ESTRUCTURA

UNIVERSIDAD BANCARIA DE MÉXICO “Constancia Unidad y trabajo” INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES RECONOCIMIENTO DE VALIDEZ OFICIAL DE ESTUDIOS DE LA SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA No. 2022241 DE FECHA 13 DE SEPTIEMBRE DE 2002. ELEMENTOS Y ESTRUCTURAS DE LAS COMPUTADORAS II NÉSTOR APOLO LÓPEZ SEGUNDO CUATRIMESTRE FLIPBOOK RODRÍGUEZ HERNÁNDEZ ÁNGEL ISRAEL FECHA DE ENTREGA: 19 Abril de 2021

ELEMENTOS Y ESTRUCTURAS DE LAS COMPUTADORAS II FLIPBOOK TÍTULO PÁGINA 1. Lógica de primer orden 3 1.2 Términos 3 1.3 Oraciones atómicas 4 1.4 Oraciones complejas 4 1.5 Cuantificadores 5 1.5.1 Cuantificador universal 5 1.5.2 Cuantificador existencial 6 1.5.3 Cuantificadores anidados 7 1.6 Lógica de orden superior 7 Conclusiones 8 Página 2 de 8

ELEMENTOS Y ESTRUCTURAS DE LAS COMPUTADORAS II FLIPBOOK INTRODUCCIÓN En los siguientes temas presentados se dará un claro ejemplo referente a cada tema además de una amplia defición la cual complementará los conocimientos. Los temas hacen referencia a la preposiciones y usos los cuales pueden tener. LÓGICA DE PRIMER ORDEN La lógica de primer orden (LPO), o también conocida hoy como «lógica estándar», puede decirse, con cierta precaución, que comienza o surge cuando generalizamos proposiciones, es decir, desde un punto de vista gramatical, cuando sobreponemos adjetivos a sustantivos comunes (o de primer orden). Tómese el caso de: «Todos los números son pares o impares». Este paso puede aparentar que trae consigo una de las características más importantes de los lenguajes de pri- mer orden, al saber, el incremento en poder expresivo con respecto a lenguajes de orden menor a 1, esto es, lenguajes proposicionales o cálculos conectivos. Esto significa que, por ejemplo, la proposición de primer orden «Todos los números son pares o impares» implica todas sus instancias, es decir, «Uno es par», «Dos es par», «Tres es par»,etc. Sin embargo, es un hecho interesante que la inversa no se cumpla, o sea, que las infinitas oraciones no sean equivalentes a la proposición de primer orden . TÉRMINOS Empezaremos el análisis de las proposiciones atómicas buscando lo que son términos. Se consideran las proposiciones: María está ausente Juan va despacio. Este libro es rojo. Dos es menor que tres. Página 3 de 8

ELEMENTOS Y ESTRUCTURAS DE LAS COMPUTADORAS II FLIPBOOK En estas proposiciones los términos son las palabras «María», «Juan», «este libro», «dos» y «tres». Estos ejemplos sugieren una definición elemental: Un término es una expresión con la que se nombra o se designa un único objeto. ORACIONES ATÓMICAS Son llamadas también preposiciones,las proposiciones atómicas (simples o elementales) carecen de conjunciones gramaticales típicas o conectivas (‘y’, ‘o’, ‘si... en- tonces’, ‘si y sólo si’) o del adverbio de negación ‘no’. Ejemplos: 1) San Marcos es la universidad más antigua de América. 2) La lógica es distinta a la matemática. Las proposiciones atómicas de acuerdo a sus elementos cons- titutivos pueden clasificarse en predicativas y relacionales. Las proposiciones predicativas constan de sujeto y predicado. Ejemplos: 3) El número 2 es par. 4) El espacio es relativo. ORACIONES COMPLEJAS Las proposiciones moleculares (compuestas o coligativas) contienen alguna conjunción gramatical típica o conectiva o el ad- verbio negativo ‘no’. Ejemplos: 5. La lógica y la matemática son ciencias formales. 6. El tiempo es absoluto o es relativo. Página 4 de 8

ELEMENTOS Y ESTRUCTURAS DE LAS COMPUTADORAS II FLIPBOOK Las proposiciones moleculares, según el tipo de conjunción que llevan, se clasifican en conjuntivas, disyuntivas, condicionales y bicondicionales; si llevan el adverbio de negación ‘no’ se llaman negativas. Las proposiciones conjuntivas llevan la conjunción copulativa ‘y’, o sus expresiones equivalentes como ‘e’, ‘pero’, ‘aun- que’, ‘aun cuando’, ‘tanto... como...’, ‘sino’, ‘ni... ni‘, ‘sin embar- go’, ‘además’, etc. Ejemplos: 7. a) ‘El’ es un artículo y ‘de’ es una preposición. 8. b) El número dos es par, pero el número tres es impar. CUANTIFICADORES Ahora simbolizaremos expresiones cuantificadas por ejemplo del tipo: 1. TodoslosSsonP 2. Ningún S es P 3. 3.Algunos S son Así pues, necesitamos introducir nueva simbología. En lo que sigue, sean , ,  –expresiones aceptadas como bien escritas, en nuestro Lenguaje Formal y sean x, y, z variables (estrictamente hablando, meta–variables). I. “Todos los ..., son ...” Símbolos: _ , ∀ Nosotros: ∀ CUANTIFICADOR UNIVERSAL El símbolo para el cuantificador universal es una « A » al revés, y se simboliza la última proposición considerada por: Página 5 de 8

ELEMENTOS Y ESTRUCTURAS DE LAS COMPUTADORAS II FLIPBOOK (Vx)(*>0). Existe en el lenguaje otra forma de expresar lo mismo. En vez de decir «Para cada x, x > 5 » se puede decir: Para todo x, x>5. En ambos casos se simboliza de la forma: (V*)(*>5). Desde el punto de vista lógico la frase «Para cada x» se usa en el mismo sentido que la frase «Para todo x». El cambio de «cada» a «todo», repre- senta en el lenguaje usual el cambio de singular a plural, pero éste es un cambio superficial análogo a uno que se había observado antes para los nombres comunes. No se trata de un cambio lógico. «Todos los gatos tienen garras» se traduce de la misma forma que «Cada gato tiene garras». La frase «cada uno» también es una expresión común para indicar una cuantificación universal. En lenguaje corriente, en vez de decir «Para cada x, x es sabio», se diría «Cada uno es sabio». CUANTIFICADOR EXISTENCIAL Y UNICIDAD SINTAXIS ∃x  A  se le llama el Alcance del cuantificador ∃x Lectura: La expresión “∃x  ” debe leerse de cualquiera de las siguientes maneras: 1. Existe un(a) x tal, que . 2. Hayunaxtal,que. Al dar una interpretación, las variables recorrerán sobre los elementos del universo de interpretación y siendo consecuentes con ello, las interpretaciones de “∀x” y “∃x” Página 6 de 8

ELEMENTOS Y ESTRUCTURAS DE LAS COMPUTADORAS II FLIPBOOK serán \"para todo elemento del universo de interpretación\" y \"existe un elemento del universo de interpretación\", respectivamente. CUANTIFICADOR ANIDADO Cuando un predicado depende de varias variables se pueden utilizar cuantificadores (universal y/o existencial) para cada una de las variables. Si P (X, Y) es un predicado se presentan las siguientes situaciones: • ∀x∀yP(x,y): “para todo par x, y P(x,y) es verdadera” • ∃x∃yP(x,y): “existe un par x, y para el cual P(x,y) es verdadera” • ∀x∃yP(x,y): “para todo x hay un y para el cual P(x,y) es verdadera” LOGICA DE ORDEN SUPERIORº El resultado técnico por antonomasia de LPO y que le valió su “indepen- dencia” es el «Teorema de completud», cuya prueba fue la tesis doctoral de Kurt Gödel en 1929. Este resultado presenta un sistema deductivo para LPO que es completo, sólido (correct) y efectivo. Técnicamente, se entiende que una fórmula válida en todos los modelos de la lógica clásica será deducible de los axiomas y reglas de inferencia previamente especificados, o, dicho de otro mo- do, que el conjunto de las fórmulas válidas es igual al conjunto de las fórmulas demostrables: las fórmulas válidas resultan ser teoremas, y viceversa. Esto, pues, demuestra que existe una estrecha conexión entre la validez semántica y la demostrabilidad sintáctica de las fórmulas de LPO. Página 7 de 8

ELEMENTOS Y ESTRUCTURAS DE LAS COMPUTADORAS II FLIPBOOK Conclusiones Después de analizar yla inv3stugacion anterior podemos decir que la lógica de primer orden LOP, tiene como finalidad facilitar la solución de algunos problemas tales como: • La cuantificado de objetos de un dominio • Representación de propiedades de objetos en un dominio con predicados y funciones • Trabajar con subconjuntos con propiedades características. La aplicación de la LOP, es la técnica más inmediata para la aplicación de técnicas desarrolladas, que se comportan de manera indecidible. Bibliografía. Rafael Rojas Barbachano, Lógica Matemática I, 2013 , Recuperado de: http://sistemas.fciencias.unam.mx/~lokylog/images/Notas/la_aldea_de_la_logica/L MI_2013_2/Profesor/1.04_Cuantificadores.pdf https://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/Filosofia/intro_logica/1_parte.pdf BUNGE, Mario, Epistemología, La Habana, Ciencias Sociales, 1982, pp. 62-65. Kreisel G., ‘Informal rigour and completeness proofs’, en Lakatos I. (ed.), Problems in the philosophy of mathematics, North-Holland, 1967. Página 8 de 8