หารร่วมมากและคูณร่วมน้อย

หารร่วมมาก และ คณู ร่วมน้อย

สาระที่ 1 จานวนและพีชคณิต มาตรฐาน 1.1 เข้าใจความหลากหลายของการแสดงจานวน ระบบจานวน การดาเนนิ การของ จานวน ผลทเี่ กิดข้นึ จากการดาเนนิ การ สมบตั ิของการดาเนนิ การ และการนาไปใช้ ตวั ช้ีวัด ป.1 ป.2 ป.3 ป.4 ป.5 ป.6 1. ๔. หา ห.ร.ม. ของจานวนนับ ไม่ เกนิ ๓ จานวน

ตวั ช้วี ัดชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 หา ห.ร.ม. ของจานวนนบั ไม่เกิน ๓ จานวน เนือ้ หา : อยใู่ นหนังสอื เรยี นคณติ ศาสตร์ ชั้นประถมศกึ ษาปที ่ี 6 เล่ม 1 บทที่ 1 ห.ร.ม. และ ค.ร.น 1.1 ตัวประกอบและการแยกตัวประกอบ  ตวั ประกอบของจานวนนับ พิจารณาสถานการณ์ตอ่ ไปน้ี ขุนมีลกู อม 6 เม็ด ต้องการจดั ลกู อมเปน็ กอง กองละเท่า ๆ กนั ขุนจัดลกู อมไดก้ องละกเ่ี ม็ด การจัดลกู อมเปน็ กอง กองละเท่า ๆ กนั จัดได้ 4 แบบ ดงั นี้ แบบท่ี 1 จดั กองละ 1 เม็ด จะได้ 6 1 6 กอง

แบบที่ 2 จดั กองละ 2 เม็ด จะได้ 6 2  3 กอง แบบท่ี 3 จดั กองละ 3 เมด็ จะได้ 6 3  2 กอง แบบที่ 4 จดั กองละ 6 เม็ด จะได้ 6 6 1 กอง

จากสถานการณ์ดงั กล่าว พบวา่ 6 1 6 623 63 2 66 1 แสดงวา่ จานวนนบั ทง้ั หมดทห่ี าร 6 ไดล้ งตัว ไดแ้ ก่ 1, 2, 3 และ 6 เรยี กจานวนนับที่หาร 6 ไดล้ งตวั วา่ ตวั ประกอบของ 6 แสดงวา่ 1, 2, 3 และ 6 เป็นตัวประกอบของ 6 เพราะ 1, 2, 3 และ 6 หาร 6 ไดล้ งตวั ดงั นน้ั ตวั ประกอบของ 6 ไดแ้ ก่ 1, 2, 3 และ 6 ดังน้นั ตัวประกอบของ 6 ไดแ้ ก่ 1, 2, 3 และ 6

ตัวอยา่ หาตัวประกอบท้งั หมดของ 12 วิธที า เน่อื งจาก 12 1  12 ขอ้ สังเกต 12  2  6 12  3  4 12  4  3 12  6  2 12 12  1 ดงั นน้ั ตัวประกอบทัง้ หมดของ 12 ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 ตอบ , , ๓, ๔, ๖ และ จานวนนบั ทุกจานวน จะมี 1 และ ตัวมนั เอง เป็นตวั ประกอบเสมอ

 จานวนเฉพาะและตัวประกอบเฉพาะ พจิ ารณาตัวประกอบทง้ั หมดของจานวนนบั ตง้ั แต่ 1 – 10 จานวน ตวั ประกอบท้ั หมด จานวนนบั ตวั ประกอบท้ั หมด นับ 1 6 1, 2, 3 และ 6 1 1 และ 2 7 1 และ 7 2 1 และ 3 8 1, 2, 4 และ 8 3 1, 2 และ 4 9 1, 3 และ 9 4 1 และ 5 10 1, 2, 5 และ 10 5

จากตาราง พบข้อสงั เกตอะไรบา้ ง 1 มีตวั ประกอบเพยี งจานวนเดียว คอื 1 1 เป็นตัวประกอบของจานวนนับทุกจานวน จานวนนับทุกจานวน มตี วั มันเองเปน็ ตวั ประกอบ 2, 3, 5 และ 7 มตี ัวประกอบเพยี ง 2 จานวน คอื 1 กบั ตวั มนั เอง เราเรียก 2, 3, 5 และ 7 ว่าเป็น จานวน พาะ

9 เปน็ จานวนเฉพาะหรือไม่ เพราะเหตใุ ด 9 ไม่เป็นจานวนเฉพาะ เพราะมตี วั ประกอบ 3 จานวน คือ 1, 3 และ 9 11 เป็นจานวนเฉพาะหรอื ไม่ เพราะเหตุใด 11 เปน็ จานวนเฉพาะ เพราะมตี ัวประกอบ 2 จานวน คือ 1 และ 11 จานวนนบั ท่มี ากกวา่ 1 และมตี ัวประกอบเพียง 2 จานวน คือ 1 และ ตวั มนั เอง เรยี กว่า จานวน พาะ

ตัวอยา่ 29 เปน็ จานวนเฉพาะหรือไม่ วธิ ีทา เน่ืองจาก 29 1  29 29  29 1 แสดงวา่ ตวั ประกอบของ 29 คือ 1 และ 29 ดงั นน้ั 29 เป็นจานวนเฉพาะ เพราะ 29 มตี วั ประกอบ 2 จานวน คือ 1 และ ตัวมนั เอง

ตัวอยา่ 25 เปน็ จานวนเฉพาะหรอื ไม่ วธิ ีทา เน่ืองจาก 25 1  25 25 5  5 25  25  1 แสดงว่า ตวั ประกอบของ 25 คอื 1, 5 และ 25 ดังนน้ั 25 ไมเ่ ป็นจานวนเฉพาะ

พิจารณาการหาตวั ประกอบ พาะ ตัวประกอบทง้ั หมดของ 18 มีจานวนใดบา้ ง ตัวประกอบทง้ั หมดของ 18 ได้แก่ 1, 2, 3, 6, 9 และ 18 ตวั ประกอบทงั้ หมดของ 18 ทเ่ี ป็นจานวนเฉพาะ มจี านวนใดบา้ ง ตวั ประกอบทง้ั หมดของ 18 ที่เปน็ จานวนเฉพาะ ไดแ้ ก่ 2 และ 3 จะกลา่ ววา่ 2 และ 3 เป็น ตวั ประกอบ พาะของ 18

ตวั ประกอบที่เป็นจานวนเฉพาะ เรียกว่า ตวั ประกอบเฉพาะ 5 เปน็ ตวั ประกอบเฉพาะของ 25 หรอื ไม่ เพราะเหตุใด 5 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 25 เพราะ 5 เป็นจานวนเฉพาะ 9 เปน็ ตัวประกอบเฉพาะของ 27 หรือไม่ เพราะเหตุใด 9 ไม่เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 27 เพราะ 9 ไมเ่ ป็นจานวนเฉพาะ

 การแยกตวั ประกอบ การแยกตวั ประกอบของจานวนนบั ใด หมายถึง การเขยี นแสดงจานวนนบั น้ันในรปู การคูณ ของตัวประกอบเฉพาะ วธิ วีแิธยีแกยตกวั ตปวั รปะรกะอกบอขบอขงอจงาจนาวนนวนนบั นับเชเ่นชก่นากราแรยแกยตกัวตปวั รปะรกะอกบอขบอขงอ3ง63อ6าอจาทจาทไดา้ดไดงั ้นดี้ ังนี้ วธิ วที ธิ ี่ท1ี่ 1โดโยดใยชใก้ ชา้กราครณู คณู หรอื ดังน้ัน ดงั นัน้

วิธีท่ี 2 โดยใชก้ ารหาร โดยนาตวั ประกอบเฉพาะมาหารจนไดผ้ ลหารเป็นจานวนเฉพาะ แล้วเขยี น จานวนนับน้ันในรปู ของการคูณของตัวหารทุกจานวนและผลหารตวั สุดท้าย 2 ) 36 2 ) 18 3) 9 3 ผลหารเปน็ จานวนเฉพาะ ดงั นน้ั 36  2 233

1.2 ตวั หารร่วมทม่ี ากทีส่ ุด (ห.ร.ม.)  การหา ห.ร.ม. โดยการหาตัวหารรว่ ม พจิ ารณาสถานการณต์ อ่ ไปน้ี ชมุ นมุ รักการอา่ น มีนกั เรียนชน้ั ป.5 จานวน 16 คน และนักเรยี นช้ัน ป.6 จานวน 20 คน ครตู อ้ งการ แบ่งนักเรยี นเป็นกลุม่ กลุ่มละเทา่ ๆ กัน โดยไมม่ กี ารคละช้นั กัน ครูจะสามารถแบง่ นักเรียนให้แต่ละ กลมุ่ มีสมาชกิ มากทส่ี ุดกลมุ่ ละกี่คน แบ่งนักเรยี นช้ัน ป.5 จานวน 16 คน เปน็ กลุม่ กลมุ่ ละเทา่ ๆ กนั ได้ดังน้ี แบบท่ี 1 แบง่ กลุม่ ละ 1 คน ได้ 16 116 กลุ่ม แบบที่ 2 แบง่ กลุ่มละ 2 คน ได้ 16  2  8 กลุ่ม แบบที่ 3 แบง่ กลมุ่ ละ 4 คน ได้ 16 4  4 กลุ่ม แบบท่ี 4 แบง่ กลมุ่ ละ 8 คน ได้ 16 8  2 กลมุ่ แบบท่ี 5 แบง่ กลุ่มละ 16 คน ได้ 16 16 1 กลุม่

แบ่งนกั เรยี นชน้ั ป.6 จานวน 20 คน เปน็ กลุ่ม กลมุ่ ละเท่า ๆ กัน ไดด้ งั น้ี แบบท่ี 1 แบง่ กลุ่มละ 1 คน ได้ 20 1 20 กลุ่ม แบบที่ 2 แบง่ กลุม่ ละ 2 คน ได้ 20  2 10 กลุ่ม แบบที่ 3 แบ่งกลุ่มละ 4 คน ได้ 204  5 กลมุ่ แบบท่ี 4 แบง่ กลมุ่ ละ 5 คน ได้ 205  4 กลมุ่ แบบที่ 5 แบง่ กลุ่มละ 10 คน ได้ 20 10  2 กลุม่ แบบที่ 6 แบ่งกลุ่มละ 20 คน ได้ 20 20 1 กลมุ่ พบว่า จานวนนับทห่ี าร 16 ได้ลงตวั ได้แก่ 1, 2, 4, 8 และ 16 จานวนนบั ทห่ี าร 20 ไดล้ งตวั ไดแ้ ก่ 1, 2, 4, 5, 10 และ 20 จานวนนบั ท่ีหารทง้ั 16 และ 20 ได้ลงตัว ไดแ้ ก่ 1, 2 และ 4 ซงึ่ 4 เป็นจานวนนบั ทีม่ ากทีส่ ดุ ทหี่ ารทัง้ 16 และ 20 ไดล้ งตัว ดงั นัน้ ครูสามารถแบง่ นกั เรยี นช้นั ป.5 และ ป.6 เป็นกลมุ่ กลมุ่ ละเทา่ ๆ กัน โดยไมม่ ีการคละช้นั ไดม้ ากทส่ี ดุ กลมุ่ ละ 4 คน

เม่ือพจิ ารณาการแบ่งนักเรียนเป็นกลมุ่ ขา้ งตน้ จะไดว้ ่า ตวั ประกอบของ 16 ได้แก่ 1, 2, 4, 8 และ 16 ตวั ประกอบของ 20 ไดแ้ ก่ 1, 2, 4, 5, 10 และ 20 กลา่ วได้วา่ 1, 2 และ 4 เปน็ ตวั ประกอบร่วม หรือตัวหารร่วมของ 16 และ 20 และ ตวั ประกอบร่วมที่มากทสี่ ุด ของ 16 และ 20 คือ 4 เรียก 4 วา่ เป็น ตวั หารรว่ มมาก (ห.ร.ม) ของ 16 และ 20

ตวั อย่า หา ห.ร.ม ของ 8, 10 และ 26 วธิ ีทา จานวนนับท่ีหาร 8 ไดล้ งตวั ได้แก่ 1, 2, 4 และ 8 จานวนนับท่ีหาร 10 ได้ลงตวั ได้แก่ 1, 2, 5 และ 10 จานวนนบั ท่หี าร 26 ไดล้ งตวั ไดแ้ ก่ 1, 2, 13 และ 26 ตวั หารร่วมของ 8, 10 และ 26 ไดแ้ ก่ 1 และ 2 ตวั หารร่วมท่มี ากทีส่ ดุ ของ 8, 10 และ 26 ไดแ้ ก่ 2 ดังนน้ั ห.ร.ม. ของ 8, 10 และ 26 คอื 2 ตอบ

 การหา ห.ร.ม. โดยการแยกตวั ประกอบ สังเกตได้ว่า พจิ ารณาการหา ห.ร.ม ของ 27 และ 45 ห.ร.ม ของ 27 และ 45 จะไม่มากกว่า 27 27  333 45  335 พบวา่ 33 เปน็ ตวั หารรว่ มทีม่ ากทส่ี ดุ ของ 27 และ 45 ดงั นั้น ห.ร.ม ของ 27 และ 45 คือ 33  9

พิจารณาการหา ห.ร.ม ของ 24, 36 และ 60 สงั เกตไดว้ ่า 24  2 2 23 ห.ร.ม ของ 24, 36 และ 60 36  2 233 จะไม่มากกว่า 24 60  2 235 พบว่า 223 เป็นตวั หารรว่ มที่มากที่สดุ ของ 24, 36 และ 60 ดังน้นั ห.ร.ม ของ 24, 36 และ 60 คือ 223 12

ตวั อยา่ หา ห.ร.ม ของ 9, 21 และ 30 วธิ ที า 9  33 21  37 30  235 ดงั นน้ั ห.ร.ม ของ 9, 21 และ 30 คือ 3 ตอบ ๓

 การหา ห.ร.ม. โดยการหาร พจิ ารณาการหาห.ร.ม ของ 48 และ 72 ขั้นท่ี 1 หาตวั หารรว่ มของ 48 และ 72 เช่น 2 แล้วนามาหารทง้ั สองจานวน จะได้ 2 ) 48 72 24 36 ขนั้ ท่ี 2 หาตวั หารรว่ มของ 24 และ 36 เช่น 6 แล้วนามาหารทัง้ สองจานวน จะได้ 2 ) 48 72 6 ) 24 36 46

ขน้ั ท่ี 2 หาตวั หารรว่ มของ 4 และ 6 เช่น 2 แลว้ นามาหารทัง้ สองจานวน จะได้ 2 ) 48 72 6 ) 24 36 2) 4 6 23 พบว่าตวั หารรว่ มของ 2 และ 3 คอื 1 จึงสนิ้ สุดการหาร ดังนัน้ ตัวหารร่วมทม่ี ากท่ีสดุ ของ 48 และ 72 หาไดโ้ ดยนาตัวหารร่วมทุกจานวนคณู กนั จะได้ 26 2  24 แสด ว่า ห.ร.ม ขอ 48 และ 72 คอื 24

พิจารณาการหาห.ร.ม ของ 80, 96 และ 112 ขนั้ ท่ี 1 หาตัวหารร่วมของ 80, 96 และ 112 เชน่ 2 แล้วนามาหารท้งั สามจานวน จะได้ 2 ) 80 96 112 40 48 56 ขน้ั ที่ 2 หาตวั หารรว่ มของ 40, 48 และ 56 เช่น 4 แล้วนามาหารทัง้ สามจานวน จะได้ 2 ) 80 96 112 4 ) 40 48 56 10 12 14

ขน้ั ที่ 3 หาตวั หารรว่ มของ 10, 12 และ 14 เชน่ 2 แลว้ นามาหารทง้ั สามจานวน จะได้ 2 ) 80 96 112 4 ) 40 48 56 2 ) 10 12 14 56 7 พบวา่ ตัวหารรว่ มของ 5, 6 และ 7 คือ 1 จึงสน้ิ สุดการหาร ดังน้นั ตวั หารร่วมทม่ี ากท่ีสดุ ของ 80, 96 และ 112 หาไดโ้ ดยนาตวั หารรว่ มทกุ จานวนคณู กนั จะได้ 242 16 แสด ว่า ห.ร.ม ขอ 80, 96 และ 112 คอื 16

ตวั อย่า หาห.ร.ม ของ 15, 45 และ 90 วิธที า 3 ) 15 45 90 5 ) 5 15 30 1 36 ดังนั้น ห.ร.ม ของ 15, 45 และ 90 คือ 35 15 ตอบ ๕

สาระที่ 1 จานวนและพชี คณิต มาตรฐาน 1.1 เข้าใจความหลากหลายของการแสดงจานวน ระบบจานวน การดาเนนิ การของ จานวน ผลทเี่ กิดข้นึ จากการดาเนนิ การ สมบัติของการดาเนินการ และการนาไปใช้ ตัวชว้ี ัด ป.1 ป.2 ป.3 ป.4 ป.5 ป.6 2. ๕. หา ค.ร.น. ของจานวนนบั ไม่ เกนิ ๓ จานวน

ตวั ช้ีวัดชัน้ ประถมศกึ ษาปที ี่ 6 หา ค.ร.น. ของจานวนนบั ไมเ่ กิน ๓ จานวน เนือ้ หา : อยใู่ นหนงั สือเรียนคณติ ศาสตร์ ช้นั ประถมศกึ ษาปที ี่ 6 เลม่ 1 บทที่ 1 ห.ร.ม. และ ค.ร.น 1.3 ผลคณู ร่วมท่นี อ้ ยท่ีสุด (ค.ร.น)  การหา ค.ร.น. โดยการหาผลคณู รว่ ม

พิจารณาสถานการณ์ตอ่ ไปนี้ ใบบวั และตน้ กล้าออมเงนิ พรอ้ มกันและออมทกุ วนั โดยใบบวั ออมวันละ 4 บาท ตน้ กล้าออมเงินวนั ละ 6 บาท จานวนเงินออมทั้งหมดในแตล่ ะวนั ของใบบัวและต้นกลา้ วันท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … ินออม ชอ ใบบัว 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 … (บาท) ินออม ชอ ตน้ กลา้ 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 … (บาท)

จากตารางพบวา่ ใบบวั ออมเงนิ วนั ละ 4 บาท ทาใหจ้ านวนเงนิ ออมท้งั หมดในแต่ละวันของใบบวั เปน็ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, … บาท ตามลาดับ ซึ่งจานวนเหล่าน้ี เป็นผลคูณของ 4 หรือเปน็ พหคุ ูณของ 4 แสดงว่า จานวนเหล่านี้ 4 หารไดล้ งตัว ตน้ กล้าออมเงนิ วนั ละ 6 บาท ทาใหจ้ านวนเงินออมท้ังหมดในแตล่ ะวนั ของต้นกลา้ เปน็ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, … บาท ตามลาดับ ซง่ึ จานวนเหลา่ น้เี ปน็ ผล คณู ของ 6 หรือเปน็ พหุคณู ของ 6 แสดงว่า จานวนเหล่านี้ 6 หารได้ลงตวั - พหุคูณของจานวนนับใด เปน็ ผลคณู ของจานวนนับนั้น ซ่ึงสามารถหารดว้ ยจานวนนับนั้นไดล้ งตวั - ผลคณู รว่ มของจานวนนับตงั้ แต่ 2 จานวนขึ้นไป เป็นจานวนนับท่ีหารดว้ ยจานวนนบั เหลา่ นั้นได้ลงตวั - ผลคูณร่วมท่นี อ้ ยทสี่ ดุ ใชอ้ ักษรยอ่ ค.ร.น. - ค.ร.น ของจานวนนบั ตงั้ แต่ 2 จานวนข้นึ ไป หมายถึง จานวนนับทน่ี ้อยทสี่ ดุ ท่หี ารดว้ ยจานบั เหล่านั้น ไดล้ งตวั

ตัวอย่า หา ค.ร.น. ของ 6, 8 และ 12 วิธที า จานวนนบั ทเี่ ปน็ ผลคูณของ 6 ไดแ้ ก่ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, … จานวนนับทเ่ี ปน็ ผลคณู ของ 8 ไดแ้ ก่ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, … จานวนนับท่เี ปน็ ผลคณู ของ 12 ได้แก่ 12, 24, 36, 48, 60, … จานวนนับท่เี ป็นผลคณู ร่วมของ 6, 8 และ 12 ได้แก่ 24, 48, … ซง่ึ ผลคณู ร่วมทน่ี ้อยทส่ี ุดของ 6, 8 และ 12 ไดแ้ ก่ 24 ดังนน้ั ค.ร.น. ของ 6, 8 และ 12 คอื 24 ตอบ ๔

 การหา ค.ร.น. โดยการแยกตวั ประกอบ พิจารณาการหา ค.ร.น. ของ 24 และ 32 24  2 2 23 32  2 2 2 2 2 พบว่า ผลคูณของ 2223 เป็นจานวนนับท่นี อ้ ยที่สุดทห่ี ารดว้ ย 24 ได้ลงตวั และผลคณู ของ 2 2 2 2 2 เป็นจานวนนับที่นอ้ ยท่ีสดุ ทห่ี ารดว้ ย 32 ไดล้ งตวั จะไดว้ า่ หารดว้ ย 24 ลงตวั ผลคณู ของ 222223 เปน็ จานวนนับที่น้อยที่สดุ ท่ีหารดว้ ย 24 และ 32 ไดล้ งตวั หารด้วย 32 ลงตัว ดังนนั้ ค.ร.น. ของ 24 และ 32 คอื 222223  96

สงั เกตได้ว่า ค.ร.น. ของ 24 และ 32 จะไม่น้อยกว่า 32 หรืออาจสงั เกตการณ์หา ค.ร.น. ของ 24 และ 32 จากการแยกตัวประกอบ ดังน้ี 24  2 2 23 32  2 2 2 2 2 ดังน้ัน ค.ร.น. ของ 24 และ 32 คือ 222223  96

ตวั อย่า หา ค.ร.น. ของ 12, 18 และ 24 วิธีทา 12  2 23 18  233 24  2 2 23 ดงั นัน้ ค.ร.น. ของ 24 และ 32 คอื 22233  72 ตอบ ๗

 การหา ค.ร.น. โดยการหาร พิจารณาการหา ค.ร.น. ของ 54 และ 81 ดงั นี้ ข้ันที่ 1 หาจานวนนบั ท่หี าร 54 และ 81 ได้ลงตัว เช่น 3 แล้วนามาหารทั้งสองจานวน จะได้ 3 ) 54 81 18 27 ขั้นท่ี 2 หาจานวนนับทห่ี าร 18 และ 27 ได้ลงตวั เช่น 3 แล้วนามาหารทั้งสองจานวน จะได้ 3 ) 54 81 3 ) 18 27 69

ขน้ั ท่ี 3 หาจานวนนับที่หาร 6 และ 9 ไดล้ งตวั เชน่ 3 แล้วนามาหารทง้ั สองจานวน จะได้ 3 ) 54 81 3 ) 18 27 3) 6 9 23 พบวา่ 2 และ 3 ไมม่ ีตวั หารรว่ มนอกจาก 1 จึงสน้ิ สดุ การหาร ดังนั้น ผลคณู ร่วมทน่ี ้อยท่ีสดุ ของ 54 และ 81 หาได้โดยนาตวั หารและผลหารทกุ จานวนคณู กนั แสดงวา่ ค.ร.น. ของ 54 และ 81 คอื 33323 162

พจิ ารณาการหา ค.ร.น. ของ 60, 96 และ 48 ดงั นี้ ขั้นท่ี 1 หาจานวนนบั ท่ีหาร 60, 96 และ 48 ได้ลงตัว เชน่ 6 แล้วนามาหารทั้งสามจานวน จะได้ 6 ) 60 96 48 10 16 8 ข้ันท่ี 2 หาจานวนนับท่หี าร 10, 16 และ 8 ไดล้ งตัว เชน่ 2 แลว้ นามาหารทั้งสามจานวน จะได้ 6 ) 60 96 48 2 ) 10 16 8 5 84

ขน้ั ท่ี 3 หาจานวนนับท่ีหาร 5, 8 และ 4 ได้ลงตัวท้ังสามจานวน พบว่าไม่มีจานวนนบั ใดท่ีมากกว่า 1 ท่หี าร 5, 8 และ 4 ไดล้ งตัว จึงตอ้ งหาจานวนนับที่หาร 5, 8 และ 4 ไดล้ งตวั อย่างน้อย 2 จานวน เชน่ 4 แล้วนามาหาร จะได้ 6 ) 60 96 48 2 ) 10 16 8 เน่ืองจาก 4 หาร 5 ไม่ลงตัว ให้เขียน 5 ไวเ้ ช่นเดมิ 4) 5 84 5 21 พบว่า 5, 2 และ 1 น้ัน ไม่มตี วั หารรว่ มของ 2 จานวนใด นอกจาก 1 จึงสิ้นสดุ การหาร ดังนนั้ ผลคูณรว่ มทนี่ อ้ ยทสี่ ดุ ของ 60, 96 และ 48 หาได้โดยนาตัวหารและผลหารทุกจานวนคูณกนั แสดงว่า ค.ร.น. ของ 60, 96 และ 48 คอื 624521 480

ตัวอย่า หา ค.ร.น. ของ 9, 25 และ 54 วธิ ีทา 9 ) 9 25 45 5 ) 1 25 5 1 51 ดงั นนั้ ค.ร.น. ของ 9, 25 และ 54 คอื 95151 225 ตอบ ๕

สาระท่ี 1 จานวนและพชี คณิต มาตรฐาน 1.1 เขา้ ใจความหลากหลายของการแสดงจานวน ระบบจานวน การดาเนนิ การของ จานวน ผลท่ีเกิดขึ้นจากการดาเนนิ การ สมบตั ิของการดาเนนิ การ และการนาไปใช้ ตัวชวี้ ัด ป.1 ป.2 ป.3 ป.4 ป.5 ป.6 ๖. แสดงวิธหี าคาตอบของโจทย์ 3. ป หาโดยใช้ความรเู้ กี่ยวกับ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

ตวั ชี้วดั ชัน้ ประถมศึกษาปที ี่ 6 แสดงวธิ ีหาคาตอบของโจทย์ป หาโดยใช้ความรเู้ ก่ียวกับ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. เนือ้ หา : อยใู่ นหนงั สือเรยี นคณิตศาสตร์ ชนั้ ประถมศกึ ษาปีท่ี 6 เลม่ 1 บทท่ี 1 ห.ร.ม. และ ค.ร.น1.1 1.4 โจทย์ปัญหา พิจารณาสถานการณ์ต่อไปน้ี อ้มุ ทาโดนทั หนา้ ช็อกโกแลต 42 ชิ้น หนา้ สตรอว์เบอรร์ ี 36 ชน้ิ และหน้ามะพร้าว 30 ชิ้น นาโดนทั ทง้ั หมดมาบรรจุกล่อง กล่องละเท่า ๆ กัน โดยแต่ละกลอ่ งเปน็ โดนัทหนา้ เดียวกัน อุม้ จะบรรจไุ ด้มากท่ีสุดกลอ่ งละก่ชี ้ิน และได้กี่กล่อง

ส่งิ ทโ่ี จทยถ์ าม จานวนโดนทั ทม่ี ากทีส่ ุดท่บี รรจใุ นแต่ละกล่องและจานวนกลอ่ งโดนัท ส่งิ ทโ่ี จทยบ์ อก อุ้มทาโดนทั หน้าช็อกโกแลต 42 ชิ้น หนา้ สตรอว์เบอรร์ ี 36 ชนิ้ และ หนา้ มะพร้าว 30 ชน้ิ นาโดนัททั้งหมดมาบรรจุกล่อง กล่องละเทา่ ๆ กัน โดยแต่ละกลอ่ งเป็นโดนทั หน้าเดยี วกนั

จะหาจานวนโดนทั ท่มี ากท่ีสดุ ทีบ่ รรจใุ นแต่ละกลอ่ ง โดยแตล่ ะกลอ่ งเปน็ โดนทั หนา้ เดียวกนั ต้องรอู้ ะไรกอ่ น ต้องรู้จานวนโดนทั ทบี่ รรจกุ ล่อง กล่องละเท่า ๆ กัน จะบรรจโุ ดยนทั หนา้ ชอกโกแลตกลอ่ งละเทา่ ๆ กนั ไดก้ ลอ่ งละกชี่ นิ้ บ้าง คดิ ได้ อย่างไร จะบรรจุโดนัทหน้าช็อกโกแลตไดก้ ลอ่ งละ 1 ชนิ้ 2 ชนิ้ 3 ชน้ิ 6 ช้ิน 7 ชิ้น 14 ช้นิ 21 ชนิ้ และ 42 ชน้ิ คดิ ได้โดยหาจานวนนบั ทห่ี าร 42 ได้ลงตวั ซ่งึ ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 และ 42 จะบรรจโุ ดนัทหนา้ สตรอว์ บอร์รี่กล่องละเทา่ ๆ กัน ได้กล่องละกี่ชิน้ บา้ ง คิด ได้อยา่ งไร

จะบรรจโุ ดนทั หน้าสตรอวเ์ บอรร์ ีได้กลอ่ งละ 1 ช้นิ 2 ช้ิน 3 ชิน้ 4 ช้นิ 6 ช้นิ 9 ชิน้ 12 ชนิ้ 18 ช้นิ และ 36 ชิ้น คิดได้โดยหาจานวนนบั ที่หาร 36 ได้ลงตัว ซง่ึ ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 และ 36 จะบรรจโุ ดนัทหนา้ มะพรา้ วกลอ่ งละเท่า ๆ กัน ได้กลอ่ งละกช่ี ิน้ บ้าง คิดได้ อย่างไร จะบรรจุโดนัทหน้ามะพรา้ วได้กลอ่ งละ 1 ช้ิน 2 ชิน้ 3 ชนิ้ 5 ชิ้น 6 ชิน้ 10 ชน้ิ 15 ชิน้ และ 30 ชิ้น คิดไดโ้ ดยหาจานวนนับท่ีหาร 30 ได้ลงตวั ซ่ึงได้แก่ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 และ 30

ดงั น้นั อมุ้ จะบรรจโุ ดนทั ไดม้ ากทส่ี ดุ 6 ชน้ิ โดยแตล่ ะกลอ่ งเป็นโดนทั หน้า เดียวกนั ซึ่ง 6 เปน็ ห.ร.ม. ของ 42, 36 และ 30 จะหาจานวนกล่องทบ่ี รรจุโดนทั ทงั้ หมดไดอ้ ยา่ งไร และหาคาตอบไดอ้ ยา่ งไร ต้องนาจานวนโดนทั แตล่ ะหนา้ หารดว้ ยจานวนโดนัททบ่ี รรจใุ นแต่ละกลอ่ ง แสดงว่า มีโดนัทหน้าช็อกโกแลต กล่อง มโี ดนัทหนา้ สตรอวเ์ บอรร์ ี กล่อง มีโดนัทหนา้ มะพรา้ ว กลอ่ ง ดงั นั้น อ้มุ บรรจโุ ดนทั ไดท้ ง้ั หมด กล่อง สรปุ คาตอบว่าอย่างไร อุ้มจะบรรจโุ ดนทั ไดม้ ากทส่ี ดุ กล่องละ 6 ชนิ้ ได้ทัง้ หมด 18 กลอ่ ง

พิจารณาสถานการณ์ตอ่ ไปน้ี โรงเรยี นแหง่ หน่งึ มีแผนปรบั ปรงุ สภาพแวดลอ้ มภายในโรงเรยี น ดังน้ี ปรับปรุงห้องเรียน ทุก ๆ 2 ปี ทาสีอาคารใหมท่ กุ ๆ 6 ปี และซ่อมบารุงทางเดินเทา้ ทุก ๆ 4 ปี โดยเร่ิมดาเนนิ การตาม แผนทุกรายการคร้งั แรกในปี พ.ศ. 2560 โรงเรยี นแหง่ นจี้ ะดาเนนิ การตามแผนทีว่ างไว้ทกุ รายการ พรอ้ มกนั เปน็ ครัง้ ที่ 2 ในปี พ.ศ. ใด สิง่ ทโ่ี จทย์ถาม ปี พ.ศ. ทีโ่ รงเรียนแห่งจะปรบั ปรุงสภาพแวดล้อมทกุ รายการพรอ้ มกัน เปน็ ครง้ั ที่ 2 สง่ิ ทโี่ จทยบ์ อก โรงเรียนปรบั ปรงุ หอ้ งเรยี นทกุ ๆ 2 ปี ทาสอี าคารใหม่ทกุ ๆ 6 ปี และซ่อมบารุงทางเดนิ เทา้ ทกุ ๆ 4 ปี โดยเรม่ิ ดาเนนิ การตามแผนทกุ รายการครงั้ แรกในปี พ.ศ. 2560

จะหาปี พ.ศ. ทีโ่ รงเรียนแหง่ จะปรบั ปรุงทกุ รายการพรอ้ มกันเป็นครัง้ ท่ี 2 ต้องรู้อะไรกอ่ น ต้องรู้จานวนปที จ่ี ะปรบั ปรงุ ทกุ รายการพร้อมกันเปน็ ครง้ั ท่ี 2 แลว้ เทียบ จานวนปีทไี่ ด้ใหเ้ ปน็ พ.ศ. จะปรับปรงุ หอ้ งเรยี นในปที เ่ี ทา่ ใดบ้าง เนอื่ งจากปรบั ปรงุ หอ้ งเรยี นทกุ ๆ 2 ปี แสดงวา่ ต้องปรับปรงุ ห้องเรยี นในปที ่ี 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, … ซงึ่ เป็นจานวนนบั ทหี่ ารด้วย 2 ได้ลงตัว จะทาสอี าคารใหมใ่ นปีทเ่ี ทา่ ใดบ้าง เนื่องจากทาสีอาคารใหม่ทุก ๆ 6 ปี แสดงว่าตอ้ งทาสอี าคารใหมใ่ นปีที่ 6, 12, 18, 24, 30, … ซ่งึ เปน็ จานวนนับทห่ี ารด้วย 6 ได้ลงตัว

จะซอ่ มบารงุ ทางเดนิ เทา้ ในปที เ่ี ท่าใดบา้ ง เนื่องจากซ่อมบารุงทางเดินเท้าทกุ ๆ 4 ปี แสดงวา่ ต้องซอ่ มบารงุ ทางเดินเทา้ ในปี ที่ 4, 8, 12, 16, 20, … ซ่งึ เป็นจานวนนบั ทหี่ ารด้วย 4 ไดล้ งตัว 12 มีความสัมพนั ธอ์ ยา่ งไรกบั 2, 6 และ 4 12 เป็นจานวนนบั ทนี่ ้อยที่สดุ ที่หารดว้ ย 2, 6 และ 4 ได้ลงตวั หรือ 12 เปน็ ค.ร.น. ของ 2, 6 และ 4 อีกกีป่ ที ่ีโรงเรียนแหง่ จะปรบั ปรุงทกุ รายการพรอ้ มกนั เป็นครงั้ ที่ 2 ตรงกับปี พ.ศ. ใด และคดิ ได้อยา่ งไร อีก 12 ปี ซง่ึ ตรงกบั ปี พ.ศ. 2572 คดิ ได้โดยนบั ต่อจากปี พ.ศ. 2560 ไปอกี 12 ปี

ตัวอยา่ 1 แกม้ ซอ้ื ดอกกุหลาบราคาดอกละ 8 บาท นชุ ซื้อดอกลลิ ลรี่ าคาดอกละ 25 บาท และ ผง้ึ ซอ้ื ดอกทานตะวนั ราคาดอกละ 16 บาท ถ้าแตล่ ะคนจ่ายเงินซอื้ ดอกไม้เทา่ กนั จะจา่ ยเงิน อย่างนอ้ ยท่ีสุดคนละกบ่ี าท และได้ดอกไมค้ นละกีด่ อก วิธคี ดิ หาจานวนที่นอ้ ยทสี่ ดุ ทีแ่ ตล่ ะคนจ่ายเท่ากัน โดยการหา ค.ร.น ของ 8, 25 และ 16 ก่อน แลว้ จึงหาจานวนดอกไมแ้ ต่ละชนดิ โดยนาจานวนเงินทีแ่ ต่ละคนจ่ายหารด้วย ราคา ดอกไม้ 1 ดอก วธิ ที า หาจานวนทนี่ ้อยทสี่ ุดทแ่ี ตล่ ะคนจ่ายเท่ากนั โดยการหา ค.ร.น ของ 8, 25 และ 16 8 ) 8 25 16 1 25 2 จะได้ ค.ร.น ของ 8, 25 และ 16 คอื 81252  400