ใบความรู้หน่วที่ 2 เรื่องแรงและสมดุลของแรง

แรงและสมดลุ ของแรง 1/2009 แรงและอันตรกริ ิยา ขอบเขต (Outlines) แรง (force) คือ การผลัก (push) หรือ การดงึ (pull) แรงทุกประเภท (forces) นิยามของแรง สมดุลของแรง (Force Equilibrium) • อันตรกริ ิยาระหวางวัตถุสองชิ้น หรือ ระหวางวตั ถุกบั สง่ิ แวดลอ ม กฎการเคล่ือนที่ (Laws of Motion) • เปน ปรมิ าณเวกเตอร (ขนาด+ทิศทาง) • เปนสาเหตุที่ทําใหเ กดิ การเคลอ่ื นท่ี 1 2 ประเภทของแรง• แรงสัมผสั (contact forces) – แรงเสียดทาน – แรงตงึ เชือก – แรงฉุด – แรงคืนตัว – แรงลอยตวั• แรงสนาม (field forces) หรือ แรงพสิ ัยไกล – แรงดึงดดู ระหวา งมวล (gravity force) – แรงไฟฟา (electromagnetic force) – แรงนวิ เคลยี ร (nuclear force) 3 4 แรงเปนปรมิ าณเวกเตอร หลกั การซอ นทับของแรงตอ งบรรยายทั้งทศิ ท่ีแรงกระทาํ และขนาดของแรง มหี นวยในระบบ นิวตัน y(newton: N) F 10 N F2 R x 30º F1 10 N 5 30º Fy Fx Fx = Fcos Fy = Fsin F = Fx+ Fy 6

สมดุลของแรง (Force equilibrium) ตัวอยา งสมดุลของแรง• วัตถุหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่ดวยความเร็วคงที่ เรียกวา วัตถุอยู การเคลอ่ื นทดี่ ว ยความเรว็ คงทข่ี องเคร่อื งบนิ F1 = F2 ในสมดลุ F1 แรงยกตัว F3 = F4• สมดุลของวัตถุที่แทจริง คือ แรงลัพธของแรงท่ีกระทําจาก ภายนอกเปน ศูนย (zero) Fแรงท่ีอากาศตาน แรงเคล่ือนไปขา งหนา 4• แรงลัพทเปนศูนย หมายถึง แรงที่เปนเวกเตอร (ขนาดและ F3 ทิศทาง)Fx = 0 Fy = 0 F2 แรงโนมถว ง Fnet = 0 วัตถุสมดุล 7 8ตวั อยา งสมดลุ ของแรง T1 y T2 ลกั ษณะการเคลอ่ื นทข่ี องวตั ถุ เรยี กวา จลศาสตร (statics) สามารถตอบคําถามไดว า เคล่ือนที่ ทไี่ หนแขวนลกู บอลไวบนเพดาน x เมือ่ ไหร เรว็ แคไ หน ไกลแคไหน ใชเวลาเทา ไร  แต. .. การศกึ ษาความสัมพันธร ะหวา งการเคลอ่ื นทก่ี บั แรงทที่ าํ ใหเกดิ การเคลือ่ นท่ี พรอ มทง้ั อธิบายถงึ สาเหตขุ องการT1 T2 mg เคลื่อนท่ี เรยี กวา พลศาสตร (mechanics) เชน สามารถ บอกไดวา อะไรทาํ ใหความเรว็ เปล่ยี นแปลง เปน ตน y T1 T1sin T2sin T2 10m T1cos T2sin x แกน x: T1sin+T2sin = mg แกน y: T1cos = T2sin mg 9กฎการเคลอ่ื นที่ (Laws of Motion) กฏการเคล่ือนทขี่ องนิวตนั (Newton’s Laws of Motion)เซอรไอแซค นิวตัน (Sir Isaac Newton) เปน เซอรไ อแซค นิวตนัผูเขียนกฎการเคลื่อนท่ีออกมาอยางชัดเจนเปนคน กฏขอ ท่ี 1 กฎของความเฉื่อยแรกโดยตีพิมพลงในหนังสือช่ือ Philosophiae 11Naturalis Principia Mathematica จึงเรียกกฎการ F = 0 , a = 0เคลื่อนที่เหลานี้วา “กฎการเคล่ือนที่ของนิว กฏขอ ที่ 2 กฎของการเคลอ่ื นท่ีตัน” (Newton’s Laws of Motion) อยางไรก็ F = maตาม มีนักวิทยาศาสตรกอนหนานิวตันหลายคนมี กฏขอ ที่ 3 แรงคกู รยิ า ปฏิกรยิ าสวนในการวางรากฐานกฎเหลาน้ี ซึ่งเขาก็ไดพูดไว Action = Reactionวา “ถาขาพเจามองเห็นไปไดไกลกวาคนอ่ืน ก็เปนเพราะขา พเจาไดย ืนอยบู นไหลข องยักษท ้งั หลาย” 12

กฎการเคลือ่ นท่ีขอท่ี 1 ของนวิ ตัน ตวั อยา งกฏการเคล่ือนท่ีขอที่ 1 ของนิวตนั กฎของความเฉอื่ ย• วัตถุที่หยุดน่ิงจะรักษาสภาพหยุดน่ิงตอไป หรือ วัตถุที่เคล่ือนที่ดวย ฟกทองในหอ งเก็บของ ดวงจันทรห มนุ รอบตัวเอง ความเร็วคงท่ี ก็จะรักษาสภาพเคล่ือนท่ีตอไป ถาแรงลัพธท่ีกระทํากับ วัตถมุ ีคาเปน ศนู ย• วัตถุพยายามรักษาสภาพเดิมของวัตถุอยูเสมอ เรียกสภาพนี้วา “ความ เฉ่อื ยของวตั ถุ” (inertia) F = 0  a = 0 F = ผลรวมของแรงภายนอกท่ีกระทําตอ วตั ถุ 13 14ตัวอยา งกฏการเคลื่อนทข่ี อ ที่ 1 ของนวิ ตัน กฎการเคล่ือนท่ีขอท่ี 2 ของนวิ ตัน กฎของการเคลื่อนท่ีQ: คุณขับรถ Porsche ดวยความเร็วคงตัว 150 กิโลเมตร/ช่ัวโมง ผานรถ • ถาแรงลัพธมีคาไมเปนศูนยมากระทําวัตถุ วัตถุจะเคล่ือนท่ีดวยVolkswagen ที่แลนดวยความเร็ว 75 กิโลเมตร/ช่ัวโมง รถคันใดมีแรง ความเรงในทศิ ทางเดียวกับทแ่ี รงลัพธม ากระทาํสทุ ธิกระทาํ ตอรถมากกวากนั • โดยมขี นาดของความเรงเปนสัดสวนโดยตรงกับขนาดของแรงลัพธและ เปนสดั สวนผกผันกบั มวลของวัตถุA: มีแรงสุทธิกระทําเทากัน คือเปนศูนย เนื่องจากรถทั้งสองเคล่ือนที่ดวยความเรว็ คงตวั จงึ อยูในภาวะสมดลุ F = 0 N Fx = 0Fแรงตานอากาศ 3แรงเสียดทาน F1+F2+F3 = 0 a  mF F = ma F2 แรงขบั เคล่อื นไปขางหนา ดว ยความเร็วคงที่ F1 Fy = 0 16 N + mg = 015 mgตวั อยา งกฏการเคลือ่ นท่ีขอ ที่ 2 ของนิวตัน ตวั อยางกฏการเคลอื่ นทข่ี อท่ี 2 ของนิวตัน Q: ชายคนหนึ่งออกแรงลากกลองใบหนึ่งมวล 40 กิโลกรัมดวยแรงคงตัว 20 นิวตันมาตามพื้นท่ีมีแรงเสียดทานนอยมาก จงหาความเรงของ กลอ ง A: เม่อื ออกแรงลากกลอ งจะเกดิ ความเรง a N ตีเทนนสิ Fx = ma , Fy = 0 ตกี อลฟ 20 N = (40 kg) x a ปน จักรย1า7น a = 20 kg. m/s2 20 N 40 kg a = 0.5 m/s2 กลอ งมคี วามเรง 0.5 m/s2 40 kgการเคลื่อนทขี่ องลกู ตมุ 18

กฎการเคลือ่ นที่ขอที่ 3 ของนวิ ตัน ตัวอยา งกฏการเคล่อื นทข่ี อที่ 3 ของนิวตัน แรงคูก ริ ยิ า ปฏิกริ ยิ า• เมื่อแรงกิริยากระทําตอวัตถุหน่ึง ยอมมีแรงปฏิกิริยาจากวัตถุน้ันกระทํา กลบั ในทศิ ทางตรงกนั ขาม แตขนาดเทา กับแรงท่กี ระทาํ ตอวัตถุน้ัน• แรงกริ ิยาและแรงปฏิกริ ยิ าจะกระทํากับวตั ถคุ นละกอน1 F12 = F21 F12 + F21 = 0 F12 F21 2 20 19 สรปุ กฎการเคล่ือนท่ีของนิวตันตัวอยา งกฏการเคลอื่ นทีข่ อ ท่ี 3 ของนิวตัน ขอ ที่ 1 ขอท่ี 3Q: รถ Porsche ของคุณบังเอิญนํ้ามันหมดในระหวางเดินทาง คุณตอง ออกแรงเข็นดวยอัตราเร็วคงตัวไปยังปมนํ้ามันท่ีใกลที่สุด จะมีแรงอะไร เกดิ ขนึ้ บางจงอธบิ ายพรอมเปรยี บเทยี บA: แรงที่เกิดขึ้นมี 2 แรง คือ แรงที่คุณกระทําตอรถ และ แรงท่ีรถ กระทําตอ คณุ เปนแรงท่ีมีขนาดเทากันแตมีทิศทางตรงกันขาม ซึ่งไมวา คณุ จะออกแรงดันรถมากเทาไร รถกด็ ันคุณกลบั มาเทานั้นดวย F = 0 ขอท่ี 2 Action = Reaction F = ma 22 แรงอื่นๆ 21 แรงโนม ถวง หรอื แรงดงึ ดดู 23แรงโนมถวง เปนแรงท่ีเกิดข้ึนเน่ืองจากวัตถุกอนหน่ึงอยูภายใตความโนมถวงของวัตถุอีกกอนหนึ่งแรงดงึ ดูดระหวางมวล โดยแรงโนมถวงนี้เปนแรงดึงดูดวัตถุกอนอื่นเขาสูวัตถุกอนท่ีใหความโนมถวง อาจแรงตงึ กลาววาเปน สนามโนมถวง เชนเดียวกับสนามไฟฟา เชน แรงโนมถวงของโลกท่ีแรงปฏกิ รยิ าตั้งฉาก กระทําตอวัตถตุ า งๆ หรอื แรงโนมถว งทด่ี วงอาทิตยก ระทาํ กบั ดาวเคราะหตางๆแรงเสยี ดทานแรงลอยตัว แรงดึงดูดของดวง อาทติ ยท ดี่ งึ ดดู ตอดาว เคราะหดวงอน่ื ทาํ ใหม ี การโคจรเปน วง 24

แรงโนมถว งของโลก แรงดึงดูดระหวา งมวล (gravitational force)• แรงโนมถวงท่ีโลกดึงดูดวัตถุบนผิวโลก คือ น้ําหนัก (weight: w) ของวัตถุกอนนั้น เปนเวกเตอรท่ีมีทิศช้ีเขาหาโลก และมีคาข้ึนอยู “วัตถุทุกๆ กอนตางดึงดูดซ่ึงกันและกัน โดยขนาดของแรงจะแปรผัน กบั ทตี่ ง้ั โดยตรงกับมวลของวัตถุแตละกอน และแปรผกผันกับระยะทางระหวาง วัตถุยกกาํ ลงั สอง” นํา้ หนัก = มวล x ความเรงเนอื่ งจากความโนม ถวงของโลก ณ ผวิ โลก F  G m1m2 m2 w = mg r2 m1 r• ความเรง เนอ่ื งจากความโนม ถว งของโลก (g) = 9.80 m/s2 G = คา นจิ โนม ถว งสากล (Universal gravitational constant) 26 25 = 6.673 x 10-11 N m2/kg2ตัวอยา งแรงดงึ ดูดระหวา งมวล จงหาแรงดึงดูดท่ีโลกกระทําตอวัตถุมวล แรงตึง m ที่วางอยูบนผิวโลก โดยโลกมีมวล M (Tension) m และรัศมี r • แรงตึงหรือแรงตึงเชือก (T) จะพิจารณาในเชือกเบามาก โดยไม r โดย M = 6 x 1024 kg คาํ นงึ ถึงมวลของเชอื กในการคาํ นวณ r = 6.4 x 106 m • เม่อื เชือกตงึ แรงตงึ จะเทากันทุกจุดบนเสน เชือก แรงดึงดดู ระหวางมวลหาไดจากสูตร • เชือกเปนผูกระทําออกแรงดึงวัตถุ ดังน้ัน ทิศทางของแรงจึงพุงออก F = G m1m2 จากวัตถุท่พี ิจารณาเสมอ r2 = (6.673 x 10-11)(6 x 1024) m2 a (6.4 x 106 )2 F = (9.8) m2 m1 T1 T2 m2 T3 F = m g = weight 28 27 แรงปฏิกริ ยิ าต้ังฉาก แรงเสียดทาน (Normal force) (Force of friction)• เปนแรงทพ่ี ้ืนผวิ ที่วัตถสุ มั ผสั กระทาํ กบั วตั ถุในทศิ ต้งั ฉากเสมอ • เมื่อวัตถุเคลื่อนท่ีบนผิวหรือในของไหลจะมแี รงตานการเคล่ือนทเ่ี กดิ ข้นึ• ใชสัญลกั ษณเปน N หรอื n • การเสียดสีระหวางพื้นผิวกับวัตถุเปนอัตรกิริยาระหวาวัตถุกับ• ไมจ ําเปน ตองมขี นาดเทากบั วตั ถุ สิง่ แวดลอ ม เรียกแรงดังกวาววา แรงเสียดทาน (f) N • แรงเสียดทานจะมีทิศตรงขามกับการเคล่ือนท่ี และสัมประสิทธิ์แรง N เสยี ดทาน () ขึ้นกบั พน้ื ผวิ ทส่ี มั ผสั  F 29 F f f  30

ประเภทของแรงเสียดทาน• แรงเสียดทานสถติ ย (fS) คือ แรงตานเพื่อรกั ษาสภาพหยดุ นงิ่ ของวตั ถุ จะมคี า มากเมอื่ วตั ถเุ รมิ่ เคลอื่ นทแี่ ละแปรผนั ตรงกับขนาดของแรงปฎิกริ ิยาตงั้ ฉากที่กระทําตอ วตั ถุ fS = SN (S= สมั ประสิทธ์แิ รงเสยี ดทานสถิตย)• คือ แรงตานในขณะท่ีวัตถุเคลอ่ื นท่ีดว ย แรงเสยี ดทานจลน (fk) ความเรว็ คงท่ี มคี า นอ ยกวา แรงเสยี ดทานสถิตยและแปรผันตรงกับขนาดของแรงปฎิกิรยิ าตงั้ ฉากที่กระทาํ ตอ วัตถุ fk = kN 31 32 (k= สัมประสิทธ์แิ รงเสยี ดทานจลน) แรงลอยตวั เมื่อวตั ถอุ ยใู นของเหลวทนี่ ่ิง Fnet = Fg + Fb (Buoyancy force: Fb) Fb Fg = mog• เกิดขน้ึ เมอื่ วัตถอุ ยใู นของเหลว เปนแรงทพ่ี ยงุ วัตถใุ นทิศตรงขามกบั แรง mo Fb = - (mlg) เนือ่ งจากน้าํ หนกั (Fg) ml Fg Fnet = mog – mlg• มคี าเทากบั นาํ้ หนกั ของของไหลท่ีถกู แทนทดี่ วยวตั ถทุ ี่มีปรมิ าตรเทา กัน น้ํามวล ml มคี วามหนาแนน l = (mo – ml)g• แรงตานจากของเหลว คือ ความหนืดของของเหลว (F) วัตถุมวล mo มคี วามหนาแนน o จาก m = V, F Fb Fnet = (oVo - lVl)g Fg 33 Vl คอื ปริมาตรของเหลวทีถ่ ูกวัตถแุ ทนท่ี34 การประยุกตใ ชกฎของนวิ ตนั ตัวอยา ง• กําหนดให ชายสองคนเข็นรถยนตคันหนึ่งดวยแรง 275 N และ 395 N โดยมีแรงเสียดทาน วัตถมุ ีลกั ษณะเปน จดุ ของอนุภาค ไมเ กิดการหมุน และสนใจเฉพาะแรงท่กี ระทํา จากพ้ืนเทา กบั 560 N ตอ วตั ถุเทานั้น สามารถเขียนแผนภาพเสรไี ดด งั น้ี• ข้ันตอน – แยกวัตถุที่จะวิเคราะหอ อกจากสิง่ แวดลอม อาจเปนกอนเดยี ว หรอื เปนชุด y หลายกอน – แยกส่ิงแวดลอ มทอี่ อกแรงกระทาํ กับวัตถุ เชน พน้ื หรอื วัตถกุ อนอ่นื 560 N 275 N x – ใสแ กนอา งอิง x, y แลวแยกองคประกอบใหอ ยูใ นแกน x, y 395 N – เขยี นแผนภาพอิสระ (free body diagram) โดยเขยี นแรงทก่ี ระทําตอวตั ถุ ทงั้ หมด สําหรบั วตั ถุแตล ะกอนโดยเขยี นแยกกัน Fx = 560 N – (395 N + 275 N) – เขยี นสมการรวมในแตล ะแนวแกน และใชก ฎของนิวตนั ท่เี หมาะสม 36 35

ตวั อยาง ตวั อยา ง T3 = w  Fy = 0; N + Tsin + (-mg) = 0 y T Fx = 0; T1cos37˚ - T2cos53˚ = 0 N + Tsin = mg f N x 0.8T1 – 0.6T2 = 0   38 Fy = 0; T1sin37˚ + T2cos53˚ - T3 = 0 mg 0.6T1 – 0.8T2 – T3 = 037 Fx = ma; Tcos + (-f ) = maxตวั อยาง ตวั อยา ง y Fy = 0 mg cos = N N a x Fx = ma mg sin - f = ma m 40  mg sin พิจารณา m1, พิจารณา m2, mg cos f F = m1a F = m2a mg T-m1g = m1a m2g - T = m2a  39ตวั อยาง ตัวอยา ง a แรงปฎกิ ิรยิ าจากวัตถุ m2 แรงปฎิกริ ยิ าจากวตั ถุ m1 Fx = ma จากกฎขอ 3; m2g sin - T = m2a action = reaction Fy = 0 m2g cos = n P = P Fy = ma 41 Fy = 0 Fy = 0 T – m1g = m1a n1 = w1 n2 = w2 Fx = ma Fx = ma F – P = m1a P = m1a 42

ตัวอยาง พิจารณาน้ําหนักของปลาเมอ่ื ลิฟตเ คล่อื นทข่ี ้ึนและลง ขอบเขตของการประยุกตใ ชกฎของนิวตนั ลฟิ ตเ คล่ือนทีข่ ้ึน ลิฟตเคลื่อนท่ีลง การเคลือ่ นที่ของกลอ ง แรงตงึ เชือก F = ma F = ma 43 พ้ืนเอยี ง 44 T – mg = ma mg - T = ma เครือ่ งกลอยา งงาย T = m(g+a) T = m(g-a) (เชน รอก, ลอและเพลา)ตวั อยาง: กลอง วธิ ีทาํ  Fnet  ma นักศึกษาคนหน่ึงออกแรงผลักกลอ ง 3 ใบดวยแรงขนาด 7.5 N บนพ้ืนท่ีไมมี 7.5 N แรงเสยี ดทาน จงหา (a) ความเรง ของกลองทั้ง 3 ใบ 1.3kg F  (m1  m2  m3)a a (b) แรงกระทาํ ระหวางกลอ งแตล ะใบ a  7.5N  0.8m / s2 x 9.4kg #ans (a)กําหนดให : ในการแกโจทยปญหาตองมีการวาดแผนภาพ FBD F2 on 1 พิจารณา F = 7.5 N กลอ ง 1 Fnet  mam1 = 1.3 kg 45m2 = 3.2 kg 7.5N  F2 on 1  ( 1.3kg )( 0.8m / s2 )m3 = 4.9 kga =? F2 on 1  7.5N  1.04N  #6a.4ns6(Nb) ในการแกโจทยปญหา สาํ หรบั ขอ (a) พจิ ารณาใหกลอ งทั้ง 3 เปน ระบบท่ีสนใจ เพอื่ ทจี่ ะ หาคา ความเรง a ออกมา สําหรับขอ (b) นนั้ จะตองพจิ ารณาแตล ะกลอ งแยกกนั 46วธิ ีทาํ (ตอ) ตรวจคําตอบพิจารณา  F1 on 2 x F3 on 2  F2 on 3  F2 on 3  3.9Nกลอ ง 2 Fnet  ma F3 on 2F1 on 2  F3 on 2  ( 3.2kg )( 0.8m / s2 ) 3.2kg x F2 on 3 4.9kg F2 on 1  F1 on 2 a a3  3.9N  0.8m / s26.46 N  F3 on 2  2.56 N 4.9kg a F3 on 2  2.56  6.46 N a3  a  0.8m / s2 F3 on 2  3.9N #ans (b) F2 on 3 4.9kgพิจารณา F3on2  F2on3 ในการตรวจเช็คคําตอบ ไดวา ความเรงของกลองใบที่ 3 น้ันมีคากลอ ง 3 F2on3  3.9 N #ans (b) a เทากับ 0.8m/s2 ซ่ึงตรงกับท่ีคาท่ีไดคํานวณไวกอนแลว สําหรับ ปญหาขอน้ี ถาไมมีกฎขอที่ 3 ของนิวตันที่นํามาใชรวมกับกฎขอที่ 2คาํ ตอบท่ีติดคาลบ แสดงวาแรงนั้นมที ศิ ทางสวนทิศกับแกนอางอิงทกี่ ําหนด47ไว แลวจะไมส ามารถแกปญหาไดเ ลย 48

ตัวอยาง: กลอง ก. เขยี น FDB ของมวลทง้ั สองกอนมวล 2.0 kg วางอยบู นมวล 5 กิโลกรัม และสัมประสิทธ์ิความเสียดทานระหวาง มวลกอนบน มวลกอนลางมวล 5.0 กิโลกรมั กับพืน้ เปน 0.20 ( g  9.8 m / s2 ) ข. คํานวณหาแรงทท่ี าํ ใหม วลทั้งสองเคลือ่ นไปทางขวาดว ยความเรง 3.0 m/s2 ก.เขยี น FBD ของมวลทงั้ สองกอ น ข.คํานวณหาแรงท่ที ําใหม วลทัง้ สองเคล่ือนไปทางขวาดวยความเรง 3.0 m/s2 ค.หาสัมประสทิ ธค์ิ วามเสียดทานสถิตระหวางกลองทั้งสองท่ไี มท ําใหกลองมวล 2 kg ไถลตกลงมาภายใตค วามเรง 3.0 m/s2 a สาํ หรับมวลทงั้ สองกอ น F m1+m2 f2 49 50ค. หาสัมประสิทธคิ์ วามเสยี ดทานสถติ ระหวา งกลอ งทั้งสองทไ่ี มท าํ ใหก ลองมวล 2 kg T1 ตัวอยาง: แรงตึงเชือกไถลตกลงมาภายใตค วามเรง 3.0 m/s2 m1 วัตถุสองกอนมีมวลกอนละ 10 กิโลกรัม ติดกับ F  m1a T2 ลิฟทตัวหน่ึงซึ่งเคลื่อนที่ดวยความเรง 2 เมตร/ fs  m1a m2 วนิ าที2 จงหาคาความตงึ เชือก T1 และ T2 sn1  m1a ที่ m1 ท่ี m2 s( 19.6 )  ( 2 )( 3 ) T1 T2 s  0.306 a = 2 m/s2 m2g 51 T2 F  ma m1g F  ma T1 (T2  m1g )  m1a T2  m2g  m2a T1 T2  m1g  m1a T2  m2a  m2g T1  m1a  T2  m1g T2  10( 2 )(10 )(9.8 ) T1  10( 2 ) T2  10( 9.8 ) 1 52 2 ตวั อยาง: แรงตงึ เชือก ตวั อยาง: แรงตงึ เชือก และ พ้ืนเอยี ง เมอ่ื ลากระบบขึ้นไปตามพ้ืนเอียงทีล่ น่ื และไมม แี รงเสยี ดทานจงหาคาแรงตงึ เชือก T1 และความเรง (a) ของระบบในรปู จงหาคา แรงตึงเชอื ก T1 และความเรง (a) ของระบบในรปู เมอื่ T2 = 1000 Nเมอ่ื T2 = 1000 N และ พน้ื ไมมแี รงเสียดทาน a=? a=? T2 M1 T1 M2 T2 M2 5410 kg 1000 kg 1000 kg T1F  ma F  ma 2 53 1M01kgT1  M 1a T2  T1  M 2aT1  ( 10 )a 1 1000  T1  ( 1000 )a 

a=? T2 N T2 ตวั อยาง: แรงตงึ เชือก และ พืน้ เอียง เมื่อลากระบบข้นึ ไปตามพ้ืนเอยี งที่มแี รงเสยี ดทาน f1 และ f2 M2 kg M2 จงหาคาแรงตงึ เชอื ก T1 และความเรง (a) ของระบบในรูป เม่ือ T2 = 1000 N 1000  T1 T1 M 2g.sin M 2g.cos M1 10 kg N T1 M2g M1 Fx  ma a=? T2M 1g.sin  T2  T1  M 2 g sin  M 2a M2 kg f2 M 1g.cos Fy  0 1000 Fx  ma N  M 2 g cos T1 56 M1g T1  M 1g sin  M 1a 1M01kg f1 Fy  0  N  M1g cos 55 a=? T2 N T2 ตัวอยาง: กลอ ง และ แรงตงึ เชือก มวล 5 กิโลกรัม วางอยูดานบนมวล 10 กิโลกรัม ดังรูป มีแรงขนาด 45 นิวตัน ดึง M2 kg f2 มวล 10 กิโลกรัม และ มวล 5 กิโลกรัม ถูก 1000 M2 ผูกติดกับผนัง ถาสัมประสิทธ์ิความเสียด T1 f2 T1 ทานของทุกผิวเทากับ 0.20 จงหาขนาดของ f1 M 2g.sin  แรงดึงในเสนเชือก และหาความเรงของมวล 1M01kg 10 kg ( g  9 .8 m / s 2 ) M g.cos  2N T1 M2g M1 Fx  ma  f1M 1g.sin M 1g.cos T2  T1  M 2 g sin  f2  M 2a Fy  0 Fx  ma N  M 2 g cos TM1g  M1g sin  f1  M 1a วาด FBD ของแตละมวล 1 Fy  0 57 58 N  M1g cosสามารถหาขนาดของแรงดงึ ในเสนเชอื ก และหาความเรง ของมวล 10 kg ไดดังนี้ ตวั อยาง: พ้ืนเอยี ง 0, กลอ งมวล m = 2.0 kg หยุดนง่ิ ทีบ่ นพ้นื เอียงล่ืนสงู h = 0.5 m พ้ืนเอยี งทํามมุ 30 องศากับโตะ ดงั แสดงในรูป และอยูบนโตะสงู 2 m ( g  9.8 m ) s2 ก. หาความเรง ของกลอ งทไ่ี ถลบนพนื้ เอียง ข. หาความเรว็ ของกลองขณะทห่ี ลุด ออกจากพนื้ เอียง ค. กลอ งจะตกกระทบพ้นื ทร่ี ะยะหาง จากโตะ เทา ใด ง. ตอ งใชเวลานานเทาใดตงั้ แตม วลเรม่ิ เคลอื่ นท่จี นตกกระทบพ้นื 59 60

ก. หาความเรงของกลองท่ีไถลบนพน้ื เอียง เมอ่ื ทราบ Vf = 3.13 m/s สามารถ - หาเวลาที่เคลือ่ นทบ่ี นพื้นเอยี งไดเปน t1 เขียน FDB ของกลอง x ; Fx  ma  mgsin  ma n  x  v f  vi y ; Fy  0  mgcos  n v0 cos30 2 t1  mg sin  a  mg sin  g sin v0  ? 1.0  ( 3.13  0 ) t1 mg m v0 sin30 2 mg cos  a  9.8sin 30  4.9m / s2 t1  0.639s - หาเวลาท่กี ลอ งตกถึงพื้นข. หาความเร็วของกลองขณะที่หลดุ ออกจากพื้นเอยี ง s=h/sin=(0.5)/sin30 v 2  vi2  2as y  vyot  1 at 2 f 2h=0.5 m vf ? ค. กลอ งจะตกกระทบพื้นทีร่ ะยะหา งจากโตะ เทา ใด  0  24.9( 0.5 / sin 30 ) x  vxt H  ( v0 sin 30 )t2  1 at22  9.8  ( 3.13 )(cos 30 )( 0.499 ) 2 v f  3.13m / s x  1.35m  2  ( 3.13 )( 0.5 )t 2  1 ( 9.8 )t 2 2 2 61 t2  0.499s 62 การประยกุ ตเรอื่ งแรงและสมดุล ของแรงในทางชวี ภาพ v0 cos30 v0  ? v0 sin30 ง. ตองใชเวลานานเทา ใดตง้ั แตม วลเรมิ่ เคลอ่ื นที่จนตกกระทบพื้น t  t1  t2 t  0.639s  0.499s  1.138s 63 64ตัวอยาง: ฟน พิจารณากรณีการดดั ฟน ซห่ี นา ซงึ่ ยน่ื ออกมาผิดปกติ ทนั ตแพทยจ ะใชล วด ตัวอยาง: หัวเขา พจิ ารณาเอ็น (quadricap tendon) ที่บริเวณกระดูกสะบา ผกู ติดกับฟนกราม 2 ซี่ แลว คลอ งกับฟน ซหี่ นา ดังรูป ถาแรงตงึ ในเสน ลวด (patella) ถาแรงดึง T ในเสนเอน็ มขี นาด 1335 N จงหา แตละขา งเปน 1 N จงหาขนาดและทิศทางของแรง F ท่ีกระทําตอฟน ซห่ี นา T ขนาดและทศิ ทางของแรง F ทีก่ ระทาํ ตอ หัวเขา โดยกระดกู โคนขา (femur) y 37oเสน ลวด  กระดกู สะบา F o 30º 30º Ncos60º Ncos60º x F 80o เพอื่ ใหแ รงลพั ทเ ปนศนู ย แรง F จะตอ งมที ิศทางดงั รูป 60º 60º รจะากบนบน้ั สทมาํ ดกลุารแตกFแรงใ0นแนวแกน x และ แกน y T Nsin60º  Fx  0 and  Fy  0 N แกน x F cos  T cos80  T cos 37  N แกน y F sin  T sin 37  T sin 80  F sin  T sin 80  T sin 37   Nsin60º F F F 0 T 30º 30º F  N sin 60   N sin 60  o T sin 80 T sin 37 37o T cos 80 T cos 37NN  2 N sin 60  80o / tan    2( 1 )( 3 )   21.48 2 65 F  1395 N 66 F  1 .732 N T

หลักการทํางานของเครือ่ งมือจดั ฟน หลกั การของเคลอื่ นทฟี่ น กเ็ ปนหลกั ของนิวตนั กริ ิยา = ปฏกิ ิริยา ลวดและแบร็กเกต็ จะกระจายแรงผลกั เลก็ ๆ สฟู น ดว ย ทศิ ทางทกี่ าํ หนด เมอ่ื มแี รงผลกั กระดกู ท่ีรองรับฟน กจ็ ะ ละลายตัว ทาํ ใหฟ น เคลอ่ื นทไี่ ดแตก ารออกแรงเคลื่อนที่ฟนก็มีขอ จาํ กัด ไมใ ชวาทําไดทุก ในขณะทอ่ี กี ฝง หนงึ่ ก็ปฏกิ ิรยิ าสะทอ นกลบั กระตนุ ใหกรณี เชน กระดกู มกี ารเสรมิ สรา งขนึ้ มารองรบั ฟน เมอื่ มกี ารละลายตวั- แรงทมี่ ากเกินไป นอกจากทําใหก ระดกู ละลายตามทิศของ และเสรมิ สราง ฟน จึงเคลอ่ื นท่ีไปได เพราะฉะนนั้ อยากจะแรง ก็อาจทําใหรากฟนละลายซะเอง เคลอ่ื นทฟ่ี น ไปทางไหนก็ปรบั ลวด ปรับทศิ แบรค็ เกต็ ให- ฟน กรามซง่ึ ซ่ใี หญ กไ็ มส ามารถผลกั ใหเ คล่ือนทไี่ ดมากนัก สอดคลอ งกส็ ามารถเคลอ่ื นทฟ่ี น ไดฉะน้นั คนทถ่ี ูกถอนฟนกรามแลวหวังจะให หมอจัดฟนใหชดิกนั จึงทําไดยากหรือไมไ ดเลย นอกจากนี้ยังมเี ร่ืองจดุ หมุน จดุ ศูนยกลางมวล- ความหนาของกระดูก บางคนกระดกู แข็ง หรอื เม่ืออายุมาก มาเก่ียวขอ งดวยขน้ึ กระดูกจะแข็งขนึ้ กท็ ําใหเคล่ือนทฟ่ี นไดยากหรือชากวา 67 อางองิ จาก www.thaiclinic.com