แบบฝึกทักษะชุดที่ 1 ลอการิทึม

ห น้ า | 1 ฟง กช ันลอการทิ มึ ใบความรทู ี่ 1 บทนิยาม ฟง กช นั ลอการทิ ึม เปนฟงกชันทีอ่ ยใู นรปู { }(x, y)∈ R+ × R y = loga x, a > 0, a ≠ 1 เปนฟงกชันผกผันของฟงกช นั เอกซโ พเนนเชียล { }(x, y)∈ R × R+ y = a x , a > 0, a ≠ 1, a ∈ R ตัวอยา งที่ 1 ตวั อยา งฟง กชันฟงกช นั ลอการิทึม { }(x, y)∈ R+ × R y = log4 3 { }(x, y)∈ R+ × R y = log2 7 (x, y)∈ R + × R y = log 1 8  3  ความสัมพนั ธระหวาง x กบั y ที่เขียนในรปู x = a y และ y = loga x มีความหมายเชน เดียวกนั ดงั น้นั สมการทแี่ สดงการเทากันของจาํ นวนจรงิ กับจํานวนทีเ่ ขยี นในรูปเลขยกกําลงั จึงเขยี นในรปู ลอการทิ ึมได ตัวอยางที่ 2 จงเปล่ียน x = a y ใหอยูในรูป y = loga x 1) 8 = 23 2) 625 = 54 3) 3 = (27 )1 4) 2 = (16) 1 3 4 5) 125 = 53 6) 121 = 112 วธิ ีทํา 1) 8 = 23 3 = log2 8 2) 625 = 54 4 = log5 625 3) 3 = (27)13 1 = log 27 3 3 4) 2 = (16)14 1 = log16 2 4 5) 125 = 53 3 = log5 125 6) 121 = 112 2 = log11 121

ห น้ า | 2 ตัวอยางท่ี 3 จงเปลยี่ น y = loga x ใหอยใู นรูป x = a y 1) − 2 = log 4  1  2) 1 = log4 2 3) 3 = log 5 5 4) 3 = log3 27  16  2 5 5) 2 = log4 16 6) − 3 = log 3  1   27  วธิ ที าํ 1) − 2 = log 4  1  1 = 4−2  16  16 2) 1 = log 4 2 1 2 2 = 42 3) 3 = log 5 5 5 ( )5 5 = 3 5 4) 3 = log3 27 27 = 33 16 = 42 5) 2 = log4 16 6) − 3 = log 3  1   1  = 3−3  27   27  ฟง กช นั ลอการทิ มึ y = loga x จาํ แนกได 2 แบบ คือ a >1 1) ถา 0 < a < 1 ฟงกช ัน y = loga x จะเปน ฟง กชันลด 2) ถา a > 1 ฟงกชัน y = loga x จะเปน ฟง กชนั เพ่ิม ลกั ษณะของฟง กชันลอการทิ ึม 0< a <1 ฟง กช ันลด ฟง กชนั เพ่ิม โดเมน คือ เซตของจํานวนจรงิ บวก และ เรนจ คอื เซตของจาํ นวนจรงิ x เปน จํานวนจรงิ และ ax เปน จาํ นวนจรงิ บวก กราฟตดั แกน x ท่ีจุด ( 1, 0 ) ฟงกช นั เอกซโพเนนเชยี ลเปนฟง กชนั 1-1 นน่ั คอื x1 = x2 ก็ตอเม่ือ loga x1 = loga x2 จากลักษณะของฟงกชันลด สรุปไดว า จากลกั ษณะของฟงกช นั เพมิ่ สรปุ ไดวา x1 > x2 ก็ตอเม่ือ loga x1 < loga x2 x1 > x2 ก็ตอ เมือ่ loga x1 > loga x2

ห น้ า | 3 ตัวอยา งที่ 4 จงพจิ ารณาวา ฟง กชันฟงกช นั ลอการิทึมตอ ไปนเ้ี ปนฟง กช ันเพิ่มหรือฟง กชันลด 1) y = log2 x 2) y = log4 2 3) y = log 1 x 4) y = log 1 16 32 วธิ ที ํา 1) y = log2 x เปนฟงกช ันเพมิ่ เพราะวา ฐาน 2 มคี ามากกวา 1 2) y = log4 2 เปน ฟงกช นั เพ่มิ เพราะวา ฐาน 4 มีคา มากกวา 1 3) y = log 1 x เปนฟงกช ันลด เพราะวา ฐาน 1 มคี า นอ ยกวา 1 3 3 4) y = log1 16 เปน ฟง กช ันลด เพราะวา ฐาน 1 มคี านอยกวา 1 2 2 ตวั อยา งท่ี 5 จงพจิ ารณาวา อสมการตอไปนเี้ ปน จริงหรือเทจ็ 1) log2 5 < log2 8 2) log 1 7 < log 1 8 3) log 1  1  > log 1  1  2  3  2  5  33 วิธีทํา 1) log2 5 < log2 8 มีคา เปนจริง เนื่องจาก 2 เปน ฐาน และ 2 > 1 ดงั นัน้ ฟง กช นั y = log2 x เปน ฟงกชันเพ่ิม เพราะวา 5 < 8 จะได log2 5 < log2 8 2) log1 7 < log1 8 มคี าเปน เท็จ เน่อื งจาก 33 1 เปน ฐาน และ 0 < 1 < 1 33 ดงั นัน้ ฟง กช ัน y = log1 x เปนฟงกชนั ลด 3 เพราะวา 7 < 8 จะได log 1 7 > log 1 8 33 3) log 1  1  > log 1  1  มีคาเปนเท็จ เน่ืองจาก 2  3  2  5  1 เปนฐาน และ 0 < 1 < 1 22 ดงั น้นั ฟง กชัน y = log1 x เปน ฟงกช นั ลด 2 เพราะวา 1 > 1 35 จะได log 1  1  < log 1  1  2  3  2  5 

ห น้ า | 4 สมบตั ิของลอการทิ ึม เมอ่ื a , M , N เปนจาํ นวนจริงบวกท่ี a ≠ 1 และ k เปน จาํ นวนจรงิ 1. loga MN = loga M + loga N 2. log a M = loga M − loga N N 3. loga M k = k loga M 4. loga a = 1 5. loga 1 = 0 6. logak M = 1 log a M k 7. logb a = 1 ,b ≠1 และ b > 0 loga b 8. a loga x = x การหาคาลอการิทึม ตัวอยางท่ี 6 จงใชสมบัติของลอการทิ ึมหาคา ลอการทิ มึ ตอไปน้ี 1) log8 4 2) log 1 81 3) log5 625 27 6) log 1 25 4) log 3  1  5) log2 4 2 5  9  7) log4 2 + log4 32 8) log2 80 − log2 5 วธิ ที าํ 1) =log8 4 log23 22 = 2 log 2 2 3 = 2 3 2) log 1 81 = log 1 34 27 33 = log3−3 34 = − 4 log 3 3 3 3) =log5 625 log5 54 = 4 log5 5 =4

ห น้ า | 5 4) log 3  1  = log 3  1   9   32  = log3 3−2 = −2 7) =log2 4 2 1 log 2 2 4 = 1 log 2 2 4 =1 4 8) =log 1 25 log5−1 52 5 = − 2 log5 5 = −2 9) log4 2 + log4 32 = log4 (2 × 32) = log4 64 = log4 43 =3 10) log2 80 − log2 5 = log 2  80   5  = log2 16 = log2 24 =4 ตัวอยางท่ี 7 จงพิจารณาการหาเซตคําตอบจากสมการ ตอ ไปน้ี 1) log2 x = 5 2) log10 x = 2 3) log x 1000 = 3 4) log x 6 = 1 2 5) log x 16 = 4 6) log2 (x − 2) = 2

ห น้ า | 6 วิธีทาํ 1) log2 x = 5 จะได 25 = x x = 32 2) log10 x = 2 จะได 102 = x x = 100 3) log x 1000 = 3 จะได x3 = 1,000 x = 10 4) log x 6 = 1 2 1 จะได x 2 = 6 x = 36 5) log x 16 = 4 จะได x4 = 16 x=2 6) log2 (x − 2) = 2 จะได 22 = (x − 2) 4= x−2 x=6

ห น้ า | 7 1. เขียนสมการตอไปนี้ในรูปลอการิทมึ แบบฝกทกั ษะที่ 1.1 1) 42 = 16 2 2) 27 3 = 9 …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. 3)  1 2 = 1 4) 10−4 = 0.0001 2 4 …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. 5)  1 −4 = 16 6)  2 −3 = 27 2 3 8 …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. 7)  1 −2 = 10,000 8) −3 = 0.125 100  42 …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. 1 10) 27 = 128 9) 64 6 = 2 …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… ………………………………………………………………….

ห น้ า | 8 2. จงเขยี นสมการตอ ไปนเ้ี ปน สมการในรูปเลขยกกําลงั 2) log2 32 = 5 1) log10 100 = 2 …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………… 3) log5 1 = 0 4) log 4  1  = −3  64  …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. 5) log10 0.001 = −3 6) log3 3 9 = 2 3 …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. 7) log10 1,000 = 3 8) log36 6 = 1 2 …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. 9) log 2  1  = −8 10) log9 729 = 3  256  …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… ………………………………………………………………….

ห น้ า | 9 3. จงพิจารณาวา ฟงกชนั ฟงกชนั ลอการิทมึ ตอ ไปนี้เปน ฟง กช นั เพม่ิ หรอื ฟงกช นั ลด 1) y = log4 x ................................................ 2) y = log4 16 ................................................ 3) y = log1 x ................................................ 2 4) y = log1 8 ................................................ 2 5) y = log1 27 ................................................ 3 6) y = log25 5 ................................................ 7) y = log9 729 ................................................ 8) y = log1 625 ................................................ 5 4. จงเติมเคร่ืองหมาย > , < ลงในชอ งวา งเพือ่ ใหอสมการตอไปน้เี ปน จริง 1) log2 9............log2 8 2) log 1 27.............log 1 8 33 3) log 1  1 ............ log 1  1  2  3  2  4  4) log3 25..............log3 25 5) log 0.3  1 ............. log 0.3  1   3   5 

ห น้ า | 10 แบบฝกทักษะท่ี 1.2 1. จงหาคา ลอการทิ ึมของแตละขอตอไปนี้ 2) log 1 9 1) log2 3 2 3 …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. 3) log10 100 …………………………………………………………………. 4) log10 0.1 …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. 5) 6) log 1 16 log 312 4 3 …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… 8) log27 81 …………………………………………………………………. 7) log3 5 3 …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… 10) log12 9 + log12 16 …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. 9) log2 112 − log2 7 …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………

ห น้ า | 11 2. จงหาเซตคําตอบของสมการ แตละขอตอ ไปนี้ 2) log2 y = −5 1) log3 x = 5 …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………… 3) log x 64 = 2 4) log x 2 = 1 6 …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. 5) log y 0.1 = −1 6) log y 128 = 7 2 …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. 7) log3 (x − 2) = 2 8) log10 x2 = 2 …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… 10) log2 (3 + x) − log2 (7 − x) = 2 9) log3 (x −1) − log(3 x − 3) …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… …………………………………………………………………. …………………………………………………………… ……………………………………………………………