การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

การเคล่ือนท่แี บบต่างๆ

การเคลื่อนทแ่ี บบโพรเจคไทล์ เคลื่อนทแ่ี บบโพรเจคไทล์ หมายถงึ การเคลื่อนทท่ี ม่ี แี นวการเคลื่อนทเี่ ป็ นวถิ ีโค้ง บางคร้ังเรียกว่า คล้ายพาราโบลา เป็ นการเคล่ือนท่ที ไี่ ม่มแี รงต้านจากอากาศ หรือมี น้อยมากจนไม่ต้องนามาคดิ การเคล่ือนทแ่ี บบโพรเจคไทล์เป็ นการเคลื่อนทใ่ี น 2 มติ ิ คือ มกี ารเคลื่อนทที่ ้งั ในแนวระดบั และแนวด่ิง ดงั รูป y จุดสูงสุด u vy= 0 uy= u sin  sy x sx  ux= u cos 

ภาพใดเป็ นการเคล่ือนท่แี บบโพรเจกไทล์??? 12 3 4 56 78 9 10

การเคล่ือนทแ่ี บบโพรเจคไทล์ การพจิ ารณาลกั ษณะการเคลื่อนทแ่ี บบโพรเจคไทล์ ต้องแบ่งเป็ น 2 มติ ิ คือ ตามแนวระดับ (แกน x ) และตามแนวด่ิง (แกน y)  การเคล่ือนที่ในแนวระดับ (แกน x ) เป็ นการเคล่ือนที่ด้วย ความเร็วคงตัวเพราะไม่มแี รงลพั ธ์ในแนวระดับมากระทา ทา ให้มีความเร่งเป็ นศูนย์  การเคล่ือนทใ่ี นแนวด่งิ (แกน y) เป็ นการเคลื่อนทดี ้วยความเร่ง คงตัว g (g=10m/s2)

การเคล่ือนทใ่ี นแนวระดับของการเคล่ือนทแ่ี บบโปรเจคไตล์ ขณะทว่ี ตั ถุเคล่ือนทอี่ ยู่ในอากาศจะมแี รงดงึ ดูดของโลก (mg)กระทาเพยี งแรงเดยี ว เท่าน้ัน โดยในแนวระดบั แรงกระทาต่อวตั ถุมคี ่าเป็ นศูนย์ (F=0) จาก Fx = max เม่ือ Fx = 0 ดงั น้ัน ax = 0 ผลกค็ ือ วตั ถุเคลื่อนทด่ี ้วยความเร็วคงตวั (vx = ux) ดงั น้ัน สมการในการเคล่ือนทใ่ี นแนวระดับ คือ Sx = ux.t เม่ือ Sx = การกระจดั ในแนวระดบั ux = ความเร็วในแนวระดบั t = ช่วงเวลาของการเคล่ือนท่ี

การเคล่ือนทแี่ บบโพรเจคไทล์ การคานวณ แนวระดบั (แกน x ) • ux= u cos  v  u  at sx = uxt • ux= vx •a=0 s   u  v  t sx = การกระจัดแนวราบ (m)  2  ux= vx = u cos  s  ut  1 at2 = ความเร็วแนวราบ (m/s) 2 t = เวลา (s) v2  u2  2as s  vt - 1 at2 2

การเคลื่อนทแี่ บบโพรเจคไทล์ การคานวณ sy  uyt  1 gt2 2 แนวด่ิง (แกน y) • uy= u sin  sy   uy  vy t • ทีจ่ ุดสูงสุดความเร็ว 2 แนวดิง่ เป็ น 0 • a = g = 10 m/s2 vy  uy  gt v2y  u2y  2gsy 1 sy  vy t - 2 gt 2 sy = การกระจดั แนวดงิ่ (m) uy= u sin  = ความเร็วต้นแนวดง่ิ (m/s) vy = ความเร็วปลายแนวดง่ิ (m/s) g = ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงโลก (10m/s2) t = เวลา (s)

ลกั ษณะการเคลื่อนทแี่ บบโปรเจคไตล์ แบบท่วั ไปๆ 1.มเี ฉพาะความเร็วต้นในแนวระดบั เพยี งแนวเดยี ว ดงั รูป ก 2.มคี วามเร็วต้นท้งั แนวระดบั และแนวดงิ่ ดงั รูป ข และ ค  ux u u uy uy  รูป ก รูป ข รูป ค ux การคานวณหาปริมาณต่างๆ ของการเคล่ือนท่ี เหมือนดงั ที่กล่าวมาข้างต้น รูป ก ay = g , uy = 0 รูป ข ay = g , ux = ucos , uy = usin รูป ค ay = - g , ux = ucos , uy = usin

การหาการกระจดั และความเร็ว ณ ตาแหน่งต่างๆของการเคล่ือนที่แบบโปรเจคไตล์ A ux ขนาดและทศิ ทางของsAB หาได้จาก sy sAB SAB  sx2  s 2 y c sx B tan   sy sx A ux ขนาดและทศิ ทางของvB หาได้จาก B vB  vx2  v 2 y  vx vy tan   v y vB vx

สรุปเงื่อนไขการเคล่ือนทแี่ บบโปรเจคไตล์ 1.วตั ถุต้องมกี ารเคลื่อนทอี่ ย่างอสิ ระ มแี รงดงึ ดูดของโลก mg กระทาเพยี งแรงเดยี ว 2.ต้องมีความเร็วต้นในแนวระดบั (ux) ส่วนในแนวดงิ่ (uy) จะมหี รือไม่กไ็ ด้ โดยความเร็ว ในแนวระดบั คงทเ่ี สมอ 3.เวลาทใี่ ช้ในการเกดิ การกระจดั จากจุดหนึ่งถึงจุดหนึ่ง ในแนวระดบั (x) เท่ากบั ใน แนวดง่ิ (y) 4.ณ จุดสูงสุดของโปรเจคไตล์ ความเร็ว vy =0 แต่ vx = ux ดงั น้ันความเร็ว ณ จุดสูงสุดจึงเท่ากบั ux 5.การพจิ ารณาปริมาณในแนวดง่ิ ถ้ามีทศิ ลงเพยี งทศิ ทางเดยี ว ay = g แต่ถ้ามีการ เคล่ือนที่ 2 ทศิ ทาง มีขนึ้ และมลี ง ay = - g 6.สมการการคานวณ เหมือนการเคล่ือนทใ่ี นแนวตรงทุกประการ

การเคลื่อนทแี่ บบโพรเจคไทล์ ตวั อย่าง1 ลูกแก้วกลงิ้ ออกจากขอบโต๊ะซึ่งสูง 1.8 เมตร ลูกแก้วต้องมี ความเร็วเท่าใดจึงจะทาให้ตกห่างจากโต๊ะเท่ากบั ความสูงของโต๊ะพอดี วธิ ีทาy แนวราบ ux= u cos 0 = u s  ut  1 gt2 แนวด่งิ uy= u sin 0 = 0 2 จุดสูงสุด uy= 0 ux = u sx = uxt 1.8 = 0(t) + 10(t2)/2 sy=1.8 m 1.8 = uxt (หา t จากแกน y) 1.8 = 5t2 ux = 1.8/0.6 t2 = 1.8/5 = 0.36 ux = 3 m/s t = 0.6 s Sx =1.8 m x

ตวั อย่างท2ี่ เมื่อปาวตั ถุออกไปในแนวระดบั จากทส่ี ูง 80 เมตร ปรากฏว่าวตั ถุตกห่างจากจุดปาใน แนวราบ 20 เมตร จงหาอตั ราเร็วของวตั ถุทปี่ าออกไป วธิ ีทา เมอื่ รู้ Sy = 80 m, Sx = 20 m, Uy = 0 , ay = 10 m/s2 ตอ้ งการหา ux แตเ่ ราตอ้ ง หา t แนวดงิ่ กอ่ น จาก Sy = uyt + ½ ayt2 ux แทนค่า 80 = 0 + ½ (10)t2 80 m t = 4S 20 m เมื่อได้ t กม็ าหา อตั ราเร็ว ux จากสูตร จาก Sx = uxt แทนค่า 20 = ux(4) ดงั น้ัน ux = 5 m/s

ตวั อย่างที่ 3 ชายคนหน่ึงยืนอย่บู นดาดฟ้าตึกสูง 50 เมตร แล้วปาก้อนหินออกไปใน แนวทามุม 37 องศา กบั แนวระดบั ด้วยความเร็ว 25 m/s ก. นานเท่าไร ก้อนหินตกถึงพืน้ ข.ก้อนหินตกห่างจากตัวตกึ เท่าไร วธิ ีทา u = 25 m/s และ ux =ucos37๐ , uy = usin 37๐ ay = 10 m/s2 , sy = 50 m 37๐ ux ก.หาเวลา t ในแนวดงิ่ U=25m/s จาก sy = uyt + ½ ayt2 50 m uy แทนค่า 50 = usin37๐t + ½ (10)t2 50 = 25(3/5)t + 5t2 5t2 + 15t – 50 = 0 t2 + 3t – 10 = 0 (t+5) (t-2) = 0 ดงั น้ันก้อนหินตกถึงพืน้ เม่ือเวลาผ่านไป t = 2 s

ข.หาระยะทก่ี ้อนหินตกห่างจากตวั ตึก จาก sx = uxt = ucos37๐ t = 25 x 4 / 5 x 2 Sx = 40 m ดงั น้ัน ก้อนหินตกห่างจากตวั ตกึ 40 เมตร The only source of knowledge is experience. ประสบการณ์ คือแหล่งความรู้เพยี งแหล่งเดียวเท่าน้ัน

แบบฝึ กหัด การเคลื่อนทแี่ บบโพรเจคไทล์ ในการซ้อมช่วยชีวติ กลางทะเล เคร่ืองบินทบี่ นิ ในแนวราบด้วยความเร็ว 72 กโิ ลเมตรต่อช่ัวโมง ทงิ้ แพยางให้แก่ผู้ประสบภยั โดยขณะทที่ งิ้ น้ันเคร่ืองอยู่ ตรงกบั ผู้ประสบภยั พอดี ถ้าบนิ อยู่ในระดบั ความสูง 4,500 เมตร ผู้ประสบภัย ต้องว่ายนา้ เป็ นระยะทางเท่าใดจึงจะถึงแพยาง ขว้างก้อนหินมวล 0.5 กโิ ลกรัม ด้วยความเร็ว 10 เมตรต่อวนิ าที ในแนวราบ จากหน้าผาสูงจากรระดบั นา้ ทะเล 50 เมตร ความเร็วของก้อนหินขณะ กระทบนา้ มีค่าเท่าใด นักกฬี าคนหนึ่งขว้างลูกบอลขนึ้ ด้วยความเร็ว 20 เมตร/วนิ าที เป็ นมุม 60 องศากบั แนวระดบั เขาต้องวง่ิ ด้วยความเร็วเท่าใด จึงจะไปรับลูกบอลทข่ี ว้าง ได้ก่อนตกถงึ พืน้

เฉลย แบบฝึ กหัด การเคลื่อนทแ่ี บบโพรเจคไทล์ ในการซ้อมช่วยชีวติ กลางทะเล เคร่ืองบนิ ทีบ่ ินในแนวราบด้วยความเร็ว 72 กโิ ลเมตรต่อช่ัวโมง ทงิ้ แพยางให้แก่ผู้ประสบภัย โดยขณะทท่ี งิ้ น้นั เคร่ืองอยู่ตรงกบั ผ้ปู ระสบภัยพอดี ถ้าบินอยู่ในระดบั ความสูง 4,500 เมตร ผู้ประสบภัยต้องว่ายนา้ เป็ นระยะทางเท่าใดจึงจะถงึ แพยาง วธิ ีทา 1 2 sy  uyt  gt 2 Ux = 72 km/hr Sx = uxt 4,500 = (0)t+(10)t2 /2 = 72103 m Sx =(20)t 4,500 = 5t2 60  60 s t2 = 4,500/5 = 2  10 m/s = 900 Sy= 4,500 m t = 30 s Sx =(20)t = 20  30 = 600 m Sx

เฉลย แบบฝึ กหัด การเคลื่อนทแ่ี บบโพรเจคไทล์ ขว้างก้อนหินมวล 0.5 กโิ ลกรัม ด้วยความเร็ว 10 เมตรต่อวนิ าที ในแนวราบ จาก หน้าผาสูงจากระดบั นา้ ทะเล 50 เมตร ความเร็วของก้อนหินขณะกระทบนา้ มีค่า เท่าใด ux= u cos 0 v  u  gt วธิ ีทา = 10 (1) ux = 10 m/s s   u  v t U = 10 m/s ux = vx = 10 m/s 2 sy = 50 m uy= u sin 0 s  ut  1 gt2 = 10 (0) 2 vy2=uy2+2gs v2  u2  2gs = 02+2(10)(50) vy2 = 1,000 m/s vx uy = 0 m/s vy v

เฉลย แบบฝึ กหัด การเคลื่อนทแี่ บบโพรเจคไทล์  ต่อ v =(vx2+v2y)1/2 U = 10 m/s v =(vx2+v2y)1/2 = (100+1,000)1/2 sy = 50 m = 10(11)1/2 m/s vx vy v

เฉลย แบบฝึ กหัด การเคล่ือนทแ่ี บบโพรเจคไทล์  นักกฬี าคนหน่ึงขว้างลูกบอลขนึ้ ด้วยความเร็ว 20 เมตร/วนิ าที เป็ นมุม 60 องศากบั แนว ระดบั เขาต้องวงิ่ ด้วยความเร็วเท่าใด จงึ จะไปรับลูกบอลทีข่ ว้างได้ก่อนตกถงึ พืน้  วธิ ีทา ux = u cos 60 uy = u sin 60 = 20 1 = 20 3 u = 20 m/s = 10 m/2s = 10 3m2 /s uy = u sin 60 sx  uxt ux = u cos 60 sx  10t

เฉลย แบบฝึ กหัด การเคลื่อนทแ่ี บบโพรเจคไทล์ sx  uxt sy  uyt  1 gt2 sx  10t 2 sx  uxt 0  10 3t  1 10t2  sx  10 2 3 2 sx  20 3 0  10 3t  5t 2  0  t 10 3  5t 10 3  5t  0 t  10 3  2 3 5 เพราะฉะน้ันต้องใช้ความเร็ว 20 3 = 10 m/s 23

โพรเจกไทล์เตม็ ใบ ข. เวลาที่วตั ถุใชใ้ นการเคลื่อนที่ถึงจจุสูงงจูุส จากสมการ ก. ระยะสูงสุดของวตั ถุจากจุดเริ่มต้น (H) เวลาทวี่ ตั ถุอยู่ในอากาศท้ังหมด จากสมการ ค. ระยะทางในแนวราบทว่ี ตั ถุเคล่ือนท่ี จากสมการ

น่าสนใจ เมื่อพจิ ารณา จากรูปในการยงิ ด้วยมุมต่างๆ ของวตั ถุทเ่ี คล่ือนทแี่ บบโพรเจกไทล์ พบว่า มุมทท่ี าให้วตั ถุไปไกลทส่ี ุดคือ 45˚ มุมทรี่ วมกนั ได้ 90 องศา จะทาให้วตั ถุ ตกทจี่ ุดเดยี วกนั (Sxเท่ากนั ) ถ้ากาหนดให้ตกจุดเดยี วกนั อตั ราเร็วท่ี น้อยทส่ี ุด (ออกแรงน้อย) ในการขว้าง วตั ถุ คือ 45˚

การทดลองโปรเจกไทล์ การทดลองท่ี 1 ใช้เหรียญ 2 เหรียญทดสอบเรื่อง เวลาการตกในแนวเส้นตรงกบั โค้งแบบโพรเจก ไทล์ การทดลองท่ี 2 ทดสอบการยงิ ของลูกกลมโลหะ ตกกระทบเป้ากราฟด้วยมุมต่างๆ