บทที่ 1 ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

บทที่ 1 เขา้ ส่บู ทเรยี น

เตรียมควำมพร้อม 1 1 หำจำนวนทแี่ ทนด้วย 1.1 1.2 1.3 1.4 1.1 ตัวประกอบของจำนวนนบั 3 1) 15 = 5 × 3 2) 63 = 7 × 9 1.2 ตัวหำรร่วมทีม่ ำกทีส่ ุด (ห.ร.ม.) 1.3 ผลคณู รว่ มท่นี ้อยที่สุด (ค.ร.น.) 24 3) 132 = 22 × 6 4) 288 = 36 × 8 1.4 โจทย์ปญั หำ 46 2 ขอ้ ควำมต่อไปนี้ ถกู หรอื ผิด เพรำะเหตุใด 72 1) 56 หำรด้วย 9 ไดล้ งตัว ผิด เพรำะ 56 หำรด้วย 9 ได้ 6 เศษ 2 2) 72 หำรดว้ ย 8 ได้ลงตวั ถกู เพรำะ 72 ÷ 8 = 9 3) 2, 8, 12, 14, 15 และ 20 นำไปหำร 60 ได้ลงตัว ผดิ เพรำะ 8 หำรด้วย 60 ได้ 7 เศษ 4 และ 14 หำร 60 ได้ 4 เศษ 4 4) 96 และ 120 หำรดว้ ย 2, 3, 4 และ 12 ได้ลงตวั ถกู เพรำะ 96 ÷ 2 = 48, 96 ÷ 3 = 32, 96 ÷ 4 = 24 และ 96 ÷ 12 = 8 120 ÷ 2 = 60, 120 ÷ 3 = 40, 120 ÷ 4 = 30 และ 120 ÷ 12 = 10 5) จำนวนนับท่มี ำกที่สดุ ที่นำไปหำร 77 ไดล้ งตัว คือ 11 ผิด เพรำะ จำนวนนบั ทีม่ ำกทีส่ ดุ ท่นี ำไปหำร 77 ได้ลงตัว คือ 77 ซง่ึ 77 ÷ 77 = 1

2 3 หำคำตอบ 1.1 ตวั ประกอบและกำรแยกตัวประกอบ 3 ตัวประกอบของจำนวนนบั 1) พ่อแบ่งเงนิ ให้ลูก 3 คน ไดค้ นละ 90 บำท พ่อแบ่งเงินท้งั หมด 1.1 1.2 1.3 1.4 เทำ่ ใด พจิ ำรณำสถำนกำรณต์ อ่ ไปนี้ 270 บำท ขนุ มีลกู อม 6 เมด็ ตอ้ งกำรจัดลกู อมเป็นกอง กองละเท่ำ ๆ กนั ขนุ จดั ลูกอมได้กองละก่ีเม็ด 2) พอ่ ค้ำจดั มะม่วงกองละ 4 ผล ขำยไป 37 กอง พอ่ ค้ำขำยมะม่วง ไปก่ีผล กำรจดั ลูกอมเปน็ กอง กองละเทำ่ ๆ กนั จดั ได้ 4 แบบ ดังน้ี 148 ผล แบบท่ี 1 จดั กองละ 1 เม็ด จะได้ 6 ÷ 1 = 6 กอง 3) แม่ค้ำขำยหอ่ หมก 20 หอ่ ได้เงิน 500 บำท แม่คำ้ ขำยห่อหมก แบบที่ 2 จดั กองละ 2 เมด็ จะได้ 6 ÷ 2 = 2 กอง ห่อละก่บี ำท 25 บำท 4) แก้วตำออมเงินวนั ละ 10 บำท เป็นเวลำ 8 วนั แกว้ ตำออมเงนิ ได้กบี่ ำท 80 บำท

4 แบบท่ี 3 จดั กองละ 3 เมด็ จะได้ 6 ÷ 3 = 3 กอง 5 1.1 1.2 1.3 1.4 แบบท่ี 4 จัดกองละ 6 เมด็ จะได้ 6 ÷ 6 = 1 กอง ตัวอยำ่ งท่ี 1 หำตวั ประกอบทงั้ หมดของ 12 วธิ ที ำ เนื่องจำก 12 ÷ 1 = 12 จำกสถำนกำรณ์ดังกล่ำว พบวำ่ 6 ÷ 1 = 6 6÷2=3 12 ÷ 2 = 6 6÷3=2 12 ÷ 3 = 4 6÷4=1 12 ÷ 4 = 3 12 ÷ 6 = 2 แสดงว่ำ จำนวนนับทั้งหมดท่หี ำร 6 ได้ลงตัว ไดแ้ ก่ 1, 2, 3 และ 6 12 ÷ 12 = 1 เรยี กจำนวนนบั ที่หำร 6 ไดล้ งตัวว่ำ ตัวประกอบของ 6 ดงั นั้น ตวั ประกอบทงั้ หมดของ 12 ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 แสดงว่ำ 1, 2, 3 และ 6 เปน็ ตัวประกอบของ 6 เพรำะ 1, 2, 3 และ 6 ตอบ ๑, ๒, ๓, ๔, ๖ และ ๑๒ หำร 6 ได้ลงตวั ดงั น้ัน ตวั ประกอบท้ังหมดของ 6 ได้แก่ 1, 2, 3 และ 6 ข้อสงั เกต 12 = 1 × 12 12 = 2 × 6 ตวั ประกอบของจำนวนนบั ใด หมำยถึง จำนวนนบั ที่หำรจำนวนนบั นนั้ ได้ลงตวั 12 = 3 × 4

6 ปฏิบตั กิ จิ กรรม 7 ตัวอยำ่ งที่ 2 หำตัวประกอบท้ังหมดของ 42 วิธที ำ เนื่องจำก 42 ÷ 1 = 42 1 ตอบคำถำม 1.1 1.2 1.3 1.4 42 ÷ 2 = 21 42 ÷ 3 = 14 1) ตัวประกอบทั้งหมดของ 34 มีกี่จำนวน อะไรบำ้ ง 42 ÷ 6 = 7 4 จำนวน ได้แก่ 1, 2, 17 และ 34 42 ÷ 7 = 6 42 ÷ 14 = 3 2) 9 เปน็ ตวั ประกอบของ 45 หรอื ไม่ เพรำะเหตใุ ด 42 ÷ 21 = 2 เป็น เพรำะ 9 หำร 45 ได้ลงตวั 42 ÷ 42 = 1 ดงั นั้น ตัวประกอบทงั้ หมดของ 42 ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 3) 7 และ 8 เป็นตัวประกอบของ 56 หรือไม่ เพรำะเหตุใด และ 42 เปน็ เพรำะ 7 และ 8 หำร 56 ไดล้ งตวั ตอบ ๑, ๒, ๓, ๖, ๗, ๑๔, ๒๑ และ ๔๒ 4) 11 เป็นตวั ประกอบของ 111 หรือไม่ เพรำะเหตุใด ข้อสงั เกต 42 = 1 × 42 ไม่เป็น เพรำะ 11 หำร 111 ไมล่ งตัว 42 = 2 × 21 42 = 3 × 14 42 = 6 × 7 จำนวนนับทุกจำนวน จะมี 1 และตวั มันเอง เป็นตัวประกอบเสมอ

8 จำนวนเฉพำะและตวั ประกอบเฉพำะ 9 2 หำตวั ประกอบทง้ั หมดของจำนวนท่กี ำหนด พิจำรณำตัวประกอบทั้งหมดของจำนวนนับ ต้ังแต่ 1 - 10 1.1 1.2 1.3 1.4 1) 25 จำกตำรำง พบข้อสงั เกตดังนี้ 1, 5 และ 25 จำนวนนับ ตวั ประกอบทง้ั หมด 1 มตี วั ประกอบเพียงจำนวนเดียว คอื 1 2) 36 11 1 เป็นตวั ประกอบของจำนวนนับทกุ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 และ 36 2 1 และ 2 จำนวน 3) 41 1 และ 41 3 1 และ 3 จำนวนนับทุกจำนวน มตี ัวมนั เองเป็น 4) 49 4 1, 2 และ 4 ตวั ประกอบ 1, 7 และ 49 2, 3, 5 และ 7 มีตวั ประกอบเพียง 2 5 1 และ 5 จำนวน คอื 1 กับ ตัวมันเอง 5) 80 6 1, 2, 3 และ 6 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 และ 80 เรำเรียก 2, 3, 5 และ 7 วำ่ เปน็ 7 1 และ 7 จำนวนเฉพำะ 6) 84 8 1, 2, 4 และ 8 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 และ 84 9 1, 3 และ 9 9 ไมเ่ ปน็ จำนวนเฉพำะ เพรำะ 9 มตี วั ประกอบ 3 จำนวน คอื 1, 3 และ 9 10 1, 2, 5 และ 10 11 เปน็ จำนวนเฉพำะ เพรำะ 11 มีตัว ประกอบ 2 จำนวน คอื 1 และ 11 จำนวนนับท่ีมำกกว่ำ 1 และมีตัวประกอบเพยี ง 2 จำนวน คือ 1 กบั ตวั มนั เอง เรียกวำ่ จำนวนเฉพำะ

10 หำตวั ประกอบทั้งหมดของจำนวนนบั ที่กำหนด แลว้ ระบวุ ำ่ จำนวนนับนั้น พจิ ำรณำกำรหำตวั ประกอบเฉพำะ 11 เปน็ จำนวนเฉพำะหรอื ไม่ โดยเขยี น ✓ ลงในตำรำง พรอ้ มแสดงเหตผุ ล ตัวประกอบทัง้ หมดของ 18 มีจำนวนใดบ้ำง 1.1 1.2 1.3 1.4 จำนวนนับ ตวั ประกอบทงั้ หมด จำนวนเฉพำะ เหตุผล ตวั ประกอบทัง้ หมดของ 18 ได้แก่ 1, 2, 3, 6, 9 และ 18 เป็น ไมเ่ ปน็ ตวั ประกอบท้ังหมดของ 18 ทีเ่ ป็นจำนวนเฉพำะ มีจำนวนใดบำ้ ง 27 1, 3, 9 และ 27 ✓ มตี วั ประกอบ 4 จำนวน ตวั ประกอบทงั้ หมดของ 18 ทเ่ี ป็นจำนวนเฉพำะ ได้แก่ 2 และ 3 29 1 และ 29 ✓ มตี ัวประกอบเพียง 2 จำนวน 39 1, 3, 13 และ 39 ✓ มีตัวประกอบ 4 จำนวน 43 1 และ 43 ✓ มตี วั ประกอบเพยี ง 2 จำนวน 51 1, 3, 17 และ 51 ✓ มตี วั ประกอบ 4 จำนวน จะกลำ่ ววำ่ 2 และ 3 เปน็ ตัวประกอบเฉพำะของ 18 ตวั ประกอบท่ีเปน็ จำนวนเฉพำะ เรยี กว่ำ ตัวประกอบเฉพำะ 57 1, 3, 19 และ 57 ✓ มีตัวประกอบ 4 จำนวน 63 1,3,7,9,21 และ 63 ✓ มตี ัวประกอบ 6 จำนวน 67 1 และ 67 ✓ มตี วั ประกอบเพยี ง 2 จำนวน 77 1, 7, 11 และ 77 ✓ มีตวั ประกอบ 4 จำนวน 5 เป็นตัวประกอบเฉพำะของ 25 หรอื ไม่ เพรำะเหตุใด 5 เป็นตวั ประกอบเฉพำะของ 25 เพรำะ 5 เปน็ จำนวนเฉพำะ 79 1 และ 79 ✓ มตี ัวประกอบเพียง 2 จำนวน 83 1 และ 83 ✓ มตี ัวประกอบเพยี ง 2 จำนวน 91 1, 7, 13 และ 91 ✓ มีตวั ประกอบ 4 จำนวน 9 เป็นตวั ประกอบเฉพำะของ 27 หรอื ไม่ เพรำะเหตใุ ด 9 ไม่เป็นตัวประกอบเฉพำะของ 27 เพรำะ 9 ไมเ่ ปน็ จำนวนเฉพำะ 97 1 และ 97 ✓ มตี ัวประกอบเพียง 2 จำนวน

12 ปฏบิ ตั กิ จิ กรรม 2 ตอบคำถำม 13 1 หำตวั ประกอบทั้งหมดและตวั ประกอบเฉพำะของจำนวนทกี่ ำหนด 1) 1 เปน็ ตัวประกอบเฉพำะของจำนวนนบั ทุกจำนวนหรือไม่ เพรำะเหตุใด 1.1 1.2 1.3 1.4 ไมเ่ ปน็ เพรำะ 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพำะ จำนวนนบั ตวั ประกอบท้งั หมด ตัวประกอบเฉพำะ 2) 4 และ 11 เปน็ ตวั ประกอบเฉพำะของ 44 หรอื ไม่ เพรำะเหตใุ ด 4 และ 11 เป็นตัวประกอบของ 44 เน่อื งจำก 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพำะ 12 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 2 และ 3 แต่ 11 เปน็ จำนวนเฉพำะ ดังน้ัน 4 ไมเ่ ปน็ ตัวประกอบเฉพำะของ 44 2 และ 7 แต่ 11 เป็นตัวประกอบเฉพำะของ 444 14 1, 2, 7 และ 14 2, 3 และ 5 2 30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 และ 30 5 และ 7 2 และ 5 32 1, 2, 4, 8, 16 และ 32 47 3) 31 มตี วั ประกอบเฉพำะหรือไม่ ถ้ำมี เป็นจำนวนใดบ้ำง 2 และ 13 มี ซ่ึงคอื 31 35 1, 5, 7 และ 35 2 และ 29 4) 23 เปน็ ตวั ประกอบเฉพำะเพยี งจำนวนเดียวของ 92 หรือไม่ เพรำะเหตุ 40 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 และ 40 ใด 47 1 และ 47 2, 3 และ 11 ไม่ เพรำะตวั ประกอบท้ังหมดของ 92 ได้แก่ 1, 2, 4, 23, 46 และ 92 71 ซง่ึ 2 กับ 23 เป็นตวั ประกอบเฉพำะ 52 1, 2, 4, 13, 26 และ 52 2 และ 37 2 และ 43 58 1, 2, 29 และ 58 2 และ 31 66 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33 และ 66 71 1 และ 71 5) ตัวประกอบเฉพำะของ 210 มีจำนวนใดบ้ำง 74 1, 2, 37 และ 74 เนื่องจำกตวั ประกอบทงั้ หมดของ 210 ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105 และ 210 ซ่งึ 2, 3, 5 และ 7 เปน็ 86 1, 2, 43 และ 86 จำนวนเฉพำะ ดงั น้ัน ตวั ประกอบเฉพำะของ 210 ไดแ้ ก่ 2, 3, 5 และ 7 93 1, 3, 31 และ 93

14 กำรแยกตัวประกอบ 15 ตวั ประกอบทง้ั หมดของ 24 ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 และ 24 3 72 4 84 1.1 1.2 1.3 1.4 เรำสำมำรถเขยี น 24 ในรปู กำรคูณของตวั ประกอบ เช่น (ตอบอยำ่ งใดอยำ่ งหนึง่ ) (ตอบอย่ำงใดอย่ำงหน่ึง) 24 = 1 × 24 72 = 2 × 36 84 = 2 × 42 24 = 2 × 12 72 = 3 × 24 84 = 3 × 28 24 = 3 × 8 72 = 4 × 18 84 = 4 × 21 24 = 4 × 6 72 = 6 × 12 84 = 6 × 14 72 = 8 × 9 84 = 7 × 12 เขยี นจำนวนตอ่ ไปน้ีในรูปกำรคณู ของตวั ประกอบ 2 จำนวน ทไี่ มม่ ี 5 119 6 126 จำนวนใดเป็น 1 119 = 7 × 17 (ตอบอย่ำงใดอย่ำงหน่ึง) 1 18 2 50 126 = 2 × 63 126 = 3 × 42 (ตอบอย่ำงใดอยำ่ งหนึ่ง) (ตอบอย่ำงใดอยำ่ งหนงึ่ ) 126 = 6 × 21 18 = 2 × 9 50 = 2 × 25 126 = 7 × 18 18 = 3 × 6 50 = 5 × 10 126 = 9 × 14

16 17 กำรเขียน 24 = 2 × 2 × 2 × 3 เปน็ กำรเขียน 24 ในรปู กำรคูณของตวั ประกอบเฉพำะ พิจำรณำกำรเขยี น 24 ในรปู กำรคูณของตวั ประกอบ 2 จำนวน ทไ่ี ม่มีจำนวนใดเป็น 1 เรยี กกำรเขยี น 24 ในรูปกำรคูณของตัวประกอบเฉพำะวำ่ กำรแยกตัวประกอบของ 24 1.1 1.2 1.3 1.4 24 = 4 × 6 หรอื 24 = 3 × 8 หรอื 24 = 2 × 12 กำรแยกตัวประกอบของจำนวนนับใด หมำยถงึ กำรเขียนแสดงจำนวน นับน้ันในกำรคูณของตัวประกอบเฉพำะ จะพบว่ำ 4, 6, 8 และ 12 ไม่เป็นตัวประกอบเฉพำะของ 24 กำรแยกตัวประกอบของจำนวนนับทกี่ ำหนด ถูกต้องหรอื ไม่ เพรำะเหตใุ ด ซง่ึ เรำสำมำรถเขยี น 4, 6, 8 และ 12 ในรูปกำรคูณของตัวประกอบเฉพำะได้ ดังน้ี 1) 52 = 2 × 2 × 13 24 = 4 × 6 24 = 3 × 8 ถกู เพรำะ 2 และ 13 เป็นตัวประกอบเฉพำะของ 52 =2×2×2×3 หรอื =3×2×4 2) 108 = 2 × 2 × 3 × 9 =3×2×2×2 ไมถ่ ูก เพรำะ 9 ไมเ่ ป็นตวั ประกอบเฉพำะของ 108 =2×2×2×3 3) 74 = 1 × 2 × 37 ไม่ถกู เพรำะ 1 ไม่เปน็ ตวั ประกอบเฉพำะของ 37 หรือ 4) 96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 24 = 2 × 12 ถกู เพรำะ 2 และ 3 เปน็ ตัวประกอบเฉพำะของ 96 =2×2×6 =2×2×2×3

18 19 วิธแี ยกตวั ประกอบของจำนวนนบั เชน่ กำรแยกตวั ประกอบของ 36 อำจทำได้ ดังน้ี แยกตวั ประกอบของจำนวนนับทกี่ ำหนด 1.1 1.2 1.3 1.4 วิธที ี่ 1 โดยใชก้ ำรคณู 1 โดยใช้กำรคณู 36 = 6 × 6 36 =2×3×2×3 4 ×9 1) 86 =2×2×3×3 หรือ 2 × 2 × 3 × 3 86 = 2 × 43 ดงั น้นั 36 = 2 × 2 × 3 × 3 ดังน้ัน 86 = 2 × 43 ดังน้ัน 36 = 2 × 2 × 3 × 3 2) 100 วิธที ี่ 2 โดยใช้กำรหำร 100 = 10 × 10 โดยนำตัวประกอบเฉพำะมำหำรจนไดผ้ ลหำรเป็นจำนวนเฉพำะ แล้วเขียน =2×5×2×5 จำนวนนบั นน้ั ในรูปกำรคณู ของตวั หำรทุกจำนวนและผลหำรสุดทำ้ ย =2×2×2×5 ดงั นัน้ 100 = 2 × 2 × 2 × 5 2 36 2 18 3) 105 39 105 = 5 × 21 =5×3×7 3 ผลหำรเปน็ จำนวนเฉพำะ =3×5×7 ดังนนั้ 105 = 3 × 5 × 7 ดังน้ัน 36 = 2 × 2 × 3 × 3

20 ตรวจสอบควำมเขำ้ ใจ 21 1 ตอบคำถำมจำกจำนวนทีก่ ำหนด 2 โดยใช้กำรหำร 2) 132 1.1 1.2 1.3 1.4 1) ตัวประกอบทง้ั หมดของทุกจำนวน ได้แก่จำนวนใดบำ้ ง 1) 90 2 132 ตวั ประกอบทั้งหมดของ 70 ได้แก่ 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35 และ 70 3 66 ตวั ประกอบทงั้ หมดของ 53 ไดแ้ ก่ 1 และ 53 5 90 11 22 ตัวประกอบท้งั หมดของ 64 ได้แก่ 1, 2, 4, 8, 16, 32 และ 64 3 18 ตัวประกอบทง้ั หมดของ 38 ไดแ้ ก่ 1, 2, 19 และ 38 36 2 ตัวประกอบทั้งหมดของ 109 ไดแ้ ก่ 1 และ 109 ดงั น้ัน 132 = 2 × 3 × 11 × 2 ตัวประกอบทง้ั หมดของ 47 ได้แก่ 1 และ 47 2 หรือ 132 = 2 × 2 × 3 × 11 ตัวประกอบท้งั หมดของ 82 ได้แก่ 1, 2, 41 และ 82 ดังนัน้ 90 = 5 × 3 × 3 × 2 ตวั ประกอบทั้งหมดของ 20 ไดแ้ ก่ 1, 2, 4, 5, 10 และ 20 หรือ 90 = 2 × 3 × 3 × 5 2) จำนวนใดบำ้ งเป็นจำนวนเฉพำะ 3) 174 47, 53 และ 109 2 174 3 87 29 ดังนน้ั 174 = 2 × 3 × 29

22 สงิ่ ทไ่ี ด้เรยี นรู้ 23 2 แยกตวั ประกอบของจำนวนทก่ี ำหนด ขอ้ ควำมตอ่ ไปนี้ ถกู หรือผดิ เพรำะเหตใุ ด 1.1 1.2 1.3 1.4 1) 64 โดยใช้กำรคูณ 1 จำนวนนบั ท่ีมตี ัวประกอบเฉพำะ 2 จำนวน จำนวนนับนน้ั จะเป็น ตัวอย่ำง จำนวนเฉพำะเสมอ 64 = 8 × 8 ผดิ เพรำะ จำนวนนบั นัน้ จะไม่เปน็ จำนวนเฉพำะ เชน่ 2 และ 3 เป็นตัวประกอบเฉพำะของ 6 และ 6 = 2 × 3 =2×4×2×4 แต่ 6 ไม่เปน็ จำนวนเฉพำะ =2×2×2×2×2×2 ดังน้ัน 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 จำนวนนบั ทกุ จำนวนสำมำรถแยกตวั ประกอบได้ 2) 82 โดยใช้กำรหำร ผิด เพรำะ 1 และจำนวนเฉพำะทกุ จำนวน ไม่สำมำรถเขยี นในรูป 2 82 กำรคูณของตัวประกอบเฉพำะได้ 41 3 แยกตวั ประกอบของ 54 ไดด้ ังนี้ ดงั น้นั 82 = 2 × 41 2 54 9 27 3 ตอบ 54 = 2 × 9 × 3 ผดิ เพรำะ 9 ไมเ่ ป็นตวั ประกอบเฉพำะ

24 1.2 ตวั หำรรว่ มทมี่ ำกทสี่ ดุ (ห.ร.ม.) 25 กำรหำ ห.ร.ม. โดยกำรหำตวั หำรรว่ ม แบง่ นกั เรยี นชนั้ ป.6 จำนวน 20 คน เปน็ กลมุ่ กลุ่มละเทำ่ ๆ กัน ไดด้ งั น้ี 1.1 1.2 1.3 1.4 แบบที่ 1 แบ่งกลุม่ ละ 1 คน ได้ 20 ÷ 1 = 20 กลุ่ม พจิ ำรณำสถำนกำรณต์ ่อไปน้ี แบบที่ 2 แบง่ กลมุ่ ละ 2 คน ได้ 20 ÷ 2 = 10 กลมุ่ แบบที่ 3 แบง่ กลุ่มละ 4 คน ได้ 20 ÷ 4 = 5 กล่มุ ชุมนมุ รักกำรอำ่ น มนี กั เรียนชน้ั ป.5 จำนวน 16 คน และนกั เรียนชนั้ แบบที่ 4 แบง่ กลุ่มละ 5 คน ได้ 20 ÷ 5 = 4 กลมุ่ ป.6 จำนวน 20 คน ครูตอ้ งกำรแบ่งนกั เรยี นเป็นกลุ่ม กลุ่มละเทำ่ ๆ แบบที่ 5 แบ่งกลุ่มละ 10 คน ได้ 20 ÷ 10 = 2 กลุ่ม กนั โดยไม่มกี ำรคละชัน้ ครจู ะสำมำรถแบ่งนักเรียนให้แต่ละกล่มุ มี แบบที่ 6 แบ่งกลุ่มละ 20 คน ได้ 20 ÷ 20 = 1 กลุ่ม สมำชกิ มำกทส่ี ุดกล่มุ ละกี่คน พบวำ่ จำนวนนับทห่ี ำร 16 ได้ลงตวั ไดแ้ ก่ 1, 2, 4, 8 และ 16 แบง่ นกั เรยี นชน้ั ป.5 จำนวน 16 คน เป็นกลมุ่ กลมุ่ ละเทำ่ ๆ กัน ได้ดงั นี้ จำนวนนับทห่ี ำร 20 ได้ลงตัว ได้แก่ 1, 2, 4, 5, 10 และ 20 แบบที่ 1 แบ่งกลมุ่ ละ 1 คน ได้ 16 ÷ 1 = 16 กลมุ่ จำนวนนบั ทห่ี ำรทั้ง 16 และ 20 ได้ลงตวั ไดแ้ ก่ 1, 2 และ 4 แบบที่ 2 แบง่ กลุ่มละ 2 คน ได้ 16 ÷ 2 = 8 กลุ่ม แบบที่ 3 แบง่ กลุ่มละ 4 คน ได้ 16 ÷ 4 = 4 กลุ่ม ซง่ึ 4 เปน็ จำนวนนบั ที่มำกท่ีสดุ ท่ีหำรทง้ั 16 และ 20 ไดล้ งตวั แบบที่ 4 แบ่งกลมุ่ ละ 8 คน ได้ 16 ÷ 8 = 2 กลมุ่ ดังนัน้ ครสู ำมำรถแบง่ นกั เรียนชน้ั ป.5 และ ป.6 เปน็ กลุม่ กล่มุ ละเทำ่ ๆ แบบที่ 5 แบ่งกลุ่มละ 16 คน ได้ 16 ÷ 16 = 1 กล่มุ กัน โดยไมม่ กี ำรคละช้นั ไดม้ ำกทีส่ ุดกลุม่ ละ 4 คน

26 27 เมอื่ พิจำรณำกำรแบง่ นกั เรียนเป็นกลมุ่ ขำ้ งต้น ตวั อยำ่ ง หำ ห.ร.ม. ของ 8, 10 และ 26 1.1 1.2 1.3 1.4 จะไดว้ ำ่ ตัวประกอบของ 16 ไดแ้ ก่ 1, 2, 4, 8 และ 16 วิธที ำ จำนวนนบั ทห่ี ำร 8 ได้ลงตัว ได้แก่ 1, 2, 4 และ 8 จำนวนนบั ที่หำร 10 ได้ลงตวั ได้แก่ 1, 2, 5 และ 10 ตัวประกอบของ 24 ได้แก่ 1, 2, 4, 5, 10 และ 20 ตอบ จำนวนนบั ทห่ี ำร 26 ได้ลงตวั ได้แก่ 1, 2, 13 และ 26 กลำ่ วไดว้ ำ่ 1, 2 และ 4 เปน็ ตวั ประกอบรว่ ม หรอื ตัวหำรรว่ มของ 16 และ 20 ตัวหำรร่วมของ 8, 10 และ 26 ได้แก่ 1 และ 2 และ ตัวประกอบรว่ มทม่ี ำกทสี่ ดุ ของ 16 และ 20 คือ 4 ตัวหำรรว่ มทม่ี ำกที่สดุ ของ 8, 10 และ 26 คอื 2 เรียก 4 วำ่ ตวั หำรร่วมทม่ี ำกทสี่ ดุ ของ 16 และ 20 ดังน้ัน ห.ร.ม. ของ 8, 10 และ 26 คอื 2 ๒ • จำนวนนบั ทห่ี ำรจำนวนนับตงั้ แต่ 2 จำนวนข้นึ ไปไดล้ งตวั เรยี กวำ่ ตัวประกอบรว่ ม หรอื ตัวหำรรว่ ม ของจำนวนนับเหลำ่ นน้ั หำ ห.ร.ม. ของจำนวนทก่ี ำหนด • 1 เปน็ ตัวประกอบรว่ ม หรอื ตัวหำรร่วมของจำนวนนับทุกจำนวน 1 4 และ 15 • ตวั หำรรว่ มทมี่ ำกทสี่ ดุ ใชอ้ ักษรย่อ ห.ร.ม. • ห.ร.ม. ของจำนวนนับตั้งแต่ 2 จำนวนข้นึ ไป หมำยถงึ จำนวนนับที่ วธิ ีทำ จำนวนนบั ท่ีหำร 4 ไดล้ งตัว ไดแ้ ก่ 1, 2 และ 4 จำนวนนับทห่ี ำร 15 ได้ลงตวั ไดแ้ ก่ 1, 3, 5 และ 15 มำกทส่ี ุดท่หี ำรจำนวนนับเหลำ่ นนั้ ได้ลงตวั ตัวหำรร่วมของ 4 และ 15 ได้แก่ 1 ตวั หำรร่วมทมี่ ำกท่สี ดุ ของ 4 และ 15 คอื 1 ดังนัน้ ห.ร.ม. ของ 4 และ 15 คือ 1 ตอบ ๑

28 29 1.1 1.2 1.3 1.4 2 18 และ 30 4 8, 20 และ 28 วิธที ำ จำนวนนับท่ีหำร 18 ไดล้ งตัว ได้แก่ 1, 2, 3, 6, 9 และ 18 วธิ ที ำ จำนวนนับทีห่ ำร 8 ไดล้ งตัว ไดแ้ ก่ 1, 2, 4 และ 8 จำนวนนบั ทห่ี ำร 30 ไดล้ งตัว ได้แก่ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 จำนวนนับทห่ี ำร 20 ได้ลงตวั ได้แก่ 1, 2, 4, 5, 10 และ 20 และ 30 จำนวนนบั ท่ีหำร 28 ได้ลงตวั ได้แก่ 1, 2, 4, 7, 14 และ 28 ตวั หำรรว่ มของ 18 และ 30 ไดแ้ ก่ 1, 2, 3 และ 6 ตัวหำรร่วมของ 8, 20 และ 28 ไดแ้ ก่ 1, 2 และ 4 ตัวหำรร่วมท่มี ำกท่ีสดุ ของ 18 และ 30 คอื 6 ตัวหำรร่วมท่มี ำกท่สี ดุ ของ 8, 20 และ 28 คือ 4 ดังนน้ั ห.ร.ม. ของ 18 และ 30 คอื 6 ดังน้ัน ห.ร.ม. ของ 8, 20 และ 28 คือ 4 ตอบ ๖ ตอบ ๔ 3 75 และ 105 5 14, 25 และ 26 วธิ ีทำ จำนวนนับทห่ี ำร 75 ไดล้ งตวั ได้แก่ 1, 3, 5, 15, 25 และ 75 วธิ ที ำ จำนวนนบั ท่หี ำร 14 ไดล้ งตัว ได้แก่ 1, 2, 7 และ 14 จำนวนนับที่หำร 105 ไดล้ งตัว ไดแ้ ก่ 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35 จำนวนนับทห่ี ำร 25 ได้ลงตัว ไดแ้ ก่ 1, 5 และ 25 และ 105 จำนวนนับท่ีหำร 26 ได้ลงตัว ได้แก่ 1, 2, 13 และ 26 ตัวหำรรว่ มของ 75 และ 105 ได้แก่ 1, 3, 5 และ 15 ตวั หำรร่วมของ 14, 25 และ 26 ไดแ้ ก่ 1 ตัวหำรรว่ มที่มำกทสี่ ดุ ของ 75 และ 105 คือ 15 ตัวหำรร่วมท่ีมำกที่สุดของ 14, 25 และ 26 คอื 1 ดงั นั้น ห.ร.ม. ของ 75 และ 105 คือ 15 ดงั น้ัน ห.ร.ม. ของ 14, 25 และ 26 คือ 1 ตอบ ๑๕ ตอบ ๑

30 31 6 35, 49 และ 56 พจิ ำรณำกำรหำ ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 60 สงั เกตไดว้ ำ่ 1.1 1.2 1.3 1.4 24 = 2 × 2 × 2 × 3 ห.ร.ม. ของ 27 และ 45 วธิ ที ำ จำนวนนบั ทีห่ ำร 35 ไดล้ งตัว ไดแ้ ก่ 1, 5, 7 และ 35 36 = 2 × 2 × 3 × 3 จะไมม่ ำกกวำ่ 27 จำนวนนบั ที่หำร 49 ไดล้ งตัว ไดแ้ ก่ 1, 7 และ 49 จำนวนนบั ที่หำร 56 ได้ลงตัว ได้แก่ 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 60 = 2 × 2 × 3 × 5 และ 56 ตวั หำรรว่ มของ 35, 49 และ 56 ได้แก่ 1 และ 7 พบว่ำ 2 × 2 × 3 เป็นตัวหำรร่วมทมี่ ำกทสี่ ุดของ 24, 36 และ 60 ตัวหำรรว่ มทม่ี ำกทส่ี ุดของ 35, 49 และ 56 คอื 7 ดงั นัน้ ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 60 คอื 2 × 2 × 3 = 12 ดงั น้ัน ห.ร.ม. ของ 35, 49 และ 56 คอื 7 ตอบ ๗ กำรหำ ห.ร.ม. โดยกำรแยกตวั ประกอบ พจิ ำรณำกำรหำ ห.ร.ม. ของ 27 และ 45 สงั เกตไดว้ ่ำ ตวั อยำ่ ง หำ ห.ร.ม. ของ 9, 21 และ 30 27 = 3 × 3 × 3 ห.ร.ม. ของ 27 และ 45 วิธีทำ 9 = 3 × 3 45 = 3 × 3 × 5 จะไม่มำกกว่ำ 27 21 = 3 × 7 พบวำ่ 3 × 3 เปน็ ตวั หำรรว่ มทม่ี ำกท่ีสดุ ของ 27 และ 45 30 = 2 × 3 × 5 ดงั นั้น ห.ร.ม. ของ 27 และ 45 คอื 3 × 3 = 9 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 9, 21 และ 30 คือ 3 ตอบ ๓

32 33 หำ ห.ร.ม. ของจำนวนทก่ี ำหนด 5 22, 38 และ 121 1.1 1.2 1.3 1.4 1 12 และ 20 2 32 และ 46 วิธีทำ 22 = 2 × 11 วธิ ีทำ 12 = 2 × 2 × 3 วธิ ีทำ 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 38 = 2 × 19 20 = 2 × 2 × 5 46 = 2 × 23 121 = 11 × 11 ดังน้นั ห.ร.ม. ของ 12 และ 20 ดังนน้ั ห.ร.ม. ของ 32 และ 46 ดงั นนั้ ห.ร.ม. ของ 22, 38 และ 121 คือ 2 × 2 = 4 คือ 2 คือ 1 ตอบ ๔ ตอบ ๒ ตอบ ๑ 3 42 และ 54 4 16, 40 และ 72 6 126, 144 และ 162 วิธีทำ 42 = 2 × 3 × 7 วธิ ีทำ 16 = 2 × 2 × 2 × 2 วธิ ที ำ 126 = 2 × 3 × 3 × 7 54 = 2 × 3 × 3 × 3 40 = 2 × 2 × 2 × 5 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 162 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 ดงั น้นั ห.ร.ม. ของ 42 และ 54 คือ 2 × 3 = 6 ดังน้ัน ห.ร.ม. ของ 16, 40 และ 72 ดงั นั้น ห.ร.ม. ของ 126, 144 และ 162 ตอบ ๖ คือ 2 × 2 × 2 = 8 คือ 2 × 3 × 3 = 18 ตอบ ๘ ตอบ ๑๘

34 35 1.1 1.2 1.3 1.4 กำรหำ ห.ร.ม. โดยกำรหำร ข้นั ที่ 3 หำตวั หำรรว่ มของ 4 และ 6 เชน่ 2 แลว้ นำมำหำรทงั้ สองจำนวน พจิ ำรณำกำรหำ ห.ร.ม. ของ 48 และ 72 ดังนี้ จะได้ ข้นั ที่ 1 หำตัวหำรร่วมของ 48 และ 72 เช่น 2 แล้วนำมำหำรท้ังสอง 2 48 72 จำนวน จะได้ 6 24 36 2 48 72 2 46 24 36 23 ข้นั ท่ี 2 หำตวั หำรรว่ มของ 24 และ 36 เช่น 6 แลว้ นำมำหำรท้งั สอง จำนวน จะได้ พบวำ่ ตัวหำรรว่ มของ 2 และ 3 คอื 1 จึงส้ินสดุ กำรหำร 2 48 72 ดังนั้น ตัวหำรรว่ มท่มี ำกท่ีสุดของ 48 และ 72 หำได้โดยนำตวั หำรรว่ ม 6 24 36 ทุกจำนวนคณู กัน จะได้ 2 × 6 × 2 = 24 46 แสดงว่ำ ห.ร.ม. ของ 48 และ 72 คอื 24 สังเกต เมอื่ นำ 24 ไปหำร 48 และ 72 จะได้ผลหำรเป็น 2 และ 3 ตำมลำดับ ซ่ึงจะเหน็ วำ่ ตัวหำรร่วมของ 2 และ 3 มีเพยี งจำนวนเดียว คอื 1 แสดงว่ำ 24 เป็น ห.ร.ม. ของ 48 และ 72

36 37 1.1 1.2 1.3 1.4 พิจำรณำกำรหำ ห.ร.ม. ของ 80, 96 และ 112 ดงั น้ี ขน้ั ที่ 3 หำตัวหำรรว่ มของ 10, 12 และ 14 เชน่ 2 แล้วนำมำหำรทง้ั สำม ขั้นที่ 1 หำตวั หำรรว่ มของ 80, 96 และ 112 เช่น 2 แล้วนำมำหำรทง้ั สำม จำนวน จะได้ จำนวน จะได้ 2 80 96 112 2 80 96 112 4 40 48 56 40 48 56 2 10 12 14 ข้นั ที่ 2 หำตวั หำรร่วมของ 40, 48 และ 56 เช่น 4 แล้วนำมำหำรท้ังสำม 56 7 จำนวน จะได้ พบวำ่ ตัวหำรร่วมของ 5, 6 และ 7 คือ 1 จงึ สน้ิ สุดกำรหำร 2 80 96 112 ดังนัน้ ตวั หำรรว่ มท่ีมำกทสี่ ดุ ของ 80, 96 และ 112 หำได้โดยนำตัวหำร 4 40 48 56 รว่ มทุกจำนวนคณู กัน จะได้ 2 × 4 × 2 = 16 10 12 14 แสดงวำ่ ห.ร.ม. ของ 80, 96 และ 112 คอื 16 สังเกต เม่ือนำ 16 ไปหำร 80, 96 และ 112 จะไดผ้ ลหำรเป็น 5, 6 และ 7 ตำมลำดับ ซ่งึ จะเห็นว่ำ ตัวหำรร่วมของ 5, 6 และ 7 มเี พยี งจำนวนเดยี ว คือ 1 แสดงวำ่ 16 เปน็ ห.ร.ม. ของ 80, 96 และ 112

38 3 50 และ 100 39 1.1 1.2 1.3 1.4 ตวั อยำ่ ง หำ ห.ร.ม. ของ 15, 45 และ 90 วิธีทำ 5 50 100 4 60, 120 และ 135 วิธที ำ 3 15 45 90 10 10 20 12 วิธที ำ 5 60 120 135 5 5 15 30 3 12 24 27 13 6 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 50 และ 100 489 คอื 5 × 10 = 50 ดงั นัน้ ห.ร.ม. ของ 15, 45 และ 90 คอื 3 × 5 = 15 ตอบ ๕๐ ดังนน้ั ห.ร.ม. ของ 60, 120 และ ตอบ ๓๕ 135 คอื 5 × 3 = 15 5 104, 117 และ 143 ตอบ ๑๕ หำ ห.ร.ม. ของจำนวนท่ีกำหนด 2 84 และ 98 วิธีทำ 13 104 117 143 6 168, 389 และ 210 1 18 และ 36 วิธีทำ 2 84 98 8 9 11 7 42 49 วธิ ที ำ เน่ืองจำก 389 เปน็ จำนวน วธิ ีทำ 9 18 36 67 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 104, 117 และ เฉพำะ ดังนน้ั ห.ร.ม. ของ 2 24 143 คอื 13 168, 389 และ 210 คอื 1 12 ตอบ ๑๓ ตอบ ๑ ดงั นนั้ ห.ร.ม. ของ 18 และ 36 ดังนน้ั ห.ร.ม. ของ 84 และ 98 คอื 9 × 2 = 18 คือ 2 × 7 = 14 ตอบ ๑๘ ตอบ ๑๔

40 ลองคดิ ดู 41 หำจำนวนนบั ท่มี ำกทส่ี ดุ ที่หำร 57, 85 และ 99 แลว้ เหลือเศษ 1 1. หำจำนวนนบั ท่ีมำกทีส่ ดุ ท่ีหำร 129, 150 และ 192 แล้วเหลือเศษ 3 1.1 1.2 1.3 1.4 จำกโจทย์ ต้องกำรหำจำนวนนบั ที่มำกท่ีสุดท่ีหำร 57, 85 และ 99 แล้ว เหลอื เศษ 1 วิธีทำ จำกโจทยต์ ้องกำรหำจำนวนนับทมี่ ำกทีส่ ดุ ทห่ี ำร 129, 150 และ แสดงวำ่ จำนวนนับนั้นหำร 57 – 1 = 56, 85 – 1 = 84 และ 99 – 1 = 192 แลว้ เหลอื เศษ 3 แสดงว่ำ ตอ้ งหำจำนวนนับทีม่ ำกทส่ี ุดที่หำร 126, 147 และ 189 98 ได้ลงตัว ไดล้ งตวั น่นั คอื หำ ห.ร.ม. ของ 56, 84 และ 98 ซงึ่ เทำ่ กบั 14 ซึ่ง 126 หำได้จำก 129 – 3 ดงั นัน้ จำนวนนบั ทมี่ ำกทส่ี ดุ ท่ีหำร 57, 85 และ 99 แลว้ เหลอื เศษ 1 คือ 147 หำได้จำก 150 – 3 189 หำไดจ้ ำก 192 – 3 14 ดังน้ัน ตอ้ งหำ ห.ร.ม. ของ 126, 147 และ 189 4 ตรวจสอบ 7 7 126 147 189 14 57 6 14 99 3 18 21 27 56 14 85 98 67 9 1 84 1 1 จะได้ ห.ร.ม. ของ 126, 147 และ 189 คือ 7 × 3 = 21 ดังนนั้ 57 ÷ 14 ดังนัน้ 99 ÷ 14 ดงั น้ัน จำนวนนับทมี่ ำกทส่ี ดุ ท่ีหำร 129, 150 และ 192 แลว้ เหลอื ได้ 4 เศษ 1 ดังน้ัน 85 ÷ 14 ได้ 7 เศษ 1 เศษ 3 คือ 21 ตอบ ๒๑ ได้ 6 เศษ 1

42 ตรวจสอบควำมเขำ้ ใจ 43 2. หำจำนวนนบั ท่มี ำกท่ีสุดทห่ี ำร 36, 72 และ 108 แลว้ เหลือเศษ 1, 2 วธิ หี ำ ห.ร.ม. ของจำนวนนับต่อไปนี้ ถกู ต้องหรอื ไม่ ถ้ำไมถ่ กู ตอ้ ง ใหแ้ กไ้ ข 1.1 1.2 1.3 1.4 และ 3 ตำมลำดับ 1 210 = 2 × 3 × 5 × 7 วธิ ที ำ จำกโจทย์ตอ้ งกำรหำจำนวนนบั ท่มี ำกทสี่ ดุ ทห่ี ำร 36, 72 และ 108 แลว้ เหลอื เศษ 1, 2 และ 3 ตำมลำดับ 140 = 2 × 2 × 5 × 7 แสดงว่ำ ตอ้ งหำจำนวนนบั ที่มำกทส่ี ดุ ทีห่ ำร 35, 70 และ 105 ไดล้ งตัว 280 = 2 × 2 × 2 × 5 × 7 ซึ่ง 35 หำได้จำก 36 – 1 ห.ร.ม. ของ 210, 140 และ 280 คือ 5 × 7 = 35 70 หำไดจ้ ำก 72 – 2 ไมถ่ กู ต้อง แกไ้ ขให้ถูกต้อง ดังนี้ 105 หำไดจ้ ำก 108 – 3 ห.ร.ม. ของ 210, 140 และ 280 คือ 2 × 5 × 7 = 70 ดงั นน้ั ต้องหำ ห.ร.ม. ของ 35, 70 และ 105 2 2 510 180 120 7 35 70 105 5 5 10 15 5 255 90 60 51 18 12 12 3 ห.ร.ม. ของ 510, 180 และ 120 คือ 2 × 5 = 10 จะได้ ห.ร.ม. ของ 35, 70 และ 105 คอื 7 × 5 = 35 ดังนั้น จำนวนนบั ท่ีมำกท่สี ดุ ท่ีหำร 36, 72 และ 108 แล้วเหลอื เศษ 1, ไม่ถูกต้อง แก้ไขใหถ้ กู ต้อง ดังน้ี 2 และ 3 ตำมลำดบั คอื 35 2 510 180 120 ตอบ ๓๕ 5 255 90 60 3 51 18 12 17 6 4 ห.ร.ม. ของ 510, 180 และ 120 คือ 2 × 5 × 3 = 30

44 45 1.1 1.2 1.3 1.4 ตรวจสอบควำมเขำ้ ใจ 3 ถำ้ ห.ร.ม. ของจำนวนนบั ตั้งแต่ 2 จำนวนข้ึนไป เทำ่ กับ 1 แลว้ ขอ้ ควำมตอ่ ไปน้ี ถกู ตอ้ งหรอื ไม่ เพรำะเหตใุ ด จำนวนนับเหล่ำน้นั จะเปน็ จำนวนเฉพำะ ไมถ่ กู ตอ้ ง เพรำะจำนวนนับตั้งแต่ 2 จำนวนขน้ึ ไปทมี่ ี ห.ร.ม. เป็น 1 1 จำนวนนับจำนวนหน่งึ ทีห่ ำรจำนวนนบั ต้งั แต่ 2 จำนวนขึน้ ไป ไดล้ งตวั อำจไม่เป็นจำนวนเฉพำะก็ได้ เชน่ 9, 16 และ 25 มี ห.ร.ม. เปน็ 1 ทกุ จำนวน จำนวนนับนั้นจะเป็น ห.ร.ม. ของจำนวนนับเหล่ำนัน้ ไม่ถกู ตอ้ ง เพรำะจำนวนนับทีห่ ำรจำนวนนับต้งั แต่ 2 จำนวนข้ึนไปได้ ลงตวั ทกุ จำนวนอำจไมใ่ ช่ ห.ร.ม. ของจำนวนนับเหล่ำนน้ั เชน่ 2 หำร 8, 12 และ 24 ไดล้ งตวั แต่ 2 ไม่ใชจ่ ำนวนนบั ท่ีมำกทสี่ ดุ ท่หี ำร 8, 12 และ 24 ได้ลงตัว ซึ่งจำนวนนับทม่ี ำกที่สุดทห่ี ำร 8, 12 และ 24 ไดล้ งตวั คือ 4 2 ห.ร.ม. ของจำนวนนบั ตงั้ แต่ 2 จำนวนขนึ้ ไป จะนอ้ ยกวำ่ หรือเท่ำกับ จำนวนนบั ทน่ี อ้ ยทส่ี ุดในบรรดำจำนวนนบั เหล่ำน้นั เสมอ ถกู ตอ้ ง เพรำะ ห.ร.ม. เป็นจำนวนนบั ทมี่ ำกท่ีสดุ ท่หี ำรจำนวน นบั ตั้งแต่ 2 จำนวนขน้ึ ไปได้ลงตัวทุกจำนวน ถำ้ ห.ร.ม. มำกกว่ำ จำนวนใดจำนวนหนึง่ ในบรรดำจำนวนนับเหลำ่ นัน้ แล้ว ห.ร.ม. จะ หำรจำนวนนับเหล่ำน้ันไมล่ งตัว

46 1.3 ผลคณู รว่ มท่ีนอ้ ยทส่ี ดุ (ค.ร.น.) 47 1.1 1.2 1.3 1.4 จำกตำรำงพบว่ำ กำรหำ ค.ร.น. โดยกำรหำผลคูณรว่ ม พิจำรณำสถำนกำรณต์ อ่ ไปนี้ ใบบัวออมเงนิ วนั ละ 4 บำท ทำใหจ้ ำนวนเงินออมทัง้ หมดในแตล่ ะวนั ของใบ บัวเปน็ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, ... บำท ใบบัวและตน้ กลำ้ เรม่ิ ออมเงนิ พรอ้ มกันและออมทุกวนั โดยใบบวั ออม ตำมลำดับ ซ่ึงจำนวนเหลำ่ นเี้ ป็นผลคณู ของ 4 หรือเป็นพหคุ ูณของ 4 แสดงวำ่ วนั ละ 4 บำท ตน้ กล้ำออมวนั ละ 6 บำท จำนวนเหล่ำนี้ 4 หำรไดล้ งตวั จำนวนเงนิ ออมท้งั หมดในแต่ละวนั ของใบบัวและต้นกลำ้ ต้นหลำ้ ออมเงินวันละ 6 บำท ทำใหจ้ ำนวนเงินออมท้ังหมดในแต่ละวันของ ต้นกล้ำเป็น 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, ... วันท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... บำท ตำมลำดับ ซ่ึงจำนวนเหลำ่ น้เี ปน็ ผลคูณของ 6 หรอื เปน็ พหคุ ูณของ 6 แสดง ว่ำ จำนวนเหลำ่ น้ี 6 หำรไดล้ งตวั เงิ น อ อ มข อ ง 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 ... จะเหน็ ไดว้ ำ่ ผลคณู ร่วมของ 4 และ 6 ได้แก่ 12, 24, 36, 48, 60, ... ใบบัว (บาท) และ ผลคณู รว่ มทนี่ อ้ ยทีส่ ดุ ของ 4 และ 6 คอื 12 เรียก 12 ว่ำผลคณู รว่ มท่นี ้อยทสี่ ดุ ของ 4 และ 6 เงิ น อ อ มข อ ง จำกสถำนกำรณ์ดงั กล่ำว จะได้วำ่ ต้นกล้า 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 ... จำนวนเงนิ ทนี่ อ้ ยที่สุดทีท่ ง้ั สองคน (บาท) ออมได้เทำ่ กนั คือ 12 บำท

48 49 1.1 1.2 1.3 1.4 • พหคุ ูณของจำนวนนับใด เปน็ ผลคูณของจำนวนนบั นนั้ ซง่ึ สำมำรถหำร ตวั อยำ่ งที่ 2 หำ ค.ร.น. ของ 6, 8 และ 12 ด้วยจำนวนนับน้ันไดล้ งตวั วิธีทำ จำนวนนบั ทเ่ี ป็นผลคณู ของ 6 ไดแ้ ก่ 6, 12, 18, 24, 30, 36, • ผลคูณรว่ มของจำนวนนับตงั้ แต่ 2 จำนวนขึ้นไป เปน็ จำนวนนับทห่ี ำรดว้ ย 42, 48, 54, 60, ... จำนวนนับเหล่ำน้ันได้ลงตวั จำนวนนับที่เป็นผลคณู ของ 8 ไดแ้ ก่ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ... • ผลคณู รว่ มที่นอ้ ยทสี่ ดุ ใช้อกั ษรยอ่ ค.ร.น. จำนวนนบั ทีเ่ ปน็ ผลคูณของ 12 ไดแ้ ก่ 12, 24, 36, 48, 60, ... • ค.ร.น. ของจำนวนนับต้ังแต่ 2 จำนวนขนึ้ ไป หมำยถึง จำนวนนับท่ีน้อย จำนวนนบั ท่ีเป็นผลคณู ร่วมของ 6, 8 และ 12 ไดแ้ ก่ 24, 48, ... ซง่ึ ผลคูณร่วมที่น้อยท่สี ุดของ 6, 8 และ 12 คือ 24 ทีส่ ดุ ท่ีหำรดว้ ยจำนวนนบั เหลำ่ นั้นไดล้ งตวั ดังน้ัน ค.ร.น. ของ 6, 8 และ 12 คือ 24 ตอบ ๒๔ ตวั อยำ่ งท่ี 1 หำ ค.ร.น. ของ 3 และ 5 วิธีทำ จำนวนนับทีเ่ ป็นผลคณู ของ 3 ได้แก่ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ... จำนวนนับที่เป็นผลคณู ของ 5 ไดแ้ ก่ 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ... จำนวนนับที่เป็นผลคณู รว่ มของ 3 และ 5 ได้แก่ 15, 30, ... ซงึ่ ผลคณู รว่ มทนี่ อ้ ยทีส่ ุดของ 3 และ 5 คอื 15 ดงั น้ัน ค.ร.น. ของ 3 และ 5 คอื 15 ตอบ ๑๕

50 หำ ค.ร.น. ของจำนวนที่กำหนด 5 10, 24 และ 40 51 1 18 และ 27 วธิ ีทำ จำนวนนบั ทีเ่ ปน็ ผลคณู ของ 10 ได้แก่ 10, 20, 30, 40, 50, 60, 1.1 1.2 1.3 1.4 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, วธิ ีทำ จำนวนนบั ที่เปน็ ผลคณู ของ 18 ไดแ้ ก่ 18, 36, 54, 72, 90, 108, ... 190, 200, 210, 220, 230, 240, ... จำนวนนับท่ีเปน็ ผลคณู ของ 27 ไดแ้ ก่ 27, 54, 81, 108, ... จำนวนนบั ทีเ่ ป็นผลคูณของ 24 ไดแ้ ก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, จำนวนนบั ที่เปน็ ผลคูณรว่ มของ 18 และ 27 ได้แก่ 54, 108, ... 168, 192, 216, 240, ... ซ่ึงผลคณู รว่ มท่นี ้อยทส่ี ุดของ 18 และ 27 คือ 54 จำนวนนบั ที่เป็นผลคณู ของ 40 ได้แก่ 40, 80, 120, 160, 200, ดังนัน้ ค.ร.น. ของ 18 และ 27 คือ 54 240, ... จำนวนนับที่เปน็ ผลคณู ร่วมของ 10, 24 และ 40 ไดแ้ ก่ 120, 240, ตอบ ๕๔ ... ซงึ่ ผลคณู ร่วมท่นี อ้ ยทส่ี ดุ ของ 10, 24 และ 40 คือ 120 2 4, 9 และ 12 ดังนัน้ ค.ร.น. ของ 10, 24 และ 40 คือ 120 วิธที ำ จำนวนนบั ท่เี ป็นผลคณู ของ 4 ได้แก่ 4, 8, 12, 16, 24, 28, 32, 36, ตอบ ๑๒๐ 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, ... จำนวนนบั ท่เี ปน็ ผลคณู ของ 9 ไดแ้ ก่ 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, ... จำนวนนับทเี่ ปน็ ผลคณู ของ 12 ได้แก่ 12, 24, 36, 48, 60, 72, ... จำนวนนับท่ีเป็นผลคูณร่วมของ 4, 9 และ 12 ได้แก่ 36, 72, ... ซึง่ ผลคูณร่วมทีน่ ้อยท่สี ุดของ 4, 9 และ 12 คือ 36 ดงั นั้น ค.ร.น. ของ 4, 9 และ 12 คอื 36 ตอบ ๓๖

52 หรอื อำจสงั เกตกำรหำ ค.ร.น. ของ 24 และ 32 จำกกำรแยกตวั ประกอบ 53 กำรหำ ค.ร.น. โดยกำรแยกตวั ประกอบ ดงั น้ี พิจำรณำกำรหำ ค.ร.น. ของ 24 และ 32 24 = 2 × 2 × 2 × 3 1.1 1.2 1.3 1.4 24 = 2 × 2 × 2 × 3 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ดงั นนั้ ค.ร.น. ของ 24 และ 32 คือ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 96 พบวำ่ ผลคูณของ 2 × 2 × 2 × 3 เป็นจำนวนนับทน่ี อ้ ยทสี่ ดุ ทหี่ ำรด้วย 24 ได้ลงตัว พจิ ำรณำกำรหำ ค.ร.น. ของ 18, 30 และ 36 และผลคูณของ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 เป็นจำนวนนับทน่ี อ้ ยท่ีสดุ ท่หี ำรดว้ ย 32 18 = 2 × 3 × 3 ไดล้ งตัว 30 = 2 × 3 × 5 จะไดว้ ่ำ หำรด้วย 24 ไดล้ งตัว 36 = 2 × 2 × 3 × 3 ผลคณู ของ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 เปน็ จำนวนนบั ทน่ี อ้ ยทส่ี ุดท่หี ำรดว้ ย 24 พบวำ่ หำรด้วย 32 ไดล้ งตัว และ 32 ไดล้ งตัว ผลคณู ของ 2 × 3 × 3 เปน็ จำนวนนับท่ีน้อยทสี่ ดุ ท่ีหำรด้วย 18 ได้ลงตัว ดังนั้น ค.ร.น. ของ 24 และ 32 คอื 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 96 ผลคูณของ 2 × 2 × 5 เป็นจำนวนนบั ทีน่ อ้ ยทสี่ ดุ ท่หี ำรดว้ ย 30 ไดล้ งตวั และผลคูณของ 2 × 2 × 3 × 3 เป็นจำนวนนบั ท่นี อ้ ยที่สดุ ทห่ี ำรด้วย 36 ได้ลงตัว สังเกตไดว้ ำ่ ค.ร.น. ของ 24 และ 32 จะได้ จะได้ว่ำ ไมน่ อ้ ยกวำ่ 32 หำรด้วย 36 ได้ลงตัว ผลคูณของ 2 × 2 × 3 × 3 × 5 เปน็ จำนวนนบั ที่นอ้ ยท่ีสดุ ท่ีหำรด้วย 18, 30 หำรด้วย 18 ได้ลงตัว หำรด้วย 30 ไดล้ งตัว และ 36 ได้ลงตวั ดังนัน้ ค.ร.น. ของ 18, 30 และ 36 คือ 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180

54 55 1.1 1.2 1.3 1.4 หรอื อำจสังเกตกำรหำ ค.ร.น. ของ 18, 30 และ 36 จำกกำรแยกตัว ตัวอยำ่ งท่ี 2 หำ ค.ร.น. ของ 12, 18 และ 24 ประกอบ ดังนี้ วธิ ที ำ 12 = 2 × 2 × 3 18 = 2 × 3 × 3 18 = 2 × 3 × 3 30 = 2 × 3 × 5 24 = 2 × 2 × 2 × 3 36 = 2 × 2 × 3 × 3 ดังนัน้ ค.ร.น. ของ 12, 18 และ 24 คือ 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72 ดงั น้นั ค.ร.น. ของ 18, 30 และ 36 คือ 2 × 3 × 3 × 2 × 5 = 180 ตอบ ๗๒ ตวั อยำ่ งท่ี 1 หำ ค.ร.น. ของ 15 และ 28 สังเกต 12 = 2 × 2 × 3 วธิ ที ำ 15 = 3 × 5 18 = 2 × 3 × 3 24 = 2 × 2 × 2 × 3 28 = 2 × 2 × 7 ดังนน้ั ค.ร.น. ของ 15 และ 28 คือ 2 × 2 × 7 × 3 × 5 = 420 และ ค.ร.น. ของ 12, 18 และ 24 ตอบ ๔๒๐ คือ 2 × 3 × 2 × 2 × 3 = 72

56 57 หำ ค.ร.น. ของจำนวนท่ีกำหนด 5 21, 42 และ 50 1.1 1.2 1.3 1.4 1 48 และ 56 2 12, 16 และ 32 วธิ ที ำ 21 = 3 × 7 วธิ ีทำ 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 วิธที ำ 12 = 2 × 2 × 3 42 = 2 × 3 × 7 56 = 2 × 2 × 2 × 7 16 = 2 × 2 × 2 × 2 50 = 2 × 5 × 5 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ดังนนั้ ค.ร.น. ของ 48 และ 56 คือ ดงั นั้น ค.ร.น. ของ 21, 42 และ 50 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 = 336 ดงั นน้ั ค.ร.น. ของ 12, 16 และ 32 คือ คอื 2 × 3 × 5 × 5 × 7 = 1,050 ตอบ ๓๓๖ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 96 ตอบ ๑,๐๕๐ ตอบ ๙๖ 3 15, 25 และ 30 6 36, 90 และ 100 4 18, 72 และ 45 วิธีทำ 15 = 3 × 5 วธิ ที ำ 36 = 2 × 2 × 3 × 3 25 = 5 × 5 วธิ ที ำ 18 = 2 × 3 × 3 90 = 2 × 3 × 3 × 5 30 = 2 × 3 × 5 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 120= 2 × 2 × 5 × 5 45 = 3 × 3 × 5 ดงั นน้ั ค.ร.น. ของ 15, 25 และ 30 ดงั นั้น ค.ร.น. ของ 36, 90 และ 100 คอื คือ 2 × 3 × 5 × 5 = 150 ดังนั้น ค.ร.น. ของ 18, 72 และ 45 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 = 900 ตอบ ๑๕๐ คอื 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 360 ตอบ ๙๐๐ ตอบ ๓๖๐

58 กำรหำ ค.ร.น. โดยกำรหำร พบวำ่ 2 และ 3 ไมม่ ีตวั หำรร่วมนอกจำก 1 จงึ สน้ิ สุดกำรหำร 59 พจิ ำรณำกำรหำ ค.ร.น. ของ 54 และ 81 ดงั นี้ ดังน้ัน ผลคณู รว่ มที่นอ้ ยท่ีสดุ ของ 54 และ 81 หำไดโ้ ดย นำตวั หำรและ 1.1 1.2 1.3 1.4 ขั้นท่ี 1 หำจำนวนนับท่ีหำร 54 และ 81 ได้ลงตวั เช่น 3 แลว้ นำมำหำรท้ัง สองจำนวน จะได้ ผลหำรของทกุ จำนวนมำคูณกัน 3 54 81 แสดงว่ำ ค.ร.น. ของ 54 และ 81 คอื 3 × 3 × 3 × 2 × 3 = 162 18 27 หรือ อำจนำ 9 หำร 54 และ 81 ไดด้ ังนี้ ขน้ั ที่ 2 หำจำนวนนับที่หำร 18 และ 27 ไดล้ งตวั เชน่ 3 แลว้ นำมำหำรทั้ง สองจำนวน จะได้ 9 54 81 69 3 54 81 3 18 27 จำกนั้นนำ 3 หำร 6 และ 9 ไดด้ งั นี้ 69 9 54 81 3 69 ขั้นท่ี 3 หำจำนวนนบั ที่หำร 6 และ 9 ได้ลงตัว เช่น 3 แลว้ นำมำหำรทง้ั สองจำนวน จะได้ 23 แสดงว่ำ ค.ร.น. ของ 54 และ 81 คือ 3 54 81 9 × 3 × 2 × 3 = 162 3 18 27 3 69 สงั เกต เมอื่ นำ 54 และ 81 ไปหำร 162 จะได้ผลหำรเปน็ 3 และ 2 ตำมลำดับ 23 ซึง่ จะเหน็ ว่ำ ตัวหำรร่วมของ 3 และ 2 มี 1 เพียงจำนวนเดยี ว แสดงวำ่ 162 เปน็ ค.ร.น. ของ 54 และ 81

60 61 1.1 1.2 1.3 1.4 พจิ ำรณำกำรหำ ค.ร.น. ของ 60, 96 และ 48 ดงั น้ี ขน้ั ท่ี 3 หำจำนวนนับที่หำร 5, 8 และ 4 ไดล้ งตวั ทงั้ สำมจำนวน พบว่ำไม่ ขนั้ ท่ี 1 หำจำนวนนับทีห่ ำร 60, 96 และ 48 ไดล้ งตัว เชน่ 6 แลว้ นำมำ มจี ำนวนนบั ใดทมี่ ำกกว่ำ 1 ที่หำร 5, 8 และ 4 ได้ลงตัว จึงตอ้ งหำ หำรท้ังสำมจำนวน จะได้ จำนวนนบั ท่ีหำร 5, 8 และ 4 ได้ลงตัว อย่ำงน้อย 2 จำนวน เชน่ 4 แล้วนำมำหำร จะได้ 6 60 96 48 10 16 8 6 60 96 48 เน่อื งจำก 4 หำร 5 ไม่ลง 2 10 16 8 ตวั ใหเ้ ขยี น 5 ไว้เช่นเดมิ ขั้นท่ี 2 หำจำนวนนับที่หำร 10, 16 และ 8 ไดล้ งตัว เชน่ 2 แลว้ นำมำหำร 4 58 4 ทง้ั สำมจำนวน จะได้ 52 1 6 60 96 48 2 10 16 8 พบว่ำ 5, 2 และ 1 นน้ั ไมม่ ตี วั หำรร่วมของ 2 จำนวนใดนอกจำก 1 จงึ สิ้นสุด กำรหำร 58 4 ดังนัน้ ผลคูณร่วมทน่ี อ้ ยท่ีสุดของ 60, 96 และ 48 หำได้โดย นำตวั หำรและ ผลหำรของทกุ จำนวนมำคณู กัน แสดงว่ำ ค.ร.น. ของ 60, 96 และ 48 คอื 6 × 2 × 4 × 5 × 2 × 1 = 480 สงั เกต เมอ่ื นำ 60, 96 และ 48 ไปหำร 480 จะได้ผลหำรเป็น 8, 5 และ 10 ตำมลำดบั ซ่ึงจะเหน็ ว่ำ ตัวหำรรว่ มของ 8, 5 และ 10 มี 1 เพียงจำนวนเดยี ว แสดงวำ่ 480 เป็น ค.ร.น. ของ 60, 96 และ 48

62 หำ ค.ร.น. ของจำนวนท่กี ำหนด 63 ตวั อยำ่ งท่ี 1 หำ ค.ร.น. ของ 8 และ 20 1 10 และ 97 1.1 1.2 1.3 1.4 วิธีทำ 4 8 20 วธิ ที ำ มี 1 เพียงจำนวนเดยี วท่หี ำร 10 25 และ 97 ได้ลงตัว ดังน้ัน ค.ร.น. ของ 8 และ 20 คอื 4 × 2 × 5 = 40 ดังนั้น ค.ร.น. ของ 10 และ 97 ตอบ ๔๐ คือ 10 × 97 = 970 ตัวอยำ่ งที่ 2 หำ ค.ร.น. ของ 9, 25 และ 45 ตอบ ๙๗๐ วิธีทำ 9 9 25 45 2 28, 70 และ 49 5 1 25 5 15 1 วธิ ีทำ 7 28 70 49 2 4 10 7 ดังนนั้ ค.ร.น. ของ 9, 25 และ 45 คอื 257 9 × 5 × 1 × 5 × 1 = 225 ดังน้ัน ค.ร.น. ของ 28, 70 และ 49 ตอบ ๒๒๕ คือ 7 × 2 × 2 × 5 × 7 = 980 ตอบ ๙๘๐

64 5 30, 40 และ 60 65 3 16, 64 และ 40 วธิ ีทำ 10 30 40 60 1.1 1.2 1.3 1.4 33 46 วธิ ที ำ 8 16 64 40 2142 22 8 5 121 145 ดังนั้น ค.ร.น. ของ 30, 40 และ 60 ดังนน้ั ค.ร.น. ของ 16, 64 และ 40 คือ 10 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 120 คือ 8 × 2 × 1 × 4 × 5 = 320 ตอบ ๑๒๐ ตอบ ๓๒๐ 6 44, 66 และ 132 4 18, 42 และ 54 วิธที ำ 11 44 66 132 วิธที ำ 6 18 42 54 2 4 6 12 33 79 22 3 6 1 73 3133 111 ดังน้ัน ค.ร.น. ของ 18, 42 และ 54 คือ 6 × 3 × 1 × 7 × 3 = 378 ดังนน้ั ค.ร.น. ของ 44, 66 และ 132 ตอบ ๓๗๘ คือ 11 × 2 × 2 × 3 × 1 × 1 × 1 = 132 ตอบ ๑๓๒

66 กจิ กรรมหำควำมสมั พนั ธร์ ะหวำ่ ง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำนวนนับ 2 67 จำนวน หำจำนวนนบั ทน่ี อ้ ยท่ีสุดทหี่ ำร 10, 15 และ 20 แลว้ เหลือเศษ 4 เติมคำตอบในตำรำง 1.1 1.2 1.3 1.4 จำกโจทย์ ตอ้ งกำรหำจำนวนนบั ทน่ี ้อยทีส่ ดุ ท่หี ำร 10, 15 และ 20 แล้ว เหลือเศษ 4 จำนวนท่กี ำหนด ห.ร.ม. ค.ร.น. ผลคูณของ ห.ร.ม. ผลคณู ของจำนวน แสดงวำ่ ต้องหำจำนวนนบั ที่นอ้ ยทส่ี ุดทีห่ ำรดว้ ย 10, 15 และ 20 ได้ลงตวั กบั ค.ร.น. ทกี่ ำหนด กอ่ น 4 และ 6 2 12 24 24 นนั่ คอื หำ ค.ร.น. ของ 10, 15 และ 20 ซง่ึ เทำ่ กบั 60 8 และ 12 4 24 96 96 ดงั นนั้ จำนวนนับท่ีน้อยท่สี ดุ ที่หำรด้วย 10, 15 และ 20 แลว้ เหลอื เศษ 4 9 และ 10 1 90 90 90 3 90 270 270 คอื 60 ÷ 4 = 64 15 และ 18 5 100 500 500 6 ตรวจสอบ 3 25 และ 20 10 64 4 20 64 จำกตำรำงใหส้ งั เกต ผลคณู ของ ห.ร.ม. และ 60 15 64 60 ค.ร.น. และผลคณู ของจำนวนท่ีกำหนด 4 60 4 4 ดังน้นั 64 ÷ 10 ดงั น้นั 64 ÷ 20 ได้ 6 เศษ 4 ดังน้นั 64 ÷ 15 ได้ 3 เศษ 4 ได้ 4 เศษ 4 เมือ่ กำหนดจำนวนนับ 2 จำนวน จะพบวำ่ ผลคูณของ ห.ร.ม. กับ ค.ร.น. จะ เทำ่ กบั ผลคูณของ 2 จำนวนน้ัน

68 69 1.1 1.2 1.3 1.4 แสดงวธิ ีหำคำตอบ 2 จำนวนนบั 2 จำนวน ถำ้ จำนวนหน่งึ เปน็ 12 และผลคูณของ ห.ร.ม. 1 ถำ้ ค.ร.น. ของ 40 กบั จำนวนนับอีกจำนวนหนึง่ เปน็ 40 และ ห.ร.ม. กบั ค.ร.น. ของ 2 จำนวนนเ้ี ปน็ 360 จำนวนนบั อีกจำนวนหน่งึ คือ จำนวนใด ของ 2 จำนวนน้ีเปน็ 20 จำนวนนับอกี จำนวนหนง่ึ คอื จำนวนใด วิธีทำ จำกควำมสัมพันธร์ ะหว่ำง ห.ร.ม. กบั ค.ร.น. ของจำนวนนับ 2 จำนวน วธิ ที ำ จำกควำมสัมพันธ์ระหว่ำง ห.ร.ม. กบั ค.ร.น. ของจำนวนนบั 2 จะได้ 360 = 12 ×  จำนวน  = 360 ÷ 12 จะได้ 40 × 20 = 40 ×   = 30 ดังนัน้ จำนวนนบั อกี จำนวนหนึง่ คอื 30 800 = 40 ×  ตอบ ๓๐  = 800 ÷ 40  = 20 3 ถ้ำ ห.ร.ม. ของจำนวนนับ 2 จำนวนเปน็ 7 และผลคณู ของ 2 จำนวน ดงั นัน้ จำนวนนบั อีกจำนวนหนงึ่ คือ 20 ตอบ ๒๐ นน้ั เป็น 980 ค.ร.น. ของ 2 จำนวนนเี้ ป็นเท่ำใด วธิ ีทำ จำกควำมสมั พันธ์ระหว่ำง ห.ร.ม. กับ ค.ร.น. ของจำนวนนบั 2 จำนวน จะได้ 7 ×  = 980  = 980 ÷ 7  = 140 ดงั นั้น ค.ร.น. ของจำนวนนับ 2 จำนวนน้ี คอื 140 ตอบ ๑๔๐ หมำยเหตุ จำนวนนบั 2 จำนวน ได้แก่ 7 กบั 140 และ 28 กับ 35

70 ส่ิงที่ไดเ้ รียนรู้ 71 ตรวจสอบควำมเขำ้ ใจ ขอ้ ควำมตอ่ ไปนี้ ถกู ต้องหรอื ไม่ เพรำะเหตใุ ด 1.1 1.2 1.3 1.4 วิธหี ำ ค.ร.น. ของจำนวนนับตอ่ ไปนี้ ถูกต้องหรอื ไม่ ถำ้ ไมถ่ ูกตอ้ ง ให้แกไ้ ข 1 ค.ร.น. ของจำนวนนับตัง้ แต่ 2 จำนวนข้นึ ไป จะมำกกว่ำหรือเท่ำกบั 1 40 = 2 × 2 × 2 × 5 จำนวนนบั ท่ีมำกท่ีสุดในบรรดำจำนวนนบั เหล่ำนน้ั เสมอ ไม่ถูกตอ้ ง เพรำะ ค.ร.น. เป็นจำนวนนบั ที่น้อยทส่ี ดุ ทห่ี ำรด้วยจำนวนนบั ต้ังแต่ 90 = 2 × 3 × 3 × 5 105 = 3 × 5 × 7 2 จำนวนขนึ้ ไปไดล้ งตัว ถำ้ ค.ร.น. นอ้ ยกวำ่ จำนวนใดจำนวนหนง่ึ ในบรรดำ ค.ร.น. ของ 40, 90 และ 105 คอื 5 × 2 × 3 × 2 × 3 × 7 = 1,260 ไม่ถกู ตอ้ ง แกไ้ ขให้ถูกตอ้ ง ดังนี้ จำนวนนับเหลำ่ น้ัน จะไม่สำมำรถหำรดว้ ยจำนวนนบั เหลำ่ น้นั ได้ลงตัว ค.ร.น. ของ 40, 90 และ 105 คือ 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7 = 2,520 2 168 เป็นจำนวนนบั ที่น้อยทสี่ ดุ ทหี่ ำรดว้ ย 28, 42 และ 84 ได้ลงตัว 2 2 24 56 48 ไม่ถกู ต้อง เพรำะจำนวนนับท่นี อ้ ยที่สุดทหี่ ำรด้วย 28, 42 และ 84 ได้ลงตวั 6 12 28 24 คอื 84 4 2 28 4 3 ถ้ำ ห.ร.ม. ของจำนวนนบั 2 จำนวนเป็น 1 แล้ว ค.ร.น. จะเทำ่ กบั ผล 271 ค.ร.น. ของ 24, 56 และ 48 คอื 2 × 6 × 4 × 2 × 7 × 1 = 672 คูณของจำนวนนบั 2 จำนวนนนั้ ไมถ่ กู ต้อง แกไ้ ขใหถ้ ูกตอ้ ง ดังน้ี ถูกตอ้ ง เพรำะจำกควำมสัมพันธ์ระหว่ำง ห.ร.ม. กับ ค.ร.น. ของจำนวนนับ 2 จำนวน จะได้ 2 24 56 48 4 12 28 24 ห.ร.ม. × ค.ร.น. = ผลคูณของจำนวนนบั 2 จำนวน 3 3 76 1 × ค.ร.น. = ผลคูณของจำนวนนับ 2 จำนวน ค.ร.น. = ผลคูณของจำนวนนบั 2 จำนวน 172 ดงั นั้น ถำ้ จำนวนนบั 2 จำนวนมี ห.ร.ม. เป็น 1 แล้ว ค.ร.น. จะเทำ่ กับผลคูณ ค.ร.น. ของ 24, 56 และ 48 คือ 2 × 4 × 3 × 1 × 7 × 2 = 336 ของ 2 จำนวนน้ัน

72 1.4 โจทยป์ ญั หำ 73 1.1 1.2 1.3 1.4 พจิ ำรณำสถำนกำรณ์ตอ่ ไปนี้ จะหำจำนวนโดนัทที่มำกทส่ี ดุ ท่บี รรจใุ นแต่ละกลอ่ ง โดยแต่ละกลอ่ ง เปน็ โดนัทหน้ำเดยี วกนั ต้องรอู้ ะไรกอ่ น อุม้ รักโดนัทหนำ้ ช็อกโกแลต 42 ชนิ้ หน้ำสตรอวเ์ บอรร์ ี 36 ชิ้นและ หนำ้ มะพรำ้ ว 30 ชิ้น นำโดนทั ทั้งหมดมำบรรจุกล่อง กล่องละเท่ำๆ ต้องรู้จำนวนโดนัททีบ่ รรจกุ ลอ่ ง กล่องละเทำ่ ๆ กนั กนั โดยแต่ละกลอ่ งเปน็ โดนัทหน้ำเดียวกนั อ้มุ จะบรรจไุ ดม้ ำกทีส่ ุด กลอ่ งละกีช่ น้ิ และได้กีก่ ล่อง จะบรรจโุ ดนทั หน้ำชอ็ กโกแลตกล่องละเท่ำๆ กัน ได้กลอ่ งละกชี่ ิ้นบำ้ ง คิดไดอ้ ยำ่ งไร สง่ิ ทโ่ี จทยถ์ ำม จำนวนโดนัทท่มี ำกทสี่ ดุ ที่บรรจใุ นแตล่ ะกล่อง และจำนวนกลอ่ งที่บรรจุ จะบรรจโุ ดนัทหนำ้ ช็อกโกแลตได้กล่องละ 1 ชิ้น 2 ชิ้น 3 ชิ้น 6 ชิ้น โดนัท 7 ชิ้น 14 ชิ้น 21 ชน้ิ และ 42 ชนิ้ คดิ ได้โดยหำจำนวนนับทห่ี ำร 42 ไดล้ งตวั ซ่ึงได้แก่ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 และ 42 สงิ่ ทโี่ จทยบ์ อก อุ้มรกั โดนัทหน้ำช็อกโกแลต 42 ชน้ิ หนำ้ สตรอวเ์ บอร์รี 36 ช้นิ และหน้ำ จะบรรจโุ ดนัทหน้ำสตรอวเ์ บอรร์ กี ลอ่ งละเทำ่ ๆ กัน ได้กลอ่ งละกชี่ นิ้ มะพร้ำว 30 ชนิ้ นำโดนทั ท้งั หมดมำบรรจกุ ล่อง กลอ่ งละเท่ำๆ กัน โดย บ้ำง คิดไดอ้ ยำ่ งไร แต่ละกลอ่ งเป็นโดนัทหน้ำเดยี วกนั จะบรรจโุ ดนัทหนำ้ สตรอวเ์ บอร์รีไดก้ ลอ่ งละ 1 ชิ้น 2 ชิ้น 3 ชิ้น 4 ชิ้น 6 ชิ้น 9 ชิ้น 12 ชิ้น 18 ชน้ิ และ 36 ชน้ิ คิดไดโ้ ดยหำจำนวน นับท่หี ำร 36 ไดล้ งตัว ซงึ่ ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 และ 36

74 75 จะบรรจโุ ดนัทหน้ำมะพรำ้ วกลอ่ งละเทำ่ ๆ กัน ได้กลอ่ งละกชี่ น้ิ บำ้ ง คิด ได้อยำ่ งไร สรปุ คำตอบวำ่ อยำ่ งไร 1.1 1.2 1.3 1.4 อมุ้ จะบรรจโุ ดนทั ไดม้ ำกที่สุดกลอ่ งละ 6 ชนิ้ ไดท้ ั้งหมด 18 กล่อง จะบรรจุโดนทั หน้ำมะพร้ำวไดก้ ล่องละ 1 ชิ้น 2 ชิ้น 3 ชิ้น 5 ชิ้น 6 ชิ้น 10 ชิ้น 15 ชิ้น และ 30 ชน้ิ คดิ ไดโ้ ดยหำจำนวนนับทหี่ ำร 30 ตรวจสอบไดอ้ ย่ำงไรวำ่ 6 ชิ้น และ 18 กลอ่ ง เปน็ คำตอบทถี่ ูกตอ้ ง ไดล้ งตัว ซ่ึงได้แก่ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 และ 30 ต้องหำว่ำ 6 เปน็ ห.ร.ม. ของ 42, 36 และ 30 จริงหรือไม่ ดังนนั้ อมุ้ จะบรรจุโดนทั ได้มำกทสี่ ุดกล่องละ 6 ชิ้น ซ่งึ 42 ÷ 6 = 7 36 ÷ 6 = 6 30 ÷ 6 = 5 โดยแต่ละกล่องเปน็ โดนัทหน้ำเดียวกัน ซ่งึ 6 เป็น จะเห็นว่ำ ตวั หำรรว่ มของ 7, 6 และ 5 มีเพียงจำนวนเดยี ว คือ 1 ห.ร.ม. ของ 42, 36 และ 30 จะไดว้ ำ่ 6 เป็น ห.ร.ม. ของ 42, 36 และ 30 จรงิ แสดงวำ่ บรรจุโดนัทไดม้ ำกทีส่ ดุ กล่องละ 6 ชิ้น จะหำจำนวนกลอ่ งทีบ่ รรจโุ ดนัทท้ังหมดไดอ้ ยำ่ งไร และไดค้ ำตอบเทำ่ ใด และตอ้ งหำว่ำถำ้ บรรจโุ ดนทั ได้ 18 กลอ่ ง กลอ่ งละ 6 ชน้ิ จะมโี ดนทั ท้ังหมดก่ชี ิ้น ตอ้ งนำจำนวนโดนทั แต่ละหนำ้ หำรด้วยจำนวนโดนทั ทีบ่ รรจุในแต่ จะได้ว่ำ มโี ดนทั ทั้งหมด 18 × 6 = 108 ชิ้น ซง่ึ เปน็ หน้ำมะพรำ้ ว 30 ชิ้น ละกลอ่ ง หนำ้ สตรอวเ์ บอรร์ ี 36 ช้ิน ดงั นน้ั เปน็ หนำ้ ช็อกโกแลต แสดงว่ำ มีโดนทั หนำ้ ช็อกโกแลต 42 ÷ 6 = 7 กล่อง 108 – (30 + 36) = 42 ชิน้ พบวำ่ สอดคล้องกับโจทย์ แสดงวำ่ 6 ชิน้ และ 18 กลอ่ ง เปน็ คำตอบท่ถี ูกต้อง โดนัทหนำ้ สตรอวเ์ บอร์รี 36 ÷ 6 = 6 กลอ่ ง โดนทั หน้ำมะพรำ้ ว 30 ÷ 6 = 5 กลอ่ ง ดงั นนั้ อมุ้ บรรจโุ ดนัทไดท้ ั้งหมด 7 + 6 + 5 = 18 กลอ่ ง

76 77 1.1 1.2 1.3 1.4 พจิ ำรณำสถำนกำรณ์ตอ่ ไปน้ี จะหำปี พ.ศ. ทโ่ี รงเรยี นจะปรบั ปรงุ ทกุ รำยกำรพรอ้ มกนั เป็นครงั้ ท่ี 2 โรงเรยี นแหง่ หนึ่ง มีแผนปรบั ปรุงสภำพแวดล้อมภำยในโรงเรยี น ดงั นี้ ต้องรอู้ ะไรกอ่ น ปรบั ปรงุ ห้องเรยี นทุกๆ 2 ปี ทำสอี ำคำรใหมท่ กุ ๆ 6 ปี และซอ่ มบำรงุ ตอ้ งรจู้ ำนวนปีทจ่ี ะปรบั ปรุงทกุ รำยกำรพร้อมกันเปน็ ครง้ั ท่ี 2 แลว้ ทำงเดินเทำ้ ทกุ ๆ 4 ปี โดยเรม่ิ ดำเนนิ กำรตำมแผนทุกรำยกำรครั้งแรก เทยี บจำนวนปีทไี่ ด้ ให้เป็นปี พ.ศ. ในปี พ.ศ. 2560 โรงเรยี นแหง่ น้ีจะดำเนินกำรตำมแผนทวี่ ำงไว้ทุก รำยกำรพรอ้ มกันเป็นครัง้ ที่ 2 ในปี พ.ศ. ใด จะปรบั ปรงุ หอ้ งเรยี นในปีทเี่ ทำ่ ใดบำ้ ง เนื่องจำกปรับปรุงห้องเรยี นทกุ ๆ 2 ปี แสดงว่ำจะปรบั ปรุง สง่ิ ทีโ่ จทยถ์ ำม ห้องเรียนในปีที่ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... ซ่งึ เปน็ จำนวนนบั ปี พ.ศ. ทโ่ี รงเรียนจะปรบั ปรุงสภำพแวดลอ้ มภำยในทุกรำยกำรพรอ้ ม ทห่ี ำรด้วย 2 ได้ลงตัว กันเป็นครง้ั ท่ี 2 จะทำสอี ำคำรใหมใ่ นปที เ่ี ทำ่ ใดบำ้ ง สงิ่ ท่ีโจทยบ์ อก เนอื่ งจำกทำสีอำคำรใหมท่ กุ ๆ 6 ปี แสดงวำ่ จะทำสีอำคำรใหม่ในปี โรงเรยี นปรบั ปรุงหอ้ งเรียนทกุ ๆ 2 ปี ทำสอี ำคำรใหมท่ กุ ๆ 6 ปี และ ที่ 6, 12, 18, 24, ... ซ่งึ เป็นจำนวนนับท่หี ำรด้วย 6 ได้ลงตวั ซ่อมบำรงุ ทำงเดินเท้ำทุกๆ 4 ปี โดยเรมิ่ ดำเนินกำรพรอ้ มกันในปี พ.ศ. 2560

78 79 1.1 1.2 1.3 1.4 จะซอ่ มบำรงุ ทำงเดนิ เท้ำในปที เ่ี ทำ่ ใดบำ้ ง เนอ่ื งจำกซ่อมบำรงุ ทำงเดินเทำ้ ทกุ ๆ 4 ปี แสดงว่ำจะซอ่ มบำรุง ตรวจสอบไดอ้ ย่ำงไรวำ่ พ.ศ. 2572 เป็นคำตอบทถี่ กู ตอ้ ง ทำงเดินเทำ้ ในปที ่ี 4, 8, 12, 16, 20, ... ซ่งึ เป็นจำนวนนบั ท่ีหำรดว้ ย 4 ได้ลงตวั ตอ้ งหำวำ่ จำนวนปที ่จี ะปรบั ปรุงทุกรำยกำรพร้อมกันเป็นคร้งั ท่ี 2 คือปีทเี่ ท่ำใด 12 มีควำมสมั พนั ธอ์ ยำ่ งไรกบั 2, 6 และ 4 เนื่องจำกโรงเรยี นปรับปรงุ ทกุ รำยกำรพร้อมกนั เป็นครัง้ แรกในปี 12 เปน็ จำนวนนับทนี่ ้อยทส่ี ุดทห่ี ำรดว้ ย 2, 6 และ 4 ไดล้ งตัว หรอื พ.ศ. 2560 และครัง้ ท่ี 2 ในปี พ.ศ. 2572 ซ่งึ ห่ำงกนั 12 ปี 12 เปน็ ค.ร.น. ของ 2, 6 และ 4 และตอ้ งหำว่ำ 12 เป็น ค.ร.น. ของ 2, 6 และ 4 จริงหรอื ไม่ ซ่งึ 12 ÷ 2 = 6 12 ÷ 6 = 2 12 ÷ 4 = 3 อีกกป่ี ีท่ีโรงเรยี นจะปรบั ปรงุ ทกุ รำยกำรพรอ้ มกนั เป็นครงั้ ท่ี 2 ตรงกบั ปี จะเหน็ ว่ำ ตวั หำรรว่ มของ 6, 2 และ 3 มีเพียงจำนวนเดยี ว คอื 1 พ.ศ. ใด และคิดไดอ้ ยำ่ งไร ดังน้ัน 12 เป็น ค.ร.น. ของ 2, 6 และ 4 จรงิ อกี 12 ปี ซงึ่ ตรงกบั ปี พ.ศ. 2572 คดิ ไดโ้ ดยนับต่อจำกปี พ.ศ. 2560 แสดงว่ำ พ.ศ. 2572 เป็นคำตอบท่ีถูกตอ้ ง ไปอีก 12 ปี

80 81 1.1 1.2 1.3 1.4 แก้มซือ้ ดอกกหุ ลำบรำคำดอกละ 8 บำท นชุ ซ้ือดอกลลิ ลร่ี ำคำดอกละ 25 วิธที ำ หำจำนวนเงนิ ทน่ี อ้ ยท่สี ุดท่แี ต่ละคนจ่ำยเทำ่ กัน โดยหำ ค.ร.น. บำท และผ้ึงซื้อดอกทำนตะวันรำคำดอกละ 16 บำท ถ้ำแต่ละคนจ่ำยเงนิ ของ 8, 25 และ 16 ซือ้ ดอกไมเ้ ท่ำกนั จะจำ่ ยเงนิ อย่ำงนอ้ ยที่สดุ คนละกี่บำท และได้ดอกไมค้ น 8 8 25 16 ละก่ดี อก 1 25 2 วิธคี ดิ หำจำนวนเงินท่ีนอ้ ยทส่ี ดุ ที่แต่ละคนจำ่ ยเท่ำกัน โดยหำ จะได้ ค.ร.น. ของ 8, 25 และ 16 คือ 8 × 1 × 25 × 2 = 400 ค.ร.น. ของ 8, 25 และ 16 กอ่ น แลว้ จงึ หำจำนวนดอกไม้ แสดงว่ำ แตล่ ะคนจ่ำยเงนิ ซ้ือดอกไม้ 400 บำท แต่ละชนิดโดยนำจำนวนเงนิ ทีแ่ ต่ละคนจำ่ ยหำรด้วยรำคำ และ แก้มซ้ือดอกกหุ ลำบได้ 400 ÷ 8 = 50 ดอก ดอกไม้ 1 ดอก นชุ ซือ้ ดอกลิลลไ่ี ด้ 400 ÷ 25 = 16 ดอก ผึง้ ซ้อื ดอกทำนตะวันได้ 400 ÷ 16 = 25 ดอก ดงั นน้ั แตล่ ะคนจำ่ ยเงินซือ้ ดอกไม้ 400 บำท แก้วซ้อื ดอก กหุ ลำบได้ 50 ดอก นุชซ้อื ดอกลลิ ลไ่ี ด้ 16 ดอก และผึง้ ซื้อดอกทำนตะวันได้ 25 ดอก ตอบ แตล่ ะคนจำ่ ยเงินซือ้ ดอกไม้ ๔๐๐ บำท แกม้ ซื้อดอกกุหลำบได้ ๕๐ ดอก นุชซื้อดอกลิลลไี่ ด้ ๑๖ ดอก และผงึ้ ซื้อดอกทำนตะวันได้ ๒๕ ดอก

82 83 1.1 1.2 1.3 1.4 โรงภำพยนตร์เพชรรำมำ ตอ้ งกำรจดั ทีน่ ่ังโซน A จำนวน 176 ที่ โซน B ตรวจสอบไดอ้ ย่ำงไรวำ่ 400 บำท กบั 50 ดอก 16 ดอก และ 25 ดอก จำนวน 110 ทแี่ ละโซน C จำนวน 66 ที่ โดยให้แต่ละโซนมีจำนวนทีน่ ่งั เป็นคำตอบทถ่ี ูกต้อง ในแต่ละแถวเทำ่ กัน โรงภำพยนตร์แหง่ นจ้ี ะจัดทีน่ งั่ ได้มำกทสี่ ุดแถวละก่ีท่ี และจัดไดก้ ่ีแถว ต้องหำวำ่ 400 เป็น ค.ร.น. ของ 8, 25 และ 16 จริงหรอื ไม่ ซึ่ง 400 ÷ 8 = 50 400 ÷ 25 = 16 400 ÷ 16 = 25 วธิ ีคิด หำจำนวนท่ีนั่งมำกที่สดุ ในแตล่ ะแถวของแตล่ ะโซน จะเห็นว่ำ ตวั หำรรว่ มของ 50, 16 และ 25 มเี พียงจำนวนเดยี ว คือ 1 โดยหำ ห.ร.ม. ของ 176, 110 และ 66 แล้วหำจำนวนแถวของแตล่ ะ จะได้ 400 เป็น ค.ร.น. ของ 8, 25 และ 16 จรงิ โซน แสดงว่ำ แตล่ ะคนจ่ำยเงนิ ซอื้ ดอกไม้นอ้ ยทส่ี ุด 400 บำท โดยนำจำนวนท่นี ั่งของแตล่ ะโซน หำรด้วยจำนวนทน่ี ง่ั ทีม่ ำกทส่ี ดุ ในแต่ และต้องหำวำ่ ดอกไมแ้ ตล่ ะชนดิ รำคำดอกละเทำ่ ใด ละแถว เนอื่ งจำกแต่ละคนซ้อื ดอกไม้ 400 บำท ถำ้ แกม้ ซอ้ื ดอกกหุ ลำบได้ 50 ดอก วิธที ำ หำจำนวนทนี่ ่งั ทมี่ ำกทส่ี ดุ ในแตล่ ะแถวของโซน A โซน B และโซน C นุชซ้ือดอกลลิ ลไี่ ด้ 16 ดอก และผึ้งซื้อดอกทำนตะวนั ได้ 25 ดอก โดยกำรหำ ห.ร.ม. ของ 176, 110 และ 66 ดังนั้น ดอกกุหลำบรำคำดอกละ 400 ÷ 50 = 8 บำท 176 = 2 × 2 × 2 × 2 × 11 110 = 2 × 5 × 11 ดอกลิลลรี่ ำคำดอกละ 400 ÷ 16 = 25 บำท 66 = 2 × 3 × 11 ดอกทำนตะวนั รำคำดอกละ 400 ÷ 25 = 16 บำท จะได้ ห.ร.ม. ของ 176, 110 และ 66 คอื 2 × 11 = 22 พบว่ำ สอดคล้องกบั โจทย์ แสดงว่ำ โรงภำพยนตรแ์ ห่งนี้จัดทนี่ งั่ ไดม้ ำกทสี่ ดุ แถวละ 22 ที่ แสดงวำ่ 400 บำท กบั 50 ดอก 16 ดอก และ 25 ดอก เป็นคำตอบที่ ถกู ต้อง

84 85 1.1 1.2 1.3 1.4 โดย โซน A จัดที่นั่งได้ 176 ÷ 22 = 8 แถว ตรวจสอบไดอ้ ย่ำงไรวำ่ 22 ท่ี กับ 16 แถว เปน็ คำตอบท่ีถกู ตอ้ ง โซน B จดั ทนี่ ่ังได้ 110 ÷ 22 = 5 แถว โซน C จัดทน่ี ัง่ ได้ 66 ÷ 22 = 3 แถว ต้องหำวำ่ 22 เป็น ห.ร.ม. ของ 176, 110 และ 66 จรงิ หรอื ไม่ ซึ่ง 176 ÷ 22 = 8 110 ÷ 22 = 5 และ 66 ÷ 22 = 3 และจดั ที่นง่ั ทงั้ หมด 8 + 5 + 3 = 16 แถว จะเห็นวำ่ ตวั หำรรว่ มของ 8, 5 และ 3 มเี พยี งจำนวนเดียว คอื 1 ดงั นั้น โรงภำพยนตร์แห่งนจี้ ดั ทนี่ ง่ั ไดม้ ำกทสี่ ุดแถวละ 22 ที่ และจัดได้ จะได้ 22 เปน็ ห.ร.ม. ของ 176, 110 และ 66 จรงิ 16 แถว แสดงวำ่ จัดท่นี งั่ ได้มำกท่ีสดุ แถวละ 22 ที่ ตอบ โรงภำพยนตร์แหง่ นจ้ี ะจัดท่ีนง่ั ไดม้ ำกที่สุดแถวละ ๒๒ ที่ และจดั ได้ ๑๖ และต้องหำวำ่ มีที่น่งั ทั้งหมดก่แี ถว แถว เน่อื งจำก จัดที่น่ังได้มำกทีส่ ุดแถวละ 22 ที่ ถำ้ จดั ทนี่ ัง่ ได้ทัง้ หมด 16 แถว แสดงว่ำ มที ีน่ ั่งทั้งหมด 16 × 22 = 352 ที่ เปน็ ที่นงั่ โซน A จำนวน ถ้ำหำ ห.ร.ม. ของ 176, 110 และ 66 โดยกำรหำร 176 ที่ เปน็ ทนี่ ั่งโซน B จำนวน 110 ที่ จะได้ 2 176 110 66 ดงั นัน้ เป็นที่นง่ั โซน C จำนวน 352 – (176 + 110) = 66 ที่ พบว่ำสอดคลอ้ งกับโจทย์ 11 88 55 33 แสดงวำ่ 22 ท่ี กบั 16 แถว เป็นคำตอบที่ถูกต้อง 8 53 สงั เกตผลหำร 8, 5 และ 3 คือ จำนวนแถวของทน่ี ง่ั แตล่ ะโซน

86 แสดงวธิ หี ำคำตอบ 87 1.1 1.2 1.3 1.4 1 ร้ำนค้ำมีเสอ้ื ขนำดเลก็ (S) 150 ตัว รำคำตัวละ 100 บำท เสอ้ื ขนำดกลำง จะได้ ห.ร.ม. ของ 150, 250 และ 200 คอื 10 × 5 = 50 แสดงว่ำ จะบรรจุเส้ือขนำดเดยี วกนั ได้มำกทสี่ ุดกล่องละ 50 ตัว (M) 250 ตัว รำคำตัวละ 120 บำท และเสอื้ ขนำดใหญ่ (L) 200 ตวั โดย เสื้อขนำดเลก็ (S) ใช้กล่อง 150 ÷ 50 = 3 ใบ รำคำตวั ละ 150 บำท ต้องกำรบรรจเุ สอ้ื ใสก่ ล่อง โดยทกุ กลอ่ งมจี ำนวน เสอื้ เทำ่ กนั และเป็นเสือ้ ขนำดเดยี วกัน รำ้ นค้ำจะตอ้ งใชก้ ล่องน้อยท่ีสุดก่ใี บ เสือ้ ขนำดกลำง (M) ใชก้ ล่อง 250 ÷ 50 = 5 ใบ และเสอื้ แต่ละขนำดรำคำกล่องละกบี่ ำท เสอื้ ขนำดใหญ่ (L) ใช้กลอ่ ง 200 ÷ 50 = 4 ใบ แสดงว่ำ รำ้ นคำ้ จะต้องใชก้ ลอ่ งน้อยท่สี ุด 3 + 5 + 4 = 12 ใบ วิธคี ดิ ตอ้ งกำรใชจ้ ำนวนกลอ่ งท่ีน้อยทีส่ ุด จึงหำจำนวนเสื้อท่ีจะบรรจุ และ เสอ้ื ขนำดเลก็ (S) รำคำกลอ่ งละ 50 × 100 = 5,000 บำท แตล่ ะกลอ่ งให้มจี ำนวนมำกท่สี ดุ โดยหำ ห.ร.ม. ของ 150, เสื้อขนำดกลำง (M) รำคำกล่องละ 50 × 120 = 6,000 บำท 250 และ 200 แลว้ หำจำนวนกลอ่ ง โดยนำจำนวนเส้อื แต่ละ เสือ้ ขนำดใหญ่ (L) รำคำกล่องละ 50 × 150 = 7,500 บำท ขนำดหำรดว้ ยจำนวนเสือ้ ท่มี ำกที่สุดท่ีจะบรรจุในแต่ละกลอ่ ง ดังนนั้ รำ้ นค้ำจะตอ้ งใชก้ ลอ่ งนอ้ ยทส่ี ุด 12 ใบ โดยทเ่ี ส้ือขนำดเลก็ (S) จำกน้นั หำรำคำเสอื้ แต่ละกล่อง โดยนำจำนวนเส้ือในกล่อง รำคำกล่องละ 5,000 บำท เสือ้ ขนำดกลำง (M) รำคำกลอ่ งละ คณู กบั รำคำเส้อื 1 ตัว 6,000 บำท และเส้อื ขนำดใหญ่ (L) รำคำกล่องละ 7,500 บำท ตอบ ร้ำนคำ้ จะต้องใช้กล่องน้อยท่ีสดุ ๑๒ ใบ โดยท่ีเสือ้ ขนำดเล็ก (S) รำคำ วธิ ีทำ หำจำนวนเงนิ ทีน่ อ้ ยท่ีสดุ ท่แี ตล่ ะคนจำ่ ยเท่ำกนั โดยหำ ค.ร.น. กลอ่ งละ ๕,๐๐๐ บำท เสื้อขนำดกลำง (M) รำคำกล่องละ ๖,๐๐๐ บำท ของ 8, 25 และ 16 และเส้ือขนำดใหญ่ (L) รำคำกล่องละ ๗,๕๐๐ บำท 10 150 250 200 5 15 25 20 35 4

88 89 1.1 1.2 1.3 1.4 2 จติ อำสำปลูกปำ่ ชำยเลน 2 กลุ่ม ไดแ้ ก่ กลมุ่ ตะวันมสี มำชิก 24 คน และ จะได้ ค.ร.น. ของ 24 และ 32 คือ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 96 แสดงว่ำ ผนู้ ำชุมชนจะตอ้ งแจกกลำ้ ไม้โกงกำงใหแ้ ตล่ ะกล่มุ อย่ำงน้อย กลุ่มจันทรำมสี มำชิก 32 คน แตล่ ะกลุม่ ไดร้ บั กลำ้ ไม้โกงกำงจำกผู้นำ ชมุ ชนจำนวนเท่ำกนั โดยสมำชิกแต่ละคนในกลุ่มเดียวกันได้รับกล้ำไม้ ทสี่ ุดกล่มุ ละ 96 ต้น จำนวนเท่ำกัน ผนู้ ำชมุ ชนจะตอ้ งแจกกล้ำไมโ้ กงกำงให้แต่ละกลมุ่ อย่ำง และ สมำชกิ ของกลมุ่ ตะวนั ได้รับคนละ 96 ÷ 24 = 4 ต้น น้อยท่สี ุดกี่ต้น และสมำชกิ ของแต่ละกลุ่มได้รับกลำ้ ไม้โกงกำงคนละกต่ี ้น สมำชิกของกลุ่มจนั ทรำไดร้ ับคนละ 96 ÷ 32 = 3 ต้น วธิ คี ิด หำจำนวนกลำ้ ไมโ้ กงกำงท่ีน้อยท่ีสุดที่แต่ละกลุ่มได้รับจำกผนู้ ำ ดังน้ัน ผู้นำชุมชนจะต้องแจกกล้ำไมโ้ กงกำงใหแ้ ต่ละกลมุ่ อย่ำงน้อยที่สดุ ชมุ ชนจำนวนเท่ำกัน โดยหำ ค.ร.น. ของ 24 และ 32 จำกนั้น หำจำนวนกล้ำไมโ้ กงกำงท่ีสมำชิกแตล่ ะคนของกลุ่มเดียวกัน 96 ตน้ โดยสมำชิกของกลมุ่ ตะวนั ไดร้ บั คนละ 4 ต้น และสมำชกิ ได้รบั โดยนำจำนวนกลำ้ ไม้โกงกำงที่น้อยทสี่ ดุ ทแ่ี ตล่ ะกลุม่ ของกลมุ่ จันทรำไดร้ บั คนละ 3 ต้น ไดร้ ับจำกผ้นู ำชุมชน หำรด้วยจำนวนสมำชกิ ของแตล่ ะกล่มุ ตอบ ผนู้ ำชมุ ชนจะตอ้ งแจกกล้ำไม้โกงกำงให้แตล่ ะกลุม่ อย่ำงน้อยทส่ี ุด ๙๖ ต้น โดยสมำชกิ ของกล่มุ ตะวันไดร้ บั คนละ ๔ ตน้ และสมำชกิ ของกลุ่มจันทรำ วิธีทำ หำจำนวนกล้ำไมโ้ กงกำงทนี่ ้อยท่ีสุดที่แต่ละกลุ่มไดร้ ับจำกผู้นำ ไดร้ บั คนละ ๓ ต้น ชุมชนจำนวนเทำ่ กัน โดยหำ ค.ร.น. ของ 24 และ 32 ตวั อยำ่ ง 24 = 2 × 2 × 2 × 3 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2

90 91 3 สถำนีขนสง่ ผ้โู ดยสำรแห่งหน่ึง มีรถตูเ้ ดินทำงไปตลำดโรงเกลือ จ.สระแกว้ จะได้ ค.ร.น. ของ 50, 30 และ 45 คอื 5 × 3 × 2 × 5 × 1 × 3 = 450 1.1 1.2 1.3 1.4 แสดงว่ำ ระต้ทู ง้ั สำมเสน้ ทำงจะออกเดินทำงพรอ้ มกันเป็นครง้ั ท่ี 2 เมือ่ 3 เส้นทำง ดงั น้ี เส้นทำงที่ 1 รถออกทุก ๆ 50 นำที เสน้ ทำงที่ 2 รถออก ทุก ๆ 30 นำที เส้นทำงที่ 3 รถออกทุก ๆ 45 นำที โดยรถตูท้ ้งั สำม เวลำผ่ำนไป 450 นำที ซ่ึง 450 นำที คดิ เป็น 450 ÷ 60 ได้ เสน้ ทำงออกเดนิ ทำงพร้อมกันเวลำ 03.00 น. รถตู้ทั้งสำมเส้นทำงจะออก 7 ช่วั โมง 30 นำที เดินทำงพร้อมกนั คร้งั ตอ่ ไปในเวลำใด เน่อื งจำก รถตูท้ ้ังสำมเสน้ ทำงออกเดนิ ทำงพรอ้ มกันคร้งั แรก 03.00 น. จงึ นับต่อจำกเวลำ 03.00 น. ไปอกี 7 ชว่ั โมง 30 นำที วิธีคิด หำเวลำทร่ี ถตทู้ ง้ั สำมเส้นทำงออกเดินทำงพรอ้ มกันเปน็ ครง้ั ท่ี 2 โดยหำ ค.ร.น. ของ 50, 30 และ 45 จำกนั้นจึงเปลี่ยน ดงั นั้น รถตทู้ ัง้ สำมเส้นทำงจะออกเดนิ ทำงพร้อมกันเปน็ ครง้ั ที่ 2 เวลำ หน่วยเวลำจำกนำทีเปน็ ชั่วโมง แลว้ ใชก้ ำรนบั ต่อจำกเวลำที่ 10.30 น. ออกเดนิ ทำงพร้อมกนั เป็นครง้ั แรกจนครบตำมเวลำทหี่ ำได้ ตอบ ๑๐.๓๐ น. วิธที ำ หำเวลำท่รี ถตู้ท้งั สำมเสน้ ทำงออกเดินทำงพร้อมกนั เป็นคร้ังท่ี 2 โดยหำ ค.ร.น. ของ 50, 30 และ 45 ตัวอยำ่ ง 5 50 30 45 3 10 6 9 2 10 2 3 5 13

92 80 ซม. 93 1.1 1.2 1.3 1.4 4 พนื้ หอ้ งรูปสี่เหลีย่ มผนื ผำ้ กว้ำง 320 เซนตเิ มตร และยำว 400 เซนตเิ มตร ต้องกำรปพู น้ื ห้องรปู สี่เหลี่ยมผนื ผำ้ ซ่ึงกวำ้ ง 320 เซนติเมตร และยำว320 ซม. 400 เซนติเมตร เอม็ ตอ้ งกำรปพู ื้นหอ้ งดว้ ยกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรสั และใช้กระเบื้อง แสดงวำ่ ปกู ระเบ้อื งตำมดำ้ นกว้ำงได้ 320 ÷ 80 = 4 แถว จำนวนน้อยทสี่ ุด เอม็ จะต้องใชก้ ระเบอื้ งก่แี ผน่ และกระเบ้ืองแตล่ ะแผน่ มี ขนำดเท่ำใด ปูกระเบ้ืองตำมด้ำนกว้ำงได้ 400 ÷ 80 = 5 แผน่ วธิ คี ดิ ตอ้ งกำรปูพ้นื หอ้ งดว้ ยกระเบอื้ งรูปสี่เหลีย่ มจตั ุรัสขนำดเดยี วกนั ดงั น้นั เอ็มจะตอ้ งใชก้ ระเบือ้ ง 4 × 5 = 20 แผ่น และกระเบ้อื งแตล่ ะ และใช้กระเบื้องจำนวนนอ้ ยท่ีสดุ แสดงวำ่ แผ่นกระเบอ้ื งต้องมี แผ่นมีควำมยำวด้ำนละ 80 เซนตเิ มตร ดังรปู ขนำดใหญท่ สี่ ดุ จงึ ต้องหำควำมยำวของด้ำนของรปู สีเ่ หลี่ยม จัตรุ สั ทมี่ ำกทีส่ ุด โดยหำ ห.ร.ม. ของ 320 และ 400 จำกนั้น 80 ซม. หำจำนวนกระเบ้อื ง โดยนำจำนวนแถวของกระเบื้องที่ปตู ำม ดำ้ นกว้ำง คณู กับจำนวนกระเบอ้ื งท่ปี ตู ำมด้ำนยำวของพ้นื หอ้ ง 400 ซม. วธิ ีทำ หำควำมยำวของด้ำนของกระเบ้อื งรปู ส่ีเหลย่ี มจัตุรัสที่มำกที่สุด ตอบ เอม็ จะต้องใชก้ ระเบอ้ื ง ๒๐ แผ่น และกระเบ้ืองแตล่ ะแผน่ มีควำมยำวด้ำน โดยหำ ห.ร.ม. ของ 320 และ 400 ละ ๘๐ เซนตเิ มตร 10 320 400 8 32 40 45 จะได้ ห.ร.ม. ของ 320 และ 400 คอื 10 × 8 = 80 แสดงว่ำ ต้องใชก้ ระเบ้อื งรปู ส่เี หล่ียมจตั ุรสั ท่มี ีควำมยำวดำ้ นละ 80 เซนติเมตร

94 95 1.1 1.2 1.3 1.4 แสดงว่ำ พ่อตอ้ งปลูกตน้ มะนำวบนท่ีดินรูปสี่เหล่ยี มผนื ผำ้ ซ่ึงกวำ้ ง 56 5 พอ่ มีทดี่ นิ เป็นรปู สีเ่ หลีย่ มมมุ ฉำก กว้ำง 56 เมตร และยำว 80 เมตร และ เมตร และยำว 80 เมตร ให้มรี ะยะห่ำงจำกแนวรัว้ และมีระยะห่ำง ระหวำ่ งตน้ ท่ีอยตู่ ดิ กันตำมด้ำนกว้ำงและดำ้ นยำวต้นละ 8 เมตร มรี ว้ั ล้อมรอบทงั้ ส่ดี ้ำน ดังรูป เน่ืองจำก พ่อปลูกตน้ มะนำวโดยเว้นแนวรั้วทง้ั สดี่ ้ำน แสดงว่ำ พ่อปลกู ต้นมะนำวตำมดำ้ นกว้ำงได้ (56 ÷ 8) - 1 = 6 แถว ถ้ำพอ่ ต้องกำรปลกู ตน้ มะนำว โดยให้ระยะหำ่ งจำกตน้ มะนำวถงึ แนวรว้ั กบั ระยะหำ่ งระหวำ่ งตน้ มะนำว 2 ต้นที่อยูต่ ิดกนั เท่ำกนั และให้หำ่ งกนั มำก และปลกู ตน้ มะนำวตำมดำ้ นยำวได้แถวละ ท่สี ุด พ่อจะปลูกต้นมะนำวได้อยำ่ งนอ้ ยท่ีสุดกีต่ ้น (80 ÷ 8) - 1 = 9 ต้น วธิ ีคดิ หำระยะห่ำงระหวำ่ งต้นมะนำวกับแนวรว้ั และระยะหำ่ ง ดังน้ัน พ่อจะปลูกตน้ มะนำวได้อย่ำงน้อยที่สุด 6 × 9 = 54 ตน้ ดงั รปู ระหว่ำงต้นมะนำว 2 ต้นท่อี ยู่ตดิ กนั ซงึ่ ห่ำงเทำ่ กันและหำ่ งกนั มำกที่สดุ โดยหำ ห.ร.ม. ของ 56 และ 80 แล้วจึงหำจำนวน ตอบ ๕๔ ต้น ต้นมะนำวทัง้ หมด โดยนำจำนวนแถวของตน้ มะนำวท่ปี ลกู ตำม ด้ำนกว้ำง คูณกับจำนวนต้นมะนำวทป่ี ลกู ตำมดำ้ นยำว วิธีทำ หำระยะห่ำงระหว่ำงต้นมะนำวกับแนวรว้ั และระยะหำ่ งระหว่ำง ตน้ มะนำว 2 ต้นทีอ่ ยตู่ ดิ กนั ซ่ึงหำ่ งเทำ่ กันและหำ่ งกันมำกท่ีสุด โดยหำ ห.ร.ม. ของ 56 และ 80 ตวั อยำ่ ง 56 = 2 × 2 × 2 × 7 80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 จะได้ ห.ร.ม. ของ 56 และ 80 คอื 2 × 2 × 2 = 8

96 ตรวจสอบควำมเขำ้ ใจ 2 สวนสำธำรณะแหง่ หนึ่งมีระยะทำงรอบสวน 1,200 เมตร โดยเฉลยี่ 97 แสดงวธิ หี ำคำตอบ ระยะทำงรอบสวน 1 รอบ ยุย้ ใช้เวลำเดนิ 12 นำที ธนำใชเ้ วลำเดิน 1.1 1.2 1.3 1.4 15 นำที และแก้วใช้เวลำเดนิ 20 นำที ถำ้ ทงั้ สำมคนออกเดินจำก 1 ออมสินและเพอ่ื น ๆ มีปลำกระปอ๋ ง 42 กระปอ๋ ง นม 63 กล่อง และขนม จดุ เร่ิมต้นพร้อมกันและเดินไปทิศทำงเดียวกัน แตล่ ะคนจะตอ้ งเดนิ ก่ี รอบจงึ จะมำพบกันทจ่ี ดุ เรมิ่ ต้นพรอ้ มกันอกี ครั้ง 84 ซอง ต้องกำรจัดสิ่งของทงั้ หมดใสถ่ งุ ให้ไดจ้ ำนวนถงุ มำกทีส่ ุด โดยแต่ ละถุงสงิ่ ของอยำ่ งเดยี วกันตอ้ งมีจำนวนเทำ่ กนั จะจัดไดม้ ำกทส่ี ดุ กถี่ ุง และ วิธีทำ หำระยะเวลำทีน่ อ้ ยทีส่ ดุ ท่ีท้งั สำมคนใช้ในกำรเดินเทำ่ กนั โดยหำ ค.ร.น. แตล่ ะถงุ มีสง่ิ ของอย่ำงละเท่ำใด ของ 12, 15 และ 20 ตัวอย่ำง 12 = 2 × 2 × 3 วธิ ีทำ หำจำนวนถงุ ท่มี ำกทสี่ ดุ โดยหำ ห.ร.ม. ของ 42, 63 และ 84 15 = 3 × 5 20 = 2 × 2 × 5 ตัวอยำ่ ง 7 42 63 84 จะได้ ค.ร.น. ของ 12, 15 และ 20 คือ 2 × 2 × 3 × 5 = 60 แสดงว่ำ แตล่ ะคนใชเ้ วลำเดนิ อย่ำงน้อยที่สุดคนละ 60 นำที จงึ จะมำพบ 3 6 9 12 กนั ทจ่ี ุดเริม่ ตน้ พรอ้ มกันอีกคร้ัง โดย ย้ยุ จะต้องเดิน 60 ÷ 12 = 5 รอบ 23 4 ธนำจะต้องเดนิ 60 ÷ 15 = 4 รอบ แก้วจะตอ้ งเดนิ 60 ÷ 20 = 3 รอบ จะได้ ห.ร.ม. ของ 42, 63 และ 84 คอื 7 × 3 = 21 ดังน้นั ยุย้ จะตอ้ งเดิน 5 รอบ ธนำจะตอ้ งเดิน 4 รอบ และแก้วจะตอ้ ง เดิน 3 รอบ จงึ จะมำพบกนั ทจ่ี ุดเรม่ิ ตน้ พร้อมกนั อีกครั้ง แสดงว่ำ จะจดั สง่ิ ของทั้งหมดใสถ่ งุ ไดม้ ำกท่ีสุด 21 ถงุ ตอบ ยยุ้ เดิน ๕ รอบ ธนำเดิน ๔ รอบ และแกว้ เดิน ๓ รอบ โดย ใส่ปลำกระป๋องถุงละ 42 ÷ 21 = 2 กระปอ๋ ง ใส่นมถุงละ 63 ÷ 21 = 3 กล่อง ใส่ขนมถงุ ละ 84 ÷ 21 = 4 ซอง ดังน้ัน ออมสนิ จะจัดส่ิงของทงั้ หมดใส่ถงุ ได้มำกทส่ี ุด 21 ถุง แต่ละถงุ มี ปลำกระป๋อง 2 กระป๋อง นม 3 กลอ่ ง และขนม 4 ซอง ตอบ ออมสินจะจดั สิ่งของทง้ั หมดใสถ่ งุ ไดม้ ำกทสี่ ุด 21 ถุง แตล่ ะถุงมีปลำ กระป๋อง 2 กระป๋อง นม 3 กลอ่ ง และขนม 4 ซอง