 4 5 ภาพที่ 2.2 แผนภาพตวั เลขหลอซู 6 ภาพท่ี 2.3 แผ่นเหล็กจารึกภาษาอาหรบั ทพ่ี บในจนี 6 ภาพที่ 2.4 จัตรุ สั กลขนาด 3 × 3 7 ภาพท่ี 2.5 ยนั ต์โทนพทุ ธคุณ 9 ภาพท่ี 2.6 จัตรุ สั กลจากยันต์โทนพทุ ธคุณ 9 ภาพที่ 2.7 ยนั ต์อรยิ สัจโสฬสมงคล 11 ภาพท่ี 6.1 แสดงภาพลายเสน้ จากจตั รุ ัสกลอริยสัจโสฬส 36 ภาพที่ 6.2 แสดงตวั อยา่ งภาพวาดจากจตั ุรสั กลอรยิ สัจโสฬส 37 ภาพท่ี 6.3 แสดงการสรา้ งจัตรุ สั กลทม่ี ีขนาดเปน็ จานวนค่ี ด้วยวิธสี ยาม 41

ช สัญลักษณ์ คาอธิบายสัญลกั ษณ์ ������ คาอธบิ าย ������ ������ เซตของเมทริกซ์จัตุรัสใด ๆ ������ เมทรกิ ซ์สมมาตร ������(������) เมทริกซ์เสมอื นสมมาตร ������������������ คา่ คงตัวกลของจตั รุ ัสกล คา่ คงตวั กลของจัตุรัสกล ������ จตั รุ ัสกลอรยิ สัจโสฬส ( โสฬส )

บทที่ 1 บทนา ในบทนี้จะกล่าวถึง ท่ีมาและความสาคัญของโครงงาน วัตถุประสงค์ในการจัดทาโครงงาน สมมุตฐิ าน ขอบเขตของการศึกษา นยิ ามคาศพั ทเ์ ฉพาะ และประโยชนท์ คี่ าดว่าจะไดร้ ับ ดงั น้ี 1.1 ทม่ี าและความสาคญั คนไทยส่วนใหญ่มักรับรู้เพียงว่ายันต์เป็นเคร่ืองรางของขลังอย่างหนึ่งเท่านั้น ท้ังท่ีจริงแล้ว ยนั ตถ์ อื เปน็ วชิ าท่สี าคัญอย่างยิง่ พบว่ามีการใช้ตัวเลขในยันต์อย่างแพร่หลาย เช่น อาหรับและฮินดูใช้ ตัวเลขบรรจุ ไว้ในยันต์แทนกาลังของดวงดาว จีนมีตัวเลขในยันต์บนหลังเต่าจากสวรรค์ เลขในยันต์ บนจานโลหะเงินทีใ่ ชป้ อ้ งกนั โรคระบาดของยุโรปในศตวรรษท่ี 15 ตวั เลขเหลา่ นีส้ ่วนใหญ่อยู่ในรปู ของ จตั ุรสั กล สาหรับคนไทยน้ันตัวเลขและจัตุรสั กล มกี ารอา้ งถงึ คร้ังแรกในสมัยพระนารายณ์ โดยอังตวน เดอลาลูแบร์ ราชทูตฝรง่ั เศสที่พระเจ้าหลยุ ส์ที่ 14 สง่ มาเจริญสมั พนั ธไมตรใี นไทย เป็นคนแรกทค่ี ้นพบ วิธีการสร้างจัตุรัสกลขนาดค่ีคูณค่ี มีการบันทึกในตาราประวัติคณิตศาสตร์ว่า “...de La Loubere described a simple method of construction learnt from the people of Siam…” แสดงให้ เห็นว่า เดอ ลา ลูแบร์ พบวิธีนี้จากคนไทย วิธีการนี้จึงถูกเรียกว่า Siamese method หรือ วิธีสยาม เปน็ ชือ่ เดียวในวงการคณิตศาสตรโ์ ลกท่ีเก่ียวข้องกับประเทศไทย นอกจากการศกึ ษาวิธีสรา้ งจัตุรัสกล แล้ว ได้มีการศกึ ษาสมบัตทิ างคณติ ศาสตรข์ องตัวเลขในจัตรุ สั กล จากยนั ต์โทนพทุ ธคณุ พบว่ามสี มบัติ ทางคณิตศาสตร์มากกว่า 11 ข้อ โอกาสของการใส่ตัวเลขในจัตุรัสกลแล้วมีสมบัติดังกล่าว เป็น 1 ใน 1.2 พันล้านแบบ ผลการศึกษาแสดงให้เห็นถึงความล้ีลับท้ังด้านตัวเลขความเช่ือและความสามารถ ของคนไทยในอดีต จัตุรัสกลในยันต์อริยสัจโสฬสมงคล มีลักษณะใกล้เคียงจัตุรัสกลในยันต์โทนพุทธคุณ ด้าน ความเชื่อ ยันต์ทั้งสองนี้มีความหมายในการสรรเสริญพระพุทธเจ้าเหมือนกัน แต่ด้านตัวเลขกลับมี ผลรวมตา่ งกนั ทางผู้จัดทาจึงสนใจท่ีจะเปรียบเทยี บสมบตั ิทางคณิตศาสตรข์ องจตั รุ สั กลในยนั ตอ์ ริยสัจ โสฬสมงคล และยันตโ์ ทนพทุ ธคุณ หาสาเหตุ และสรา้ งทฤษฎที างคณิตศาสตร์ เพ่ืออธบิ ายความล้ีลับ ทางคณติ ศาสตร์ของตวั เลขในจัตรุ ัสกลจากยนั ตท์ ัง้ สอง

2 1.2 วัตถปุ ระสงค์ 1. เพือ่ เปรียบเทียบสมบัติทางคณิตศาสตรข์ องตัวเลขในจัตรุ ัสกลจากยันต์อริยสจั โสฬสมงคล และยันตโ์ ทนพุทธคุณ 2. เพอื่ สรา้ งบทนิยามจัตุรัสกลใหมร่ ว่ มกนั ระหวา่ งยันต์อริยสจั โสฬสและยนั ตโ์ ทนพุทธคุณ 3. เพอื่ สรา้ งและพสิ ูจน์ทฤษฎีบทอธบิ ายสมบัติทางคณติ ศาสตรข์ องตวั เลขในจตั รุ ัสกลจาก ยนั ต์ยันต์อรยิ สจั โสฬสมงคล และยนั ตโ์ ทนพทุ ธคุณ 4. สร้างและพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับสมบตั ิบางประการของการดาเนนิ การบนเมทริกซ์ ของ จตั รุ ัสกลท่นี ยิ ามข้นึ 5. นาความรทู้ ีไ่ ด้มาประยกุ ต์ใช้ในดา้ นอ่นื ๆ 1.3 สมมตุ ิฐาน 1. ถ้าทราบผลการเปรยี บเทียบสมบัตทิ างคณติ ศาสตร์ของตัวเลขในจัตรุ ัสกลจากยนั ต์อริยสัจ โสฬสมงคล และยนั ตโ์ ทนพุทธคุณ แลว้ จะทราบสาเหตุที่ทาให้เกดิ ความเหมือน หรือแตกต่าง 2. ถา้ ทราบสาเหตทุ ่ที าใหเ้ กดิ ความเหมอื น หรือแตกต่างของสมบัติทางคณิตศาสตร์ของจัตุรัส กลจากยนั ตอ์ ริยสจั โสฬสมงคล และยนั ตโ์ ทนพุทธคณุ แลว้ จะสามารถสรา้ งบทนยิ ามใหม่ของจตั ุรัสกล จากยันตท์ งั้ สอง 3. ถ้าสามารถสร้างบทนิยามใหมร่ ว่ มกนั ของจัตรุ ัสกลจากยันต์ท้งั สองแลว้ สามารถสร้างและ พสิ ูจนท์ ฤษฎบี ทเพอื่ อธิบายสมบัติทางคณิตศาสตรข์ องตวั เลขในจัตรุ ัสกลจากยนั ตท์ ั้งสองได้ 4. ถา้ สามารถสรา้ งและพสิ ูจน์ทฤษฎีบทเพอ่ื อธิบายสมบตั ิทางคณติ ศาสตร์ของตวั เลขในจัตุรัส กลจากยันต์ทั้งสองได้แล้ว จะสามารถสร้างและพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับสมบัติบางประการของการ ดาเนนิ การบนเมทรกิ ซ์ ระหว่างจตั รุ สั กลท่นี ยิ ามขนึ้ มาใหม่ 5. ถา้ สามารถสรา้ งและพสิ จู นท์ ฤษฎบี ทจากจตั รุ ัสกลท่ีนิยามข้นึ มาใหมไ่ ด้ แลว้ จะสามารถนา ความรทู้ ี่ไดไ้ ปประยกุ ต์ใชใ้ นดา้ นอ่นื ๆได้

3 1.4 ขอบเขตในการศึกษา ขอบเขตด้านเนอ้ื หา คณะผจู้ ัดทาได้ศึกษาจัตุรัสกลขนาด 4x4 ท่มี สี มาชกิ เป็นจานวนจรงิ และผลรวมของสมาชกิ ในแตล่ ะแถว แต่ละหลัก แต่ละเสน้ ทแยงมุมเทา่ กับค่าคงตวั ใด ๆ โดยใช้ความรู้เร่อื งเซต ตรรกศาสตร์ จานวนจริง ความสมั พนั ธ์เชิงฟังก์ชัน เมทรกิ ซ์ และการให้เหตุผล ระยะเวลาในการดาเนนิ งาน โครงงานเร่ือง “ทฤษฎีบทอธบิ ายความล้ีลบั ในเลขยนั ต์” ไดศ้ กึ ษาและจดั ทาขึน้ ทีโ่ รงเรยี นท่า ฉางวทิ ยาคาร ตัง้ แตว่ ันท่ี 16 พฤษภาคม 2561 ถึงวันท่ี 1 ธนั วาคม 2561 1.5 นยิ ามศพั ทเ์ ฉพาะ กึ่งจัตุรัสกล ขนาด ������ × ������ คือ การเรียงจานวนตรรกยะ จานวน ������2 จานวน ลงในรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งผลรวมของจานวนในแต่ละแถว และแต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าคงตัว ค่าหน่ึงเรียกวา่ ค่าคงตัวกล ������ ในกรณีที่ผลรวมของจานวนในแต่ละแนวทแยงมุมมีค่าเท่ากับผลรวมของจานวนใน แต่ละแถวและแต่ละ หลัก เราจะเรียกว่า จัตุรัสกล จัตุรัสกล ขนาด 4 × 4 ที่ทุก ๆจัตุรัสย่อยขนาด 2 × 2 มีผลรวมของสมาชกิ เท่ากับคา่ คงตวั กล คอื จัตรุ ัสกลอรยิ สจั โสฬส หรือ โสฬส จัตรุ ัสกลใด ๆ ท่ี ประกอบด้วยจานวนเตม็ บวกเรยี งกนั ไปโดยเรมิ่ ต้ังแต่ 1 เรยี กวา่ จัตรุ ัสกลปกติ 1.6 ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับ 1. ทราบสาเหตุที่ทาให้เกดิ ความเหมอื น หรอื แตกตา่ งกันของสมบตั ทิ างคณิตศาสตร์ของ ตวั เลขในจัตรุ สั กลจากยนั ตโ์ ทนพทุ ธคุณ และยนั ต์อรยิ สัจโสฬสมงคล 2. ได้บทนยิ ามใหม่รว่ มกนั ของจัตรุ ัสกลจากยนั ต์ทั้งสอง 3. ได้ทฤษฎบี ทจากจตั รุ ัสกลทน่ี ิยามข้ึนมาใหม่ 4. ได้ทฤษฎีบทเกีย่ วกับสมบัติบางประการของการดาเนนิ การบนเมทริกซ์ ระหว่างจตั รุ ัสกลท่ี นยิ ามขนึ้ มาใหม่ 5. นาทฤษฎบี ทท่ีไดไ้ ปประยกุ ต์ใชก้ บั งานอืน่

บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวขอ้ ง ในการศกึ ษาครั้งนี้คณะผู้จัดทาโครงงานได้ศกึ ษาเอกสารงานวจิ ัย และเน้ือหาสาระท่เี กยี่ วข้อง เพื่อสร้างทฤษฎี หรือคาอธิบายถึงสมบัติทางคณิตศาสตร์ของตัวเลขในจัตุรัสกลจากยันต์โทนพุทธคณุ และยันตอ์ ริยสจั โสฬสมงคล มีรายละเอยี ดดังตอ่ ไปน้ี 2.1 ความรู้เบ้อื งตน้ เกีย่ วกบั จัตุรสั กล 2.1.1 จตั ุรสั กลปรกตขิ นาด 4x4 2.1.2 ประวตั ิศาสตรข์ องจัตุรัสกล 2.1.3 วธิ สี ยาม 2.1.4 จตั รุ สั กลทส่ี มมูลกัน 2.2 ยันตโ์ ทนพทุ ธคณุ 56 2.2.1 ลักษณะของยันต์โทนพทุ ธคุณ 2.2.2 สมบัติทางคณิตศาสตร์ของยันตโ์ ทนพทุ ธคุณ 2.3 ยันต์อริยสจั โสฬสมงคล 2.4 เมทรกิ ซ์ 2.4.1 การดาเนนิ การบนเมทริกซ์ 2.4.2 ลกั ษณะเมทริกซพ์ เิ ศษ

5 2.1 จตั ุรัสกล (Magic Square) จัตุรัสกลปรกติขนาด ������ คือการนาตัวเลขต้ังแต่ 1 ถึง ������² มาเรียงลงในตารางรูปสี่เหลี่ยม จัตุรัสขนาด ������ ������ ������ ซึ่งผลรวมของจานวนในแต่ละแถว แต่ละหลัก แต่ละแนวทแยงจะเท่ากันทั้งหมด ผลรวมท่ีเป็นค่าคงตัวในทุก ๆแถวหลักและแนวทแยง เรียกว่าค่าคงตัวกล ������ (magic constant) ค่าคงตัวกลของจัตุรัสกล จะข้ึนอยู่กับขนาด ������ และมีค่าเท่ากับ ������ (������) = ������(������2+1) สาหรับจัตุรัสกล 2 ปกติ ที่มขี นาด ������ = 3 , 4 , 5 , …จะมคี า่ คงตวั กลเทา่ กบั 15 , 34 , 65 , … 2.1.1 จัตรุ ัสกลปรกติขนาด 4x4 คือ การนาตัวเลขตัง้ แต่ 1 ถงึ 16 มาเรยี งลงในตารางรูปสเ่ี หลี่ยมจัตรุ สั ขนาด 4x4 ซึ่ง ผลบวก ของจานวนในแตล่ ะแถว หลกั แตล่ ะแนวทแยงจะเท่ากับ 34 ดงั ภาพ ภาพท่ี 2.1 จตั รุ สั กลปรกติขนาด 4x4 2.1.2 ประวตั ิศาสตร์ของจตั ุรัสกล เร่ืองราวของจัตุรัสกลนั้นมีมาอยา่ งยาวนานโดยปรากฏเป็นครั้งแรกในตาราคณิตศาสตร์ของ จนี (ประมาณ 1,100 ปี กอ่ นคริสตกาล) ที่ชอ่ื ว่า อ้ีจงิ เป็นหนงั สือเร่ืองการจดั เรียงลาดบั ซ่ึงมีแผนภาพ ตวั เลขท่ีเรยี กว่า หลอซู คอื จัตรุ ัสกลขนาด 3x3 นั่นเองซ่งึ มีตานานเล่าวา่ เมอื่ ประมาณ 2,200 ปีกอ่ น คริสตกาลขณะท่ีจักรพรรดิหยู มหาราชแห่งราชวงศ์ส่าง กาลังเสด็จลงเรือที่ริมฝั่งแม่น้าฮวงโห ทรง ทอดพระเนตรเหน็ เต่าทม่ี าจากสวรรค์ โดยบนกระดองเต่ามีรอยสลกั ขูดขีดเปน็ รูปหลอซู ตอ่ มาเรื่องน้ี ไดร้ ับความสนใจอยา่ งแพรห่ ลายไปสูญ่ ่ปี ่นุ อนิ เดียและตะวนั ออกกลาง โดยมกั จะเชื่อมโยงกับส่ิงล้ีลบั

6 ภาพที่ 2.2 แผนภาพตัวเลขหลอซู นอกจากน้ใี นประเทศอนิ เดียใต้ซากปรักหกั พังของเมอื งโบราณทช่ี ื่อ ขะชุรโห (Khajuraho) มี ศิลาจารึกเป็นจัตุรัสกลแบบ 4x4 ท่ีสร้างข้ึนในสมัยราชวงศ์จันเดลละ (Chandel dynasty) (ในช่วง พ.ศ.1413 – 1743) และต่อมาได้มีการขุดพบแผ่นเหล็กท่ีจารึกเป็นภาษาอาหรับในเมือง ซีอานใน ประเทศจนี ซึง่ มีอายุราวศตวรรษท่ี 13 (พ.ศ.1744 - 1843) ดงั ภาพ ภาพท่ี 2.3 แผ่นเหล็กจารึกภาษาอาหรับที่พบในจีน พ.ศ.1818 หยางฮุย สามารถสร้างจัตุรัสกลต้ังแต่แบบ 3x3จนถึงแบบ 10x10 นอกจากนี้ นักเขยี นในยุคอาณาจักรไบแซนไทน์คนหน่ึงชื่อ มานูเอล มอสโชพอลอส (Manuel Moschopoulos) ไดช้ ือ่ วา่ เป็นผ้แู นะนาให้ชาวยโุ รปรู้จักจัตรุ สั กล (ราวครสิ ต์ ศตวรรษที่ 15) ช่วงนน้ั มกี ารเช่ือมโยงจัตุรัส กลเข้ากับการเลน่ แร่แปรธาตแุ ละโหราศาสตร์ มกี ารสลักจตั รุ สั กลไว้บนจานท่ที าดว้ ยโลหะเงนิ เพ่ือเป็น เครื่องรางป้องกันโรคระบาด ราวศตวรรษที่ 17 ในประเทศฝร่ังเศสได้มีการศึกษาทฤษฎีทาง คณิตศาสตร์ ทีจ่ ะสรา้ งจัตุรสั กลกนั อยา่ งจริงจงั นกั คณติ ศาสตร์ชาวฝร่งั เศสชือ่ ฟรองนเี กลอ เดอ แบส ซี (Frenicle de Bessy) ได้พบจัตรุ สั กลแบบ 4x4 ท้ังหมด 880 แบบ และใน พ.ศ.2229 ชาวโปแลนด์ ช่อื อดามสั โกชานสกี (Adamas Kochansky) สร้างจัตรุ ัสกลแบบสามมิตไิ ดเ้ ปน็ คนแรกต่อมา อังตวน เดอ ลา ลูแบร์ (Antoine de La Loubere) ราชทูตฝร่ังเศสท่ีพระเจ้าหลุยส์ท่ี 14 ส่งมาเจริญ สัมพันธไมตรีในประเทศไทย เป็นคนแรกท่ีสามารถวางหลักเกณฑ์การสร้างจัตุรัสกลแบบค่ีxคี่ และท่ี สาคัญก็คือ เขาได้ความคิดในการสร้างมาจากยันต์ของคนไทยน่ีเอง (เขามาอยู่เมืองไทยในปี

7 พ.ศ.2230) โดยได้เขียนไว้ในตาราประวัติคณิตศาสตร์ว่า “...de La Loubere described a simple method of construction learnt from the people of Siam…” 2.1.3 วธิ ีสยาม เป็นวิธีในการสร้างจัตุรัสกลที่มีขนาดเป็นจานวนคี่ ในที่นี้จะยกตัวอย่างการสร้างจัตุรัสกล ขนาด 3x3 ส่วนในกรณีขนาดอ่นื ๆ สามารถทาได้ในทานองเดียวกนั โดยใช้ขน้ั ตอนดงั ต่อไปน้ี 1. เขยี นเลข 1 ลงในชอ่ งตรงกลางแถวบนสดุ 2. ข้ันต่อไปน้ีให้จินตนาการถึงการต่อตารางของจัตุรัสกล โดยข้ันน้ีจะเขียนเลขตัวต่อไปใน ช่องแนวทแยงขึ้นบน เว้นแต่ว่าช่องนั้นจะมีเลขอื่นอยู่ก่อนแล้ว แต่ถ้าตัวเลขลงไปอยู่ใน จัตรุ สั กลจินตนาการซึง่ อยดู่ ้านนอกของจัตุรัสกล (อยู่นอกตารางเส้นทึบ) ให้นาตัวเลขนั้น ไปใส่ในช่องจัตุรัสกลทมี่ ตี าแหนง่ เดยี วกบั ช่องของจตั รุ สั กลจินตนาการ 3. ถ้าในช่องท่ีจะใส่เลขถัดไปมีเลขอ่ืนแล้ว ให้ใส่ตัวเลขถัดไปลงในช่องด้านล่างเลขเดิม ดาเนนิ การตามขอ้ 2 และ 3 จนไดเ้ ลขครบทุกชอ่ ง จะได้จตั รุ สั กลขนาด 3x3 ดังภาพ ภาพท่ี 2.4 จัตุรสั กลขนาด 3x3

8 2.1.4 จตั รุ ัสกลทสี่ มมูลกัน จัตรุ สั กลหนึง่ แบบสามารถสรา้ งจัตุรัสกลโดยใชก้ ารแปลงทางคณิตศาสตร์ได้อกี 7 แบบ เรยี กจัตรุ ัสกลท้งั แปดแบบวา่ จตั รุ สั กลท่ีสมมูลกนั ตวั อย่างจัตรุ สั กลที่สมมูลกัน 8 13 14 21 16 14 18 8 11 10 19 16 21 9 15 11 18 17 12 9 19 7 17 13 15 20 7 14 14 12 20 10 14 7 20 15 10 20 12 14 9 12 17 18 13 17 7 19 16 19 10 11 11 15 9 21 21 14 13 8 8 18 14 16 ������ หมนุ ������ ตามเข็มนาฬกิ า หมนุ ������ ตามเขม็ นาฬิกา หมนุ ������ ตามเข็มนาฬิกา รอบจดุ ศนู ย์กลาง 90◦ รอบจุดศนู ยก์ ลาง 180◦ รอบจดุ ศนู ย์กลาง 270◦ 8 18 14 16 21 14 13 8 11 15 9 21 16 19 10 11 183 17 7 19 9 12 17 18 10 20 12 14 14 7 12 15 14 12 20 10 15 20 7 14 19 7 17 13 18 17 12 9 21 9 15 11 11 10 19 16 16 14 18 8 8 13 14 21 ������������ หมนุ ������������ตามเข็มนาฬิกา หมนุ ������������ตามเขม็ นาฬกิ า หมุน ������������ตามเขม็ นาฬิกา รอบจุดศนู ย์กลาง 90◦ รอบจุดศนู ย์กลาง 180◦ รอบจดุ ศูนยก์ ลาง 270◦ หมายเหตุ ������������ คือ การสะทอ้ นตัวเลขในจัตรุ สั กล ������ โดยใชเ้ สน้ ทแยงมุมทีล่ ากจากมมุ ซ้ายบนไป ยังมุมขวาล่างเป็นแกน หรอื ถา้ มองในรูปของเมทรกิ ซก์ ค็ ือ ทรานสโพส

9 2.2 ยันต์โทนพทุ ธคณุ 2.2.1 ลกั ษณะของยันต์โทนพุทธคณุ ภาพที่ 2.5 ยนั ต์โทนพุทธคณุ ภาพท่ี 2.6 จัตุรสั กลจากยนั ตโ์ ทนพุทธคุณ เลขในช่องตารางแถวท่ีสามหลักท่ีสอง ผู้เช่ียวชาญเร่ืองยันต์มีความเห็นว่าควรเป็น 20 จาก เหตผุ ลหลายประการ คือ 1. มีการคดั ลอกสืบตอ่ กนั มายาวนานอาจเกิดความชารุดเสยี หายต่อต้นฉบับ ทาใหก้ ารคัดลอกตอ่ มาเกิดความผิดเพย้ี นไป 2. เลข 1 กบั เลข 2 ในภาษาล้านนา มคี วามคลา้ ยคลงึ กัน มาก อาจมีการคัดลอกมาผิดพลาดได้ โดยตัวเลขที่ใช้ในการเขียนอักษรล้านนามีอยู่ 2 ระบบ คือ เลข โหราใช้ในการเขียนบอกจานวนในเอกสารต่าง ๆท่ัวไปส่วนเลขในธัมม์นิยมใช้เขียนกับเรื่องราวทาง ศาสนาซึ่งมักจะเป็นเอกสารใบลาน 3. ลักษณะความสัมพันธ์ของตัวเลขในเชิงคณิตศาสตร์ทาให้ คาดการณ์ได้ว่า ตัวเลขควรจะเป็น 20 เนื่องจากจะทาให้ผลบวกของตัวเลขในแต่ละแถว เท่ากับ ผลบวกของตัวเลขในแต่ละหลัก และเทา่ กบั ผลบวกของตัวเลขในแต่ละแนวทแยงมุม นนั่ คือ 56 ซึง่ จะ ทาใหย้ ันต์โทนนม้ี สี มบตั ิเป็นจตั ุรัสกลขนาด 4x4

10 2.2.2 สมบัติทางคณติ ศาสตร์ของยันตโ์ ทนพุทธคณุ สมบัติของยันต์โทนพุทธคุณนั้นมีมากมายหลายประการ ซึ่งก่อนหน้าน้ีได้มีผู้ศึกษาและ รวบรวมสมบตั ิเหล่าน้นั ไว้ มีดังต่อไปนี้ สมบตั ใิ นเชิงผลบวก 1. ผลรวมของตัวเลขในแต่ละแถว แต่ละหลกั แตล่ ะเส้นทแยงมมุ มคี ่าเทา่ กับ 56 เสมอ 2. ผลรวมของตวั เลขในตาราง 2x2 ใด ๆ จะได้ 56 เสมอ 3. ผลบวกแต่ละคู่ตดิ กันมีค่าเท่ากัน 4. ผลรวมตวั เลขสามเหล่ยี มมมุ ฉากแนบในมคี า่ เป็น 56 เสมอ 5. เมอื่ ลงสเี ปน็ ตารางหมากฮอส ผลรวมตัวเลขชอ่ งสีขาว เท่ากับผลรวมตัวเลขชอ่ งสีดา 6. ทกุ จตั รุ ัสขนาด 2x2 3x3 และ 4x4 ผลรวมของเลขท่มี มุ มีค่าเท่ากบั 56 เสมอ 7. มองแบบการเดนิ ม้าหรือรูปตัว L แต่ละท่อนจะได้ผลบวกเป็น 61 สมบัตใิ นเชงิ ผลตา่ ง 8. ผลต่างของเลขหลกั เดียวกนั ในแถวท่ีตา่ งกันสองแถว จะมีคา่ เท่ากนั เสมอ ในทานอง เดยี วกัน ผลต่างของเลขแถวเดียวกันในหลกั ที่ต่างกันสองหลกั จะมีคา่ เท่ากนั 9. ไมว่ า่ เลอื กจุดใดเป็นจุดก่งึ กลางของตาราง 4x4 จะได้เลขแต่ละคู่จากศูนย์กลางไป ทแยงมมุ จะมีผลต่างเท่ากนั เสมอ ในลกั ษณะของการต่อตารางก็เปน็ เช่นเดียวกัน 10 ผลต่างของตัวเลขแต่ละคู่ท่ีอย่ตู ิดกนั จะมคี ่าเท่ากันเสมอ 11 ผลต่างของผลตา่ งของตวั เลขทตี่ ิดกันในแถวเดยี วกันจะมีค่าเท่ากับผลต่างของผลต่าง ของตัวเลข ที่ติดกนั ในแถวทีอ่ ยหู่ า่ งกนั สองแถว สมบัตผิ ลบวกของกาลังสอง 12. ผลบวกเลขยกกาลังสองของแต่ละหลกั จะเทา่ กบั หลกั ที่ตง้ั หา่ งออกไปสองหลักใน ทานองเดยี วกนั ผลบวกเลขยกกาลงั สองของแตล่ ะแถวจะเท่ากับแถวทห่ี ่างออกไปสองแถว 13. ผลบวกกาลังสองของจัตรุ ัสขนาด 2x2 มีค่าเท่ากัน หมายเหตุ รายละเอียดตัวอยา่ งเพิ่มเติมในภาคผนวก

11 2.3 ยนั ต์อรยิ สัจโสฬสมงคล ภาพที่ 2.7 ยนั ตอ์ ริยสัจโสฬสมงคล จากหนังสือ 108 ยันต์ฉบับพิสดาร หน้า 179 ของอาจารย์อุรคินทร์ วิริยะบูรณะ กล่าวถึง ยนั ต์อริยสจั โสฬสมงคลไวว้ า่ พระเจ้าอโศกมหาราชทรงสร้างไว้ ภายหลงั นกั ปราชญท์ า่ นผู้ร้ทู ัง้ หลาย จงึ ผูกเป็นยันต์อรยิ สัจจ์โสฬสมงคลข้ึนโดยถอดความหมายของอักษร “ตะโยธะภาณาคะติเสยยาเญยยา โลกะขะยะปะทัง ระโถภะยาปะโย” ออกเป็นตวั เลขบรรจุลงในยนั ต์เป็นกลเลขท่ีคิดถอดออกไปได้อีก เหลือพรรณา พระยันต์น้ีมีคุณานุภาพมาก อาจป้องกันบาบัดเสียซึ่งอุปัทวันตรายทั้งปวง ก่อให้เกิด ลาภสการมงคล คุ้มครองป้องกันให้ได้รบั ควาสุขสวัสดี เป็นมหาวิเศษนกั แล เป็นทั้งทางอยู่คง แลเป็น เมตตาด้วย ทาให้เกิดโภคทรัพย์เงินทอง ยันต์นี้ใช้ได้ทุกประการ เวลาหล่อพระพุทธรปู สักการะบูชา ควรลงพระยนั ตน์ ้ีใส่แผน่ ทอง หลอมหล่อไปด้วย เพราะเปน็ ยอดมหายันต์ท่ศี กั ด์สิ ิทธ์นิ ักแล 2.4 เมทริกซ์ (Matrices) เมทริกซ์ คอื การจัดเรยี งกล่มุ ของตวั เลข หรือ ฟังก์ชันเป็นรปู สี่เหลี่ยมมมุ ฉาก (Rectangular array) ภายในเคร่อื งหมาย [ ] บทนยิ าม ให้ ������ และ ������ เปน็ จานวนเต็มบวก การจดั เรียงสเี่ หลี่ยมมุมฉากของสมาชกิ ซึง่ จัดเรียง ������ แถว (row) และ ������ หลกั (column) คอื ������11 ������12 ⋯ ������1������ ������ [ ������21 ������22 ⋯ ดยท่ี������2������]= และ ������ = 1,2, … , ������ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ = [������������������ ]������×������ ������ = 1,2, … , ������ ������������1 ������������2 ⋯ ������������������

12 เนื่องจากเมทริกซ์ A มี ������ แถว และ ������ หลัก ดังนั้นถ้าต้องการพดู ถึงขนาดของเมทริกซ์ ������ จะ ใช้จานวนแถวและจานวนหลักบอกขนาดของเมทริกซ์ ซึ่งจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ������ × ������ นั่นคือ เมทริกซ์ ������ มีขนาด ������ × ������ และมีสมาชกิ ������ ������ ตัว ดงั นน้ั ������������������ คอื สมาชกิ ในแถวที่ ������ และหลกั ที่ ������ ของเมทริกซ์เมทริกซ์ท่ีมีสมาชิกเป็นจานวนจริง เรียกว่า “เมทริกซ์จริง (real matrix)”เมทริกซ์ที่มี สมาชกิ เป็นจานวนเชิงซ้อน เรยี กวา่ “เมทริกซเ์ ชิงซ้อน (complex matrix)” 2.4.1 การดาเนินการบนเมทรกิ ซ์ (Operations with Matrices) การเท่ากนั ของเมทรกิ ซ์ (Equality of matrices) บทนยิ าม ถ้า ������ = [������������������] และ ������ = [������������������] เป็นเมทรกิ ซ์ จะกล่าววา่ ������ = ������ กต็ อ่ เม่อื ������, ������ มมี ติ ิ เดียวกนั และ ������������������ = ������������������ สาหรับทุก ๆคา่ ของ 1 ≤ ������, ������ ≤ ������ การบวกเมทรกิ ซ์ (matrix addition) บทนยิ าม ถ้าเมทริกซ์ = และ[������������������ ������ = แล้ว[������������������]������×������ ������ ] ������ + ������ = [������������������ + ������������������ ] ������×������ ������×������ ถา้ สมาชกิ ทุกตัวของเมทริกซเ์ ป็นศูนย์ จะเรียกวา่ เมทริกซศ์ นู ย์ หรือ zero matrix) และจะ เขยี นแทนด้วยสัญลักษณ์ ������ จากบทนยิ ามการบวกเมทริกซ์ สาหรบั เมทรกิ ซ์ ������ ใด ๆ จะพบว่า ������ + ������ = ������ ดังนนั้ จะเรยี ก ������ ว่า เมทรกิ ซ์เอกลกั ษณ์สาหรับการบวก เมทรกิ ซ์ผกผัน (Inverse matrix) สาหรบั การบวกของเมทริกซ์ ������ คือคา่ ลบของ ������ แทนด้วย – ������ การลบเมทริกซ์ (matrix subtraction) บทนยิ าม ถ้าเมทริกซ์ ������ = [������������������ ] และ แลว้������ = [������������������]������×������ ������ − ������ = [������������������ − ������������������ ] ������×������ ������×������ การคณู เมทรกิ ซด์ ้วยสเกลาร์ (scalar multiplication) บทนิยาม ถา้ ������ = [������������������]������×������ และ ������ เปน็ สเกลาร์แล้ว ������������ = [������������������������]������×������ และ −������ = (−1)������

13 เมื่อ ������ เปน็ เซทของเมทรกิ ซ์ขนาด ������ × ������ ������, ������, ������ ∈ ������ และ ������, ������ เป็นสเกลาร์ การบวก เมทริกซ์ การคณู เมทรกิ ซ์ดว้ ยสเกลาร์ มีสมบัติคลา้ ยกบั การบวกและการคูณ จานวนจรงิ ดงั นี้ 1.สมบัติปิดการบวก ������ + ������ ∈ ������ 2. สมบตั กิ ารสลบั ท่ี ������ + ������ = ������ + ������ 3. สมบตั กิ ารเปลย่ี นกลมุ่ ������ + (������ + ������) = (������ + ������) + ������ 4. มีเอกลักษณ์การบวก คือ ������ 5. มี −������ เปน็ อินเวอรส์ การบวกของ ������ 6. สมบัตปิ ิดการคูณดวยสเกลาร์ ������������ ∈ ������ 7. สมบัติการเปล่ยี นกลุ่ม (������������)������ = ������(������������) 8. มีเอกลักษณก์ ารคูณ ������������ = ������ 9. สมบัตกิ ารแจกแจง ������(������ + ������) = ������������ + ������������ 10. สมบัติการแจกแจง (������ + ������)������ = ������������ + ������������ การคณู เมทริกซด์ ้วยเมทรกิ ซ์ (Matrix multiplication) บทนิยาม ถา้ ������ = [������������������ ] และ ������ = [������������������ ] ผลคูณ ������������ คือ ������������ = ������ = [������������������]������×������ ������×������ ������×������ โดยที่ ������������������ = ������������1������1������ + ������������2������2������ + ⋯ + ������������������������������������ เม่ือ ������ เป็นเซตของเมทรกิ ซ์ขนาด ������ × ������ ������, ������, ������ ∈ ������ และ ������, ������ เปน็ สเกลาร์การคณู ด้วยเมทรกิ ซม์ ี สมบตั ดิ งั น้ี 2. ������(������������) = (������������)������ 1. ������������ ∈ ������ 4. ������(������ + ������) = ������������ + ������������ 3. ������(������������) = (������������)������ = ������(������������) 6. ������(������������) = (������������)������ 5. (������ + ������)������ = ������������ + ������������ เมทรกิ ซ์สลบั เปลยี่ น (Transpose of Matrix) บทนยิ าม เมทริกซ์สลบั เปล่ยี นของ ������ คอื เมทรกิ ซท์ ่เี กิดจากการเอาสมาชกิ ท้ังหมดในแถวที่ 1 ของ เมทรกิ ซ์ ������ มาเรยี งเปน็ สมาชกิ ในหลักท่ี 1 และเอาสมาชิกทงั้ หมดในแถวที่ 2 ของเมทรกิ ซ์ ������ มาเขียน เปน็ สมาชกิ ในหลักที่ 2 และทาเชน่ นไี้ ปเรือ่ ยๆ จนหมด แทนเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ ������ ด้วย ������������ หรืออาจจะกล่าวไดว้ ่า ถ้า แล้ว������ = [������������������]������×������ ������������ = [������������������ ] ������×������ เมอ่ื ������ เป็นเซตเมทริกซ์ขนาด ������ × ������ ������, ������ ∈ ������ และ ������ เปน็ สเกลาร์ เมทรกิ ซ์สลับเปลีย่ นมสี มบตั ิ ดังนี้ 2. (������ ± ������)������ = ������������ ± ������������ 1. (������������)������ = ������ 4. (������������)������ = ������������������������ 3. (������������)������=������������������

14 2.4.2 ลักษณะเมทรกิ ซ์พิเศษ (Special matrices) บทนยิ าม ถา้ ������ เปน็ เมทรกิ ซ์จัตรุ ัส และ ������������ = ������ จะเรียก ������ ว่า เมทรกิ ซส์ มมาตร (Symmetric matrix) ถา้ ������ เป็นเมทรกิ ซจ์ ตั ุรัส และ ������������ = −������ จะเรียก ������ ว่า เมทรกิ ซเ์ สมอื นสมมาตร (Skew- symmetricmatrix) ทฤษฎีบท ถ้า ������ เปน็ เมทริกซจ์ ัตรุ สั ใด ๆ แลว้ ������ + ������������ เป็นเมทริกซ์สมมาตร และ ������ − ������������ เปน็ เมทรกิ ซ์เสมือนสมมาตร พิสูจน์ ถ้า ������ เปน็ เมทริกซจ์ ัตุรสั ดงั นนั้ ������ และ ������������ สามารถบวกกนั ได้ ถ้าให้ ������ = ������ + ������������ จะได้ ������������ = (������ + ������������)������ = ������������ + (������������)������ = ������������ + ������ = ������ + ������������ = ������ ดังนนั้ ������ + ������������ เป็นเมทรกิ ซส์ มมาตร โดยวิธีเดียวกันถา้ ให้ ������ = ������ − ������������ จะได้ ������������ = (������ − ������������)������ = ������������ − (������������)������ = ������������ − ������ = −(������ − ������������)ดงั นัน้ ������ − ������������ เปน็ เมทริกซ์เสมอื นสมมาตร ทฤษฎีบท ถา้ ������ เป็นเมทรกิ ซจ์ ัตุรัสใด ๆแลว้ ������ สามารถเขยี นอยู่ในรปู ������ = ������ + ������ โดยท่ี ������ คือเมท ริกซ์สมมาตร และ ������ คือเมทริกซ์เสมือนสมมาตร พิสูจน์ เพราะวา่ ������ = 1 ������ + 1 ������������ + 1 ������ − 1 ������������ 22 22 = 1 (������ + ������������ ) + 1 (������ − ������������ ) 2 2 โดยที่ ������ = 1 (������ + ������������) และ ������ = 1 (������ − ������������) = ������ + ������ 22

บทท่ี 3 วิธีการดาเนินงาน โครงงานเร่ือง “ ทฤษฎีบทอธบิ ายความล้ีลับในเลขยันต์ ” เป็นการสร้างและพสิ จู น์ทฤษฎีบท ทางคณติ ศาสตร์ โดยการให้เหตุผลแบบนิรนยั มีข้ันตอนดาเนินงานดังตอ่ ไปนี้ ขั้นตอนการดาเนนิ งาน 1. ศกึ ษาข้อมูลของยนั ตโ์ ทนพทุ ธคณุ ยนั ตอ์ ริยสัจโสฬส เมทริกซ์และเนื้อหาคณิตศาสตร์อ่ืนท่ี เกย่ี วข้อง กับทฤษฎที างพชี คณิตจากเอกสารตา่ ง ๆ 2. ศกึ ษาเปรียบเทียบสมบตั ิทางคณิตศาสตรร์ ะหว่างยนั ตอ์ รยิ สัจโสฬส และยันต์โทนพทุ ธคุณ 3. วิเคราะหส์ าเหตทุ ่ีทาให้เกิดสมบตั ิทางคณิตศาสตร์ ร่วมกันระหว่างยนั ต์ท้ังสองชนิด 4. นาสาเหตุที่ไดม้ าสร้างบทนิยามของจัตรุ สั กลใหม่ ที่ครอบคลมุ จัตุรสั กลจากยันต์ท้ังสอง และมีสมาชิกและคา่ คงตัวกลเปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ 5. สรา้ งและพสิ จู นท์ ฤษฎีบทท่อี ธบิ ายสมบัติทางคณติ ศาสตร์ของตวั เลขในจัตุรัสกลจากยันต์ อริยสัจโสฬส และยนั ต์โทนพทุ ธคณุ 6. ศึกษาสมบัติของการดาเนนิ การบนเมทรกิ ซ์ ระหว่างจัตรุ ัสกลท่นี ยิ ามขนึ้ มาใหม่ 7. นาผลการศึกษาทีไ่ ดใ้ ห้ครมู นสั วี อุตรภาศและครสู ุชาวดี วิเศษแก้ว ครูที่ปรึกษาโครงงาน ตรวจสอบความถูกต้อง 8. ปรบั ปรงุ โครงงานคณติ ศาสตรต์ ามข้อเสนอแนะทีค่ รทู ป่ี รกึ ษาให้คาแนะนา 9. เผยแพร่และประชาสัมพันธ์ โครงงานคณิตศาสตรเ์ ร่อื ง “ทฤษฎบี ทอธบิ ายความลีล้ ับใน เลขยันต์” โดยอธิบายในห้องเรียนและปา้ ยนิเทศ

บทที่ 4 ผลการดาเนนิ การ 4.1 ผลการเปรียบเทยี บสมบัตทิ างคณติ ศาสตร์ระหวา่ งยนั ตอ์ ริยสจั โสฬสมงคล กบั ยันตโ์ ทนพทุ ธคณุ จากการศกึ ษาสมบตั ิทางคณิตศาสตร์ระหว่างยนั ต์อรยิ สัจโสฬสมงคล กับยนั ตโ์ ทนพุทธคณุ ได้ผลการเปรียบเทียบ ดังตารางต่อไปนี้ ตารางที่ 1 แสดงผลการเปรยี บเทียบสมบัติทางคณติ ศาสตร์ของยนั ตท์ ง้ั สอง ยันต์โทนพุทธคณุ ยนั ตอ์ ริยสัจโสฬสมงคล 1. ผลรวมของตวั เลขในแตล่ ะแถว หลัก เสน้ ทแยง 1. ผลรวมของตัวเลขในแตล่ ะแถว แตล่ ะหลกั มุม มคี า่ เท่ากบั 56 เสมอ แต่ละเสน้ ทแยงมมุ มีคา่ เท่ากับ 34 เสมอ 2. ผลรวมของตัวเลขในตาราง 2x2 ใด ๆ 2. ผลรวมของตวั เลขในตาราง 2x2 ใด ๆ จะได้ 56 เสมอ จะได้ 34 เสมอ 3. ผลบวกแตล่ ะคู่ติดกันมคี ่าเท่ากนั 3. ผลบวกแตล่ ะค่ตู ิดกนั มีคา่ เท่ากัน 4. ผลรวมตวั เลขในสามเหลย่ี มมุมฉาก 4. ผลรวมตัวเลขในสามเหลย่ี มมุมฉาก มคี า่ เปน็ 56 เสมอ มีคา่ เปน็ 34 เสมอ 5. เมอ่ื ลงสเี ป็นตารางหมากฮอส ผลรวมของ 5. เมอ่ื ลงสเี ปน็ ตารางหมากฮอส ผลรวมของ ตัวเลขในชอ่ งสีขาว เท่ากับผลรวมของตวั เลขใน ตัวเลขในชอ่ งสีขาว เทา่ กับผลรวมของตวั เลขใน ชอ่ งสีดา คือ 112 ช่องสีดา คอื 68 6. ทุกจัตุรัสขนาด 2x2 3x3 และ 4x4 ผลรวม 6. ทุกจัตรุ สั ขนาด 2x2 3x3 และ 4x4 ผลรวม ของเลขท่ีมมุ มีคา่ เทา่ กับ 56 เสมอ ของเลขท่มี ุม มีคา่ เท่ากบั 34 เสมอ 7. มองแบบการเดนิ มา้ หรือรูปตวั L แตล่ ะท่อน 7. มองแบบการเดินมา้ หรอื รปู ตวั L แต่ละทอ่ น จะไดผ้ ลบวกเป็น 61 จะไดผ้ ลบวกเปน็ 28

17 ยนั ต์โทนพุทธคณุ ยนั ตอ์ รยิ สจั โสฬสมงคล 8. ผลต่างของเลขหลักเดียวกันในแถวท่ีต่างกัน 8. ผลต่างของเลขหลกั เดยี วกันในแถวทต่ี ่างกนั สองแถว จะมีค่าเทา่ กนั เสมอ ในทานองเดียวกนั สองแถว จะมคี า่ เท่ากนั เสมอ ในทานองเดียวกัน ผลต่างของเลขแถวเดียวกันในหลักท่ตี า่ งกนั สอง ผลต่างของเลขแถวเดยี วกันในหลกั ที่ตา่ งกันสอง หลักจะมคี ่าเท่ากนั หลกั จะมีคา่ เทา่ กัน 9. ไมว่ า่ เลอื กจดุ ใดเปน็ จุดกงึ่ กลางของตาราง 4x4 9. ไมว่ า่ เลอื กจุดใดเปน็ จดุ กง่ึ กลางของตาราง 4x4 จะได้เลขแต่ละคู่จากศนู ย์กลางไปทแยงมุมจะมี จะได้เลขแต่ละคจู่ ากศูนยก์ ลางไปทแยงมุมจะมี ผลต่างเทา่ กนั เสมอ ในลกั ษณะของการต่อตาราง ผลต่างเท่ากนั เสมอ ในลักษณะของการต่อตาราง กเ็ ป็นเชน่ เดียวกัน ก็เป็นเช่นเดยี วกัน 10. ผลต่างของตัวเลขคู่ทอี่ ย่ตู ดิ กนั จะมคี ่าเทา่ กัน 10. ผลต่างของตัวเลขคู่ท่ีอยตู่ ดิ กนั จะมคี ่าเทา่ กนั เสมอ เสมอ 11. ผลต่างของผลตา่ งของตวั เลขติดกนั แถว 11. ผลต่างของผลตา่ งของตัวเลขติดกันแถว เดยี วกนั จะมคี ่าเท่ากับผลต่างของตัวเลขตดิ กัน เดียวกันจะมคี า่ เทา่ กบั ผลตา่ งของตัวเลขตดิ กัน ในแถวทีอ่ ยหู่ า่ งกนั สองแถว ในแถวทอี่ ย่หู า่ งกนั สองแถว 12. ผลบวกเลขยกกาลังสองของแตล่ ะหลกั จะ 12. ผลบวกเลขยกกาลงั สองของแต่ละหลักจะ เท่ากับหลักทีต่ ้ังหา่ งออกไปสองหลกั ผลบวกเลข เท่ากบั หลักท่ตี ้งั หา่ งออกไปสองหลัก ผลบวกเลข ยกกาลงั สองของแต่ละแถวจะเทา่ กบั แถวทตี่ ง้ั หา่ ง ยกกาลงั สองของแตล่ ะแถวจะเทา่ กบั แถวที่ตง้ั ห่าง ออกไปสองแถว ออกไปสองแถว 13. ผลบวกกาลังสองของจตั ุรัสขนาด 2x2 13. ผลบวกกาลงั สองของจตั รุ ัสขนาด 2x2 มีคา่ เท่ากัน มคี ่าเท่ากัน ผ้จู ัดทาพบวา่ จัตุรสั กลจากยันต์ทง้ั สองมสี ่วนท่ีคลา้ ยกันดา้ นโครงสร้างการวางตาแหน่งของ ตัวเลขแต่มีความแตกต่างกันคอื คา่ คงตวั กล และชุดของตวั เลข ผ้จู ดั ทาจงึ เลือกสมบัตขิ ้อที่ 3 มาสรา้ ง เป็นบทนยิ ามของจตั รุ ัสกลใหม่ ทมี่ คี ่าคงตวั กลและชุดตวั เลขเป็นจานวนจริงใด ๆ

18 4.2 ผลการขยายบทนยิ ามร่วมระหวา่ ง ยนั ตอ์ ริยสัจโสฬส และ ยันต์โทนพุทธคุณ บทนิยาม 1 จตั ุรัสกล คือ เมทริกซจ์ ัตรุ ัสท่ีมีผลรวมของ สมาชิกแตล่ ะแถว แต่ละหลกั และแตล่ ะแนว ทแยงมมุ เท่ากัน เรยี กผลรวมที่เท่ากันวา่ คา่ คงตัวกล ������ ค่าคงตวั กล ของเมทริกซ์ ������ เขยี นแทนดว้ ย ������(������) บทนิยาม 2 เมทรกิ ซ์ย่อย (sub-matrices) ของ ������ คอื การจัดเรียงสีเ่ หลี่ยมมุมฉากของสมาชิกที่ เหลอื เม่อื ตัดบางแถวหรอื บางหลกั ท่แี นน่ อนของ A ออก บทนยิ าม 3 จตั รุ ัสยอ่ ยของ ������ คือ เมทรกิ ซ์จตั รุ ัสทีเ่ ป็นเมทริกซ์ยอ่ ยของ ������ บทนิยาม 4 จัตรุ ัสกลอริยสัจโสฬส คอื จตั รุ ัสกล ขนาด 4 × 4 ทีถ่ กู แบง่ เปน็ จัตรุ สั ย่อยขนาด 2 × 2 แลว้ จตั รุ ัสยอ่ ยมีผลรวมของสมาชิกเท่ากบั ค่าคงตัวกล หรอื อาจจะกล่าวได้วา่ ������ = [������������������ ] เป็นจัตุรัสกลอริยสัจโสฬส ถ้า 4×4 สาหรับทกุ������������,������ + ������������,������+1 + ������������+1,������ + ������������+1,������+1 = ������(������) 1 ≤ ������, ������ ≤ 3 4.3 สรา้ งและพสิ ูจนท์ ฤษฎีบทเพ่อื อธิบายสมบตั ิทางคณิตศาสตร์ บทต้งั 1 ถา้ ������ เป็นจตั รุ ัสกลอรยิ สัจโสฬส โดยท่ี แลว้ ������11 ������12 ������13 ������14 และ เม่ือ ������ = [������������������ ] = [������������2311 ������22 ������23 ������������3244] ������32 ������33 4×4 ������41 ������42 ������43 ������44 ������11 + ������12 = ������23 + ������24 = ������31 + ������32 = ������43 + ������44 = ������ ������13 + ������14 = ������21 + ������22 = ������33 + ������34 = ������41 + ������42 = ������(������) − ������ ������31 + ������41 = ������12 + ������22 = ������33 + ������43 = ������14 + ������24 = ������ ������11 + ������21 = ������32 + ������42 = ������13 + ������23 = ������34 + ������44 = ������(������) − ������ ������(������) = ������ + ������

19 บทพสิ จู น์ กาหนดให้ ������ เปน็ จัตรุ สั กลอริยสัจโสฬสและ ������11 + ������12 = ������ พิจารณาจัตรุ ัสย่อย ������11 = [ ������11 ������12 ] ������21 ������22 จากบทนิยามของจัตรุ ัสกลอรยิ สัจโสฬส จงึ ไดว้ า่ ������11 + ������12 + ������21 + ������22 = ������(������) และเนื่องจาก ������ เปน็ จัตุรัสกล ผลรวมของสมาชิกในแถวเทา่ กบั ค่าคงตวั กล น่นั คือ ������21 + ������22+ ������23 + ������24 = ������(������) ������(������) = ������11 + ������12 + ������21 + ������22 = ������21 + ������22+ ������23 + ������24 ∴ ������11 + ������12 = ������23 + ������24 พิสูจนท์ านองเดียวกันกบั กรณอี น่ื จะได้วา่ ������11 + ������12 = ������23 + ������24 = ������31 + ������32 = ������43 + ������44 ������13 + ������14 = ������21 + ������22 = ������33 + ������34 = ������41 + ������42 แทน ������11 + ������12 = ������ ใน ������(������) = ������11 + ������12 + ������21 + ������22 ดงั น้นั ������21 + ������22 = ������(������) − ������ จึงสรปุ ได้ว่า ������11 + ������12 = ������23 + ������24 = ������31 + ������32 = ������43 + ������44 = ������ ������13 + ������14 = ������21 + ������22 = ������33 + ������34 = ������41 + ������42 = ������(������) − ������ ทานองเดยี วกนั กบั ������31 + ������41 = ������12 + ������22 = ������33 + ������43 = ������14 + ������24 = ������ ������11 + ������21 = ������32 + ������42 = ������13 + ������23 = ������34 + ������44 = ������(������) − ������ บทตง้ั 2ถ้า ������ เป็นจัตุรสั กลอรยิ สัจโสฬส แล้วผลรวมของสมาชกิ สต่ี วั รอบจุดศนู ยก์ ลางเทา่ กับ ������(������) ������11 ������12 ������13 ������14 ������ = [������������������]4×4 = [������������3211 ������22 ������23 ������������3244] ������32 ������33 ������41 ������42 ������43 ������44 บทพสิ จู น์ พิจารณาผลรวมของสมาชิกใน หลักที่สอง หลกั ที่สาม และเสน้ ทแยงมมุ ท้งั สองเสน้ ผลรวมของสมาชิกดงั กลา่ ว = (������12 + ������22 + ������32 + ������42) + (������13 + ������23 + ������33 + ������43) + (������11 + ������22 + ������33 + ������44) + (������41 + ������32 + ������23 + ������14) = 4������(������) = ������1 + ������4 + 2(������22 + ������32 + ������23 + ������33) ∴ ������22 + ������32 + ������23 + ������33 = ������(������) บทนยิ าม 5 สมาชกิ ตาแหนง่ มุมของเมทรกิ ซ์ ������ = [������������������]������×������ คือสมาชิกในตาแหน่ง ������1,1 , ������1,������ , ������������,1 และ ������������,������ ของเมทริกซ์ ������ โดย ������1,1 เป็นสมาชิกตาแหน่งมมุ ตรงขา้ มกบั ������������,������ และ ������1,������ เป็นสมาชกิ ตาแหน่งมมุ ตรงข้ามกบั ������������,1

20 บทตัง้ 3 ถา้ ������ เปน็ จตั รุ สั กลอรยิ สจั โสฬส แล้วผลรวมของสมาชิกตาแหน่งมมุ ของ ������ เทา่ กบั ������(������) บทพิสูจน์ พิจารณาผลรวมของสมาชกิ ใน หลกั ทห่ี น่งึ หลักท่ีส่ี และเสน้ ทแยงมมุ ท้งั สองเส้น ผลรวมของสมาชกิ ดงั กลา่ ว = (������11 + ������21 + ������31 + ������41) + (������14 + ������24 + ������34 + ������44) + (������11 + ������22 + ������33 + ������44) + (������41 + ������32 + ������23 + ������14) = 4������(������) = ������2 + ������3 + 2(������11 + ������14 + ������41 + ������44) ∴ ������11 + ������14 + ������41 + ������44 = ������(������) ทฤษฎีบท 1 ถา้ ������ เปน็ จัตรุ ัสกลอริยสจั โสฬส และ ������ เปน็ จัตุรัสย่อยขนาด 3 × 3 ของ ������ แล้ว 1. ผลรวมของสมาชกิ ตาแหน่งมุมของ ������ เท่ากับ ������(������) 2. ผลรวมของสมาชกิ ตาแหนง่ มมุ ตรงขา้ ม ของ ������ เทา่ กบั ������(������) 2 บทพสิ ูจน์ ใหส้ มาชกิ ตาแหน่งมมุ ของ ������ ไดแ้ ก่ ������, ������ , ������, ������ โดย ������ เปน็ สมาชิกตาแหนง่ มมุ ตรงขา้ ม กบั ������ และ ������ เป็นสมาชกิ ตาแหนง่ มุมตรงข้ามกบั ������ พจิ ารณา จะมีสมาชกิ ตาแหนง่ มมุ ของ ������ 1 ตัวซงึ่ เป็นสมาชกิ ของจัตุรสั ยอ่ ยขนาด 2 × 2 ศนู ย์กลางของ ������ และมีสมาชิกตาแหน่งมุมของ ������ 3 ตัวซงึ่ เป็นสมาชิกของจตั รุ ัสยอ่ ยขนาด 2 × 2 แนบมมุ ของ ������ เช่นให้ ������ ������12 ������ ������ = [������21 ������22 ������23] ������ ������32 ������ พจิ ารณาแต่ละ จตั ุรัสยอ่ ยขนาด 2 × 2 ท่ี ������, ������ , ������, ������ เป็นสมาชิก ������ + ������ + ������ + ������ ������ = ������(������) − (������12 + ������21 + ������22) ������ = ������(������) − (������14 + ������23 + ������24) ������ = ������(������) − (������32 + ������41 + ������42) ������ = ������(������) − (������23 + ������22 + ������32) = 4������(������) − (������21 + ������22 + ������23 + ������24) − (������14 + ������23 + ������32 + ������41) − (������12 + ������22 + ������32 + ������42) = ������(������) ∴ ������ + ������ = 2������(������) − (������12 + ������21 + ������22) − (������23 + ������22 + ������32)

21 จากบทต้ัง 1 แทน ������12 + ������22 = ������14 + ������24 , ������21 + ������22 = ������41 + ������42 จะได้ ������ + ������ = 2������(������) − (������14 + ������23 + ������24) − (������32 + ������41 + ������42) ������ + ������ = 2������(������) − (������14 + ������23 + ������24) − (������32 + ������41 + ������42) เนื่องจาก ������ + ������ + ������ + ������ = ������(������) ∴ ������ + ������ = ������ + ������ = ������(������) 2 บทนิยาม 6 สาหรับสมาชกิ 6 ตัวในจัตุรัสกลอริยสจั โสฬส ท่ีเรียงตัวกันเปน็ รูปสามเหล่ียมมุมฉาก โดยแต่ละด้านประกอบดว้ ยสมาชิก 3 ตวั เรียกลาดับน้วี ่า สามเหล่ียมโสฬส ทฤษฎบี ท 2 ผลรวมของสมาชิกในสามเหลี่ยมโสฬส เทา่ กับ 3������(������) 2 บทพสิ ูจน์ พจิ ารณา ������21 ������ ������ สมาชิกในสามเหลย่ี มโสฬส ประกอบด้วย ������31 ������32 ������ ������41 ������42 ������43 กรณที ี่ 1 สมาชิก 4 ตวั ในจัตรุ ัสย่อย ขนาด 2 × 2 จากบทนิยาม จึงมผี ลรวมเทา่ กับ ������(������) กรณีท่ี 2 สมาชกิ 2 ตวั ทีเ่ ป็นสมาชิกตาแหน่งมุมตรงขา้ มในจัตรุ สั ยอ่ ย ขนาด 3 × 3 จากทฤษฎีบท 1 จึงมีผลรวมเท่ากบั ������(������) 2 ∴ ผลรวมของสมาชกิ ในสามเหล่ยี มโสฬส เท่ากับ 3������(������) 2 หมายเหตุ นาบทต้ังที่ 1-3 และทฤษฎบี ทท่ี 1-2 มาสรา้ งรูปทวั่ ไปของจตั ุรสั กลอริยสัจโสฬส รายละเอยี ดดังทฤษฎบี ทต่อไปน้ี ������ ������ ������ ������ ������ + ������ ������ − ������ ทฤษฎีบท 3 ������ = [������������������ ] = [ ������ − ������ ������ + ������ ] ������′ ������′ ������′ ������′ 4×4 (������ + ������)′ (������ − ������)′ (������ − ������)′ (������ + ������)′ เป็นจตั ุรัสกลอรยิ สัจโสฬส ที่มคี า่ คงตวั กล ������(������) = ������ + ������ + ������ + ������ เม่อื ������, ������, ������, ������, ������ เป็นจานวนจริงใด ๆ และ ������′ = ������(������) − ������ 2

22 บทพิสจู น์ 1. พจิ ารณาผลรวมของสมาชิกในแตล่ ะแถว ������1, ������2, ������3, ������4 ผลรวมของสมาชิกใน ������1 = ������ + ������ + ������ + ������ = ������(������) ผลรวมของสมาชิกใน ������2 = (������ − ������) + (������ + ������) + (������ − ������) + (������ + ������) = ������ + ������ + ������ + ������ = ������(������) ผลรวมของสมาชกิ ใน ������3 = ������′ + ������′ + ������′ + ������′ ������(������) ������(������) ������(������) ������(������) = ( 2 − ������) + ( 2 − ������) + ( 2 − ������) + ( 2 − ������) ผลรวมของสมาชิกใน ������4 = 2������(������) − (������ + ������ + ������ + ������) = ������(������) = (������ − ������)′ + (������ + ������)′ + (������ − ������)′ + (������ + ������)′ = 2������(������) − (������ − ������ + ������ + ������ + ������ − ������ + ������ + ������) = 2������(������) − (������ + ������ + ������ + ������) = ������(������) 2. พจิ ารณาผลรวมของสมาชิกในแตล่ ะหลัก ������1, ������2, ������3, ������4 ผลรวมของสมาชกิ ใน ������1 = ������ + (������ − ������) + ������′ + (������ − ������)′ = ������ + ������ − ������ + ������(������) − (������ + ������ − ������) = ������(������) ผลรวมของสมาชิกใน ������2 = ������ + (������ + ������) + ������′ + (������ + ������)′ = ������ + (������ + ������) + ������(������) − (������ + ������ + ������) = ������(������) ผลรวมของสมาชิกใน ������3 = ������ + (������ − ������) + ������′ + (������ − ������)′ = ������ + ������ − ������ + ������(������) − (������ + ������ − ������) = ������(������) ผลรวมของสมาชกิ ใน ������4 = ������ + (������ + ������) + ������′ + (������ + ������)′ = ������ + (������ + ������) + ������(������) − (������ + ������ + ������) = ������(������) 3. พิจารณาผลรวมของสมาชกิ ในแต่ละเส้นทแยงมมุ ������1, ������2 ผลรวมของสมาชิกในเสน้ ทแยงมมุ ������1 = ������ + (������ + ������) + ������′ + (������ + ������)′ = ������ + (������ + ������) + ������(������) − (������ + ������ + ������) = ������(������) ผลรวมของสมาชิกในเส้นทแยงมุม ������2 = ������ + (������ − ������) + ������′ + (������ − ������)′ = ������ + (������ − ������) + ������(������) − (������ + ������ − ������) = ������(������)

23 4. พจิ ารณาผลรวมของสมาชิกในแต่ละจัตุรัสย่อยขนาด 2 × 2 ������11, ������12, ������21, ������22 ผลรวมของสมาชิกในจัตรุ ัสย่อย ������11 = ������ + ������ + (������ − ������) + (������ + ������) ผลรวมของสมาชิกในจตั รุ ัสยอ่ ย ������12 = ������ + ������ + ������ + ������ = ������(������) ผลรวมของสมาชิกในจัตรุ สั ย่อย ������21 = ������ + ������ + (������ − ������) + (������ + ������) = ������ + ������ + ������ + ������ = ������(������) = ������′ + ������′ + (������ − ������)′ + (������ + ������)′ = 2������(������) − (������ + ������ + ������ − ������ + ������ + ������) = 2������(������) − (������ + ������ + ������ + ������) = 2������(������) − ������(������) ผลรวมของสมาชกิ ในจตั รุ ัสยอ่ ย ������22 = ������(������) = ������′ + ������′ + (������ − ������)′ + (������ + ������)′ = 2������(������) − (������ + ������ + ������ − ������ + ������ + ������) = 2������(������) − (������ + ������ + ������ + ������) = 2������(������) − ������(������) = ������(������) ดงั น้นั ������ เป็นจตั ุรัสกลอริยสัจโสฬสทีม่ ีคา่ คงตวั กล ������(������) = ������ + ������ + ������ + ������ 4.4 สมบัตบิ างประการของการดาเนนิ การบนเมทริกซ์ ของจัตุรสั กลอริยสัจโสฬส เพ่ือขยายการศึกษาสมบัติทางคณติ ศาสตรข์ องจัตุรสั กลอริยสัจโสฬสขนาด4 × 4 ไปยังจตั รุ สั กลอริยสัจโสฬสทม่ี ีขนาดใด ๆ ผจู้ ดั ทาจงึ เร่ิมต้นท่ีการศกึ ษาสมบัตบิ างประการของการดาเนนิ การบน เมทรกิ ซ์ ของจตั ุรัสกลอริยสัจโสฬส ผลการศกึ ษามรี ายละเอยี ดดังนี้ ทฤษฎบี ท 4 ถา้ ������ และ ������ เป็นจตั รุ ัสกลอริยสัจโสฬส แล้ว 1. ������������ เปน็ จตั รุ สั กลอรยิ สัจโสฬส และ ������(������������) = ������(������) 2. α������ เปน็ จตั รุ สั กลอริยสจั โสฬส และ ������(α������) = α������(������) เม่ือ α เป็นจานวนจริงใด ๆ 3. – ������ เป็นจัตุรัสกลอรยิ สัจโสฬส และ ������(– ������) = – ������(������) 4. ������ + ������ เป็นจตั รุ สั กลอรยิ สจั โสฬส และ ������(������ + ������) = ������(������) + ������(������) 5. ������ − ������ เปน็ จัตุรัสกลอริยสจั โสฬส และ ������(������ − ������) = ������(������) − ������(������)

24 บทพิสจู น์ ให้ ������ และ ������ เป็นจัตรุ ัสกลอริยสจั โสฬส 1. ������ = [������������������] ∴ ������������ = [������������������] ������������ เป็นจตั รุ สั กลอริยสจั โสฬส และ ������(������������) = ������(������) ������������11 ������������12 ������������13 ������������14 ������������22 ������������23 ������������������������2344] ������(α������) = ������������(������) 2. ������������ = [������������������������2311 ������������32 ������������33 ������������44 ������������43 ������������41 ������������42 3. แทน α = −1 ในขอ้ 2 ������11 ������12 ������13 ������14 ������11 ������12 ������13 ������14 4. ������ = [������������2311 ������22 ������23 ������������3244] ������ = [������������3211 ������22 ������23 ������������3244] ������32 ������33 ������32 ������33 ������41 ������42 ������43 ������44 ������41 ������42 ������43 ������44 ������11 + ������11 ������12 + ������12 ������13 + ������13 ������14 + ������14 ������22 + ������22 ������23 + ������23 ������ + ������ = [������������3211 + ������21 ������32 + ������32 ������33 + ������33 ������24 + ������������2344] + ������31 ������42 + ������42 ������43 + ������43 ������34 + ������41 + ������41 ������44 + ������44 ผลรวมของสมาชกิ ในแต่ละแถว 4 44 ∑(������������������ + ������������������) = ∑ ������������������ + ∑ ������������������ = (������������1 + ������������1 + ������������2 + ������������2 + ������������3 + ������������3 + ������������4 + ������������4) ������=1 ������=1 ������=1 = ������������1 + ������������2 + ������������3 + ������������4+������������1 + ������������2 + ������������3 + ������������4 = ������(������) + ������(������) ผลรวมของสมาชกิ ในแตล่ ะหลัก 4 44 ∑(������������������ + ������������������) = ∑ ������������������ + ∑ ������������������ = (������1������ + ������1������ + ������2������ + ������2������ + ������3������ + ������3������ + ������4������ + ������4������) ������=1 ������=1 ������=1 = ������1������ + ������2������ + ������3������ + ������4������ + ������1������ + ������2������ + ������3������ + ������4������ = ������(������) + ������(������) ผลรวมของสมาชกิ ในแต่ละเส้นทแยงมุม = (������11 + ������11) + (������22 + ������22) + (������33 + ������33) + (������44 + ������44) = ������11 + ������22 + ������33 + ������44 + ������11 + ������22 + ������33 + ������44 = ������(������) + ������(������) และ = (������14 + ������14) + (������23 + ������23) + (������32 + ������32) + (������41 + ������41) = ������(������) + ������(������)

25 ผลรวมของสมาชิกในแตล่ ะจตั ุรัสยอ่ ยขนาด 2 × 2 (������11 + ������11) + (������12 + ������12) + (������21 + ������21) + (������22 + ������22) = ������(������) + ������(������) (������13 + ������13) + (������14 + ������14) + (������23 + ������23) + (������24 + ������24) = ������(������) + ������(������) (������31 + ������31) + (������32 + ������32) + (������41 + ������41) + (������42 + ������42) = ������(������) + ������(������) (������33 + ������33) + (������34 + ������34) + (������43 + ������43) + (������44 + ������44) = ������(������) + ������(������) ∴ ������ + ������ เปน็ จตั ุรัสกลอรยิ สัจโสฬส และ ������(������ + ������) = ������(������) + ������(������) 5. แทน ������ ดว้ ย −������ ในข้อ 4 ∴ ������ − ������ เป็นจัตรุ ัสกลอริยสัจโสฬส และ ������(������ − ������) = ������(������) − ������(������) บทแทรก 1 ถ้า ������ เปน็ จตั ุรัสกลอรยิ สัจโสฬส แล้ว ������+������������ เป็นจัตุรสั กลอรยิ สจั โสฬส 2 และ ������ (������+������������) = ������(������) 2 บทพิสูจน์ พจิ ารณา ������+������������ = 1 (������ + ������������) จากทฤษฎีบท 4 22 ข้อ 1. ������������ เป็นจตั รุ สั กลอรยิ สจั โสฬส และ ������(������������) = ������(������) ข้อ 2. α������ เปน็ จัตรุ สั กลอริยสัจโสฬส และ ������(α������) = α������(������) เมอ่ื α เปน็ จานวนจริงใด ๆ, ขอ้ 4. ������ + ������ เปน็ จัตุรัสกลอริยสัจโสฬส และ ������(������ + ������) = ������(������) + ������(������) แทน ������ = ������������, α = 1 2 ∴ ������+������������ เป็นจัตรุ สั กลอริยสัจโสฬส และ 2 ������ ������ + ������������ = ������ 1 (������ + ������������)) = 1 ������(������ + ������������) = 1 (������(������) + ������(������������)) = 1 (������(������) + ������(������)) ( 2) (2 2 2 2 = ������(������) บทแทรก 2 ถา้ ������ เป็นจัตรุ ัสกลอรยิ สัจโสฬส แลว้ ������−������������ เปน็ จตั ุรสั กลอรยิ สัจโสฬส 2 และ ������ (������−������������) = 0 2 บทพิสูจน์ พิสจู นใ์ นทานองเดยี วกนั กับบทแทรกที่ 1 บทนยิ าม 7 ถา้ ������ เปน็ จัตรุ สั กลอรยิ สัจโสฬส และ ������������ = ������ จะเรียก ������ วา่ จตั ุรัสกลอริยสจั โสฬส สมมาตร ถ้า ������������ = −������ จะเรียก ������ ว่า จัตรุ ัสกลอรยิ สัจโสฬส เสมือนสมมาตร บทแทรก 3 ถา้ ������ เป็นจตั ุรสั กลอรยิ สจั โสฬส แล้ว ������ + ������������ เปน็ จัตรุ สั กลอรยิ สจั โสฬสสมมาตร และ ������ − ������������ เป็นจัตุรัสกลอริยสัจโสฬสเสมอื นสมมาตร

26 บทพิสจู น์ ถ้า ������ เป็นจัตรุ สั กลอริยสัจโสฬส ดงั นัน้ ������ และ ������������ สามารถบวกกนั ได้ กาหนดให้ ������ = ������ + ������������ จะได้ ������������ = (������ + ������������)������ = ������������ + (������������)������ = ������������ + ������ = ������ + ������������ = ������ ∴ ������ + ������������เปน็ จตั ุรัสกลอรยิ สจั โสฬสสมมาตร โดยวธิ ีเดียวกนั ถา้ กาหนดให้ ������ = ������ − ������������ จะได้ ������������ = (������ − ������������)������ = ������������ − (������������)������ = ������������ − ������ = −(������ − ������������) = −������ ∴ ������ − ������������ เป็นจัตรุ ัสกลอรยิ สัจโสฬสสมมาตร ทฤษฎีบท 5 ถ้า ������ เปน็ จตั รุ สั กลอรยิ สจั โสฬสใด ๆแล้ว ������ สามารถเขียนอยู่ในรูปผลบวกของจตั ุรสั กล อรยิ สัจโสฬส สมมาตร ������ และจัตรุ ัสกลอริยสัจโสฬสเสมอื นสมมาตร ������ บทพิสูจน์ เพราะว่า ������ = 1 ������ + 1 ������������ + 1 ������ − 1 ������������ = 1 (������ + ������������) + 1 (������ − ������������) 22 22 2 2 = ������ + ������ โดยท่ี ������ = 1 (������ + ������������) และ ������ = 1 (������ − ������������) 22 บทแทรก 4 ถา้ ������ เปน็ จตั รุ ัสกลอริยสจั โสฬส แลว้ ������������������ เปน็ เมทรกิ ซ์สมมาตร บทพิสจู น์ กาหนดให้ ������ = ������������������ พจิ ารณา ������������ = ( ������������������)������ = (������������)������������������ = ������������������ = ������ ∴ ������������������ เป็นเมทริกซ์สมมาตร ������1 ข้อสังเกตเพม่ิ เติม ถ้า ������ เป็นจัตุรัสกลอรยิ สจั โสฬส โดยที่ ������ = [������������32] = [������1 ������2 ������3 ������4] ������4 แล้ว ������1������1 = ������3������3 ������2������2 = ������4������4 และ ������1������1 = ������3������3 ������2������2 = ������4������4 หมายเหตุ ขอ้ สงั เกตเพิม่ เตมิ อยู่ระหว่างการดาเนินการพิสูจน์

บทที่ 5 สรุป อภิปรายผล และขอ้ เสนอแนะ 5.1 สรุปผล จากการศกึ ษาสามารถสรุปผลการศกึ ษาตามจุดประสงค์ของโครงงาน เป็นบทนิยาม บทตง้ั บทแทรก และทฤษฎีบท ได้ดงั นี้ 1. เปรยี บเทียบสมบตั ิทางคณิตศาสตร์ของจตั รุ สั กลจากยันตอ์ รยิ สัจโสฬสมงคล และยนั ตโ์ ทน พุทธคุณ จากการศึกษาพบว่ายนั ต์ท้ังสองมีสมบตั ทิ างคณิตศาสตร์เหมอื นกัน 13 สมบัติ แตม่ ชี ุดของ ตวั เลขในจัตรุ ัสกลและคา่ คงตวั กลแตกต่างกนั 2. เพือ่ ขยายบทนยิ ามร่วมของจัตุรสั กลจาก ยันตอ์ รยิ สจั โสฬส และ ยันตโ์ ทนพทุ ธคุณ จากการเปรยี บเทียบสมบัติทางคณิตศาสตร์ในขนั้ ตอนแรก ผูจ้ ัดทาเลอื กใช้สมบัติข้อที่ 2 ซงึ่ เปน็ โครงสร้างการจดั วางตวั เลขในจัตรุ สั กลทเ่ี หมือนกนั จากยันตท์ ้งั สอง มาสร้างบทนิยามของจัตรุ ัสกล ใหมท่ ่ีมสี มาชิกในจัตรุ ัสกลและคา่ คงตวั กลเปน็ จานวนจริงใด ๆ ได้บทนยิ ามดังนี้ บทนยิ าม 4 จตั รุ สั กล ������ = [������������������]4×4 เปน็ จตั รุ สั กลอรยิ สัจโสฬส ถ้า ������������,������ + ������������,������+1 + ������������+1,������ + ������������+1,������+1 = ������(������) สาหรับทุก 1 ≤ ������, ������ ≤ 3 3. สรา้ งและพิสจู น์ทฤษฎบี ทในการอธิบายสมบตั ิทางคณติ ศาสตรข์ องตัวเลขในยนั ต์ จากการศึกษาสามารถอธบิ ายได้ด้วยบทนิยาม บทตั้ง ทฤษฎบี ทตอ่ ไปน้ีดงั น้ี บทต้งั 1 ถา้ ������ เป็นจตั รุ สั กลอริยสจั โสฬสแล้ว ������11 + ������12 = ������23 + ������24 = ������31 + ������32 = ������43 + ������44 = ������ ������13 + ������14 = ������21 + ������22 = ������33 + ������34 = ������41 + ������42 = ������(������) − ������ และ ������31 + ������41 = ������12 + ������22 = ������33 + ������43 = ������14 + ������24 = ������ ������11 + ������21 = ������32 + ������42 = ������13 + ������23 = ������34 + ������44 = ������(������) − ������

28 บทต้ัง 2 ถา้ ������ เปน็ จตั ุรสั กลอริยสจั โสฬส แลว้ ผลรวมของสมาชิกส่ีตวั รอบจุดศูนย์กลางเท่ากับ ������(������) บทตัง้ 3 ถา้ ������ เปน็ จตั ุรัสกลอรยิ สัจโสฬส แล้วผลรวมของสมาชกิ ตาแหนง่ มุมของ ������ เท่ากับ ������(������) ทฤษฎีบท 1 ถา้ ������ เป็นจตั รุ ัสกลอริยสัจโสฬส และ ������ เปน็ จตั ุรัสยอ่ ยขนาด 3 × 3 ของ ������ แล้ว ผลรวมของสมาชิกตาแหนง่ มุมของ ������ เท่ากับ ������(������) และ ผลรวมของสมาชิกตาแหนง่ มุมตรงขา้ ม ของ ������ เทา่ กับ ������(������) 2 ทฤษฎบี ท 2 ผลรวมของสมาชิกในสามเหลี่ยมโสฬส เท่ากบั 3������(������) 2 ������ ������ ������ ������ ทฤษฎีบท 3 ������ = [ ������ − ������ ������ + ������ ������ − ������ ������ + ������ ] เป็นจตั ุรสั กลอริยสัจโสฬสทีม่ คี า่ ������′ ������′ ������′ ������′ (������ − ������)′ (������ + ������)′ (������ − ������)′ (������ + ������)′ คงตัวกล ������(������) = ������ + ������ + ������ + ������ เมอื่ ������, ������, ������, ������, ������ เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ และ ������′ = ������(������) − ������ 2 สรปุ การนาความรู้ที่ได้มาอธิบายสมบตั ิทางคณิตศาสตร์ไดด้ ังตารางตอ่ ไปน้ี ตารางท่ี 2 แสดงการนาผลทีไ่ ด้จากการศึกษามาอธิบายสมบัติทางคณิตศาสตร์ของยนั ต์ สมบัติทางคณิตศาสตร์ คาอธิบาย 1. ผลรวมของตัวเลขในแต่ละแถว หลกั เส้นทแยงมมุ มคี ่าเทา่ กบั บทนิยามของจัตรุ สั กล ค่าคงตวั กล 2. ผลรวมของตวั เลขในตาราง 2x2 ใด ๆ มีคา่ เท่ากบั คา่ คงตวั กล โครงสรา้ งการจัด ตาแหน่งของตวั เลข 3. ผลบวกแตล่ ะค่ตู ิดกันมีค่าเท่ากัน 4. ผลรวมตวั เลขในสามเหลีย่ มมุมฉากเทา่ กับ ค่าคงตัวกล บทต้งั 1 5. เมื่อลงสีเป็นตารางหมากฮอส ผลรวมของตัวเลขในชอ่ งสีขาว ทฤษฎบี ท 2 เท่ากับผลรวมของตัวเลขในชอ่ งสดี า มีคา่ เทา่ กับ สองเท่าของ ทฤษฎบี ท 1 ค่าคงตวั กล คาอธบิ าย สมบัตทิ างคณิตศาสตร์

29 6. ทุกจตั รุ สั ขนาด 2x2 3x3 และ 4x4 ผลรวมของเลขท่มี มุ ทฤษฎบี ท 1 มคี า่ เท่ากับ ค่าคงตัวกล บทตง้ั 1 ทฤษฎบี ทท่ี 3 7. มองแบบการเดนิ ม้าหรอื รปู ตวั L แต่ละท่อนจะไดผ้ ลบวกมคี ่า เท่ากบั ค่าคงตัวกล ทฤษฎบี ทท่ี 3 8. ผลต่างของเลขหลักเดยี วกนั ในแถวทต่ี า่ งกนั สองแถว จะมีคา่ ทฤษฎีบทที่ 3 เท่ากันเสมอ ในทานองเดยี วกนั ผลต่างของเลขแถวเดียวกันในหลักที่ ทฤษฎีบทท่ี 3 ต่างกันสองหลักจะมีค่าเท่ากัน ทฤษฎบี ทที่ 3 9. ไมว่ ่าเลือกจดุ ใดเป็นจดุ กึ่งกลางของตาราง 4x4 จะไดเ้ ลขแต่ละคู่ จากศูนยก์ ลางไปทแยงมุมจะมผี ลต่างเท่ากนั เสมอ ในลักษณะของ ทฤษฎบี ทที่ 3 การตอ่ ตารางก็เปน็ เชน่ เดียวกนั 10. ผลต่างของตวั เลขคู่ท่อี ยู่ตดิ กนั จะมคี ่าเท่ากันเสมอ 11. ผลต่างของผลต่างของตวั เลขตดิ กันแถวเดียวกนั จะมีค่าเทา่ กบั ผลต่างของตัวเลขตดิ กนั ในแถวทีอ่ ยู่ห่างกันสองแถว 12. ผลบวกเลขยกกาลังสองของแตล่ ะหลกั จะเท่ากับหลกั ท่ีตงั้ หา่ ง ออกไปสองหลัก ผลบวกเลขยกกาลงั สองของแตล่ ะแถวจะเทา่ กบั แถวทต่ี ั้งหา่ งออกไปสองแถว 13. ผลบวกกาลังสองของจัตุรสั ขนาด 2x2 มีคา่ เท่ากัน 4. สมบตั ิของการดาเนินการบนเมทรกิ ซ์ ระหวา่ งจัตุรสั กลท่ีนิยามขนึ้ มาใหม่ ทฤษฎบี ท 4 ถา้ ������ และ ������ เปน็ จตั ุรัสกลอรยิ สัจโสฬส แลว้ 1. ������������ เปน็ จตั รุ สั กลอรยิ สัจโสฬส และ ������(������������) = ������(������) , 2. α������ เปน็ จตั รุ ัสกลอริยสจั โสฬส และ ������(α������) = α������(������) เมอื่ α เปน็ จานวนจริงใด ๆ, 3. – ������ เป็นจตั ุรัสกลอริยสจั โสฬส และ ������(– ������) = – ������(������) , 4. ������ + ������ เป็นจัตุรัสกลอรยิ สัจโสฬส และ ������(������ + ������) = ������(������) + ������(������) , 5. ������ − ������ เปน็ จัตรุ ัสกลอริยสจั โสฬส และ ������(������ − ������) = ������(������) − ������(������) ทฤษฎีบท 5 ถ้า ������ เป็นจตั รุ ัสกลอริยสจั โสฬสใด ๆแลว้ ������ สามารถเขยี นอยู่ในรปู ผลบวกของจตั ุรัสกล อรยิ สจั โสฬสสมมาตร ������ และจตั รุ สั กลอริยสัจโสฬสเสมอื นสมมาตร ������

30 บทแทรก 1 ถ้า ������ เปน็ จัตรุ สั กลอริยสัจโสฬส แล้ว ������+������������ เปน็ จัตุรสั กลอริยสจั โสฬส 2 และ ������ (������+������������) = ������(������) 2 บทแทรก 2 ถ้า ������ เป็นจัตุรัสกลอริยสัจโสฬส แล้ว ������−������������ เปน็ จตั ุรสั กลอรยิ สจั โสฬส 2 และ ������ (������−������������) = 0 2 บทแทรก 3 ถ้า ������ เปน็ จัตรุ ัสกลอรยิ สัจโสฬส แลว้ ������ + ������������ เป็นจตั รุ ัสกลอรยิ สจั โสฬสสมมาตร และ ������ − ������������ เป็นจตั รุ ัสกลอริยสัจโสฬสเสมอื นสมมาตร บทแทรก 4 ถา้ ������ เป็นจตั รุ ัสกลอริยสจั โสฬส แลว้ ������������������ เป็นเมทริกซส์ มมาตร 5.2 อภิปรายผล จากผลการศึกษาพบว่า จัตุรัสกลขนาด 4x4 ที่พบในยันต์ของไทยน้นั มีความลี้ลับของตัวเลข หรือสมบัติทางคณิตศาสตร์ท่ีน่าสนใจหลายๆประการ ทั้งนี้เป็นเพราะมีการจัดวางตาแหน่งของตัว เลขที่เป็นแบบแผน ใช้ความรู้ทางด้านคณิตศาสตร์ในการออกแบบ ความสัมพันธ์ของตัวเลขที่ได้จึงมี ความล้ีลับ หรือมีสมบัติทางคณิตศาสตร์ท่ีน่าสนใจ หลายประการ ดังที่ผู้จัดทาได้สร้างและพิสูจน์ไว้ ขา้ งต้น ผลจากการศกึ ษาทไ่ี ดน้ อกจากความรู้ความเข้าใจและความมหัศจรรยข์ องตวั เลขแล้ว สามารถ นาความรู้ท่ีได้มาประยุกต์ใช้ในด้านอื่น ๆได้อีกเช่น งานศิลปะ โน้ตดนตรี การหาจุดศูนย์กลางมวลใน วชิ าฟสิ กิ ส์ เป็นต้น 5.3 ข้อเสนอแนะ ควรทาการศึกษาเพมิ่ เติมเกี่ยวกบั ประเดน็ ต่อไปน้ี 1. สมบัตทิ างคณติ ศาสตร์ของจัตรุ สั กลอริยสัจโสฬสท่ีมีขนาด ������2 ใด ๆ 2. สมบัติเชิงเมทรกิ ซ์ เช่น สมบตั ขิ องการเป็นเมทรกิ ซน์ ิจพล เมทรกิ ซ์นริ พล คา่ ตัวกาหนด ตัวผกผัน การดาเนินการตามแถว หรอื หลักตลอดจนการประยกุ ต์ใชใ้ นการแกร้ ะบบสมการ 3. การวเิ คราะห์เชิงพีชคณิตและเรขาคณิต ใชใ้ นสาขาฟสิ ิกส์ เคมี วศิ วกรรม สถติ ิ ทฤษฎกี ราฟ ทฤษฎีความนา่ จะเปน็ เศรษฐศาสตร์ สงั คมศาสตร์ และคอมพวิ เตอร์

บรรณานุกรม กิตติพัฒน์ เพช็ รทองนะ (2551).การตัง้ ชื่อยนั ต์ของคนไทย.บัณฑิตวิทยาลัย มหาวทิ ยาลัยศิลปากร. มนสั วี อตุ รภาศ (2557).ยันตโ์ ทนพทุ ธคณุ และจตั ุรัสกลเลขชดุ เดียวกัน.ภาควชิ าคณติ ศาสตร์และสถิติ มหาวิทยาลยั สงขลานครินทร์. วรรณิษา อภยั รตั น์ (2556).จตั รุ สั กลกับยันต์ลา้ นนา.ภาควิชาคณิตศาสตรแ์ ละสถติ ิ มหาวทิ ยาลัยสงขลานครนิ ทร์. สนั ติ อทิ ธพิ ลนาวกลุ .Magic Square.สืบคน้ เม่อื 5 มถิ นุ ายน 2561 จาก http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com/ อรุ คนิ ทร์ วิริยะบรู ณะ.108 ยนั ต์ฉบับพสิ ดาร.สบื ค้นเมอื่ 12 มถิ นุ ายน 2561 จาก http://www.neutron.rmutphysics.com/ Khemmanant K.Elementary Linear Algebra.สืบคน้ เมอื่ 5 มิถุนายน 2561 จาก http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com/

ภาคผนวก ตวั อย่างสมบตั ิทางคณติ ศาสตร์ของตวั เลขในจตั ุรสั กลอรยิ สัจโสฬส 1.1 ผลบวกของตวั เลขในแถวเดียวกนั แต่ละแถวใด ๆมีคา่ เทา่ กับ 34 เสมอ 16 + 9 + 4 + 5 = 34 3 + 6 + 15 + 10 = 34 13 + 12 + 11 + 8 = 34 2 + 7 + 14 + 11 = 34 1.2 ผลบวกของตัวเลขในหลักเดยี วกัน แต่ละหลักใด ๆมีคา่ เท่ากบั 34 เสมอ 16 + 3 + 13 + 2 = 34 9 + 6 + 12 + 7 = 34 4 + 15 + 1 + 14 = 34 5 + 10 + 8 + 11 = 34 1.3 ผลบวกของตวั เลขในแนวทแยงมมุ เดียวกนั แต่ละแนวใด ๆ มีค่าเท่ากับ 34 เสมอ 16 + 6 + 1 + 11 = 34 2 + 12 + 15 + 5 = 34

33 2. ผลรวมของตัวเลขในตาราง 2x2 ใด ๆ จะได้ 34 เสมอ 16 + 9 + 3 + 6 = 34 4 + 5 + 15 + 10 = 34 13 + 12 + 2 + 7 = 34 1 + 8 + 14 + 11 = 34 3. ผลบวกแต่ละคตู่ ิดกนั มคี ่าเท่ากัน 4. ผลรวมตัวเลขในสามเหลีย่ มโสฬสมคี ่าเปน็ 51 เสมอ

34 5. ผลรวมของตวั เลขในชอ่ งสีขาว เทา่ กับผลรวมของตวั เลขในช่องสีดา คอื 68 16 + 4 + 13 + 7 + 10 + 11 + 1 + 6 = 68 3 + 9 + 15 + 5 + 2 + 12 + 14 + 8 = 68 6. จตั รุ ัสขนาด 2x2 3x3 และ 4x4 ผลรวมของเลขตาแหน่งมมุ มีคา่ เท่ากบั 34 เสมอ

35 7. มองแบบการเดนิ ม้าหรอื รปู ตวั L ดงั รูป แต่ละทอ่ นจะไดผ้ ลบวกเปน็ 51 เสมอ 8. ผลต่างของเลขหลกั เดยี วกนั ในแถว หลัก ท่ีตา่ งกนั สอง แถว หลัก จะมีค่าเทา่ กนั เสมอ 16 − 13 = 3 = 4 − 1 12 − 9 = 3 = 8 − 5 3 − 2 = 1 = 15 − 14 7 − 6 = 1 = 11 − 10 9. เลขแต่ละคู่จากศนู ยก์ ลางไปทแยงมมุ จะมีผลตา่ งเท่ากนั เสมอ 16 − 6 = 10 = 11 − 1 12 − 2 = 10 = 15 − 5

36 10. ผลต่างของตวั เลขแต่ละคู่ท่ีอยู่ติดกัน ดังรปู จะมีค่าเทา่ กันเสมอ 16 − 9 = 7 = 8 − 1 5 − 4 = 1 = 13 − 12 6 − 3 = 3 = 14 − 11 15 − 10 = 5 = 7 − 2 11. ผลต่างของผลตา่ งของตวั เลขทต่ี ิดกันในแถวเดียวกนั จะมีคา่ เท่ากับ ผลต่างของผลต่างของตัวเลขท่ตี ิดกันในแถวทอ่ี ย่หู ่างกนั สองแถว (16 − 9) − (5 − 4) = 6 (15 − 10) − (6 − 3) = 2 (8 − 1) − (13 − 12) = 6 (7 − 2) − (14 − 11) = 2 12. ผลบวกเลขยกกาลังสองของแตล่ ะหลกั จะเทา่ กบั หลกั ทีต่ ้งั ห่างออกไปสองหลัก 162 + 32 + 132 + 22 = 438 92 + 62 + 122 + 72 = 310 42 + 152 + 12 + 142 = 438 52 + 102 + 82 + 112 = 310 162 + 92 + 42 + 52 = 438 32 + 62 + 152 + 102 = 438 132 + 122 + 12 + 82 = 438 22 + 72 + 142 + 112 = 438

37 13. ผลบวกกาลงั สองของจัตุรสั ขนาด 2x2 มคี ่าเท่ากัน 162 + 92 + 32 + 62 = 382 42 + 52 + 152 + 102 = 366 132 + 122 + 22 + 72 = 366 12 + 82 + 142 + 112 = 382 162 + 52 + 22 + 112 = 406 62 + 152 + 122 + 12 = 406 92 + 42 + 72 + 142 = 342 32 + 132 + 102 + 82 = 342 ตัวอย่างสมบัตบิ างประการของการดาเนนิ การบนเมทรกิ ซ์ จากทฤษฎีบท 3 แทน ������, ������, ������, ������, ������ ดว้ ย 10, 1, 25, 62, 1 ตามลาดบั 10 1 25 62 จะได้ว่า ������ = [2244 63 9 2 ] เป็นจัตรุ ัสกลอรยิ สัจโสฬสท่ีมีค่าคงตวั กล ������(������) = 98 −13 39 48 40 47 25 −14 10 24 24 40 พจิ ารณาเมทริกซส์ ลับเปล่ยี น ������������ = [215 63 −13 47 ] จะเห็นไดว้ ่าผลรวมของสมาชิกในแต่ 9 39 25 62 2 48 −14 ละแถว แต่ละหลัก แต่ละเสน้ ทแยงมุม มคี ่าเท่ากบั 98 และผลรวมของสมาชกิ ในแต่ละจตั รุ สั ยอ่ ย ขนาด 2x2 กเ็ ท่ากบั 98 เช่นกนั ดงั นัน้ ������������เป็นจัตรุ สั กลอริยสจั โสฬสทม่ี ีค่าคงตัวกล ������(������������) = 98 = ������(������) 10 1 25 62 10 24 24 40 0 −23 1 22 ������−������������ = [2244 63 9 2 ] − [215 63 −13 47 ] = [ 23 0 22 −2435] −13 39 48 9 39 25 −1 −22 0 40 47 25 −14 62 2 48 −14 −22 45 −23 0 เปน็ จตั ุรัสกลอรยิ สจั โสฬสท่ีมคี า่ คงตัวกล ������(������−������������) = 0 = ������(������) − ������(������������)

38 10 1 25 62 10 24 24 40 20 25 49 102 ������+������������ = [2244 63 9 2 ] + [215 63 −13 47 ] = [ 25 126 −4 49 ] −13 39 48 9 39 25 49 −4 78 73 40 47 25 −14 62 2 48 −14 102 49 73 −28 เปน็ จตั รุ สั กลอรยิ สัจโสฬสท่มี คี ่าคงตวั กล ������(������+������������) = 196 = ������(������) + ������(������������) พิจารณา 0 −11.5 0.5 11 0 11 ������−������������ = [−110..55 0 −1212.5.5] และ 2 −11 −11.5 22.5 0 −11 10 12.5 24.5 51 ������+������������ = [1242..55 63 −2 2346..55] 2 −2 39 51 24.5 36.5 −14 ������ 0 11.5 −0.5 −11 0 −11 (������−������������ ) = [−01.15.5 11 −2121.5.5] = − ������−������������ 2 0 2 −22.5 11.5 11 0 ������ 10 12.5 24.5 51 63 −2 (������+������������ ) = [1224..55 −2 39 2346..55] = ������+������������ 2 24.5 36.5 2 51 −14 จึงไดว้ า่ ������+������������ เป็นจตั รุ ัสกลอรยิ สัจโสฬสสมมาตร ท่มี คี ่าคงตัวกล ������ (������+������������) = 98 และ 22 ������−������������ เปน็ จตั รุ สั กลอรยิ สจั โสฬสเสมือนสมมาตร ท่มี ีคา่ คงตัวกล ������ (������−������������) = 0 22 ดงั นัน้ เราสามารถเขยี น ������ ให้อยู่ในรูปผลบวกของจตั ุรัสกลอรยิ สจั โสฬสสมมาตร ������ และจัตุรัสกล อริยสจั โสฬสเสมอื นสมมาตร ������ ไดด้ ังน้ี ������+������������ ������−������������ ������ = ������ + ������ = 2 + 2 10 1 25 62 10 12.5 24.5 51 0 −11.5 0.5 11 [2244 63 9 2 ] = [2124..55 63 −2 3264..55] + [−110..55 0 11 −1212.5.5] −13 39 48 −2 39 −11 0 40 47 25 −14 51 24.5 36.5 −14 −11 22.5 −11.5 0

39 ตัวอย่างการสร้างผลงานศิลปะจากจัตุรสั กลอริยสัจโสฬส ภาพท่ี 6.1 (ซา้ ย) แสดงภาพลายเส้นจากจตั ุรัสกลอรยิ สจั โสฬส ภาพท่ี 6.2 (ขวา) แสดงตวั อย่างภาพวาดจากจัตุรสั กลอริยสัจโสฬส

40 ตวั อย่างการสรา้ งจัตรุ สั กลด้วยวิธีสยาม ภาพท่ี 6.3 แสดงการสร้างจัตุรัสกลท่ีมีขนาดเป็นจานวนคี่ ด้วยวิธสี ยาม


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook