E-modul Pembelajaran spldv kelas 8

KATA PENGANTAR Alhamdulillah, segala puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah swt, karena berkat limpahan rahmat dan nikmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan e-modul pembelajaran sistem persamaan linear dua variabel. Pada pembahasan dalam modul ini, penulis mencoba menyajikan secara praktis dan sistematis e-modul pembelajaran persamaan linear dua variabel berbasis kemampuan berpikir matematis, dengan disertai gambar agar lebih mudah dipahami dan dipelajari sendiri oleh siswa ataupun kalangan umum yang sedang belajar sistem persamaan linear dua variabel. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa e-modul ini masih jauh dari kesempurnaan karena keterbatasan e-modul ini. Oleh karena itu, penulis selalu berharap adanya masukan, saran, dan kritikan dari semua pihak guna kesempurnaan e-modul ini dikemudian hari. Semoga e- modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Amiin. Banjarmasin, 18 Oktober 2020 Penulis, Hj.Annisa ii

DAFTAR ISI Halaman Judul ............................................................................................... i Kata Pengantar .............................................................................................. ii Daftar Isi. ........................................................................................................ iii Bagian 1 PENDAHULUAN A. Deskripsi Modul............................................................................. 1 B. Petunjuk Penggunaan Modul ......................................................... 1 C. Kompetisi Dasar............................................................................. 2 D. Indikator......................................................................................... 2 Bagian 2 Kegiatan Belajar A. Persamaan Linear Dua Variabel .................................................... 3 B. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ........................................ 7 C. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel................... 10 1. Metode Grafik.......................................................................... 11 2. Metode Subtitusi. ..................................................................... 17 3. Metode Eliminasi. .................................................................... 22 4. Metode Campuran.................................................................... 28 Daftar Pustaka. .............................................................................................. 31 iii

PENDAHULUAN DESKRIPSI E-MODUL E-modul pembelajaran matematika berbasis kemampuan berpikir matematis ini dibuat dengan harapan dapat memberikan penjelasan materi sistem persamaan linear dua variabel. Modul ini dapat digunakan dengan atau tanpa pendidik/guru yang memberikan penjelasan materi. Tujuan penyusunan e-modul pembelajaran sistem persamaan linear dua variabel ini dapat memfasilitasi siswa dalam memahami materi persamaan linear dua variabel. Selain itu, diharapkan dengan menggunakan e-modul ini siswa dapat belajar dengan kecepatan belajar masing-masing karena pada dasarnya penggunaan e-modul ini dalam pembelajaran menggunakan sistem individual, sehingga siswa dapat melakukan pembelajaran tanpa tergantung dengan penjelasan dari pendidik/guru. PETUNUJUK PENGGUNAAN E-MODUL Untuk mempelajari e-modul ini ada beberapa hal yang harus diperhatikan oleh siswa, yaitu sebagai berikut: 1. Untuk mempelajari e-modul ini haruslah berurutan, karena materi sebelumnya menjadi persyaratan untuk mempelajari materi berikutnya. 2. Ikutilah kegiatan belajar yang disajikan dalam e-modul ini, dan perhatikan petunjuk mempelajari kegiatan belajar yang disajikan. 3. Ulangi apabila kamu masih kurang memahami materi yang disajikan, lanjutkan jika kamu sudah mengusai materi. 4. Kerjakanlah soal latihan setelah kamu mempelajari semua kegiatan belajar. 1

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL KOMPOTENSI DASAR 3.5 Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya yang dihubungkan dengan masalah kontekstual. INDIKATOR 1. Siswa dapat mengingat kembali unsur-unsur dan bentuk dari persamaan linear satu variabel 2. Siswa dapat memahami konsep dan mengidentifikasi unsur-unsur bentuk sistem persamaan linear dua variabel yang meliputi variabel, koefisien, konstanta dan suku. 3. Siswa dapat membedakan persamaan linear satu variabel dan dua variabel. 4. Siswa dapat menuliskan dan menuntukan bentuk sistem persamaan linear dua variabel. 5. Siswa dapat menyelesaikan sistem persaman linear dua variabel menggunakan metode grafik. 6. Siswa dapat menyelesaikan sistem persaman linear dua variabel menggunakan metode Subtitusi. 7. Siswa dapat menyelesaikan sistem persaman linear dua variabel menggunakan metode Eliminasi. 2

A Persamaan Linear Dua Variabel Sebelum kita membahas persamaan linear dua variabel, pada kelas VII kalian sudah mempelajari persamaan linear satu variabel. Perhatikan bentuk persamaan berikut ini! 5 55 Menurut kalian, yang manakah merupakan bentuk persamaan linear? Dari persamaan tersebut manakah yang menjadi variabel, koefisien dan konstanta dan bagaimana penyelesaiannya? Penyelesaian: 1. Variabel: ……………………………………. ………………………………………………… ………………………………………………… 2. Koefisien: ……………………………………. ………………………………………………… ………………………………………………… 3. Konstanta: …………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… 4. ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… Persamaan Linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya terdapat konstanta atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. 3

Selanjutnya, kita akan mempelajari cara menuliskan permasalahan dalam kehidupan sehari- hari menggunakan sebuah persamaan.Untuk mengetahuinya, amati kegiatan berikut.! 1. Rahmat, seorang mahasiswa tingkat empat, ia menerima les privat dan memperoleh Rp.25.000,00 per jam. Ayo perhatikan dan isi tabel berikut untuk mengetahui pendapatan Rahmat Jumlah Jam Pendapatan 1 (dalam puluhan ribu) 2 3 25 4 5 50 6 … …. 125 … Setelah kalian mengamati tabel pendapatan Rahmat per jam, bagaimana hubungan diantara banyak jumlah jam dan banyaknya pendapatan Rahmat. Berapa banyak jam yang dibutuhkan untuk memperoleh Rp.150.000,00 per jam. Dapatkah kamu menyelesaikan masalah tersebut? Penyelesaian: Berdasarkan pernyataan di atas, diperoleh informasi sebagai berikut:  Les privat 1 jam memperoleh uang sebanyak 25 (dalam puluhan ribu)  Les privat 2 jam memperoleh uang sebanyak 50 (dalam puluhan ribu)  Les privat 3 jam memperoleh uang sebanyak 75 (dalam puluhan ribu)  Les privat 4 jam memperoleh uang sebanyak 100 (dalam puluhan ribu)  Les privat 5 jam memperoleh uang sebanyak 125 (dalam puluhan ribu)  Les privat 6 jam memperoleh uang sebanyak 150 (dalam puluhan ribu) Sehingga banyak jam dan banyak uang yang diperoleh dikorespondensikan satu-satu membentuk suatu relasi sama, dapat dinyatakan dalam banyak tingkat. Jam bertingkat 6 memperoleh pendapatan sebanyak Rp.150.000,00. Adapun pola dari pernyataan tersebut adalah 5 adalah pendapatan dan j adalah banyaknya jam untuk les privat. Di sini dapat dilihat banyaknya uang yang didapatkan bergantung pada banyaknya jam untuk memberikan les privat, hal ini dikarenakan kedua hal tersebut saling bergantungan. Dalam hal ini, kita menggunakan dua variabel, yaitu variabel P dab variabel J. 4

Setelah kalian mengamati tabel dari kegiatan di atas. Untuk memahami cara penulisan persamaan linear dua variabel, ayo perhatikan ilustrasi berikut! Ilustrasi 1: Ibu pergi ke pasar untuk membeli buah-buahan untuk persediaan di rumah. Ibu membawa pulang satu kantong plastic yang berisi buah-buahan. Kantong plastik tersebut berisi 10 buah apel dan 15 buah jeruk. Buatlah bentuk persamaan dari ilustrasi tersebut? Bentuk ilustrasi gambar: Ingat..!! untuk menentukan berapa variabel yang digunakan, kita dapat memisalkannya. Dari ilustrasi di atas, dapat kita lihat ada 2 buah yang dibeli ibu dalam satu kantong plastic yaitu buah apel dan buah jeruk. Kita dapat memisalkannya yaitu, ������ buah apel dan ������ buah jeruk Ada 2 variabel yang kita gunakan dalam pemisalan tersebut. Yaitu variabel ������ dan variabel ������. Adapun bentuk persamaannya adalah ������ + 5������ atau ������ + 5������ . Sehingga dapat dikatakan bahwa ilustrasi tersebut merupakan bentuk dari persamaan linear dua variabel. Simpulan: Persamaan linear dua variabel adalah persamaan linear yang memuat dua variabel. 5

Untuk lebih memahami dan mengingat kembali tentang persamaan linear dua variabel, kerjakanlah latihan berikut ini! LATIHAN 1 1. Tunjukan koefisien, variabel dan konstanta dari persamaan 5������ + 6������ 7. 2. Cek apakah pasangan berurutan berikut ini merupakan salah satu selesaian dari persamaan yang diberikatan atau tidak. a. ������ 4������ ; 4 b. ������ 5������ ; 3 5 3. Ayah pergi ke bank untuk menukar selembar uang seratus ribuan dengan lembaran uang dua ribuan dan lima ribuan. Ada berapakah lembar uang dua ribuan dan lima ribuan yang terima ayah? 6

B Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Tujuan Pembelajaran: 1. Siswa dapat membedakan bentuk persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan liner dua variabel. 2. Siswa dapat mengetahui pengertian dan bentuk umum dari sistem persamaan linear dua variabel. Pada bab sebelumnya kalian sudah mempelajari persamaan linear dua variabel, pada bab ini kita akan membahas dan merincikan mengenai sistem persamaan linear dua variabel. Menurut kalian apakah persamaan linear dua variabel itu sama dengan sistem persamaan linear dua variabel? Perhatikan contoh persamaan berikut: Contoh Persamaan 1 Contoh Persamaan 2 ������ + ������ 3 ������ + ������ 3 ������ + 3������ 5 Dari dua contoh persamaan tersebut, menurut kalian manakah yang merupakan contoh dari bentuk sistem persamaan linear dua variabel? Menurut kalian apa yang membedakan antara persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear dua variabel? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, bacalah danperhatikan uraian materi berikut ini! 1. Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Sistem persamaan linear dua variabel (peubah) atauu disingkat SPLDV adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas dua buah persamaan linear yang masing- masing memiliki dua variabel (misal , dengan demikian, bentuk umum daru sistem persamaan linear dua variabel dalam dan dapat kita tuliskan sebagai berikut . ++ + Atau + 7

2. Ciri-ciri SPLDV Suatu persamaan dikatakan sistem persamaan linear dua variabel apabila memiliki karakteristik sebagai berikut: a. Menggunakan relasi tanda sama dngan b. Memiliki dua buah persamaan dan kedua persamaan tersebut memiliki dua variabel. c. Kedua variabel tersebut memiliki derajat satau (berpangkat satu). 3. Unsur/Komponen SPLDV Sebelumnya kita sudah membahas pengertian dan contoh mengenai unsur/komponen pada persamaan linear satu variabel, sama halnya dengan persamaan linear satu variabel, unsur/komponen yang selalu berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel, yakini suku, variabel, koefisien, dan konstanta. 4. Syarat SPLDV Memiliki Satu Penyelesaian Suatu sistem persamaan linear dua variabel akan tepat memiliki sebuah penyelesaian atau satu himpunan penyelesaian jika memenuhi syarat atau ketentuan sebagai berikut: a. Ada lebih dari satu atau ada dua buah persamaan linear yang sejenis. b. Persamaan linear dua variabel yang membentuk sistem persamaan linear dua variabel, bukan persamaan linear dua variabel yang sama. Untuk lebih memahami cara penulisan dari bentuk persamaan linear dua variabel, perhatikan ilustrasi dalam bentuk cerita berikut ini! Ilustari 1: Seorang tukang parkir mendapat uang sebesar RP.17.000,00 dari 3 buah mobil dan 5 buah motor, sedangkan dari 4 buah mobil dan 2 buah motor ia mendapat Rp.18.000,00. Tentukan sstem persamaan linear tersebut dalam bentuk model matematika? 8

Penyelesaian: Langkah Pertama: Pahami maksud dari soal cerita tersebut Langkah kedua: Membuat Pemisalan atau model matematika Misalkan: Mobil ������ Motor ������ Langkah Ketiga: Membuat Model Matematika (Bentuk Aljabar) 3 mobil dan 5 motor memperoleh Rp.17.000,00 Persamaan 1 4 mobil dan 2 motor memperoleh Rp.18.000,00 Persamaan 2 Bentuk Ajabar: 3������ + 5������ 7. Persamaan 1 4������ + ������ 8. Persamaan 2 Sehingga ada dua buah persamaan dari ilustrasi cerita tersebut, dan persamaan ini merupakan sistem persamaan dua variabel. 9

C Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Tahukan kamu kenapa harus mempelajari SPLDV? Ada banyak sekali manfaat belajar sistem persamaan linear dua variabel yang bisa kitaterapkan nantinya dalam kehidupan sehari-hari. Salah satunya kita dapat menentukan harga suatu barang yang kita beli, kita juga dapat mencari nila tunggal dari suatu barang sampai mencari keuntungan penjualan. Jadi untuk kalian jangan pernah malas untuk belajar dan perhatikan materi penyelesaian SPLDV ini dengan seksama. Pada saat kelas VII, kalian sudah memepelajari konsep persamaan linear dengan satu variabel. Selain itu, kalian juga sudah mempelajari operasi bentuk aljabar, persamaan garis lurus serta koordinat cartesius. Hal ini akan berkaitan satu dengan lainnya untuk menyelesaikan permasalahan sistem persamaan linear dua variabel. Pada penyelesaian permasalahan sistem persamaan linear dua variabel di kelas VIII ini mengunakan 3 metode, yaitu dengan menggunakan grafik, subtitusi dan eliminasi. Adapun yang dibahas yang pertama adalah penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel menggunakan metode grafik. 10

1 METODE GRAFIK Tujuan Pembelajaran: 1. Siswa dapat menyelesaiakn permasalahan yang berkaitan dengan sistem persamaan linaer dua variabel menggunakan metode grafik. Pada penyelesaian spldv menggunakan metode grafik akan saling berbuhungan dengan materi sebelumnya yang sudah kamu pelajari di kelas VII. Pada bentuk soal cerita, kamu akan melakukan pemodelan untuk mengubah soal cerita kebentuk matemtika, hal ini akan berkaitan dengan cara penulisan pada materi bentuk aljabar. Tentu kamu masih ingat mengenai materi aljabar yang membahas tentang suku, variabel, koefisen, konstanta dan cara menuliskan dalam bentuk persamaan. Selanjutkan kamu akan mencari titik koondiranat dari dua persamaan, kemudian menggambar grafik, dan menentukan titik potong dari kedua persamaan sesuai dengan materi koordinat cartesius yang sudah kamu pelajari. Jadi penyelesaian spldv menggunakan metode grafik akan berkaitan dengan materi sebelumnya. Diharpakan kamu bisa mengingat kembali materi seblumnya untuk memudahkan kamu dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan spldv menggunakan metode grafik. a. Pengertian Metode Grafik Metode grafk adalah salah satu cara penyelesaian spldv dengan menentukan titik potong antara dua persamaan garis sehingga didapatkan himpunan penyelesaian dari sistem linear dua variabel. b. Langkah Penyelesaian SPLDV menggunakan metode grafik Ada beberapa langkah menyelesaikan permasalahan sistem persamaan linear dua variabel menggunakan metode grafik yaitu dengan: 1. Membuat sebuah persamaan linear dua variabel dengan melakukan pemodelan dalam bentuk aljabar. 2. Mencari titik koordinat persamaan , dengan memisalkan persamaan dengan sesuai dengan materi yang sudah dipelajari pada materi koordinat kartesius. 3. Gambar grafik kedua persaman pada bidang kartesius 4. Yang menjadi penyelesaian pada metode grafik yaitu titik potong dari kedua garis yang telah dibuat pada grafik sesuai dengan persamaan garis lurus yang sudah dipelajari sebelumnya. 5. Kemudian periksa titik potong tersetut dengan memasukan titik potong tersebut ke dalam kedua persamaan. 11

Untuk lebih memahami penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel, perhatikan contoh soal berikut: Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan persamaan ������ + ������ 5 ������������������ ������ ������ untuk ������ ������ ∈ ������ dengan menggunakan metode grafik? Penyelesaian  Langkah 1: 5 + Diketahui: Dua persamaan Ditanyakan: Himpunan penyelesaian dengan menggunakan metode grafik? Jawab:  Langkah 2: Mencari titik koordinat persamaan atau menentukan titik potong masing- masing persamaan pada sumbu- dan sumbu-Y. (Materi Koorat Cartesius) Persamaan 1: + 5 Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya Titik potong dengan sumbu-X, adalah . syaratnya adalah . + 5 +5 + 5 +5 5 5 Titik potong (5 Titik potong ( 5 Persamaan 2: Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya Titik potong dengan sumbu-X, adalah . syaratnya adalah . Titik potong ( Titik potong ( 5 Jadi titik koordinat persamaan + 5 5 5 dan titik koordinat . persamaan adalah 12

 Langkah 3: Gambarkan grafik dari masing-masing persamaan pada bidang cartesius dengan menghubungkan titik koordinat yang sudah diperoleh. Seperti yang ditunjukan pada gambar di bawah ini.  Langkah 4: Dari gambar grafik di atas, sesuai dengan persamaan garis lurus yang sudah kamu pelajari sebelumnya di kelas VII,yang menjadi titik potong kedua persamaan tersebut di titik 3 dan titik tersebut merupakan daerah penyelesaiannya.  Langkah 5: Kemudian periksa titik potong tersebut dengan memasukan kedalam kedua persamaan, dengan 3 . Persamaan 1: Persamaan 2: +5 1 3+ 5 3 5 5 (Benar) (Benar) Dengaan demikia, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan + 5 untuk ∈ adalah (3, 2) = 13

Contoh 2 Paman dan ayah masing-masing membeli manga dan apel di toko untuk dibagikan kepada anak yatim. Paman membeli 2 kantong yang berisi buah manga dan 4 kantong yang berisi buah apel, kantong plastic yang dibawa oleh paman memiliki berat 12 kg. Sedangkan ayah juga membeli 2 kantong yang berisi buah manga dan satu kntong berisi buah apel. Kantong yang dibawa ayah memiliki berat 6 kg. berapakah berat masing-masing buah manga an apel dalam satu kantong plastik tersebut? Penyelesaian  Langkah 1: Membuat sebuah persamaan dengan melakukan pemodelan matematika. Diketahui: Misalkan: Kantong yang berisi buah manga = Kantong yang berisi buah apel = Sehingga pemodelan matematika dalam bentuk aljabar Dua persamaan +4 +6 Ditanyakan: Himpunan penyelesaian dengan menggunakan metode grafik? Jawab:  Langkah 2: Mencari titik koordinat persamaan atau menentukan titik potong masing- masing persamaan pada sumbu- dan sumbu-Y. (Materi Koorat Cartesius) Persamaan 1: + 4 Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya Titik potong dengan sumbu-X, adalah . syaratnya adalah . +4 +4 +4 +4 3 6 4 Titik potong (6 Titik potong ( 4 Persamaan 2: +6 Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya Titik potong dengan sumbu-X, adalah . syaratnya adalah . +6 +6 +6 +6 6 +6 3 6 Titik potong (3 Titik potong ( 6 14

Jadi titik koordinat persamaan + 4 6 3 dan titik koordinat persamaan + 6 adalah 3 6.  Langkah 3: Gambarkan grafik dari masing-masing persamaan pada bidang cartesius dengan menghubungkan titik koordinat yang sudah diperoleh. Seperti yang ditunjukan pada gambar di bawah ini.  Langkah 4: Dari gambar grafik di atas, sesuai dengan persamaan garis lurus yang sudah kamu pelajari sebelumnya di kelas VII,yang menjadi titik potong kedua persamaan tersebut di titik dan titik tersebut merupakan daerah penyelesaiannya.  Langkah 5: Kemudian periksa titik potong tersebut dengan memasukan kedalam kedua persamaan, dengan . Persamaan 1: Persamaan 2: +4 +6 +4 +6 4+8 4+ 6 12=12(Benar) 6=6(Benar) Dengaan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2 + 4 + 6untuk dalam kg adalah (2, 2). Jadi masing-masing kotak plastic berisi 2 kg manga dan 2 kg apel. 15

Untuk lebih meyakinkan, pemahamanmu tentang materi ini, ayo kita berlatih mengerjakan latihan berikut ini menggunakan metode grafik..!! LATIHAN 2 1. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat dengan memberi tanda silang × pada huruf a, b, c, dan d! Manakah diantara persamaan berikut ini yang merupakan persamaan linear dua variabel: a. + ������ 3 b. 3������ 4 ������ c. 4������ + 8 d. ������ 4������ 6 2. Asep dan Intan pergi ke toko buah untuk membeli buah-buahan. Asep membeli 2 kg manga dan 1 kg apel dan ia harus membayar Rp.15.000,00, sedangkan Intan membeli 1 kg manga dan 2 kg apel dengan harga Rp.18.000,00. Tuliskanlah bentuk model matemtika dari sistem persamaan linear dua variabel tersebut? 3. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut. ������ ������ + 9 ������ 6 ������ Dengan menggunakan metode grafik! 4. Persamaan garis ������������ + ������������ 9 melalui titik (3 dan 6 ). Niilai dari ������2 + ������2 ������������ adalah… 5. Yulida membeli kue untuk lebaran. Harga satu kaleng kuee nastar sama dengan 2 kali harga satu kaleng kue keju. Harga 3 kaleng kue nastar dan 2 kaleng kue keju Rp.480.000,00. Uang yang harus dibayarkan Yulida untuk membeli 2 kaleng kue nastar dan 3 kaleng keju adalah? Berdasarkan informasi tersebut, gunakan metode grafik untuk menyelesaikan soal tersebut. “Kita tidak akan dapat memecahkan sebuah masalah, tanpa pernaah mencobanya” 16

2 METODE ELIMINASI Tujuan Pembelajaran: 1. Siswa dapat menyelesaiakan permasalahan yang berkaitan dengan sistem persamaan linaer dua variabel menggunakan metode eliminasi. a. Pengertian Metode Eliminasi Metode eliminasi adalah salah satu cara penyelesaian spldv dengan cara mengeliminasi salah satu variabel atau menghilnagkan salah satu peubah (variabel) dengan menyamakan koefisien dari kedua persamaan tersebut. Cara untuk menghilangkan salah satu variabel (peubahnya) yaitu dengan cara perhatikan tandanya, apabila (+) dengan (+) atau (-) dengan (-), maka untuk mengeliminasinya dengan cara mengurangkan. Dan sebaliknya, apabila tandanya berbeda maka gunakanlah sistem penjumlahan. b. Langkah-langkah Penyelesaian SPLDV Menggunakan Metode Eliminasi 1. Menentukan apa yang diketahui, apa yang ditanyakan dari soal, kemudian membuat pemisalan/ model matematika (dalam bentuk aljabar) 2. Menentukan variabel yang akan dieliminasi terlebih dahulu dan mengeliminasi salah satu variabel tersebut. 3. Untuk menentukan nilai dari nilai dari variabel selanjutnya, yaitu dengan mengalikan kedua persamaan dengan angka yang sesuai, sehingga kedua persamaan dapat dieliminasi. 4. Menuliskan himpunan penyelesaiannya. 5. Kemudian memeriksa kembali nilai yang didapat dengan memasukan ke dalam kedua persamaan. Untuk lebih jelasnya tentang langkah-langkah di atas maka perhatikan contoh soal spldv dan penyelesaiannya berikut ini dengan menggunakan metode eliminasi. Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan ������ + 3������ 5 ������������������ ������ + 6������ 3 dengan menggunakan metode eliminasi! 17

Penyelesaian: +3 5 Langkah Pertama: 3 +6 Diketahui: dua persamaan yaitu: Ditanyakan : Himpunan penyelesaian dari kedua persamaan..? Langkah Kedua: Menentukan variabel mana yang akan di eleminasi terlebih dahuli. Kali ini, kita akan menghilangkan variabel terbelih dahulu, untuk menenumakan nilai dari variabel . Caranya sebagai berikut: Pada persamaan 2, akan dibagi dengan 3 untuk menjadikan 3 . 3 +6 3 3+ .. . Maka, +3 5 .. . + . Dari persamaan (1) dan (2), mari kita eliminasi variabel , sehingga hasilanya: 2 Langkah Ketiga: Selanjutnya, untuk mengetahui nilai dari , maka kita akan mengalikan Persamaan (1) dengan angka yang sesuai yaitu 2 dan mengalikan persamaan (2) dengan angka yang sesuai yaitu 1. + 3 5 |× | +6 3 . .3 3 + 6 3 |× | 3 + 6 3 .4 Eliminasi variabel pada persamaan (4) dan (3), yang hasilnya menjadi: 2 Langkah Keempat: Menuliskan himpunan persamaannya dengan 5, maka himpunan penyelesaiannya adalah HP 5}  Langkah 5: Kemudian periksa kembali nilai yang didapat, dengan memasukan kedalam kedua persamaan, dengan 5. 18

Persamaan 1: Persamaan 2: +3 5 3 + 6 30 +3 5 5 3 +6 5 3 +5 5 15=15(Benar) +3 3 30=30(Benar) Dengaan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 3 + 3 5 3 + 6 3 untuk adalah (0, 5). Contoh 2 Andi berbelnaja ke toko buku, ia membeli 4 pulpen dan 1 pensil Untuk itu Andi harus membayar sejumlah Rp.5.500,00. Di toko yang sama, Budi juga membeli 6 pulpen dan 3 pensil. Jumlah uang yang harus dibayar Budi sebesar Rp.8.400,00. Tentukanlah berapa harga untuk satu pulpen dan harga satu pensil yang mereka beli di toko tersebut? Penelesaian: Langkah Pertama: Diketahui: 4 pulpen dan 1 pensil = Rp.5.500,00 6 pulpen dan 1 pensil= Rp.84.00,00 Ditanyakan :Harga satu pulpen dan harga satu pensil..? Membuat pemodelan matematika dalam bentuk aljabar Misal: Pulpen Pensil 4 + 5.5 .. . Maka persamaan, 6 + 3 8.4 .. . Langkah Kedua: Menentukan variabel mana yang akan di eleminasi terlebih dahuli. Kali ini, kita akan menghilangkan variabel terbelih dahulu, untuk menenumakan nilai dari variabel . Caranya dengan mengalikan kedua persamaan dengan angka yang sesuai. 4 + 5.5 |× 3| + 3 6.5 . . 6 + 3 8.4 |× | 6 + 3 84. . 19

Untuk mengetahui nilai dari variabel yaitu dengan mengeliminasi variabel pada persamaan (1) dan (2), yang hasilnya menjadi: 2. . . . Langkah Ketiga: Selanjutnya, untuk mengetahui nilai dari , maka kita akan mengalikan Persamaan (1) dengan angka yang sesuai yaitu 6 dan mengalikan persamaan (2) dengan angka yang sesuai yaitu 4. 4 + 5.5 |× 6| 4 + 6 33. . . . 3 6 + 3 8.4 |× 4| 4 + 33.6 .4 Eliminasi variabel pada persamaan (4) dan (3), yang hasilnya menjadi: 22. 2. Langkah Keempat: Menuliskan himpunan persamaannya dengan .35 , maka untuk harga satu pulpen Rp.1.350,00 dan harga satu pensil Rp.100,00. Langkah 5: Kemudian periksa kembali nilai yang didapat, dengan memasukan kedalam kedua persamaan, dengan .35 . Persamaan 1: Persamaan 2: 4 + 5.5 6 + 3 84.00 4 .35 + 5.5 6 .35 + 3 8.4 5.4 + 5.5 8. + 3 8.4 5.500=5.500(Benar) 8.400=8.400(Benar) Dengan demikian, untuk harga satu pulpen Rp.1.350,00 dan harga satu pensil Rp.100,00. 20

LATIHAN 3 1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut. ������ ������ 3������ ������ 3 Dengan menggunakan metode eliminasi. Bapak Musa adalah seorang penjaga parkir pada sebuah gedung pusat perbelanjaan. Di sana terdapat 60 kendaraan yang terdiri dari sepeda motor dan mobil. Jika dihitung jumlah roda seluruhnya ada 168 buah. Baiaya parkir sebuah sepeda motor Rp.2.000,00. Sedangkan biaya parkir mobil Rp.5.000,00. Berapa pendapatan Pak Musa dari menjaga parkir disana? Berdasarkan informasi tersebut, gunakan metode eliminasi untuk menylesaikan soal tersebut. 2. Diketahui keliling suatu persegi panjang 50 cm. Jika 5 kali panjangnya dikurangi 3 kali lebarnya sama dengan 45 cm, maka berapa panjang dan lebar persegi panjang tersebut Berdasarkan informasi dari soal tersebut, gunakan metode eliminasi untuk menyelesaikannya 3. Icha pergi ke sebuah toko perlengkapan alat tulis untuk membeli buku tulis dan pensil. Diketahui harga 4 buah buku tulis dan 2 pensil Rp.13.000,00. Sedangkan harga 3 buah buku tulis dan sebuah pensil Rp.9.000,00. Maka harga untuk 5 buah buku tulis dan 2 pensil adalah? Jika toko tersebut memberikan potongan harga sebesar 10%. Berapa uang yang harus dibayar untuk membeli buku tulis dan pensil tersebut? 21

3 METODE SUBTITUSI Tujuan Pembelajaran: 1. Siswa dapat menyelesaiakan permasalahan yang berkaitan dengan sistem persamaan linaer dua variabel menggunakan metode subtitusi. a. Pengertian Metode Subtitusi Metode subtitusi yaitu cara menyelesaikan spldv dengan mengganti salah satu variabel (peubah) b. Langgkah-langkah Penyelesaian SPLDV Menggunakan Metode Subtitusi 1. Menentukan apa yang diketahui, apa yang ditanyakan dari soal, kemudian membuat pemisalan/ model matematika (dalam bentuk aljabar). 2. Ubahlah salah satu persamaan menjadi bentuk + +  a, b, c, dan d adalha nilai yang ada pada persamaan.  Carilah salah salah satu persamaan termudah. 3. Subtitusikan + + untuk mencari nilai kedalam salah satu persamaan 4. Cari nilai dari variabel yang belum diketahui dengan mensubtitusikan nilai yang sudah didapat kedalam persamaan yang mudah. 5. Kemudian memeriksa kembali nilai yang didapat dengan memasukan ke dalam kedua persamaan. Contoh 2 Perhatikan persamaan berikut ini. ������ + 3������ 5 3������ + 6������ Tentukan himpunan penyelesainnya dengan menggunakan metode subtitusi! Penyelesaian: +3 5 Langkah Pertama: 3 +6 Diketahui: dua persamaan yaitu: Ditanyakan : Himpunan penyelesaian dari kedua persamaan..? 22

Langkah Kedua: Ubahlah salah satu persamaan menjadi + + , carilah persamaan termudah. Yang dipilih adalah persamaan 1, akan diubah menjadi bentuk + +3 5 3+5 Langkah Ketiga: Untuk mencari nilai dari ubtitusikan 3 + 5 ke dalam persamaan kedua , sehingga hasilnya sebagai berikut: 3 +6 3 Subtitusi 3 + 5 ke.Pers 2 3 3 + 5 +6 3 selesaikan perkalian 9 + 45 + 6 3 Jumlahkan nilai pada variabel 3 + 45 3 3 3 45 35 Langkah Keempat: Selanjutnya untuk mencari nilai dari , subtitusikan nilai dari yang sudah didapat kedalam salah satu persamaan yang mudah. Kita akan mensubtitusikan nilai ke dalam persamaan pertama yaitu, + 3 5. +3 5 +3 5 5 +5 5 55 Langkah 5: Kemudian periksa kembali nilai yang didapat, dengan memasukan kedalam kedua persamaan, dengan 5. Persamaan 1: Persamaan 2: +3 5 3 + 6 30 +3 5 5 6. + 6. 5 3 +5 5 15=15(Benar) +3 3 30=30(Benar) Dengan demikian, untuk himpunan penyelesaiannya adalah 55 23

Contoh 2 Nada membeli kue untuk Idhul Fitri. Harga satu kaleng nastar sama dengan 2 kali harga satu kaleng kue keju. Harga 3 kaleng kue nastar dan 2 kaleng kue keju Rp.480.000,00. Uang yang harus dibayarkan Nada untuk membeli 2 kaleng kue nastar dan 3 kaleng kue keju adalah.. Penyelesaian: Langkah Pertama: Diketahui: harga satu kaleng nastar 2 kali harga satu kaleng kue keju Harga 3 kaleng kue nastar + 2 kaleng kue keju Rp.480.000,00 Membuat pemodelan matematika dalam bentuk aljabar Misalkan: kue nastar kue kejua Maka, persamaannya, 3+ 48 . Ditanyakan : Harga 2 kaleng kue nastar dan 3 kaleng kue keju 3 + ..? Langkah Kedua: + + , carilah persamaan Ubahlah salah satu persamaan menjadi termudah, pada persamaan pertama Langkah Ketiga: Untuk mencari nilai dari ubtitusikan ke dalam persamaan kedua , sehingga hasilnya sebagai berikut: 3+ 48 . Subtitusi 3 + 5 ke.Pers 2 3+ 48 . selesaikan perkalian 6+ 48 . Jumlahkan nilai pada variabel 8 48 . . . Langkah Keempat: Selanjutnya untuk mencari nilai dari , subtitusikan nilai dari . yang sudah didapat kedalam salah satu persamaan yang mudah. Kita akan mensubtitusikan nilai . ke dalam persamaan pertama yaitu, . 6. . 24

Langkah 5: Kemudian periksa kembali nilai yang didapat, dengan memasukan kedalam kedua persamaan, dengan . 6. . Persamaan 1: Persamaan 2: . 6. 3 + 480.000 .. 3 . + 6. 48 . 36 . + . 48 . 480.000=480.000(Benar) Dengan demikian, untuk himpunan penyelesaiannya adalah . 6. . Harga untuk satu kaleng nastar Rp.120.000,00 dan harga satu kaleng kue keju Rp.60.000. Untuk harga 2 kaleng nastar dan 3 kaleng kue keju +3 . +3 6 . 4. + 8. 4. Jadi uang yang harus dibayarkan nada untuk membeli 2 kaleng nastar dan 3 kaleng kue keju adalah Rp.420.000. 25

Latihan 4 1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut. 5������ 4������ + 8 3������ 3������ 3 Dengan menggunakan metode eliminasi. 2. Harga sepasang sepatu empat kali harga sendal. Mona membeli 2 pasang sepatu dan 3 pasang sendal dengan harga Rp.275.000,00. Dava juga ingin membeli 3 pasang sepatu dan 2 pasang sandal, maka berapa uang yang harus dibayar Dava? Berdasarkan informasi tersebut, gunakan metode subtitusi untuk menyelesaikan soal tersebut. 3. Perhatikan gambar di bawah ini! Diketahui keliling sebuah segitiga sama kaki adalah 43,5 cm. Panjang sisi ������ adalah 3 cm kurangnya dari sisi ������. Dari permasalahan tersebut, tentukan nilai ������ dan ������ menggunakan metode subtitusi? 4. Setiah hari Lisa dan Murni bekerja pada sebuah pabrik tas. Lisa dapat menyelesaikan 3 buah tas setiap jam dan Murni dapat menyelesaikan 4 tas setiap jam. Jumlah jam kerja Lisa dan Murni adalah 16 jam dalam sehari dan dapat menghasilkan 55 tas. Jika jam keduanya berbeda, tentukan jam kerja masing-masing dari mereka? Jika keesokan harinya lisa lembur dengan menambah jam kerja selama 3 jam. Menurutmu apakah jumlah tas bertambah jika lisa melakukan lembur? Jika iya, berikan alasanmu ? Tidak ada kata “GAGAL” selama kita selalu berusaha untuk 26

Dari pembahasan yang telah kalian pelajari, dapat kita simpulkan materi sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut: RANGKUMAN 1. Persamaan linear dua variabel adalah persamaan linear yang memuat dua variabel. 2. Sistem persamaan linear dua variabel (peubah) atau disingkat SPLDV adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas dua persamaan linear yang masing-masing memiliki dua variabel (misal ������ ������������������ ������). Dengan demikian, bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dalam ������ dan ������ dapat kita tuliskan sebagai berikut. ������������ + ������������ ������ Atau ������ ������ + ������ ������ ������ ������������ + ������������ ������ ������2������ + ������2������ ������2 3. Unsur/Komponen SPLDVyakni: suku, variabel, koefisien dan konstanta. 4. Suatu sistem persamaan linier dua variabel akan tepat memiliki sebuah penyelesaian atau satu himpunan penyelesaian jika memenuhi syarat atau ketentuan berikut ini. a. Ada lebih dari satu atau ada dua persamaan linier dua variabel sejenis. b. Persamaan Linier Dua Variabel yang membentuk Sistem Persamaan Linier Dua Variabel, bukan Persamaan Linier Dua Variabel yang sama . 5. Metode eliminasi adalah metode atau cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan cara mengeliminasi atau menghilangkan salah satu peubah (variabel) dengan menyamakan koefesiaen dari persamaan tersebut. 6. Metode subtitusi, yaitu metode atau cara menyelesaikan SPLDV dengan mengganti salah satu peubah atau variabel. 27

4 METODE CAMPURAN Tujuan Pembelajaran: 1. Siswa dapat menyelesaiakan permasalahan yang berkaitan dengan sistem persamaan linaer dua variabel menggunakan metode campuran. Kamu sudah mempelajari penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel menggunakan metode grafik, eliminasi dan suntitusi. Setelah kamu memamahi metode tersebut, adakah cara penyelesaian lainnya? Bisakah metode-metode tersebut digabungkan? Bagaimana caranya? Metode campuran atau bisa juga disebut dengan metode gabungan yaitu suatu cara untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel dengan menggunakan dua metode yaitu metode eliminasi dan metode subtitusi secara bersamaan.Karena pada masing- masing metode mempunyai keunggulan masing-masing diantaranya adalah:  Metode eliminasi mempunyai keunggulan baik diawal penyelesaian  Metode subtitusi mempunyai keunggulan baik diakhir penyelesaian.  Maka dengan menggunakan kedua metode ini akan mudah memperoleh dalam penyelesaian spldv. Perhatikan ilustrai berikut ini! Pada hari minggu ibu ke pasar membelikan baju untuk 2 orang anaknya. setelah berbincang-bincang dengan penjual, penjual memberikan harga 4 baju kaos dan 3 celana dengan harga Rp.190.000,00. Jika ibu membeli 2 baju kaos dan 4 celana, ibu harus membayar Rp.160.000,00. Berapakah harga satu baju kaos dan satu celana? Jika ibu bermaksud membeli 2 baju dan 2 celana, berapakah uang yang harus dibayarkan oleh ibu? 28

Kamu sudah mempelajari penyelesain spldv menggunakan metode eliminasi dan subtitusi. Untuk ilustrasi di atas tersebut, gunakanlah penalaran kalian untuk menyelesaiakan ilustrasi tersebut. Kamu bisa menggabungkan metode-metode yang sudah dipelajari!!! Penyelesaian:………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ~Dengan Pengetahuan Akan Mampu Mengenal Dunia~ 29

Pada latihan 5 ini, gunakan penalaran kalian untuk menyelesaiak persaman linear dua variabel ini menggunakan metode campuran (eliminasi-subtitusi). Latihan 5 1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut. 5������ 4������ + 8 3������ 3������ 3 Dengan menggunakan metode campuran 2. Ibu pergi ke pasar untuk membeli buah apel dan jeruk. Harga 3 kg apel dan 5 kg jeruk adalah Rp 85.000,00. Harga 5 kg apel dan 7 kg jeruk adalah Rp 123.000,00. Berapakah uang yang harus dibayar ibu jika ibu membeli 2 kg apel dan 2 kg jeruk ? Berdasarkan informasi tersebut, gunakan metode campuran untutk mengerjakan saoal tersebut. 3. Nadia membeli 2 buku tulis dan 1 buku komik dan ia harus membayar Rp15.000,00, sedangkan Fika membeli 1 buku tulis dan 2 buku komik dengan harga Rp18.000,00. Jika masing-masing mereka memiliki uang sebesar Rp.200.000,00. Berapa buku tulis dan buku komik yang dapat mereka beli? Berdasarkan informasi tersebut, gunakan metode campuran untutk mengerjakan saoal tersebut 4. Bu Wati dan Bu Yeni pergi ke Butik penjual kain songket Khas Palembang. Bu Wati membeli dua lembar songket Limar dan lembar songket Berakam sehararga Rp.15.800.000,00. Bu Yeni juga membeli satu lembar songket Limar dan dua lembar songket Berkam seharga Rp.9.900.000,00.Pada ke esokan harinya Bu Nisa juga akan membeli kain songet di butik yang sama. Bu Nisa hanya memiliki uang Rp.30.000.000,00. Menurut Bu Nisa uang yang dimilikinya sudah cukup untuk membeli 10 lembar kain songket. Tetapi menurut Bu Wati uang Bu Nisa tidak cukup untuk membeli 10 lembar songket. Sedangkan menurut Bu Yeni tergantung jenis songket mana ynag akan dibeli Bu Nisa.Berdasarkan informasi tersebut, siapakah yang mengatakan benar? Berikan Alasanmu? ~“Semua Akan terasa Indah Katika Bisa Memahami Suatu Permasalahan Dan Mampu Memecahkannya”~ 30

DAFTAR PUSTAKA Rahman Abdu, As’ari dkk. Matematika SMP/MTs Kelas VIII, Jakarta: Kemendekbud, 2017. Kurniawan, Mandiri Matematika SMP Kelas VII, Jakarta:Erlangga, 2006. Tezar Arneda, Matematika Untuk SMP/MTs Kelas VII Modul Pengayaan, Surakarta: CV Graha Pustaka, 2017. 31

32