ระบบจำนวนเต็ม

บทเรียนการ์ตูน บทที่ 1 เรื่อง จำนวนเต็ม INTEGER จัดทำโดย เด็กชายธีธัช รักเสรีไทย ชั้นมัธยมศึ กษาปีที่ 1/1 เลขที่ 4 เสนอ อาจารย์วิยะดา คงดำ เป็นส่วนหนึ่ งของรายวิชา คณิตศาสตร์พื้นฐาน (ค21101) โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ลพบุรี

ระบบจำนวนเต็ม จำนวนเต็ม คือ จำนวนที่ไม่มีเศษส่วนและทศนิ ยม รวมอยู่ในจำนวนนั้ น ซึ่งจำนวนเต็มจะแบ่งออกเป็น 3 แบบคือ 1. จํานวนเต็มบวก คือ จำนวนที่มีค่ามากกว่าศูนย์ (ฝั่ งขวาของเส้นจำนวน) 2. ศูนย์ คือ จำนวนที่ไม่เป็นทั้งบวกและลบ (อยู่ ตรงกลางของเส้ นจำนวน) 3. จํานวนเต็มลบ คือ จำนวนที่มีค่าน้ อยกว่าศูนย์ (ฝั่ งซ้ายของเส้นจำนวน)

เส้ นจำนวน เส้นจำนวน หมายถึง ชื่อของเส้นตรงที่ถูกลากขึ้น มาเส้นหนึ่ งที่มีจุดหนึ่ งบนเส้นแทนศูนย์ (0) และให้จุด ทางซ้ายมือของศูนย์ (0) ที่ห่างออกไปเป็นช่องยาว หนึ่ งหน่ วยเท่า ๆ กันคือจำนวนเต็มลบ (-1, -2, -3, ...) ส่วนจุดทางขวามือของศูนย์ (0) ที่ห่างออกไปเป็นช่อง ยาวเท่า ๆ กันคือจำนวนเต็มบวก (1, 2, 3, ...) เส้นจำนวนแสดงความสัมพันธ์ ของจำนวนเต็ม (หัวลูกศรสามารลากไปได้เรื่อยๆ ไม่มีสิ้นสุด)

การเปรียบเทียบจำนวนเต็ม การเปรียบเทียบจำนวนเต็ม จากเส้นจำนวน ยิ่งไปฝั่ งขวา ยิ่งมีค่ามาก ยิ่งไปฝั่ งซ้าย ยิ่งมีค่าน้ อย สั ญลักษณ์ แทนการเปรียบเทียบมีดังนี้ < เครื่องหมายน้ อยกว่า เช่น 1 น้ อยกว่า 3 เป็น 1 < 3 เช่น 1 เท่ากับ x เช่น -1 มากกว่า -3 = เครื่องหมายเท่ากับ เป็น 1 = x > เครื่องหมายมากกว่า เป็น -1 > -3 ค่าสัมบูรณ์ คือ ผลตางของจำนวนนั บใดๆ กับ 0 โดย ใช้สัญลักษณ์ | | บนจำนวนนั้ นๆ เช่น | 5 | = 5 , | -10 | = 10

การบวกจำนวนเต็ม 1 การบวกจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก ให้นำค่าสั มบูรณ์ ของทั้งสองมาบวกกัน ตอบออกมาเป็นค่าบวก เช่น 3+ 2 = | 3 | + | 2 | = 3 + 2 = 5 2 การบวกจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ ให้นำค่าสั มบูรณ์ ของทั้งสองมาบวกกัน ตอบออกมาเป็นค่าลบ เช่น (-3) + (-2) = - [ | 3 | + | 2 | ] = -( 3 + 2 ) = -5

การบวกจำนวนเต็ม (ต่อ) 3 การบวกจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองมาลบกัน โดย เอาตัวมากกว่าตั้ง ตอบออกมาเป็นบวกหรือ ลบนั้ น ให้เลือกตามตัวมากกว่า เช่น 3 + (-2) = 1 หรือ (-3) + 2 = -1 อย่างไรก็ดี วิธีที่ผ่านมาดังกล่าว เน้ นความจำมากกว่าความ เข้าใจ เมื่อบวกลบมากกว่าสองจำนวนขึ้นไปก็อาจเกิดความ สับสน จึงแนะนำให้ใช้เส้นจำนวนในการพิจารณาด้วย และ ให้คิดดูว่า ค่าบวกนั้ นจะมีทิศทางไปทางขวา ค่าลบมีทิศทาง ไปทางซ้าย และจะหักล้างกันเสมอ

การลบจำนวนเต็ม การลบจำนวนเต็ม ทําได้โดยเปลี่ยน จากลบเป็นการบวกด้วยจานวนตรงข้าม เช่น 3 – 2 คือ 3 + (-2) = -6

การคูณจำนวนเต็ม ให้นำค่าสัมบูรณ์ ของทั้งสองจำนวนมาคูณกัน แล้ว พิจารณาดังนี้ จำนวนเต็มบวก x จำนวนเต็มบวก = ค่าบวก จำนวนเต็มลบ x จำนวนเต็มลบ = ค่าบวก จำนวนเต็มบวก x จำนวนเต็มลบ = ค่าลบ จำนวนเต็มลบ x จำนวนเต็มบวก = ค่าลบ วิธีการดังกล่าวก็เป็นการท่องจำเช่นกัน ลองพิจาณา ดังนี้ (-1) x (-1) = 1 (-1) x (-1) x (-1) = -1 5 x (-3) = 5 x 3 x (-1) >>> มีลบออกมา 1 ตัว ได้ค่าลบ = -15 (-5) x (-3) = 5 x 3 x (-1) x (-1) >>> มีลบออกมา 2 ตัว ได้ค่าบวก = 15 (-5) x (-3) x (-2) = 5 x 3 x 2 x (-1) x (-1) x (-1)>>> มี ลบออกมา 3 ตัว ได้ค่าลบ = -30 สรุปคือ นั บจำนวนลบที่มี ถ้าเป็นคู่หรือศูนย์ก็ได้ ค่าบวก ถ้าเป็นคี่ก็ได้ค่าลบ

การหารจำนวนเต็ม การหารจำนวนเต็ม ให้นำค่าสัมบูรณ์ ของทั้งสอง จำนวนมาคูณกัน แล้วพิจารณาดังนี้ จำนวนเต็มบวก ÷ จำนวนเต็มบวก = ค่าบวก จำนวนเต็มลบ ÷ จำนวนเต็มลบ = ค่าบวก จำนวนเต็มบวก ÷ จำนวนเต็มลบ = ค่าลบ จำนวนเต็มลบ ÷ จำนวนเต็มบวก = ค่าลบ วิธีการดังกล่าวก็เป็นการท่องจำเช่นกัน ลองพิจาณาดังนี้ (-1) ÷ (-1) = 1 สรุปคือ นั บจำนวนลบที่มีทั้งฝั่ งเศษและส่วน ถ้าเป็น คู่หรือศูนย์ก็ได้ค่าบวก ถ้าเป็นคี่ก็ได้ค่าลบ

สมบัติของจำนวนเต็ม 1. สมบัติการสลับที่ เมื่อมีจำนวนเต็มสองจำนวนบวกกันหรือ คูณกัน สามารถสลับที่ได้โดยที่ผลลัพธ์ยัง คงเท่าเดิม นั่ นคือ a + b = b + a และ a × b = b × a เมื่อ a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ เช่น 3 + (-2) = (-2) + 3 = 1 (-2) × 3 = 3 × (-2) = -6

สมบัติของจำนวนเต็ม 2. สมบัติการเปลี่ยนหมู่ เมื่อมีจำนวนเต็มสามจำนวนบวกกันหรือคูณ กัน สามารถทำคู่แรกหรือคู่หลังก่อนก็ได้ โดยที่ผลลัพธ์สุดท้ายยังคงเท่ากัน นั่ นคือ (a + b) + c = a + (b + c) และ (a × b) × c = a × (b × c) เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ เช่น [1 + (2)] + (3) = 1 + [(2) + (3)] = 6 [4 x (2)] x (3) = 4 x [(2) x (3)] = 24

สมบัติของจำนวนเต็ม 3. สมบัติการแจกแจง เมื่อมีจำนวนเต็มไปคูณกับในวงเล็บที่มี จำนวนเต็มบวกหรือลบกันอยู่ สามารถที่จะ แจกจำนวนเต็มนั้ นเข้าไปคูณทุกจำนวนใน วงเล็บได้ นั่ นคือ a × (b + c) = (a × b) + (a × c) และ (b + c) × a = (b × a) + (c × a) เช่น (-3) × [5 + 2] = [(-3) × 5] + [(-3) × 2] = -21

สมบัติของหนึ่ งและศูนย์ สมบัติของศูนย์ 1. a + 0 = 0 + a = a เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ 2. a × 0 = 0 × a = 0 เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ 3. 0 ÷ a = 0 เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ 0 4. a × b = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรือ b = 0 สมบัติของหนึ่ ง ให้ a แทนจำนวนเต็มใดๆ 1. a × 1 = 1 × a = a 2. a ÷ 1 = a เมื่อ a แทนจำนวนเต็มใดๆ