Math_

Тэгшитгэл квадрат тэгшитгэл Рационал тоо Үет аравтын бутархай Бүх бүхэл ба ± энгийн бутархай бүрийг Рационал тоо, тэдгээрийн хамтад нь рационал тоон олонлог гэж нэрлээд Q үсгээр тэмдэглэнэ = , ∈, ∈ Аливаа рационал тоог (Энгийн бутархай) үет аравтын бутархайгаар илэрхийлж болно. Жишээ нь: = 0.333 … = 0. (3), 2 = 2. (7) гэх мэт 0. ( ) = 9 0. ( ) = − 0. ( ) = − 90 0. ( ) = 990 0. ( ) = 99 abc − ab 0. ( ) = 0. ab(c) = 900 − 0. ( ) = 999 0. ( ) 9900 ………………… ……. − − = 9990 99900 ……………………… …………………………… ………. …… Жишээ 1: а) 2. (11) б) 1,2(7) -ийг энгийн бутархай болго. Бодолт: а) 2. (11) = 2 + 0. (11); 0. (11) = = б) 1.2(7)1 + 0.2(7) ⟹ 0.2(7) = . = = Дараах үет аравтын бутархайг энгийн бутархайд шилжүүл. 1. а) 0. (7) б) 0. (23)

в) 0. (312) г) 2. (1232) 2. Дараах үйлдлийг гүйцэтгэ а) 0.23(7) + б) 0.5(61) − в) 7.3(5) + 1 г) .() .() .() .() д) 0.11(5) + ⋅ 0. (9) 3. Илэрхийллийн утгыг ол. а) .( ) =? .( ) б) 0. (6) + : 0.9 + 6 =? в) 0. (6) − .( ) =? г) 0. (3) + =? . д) .( ) .( ) =? .( ) Хариулт: а) б) 9 в)−1 г) 3 д) 10 Иррационал тоо: Бодлого: Нэгж талтай квадратын диагональ -ийг ол. 1 Пифагорын теорем ёсоор = 1 + 1 = 2 ⟹ =2 11 Энэ тэгшитгэлийн шийд рационал тоогоор илэрхийлэгдэхгүйг сурах бичгээс уншаарай 1

Тодорхойлолт Төгсгөлгүй бөгөөд үегүй арарвын бутархайгаар илэрхийлэгдэх тоог иррационал тоо, бүх иррационал тоог хамтад нь иррационал тоон олонлог гэж нэрлээд үсгээр тэмдэглэнэ. = | = ± √ , , , ∈ , √ − үегүй Рационал ба иррационал тоог нэгтгээд бодит тоон олонлог гэж нэрлээд үсгээр тэмдэглэнэ. = ∪ - = {1; 2; 3; … . }-натурал тоон олонлог - = {… , −2, −1, 0, 1, 2, … } -бүхэл тоон олонлог - = {Үет аравтын бутархайгаар бичигдэх тоо}- рационал тоон олонлог - = {Төгсгөлгүй, үегүй өрөвтын бутархайг тоо} – Иррационал тоон олонлог - = ∪ – бодит тоон олонлог Тоон шулуун Тооллын эх 0, эерэг чиглэл ба нэгж хэрчим -ш сонгож, цэг нэг бүрд нь бодит тоог оноон байрлуулсан шулууныг тоон шулуун буюу тоон тэнхлэг гэж нэрлэнэ. −4. (3) √2 4. (3) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Тоон тэнхлэгийн ямар нэгэн цэгт оноон байрлуулсан тоог тэр цэгийн координат гэх бөгөөд цэг координаттай гэснийг товчоор ( ) гэж тэмдэглэнэ. Бүхэл илтгэгчтэй зэрэг, түүний чанар ⋅ ⋅ ⋅…⋅ = - -ийг илтгэгч зэрэг гэдгийг өмнө бид мэднэ. Үүнд - −ийг суурь - -ийг -ийн -натурал тоо байсан.

≠ 0 үед ⋅ = 1 байх тоог -ийн урвуу тоо гэж нэрлээд гэж тэмдэглэнэ. Эндээс = = болно. Мөн ⋅ = 1 тул -ийн урвуу тоо нь ( ) = байна. ⋅ = ( ) = ( ) = = Тодорхойлолт ) Тэгээс ялгаатай бодит тоо, эерэг бүхэл тооны хувьд: тооны − сөрөг бүхэл зэрэг -ийг = = ( ) = ( гэж тодорхойлъё, = 0 үед = 1 болно № Чанарууд Жишээ 1 ⋅= 3 ⋅3 =3 , 3 ⋅3 =3 = 2 (⋅)= ⋅ 15 = (3 ⋅ 5) = 3 ⋅ 5 , 3= (3 ⋅ 5) = 3 ⋅ 5 = 15 =, == = 4= =7 =7 , =7 =7 , =5 ( )=5 = 5 ( )= ⋅ (2 ) = 2 ⋅ = 2 , (3 ) = 3 ⋅( ) = 3 Бодлого: Дараах илэрхийллийг тооцоолоорой. а) .⋅ ⋅ б) .⋅ ⋅ ⋅.⋅ ⋅ ⋅ ⋅.⋅ ⋅ Бодолт а) ⋅( ⋅ ) ⋅ = ⋅⋅⋅ == ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ Жишээ 2: ⋅ 27 + 0.2 ⋅ 25 + 64.5 илэрхийллийн утгыг олъё. Санамж: Тоон суурьтай илэрхийллийг хялбарчлахдаа зохиомол тоон суурийг анхны тоонуудын үржвэрт задалж бодно.

Бодолт: 3 ⋅ (3 ) + ⋅ (5 ) + 1 = 3 ⋅ 3 + (5 ) ⋅ 5 + 1=3+5 ⋅5 +1=3+5 +1=5 Бие даан гүйцэтгэх даалгавар 1. Утгыг олоорой. а) ⋅ + б) . ⋅ .⋅ .⋅ в) : г) : : д) 1 − . : . е) : 2. Илэрхийллийн утгыг ол а) (.) ⋅( . ) . б) 9 ⋅ 4 − ((−4) ) : − в) 5 − 27 ⋅ [6 − (3 ) : (−9) ] г) .( ) .( ) ⋅ .. 3. Илэрхийллийг хялбарчлаарай а) ⋅ ⋅ ⋅⋅ б) ⋅ ⋅ ⋅

в) ⋅⋅ ⋅⋅ г) д) ⋅( ) ⋅ 4. Илэрхийллийн утгыг ол. а) (512 ⋅ 128 ⋅ 3125 ⋅ 625 ): (256 ⋅ 64 ) б) ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ в) (20 ⋅ 2 − 12 ⋅ 2 − 48 ⋅ 2 ): (−8) г) ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ д) ⋅ ⋅ ( ) 5. Тэгшитгэлийн бод. а) = 25 б) = 16 в) = г) = д) = е) = Нэмэлт даалгавар 1*. Үйлдлийг гүйцэтгэ а) ( )

б) в) (2 − 1)(2 + 1) ⋅ (2 + 1) ⋅ (2 + 1) г) Бие даан гүйцэтгэх даалгаврын хариу 1. а) 7 б) 10 в) − г) 4 д) -26 е) 2. а) ? б) 0 в) г) 2 4. а) 2 б) в) − г) д) −3 5. а) 1 б) 2 в) 9 г) д) 4 е) 260 1*. а) 3 ⋅ 2 б) 10 в) 2 − 1 г) 5 Арифметик язгуур Бодлого. 3см, 4см катетуудтай тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз -ийг олъё. Пифагорын теорем -оор = + = 25 тул квадрат нь 25 -тай тэнцэх тоог олох бодлогод шилжлээ. Ийм тоо 5, эсвэл -5 юм. Бодлогын хувьд тоо нь гипотенузын урт учраас = 5см Тодорхойлолт Квадрат нь бодит тоотой тэнцүү байх тоог тооны квадрат язгуур гэнэ. Өөрөөр хэлбэл = байх - бодит тоог тооны квадрат язгуур гэнэ. Тодорхойлолт Квадрат нь -тай тэнцүү сөрөг биш бодит тоог тооны арифметик квадрат язгуур гэж нэрлээд √ гэж тэмдэглэнэ. Жишээ 1: Квадрат язгуурыг ол. а) = 36 б) = 0 в) = 2 г) = −81

Бодолт: а) = 36 ⇒ = 6; = −6 гэсэн хоёр язгууртай б) = 0 ⇒ = 0 гэсэн нэг язгууртай в) = 2 ⇒ = ; = − гэсэн хоёр язгууртай г) = −81 ⇒ язгуургүй Жишээ 2: Дараах тоонуудын арифметик квадрат язгуурыг олъё. а) √144 = √12 = 12 б) √0.25 = √0.5 = 0.5 в) −√100 = −√10 = −10 Цаашид арифметик язгуурыг товчоор язгуур гэнэ. Арифметик язгуур нь дараах жишигдэх чанаруудтай 1. 0 ≤ ≤ ⇒ √ ≤ √ 2. Хэрэв 0 ≤ ≤ ба = ⋅ бол ≤ √ ≤ байна. Квадрат язгуурын ойролцоо утга Аравтын бутархайгаар өгөгдсөн бодит тооны тоймлосон ойролцоо утгыг доор тооцоолов. Тоймлох тоо Тоймлосон ойролцоо утга нарийвчлал тус бүрээр 5.2781609 … 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.9283378 … 5.3 5.28 5.278 5.2782 0.9 0.93 0.928 0.9283 Тоог тоймлохдоо нарийвчлалын оронгийн арын цифр таваас бага бол түүний дараачийн цифрүүдийг орхино. Нарийвчлалын оронгийн арын цифр таваас багагүй бол оронгийн цифрийг 1-ээр нэмэгдүүлж түүний дараачийн цифрүүдийг орхино. Жишээ 3: Катетууд нь 1-тэй тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын ойролцоо утгыг олъё.

Бодолт: = 1 + 1 = 2 ⇒ = √2 1 2-ыг дараах хоёр бүхэл тооны квадратаар хашвал 1 1 < 2 < 2 ⇒ √1 < √2 < √2 буюу 1 < √2 < 2 болно. 1.5 Хашиж байгаа хоёр тооны арифметик дундаж нь = Арифметик язгуурын жишигдэх чанар ёсоор дараах байдлаар бичиж болно 2: 1.5 = 1.33 … ⟹ 1.333 < √2 < 1.5 , . . = 1.41 2: 1.41 = 1.418 … ⟹ 1.41 < √2 < 1.418 гэх мэт хашиж явбал √2 ≈ 1.4; √2 ≈ 1.414; … Жишээ 4: 1см, 2см катетуудтай тэгш өнцөгтийн гипотенузын ойролцоо утгыг 0.1; 0.01 -ийн нарийвчлалтай ороорой. Тооноос язгуур гаргах 1-р алгоритм: Өмнөх жишээнээс: 1. Язгуурын доорх тоог дараалсан хоёр бүхэл тооны квадратаар хашина. 2. Хашсан 2 тооны арифметик дундажийг олно. 3. Язгуурын доорх тоог арифметик дундажид хуваана. Ингэхэд дундаж ба гарсан ноогдвор хоёрын хооронд язгуур хашигдана. 4. Энэ хоёр тооны бага нь ойролцоо утга болох ба зөрүү нь нарийвчлалыг илэрхийлнэ. 5. Нарийвчлал хангалтгүй бол 4 дэх алхамд гарсан хоёр тоогоор 2- р алхамаас хойшхи үйлдлүүдийг өгөгдсөн нарийвчлалд хүртэл давтан гүйцэтгэнэ. Квадрат язгуур гаргах 2-р алгоритм 1. Язгуурын доорх тоог нэгжийн орноос эхлэн хоёр хоёр орноор таслан тэмдэглэнэ. Энэ үед тооны эхэнд нэг юм уу хоёр оронтой тоо таслагдана.

2. Эхэнд таслагдсан тоонд квадрат нь хамгийн ойр түүнээс хэтрэхгүй натурал тоог сонгон авч язгуурын тэмдгийн баруун талд тэнцүүлэн бичнэ. 3. Олсон тоог квадрат зэрэг дэвшүүлэн язгуурын доорх тооны эхэнд таслагдсан тооны доор бичиж хасаад гарсан ялгаварын ард дараагийн таслагдсан хоёр орныг буулган бичнэ. 4. Ийнхүү гарсан тооны өмнө босоо шугам татаж түүний зүүн талд өмнө олсон язгуураа эхний цифрээ хоёроор үржүүлж бичнэ. 5. Саяын бичсэн тооны ард нэг цифр тавьж тэрхүү цифрээр уг тоог үржүүлж гарсан тоогоо босоо зураасны баруун гар талд байгаа тооны доор бичээд хасна. Сонгон авсан цифрээр үржүүлсэн үржвэр зураасны баруун гар талд байгаа тоонд хамгийн ойрхон түүнээс хэтрэхгүй байхаар авна. 6. Тэрхүү цифрийг тэнцүү тэмдгийн баруун гар талд бичигдсэн тооны ард бичнэ. Дараагийн таслагдсан хоёр оронг ялгаварын ард буулган дээрх алхмуудыг бүх оронг буулгаж дуустал дахин давтан гүйцэтгэнэ. Хэрэв орон бууж дуусахад тэгээс ялгаатай ялгавар үлдсэн байвал баруун гар талд бичигдсэн тооны ард оронгийн таслал тавьж ялгаврын ард хос тэг цифрүүдийг буулгах замаар цааш үргэлжлүүлнэ. Жишээ 5: √185.5044 тооны язгуурыг олъё. - 1 85. 50 44 13.62 1 ⟹ √185.5044 = 13.62 ×233 -6895 ×2666 -11569560 ×27222 -55444444 ====

Бие даан гүйцэтгэх даалгавар 1. Дараах язгуурын утгыг 0.01-ийн нарийвчлалтайгаар гарга. а) √5 б) √6 в) √17 г) √7 2. Дараах язгуурын утгуудыг калькулятор ашиглан 0.01-ийн нарийвчлалтайгаар ол а) √8 б) √54 в) √273 г) √3 д) √1.5 е) √4835 3. Квадрат язгуур гаргах алгоритмаар үйлдлүүдийг гүйцэтгэ а) √5329 б) √7569 в) √54756 г) √337561 д) √143641 е) √267289 Квадрат язгуурын чанар № Чанар Жишээ 1 ≥ 0, ≥ 0 бол √ = √ ⋅ √36 ⋅ 25 = √36 ⋅ √25 = 6 ⋅ 5 = 30 √ 2 ≥ 0, ≥ 0 бол = √ 49 √49 7 81 = √81 = 9 √ 3 √ =| | √0.41 = 0.41 (−0.41) = |−0.41| = 0.41 4 ≥ 0, √ = | | ⋅ √ √288 = √144 ⋅ 2 = 12 ⋅ 2 = 12 ⋅ √2 5 ≥ 0, √ = √ 3 ⋅ √5 = √9 ⋅ 5 = √45 ≥ 0, = √ 6 0 ≤ ≤ бол √ ≤ √ √5 < √7 7 √= √3 = 3 Жишээ 1: = 3√5 + 7√5 + 2√3 − 9√3-ийг хялбарчил. Бодолт: √ ± √ = ( ± ) ⋅ √ байх тул = 10√5 − 7√3 Жишээ 2: 3 ⋅ √108 − √3 + 2√147 − 3 √243 илэрхийлэлийг хялбарчлъя.

Бодолт: 3 ⋅ √36 ⋅ 3 − √3 + 2 ⋅ √3 ⋅ 49 − 3 √3 ⋅ 81 = 3 ⋅ 6√3 − √3 + 2 ⋅ 7√3 − ⋅ 9√3 = 18 ⋅ √3 − √3 + 14√3 − 30√3 = √3 Жишээ 3: 57 − 40√2 − 40√2 + 57илэрхийлэлийг утгыг ол. Бодолт: Илэрхийллийн утгыг A гэе. = 57 − 40√2 − 40√2 + 57 хоёр талыг квадрат зэрэг дэвшүүлбэл = 57 − 40√2 − 2 ⋅ 57 − 40√2 ⋅ 40√2 + 57 + 40√2 + 57 ⟹ = 114 − 2 ⋅ 57 − 40√2 = 114 − 2 ⋅ √49 = 100 ⟹ = −10 Бие даан гүйцэтгэх даалгавар 1. Илэрхийллийн утгыг ол. а) √16 ⋅ 625 + б) + √0.01 в) − г) 5 ⋅ − 3 ⋅ д) √42 − 33 2. Илэрхийллийн утгыг ол. а) 5 ⋅ √48 − 2 ⋅ √75 + ⋅ √27 б) √18 − 3 ⋅ √8 + 2 ⋅ √2 в) 5 ⋅ √125 − 2 ⋅ √20 + 2 ⋅ √80 г) 2 ⋅ √63 + 3 ⋅ √28 − √112 д) √20 + 3 ⋅ √80 − 3 ⋅ √245 е) √50 − 3 ⋅ √18 + √72 3. Илэрхийллийн утгыг ол. а) 3 ⋅ √363 − 3.8 ⋅ √42 − 33 + 24 ⋅ 1 б) 2 ⋅ √245 + ⋅ √58 − 22 − 30 ⋅ √1.8 в) 1 + + 1 − г) 3 ⋅ √2 + 4 ⋅ √8 − 5 ⋅ √50 + 8√32

д) 2 ⋅ √3 − 3 ⋅ √24 + 4 ⋅ √81 е) 11 + 21 + 13 + √9 4. Илэрхийллийн утгыг ол. а) 3√7 − 2√7 + 3√7 + 2√7 б) 6 − √11 ⋅ 6 + √11 в) 3√7 − 2√7 + 3√7 + 2√7 г) = √11 + 2√30 , = √11 − 2√30 бол + − ⋅ =? д) = 2 + √3 + 2 − √3 , = 3 − √5 − 3 + √5 бол + =? е) √ √ -ыг хураагаарай √√ 5. Илэрхийллийн хялбарчлаарай а) √ б) √ в) √ г) √ д) √√ √ √ √ √ е) ( √ )⋅( √ ) Бие даан гүйцэтгэх даалгаврын хариу 1. а) 100.4 б)1 в) 0.3 г) 0 д) 15√3 2. а)11√3 б) −√2 в) 33√5 г) 8√7 д) −7√5 е) 2√2 3. а) −10√3 б) 0 в) г) 18√2 д) 8 ⋅ √3 е) 4 4. а) 182 б) 5 в) 130 г)161 д) 4 е) 5. а)√ б) √ в) г) − √ д) √ + 3 е)

Квадрат тэгшитгэл Бодлого. Тэгш өнцөгт хэлбэртэй жимсний талбайн урт нь өргөнөөсөө 40м урт, талбай нь 175м2 бол урт өргөнийг нь ол. Бодолт: ⇒ − 40 = 175 тэгшитгэлийг бодоход хүрч байна. уртыг → өргөн → − 40 талбай → ( − 40), 175 Тодорхойлолт + + = 0, ≠ 0 хэлбэрийн үл мэдэгдэхтэй тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл гэнэ. Тэгшитгэлд оруулахад адилтгал болгох үл мэдэгдэх -ийн утгуудыг тэгшитгэлийн язгуур буюу шийд гэнэ. Тэгшитгэлийн шийд олохыг түүнийг бодох гэнэ. - ≠ 0, ≠ 0, ≠ 0 бол + + = 0-ийг гүйцэд квадрат тэгшитгэл - ≠ 0 бол + =0 -ийг гүйцэд биш квадрат тэгшитгэл + =0 гэнэ - = 1 бол + + = 0-ийг эмхэтгэсэн квадрат тэгшитгэл гэнэ. 1. = -ийг бодоход гурван тохиолдол байна. - > 0 бол = √ ; = −√ гэсэн 2 шийдтэй - = 0 бол = 0 гэсэн ганц шийдтэй - < 0 бол = ∅ шийдгүй 2. + = 0 ⟹ ( + ) = 0 ⟹ = 0, + = 0, = − Жишээ 1: а) = 49 ⟹ = 7, = −7 б) = 3 ⟹ = √3, = −√3 Жишээ 2: 2 − 6 = 0 ⟹ 2 ( − 3) = 0, = 0, = 3

Бүтэн квадрат ялгах аргаар квадрат тэгшитгэл бодох Тодорхойлолт + 2 + = ( + ) , − 2 + = ( − ) гэж хоёр гишүүнтийн нийлбэр ялгаврын квадратаар бичигдэх гурван гишүүнтийг бүтэн квадрат гэдэг. Гэтэл зарим квадрат гурван гишүүнт бүтэн квадрат болж чадахгүй. Жишээ 1: − 6 + 9 = 0-ийг бодъё Бодолт: − 6 + 9 = 0 ⟹ ( − 3) = 0 ⟹ − 3 = 0, = 3 Жишээ 2: 4 + 12 = −9 -ийг бодъё Бодолт: 4 + 12 + 9 = 0 ⟹ (2 + 3) = 0 ⟹ 2 + 3 = 0, = − Жишээ 3: − 6 + 5 = 0 тэгшитгэлийг бодъё Бодолт: − 6 + 9 − 9 + 5 = 0 ⟹ ( − 3) − 4 = 0 ⟹ ( − 3) = 2 ⟹ − 3 = 2, − 3 = −2 ⟹ = 5, = 1 Энэ аргыг гүйцэд квадрат ялгаж бодох арга гэнэ. Жишээ 4: + 3 + 2 = 0 тэгшитгэлийг бодъё Бодолт: + 3 + − + 2 = 0 ⟹ + − = 0 ⟹ + = ⟹ + = , + = − ⟹ = −1, = −2 Тодорхойлолт + + = 0 квадрат гурван гишүүнтээс гүйцэд квадрат ялгахдаа: 1. -ийн коэффициент : 2 гэж хуваана 2. -ийг квадрат зэрэг дэвшүүлж нэмээд хасна 3. + 2 ⋅ + − + = 0 эндээс гүйцэд квадрат ялгана. −− =0 4. + + = 0 тэгшитгэлийг ( + ) = хэлбэрт шилжүүлж бодох энэ аргыг гүйцэд квадрат ялгар арга гэнэ.

Бие дааж гүйцэтгэх даалгавар 1. Дараах тэгшитгэлийг стандарт бичлэгт оруулж бод а) 2 + = б) (x − 1) = 3x + 1 в) − 3 = 0 г) ( − 2) = 4 д) 4 − 12 + 9 = 0 е) (y − 4) = 0 2. Гүйцэд квадрат ялгаж ( + ) = хэлбэрт шилжүүлэн бодоорой а) + 4 + 4 = 9 б) + 8 = 20 в) + 2 = 15 г) − 4 + 20 = 0 д) 2 − 8 = −8 е) − − 2 = 0 Бие дааж гүйцэтгэх даалгаварын хариулт 1. а) 0;-1 б) 0;-1 в) √3; −√3 г) 0; 4 д) е) 2;-2 2. а) 1;-5 б) 2;-10 в) 3;-5 г) ∅ д) 2 Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо Тодорхойлолт ≠ 0 байх + + = 0 тэгшитгэлийн шийдийг ерөнхий тохиолдолд , = ±√ (1) томъёогоор бодно. = − 4 хэмжигдэхүүнийг + + квадрат гурван гишүүнтийн дискриминат гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт Хэрэв - > 0 бол , -гэсэн бодит хоёр язгууртай - = 0 бол ≡ -гэсэн давхацсан нэг язгууртай - < 0 бол ∅ буюу бодит язгуургүй (Шийдгүй) + 2 + = 0 бол , = ±√ (2) томъёогоор бодно. Жишээ 1: 2 = 5 − 1 тэгшитгэлийг бодъё Бодолт: 2 − 5 + 1 = 0 ⟹ (1) томъёог хэрэглэвэл , = ±√ ⋅ ⋅ ⋅ = ±√ , = √ , = √ Жишээ 2: 3 − 82 + 427 = 0 тэгшитгэлийг бодъё Бодолт: -ийн коэффициент тэгш тоо байгаа учир (2) томъёогоор бодъё , = ±√ ⋅ = ±√ = ±√ , , = ± , = , =7 Бие даан гүйцэтгэх даалгавар 1. Дараах квадрат тэгшитгэлүүд язгууртай эсэхийг тогтоож язгуурын тоог заагаарай. а) − 4 + 3 = 0 б) 3 − 4 + 5 = 0 в) − 50 + 625 = 0 г) 2 + 4 + 3 = 0 д) − + 1 = 0 2. Дараах эмхэтгэсэн квадрат тэгшитгэлийг бодоорой а) + 3 − 40 = 0

б) − 7 + 6 = 0 в) + 3 − 4 = 0 г) − 17 + 60 = 0 д) + 3 + 1 = 0 е) − 5 − 5 = 0 3. Дараах тэгшитгэлийг (2) томъёог ашиглан бодоорой а) + 4 + 3 = 0 б) + 6 − 16 = 0 в) − 14 + 40 = 0 г) − 108 + 800 = 0 д) + 24 + 108 = 0 е) 5 + 4 − 12 = 0 4. Дараах тэгшитгэлийг бод а) − = 1 б) − = 1 в) − = 1 г) − = д) = е) − = 1 4. Дараах рационал тэгшитгэлийг бод а) − =

б) + − = 0 в) − + =0 г) + + =0 д) − − = 0 Бие даан гүйцэтгэх даалгаврын хариу 1. а) 2 б)∅ в) 1 г) ∅ д) ∅ 2. а) 8;-5 б) 6;1 в) -4;1 г) 12;5 д) ±√ е) ± √ 3. а) 3;1 б) -8;2 в) 10;4 г)100;8 д) -18;-6 е) -2;1.2 4. а) ∅ б) ±√3 в) −1 ± √3 г) ∅ д) 16; 0 е) ±√5 5. а)3;-2 б)-5;3 в) ±4 г) 0 д) ± Квадрат гурван гишүүнтийг үржвэрт задлах Бодлого: − 25 = ( − 5)( + 5) гэж үржвэрт задардаг. Тэгвэл − 6 − 72 -ийг үржвэрт яаж задалж болох вэ? Үүнийг үржвэрт задлах 2 арга бий. 1. Гүйцэд квадрат ялган томъёогоор үржвэрт задлах 2. Квадрат 3 гишүүнтийн язгуурыг олоод үржвэрт задлах Жишээ 1: − 6 − 72-ийг гүйцэд квадрат ялган томъёогоор үржвэрт задалъя. − 6 + 9 − 9 − 72 = ( − 3) − 81 = ( − 3 − 9)( − 3 + 9) ⟹ − 6 − 72 = ( − 12)( + 6) Жишээ 2: 2 − 3 + 1-ийг үржвэрт задалъя. , = ±√ = ± ⟹ = , = 1; 2 − ( − 1) – үржвэрийг сонирхвол 2 − ( − 1) = (2 − 1)( − 1) = 2 − 3 + 1 ⟹

2 − 3 + 1 = 2 − ( − 1) Хоёр дахь жишээнээс загварчлан ерөнхийлбэл: ≥ 0 бол + + = ( − )( − ) (1) Бие даан гүйцэтгэх даалгавар 1. Дараах квадрат гурван гишүүнтийг язгуураар нь үржвэрт задал а) + 4 + 3 б) + 7 + 6 в) − 8 + 7 г) − 2 − 8 д) − 8 + 7 е) − − 6 2. Дараах гурван гишүүнтийг үржигдэхүүн болгон задал а) 2 + 3 + 1 б) 3 + 4 + 1 в) 5 + 6 + 1 г) 2 + 9 + 10 д) 2 + 11 + 14 е) 3 − 8 + 5 ё) 2 − 9 + 10 ж) 4 − 12 + 5 3. Дараах илэрхийллийг томъёо ашиглан үржигдэхүүнд задал а) + 2 + 1 − 4 б) 1 − ( − 2 + 1) в) + 2 − 9 +

г) − 2 + 1 − 9 + д) 4 − 12 + 9 − ( + 10 + 25) е) 16 − − ( − 8 + 16) ё) 16 − − ( + 8 + 16) ж) − − ( + 2 + ) 4. Бутархайг хураагаарай а) б) в) г) д) е) Бие даан гүйцэтгэх даалгаврын хариулт 4. а) б) в) г) д) е) Квадрат тэгшитгэлийг үржвэрт задалж бодох арга Тодорхойлолт Үржвэр тэгтэй тэнцүү байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь ядаж нэг нь тэгтэй тэнцэхэд оршино. ⋅ = 0 ⇔ = 0, = 0 Жишээ 1: ( − 2 + 1) ⋅ (2 − 3) = 0 -ийг бодъё. Бодолт: − 2 + 1 = 0 эсэвл 2 − 3 = 0 ⇒ ( − 1) = 0, 2 − 3 = 0⇒

−1=0 ⇒ =1 2 −3=0 = Жишээ 2: ( − 9)( − 10 + 25) = 0 тэгшитгэлийг бодъё. Бодолт: −9=0 ⇒ = 3, = −3 − 10 + 25 = 0 =5 Жишээ 3: − = 0 тэгшитгэлийг бод. Бодолт: − = 0 ⇒ ⋅ ( − 1) = 0 ⇒ ⋅ ( − 1)( + 1) = 0 =0 =0 −1=0 ⇒ =1 +1=0 = −1 Бие даан гүйцэтгэх даалгавар 1. Дараах тэгшитгэлийг үржигдэхүүнд задлах аргаар бод. а) ( − 25)(4 − 9) = 0 б) (4 + 4 + 1)( − 39) = 0 в) − 4 = 0 г) x − 1 = 0 д) − 6 = 0 е) + 10 − 39 = 0 Виетийн теорем Франсуа Виет (1540-1603) Францын математикч, алгебрийн тэгшитгэлийн онолын үндэслэгчийн нэг юм Квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд болон түүний коэффицентүүдийн хоорондын хамаарлыг илэрхийлсэн Виетийн теоремыг авч үзье. Жишээ: − 5 + 6 = 0 тэгшитгэл өгөгдөв. , = ±√ = ± = 3, = 2

+ =? ⋅ =? -ийг тооцоолбол + = 5 ⋅ = 6 эдгээр тоонууд нь өгөгдсөн − 5 + 6 = 0 тэгшитгэлийн коэффицентүүдтэй ямар хамааралтай байгааг ажиглаад + + = 0 квадрат тэгшитгэлийн язгуур нь , бол + =? ⋅ =? ямар утгатай тэнцүү байгаа болохыг таамаглан бич. Гаргалгааг бие даан гүйцэтгээрэй Виетийн теорем: + + = 0 эмхэтгэсэн квадрат тэгшитгэлийн язгуур нь ба бол + =− (1) байна. Энэ томъёог виетийн теорем гэнэ. ⋅= Тодорхойлолт + + = 0 тэгшитгэлийн хувьд Виетийн томъёог бичвэл + + =0⇒ + + =0 + =− (2) ⇒ ⋅= Тодорхойлолт Виетийн урвуу теорем: Хэрэв , гэсэн хоёр тооны нийлбэр нь − -тэй, үржвэр нь тэй тэнцүү бол ба тоонууд нь + + = 0 тэгшитгэлийн язгуур болно. Жишээ 1: + 2 − 8 = 0 тэгшитгэлийн хувьд Виетийн томъёог бич. Бодолт: + = −2 ⋅ = −8 Жишээ 2: = 5, = −2 язгууртай эмхэтгэсэн квадрат тэгшитгэл бич. Бодолт: + = 5 + (−2) = 3; ⋅ = 5 ⋅ (−2) = −10 ⇒ − 3 − 10 = 0 гэсэн тэгшитгэл гарна.

Бие даан гүйцэтгэх даалгавар 1. Дараах тэгшитгэлийн хувьд Виетийн томъёог бич а) + 6 + 63 = 0 б) 2 + 5 − 3 = 0 в) 3 − 5 − 12 = 0 г) − 7 + 12 = 0 д) 5 + 11 + 2 = 0 2. ба нь − 7 + 10 = 0 тэгшитгэлийн язгуурууд бол дараах илэрхийллүүдийн утгыг ол. а) + б) + в) ( + ) г) + − ⋅ д) + + ⋅ 3. ба язгуурууд нь өгөгдсөн бол квадрат тэгшитгэлийг нь зохионо уу? а) = 5, = −7 б) = −4, = −5 в) = 6, = г) = −0.4, = 1.4 д) = √2, = √3 е) = 2 + √3, = 2 − √3 4. Нэг язгуур нь өгөгдсөнөөр нөгөө язгуур ба параметрийн утгыг ол. а) + + 5 = 0; = 1 бол =?, =? б) − − 12 = 0; = 4 бол =?, =? в) − 12 + = 0 -ийн язгууруудын ялгавар 2 бол =? г) + + = 0 тэгшитгэлийн − = 6 бол =? д) 32 + + 75 = 0 тэгшитгэлийн язгууруудын харьцаа 6 бол = ? 5. Тэгшитгэлийн язгуурыг Виетийн теорем ашиглан сонголтоор ол. а) + 19 + 88 = 0 б) − 3 − 88 = 0

в) − 5 + 6 = 0 г) − 9 + 20 = 0 д) + 11 − 12 = 0 е) + − 56 = 0 Квадрат тэгшитгэлийг гарафикийн аргаар бодох Жишээ 1: − 2 − 3 = 0 квадрат тэгшитгэлийг график аргаар бодъё. Бодолт: − 2 − 3 ⇒ = ; = 2 + 3 функц үүсгэх -3 -2 -1 0 1 2 3 = 9410149 -3 -2 -1 0 1 2 3 = 2 + 3 -3 -1 1 3 5 7 9 Квадрат тэгшитгэлийг графикийн аргаар бодохдоо Тодорхойлолт + + = 0 квадрат тэгшитгэлийг 1. = − − хэлбэрт шилжүүлэх 2. = ; = − − функц үүсгэх 3. тэгш өнцөгт нэг координатын системд энэ хоёр функцийн график байгуулах 4. Графикуудын огтолцлын цэгийн абциссийг олж шийд бичих

= 9 7 5 3 1 -5 -3 -1 0 1 3 5 Бие даан гүйцэтгэх даалгавар 1. Дараах тэгшитгэлийг = − − дүрсэд оруулаад графикийн аргаар бод. а) − 3 − 4 = 0 б) + 2 − 3 = 0 в) + 3 − 1 = 0 г) + 2 + 5 = 0 д) − = 2 е) + 2 = 0 ё) 2 − − 3 = 0 ж) − 4 = 0 Квадрат тэгшитгэлд шилжүүлэн бодох тэгшитгэл Тодорхойлолт

Математикийн тэгшитгэл ба тэнцэтгэл бишид зарим ижил илэрхийллийг үл мэдэгдэх хувьсагчаас өөр үсгээр орлуулан боддог. Хувилбар 1: + + = 0-ийг биквадрат тэгшитгэл гэнэ. Ийм тэгшитгэлийг бодохдоо - = ( > 0) ⇒ = - + + = 0 -ийг бодоод , -ийг олох - = , = -г бодно. Жишээ 1: − 10 + 9 = 0 -ийг бодъё. Бодолт: = ; ≥ 0 ⇒ − 10 + 9 = 0 ⇒ = 1, = 9 ⇒ = 1, = 9 ⇒ , = ±1, , = ±3 Эндээс шийд нь {−1; 1; −3; 3} Хувилбар 2: ( + + ) + ( + + ) + = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлд + = гэсэн орлуулга хийвэл ( + ) + ( + ) + гэсэн тэгшитгэлд шилжүүлэн бодох боломжтой болох юм. Жишээ 2: ( − 2 − 5) − 2( − 2 − 3) − 4 = 0 -ийг бодъё Бодолт: − 2 − 3 = ; ≥ 0 ⇒ − 10 + 9 = 0 ⇒ = 1, = 9 ⇒ = 1, = 9 ⇒ , = ±1, , = ±3 Эндээс шийд нь {−1; 1; −3; 3} Хувилбар 3: + + ± + = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлд + = гэж орлуулбал + ± 2 = буюу + = ∓ 2 болно Эндээс ( ∓ 2) + ⋅ + = 0 гэсэн тэгшитгэлд шилжинэ. Жишээ 3: 6 + − 13 + + 12 = 0 -ийг бодъё Бодолт: + = ⇒ + = − 2 ⇒ 6( − 2) − 13 + 12 = 0 ⇒

6 − 13 = 0 ⇒ = 0, = ; Эндээс + = 0; + = ⇒ 6 − 13 + 6 = 0 ⇒ = ; = ⇒ ерөнхий шийд ; Бие даан гүйцэтгэх даалгавар 1. Дараах тэгшитгэлүүдийг орлуулах аргаар бод. а) − 5 − 36 = 0 б) (3 − 4) − 7(3 − 4) + 10 = 0 в) − 9 + 20 = 0 г) ( − ) + 2( − − 1) − 6 = 0 д) ( + 2 ) − 14( + 2 ) = 15 е) 30 + − 17 − = 228- ийн эерэг шийдүүдийг ол ё) ( ) − ( ) − 2 = 0, ( ) = + 1 бол =? ж) 3 ⋅ ( ) − 4 ⋅ ( ) + 1 = 0, ( ) = бол =? 2. Дараах модультай тэгшитгэлүүдийг бод а) | − 3| = 1 б) | − 6 + 9| = 0 в) | − 2 − 1| = 1 г) |− + 4 | = 4 д) |( − 3)( + 3)| = 16 е) | − 4 | = ё) | − 3| = + 1 ж) | | = − 1 3. Дараах тэгшитгэлүүдийг бод. а) √ − 6 + 9 − 3 − = 0, үүнд < 3 б) + = 2, үүнд < 0 в) √ − 2 + 1 = 2

г) √16 − 8 + = 5 д) , ∈ , > бол | − | + | − 1| = 5 ; =? Бие даан гүйцэтгэх даалгаврын хариу 1. а) -3;3 б) 2;3 в) г) -1;4 д) -1;-4;2 е) ; 3 ё) -1;1 ж) ; 2 Квадрат тэнцэтгэл биш Бодлого 1: Хоёр хүүхэд бүхэл тоо санав. Нэгнийх нь санасан тоо нөгөөгийн санасан тооноос 15-аар их бөгөөд санасан тоонуудын үржвэр 54-өөс хэтрэхгүй бол тэд ямар хязгаарын дотор тоо санасан байж болох вэ? Бодолт: 1-р хүүхдийн санасан тоог гэе 2-р хүүхдийн санасан тоо − 15 ( − 15) ≤ 54 ⇒ − 15 − 54 ≤ 0 гэсэн квадрат тэнцэтгэл бишийг бодоход хүрэв. Тодорхойлолт + + ≥ 0 ( + + ≤ 0) хэлбэрийн тэнцэтгэл бишийг квадрат тэнцэтгэл биш гэнэ. Тэнцэтгэл бишийг үнэн байлгах үл мэдэгдэх хувьсагчийн утгуудын олонлогийг квадрат тэнцэтгэл бишийн шийд гэнэ. = + + квадрат гурван гишүүнтийн хувьд = − 4 дискриминант

+ + ≥0 + + <0 1. > 0 бол бодит 2 язгууртай >0 >0 ++ ++ - - Шийд: ≤ , ≤ Шийд: < < <0 <0 + + -- -- Шийд: ≤ ≤ Шийд: < , < 2. = 0 бол давхацсан 2 язгууртай (ганц ) >0 >0 ++ ++ -≡ -≡ Шийд: = Шийд: = ∅ (Шийдгүй) +≡ +≡ -- -- >0 >0 Шийд: = Шийд: = ∅ (Шийдгүй) 3. < 0 бол язгуургүй >0 >0 ++ + + + ++ ++ + + + ++ - - Шийд: ∈ = (−∞; ∞) Шийд: = ∅ (Шийдгүй) - - - +- - - - - - - +- - - - <0 <0

Шийд: = ∅ (Шийдгүй) Шийд: ∈ = (−∞; ∞) + + ≥0 + + ≤ 0 тэнцэтгэл бишийг бодох гурван арга байдаг. Арга 1: Параболын арга Квадрат тэнцэтгэл бишийг бодох ПАРАБОЛЫН АРГА. Энэ аргыг хэрэглэхдээ: Тодорхойлолт 1. Квадрат гурван гишүүнтийн язгуурыг олно 2. Язгууруудыг өсөх эрэмбээр нь эсвэл 0 –(цоорхой) эсвэл (.) цэгээр тоон шулуун дээр баримжаалан тэмдэглэнэ. 3. Параболыг -коэффициентийн тэмдэгийг тооцон тоймолж зурна 4. Тэмдэг тогтооно. 5. Өгсөн тэнцэтгэл бишийн ≥ 0 (≤ 0) -ийг харж шийдийг тэнцэтгэл биш хэлбэрээр бичнэ. Жишээ 1: бодлого 1-ийг бодъё Бодолт: − 15 ≤ 54 ⇒ − 15 − 54 ≤ 0 , = ±√ =± ++ = 9, = 6 тэнцэтгэл бишийн ≤ 0 - 6-9 ийг харж Эндээс шийдийг бичвэл 6 ≤ ≤9 1-р хүүхдийн санасан 6789 тоог − 15 -9 -8 -7 -6 2-р хүүхдийн санасан тоо Жишээ 2: > 25 -ийг бод. Бодолт: − 25 > 0 ⇒ = −5; = 5 + 0 + ⇒ < −5; 5 < -5 - 5 Жишээ 3: − + 2 − 5 < 0 -ийг бод.

Бодолт: = √1 − 5 = √−4 ⇒ < 0 Учир язгуургүй --------------- ⇒ ∈ = (−∞, ∞) = −1 < 0 Арга 2: Системд шилжүүлэх арга Квадрат тэнцэтгэл бишийг системд шилжүүлэ бодох арга Энэ аргыг хэрэглэхдээ: 1. Квадрат гурван гишүүнтийн язгуурыг олно 2. Квадрат гурван гишүүнтийг үржвэрт задална = ( − )( − ) томъёог хэрэглэ 3. Тэнцэтгэл бишийн тэгээ их (баг)-ыг харж - Ижил тэмдэгтэй 2 тооны үржвэр 0 -ээс их - Эсрэг тэмдэгтэй 2 тооны үржвэр 0-ээс бага байдгийг ашиглан систем үүсгэж бодно. 4. Шийдийг тэнцэтгэл биш хэлбэрээр бич (Завсраар бичиж болох боловч цаашдын хэрэглээнд тэнцэтгэл биш хэлбэрээр бичих нь чухлыг анхаарах) Жишээ 4: + 12 + 35 ≤ 0 -ийн бүхэл шийдүүдийн нийлбэрийг ол. Бодолт: , = −6 ± √36 − 35 = −6 ± 1 ⇒ = −7, = −5 + 12 + 35 = ( + 7)( + 5) ≤ 0 ⇒ ( + 7)( + 5) ≤ 0 Хоёр үржвэр тэгээс бага байхын тулд эсрэг тэмдэгтэй байх ёстой а) б) +7≥0 +7≥0 +5≤0 +5≤0 ⇓ ⇓ ≥ −7 ≥ −7 ≤ −5 ≤ −5

-7 -7 0 -5 0 -5 ⇓⇓ −7 ≤ ≤ −5 =∅ Тэнцэтгэл бишийн ерөнхий шийд нь −7 ≤ ≤ −5 Эндээс бодлогын шийд нь −7 − 6 − 5 = −18 болно. Арга 3: Завсрын арга Квадрат тэнцэтгэл бишийг бодох ЗАВСРЫН АРГА Энэ аргыг хэрэглэхдээ 1. Квадрат гурван гишүүнтийн язгуурыг олно 2. Квадрат гурван гишүүнтийг үржигдэхүүнд задална 3. Язгууруудыг тоон шулуун дээр өсөх дарааллаар нь эсвэл 0- (цоорхойгоор) эсвэл (.) цэгээр тэмдэглэнэ 4. Завсар бүрээс нэг тоо авч үржвэрт задалсан үржигдэхүүн тус бүрийн үл мэдэгдэх хувьсагчид оруулан тэмдэг тогтоож, тоон шулуун дээр тэмдэглэнэ язгууруудыг дайруулан муруй зурна 5. Тэнцэтгэл бишийн тэгээс их (бага) -ийг харж шийдийг тэнцэтгэл биш хэлбэрээр бичнэ. Жишээ 5: + − 20 ≥ 0 тэнцэтгэл бишийг бодъё Бодолт: , = ± ⇒ = −5, = 4 +0+ + − 20 = ( + 5)( − 4) ⇒ -5 - 4 ( + 5)( − 4) ≥ 0 ⇒ Шийд нь ≤ −5, 4 ≤ Бие даан гүйцэтгэх даалгавар 1. Дараах тэнцэтгэл бишүүдийг параболын аргаар бод. а) < 25 б) 4 ≥ 9 в) 3 + 1 < 0 г) − 2 − 3 ≤ 0 д) − − + 12 ≥ 0 е) − 4 + 7 > 0 ё) −2 + 6 − 5 ≤ 0

ж) > 49 з) ≤0 2. Дараах тэнцэтгэл бишийг системд шилжүүлэх аргаар бод а) + 5 > 0 б) − 9 > 0 в) − 7 ≤ 0 г) 2 + 9 ≤ 0 д) − 18 > 0 е) −3 + 10 < 0 3. Дараах тэнцэтгэл бишүүдийг завсрын аргаар бод. а) − 3 + 2 < 0 б) + − 2 < 0 в) + 2 − 3 ≥ 0 г) 2 + 3 − 2 ≤ 0 д) 3 + 2 − 1 > 0 е) − 4 + 4 ≤ 0 ё) − + 6 − 9 ≥ 0 ж) ( − 2.5) ≥ 0 з) + ≤ 0 и) 5 > 44 − 32 к) 2 ≤ 5 + 18 Бие даан гүйцэтгэх даалгаврын хариу ≤ 3 е) 1. а) (−5; 5) б) ≥ , ≤ в) ∅ г) −1 ≤ ≤ 3 д) −4 ≤ (−∞; ∞) ё) (−∞; ∞) ж) < −7, > 7 з) 2 ≤ ≤ 7 2. а) < −5, > 0 б) < −3, 3 < в) −√7 ≤ ≤ √7 г) −4.5 ≤ ≤ 0 д) < −3√2, 3√2 < е) 0 < < 0.3 а) б)в)г)д)е)ё)ж)з) а) б)в)г)д)е)ё)ж)з) а) б)в)г)д)е)ё)ж)з) а) б)в)г)д)е)ё)ж)з) а) б)в)г)д)е)ё)ж)з) а) б)в)г)д)е)ё)ж)з) а) б)в)г)д)е)ё)ж)з) а) б)в)г)д)е)ё)ж)з) а) б)в)г)д)е)ё)ж)з)

а) б)в)г)д)е)ё)ж)з) а) б)в)г)д)е)ё)ж)з) а) б)в)г)д)е)ё)ж)з) а) б)в)г)д)е)ё)ж)з) а) б)в)г)д)е)ё)ж)з) а) б)в)г)д)е)ё)ж)з) а) б)в)г)д)е)ё)ж)з) а) б)в)г)д)е)ё)ж)з) а) б)в)г)д)е)ё)ж)з) а) б)в)г)д)е)ё)ж)з) а) б)в)г)д)е)ё)ж)з) а) б)в)г)д)е)ё)ж)з)



Гарчиг Тэгшитгэл квадрат тэгшитгэл ............................................................ 1 Рационал тоо.................................................................................. 1 Үет аравтын бутархай................................................................. 1 Иррационал тоо:............................................................................. 2 Тоон шулуун................................................................................ 3 Бие даан гүйцэтгэх даалгавар ................................................... 5 Арифметик язгуур .......................................................................... 7 Квадрат язгуурын ойролцоо утга ............................................... 8 Тооноос язгуур гаргах 1-р алгоритм: ......................................... 9 Квадрат язгуур гаргах 2-р алгоритм........................................... 9 Бие даан гүйцэтгэх даалгавар ................................................. 11 Квадрат язгуурын чанар............................................................... 11 Бие даан гүйцэтгэх даалгавар ................................................. 12 Квадрат тэгшитгэл........................................................................ 14

Бүтэн квадрат ялгах аргаар квадрат тэгшитгэл бодох............ 15 Бие дааж гүйцэтгэх даалгавар ................................................. 16 Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо ..................................... 16 Бие даан гүйцэтгэх даалгавар ................................................. 17 Квадрат гурван гишүүнтийг үржвэрт задлах ............................... 19 Бие даан гүйцэтгэх даалгавар ................................................. 20 Квадрат тэгшитгэлийг үржвэрт задалж бодох арга .................... 21 Бие даан гүйцэтгэх даалгавар ................................................. 22 Виетийн теорем............................................................................ 22 Бие даан гүйцэтгэх даалгавар ................................................. 24 Квадрат тэгшитгэлийг гарафикийн аргаар бодох ....................... 25 Бие даан гүйцэтгэх даалгавар ................................................. 26 Квадрат тэгшитгэлд шилжүүлэн бодох тэгшитгэл ...................... 26 Бие даан гүйцэтгэх даалгавар ................................................. 28 Квадрат тэнцэтгэл биш.................................................................... 29 Арга 1: Параболын арга ........................................................... 31 Арга 2: Системд шилжүүлэх арга............................................. 32 Арга 3: Завсрын арга ................................................................ 33 Бие даан гүйцэтгэх даалгавар ................................................. 33