lesson 2

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์ข้อมูลเบื้องต้น ภายหลงั จากเก็บรวบรวมขอ้ มูลมาแลว้ ท้งั กรณีของขอ้ มูลเชิงปริมาณหรือขอ้ มูลเชิงคุณภาพข้นั ต่อไป ผวู้ จิ ยั จะตอ้ งทาการวเิ คราะห์ขอ้ มูลข้นั ตน้ เรียกวา่ สถิติพรรณนา (DescriptiveStatistics) เพื่อเป็ นการสรุปลกั ษณะเบ้ืองตน้ ของขอ้ มูล โดยเริ่มจากการบรรยายขอ้ มูลเชิงเปรียบเทียบในรูปแบบของอตั ราส่วน สดั ส่วน ร้อยละ การแจกแจงความถ่ี การวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลาง ซ่ึงบางคร้ังเรียกวา่ ค่ากลางของขอ้ มูลในรูปแบบของค่าเฉล่ีย มธั ยฐาน ฐานนิยม ตวั กลางเรขาคณิต ตวั กลางฮาร์โมนิก ตวั กลางควอดราติก การวดั ตาแหน่งของขอ้ มูลในรูปของเปอร์เซ็นไทล์ ควอไทล์ เดไซล์ การวดั การกระจายของขอ้ มูล ในรูปแบบพิสยั ส่วนเบ่ียงเบนควอไทล์ ส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ีย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน สัมประสิทธ์ิการกระจายหรือสัมประสิทธ์ิความแปรผนั เม่ือทาการวเิ คราะห์ขอ้ มูลข้นั ตน้ แลว้ จึงจะนาผลท่ีไดจ้ ากการวเิ คราะห์ไปทาการวเิ คราะห์ข้นั สูง เพอ่ื นาผลจากการวเิ คราะห์ข้นั สูงไปช่วยใหก้ ารตดั สินใจถูกตอ้ งยง่ิ ข้ึน 2.1 การบรรยายข้อมูลเชิงเปรียบเทยี บ อตั ราส่วน (Ratio) การเปรียบเทียบจานวนขอ้ มูลในกลุ่มยอ่ ยกบั กลุ่มยอ่ ยต้งั แต่ 2 กลุ่ม หรือมากกวา่ วา่เป็นก่ีเทา่ ซ่ึงกนั และกนั โดยนาจานวนสมาชิกของกลุ่มยอ่ ยที่ตอ้ งการหาอตั ราส่วนมาหารกนั หรืออาจกล่าววา่ เป็นการนาตวั เลขหรือสัญลกั ษณ์แทนตวั เลขสองจานวนมาเปรียบเทียบกนั เพอ่ื บอกให้ทราบวา่ เป็ นก่ีเทา่ ของกนั และกนั เป็นการเปรียบเทียบส่วนยอ่ ยกบั ส่วนยอ่ ย เช่น a กบั b เป็นตน้เปรียบเทียบเป็ นอตั ราส่วนจะได้ a : b หรือ a ส่วน b ซ่ึงเขียนเป็นเศษส่วน ดงั น้ี ( a ) b การนาตวั เลขเปรียบเทียบในลกั ษณะอตั ราส่วนอาจแบง่ ได้ 3 แบบ คือ 1. แบบเป็ นเท่า การเปรียบเทียบแบบน้ีจะบอก เป็นอตั ราส่วนเท่าไรกบั เทา่ ไร ตัวอย่าง การวเิ คราะห์ขอ้ มูลทวั่ ไปของนกั ศึกษา พบวา่ เป็นนกั ศึกษาชาย 70 คน นกั ศึกษาหญิง30 คน เรียนช่างก่อสร้าง 20 คน ช่างไฟฟ้า 40 คน ช่างยนต์ 40 คน ถา้ จะบรรยายเชิงเปรียบเทียบดว้ ยอตั ราส่วนแบบเป็นเทา่ จะเสนอวา่ นกั ศึกษาที่เป็นตวั อยา่ งมีนกั ศึกษาชายกบั นกั ศึกษาหญิงเป็นอตั ราส่วน 7 ตอ่ 3 (7:3)และมีนกั ศึกษาช่างก่อสร้างตอ่ ช่างไฟฟ้าและต่อช่างยนตเ์ ป็นอตั ราส่วน 1 ตอ่ 2 ตอ่ 2 (1:2:2)

2. แบบเป็ นกเ่ี ท่า เป็ นการเปรียบเทียบท่ีบอกวา่ เลขจานวนน้ีเป็นกี่เทา่ ของเลขอีกจานวนหน่ึง ตัวอย่าง จากการประเมินผลการอบรม พบวา่ ก่อนการอบรม ผเู้ ขา้ รับการอบรมมีความรู้เฉลี่ย10 คะแนน และหลงั อบรมมีความรู้เฉล่ียเพมิ่ ข้ึนเป็น 30 คะแนน ถา้ จะบรรยายเชิงเปรียบเทียบดว้ ยอตั ราส่วนแบบเป็ นก่ีเทา่ จะเสนอวา่ การอบรมคร้ังน้ี ผเู้ ขา้ รับการอบรมมีความรู้เฉล่ียเพ่มิ ข้ึนเป็น 3 เทา่ ของก่อนการอบรมแสดงวา่ การอบรมคร้ังน้ีมีประสิทธิภาพ 3. แบบมากกว่ากเี่ ท่า เป็ นการเปรียบเทียบท่ีบอกวา่ เลขจานวนน้ีมากกวา่ เลขอีกจานวนหน่ึงกี่เท่า ตัวอย่าง จากการศึกษาบุคลากรของโรงพยาบาลแห่งหน่ึงพบวา่ มีบุคลากรชาย 60 คนและบุคลากรหญิง 190 คน จะเสนอเป็ นอตั ราส่วนแบบมากกวา่ ก่ีเท่าไดด้ งั น้ี บุคลากรของโรงพยาบาลแหงน้ีมีบุคลากรหญิงมากกวา่ บุคลากรชายถึง 2 เท่าเศษ ถา้ มีชาย 1 คน จะตอ้ งมีหญิง 3 คน หญิงจึงจะมากกวา่ ชาย 2 เท่า (3-2  1) ฉะน้นั มีชาย 60 คน และมีหญิง 190 คน จึงมีหญิงมากกวา่ ชาย 2 เท่า หรือมีหญิงเป็น 3 เทา่ ของชาย สัดส่วน (Proportion) เป็นคา่ เปรียบเทียบของเลขจานวนหน่ึงกบั จานวนเตม็ ถา้ ให้ a และ b เป็นเลข 2จานวน สดั ส่วนของ a จะเทา่ กบั a ส่วน a + b( a )จะเห็นวา่ สัดส่วนเป็นการเปรียบเทียบ abส่วนยอ่ ย (a) กบั ส่วนรวม (a + b) ทางคณิตศาสตร์จะเขียนเป็นทศนิยมหรือเศษส่วน และใชอ้ กั ษรp (ตวั เล็ก) แทนคา่ สัดส่วน ถา้ ขอ้ มูลชุดหน่ึงมีขอ้ มูลท้งั หมด N จานวน แบง่ กลุ่มได้ k ส่วน สมาชิกตวั หน่ึงจะจาแนกในกลุ่มใดกลุ่มหน่ึงเท่าน้นั แตล่ ะกลุ่ม มีจานวนขอ้ มูล N1, N2, N3,…,N k โดยท่ีN1+ N2 + N3+…+ N k = N แลว้ ค่าสัดส่วนของจานวนขอ้ มูลในกลุ่มท่ี k = Nk N สัดส่วนนิยมใชใ้ นการบรรยายลกั ษณะขอ้ มูลโดยทว่ั ไป เช่น น้าคร่ึงตุ่ม นกั ศึกษาคอ่ นห้อง หรือ จากการวจิ ยั เร่ืองหน่ึง พบวา่ ประชาชนที่เป้นกลุ่มตวั อยา่ งประกอบอาชีพรับจา้ งรายวนั 40 คน เป็นพนกั งานบริษทั 30 คน เป็ นแมบ่ า้ น – พอ่ บา้ น 10 คน และอีก 20 คน ประกอบอาชีพอื่น ๆ ถา้ จะเสนอเป็นสัดส่วนจะเสนอดงั น้ี

ประชาชนที่เป็นกลุ่มตวั อยา่ งคร้ังน้ีประกอบอาชีพรับจา้ ง พนกั งานบริษทั แมบ่ า้ น– พอ่ บา้ นและอาชีพอ่ืน ๆ เป็ นสดั ส่วน 0.4, 0.3, 0.1 และ 0.2 หรือ 4, 3, 1, 2 ตามลาดบั ร้อยละ (Percentage) เป็นสดั ส่วนที่เทียบฐานเป็ น 10 หรือเป็ นการเปรียบเทียบกบั 100 โดยแบ่งขอ้ มูลออกเป็ น 100 ส่วน ค่าร้อยละ = ค่าสัดส่วน  100 ตัวอย่าง จากการสอบถามผรู้ ับบริการ 400 คน ปรากฏวา่ เป็นผจู้ บประถมศึกษา 180 คน จบมธั ยมศึกษาตอนตน้ 120 คน จบมธั ยมศึกษาตอนปลาย 60 คน และจบปริญญาตรีหรือสูงกวา่ 40 คนจะเสนอเป็ นร้อยละไดด้ งั น้ี ผรู้ ับบริการ 400 คน ประกอบดว้ ย ผทู้ ่ีจบประถมศึกษาร้อยละ 45 จบมธั ยมศึกษาตอนตน้ ร้อยละ 30 จบมธั ยมศึกษาตอนปลายร้อยละ 15 และจบปริญญาตรีหรือสูงกวา่ ร้อยละ 10 ตวั อย่าง ในการสอบชุดวชิ าคณิตศาสตร์ มีจานวนผเู้ ขา้ สอบ 200 คน ไดร้ ะดบั คะแนน ดงั น้ีระดบั คะแนน จานวนนักศึกษาเกียรตินิยม (H) 20 140 ผา่ น (S) 40 ไมผ่ า่ น (U) 200 รวมจงหาค่าสดั ส่วนและร้อยละของจานวนนกั ศึกษาท่ีไดร้ ะดบั คะแนน H, S และ Uค่าสดั ส่วนของนกั ศึกษาที่ไดร้ ะดบั คะแนน H = 20 = 0.1ร้อยละของนกั ศึกษาท่ีไดร้ ะดบั คะแนน H = 200 0.1  100 = 10ค่าสัดส่วนของนกั ศึกษาที่ไดร้ ะดบั คะแนน S = 140 = 0.7ร้อยละของนกั ศึกษาท่ีไดร้ ะดบั คะแนน S = 200 0.7  100 = 70ค่าสดั ส่วนของนกั ศึกษาท่ีไดร้ ะดบั คะแนน U = 40 = 0.2ร้อยละของนกั ศึกษาที่ไดร้ ะดบั คะแนน U = 200 0.2  100 = 20

ข้อสังเกต คา่ สัดส่วนของท้งั สามกลุ่มรวมกบั เทา่ กบั 0.1 + 0.7 + 0.2 = 1.00 คา่ ร้อยละของท้งั สามกลุ่มรวมกบั เท่ากบั 10 + 70 + 20 = 100 การวเิ คราะห์ดว้ ยร้อยละ จะตอ้ งระมดั ระวงั เกี่ยวกบั สิ่งตอ่ ไปน้ี 1. ฐานที่ใชค้ านวณ ควรจะใชย้ อดรวมเป็นฐานของการคานวณ 2. ทศนิยม ควรใชท้ ศนิยมเพียงตาแหน่งเดียว แต่ในกรณีที่ฐานคานวณมีจานวนมาก หรือ ขอ้ มูลตอ้ งการความละเอียดมาก เช่นดอกเบ้ียเงินฝาก น้าหนกั ทองคา เป็นตน้ จะใช้มากกวา่ 1 ตาแหน่งกไ็ ด้ และจะมีความเหมาะสมมากกวา่ การปัดเศษของทศนิยมร้อยละ มีหลกั เกณฑ์ ดงั น้ี 1.1 ถา้ ตวั เลขทศนิยมตวั ท่ี 2 มีค่าต้งั แต่ 6 ข้ึนไป ใหป้ ัดทศนิยมตวั แรกเพ่มิ ข้ึนอีก1 ตวั เช่น 12.37 ใหป้ ัดเป็ น 12.4 1.2 ถา้ ตวั เลขทศนิยมตวั ท่ี 2 มีค่านอ้ ยกวา่ 5 ไมต่ อ้ งปัด คงไวเ้ ฉพาะทศนิยมตวัแรกเทา่ น้นั เช่น 12.34 ใหป้ ัดเป็น 12.3 1.3 ถา้ ตวั เลขทศนิยมตวั ที่ 2 มีคา่ เทา่ กบั 5 ใหด้ ูค่าทศนิยมตาแหน่งที่ 3 ถา้ มีคา่มากกวา่ 5 ไม่ตอ้ งปัดทศนิยมตวั แรกเพิ่มข้ึนอีก 1 เช่น 12.357 ใหป้ ัดเป็น 12.4 แตถ่ า้ ทศนิยมตาแหน่งที่ 3 มีคา่ นอ้ ยกวา่ 5 ไม่ตอ้ งปัด คงไวต้ ามเดิม เช่น 12.354 กค็ งเป็น 12.3 และถา้ ทศนิยมตาแหน่งท่ี 3 มีค่าเทา่ กบั 5 ใหก้ ลบั ไปดูทศนิยมตาแหน่งที่ 1 ถา้ เป็นเลขคี่ใหป้ ัดเพ่ิมข้ึน 1 เช่น 12.355กใ็ หเ้ ป็น 12.4 แตถ่ า้ เป็ นเลขคู่ ไมป่ ัด คงไวต้ ามเดิม เช่น 12.255 ก็คงเป็น 12.2 เป็นตน้ 3. ฐานเปรียบเทียบ จานวนรวมท่ีใชเ้ ปรียบเทียบเทา่ กบั 100 จะตอ้ งไม่เลก็ เกินไปนกั วชิ าการหลายทา่ นใหค้ วามคิดหลากหลาย เช่น ไม่ควรนอ้ ยกวา่ 100, ไมค่ วรนอ้ ยกวา่ 30, ไม่ควรนอ้ ยกวา่ 25 เพราะคา่ ร้อยละที่ไดจ้ ะทาใหค้ า่ ร้อยละแตกต่างมาก ตวั อยา่ งเช่น ถา้ มีนกั เรียน 20 คนนกั เรียนหญิง 10 คน นกั เรียนชาย 10 คน นกั เรียนชายและนกั เรียนหญิงมีค่าร้อยละ 50 เท่ากนั ถา้เพ่มิ นกั เรียนชาย 1 คน จะมีนกั เรียนชายร้อยละ 52.4 นกั เรียนหญิงร้อยละ 47.6 นกั เรียนชายและนกั เรียนหญิงจะต่างกนั ร้อยละ 4.8 ฉะน้นั เพือ่ แกป้ ัญหาดงั กล่าว ควรใชส้ ัดส่วนหรืออตั ราส่วนจะทาใหค้ วามหมายดีกวา่ 4. ขนาดตวั เลขท่ีคานวณร้อยละ ค่าของตวั เลขท่ีอยภู่ ายใตฐ้ านเปรียบเทียบเดียวกนัแตล่ ะคา่ ควรมีจานวนมากพอ ๆ กนั เช่น แต่ละกลุ่มเป็นหลกั สิบเหมือนกนั หรือหลกั ร้อยเหมือนกนัเป็ นตน้ 5. ร้อยละรวม ปกติร้อยละรวมจะตอ้ งเทา่ กบั 100.0 เสมอ จะเป็น 99.9 หรือ 100.1ไมไ่ ด้

6. การนาเสนอผล ในการนาเสนอผลการวเิ คราะห์ร้อยละ จะตอ้ งเสนอจานวนท่ีเป็นร้อยละควบคู่ไปกบั จานวนเสมอ เช่น ผปู้ ่ วยเบาหวานร้อยละ 80 (250 คน) มารักษาต่อเนื่อง มาตามนดั เกือบทุกคร้ัง เพราะตวั เลขร้อยละเป็นตวั เลขท่ีเกิดจากการวเิ คราะห์ การนาเสนอตอ้ งเสนอตวั เลขท่ีเป็ นผลวเิ คราะห์ มิใช่เป็นขอ้ มูลดิบ (Raw Data) อตั รา (Rate) เป็นสัดส่วนที่คานวณต่อคา่ คงท่ีในหน่ึงหน่วยเวลา แสดงไดด้ ว้ ยสูตรทว่ั ไป ดงั น้ี a a b k  เม่ือ a = จานวนเหตุการณ์หน่ึงท่ีเกิดข้ึนในช่วงระยะเวลาหน่ึงท่ีกาหนด a + b = จานวนเหตุการณ์ท้งั หมดที่เกิดข้ึนในช่วงระยะเวลาเดียวกนั ที่กาหนด k =คา่ คงที่ ส่วนมากจะไดแ้ ก่ 100, 1,000, 10,000 หรือ 100,000อตั ราใชก้ บั ขอ้ มูลที่เปล่ียนแปลงไปตามเวลา เช่น การเจริญเติบโตทางเศรษฐกิจของประเทศ การเปลี่ยนแปลงมูลค่าทรัพยส์ ินในแต่ละช่วงเวลา การเปล่ียนแปลงทางประชากร เช่น การเกิด การตาย การยา้ ยถิ่นของประชากรในประเทศ เป็นตน้ 2.2 การแจกแจงความถี่ (Frequency Distribution) การแจกแจงความถ่ี คือ การนาขอ้ มูลดิบ (Raw Data หรือ Raw Score) ท่ีรวบรวมไดม้ าดว้ ยวธิ ีการตา่ ง ๆ มาจดั ระเบียบใหม่ใหเ้ ป็นหมวดหมู่ เรียงจากคา่ มากไปหานอ้ ย (หรือเรียงจากค่านอ้ ยไปหามากก็ได)้ เพ่ือแสดงใหท้ ราบวา่ ขอ้ มูลแตล่ ะคา่ (เมื่อเป็นการแจกแจงความถ่ีแบบไม่จดั เป็นกลุ่ม) หรือขอ้ มูลแตล่ ะกลุ่ม (เมื่อเป็นการแจกแจงความถ่ีแบบจดั เป็ นกลุ่ม) เกิดข้ึนซ้า ๆ กนั กี่คร้ัง (หรือที่เรียกวา่ มีความถี่มากนอ้ ยเท่าใด) ซ่ึงเป็ นการยน่ ยอ่ ขอ้ มูลเพือ่ ให้แปลความหมายไดม้ ากข้ึน โดยจะตอ้ งสร้างตารางแจกแจงความถี่ข้ึน รูปแบบของการแจกแจงความถ่ี สามารถทาได้ 4 รูปแบบ คือ 1. ตารางแจกแจงความถ่ี (Frequency Distribution) 2. ตารางแจกแจงความถี่สะสม (Cumulative Frequency Distribution) 3. ตารางแจกแจงความถี่สมั พทั ธ์ (Relative Frequency Distribution) 4. แผนภูมิหรือกราฟ 4.1 ฮิสโตแกรม (Histogram) 4.2 รูปหลายเหลี่ยมแห่งความถ่ี (Frequency Polygon) 4.3 โคง้ ความถ่ี (Frequency Curves) 4.4 โคง้ ความถ่ีสะสม (Cumulative Polygon หรือ Ogive Curve)

1. การแจกแจงความถ่ี มี 2 ชนิด คือ 1. แบบไม่จัดหมวดหมู่ข้อมูล (ungrouped data) 1. เรียงคะแนนจากมากไปหานอ้ ย หรือนอ้ ยไปหามาก 2. ขีดรอยคะแนน (Tally mark) ใหต้ รงกบั คะแนนท่ีเขียนเรียงไวก้ ่อน 3. รวมรอยคะแนน เป็นความถี่ (Frequency) ของคะแนนตา่ ง ๆ ตวั อย่าง คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียนช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 540 42 59 42 56 58 45 55 47 45 53 4259 51 51 47 42 42 53 55 47 58 53 5151 58 45 49 49 42 51 45 58 42 55 4745 53 51 59คะแนน (x) รอยคะแนน ความถี่ (f) 59 //// 4 58 //// 4 56 / 1 55 /// 3 53 //// 4 51 //// / 6 49 // 2 47 //// 4 45 //// 4 42 //// // 7 40 / 1 2. แบบจัดหมวดหมู่ข้อมูล (Grouped data) ใชใ้ นกรณี ขอ้ มูลมีจานวนมากไมส่ ะดวกตอ่ การใชง้ าน และในบางคร้ัง คะแนนสูงสุดกบั คะแนนต่าสุดห่างกนั มาก จึงนิยมจดั คะแนนที่ใกลเ้ คียงกนั เขา้ เป็นหมวดหมู่หรือช้นั (Group orClass) ขนาดความห่างของคะแนนแต่ละช้นั เรียก อนั ตรภาคช้นั (Class interval) คะแนนตรงกลางที่อยรู่ ะหวา่ งคะแนนสูงสุดของแตล่ ะช้นั (Upper limit) และคะแนนต่าสุดของแตล่ ะช้นั (Lower limit)เรียก จุดกลาง (mid-point) คะแนนทุกช้นั จะตอ้ งมีขีดจากดั บน (Upper limit) และขีดจากดั ล่าง(Lower limit)

การแจกแจงความถี่โดยวธิ ีน้ีมีข้นั การทา ดงั น้ี 1. สร้างตารางที่มี 3 ช่อง คือ ช่องคะแนน(scores) รอยขีด (Tally mark) และความถี่(Frequency) 2. หาพิสัย (range) ของคะแนนหรือความแตกต่างระหวา่ งคะแนนสูงสุดกบั คะแนนต่าสุดจากสูตร พิสยั = คะแนนสูงสุด – คะแนนต่าสุด 3. ประมาณจานวนช้นั ท่ีตอ้ งการ ไม่ควรต่ากวา่ 10 ช้นั หรือเกินกวา่ 20 ช้นั 4. คานวณค่าอนั ตรภาคช้นั (Class interval) หรือความห่างของคะแนนแต่ละช้นั จากสูตร อนั ตรภาคช้นั = พิสยั จานวนช้ัน 5. เขียนขีดจากดั ของคะแนนแตล่ ะช้นั ลงในช่องคะแนน โดยข้ึนตน้ ดว้ ยช้นั ของคะแนนสูงไปจนถึงช้นั ของคะแนนต่าสุด 6. ขีดรอยขีดของคะแนน ให้หน่ึงขีดแทนคะแนนหน่ึงจานวนที่อยูร่ ะหวา่ งขีดจากดั ช้นั น้นั 7. นบั จานวนความถี่ของรอยขีด แลว้ ใส่ในช่องความถี่ จากตวั อยา่ งคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5 พสิ ัย = คะแนนสูงสุด – คะแนนต่าสุด = 59 – 40 = 19 = 1.9  2 จานวนช้นั ท่ีตอ้ งการ 10 ช้นั อนั ตรภาคช้นั = พิสยั = 19 จานวนช้ัน 10 คะแนน (x) รอยคะแนน ความถี่ (f) 58 -59 //// /// 8 56 – 57 / 1 54 - 55 /// 3 52 – 53 //// 4 50 – 51 //// / 6 48 – 49 // 2 46 – 47 //// 4 44 – 45 //// 4 42 – 43 7 40 – 41 //// // 1 /

2. ตารางแจกแจงความถสี่ ะสม (Cumulative Frequency Distribution) ความถี่สะสมของช้นั ใด หมายถึง ความถี่ในช้นั น้นั รวมกบั ความถี่ของช้นั อื่นที่ขอ้ มูลนอ้ ย หรือ มากกวา่ ช้นั น้นั ซ่ึงความถ่ีสะสมอาจจะนบั จากคา่ มากไปหานอ้ ย หรือจากค่านอ้ ยไปหามากกไ็ ด้ แตใ่ นทางปฏิบตั ิมกั นิยมความถี่สะสมที่นบั จากคา่ นอ้ ยไปหามากตวั อย่าง ตารางแจกแจงความถ่ีสะสมแบบนอ้ ยกวา่ (Less Than) ของขอ้ มูลคะแนนสอบนกั ศึกษา คะแนน ความถ่ี ความถ่สี ะสมแบบ 16 – 21 น้อยกว่า (Less Than) 22 – 27 28 – 33 17 17 34 – 39 26 43 = (17+26) 40 – 45 9 52 = (43+9) 5 57 3 60 จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ ความถี่ 17 หมายความวา่ มีนกั ศึกษา 17 คน ท่ีสอบไดค้ ะแนนระหวา่ ง15.5 – 21.5 ส่วนความถ่ีสะสม 43 หมายความวา่ มีนกั ศึกษา 43 คน ที่สอบไดค้ ะแนนต่ากวา่ 27.5ตวั อย่าง ตารางแจกแจงความถ่ีสะสมแบบมากกวา่ (More Than) ของขอ้ มูลคะแนนสอบนกั ศึกษา คะแนน ความถ่ี ความถส่ี ะสมแบบมากกว่า 16 – 21 (More Than) 22 – 27 17 60 28 – 33 26 43 34 – 39 9 17 = (8+9) 40 – 45 5 8 = (3+5) 33

จากตวั อยา่ ง ความถี่สะสม 8 หมายความวา่ มีนกั ศึกษา 8 คน ที่สอบไดค้ ะแนนสูงกวา่ 38.5และคะแนนสะสม 17 หมายความวา่ มีนกั ศึกษา 17 คน ท่ีสอบไดค้ ะแนนสูงกวา่ 27.5 คะแนน 3. ตารางแจกแจงความถส่ี ัมพทั ธ์ (Relative Frequency Distribution) ความถ่ีสัมพทั ธ์ของช้นั ใด หมายถึง สดั ส่วนระหวา่ งความถี่ของช้นั กบั ความถี่ท้งั หมดโดยผลบวกของความถี่สมั พทั ธ์ของทุก ๆ ช้นั ในตารางแจกแจงจะมีคา่ เป็ น 100 หรือค่าสัดส่วนเป็น1 เสมอตัวอย่าง ตารางแจกแจงความถ่ีสมั พทั ธ์ของขอ้ มูลคะแนนสอบนกั ศึกษาคะแนน ความถ่ี ความถี่สัมพทั ธ์ ร้อยละของความถ่สี ัมพทั ธ์16 – 21 17 28 17  0.2822 – 27 26 60 44 26  0.4428 – 33 9 60 15 9  0.1534 – 39 5 60 8 5  0.0840 – 45 3 60 5 3  0.28 60 จากตารางขา้ งตน้ นกั ศึกษาท่ีสอบไดค้ ะแนน 15.5 ถึง 21.5 คะกนน มีจานวน 28% หรือนกั ศึกษาท่ีสอบไดค้ ะแนน 21.5 ถึง 27.5 คะแนน มีจานวน 44% 4. แผนภูมหิ รือกราฟ การแจกแจงความถี่ยอกจากจะแสดงความถี่ของขอ้ มูลดว้ ยตารางท้งั 3 แบบแลว้ ยงัสามารถแสดงไดด้ ว้ ยแผนภูมิหรือกราฟ ดงั น้ี 4.1 ฮิสโตแกรม (Histogram) หรือรูปสี่เหลย่ี มผืนผ้าของความถี่ เป็นการแสดงความถี่โดยอาศยั พ้ืนที่ส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ คลา้ ยกบั การนาเสนอขอ้ มูลแบบกราฟแทง่ โดยท่ีแต่ละแท่งจะติดกนั

เพราะใชข้ อบเขตล่างและขอบเขตบนของขอ้ มูลแตล่ ะช้นั มาแบ่งหน่วยบนแกนแนวนอน (แกน X)ส่วนแกนแนวต้งั (แกน Y) แสดงความถี่ (f)ตวั อย่าง ตารางแสดงความถี่คะแนน ขดี จากดั ช้ัน จานวน (ความถ่)ี16 – 21 15.5 – 21.5 1722 – 27 21.5 – 27.5 2628 – 33 27.5 – 33.5 934 – 39 33.5 – 39.5 540 – 45 39.5 – 45.5 3จำนวนคน (f) 21.5 27.5 33.5 39.5 45.5 คะแนน 30 25 20 15 10 5 15.5 0 4.2 รูปหลายเหลย่ี มของความถี่ (Frequency Polygon) เป็นการแสดงความถี่โดยจุดก่ึงกลางและแกนแนวต้งั แสดงความถ่ี จะไดต้ าแหน่งของจุดก่ึงกลางและความถ่ีของขอ้ มูลในแต่ละช้นั เมื่อลากเส้นเชื่อมระหวา่ งตาแหน่งจากขอ้ มูลนอ้ ยไปหาขอ้ มูลมาก ภาพท่ีไดเ้ ป็นรูปหลายเหล่ียมแห่งความถ่ี หรือสร้างตอ่ จากการทาฮิสโตแกรมโดยการแบ่งก่ึงกลางที่ยอดของแต่ละแท่งแลว้ลากเส้นเชื่อมของจุดแบ่ง จะไดร้ ูปหลายเหลี่ยมของความถ่ีตามตอ้ งการ

จากตวั อยา่ งสามารถแสดงรูปหลายเหล่ียมแห่งความถี่ ดงั น้ี จานวนคน (f) 30 20 10 คะแนน 15.5 21.5 27.5 33.5 39.5 45.5 4.3 โค้งความถี่ (Frequency Curves) เป็นโคง้ ท่ีเกิดจากการปรับเส้นของรูปหลายเหล่ียมแห่งความถี่ใหเ้ รียบข้ึน โดยการปรับจะตอ้ งใหพ้ ้ืนที่ภายใตเ้ ส้นโคง้ ท่ีปรับใหม่มีขนาดใกลเ้ คียงกบัพ้ืนท่ีของรูปหลายเหลี่ยมแห่งความถี่โดยแบง่ ออกเป็น 5 ชนิด คือ 4.3.1 โค้งปกติ (Normal Curves) ความถ่ี Y X คะแนน รูปท่ี 2.1 โค้งปกติ 4.3.2 โค้งเบ้ (Moderately Asymetrical or Skewed) มี 2 ลกั ษณะ คือ 4.3.2.1 โค้งเบ้ทางขวา (Positively Skewed) เป็นโคง้ ที่แสดงใหเ้ ห็นวา่ นกั ศึกษาส่วนใหญไ่ ดค้ ะแนนนอ้ ย มีจานวนมาก ส่วนนกั ศึกษาที่ไดค้ ะแนนมาก มีจานวนนอ้ ย ความถ่ี Y X คะแนน รูปท่ี 2.2 โค้งเบ้ไปทางขวา

4.3.2.2 โค้งเบ้ทางซ้าย (Negatively Skewed) เป็นโคง้ ท่ีมีลกั ษณะตรงกนั ขา้ มกนั โคง้ เบ้ทางขวา ส่วนใหญ่นกั ศึกษาท่ีสอบไดค้ ะแนนมากมีจานวนมาก นกั ศึกษาท่ีสอบไดค้ ะแนนนอ้ ยจะมีจานวนนอ้ ย ความถี่ Y รูปที่ 2.3 โค้งเบ้ไปทางซ้าย X คะแนน4.3.3 โค้งรูปตัวเจ (J – Shaped) เป็นโคง้ ความถ่ีท่ีมีความถี่ต่าทางดา้ นคะแนนนอ้ ยและค่อย ๆเพมิ่ ข้ึนเม่ือคะแนนมาก ซ่ึงถา้ เป็นผลการศึกษาแสดงวา่ มีการพฒั นาข้ึน ลกั ษณะคลา้ ยอกั ษรตวั เจความถ่ี Y ความถ่ี Y X คะแนน X คะแนน ตวั เจ ตวั เจกลบั รูปที่ 2.4 โค้งรูปตัวเจ 4.3.4 โค้งรูปตวั เอส (S – Shaped) ลกั ษณะคลา้ ยอกั ษรตวั เอส เช่น โคง้ แสดงความถ่ีสะสมหรือแสดงร้อยละของความถี่สะสม ความถ่ี Y X คะแนน รูปที่ 2.5 โค้งรูปตัวเอส

4.3.5 โค้งรูปถ้วย (U – Shaped) ลกั ษณะคลา้ ยอกั ษรตวั ยู เป็นการแจกแจงท่ีมีความถ่ีมากท่ีตาแหน่งคะแนนมากและคะแนนนอ้ ย แต่ตรงกลางมีความถ่ีนอ้ ย ความถี่ Y X คะแนนรูปที่ 2.6 โค้งรูปถ้วย 4.3.6 โค้งสองยอด (Bimodal Shaped) โคง้ ลกั ษณะน้ีจะมีนกั ศึกษาท่ีไดค้ ะแนนมากท่ีสุดในแตล่ ะช่วง แยกเป็น 2 แห่ง ความถี่ Y X คะแนน รูปที่ 2.7 โค้งสองยอด 4.4 โค้งความถี่สะสม (Cumulative Frequency หรือ Ogive Curve) เป็นโคง้ ท่ีแสดงความถ่ีสะสมของขอ้ มูลต้งั แตค่ า่ ต่าสุด ก่อนสร้างโคง้ ความถี่สะสม ควรสร้างตารางแจกแจงความถี่สะสมก่อน เม่ือไดต้ ารางแจกแจงความถ่ีสะสมแลว้ จึงเขียนกราฟความถี่สะสมโดยใชแ้ กน Y เป็นความถ่ีสะสมและแกน X เป็นขีดจากดั ช้นั ท่ีแทจ้ ริงของขอ้ มูลแตล่ ะช้นั ต่อจากน้นั จึงลากเส้นโยงจุดแต่ละจุดเท่าน้นั

ความถส่ี ะสม604020 คะแนน 15.5 21.5 27.5 33.5 39.5 45.5รูปท่ี 2.8 โค้งความถี่สะสมแบบน้อยกว่า (Less Than) ของคะแนนการสอบของนักศึกษา จานวน 60 คนความถสี่ ะสม 60 40 20 คะแนน 15.5 21.5 27.5 33.5 39.5 45.5รูปท่ี 2.9 โค้งความถีส่ ะสมแบบมากกว่า (More Than) ของคะแนนการสอบของนักศึกษา จานวน 60 คน 2.3 การวดั ค่ากลางของข้อมูลหรือการวดั แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง (Measures ofCentral Tendency) ในการเกบ็ ขอ้ มูลเพ่ือนามาจดั กระทาทางการวจิ ยั โดยทวั่ ไป การเกบ็ ขอ้ มูลจะมีหน่วยขอ้ มูลท่ีเกบ็ รวบรวมมาไดเ้ ป็ นจานวนมาก จากขอ้ มูลท่ีเก็บรวบรวมมามีความจาเป็นตอ้ งจดั กระทาใหม้ ีความหมายและอยใู่ นรูปที่สามารถส่ือความไดต้ รงกนั ระหวา่ งบุคคลหลาย ๆ ฝ่ าย รวมท้งั ช่วยใหเ้ ห็นโครงสร้างหรือภาพรวมของขอ้ มูลท่ีเกบ็ มาไดท้ ้งั หมด ค่าตวั กลางเป็นตวั แทนของขอ้ มูลจานวนมากท่ีเก็บรวบรวมมาได้ ค่าเฉลยี่ เลขคณติ หรือค่าเฉลย่ี (Arithematic Mean or Mean) เป็นคา่ สถิติที่นิยมใชม้ ากที่สุด คา่ เฉลี่ยไดโ้ ดยนาคะแนนของขอ้ มูลท้งั หมดมารวมกนั หารดว้ ย จานวนขอ้ มูลท้งั หมด วธิ ีการคานวณ

1. กรณขี ้อมูลไม่มีการแจกแจงความถ่ี สูตร สาหรับกลุ่มตวั อย่าง x =  x n x หมายถึง ค่าเฉล่ีย x หมายถึง ผลรวมของคะแนนทุกขอ้ n หมายถึง จานวนคะแนนท้งั หมดหรือขนาดของตวั อยา่ งที่สุ่มมา สาหรับประชากร  = x N  หมายถึง คา่ เฉลี่ยของประชากร X หมายถึง ผลรวมของขอ้ มูลทุกขอ้ มูลในประชากร N หมายถึง ขนาดของประชากรตวั อย่างนกั เรียนช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 1 จานวน 10 คน ไดค้ ะแนนการอา่ นภาษาไทย เป็นดงั น้ี9879868987จงหาค่าเฉลี่ยของคะแนนการอา่ นภาษาไทย x = x = 9  8  7  9  8  6  8  9  8  7 = 79 = 7.9 n 10 10 คา่ เฉลี่ยของคะแนนการอ่านภาษาไทย คือ 7.9 การหาค่าเฉล่ียของขอ้ มูลดว้ ยวธิ ีการน้ี เหมาะสาหรับขอ้ มูลที่มีจานวนนอ้ ย สามารถคานวณไดด้ ว้ ยเคร่ืองคิดเลข 2. กรณขี ้อมูลแจกแจงความถ่ีแบบไม่จัดหมวดหมู่ข้อมูล สูตร x =  fx n x หมายถึง คา่ เฉลี่ย fx หมายถึง ผลรวมของผลคูณระหวา่ งคะแนนกบั ความถี่ของคะแนนน้นั ๆ n หมายถึง จานวนคะแนนท้งั หมด หรือผลรวมความถ่ีของตวั อยา่ ง ในบางคร้ังอาจใชส้ ูตร x =  fx f โดยท่ี n = f หมายถึง จานวนคะแนนท้งั หมด หรือผลรวมความถี่ของตวั อยา่ ง

สาหรับประชากร  =  fx N  หมายถึง ค่าเฉลี่ยของประชากร X หมายถึง ผลรวมของขอ้ มูลทุกขอ้ มูลในประชากร N หมายถึง ขนาดของประชากรหรือผลรวมความถ่ีของประชากรตัวอย่างผลการสอบวชิ าภาษาไทย ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 2 ของโรงเรียนแห่งหน่ึง มีดงั น้ี25 28 28 25 22 29 21 27 26 23 24 27 2528 23 26 24 22 25 29 21 24 2 25 29นาขอ้ มูลมาจดั ทาตารางแจกแจงความถี่คะแนน (x) รอยคะแนน ความถ่ี (f) fx 29 /// 3 87 28 /// 3 84 27 // 2 54 26 // 2 52 25 //// 5 125 24 /// 3 72 23 // 2 46 22 /// 3 66 21 // 2 42 f = 25 fx = 628 x =  fx = 628 = 25.12 n 25 ค่าเฉลี่ยของคะแนนภาษาไทย คือ 25.12 3. กรณขี ้อมูลมีการแจกแจงความถ่ีแบบจัดหมวดหมู่ข้อมูล สูตร x  a  i(  fd )  f x แทน ค่าเฉลี่ย a แทน จุดก่ึงกลางของช้นั ที่ใหเ้ ป็นค่าเฉล่ียสมมุติ (assumed mean) i แทน อนั ตรภาคช้นั

f แทน ความถ่ีของขอ้ มูลแตล่ ะช้นั d แทน ผลตา่ งของคะแนนช้นั น้นั ๆ กบั คะแนนเฉล่ียสมมุติหารดว้ ยอนั ตรภาคช้นั d  X a i fd แทน ผลรวมของผลคูณระหวา่ ง f กบั d N แทน จานวนขอ้ มูลตัวอย่าง จากขอ้ มูลตวั อยา่ งผลการสอบวชิ าภาษาไทย ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 2คะแนน (x) รอยคะแนน ความถี่ (f) d fd29 /// 3 4 1228 /// 3 3 927 // 2 2 426 // 2 1 2* a = 25 //// 5 0024 /// 3 -1 -323 // 2 -2 -422 /// 3 -3 -921 // 2 -4 -8 f = 25 fd = 3สูตร x = a + I ( fd ) x = 25 + 1 ( f ) = 25 + 0.12 = 25.12 3ค่าเฉล่ียของคะแนนภาษาไทย คือ 2255.12ตัวอย่าง ขอ้ มูลผลการสอบวชิ าสังคมศึกษา ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3คะแนน จุดกง่ึ กลางช้ัน d ความถี่ (f) fd35-39 37 3 8 2430-34 32 2 9 1825-29 27 1 12 1220-24 a = 22 0 10 015-19 17 -1 9 -910-14 12 -2 7 -14 5-9 7 -3 5 -15 f = 60 fd = 16

สูตร x = a + I ( fd )x = 22 + 5 ( f ) = 22 + 1.33 = 23.33 16ค่าเฉลี่ยของคะแนนวชิ าสังคมศึกษา60คือ 23.334. เม่ือข้อมูลแต่ละตัวมีนา้ หนักหรือความสาคัญไม่เท่ากนั (Weighted Data) x =  wx wx แทน คา่ เฉลี่ย w แทน น้าหนกั (weight) ของขอ้ มูลแต่ละตวัจะเป็น  หรือx ข้ึนอยกู่ บั ขอ้ มูลน้นั เป็ นขอ้ มูลของกลุ่มประชากรหรือตวั อยา่ ง1. เมื่อต้องการหาค่าเฉลยี่ รวม (Pooled Mean) =  Ni  NiN แทน จานวนขอ้ มูลในแตล่ ะชุดของกลุ่มประชากรxt =  nxxt ntxi แทน คา่ เฉลี่ยรวมn แทน ค่าเฉลี่ยของขอ้ มูลแต่ละชุด แทน จานวนขอ้ มูลในแตล่ ะชุดของตวั อยา่ งnt หรือ ni แทน จานวนขอ้ มูลรวมของทุกชุดตวั อย่างจานวนนกั ศึกษาและคะแนนเฉลี่ยสะสมจาแนกตามปี การศึกษาปี การศึกษา จานวนนักศึกษาทจี่ บ คะแนน GPA เฉลยี่2543 12 3.682544 14 3.892545 16 3.742546 18 3.82จงหาวา่ ในระยะ 4 ปี ท่ีผา่ นมา นกั ศึกษาจบดว้ ยคะแนนเฉล่ียสะสมเทา่ ไรxt =  nx nt

= (12  3.68)  (14  3.89)  (16  3.74)  (18  3.82) 12  14  16  18= 227.22 = 3.7960นกั ศึกษาในระยะเวลา 4 ปี ท่ีผา่ นมาจบดว้ ยคะแนนเฉล่ียสะสม 3.79คุณสมบัติทสี่ าคญั ของค่าเฉลยี่1. ถา้ นา ของขอ้ มูลน้นั ลบขอ้ มูลแต่ละตวั ผลที่ไดร้ วมกนั จะเท่ากบั 0 ( (x  x)  0)2. ถา้ เอา ของขอ้ มูลชุดน้นั ลบขอ้ มูลแต่ละตวั แลว้ ยกกาลงั สอง ผลลบกาลงั สองที่ได้ รวมกนั (x  x)2 จะมีคา่ นอ้ ยที่สุด (เป็ นค่าท่ีนอ้ ยกวา่ ) เอาคา่ อื่น ๆ ลบ (x  x)2 เรียกวา่ ผลรวมของผลตา่ งกาลงั สอง (Sum of Square = SS)จุดเด่น จุดด้อยของตวั กลางเลขคณติจุดเด่น 1. เขา้ ใจและคานวณไดง้ ่าย 2. การคานวณหาตวั กลางเลขคณิตตอ้ งใชข้ อ้ มูลทุกตวั ที่รวบรวมได้ 3. หาค่าของตวั กลางเลขคณิตไดเ้ สมอ และเป็นค่าแน่นอน 4. เหมาะสาหรับเขา้ สมการในการคานวณข้นั ต่อไป 5. ผลรวมของกาลงั สองของคา่ เบ่ียงเบนจากตวั กลางเลขคณิตจะใหค้ ่านอ้ ยที่สุด ซ่ึงใช้ เป็นค่าวดั การกระจายแบบหน่ึงของขอ้ มูล 6. สามารถเปรียบเทียบกบั ขอ้ มูลชุดอื่นไดง้ ่าย 7. ใชค้ ่าเฉล่ียจากตวั อยา่ งประมาณค่ายอดรวมในประชากรได้จุดด้อย 1. เนื่องดว้ ยตวั กลางเลขคณิตใชค้ ่าทุกคา่ ของขอ้ มูล ฉะน้นั จึงเปลี่ยนแปลงไดง้ ่าย ถา้ ขอ้ มูลบางตวั ที่รวบรวมไดม้ ีค่าผดิ ปกติ ตวั กลางเลขคณิตก็ผดิ ปกติไปดว้ ย เช่น มี คา่ สูงหรือต่ากวา่ ค่าอ่ืนมาก ๆ ปนอยู่ 2. ตรงกบั ค่าของขอ้ มูลมีจริง ๆ เพยี งไม่ก่ีราย (หรือไม่มีเลย) แตอ่ ยา่ งไรก็ตาม ถา้ ไมม่ ี เหตุผลเพียงพอท่ีจะเลือกเอาวธิ ีอ่ืนมาใช้ ตวั กลางเลขคณิตกใ็ ชไ้ ดด้ ีพอสมควร 3. ใชไ้ ดก้ บั ขอ้ มูลเชิงปริมาณเท่าน้นัข้อสังเกตค่าเฉลย่ี (Mean) - ขอ้ มูลแต่ละตวั มีน้าหนกั ทดั เทียมกนั

- ขอ้ มูลมีขนาดใหญแ่ ละเลก็ มีจานวนพอ ๆ กนั - ตอ้ งการวดั การกระจายที่ใหค้ ่านอ้ ยท่ีสุด - การแจกแจงของคะแนนมีลกั ษณะสมมาตร (Symmetry) หรือขอ้ มูลมีลกั ษณะการแจกแจงแบบโคง้ ปกติ - ตอ้ งการความละเอียดในการวดั - ตอ้ งการใชค้ ่าเฉลี่ยในการคานวณ คา่ สถิติอื่น เช่น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (StandardDeviation) ค่าความแปรปรวน - เหมาะสาหรับขอ้ มูลในระดบั อนั ตรภาค (Interval Scale) ข้ึนไป - สาหรับขอ้ มูลปลายเปิ ด สามารถหาค่าเฉล่ียเลขคณิตไดแ้ บบหยาบ ๆ เทา่ น้นั จึงควรเลี่ยงไปใชค้ า่ กลางชนิดอื่น - เม่ือใชค้ า่ เฉล่ียควรใชค้ ู่กบั ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (S.D.) มธั ยฐาน (Median) คือ คะแนนที่อยใู่ นตาแหน่งก่ึงกลางของคะแนนท้งั หมด ซ่ึงได้เรียงลาดบั คะแนนท้งั หมดแลว้ กรณีที่ 1 ข้อมูลไม่มกี ารแจกแจงความถ่ี แบง่ เป็น 2 กรณี คือ - ขอ้ มูลท่ีมีจานวนค่ี 13 14 17 18 19 16 15 นาขอ้ มูลมาเรียงลาดบั คะแนนใหม่ 13 14 15 16 17 18 19 มธั ยฐานของขอ้ มูลชุดน้ี คือ 16 เพราะขอ้ มูลท้งั หมดมี 7 จานวน จานวนท่ี 4 เป็ นจานวนท่ีอยตู่ าแหน่งก่ึงกลาง ซ่ึงมีค่าเทา่ กบั 16- ขอ้ มูลท่ีมีจานวนคู่13 14 15 16 17 18ขอ้ มูลมี 6 จานวน มธั ยฐานหาไดจ้ ากค่าเฉล่ียของขอ้ มูลสองคะแนนท่ีอยตู่ รงกลาง15 + 16 = 31 = 15.5 25 2คา่ มธั ยฐานของขอ้ มูลชุดน้ีเท่ากบั 15.5กรณีท่ี 2 ข้อมูลมีการแจกแจงความถ่ี 2.1 กรณไี ม่มกี ารจัดหมวดหมู่ข้อมูล ตาแหน่งของมธั ยฐาน = N+1 2

ตวั อย่าง N เป็ นจานวนคู่จงหาค่ามธั ยฐานของคะแนนวชิ าสงั คมศึกษา ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 จากตารางแจกแจงความถ่ีท่ีกาหนดให้ ดงั น้ีคะแนน (x) ความถี่ (f) ความถีส่ ะสม (cf) 29 5 5 28 8 13 27 7 20 24 11 31 21 13 44 f = 44 ตาแหน่งของมธั ยฐาน = N + 1 = 44 + 1 = 22.5 2 2คะแนนท่ีมีตาแหน่งที่ 22.5 คือ 24  24 = 24 2ดงั น้นั คา่ มธั ยฐานของคะแนนวชิ าสงั คมศึกษา คือ 24ตัวอย่าง N เป็ นจานวนค่ีจากขอ้ มูลผลการสอบวชิ าภาษาไทย ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 2คะแนน (x) ความถ่ี (f) ความถส่ี ะสม (cf) 329 3 6 828 3 10 1527 2 18 2026 2 23 2525 5 = 2324 223 222 321 2 f = 25ตาแหน่งของมธั ยฐาน = N 1 = 25  1 22

คะแนนท่ีมีตาแหน่งท่ี 23 คือ 22ดงั น้นั คา่ มธั ยฐานของคะแนนวชิ าภาษาไทย คือ 22 2.2 กรณที ม่ี ีการจัดหมวดหมู่ข้อมูลสูตร Mdn =  N  F   2 f  L  I     Mdn แทน มธั ยฐาน L แทน ขีดจากดั ล่างท่ีแทจ้ ริงของมธั ยฐาน N แทน จานวนความถ่ีท้งั หมด F แทน ความถ่ีสะสมของคะแนนในช้นั ก่อนถึงช้นั ที่มีมธั ยฐานอยู่ f แทน ความถ่ีของคะแนนในช้นั ท่ีมีมธั ยฐานอยู่ I แทน อนั ตรภาคช้นัตวั อย่าง จงหาคา่ มธั ยฐานของคะแนนวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียนช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 1 คะแนน (x) ขีดจากดั ล่าง ความถี่ (f) ความถีส่ ะสม (cf) 11-13 10.5 4 4 7 14-17 13.5 3 12 20 18-20 17.5 5 27 37 21-23 20.5 8 42 45 24-26 23.5 7 27-29 26.5 10 30-33 29.5 5 34-37 33.5 3ตาแหน่งของมธั ยฐาน = N = 45 f = 45 = 22.5 2 2 L = 23.5 F = 20 f=7Mdn =  N  F  = 23.5   22.5  20   3  2 f   7  L  I    = 23.5   2.5   3 = 23.5 + 1.07 = 24.57    7ค่ามธั ยฐานของวชิ าคณิตศาสตร์ คือ 24.57

จุดเด่น จุดด้อยของมธั ยฐาน จุดเด่น 1. ถา้ สามารถหามธั ยฐานไดโ้ ดยตรง คา่ ของมธั ยฐานจะตรงกบั ค่าของขอ้ มูลในขอ้ มูลน้นั 2. เขา้ ใจง่าย 3. ขจดั ผลกระทบกระเทือนซ่ึงเกิดจากขอ้ มูลท่ีมีค่าสูงเกินไป หรือ ต่าเกินไป หรือมีคา่ ท่ีผิดปกติ 4. เม่ือเราทราบคา่ ของขอ้ มูลกลาง ๆ กส็ ามารถคานวณหาค่าของมธั ยฐานได้ 5. ค่ามธั ยฐานเป็นตวั แทนที่ดีสาหรับขอ้ มูลปลายเปิ ด 6. คานวณไดง้ ่ายสาหรับขอ้ มูลไมจ่ ดั กลุ่ม จุดด้อย 1. ถา้ การแจกแจงของขอ้ มูลไม่สม่าเสมอ ค่าของมธั ยฐานที่ไดอ้ าจไมแ่ น่นอน 2. ถา้ ขอ้ มูลต่าง ๆ จดั เป็นหมวดหมู่แลว้ เราจะหาคา่ ของมธั ยฐานใหถ้ ูกตอ้ งไม่ได้ 3. สาหรับขอ้ มูลจดั กลุ่ม มธั ยฐานที่คานวณไดจ้ ะไมใ่ ชค้ ่าขอ้ มูลจริง (Original Data) 4. ไมเ่ หมาะท่ีจะใชใ้ นการคานวนข้นั ต่อไป 5. ใชไ้ ดก้ บั ขอ้ มูลเชิงปริมาณเท่าน้นั ข้อสังเกตมธั ยฐาน (Median) - ตอ้ งการทราบจุดก่ึงกลางของขอ้ มูลที่มีจานวนคะแนนท่ีสูงกวา่ และต่ากวา่ เทา่ ๆ กนั - คะแนนของขอ้ มูลบางตวั กระจายห่างออกไปมากผดิ ปกติ ทาใหเ้ กิดลกั ษณะโคง้ เบซ้ า้ ยหรือโคง้ เบ้ขวา หรือเม่ือเป็นขอ้ มูลที่มี outlier การใชค้ า่ เฉล่ีย (Mean) จะทาใหไ้ ดต้ วั แทนท่ีไม่ดี แต่ค่ามธั ยฐานจะไม่ถูกกระทบกระเทือนจากคะแนน outlier - ตอ้ งการทราบวา่ คะแนนแต่ละจานวนน้นั มากหรือนอ้ ยกวา่ คะแนนที่อยใู่ นตาแหน่งก่ึงกลางของขอ้ มูล - เมื่อขอ้ มูลมีการแจกแจงแบบโคง้ สมมาตร ค่ามธั ยฐานจะใกลเ้ คียงกบั ค่าเฉล่ียเลขคณิตอีกดว้ ย - มธั ยฐานเหมาะกบั ขอ้ มูลต้งั แตร่ ะดบั จดั เรียงอนั ดบั (Ordinal Scale) - เม่ือขอ้ มูลมีการแจกแจงแบบโคง้ สมมาตร ค่ามธั ยฐานจะใกลเ้ คียงกบั คา่ เฉล่ียเลขคณิตอีกดว้ ย - เม่ือใชม้ ธั ยฐานควรใชค้ ู่กบั ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (Q.D.) ฐานนิยม (Mode) คือ ขอ้ มูลท่ีมีค่าซ้ากนั มากท่ีสุด หรือ ขอ้ มูลที่มีความถี่สูงสุดในขอ้ มูลชุดหน่ึง ๆ มีวธิ ีการหา ดงั น้ี 1. กรณที ขี่ ้อมูลไม่มีการแจกแจงความถี่ขอ้ มูลชุดที่ 1 6 7 7 7 8 9ขอ้ มูลชุดที่ 2 4 5 6 7 8 9ขอ้ มูลชุดท่ี 3 6 6 7 8 8 9

ขอ้ มูลชุดท่ี 1 ฐานนิยม คือ 7ขอ้ มูลชุดที่ 1 ไม่มีฐานนิยม เพราะ ไม่มีขอ้ มูลซ้าขอ้ มูลชุดท่ี 3 ฐานนิยม คือ 6 และ 8 2. กรณขี ้อมูลมกี ารแจกแจงความถ่ี - กรณีที่ไม่มีการจดั หมวดหมู่ขอ้ มูล ฐานนิยม คือ ขอ้ มูลที่มีความถี่สูงสุด - กรณีที่มีการจดั หมวดหมู่ขอ้ มูลสูตร Mo = L  i d1 d1  Mo d 2 แทน ฐานนิยมL แทน ขีดจากดั ล่างของช้นั ท่ีมีฐานนิยมอยู่i แทน อนั ตรภาคช้นั d1 แทน ผลตา่ งของความถ่ีของช้นั ที่มีฐานนิยมกบั ช้นั คะแนนท่ีต่ากวา่ ถดั ไป d2 แทน ผลต่างของความถี่ของช้นั ท่ีมีฐานนิยมกบั ช้นั คะแนนที่สูงกวา่ ถดั ไปตัวอย่าง จงหาค่าฐานนิยมของคะแนนวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียนช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 1 คะแนน (x) ขดี จากดั ล่าง ความถี่ (f) 11-13 10.5 4 14-17 13.5 3 18-20 17.5 5 21-23 20.5 8 24-26 23.5 7 27-29 26.5 10 30-33 29.5 5 34-37 33.5 3 f = 45L = 26.5 i = 3 d1 = 10 – 7 = 3 d2 = 10 – 5 = 5Mo = L  i d1 d1  = 26.5   3 3 5   3 = 26.5 + 1.125 = 26.625  d2   คา่ ฐานนิยมของคะแนนวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียนช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 1 คือ 26.625

จุดเด่น จุดด้อยของฐานนยิ ม จุดเด่น 1. เขา้ ใจง่าย คานวณหาค่าไดง้ ่ายท่ีสุด 2. ฐานนิยมจะขจดั ผลกระทบกระเทือน ซ่ึงเกิดจากขอ้ มูลท่ีมีคา่ สูงหรือต่าเกินไป หรือ คา่ ที่ผดิ ปกติ 3. ถา้ ทราบค่ากลาง ๆ กส็ ามารถคานวณหาฐานได้ 4. ใชไ้ ดด้ ีเม่ือจุดประสงคม์ ุง่ ที่จะศึกษาส่ิงท่ีเกิดข้ึนบอ่ ยหรือลกั ษณะท่ีคนชอบมาก จุดด้อย 1. ต้งั โดยหลกั เกณฑท์ ่ีไม่พอดี 2. เป็นการยากท่ีจะคานวณไดแ้ น่นอน 3. ไม่เหมาะสาหรับการเขา้ สมการในการคานวณข้นั ต่อไป ข้อสังเกตฐานนิยม (Mode) - ตอ้ งการทราบค่าประมาณของแนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางของขอ้ มูลโดยคร่าว ๆ และรวดเร็ว - การแจกแจงของขอ้ มูลมีความเบม้ าก (Skewness) แตม่ ีคะแนนมากพอควร - ตอ้ งการทราบแนวโนม้ ทางดา้ นความนิยมของกลุ่มคน - ฐานนิยมประยกุ ตใ์ ชไ้ ดก้ บั ขอ้ มูลต้งั แต่ระดบั นามบญั ญตั ิ (Nominal Scale) ข้ึนไป - ขอ้ มูลมีลกั ษณะการแจกแจงแบบโด่งสองแห่ง แตถ่ า้ โด่งหลายแห่งก็ไมค่ วรใชท้ ้งั ฐานนิยมมธั ยฐานและคา่ เฉลี่ย - เมื่อใชฐ้ านนิยมควรบอกค่าพสิ ัยดว้ ย ความสัมพนั ธ์ระหว่างค่าเฉลย่ี ค่ามธั ยฐานและค่าฐานนิยม  กรณีที่ขอ้ มูลซ่ึงเก็บรวบรวมไดม้ ีลกั ษณะการแจกแจงความถ่ีเป็นแบบสมมาตร (Symmetry)และมีคา่ ฐานนิยมเพยี ง 1 ค่า กรณีน้ีจะเกิดปรากฏการณ์ ค่าเฉลี่ย คา่ ฐานนิยม และค่ามธั ยฐานจะมีค่าเท่ากนั รูปท่ี 2.10 ตวั อยา่ งแสดงลกั ษณะการแจกแจงขอ้ มูลที่มีลกั ษณะเป็นสมมาตร ความถ่ี คา่ คะแนนX = Mdn = Md

 กรณีท่ีลกั ษณะการแจกแจงของขอ้ มูลมีความเบ้ ถา้ ขอ้ มูลที่เก็บรวบรวมมาได้ เม่ือนามาแจกแจงความถี่ ปรากฏวา่ เส้นโคง้ ที่ไดม้ ีลกั ษณะเบท้ ี่หางของเส้นโคง้ ยาวไปทางขวามือ ซ่ึงเรียกวา่ “เบข้ วา” กรณีน้ี จะไดว้ า่ Md  Mdn  X รูปที่ 2.11 คา่ เฉล่ีย มธั ยฐานและฐานนิยมของขอ้ มูลที่มีลกั ษณะแจกแจงแบบเบข้ วา ความถ่ี Mo Median Mean คา่ คะแนน ถา้ หากขอ้ มูลท่ีเกบ็ รวบรวมมาได้ เม่ือนามาแจกแจงความถ่ี ปรากฏวา่ เส้นโคง้ ท่ีไดม้ ีลกั ษณะเบท้ างเส้นโคง้ ยาวไปทางดา้ นซา้ ย ซ่ึงเป็นลกั ษณะ “เบซ้ า้ ย” กรณีน้ีจะไดว้ า่ Md  Mdn  X รูปท่ี 2.12 คา่ เฉลี่ย มธั ยฐานและฐานนิยมของขอ้ มูลท่ีมีลกั ษณะแจกแจงแบบเบซ้ า้ ยความถี่ Mo Med ian Mean คา่ คะแนนสมการความสมั พนั ธ์ระหวา่ งค่าเฉล่ีย มธั ยฐาน และฐานนิยมฐานนิยม = 3 มธั ยฐาน – 2 คา่ เฉล่ียตวั กลางเรขาคณติ (Geometric Mean) ตวั กลางเรขาคณิตของขอ้ มูลบวกชุดใด ๆ เช่น X1, X2, X3,… , Xn เป็นรากท่ี N ของผลคูณของขอ้ มูลชุดน้นั มีสูตรการคานวณ ดงั น้ีG= N (x1)(x2 )...(xn )

ตัวอย่างขอ้ มูล 2 4 8 ตวั กลางเรขาคณิตจะเท่ากบัG= 3 (2)(4)(8) = 4ตวั กลางฮาร์โมนิก (Harmonic Mean) ตวั กลางฮาร์โมนิกของขอ้ มูลชุดใด เช่น X1, X2, X3,… , Xn คือ ส่วนกลบั ของคา่ เฉล่ียของขอ้ มูลชุดน้นั มีสูตรการคานวณ ดงั น้ี1= 1 1H N Xiตวั อย่างขอ้ มูล 2 4 8 ตวั กลางฮาร์โมนิกจะเท่ากบั1= 1  ( 1  1  1 ) = 1 (4  2 1) = 7 3 2 4 8H 38 247H = 24H = 3.43ตวั กลางควอดราติก (Quadratic Mean)ตวั กลางควอดราติก คือ รากที่สองของกาลงั สองเฉล่ีย (Root Mean Square = RMS) เป็ นรากท่ีสองของขอ้ มูลแต่ละตวั ยกกาลงั สองรวมกนั และหารดว้ ยจานวนขอ้ มูลชุดน้นั มีสูตรการคานวณ ดงั น้ีRMS = x2ตัวอย่าง Nขอ้ มูล 1 3 4 5 7RMS = (12  32  42  52  72 = 4.47 5 2.3 การวดั ตาแหน่งของข้อมูล เปอร์เซ็นไทล์ (Percentiles) เปอร์เซ็นไทลเ์ ป็นการปรับเปล่ียนชุดตวั เลขหรือขอ้ มูลใหเ้ ป็น 100 ส่วนตามลกั ษณะการกระจายของขอ้ มูลชุดน้นั ซ่ึงต่างกบั ร้อยละท่ีปรับดว้ ยการเทียบผลรวมเป็น 100 เปอร์เซ็นไทลม์ ี 2ประเภท คือ คะแนนเปอร์เซ็นไทล์ (Percentile Point) กบั ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ (Percentile Rank) คะแนนเปอร์เซ็นไทล์ เป็นคา่ คะแนนของตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลท์ ่ีกาหนด ซ่ึงจะบอกวา่ ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลน์ ้นั ตกอยทู่ ่ีค่าคะแนนเทา่ ใด

ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ หมายถึง จุดหรือตาแหน่งที่บอกใหท้ ราบวา่ มีจานวนร้อยละเท่าใดมีคา่ มากกวา่ หรือนอ้ ยกวา่ เช่น นายเก่งกาจ สอบวชิ าสถิติได้ 35 คะแนน อยใู่ นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลท์ ่ี 75 (P75)หมายความวา่ มีคนอ่ืนสอบวชิ าสถิติไดค้ ะแนนมากกวา่ นายเก่งกาจร้อยละ 25 หรือนายเก่งกาจได้คะแนนวชิ าสถิติมากกวา่ คนอื่นร้อยละ 75 ของคนสอบท้งั หมด 1. การคานวณคะแนนเปอร์เซ็นไทล์ เม่ือตอ้ งการทราบวา่ ณ ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลท์ ี่ 25 หรือ 50 หรือ 75 ของคะแนนหรือขอ้ มูลชุดหน่ึงตกอยทู่ ่ีคะแนนเท่าใด หรือมีค่าคะแนนเทา่ ใด การคานวณแบง่ ได้ 2 ลกั ษณะ คือเม่ือคะแนนหรือขอ้ มูลไมแ่ บง่ เป็นกลุ่ม (Ungroup Data) กบั คะแนนเป็นกลุ่ม (Group Data) 1.1 ข้อมูลไม่แบ่งเป็ นกล่มุ (Ungroup Data) การคานวณจะใชว้ ธิ ีการเทียบบญั ญตั ิไตรยางค์ ตัวอย่าง จากการทดสอบความรู้เก่ียวกบั โรคเบาหวานของผปู้ ่ วยเบาหวาน 38 คน จากคะแนนเตม็ 20 คะแนน ผปู้ ่ วยแตล่ ะคนไดค้ ะแนน ดงั น้ี 18 2 7 16 10 5 5 15 17 3 9 5 13 8 16 2 14 7 7 6 11 2 10 6 7 3 8 9 12 12 13 11 9 4 7 6 1 3อยากทราบวา่ คะแนนเปอร์เซ็นไทลท์ ี่ 25, 50, 75 และ 90 ตกอยทู่ ่ีคา่ คะแนนเทา่ ใด 1. เรียงคะแนนของผปู้ ่ วยแต่ละคนใหม่ โดยเรียงจากคะแนนมากไปหาคะแนนนอ้ ย ดงั น้ี 18 17 16 16 15 14 13 13 12 12 11 11 10 10 9 9 9 8 8 7 7 77 76 6 6 5 5 5 43 3 3 2 2 21 2. คานวณตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลท์ ี่ 25, 50, 75, 90 P25 จาก 100 คน จะเป็ นตาแหน่งท่ี 25 ฉะน้นั 38 คน จะเป็ นตาแหน่งที่ 25 38  9.5 100 ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลท์ ่ี 25 ของขอ้ มูลชุดน้ี คือ ตาแหน่งที่ 9.5 โดยนบั จากคะแนนนอ้ ยไปมาก P25 P75 P90 ของผปู้ ่ วย 38 คน จะเป็ นตาแหน่งที่ 19, 28.5 และ 34.2 ตามลาดบั 3. หาคะแนนท่ีตาแหน่งตามท่ีคานวณได้ P75 เป็ นคะแนนของตาแหน่งท่ี 9.5 คือ

ตาแหน่งที่ 9 เป็น 5ตาแหน่งที่ 10 เป็น 5 ตาแหน่งท่ี 9.5 เป็ น 5  5  5 คือ 7 2 คือ 10  11  10.5P50 เป็ นคะแนนของตาแหน่งที่ 19 2P75 เป็ นคะแนนของตาแหน่งที่ 28.5 ในทางปฏิบตั ิมีค่าเป็น 11P90 เป็ นคะแนนของตาแหน่งที่ 34.2 คือ 15  16  15.5 ในทางปฏิบตั ิมีคา่ เป็น 16 21.2 คะแนนเป็ นกล่มุ (Group Data) สูตร PP = L0  i PN  F เมื่อ PP   f  แทน คะแนนเปอร์เซ็นไทลท์ ี่กาหนดP แทนตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลท์ ่ีกาหนดหารดว้ ย 100Lo แทนค่าจากดั ล่างของช้นั ที่ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลท์ ่ีตอ้ งการหาอยู่i แทนอนั ตรภาคช้นัN แทนจานวนขอ้ มูลF แทนความถ่ีสะสมของช้นั ก่อนช้นั ท่ีตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์กาหนดใหอ้ ยู่f แทนความถี่ของช้นั ที่ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลก์ าหนดให้อยู่ตัวอย่างจากการทดสอบปัญหาการรับรู้ของนกั เรียน 50 คน ไดค้ ะแนนท่ีแจกแจงความถ่ี ดงั น้ีคะแนน จานวน คะแนน จานวน30 – 32 2 12 – 14 327 – 29 0 9 – 11 824 – 26 2 6 – 8 1321 – 23 1 3–5 918 – 20 3 0- 2 515 – 17 4จงหาคะแนนเปอร์เซ็นไทลท์ ี่ 25 และหาคะแนนท่ีนกั เรียนร้อยละ 20 ไดค้ ะแนนมากกวา่ คะแนนน้นัการหาคะแนนเปอร์เซ็นไทล์ท่ี 25ทาตารางแจกแจงความถ่ีและหาความถ่ีสะสม ดงั น้ี

ช้ัน คะแนน จานวน (f) ความถส่ี ะสม (cf)11 30 – 32 2 5010 27 – 29 0 489 24 – 26 2 488 21 – 23 1 467 18 – 20 3 456 15 – 17 4 425 12 – 14 3 384 9 – 11 8 353 6–8 13 272 3–5 9 141 0-2 5 5เม่ือตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลท์ ่ีกาหนดให้ คือ P25 ฉะน้นั P = 0.25หา (P)N ก่อน (P)N = (0.25)50 = 12.5ฉะน้นั คะแนนเปอร์เซ็นไทล์ท่ี 25 ตกอยู่ จะอยทู่ ี่ช้นั ที่ 2 ระหวา่ งคะแนน 3-5หา Lo = 2.5 F = 5 และ f = 9 i = 3สูตร PP = L0  i PN  F = 25  3 12.5  5  = 5 9  fฉะน้นั คะแนนเปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 ของขอ้ มูลชุดน้ี คือ 5คะแนนที่นกั เรียนร้อยละ 20 ไดค้ ะแนนมากกวา่ คะแนนน้นั คือ คา่ คะแนนเท่าใดคะแนนท่ีนกั เรียนร้อยละ 20 ไดค้ ะแนนมากกวา่ คะแนนน้นั จะเป็นคะแนนเปอร์เซ็นไทล์ท่ี 80 ฉะน้นั P = 0.801. หา (P)N ก่อนจะได้ (P)N = (0.80)50 = 40ฉะน้นั คะแนนเปอร์เซ็นไทลท์ ่ี 80 จะตกท่ีช้นั 6 ระหวา่ งคะแนน 15 – 17 คะแนน2. หา Lo = 14.5 F = 38 f =4 i =3สูตร PP = L0  i PN  F = 14.5  3 40  38  = 16 4  fคะแนนที่นกั เรียนร้อยละ 20 ไดค้ ะแนนมากกวา่ คือ คะแนน 16

2. การคานวณตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ เม่ือตอ้ งการเปลี่ยนขอ้ มูลหรือคะแนนทุกตวั ท่ีไดใ้ หเ้ ป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลส์ าหรับใชใ้ นการเปรียบเทียบกนั การคานวณจะทาคลา้ ยคลึงกบั การหาคะแนนเปอร์เซ็นไทล์ คือ ตอ้ งทาตารางแจกแจงความถ่ีและหาความถี่สะสม สูตรคานวณตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลเ์ ป็นสูตรง่าย ๆ ดงั น้ี 2.1 ข้อมูลไม่แบ่งเป็ นกล่มุ (Ungroup Data) สูตร PR = 100 ( cf – 0.5 f) N เมื่อ PR แทนตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ cf แทนความถี่สะสมของช้นั ท่ีคะแนนน้นั อยู่ N แทนจานวนขอ้ มูล f แทนความถ่ีของช้นั ที่ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลก์ าหนดให้อยู่ ตวั อย่าง จากผลการวจิ ยั เรื่องหน่ึง ผวู้ จิ ยั ไดท้ ดสอบความเช่ือดา้ นสุขภาพเกี่ยวกบั โรคเอดส์ของนกั เรียนอาชีวะศึกษา 50 คน จากคะแนนเตม็ 100 คะแนน นกั เรียนไดค้ ะแนน ดงั น้ี 88887777666666666665 55555555544444444443 3332211100 จงหาตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลข์ องคะแนนนกั เรียนทุกคน ทาตารางแจกแจงความถ่ีและหาความถี่สะสมของคะแนนได้ ดงั น้ีคะแนน ความถ่ี (f) ความถ่ีสะสม (cf)84 5074 466 11 425 10 314 10 2134 1122 713 502 2หาตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลข์ องคะแนนต่าง ๆ ดว้ ยการแทนค่าในสูตร

PR = 100 ( cf – 0.5 f) f=4 = 96 Nเช่น คะแนน 8 cf = 50 N = 50 PR = 100 (50 – 0.54) 50คะแนน ความถี่ (f) ความถส่ี ะสม (cf) ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ (PR) 8 4 50 96 7 4 46 88 6 11 42 73 5 10 31 52 4 10 21 32 3 4 11 18 2 2 7 12 1 3 5 7 0 2 2 2 2.2 คะแนนเป็ นกลุ่ม (Group Data) การหาตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลจ์ ะเป็นการหาตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลข์ องกลุ่มคะแนน ฉะน้นั จึงตอ้ งใชค้ ะแนนจุดกลางของกลุ่มคะแนนที่ตอ้ งการหาตาแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์การคานวณก็คงใชส้ ูตรเดิมตวั อย่างจากคะแนนความรู้ท่ีไดจ้ ากการทดสอบนกั ศึกษา 76 คน จงหาตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ของคะแนนชุดน้ีคะแนน ความถ่ี คะแนน ความถี่45 – 49 1 20 – 24 1740 – 44 2 15 – 19 2635 – 39 3 10 – 14 1130 – 34 6 5–9 225 – 29 8 0–4 0ทาตารางแจกแจงความถ่ี หาคะแนนจุดกลางและความถ่ีสะสมแทนค่าในสูตร

PR = 100 ( cf – 0.5 f) N จะไดค้ า่ ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลข์ องคะแนนจุดกลางในแตล่ ะกลุ่มคะแนน ดงั น้ีคะแนน จุดกลาง ความถ่ี (f) ความถสี่ ะสม (cf) ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์45 – 49 47 1 76 (PR)40 – 44 42 2 75 99.335 – 39 37 3 73 97.430 – 34 32 6 70 94.125 – 29 27 8 64 88.220 – 24 22 17 56 78.915 – 19 17 26 39 62.510 – 14 12 11 13 34.2 5–9 72 2 9.9 0–4 20 0 1.3 0.0 เดไซล์ (Deciles) จุด (คะแนน) ต่าง ๆ ที่แบ่งความถ่ีท้งั หมดของขอ้ มูลที่เรียงลาดบั แลว้ ออกเป็ น 10 ส่วนเท่า ๆ กนั ตรงกบั จุดท่ีมีความถ่ีเปรียบเทียบสะสมเป็น 0.10, 0.20, ..., 0.90 และแทนคะแนนเหล่าน้ีดว้ ย D1, D2,…, D10 ตามลาดบั 1. ข้อมูลทไ่ี ม่ได้แจกแจงความถี่ สูตร Dx = X  N 1cf  0.5 f   10  เม่ือ Dx แทนตาแหน่งเดไซล์ cf แทนความถี่สะสมของช้นั ท่ีคะแนนน้นั อยู่ N แทนจานวนขอ้ มูล f แทนความถี่ของช้นั ท่ีคะแนนน้นั อยู่ 2. ข้อมูลทแ่ี จกแจงความถี่ สูตร Dx = L0 i  Nx  cf   10     f   เมื่อ Dx แทน ค่าเดไซลท์ ี่ตอ้ งการจะหา

Lo แทนขีดจากดั ล่างของช้นั คะแนนท่ีเดไซลน์ ้นั อยู่ i แทนอนั ตรภาคช้นั N แทนจานวนขอ้ มูล cf แทนความถี่สะสมของช้นั ก่อนช้นั คะแนนท่ีเดไซลน์ ้นั อยู่ f แทนความถี่ของช้นั คะแนนท่ีเดไซลน์ ้นั อยู่ควอไทล์ (Quartiles) จุด (คะแนน) ตา่ ง ๆ ท่ีแบง่ ความถ่ีท้งั หมดออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กนั แทนดว้ ย Q1, Q2,Q3 ตามลาดบั 1. ข้อมูลทไ่ี ม่ได้แจกแจงความถี่สูตร Qx = X N 1 4 เม่ือ Qx แทนตาแหน่งควอไทล์ N แทนจานวนขอ้ มูล X แทนลาดบั ท่ีตอ้ งการหาตัวอย่าง จานวนคนท่ีเขา้ มาซ้ือของในร้านซุปเปอร์มาร์เก็ตแห่งหน่ึงเป็นดงั น้ี250 139 219 235 135 179 195 279 จงคานวณคา่ Q3 135 139 179 195 219 235 250 279ตาแหน่งของ Q3 คือ 3(8  1) = 63 4 4Q3 = 235 + 3 (250 – 235) = 235 +11.25 = 246.25 42. ข้อมูลทแ่ี จกแจงความถี่สูตร Qx = Lo + i Nx  cf 4 f เม่ือ Qx แทน คา่ ควอไทลท์ ี่ตอ้ งการจะหา Lo แทนขีดจากดั ล่างของช้นั คะแนนท่ีควอไทลน์ ้นั อยู่ i แทนอนั ตรภาคช้นั N แทนจานวนขอ้ มูล cf แทนความถี่สะสมของช้นั ก่อนช้นั คะแนนท่ีควอไทลน์ ้นั อยู่ f แทนความถี่ของช้นั คะแนนที่ควอไทลน์ ้นั อยู่

ตัวอย่าง จงหาค่าควอไทล์ Q1, Q3 จากตารางแจกแจงความถี่ท่ีกาหนดให้ คะแนน ความถ่ี (f) ความถี่สะสม (cf) 32 – 34 1 70 29 – 31 2 69 26 – 28 7 67 23 – 25 18 60 Q3 20 – 22 21 42 17 – 19 18 21 Q1 14 – 16 2 3 11 – 13 1 1Q1 คือ ขอ้ มูลตวั ที่ 70 1 = 17.5  18 4 = 52.5  53Q3 คือ ขอ้ มูลตวั ท่ี 70  3 4i= 3Q1 คือ ขอ้ มูลตวั ท่ี 18 ตกอยใู่ นข้นั คะแนน 17 - 19Q =1  70 1  3  = 18.92   = 24.25 16.5  3 4   18  Q3 คือ ขอ้ มูลตวั ที่ 53 ตกอยใู่ นข้นั คะแนน 23-25Q3 =  70 1  42   4 ข้อสังเกต 16.5  3 18    จานวนขอ้ มูลท่ีอยตู่ ่ากวา่ และสูงกวา่ ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลใ์ ด ๆ เมื่อรวมกนั แลว้ ตอ้ งเทา่ กบั 100 % จากความหมายของเปอร์เซ็นไทล์ เดไซล์ และควอไทลจ์ ะไดค้ วามสมั พนั ธ์ ดงั น้ีQ1 = P25Q2 = P50 = D5 = มธั ยฐานQ3 = P75D1 = P10D2 = P20. .. .. .

D9 = P90การแปลงขอ้ มูลท่ีกาหนดให้เป็นเปอร์เซ็นไทลใ์ ชม้ ากในการวจิ ยั ทางการศึกษา และจิตวทิ ยาอุตสาหกรรม เช่น เมื่อสร้างแบบทดสอบวดั ความถนดั ข้ึนมาฉบบั หน่ึง ผสู้ ร้างจะตอ้ งนาขอ้ สอบฉบบั น้นั ไปสอบกบั คนกลุ่มเป้าหมายจานวนมาก ๆ แลว้ นาคะแนนดิบตา่ ง ๆ มาแปลงเป็นเปอร์เซ็นไทล์ เพ่อื ใชเ้ ป็นเกณฑป์ กติ (Norms) สาหรับผทู้ ี่มาสอบแบบทดสอบฉบบั น้ีวา่ คะแนนดิบที่ไดค้ ิดเป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลท์ ี่เท่าไร เพื่อผเู้ ขา้ สอบจะไดท้ ราบวา่ ตนเองอยใู่ นตาแหน่งใดของกลุ่มตามเกณฑป์ กติตวั อย่างนาย ก. สอบแบบทดสอบความถนดั ทางการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ได้ 67 คะแนน เม่ือเทียบกบั เกณฑป์ กติแลว้ คิดเป็ นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลท์ ี่ 80 แปลความหมายวา่ นาย ก. มีความถนดัของการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์อยใู่ นเกณฑ์ดี เพราะมีคนถึงร้อยละ 80 ที่ไดค้ ะแนนต่ากวา่ นาย ก.ข้อควรระวงัการใชต้ าแหน่งเปอร์เซ็นไทล์รายงานใหค้ วามหมายดีกวา่ การรายงานดว้ ยคะแนนดิบก็จริง แตม่ ีขอ้ จากดั คือ ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทลเ์ ป็ นเพยี งการวดั ในมาตราเรียงลาดบั (Ordinal Scale)เทา่ น้นั ไม่สามารถบอกไดว้ า่ ค่าของขอ้ มูลมากนอ้ ยกวา่ กนั เท่าใด 2.5 การวดั การกระจายของข้อมูล (Measures of Variation) การพจิ ารณาลกั ษณะของขอ้ มูลดว้ ยการใชก้ ารวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลาง หรือ การวดัคา่ กลางของขอ้ มูลเพียงอยา่ งเดียว อาจทาใหไ้ มท่ ราบถึงลกั ษณะของขอ้ มูลเพียงพอ จาเป็ นตอ้ งมีการวดั การกระจายควบคูก่ นั ไปดว้ ย ขอ้ มูลชุดใดประกอบดว้ ยค่าที่มีความมากนอ้ ยแตกตา่ งกนั มากแสดงวา่ ขอ้ มูลน้นั มีการกระจายมาก ขอ้ มูลใดท่ีประกอบดว้ ยคา่ ท่ีใกลเ้ คียงกนั ขอ้ มูลชุดน้นั จะมีการกระจายนอ้ ย ดงั น้นั ตวั เลขท่ีใชว้ ดั การกระจายของขอ้ มูลกบั คา่ ของตวั กลางของขอ้ มูลจะเป็นตวั แทนของขอ้ มูลท้งั ชุดในการวเิ คราะห์ขอ้ มูลต่อไป วธิ ีการวดั การกระจายมีหลายวธิ ี แตท่ ่ีนิยมกนั มากมี 5 วธิ ี คือ 1. พิสยั (Range) 2. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (Quatile Deviation) 3. ส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ีย (Mean Deviation or Average Deviation) 4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) และความแปรปรวน (Variation) 5. สมั ประสิทธ์ิแห่งการกระจายหรือสัมประสิทธ์ิความแปรผนั (The Coefficient ofVariation) พสิ ัย (Range)

พิสัยของขอ้ มูล หาไดจ้ ากความแตกตา่ งระหวา่ งค่าสูงสุดกบั ค่าต่าสุดของขอ้ มูลชุดหน่ึง ๆพิสัย = ค่าสูงสุด – คา่ ต่าสุดข้อมูลทไี่ ม่ได้แจกแจงความถี่ (Ungrouped Data)ตัวอย่าง จงหาพสิ ัยของขอ้ มูลต่อไปน้ีขอ้ มูลชุดที่ 1 ประกอบดว้ ย 3, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15ขอ้ มูลชุดท่ี 2 ประกอบดว้ ย 3, 3, 3, 3, 15, 15, 15, 15ขอ้ มูลชุดที่ 3 ประกอบดว้ ย 3, 4, 7, 10, 11, 12, 13, 15พิสัยของขอ้ มูลท้งั 3 ชุด = ค่าสูงสุด – คา่ ต่าสุด = 15 – 3 = 12จากตวั อยา่ ง ขอ้ มูลท้งั 3 ชุดมีคา่ พิสยั เทา่ กนั คือ 12 แตก่ ารกระจายของขอ้ มูลต่างกนัขอ้ มูลชุดที่ 1 มีจานวนแรกเท่าน้นั เท่ากบั 3 นอกน้นั มีคา่ เท่ากบั 15 ขอ้ มูลชุดท่ี 2 มี 4 จานวนแรกเทา่ กบั 3 นอกน้นั มีค่าเท่ากบั 15 ส่วนขอ้ มูลชุดท่ี 3 มีการกระจายต้งั แต่ 3 ถึง 15การวดั การกระจายโดยใชพ้ ิสัยเป็นวธิ ีที่คานวณไดง้ ่าย แต่มีขอ้ จากดั คือ ใชค้ ่าเพียง 2 ค่าเท่าน้นั ในการคานวณ ค่าอ่ืน ๆ ไม่ไดน้ ามาใชใ้ นการคานวณ จึงเป็นการคิดคร่าว ๆ เทา่ น้นั การใช้พิสัยในการวดั การกระจาย ก็ตอ่ เมื่อตอ้ งการความรวดเร็วและไมค่ านึงถึงความละเอียด ถูกตอ้ งมากข้อมูลทแ่ี จกแจงความถี่ (Grouped Data)ในกรณีที่ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถ่ี คา่ พิสยั ของขอ้ มูลชุดน้นั หาไดจ้ ากพสิ ยั = ค่าสูงสุดของอนั ตรภาคช้นั ท่ีมีค่ามากที่สุด – ค่าต่าสุดของอนั ตรภาคช้นั ท่ีมีค่านอ้ ยที่สุดตัวอย่าง จงหาคา่ พสิ ยั ของคา่ ใชจ้ า่ ยตอ่ วนั ของนกั ศึกษา 100 คนค่าใช้จ่าย (บาท) ความถี่50 – 54 555 – 59 1760 – 64 4265 – 69 2870 – 74 8สูตร พิสัย = ค่าสูงสุดของอนั ตรภาคช้นั ท่ีมีคา่ มากท่ีสุด – คา่ ต่าสุดของอนั ตรภาคช้นั ท่ีมีคา่ นอ้ ยท่ีสุด= 74.5 – 49.5 = 25

นน่ั คือ คา่ พิสัยของคา่ ใชจ้ ่ายต่อวนั ของนกั ศึกษา 100 คน = 25 บาท ข้อจากดั ของพสิ ัย 1. พิสยั คานวณจากขอ้ มูลเพียง 2 ค่า คือ ค่าสูงสุดกบั ค่าต่าสุด ไม่ไดน้ าขอ้ มูลทุกคา่ มาใชใ้ นการคานวณ ดงั น้นั พิสัยจึงเป็นการวดั การกระจายอยา่ งหยาบ ๆ 2. พิสยั ใชก้ ารวดั การกระจายขอ้ มูลเพียงคร่าว ๆ เพื่อตอ้ งการทราบค่าอยา่ งรวดเร็ว ใช้เวลานอ้ ยมากในการหาคา่ พิสัย 3. พสิ ยั ใชไ้ ดด้ ีกบั กลุ่มตวั อยา่ งขนาดเล็กมากกวา่ กลุ่มตวั อยา่ งขนาดใหญ่ เพราะถา้ขอ้ มูลมีจานวนมาก ค่าพิสยั มีแนวโนม้ จะสูง 4. ไม่ควรใชพ้ สิ ยั ในการเปรียบเทียบการกระจายของขอ้ มูล 2 ชุดท่ีมีจานวนขอ้ มูลไม่เท่ากนั เพราะขอ้ มูลท่ีมีจานวนมาก จะมีคา่ พิสัยสูงกวา่ ขอ้ มูลที่มีจานวนนอ้ ย ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (Quartile Deviation) ใชส้ ัญลกั ษณ์ Q.D. ส่วนเบ่ียงเบนควอไทลเ์ ป็นการวดั การกระจาย ซ่ึงคานวณไดจ้ ากคร่ึงหน่ึงของระยะระหวา่ งควอไทลท์ ี่ 3 และควอไทลท์ ่ี 1 โดยมี สูตร ดงั น้ี Q.D. = Q3  Q1 2 เมื่อ Q.D. คือ ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ Q1 คือ ควอไทลท์ ่ี 1 Q3 คือ ควอไทลท์ ี่ 3 ข้อมูลทไ่ี ม่ได้แจกแจงความถ่ี (Ungrouped Data) ตัวอย่าง จงหาคา่ ส่วนเบ่ียงเบนควอไทลข์ องขอ้ มูลต่อไปน้ี 16 18 8 12 14 20 24 20 26 28 เรียงลาดบั ขอ้ มูลจากนอ้ ยไปมาก 8 12 14 16 18 20 20 24 26 28ตาแหน่งที่ 2 ตาแหน่งที่ 3 ตาแหน่งที่ 8 ตาแหน่งที่ 9หาค่า Q1 1 (N  1) = 1 (10  1) = 23ค่าตาแหน่ง Q1 = 4 4 4คา่ ของ Q1 = 12 + 3 (14 12) = 12 + 1.5 = 13.5 4 3 (10  1) 4 = 81ค่าตาแหน่ง Q3 = 3 (N  1) = 4 4

ค่าของ Q3 = 24 + 1 (26  24) = 24+0.5 = 24.5 4 5.5Q.D. = Q3  Q1 = 24.5 13.5 = 22ส่วนเบ่ียงเบนควอไทล์ คือ 5.5ข้อมูลทแ่ี จกแจงความถ่ี (Grouped Data)ตัวอย่างจงหาค่าควอไทล์ Q1, Q3 จากตารางแจกแจงความถี่ท่ีกาหนดให้ คะแนน ความถี่ (f) ความถีส่ ะสม (cf) 32 – 34 1 70 29 – 31 2 69 26 – 28 7 67 23 – 25 18 60 Q3 20 – 22 21 42 17 – 19 18 21 Q1 14 – 16 2 3 11 – 13 1 1Q1 คือ ขอ้ มูลตวั ที่ 70 1 = 17.5  18 4 = 52.5  53Q3 คือ ขอ้ มูลตวั ที่ 70  3 4i= 3Q1 คือ ขอ้ มูลตวั ท่ี 18 ตกอยใู่ นข้นั คะแนน 17 - 19Q1 = 16.5 + 3 70 1  3 = 18.92 4 = 24.25 18 24.25 18.92Q3 คือ ขอ้ มูลตวั ที่ 53 ตกอยใู่ นข้นั คะแนน 23-25 2Q3 = 16.5 + 3 70  3  42 2.665 4 18สูตร Q.D. = Q3  Q1 = 2 = = 5.33 2ข้อสังเกตการวดั การกระจายของขอ้ มูลโดยใชค้ วามเบ่ียงเบนควอไทลม์ ีส่วนดี คือ1. เหมาะสาหรับวดั การกระจายของขอ้ มูลชุดท่ีมีขอ้ มูลบางค่าสูงหรือต่ากวา่ ขอ้ มูลอ่ืน ๆ

2. ในกรณีท่ีการแจกแจงความถ่ีของขอ้ มูลมีอนั ตรภาคช้นั แรกหรืออนั ตรภาคช้นั สุดทา้ ยเป็นแบบเปิ ด กย็ งั สามารถหาคา่ การกระจายของขอ้ มูลโดยใชค้ วามเบ่ียงเบนควอไทลไ์ ด้ แตจ่ ะหาโดยใชพ้ สิ ยั หรือความเบ่ียงเบนมาตรฐานไม่ได้ แต่ความเบ่ียงเบนควอไทลก์ ็มีขอ้ เสีย คือ คา่ การกระจายของขอ้ มูลท่ีวดั ไดไ้ ม่ละเอียดนกัเพราะไม่ไดใ้ ชข้ อ้ มูลท้งั หมดที่มีอยมู่ าคานวณ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลยี่ (Mean Deviation or Average Deviation) ส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ยหาไดจ้ ากค่าเฉลี่ยของความแตกตา่ งของขอ้ มูลแต่ละค่าท่ีแตกต่างไปจากคา่ เฉล่ียของขอ้ มูลชุดน้นั โดยไมค่ านึงถึงเครื่องหมาย สัญลกั ษณ์ที่ใช้ คือ M.D. หรือ A.D. ข้อมูลทไ่ี ม่ได้แจกแจงความถี่ (Ungrouped Data)กาหนดให้ X1, X2, …, Xn เป็นขอ้ มูลท้งั หมด N คา่ จากประชากรที่มีค่าเฉลี่ยเป็น  จะไดว้ า่M.D. =  xi   Nในกรณีที่เป็นกลุ่มตวั อยา่ งจะไดว้ า่ คา่ เบ่ียงเบนเฉล่ียของกลุ่มตวั อยา่ ง คือ M.D. =  xi  x nตัวอย่างขอ้ มูลต่อไปน้ีเป็นส่วนสูง (เซนติเมตร) ของคน 8 คน 157, 156, 160, 158, 175, 170,164, 167 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของส่วนสูงของคนท้งั 8 คนน้ีM.D. =  xi  x n X = x = = 163.38 157  156  ... 167 n 160 8 164 167 รวม 3.38 0.62 3.62 45หาคา่ M.D. จากตาราง 158 175 170 5.38 11.62 6.62 X 157 156 x  x 6.38 7.38M.D. = 45 = 5.625 8ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของส่วนสูงของคนท้งั 8 คนน้ี เท่ากบั 5.625 คะแนนข้อมูลทแี่ จกแจงความถี่ (Grouped Data) ประชากรที่มีขอ้ มูลท้งั หมด N คา่ และมีค่าเฉล่ียเป็น  หาคา่ เบ่ียงเบนเฉล่ียของประชากร คือM.D. = f xi   N

ในกรณีท่ีเป็นกลุ่มตวั อยา่ งจะไดว้ า่ คา่ เบ่ียงเบนเฉล่ียของกลุ่มตวั อยา่ ง คือ M.D. = f xi  x nตัวอย่างจงหาค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยจากขอ้ มูลในตาราง คะแนน จานวน 8 – 12 2 13 – 17 5 18 – 22 9 23 – 27 12 28 – 32 8 33 – 37 3 38 - 42 1 รวม 40 M.D. = f xi  x nคะแนน จานวน (f) x fx x  x f x  x8 -12 2 10 20 14 2813 – 17 5 15 75 9 4518 -22 9 20 180 4 3623 – 27 12 25 300 1 1228 – 32 8 30 240 6 4833 – 37 3 35 105 11 3338 - 42 1 40 40 16 16 40 960 218จากสูตร X = fx = 960 = 24 n 40 M.D. = 218 = 5.45 40นนั่ คือ ส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ียของขอ้ มูลชุดน้ี คือ 5.45

ข้อจากดั ของค่าเบยี่ งเบนเฉลยี่ 1. การวดั การกระจายของขอ้ มูลโดยการหาคา่ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยจะนาขอ้ มูลทุกตวั มาใชใ้ นการคานวณ ดงั น้นั ส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ีย จึงเป็ นการวดั การกระจายของขอ้ มูลที่ละเอียดกวา่ การหาพิสัยและส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ 2. การใชส้ ูตรดงั กล่าวในการหาค่าส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย จะเห็นวา่ ไมค่ านึงถึงเคร่ืองหมายของความแตกตา่ งของขอ้ มูลแตล่ ะค่าที่แตกต่างไปจากค่าเฉล่ีย ซ่ึงขดั ต่อหลกั ทางคณิตศาสตร์ ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็ นการวดั การกระจายที่นิยมมากท่ีสุด ทาใหท้ ราบวา่ ขอ้ มูลชุดน้นั หรือ คะแนนสอบชุดน้นั มีความแตกตา่ งกนั มากนอ้ ยเพียงใด สูตร S= x  X 2หรือ S = N S หมายถึง  x2  x 2 X หมายถึง    X หมายถึง N N N หมายถึงสาหรับขอ้ มูลท่ีจดั หมวดหมู่ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คะแนนแตล่ ะจานวน คา่ เฉลี่ยของคะแนนชุดน้นั จานวนคะแนนหรือจานวนผสู้ อบ S=  fx2   fx 2   S หมายถึง N Nfx หมายถึงfx2 หมายถึง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานf หมายถึง ผลรวมของผลคูณระหวา่ งคะแนนกบั ความถ่ีของคะแนนน้นั ๆ ผลรวมของผลคูณระหวา่ งคะแนนกบั ความถ่ีของคะแนนน้นั ๆ ยกกาลงั สอง จานวนคะแนนหรือจานวนผสู้ อบ

ตวั อย่างการคานวณค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาสงั คมศึกษาคะแนน (x) x -x (x -x)210 3.3 10.899 2.3 5.298 1.3 1.697 0.3 0.096 -0.3 0.094 -2.7 7.293 -3.7 13.69x = 47 (x -x) = 0.5 (x -x)2 = 39.03X = 47 = 6.7 7S= x  X 2 = 39.03 = 2.362 N7ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนวชิ าสังคมศึกษา คือ 2.362ตัวอย่างการคานวณคา่ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าภาษาไทยคะแนน (x) ความถี่ (f) fx x2 fx229 3 87 841 2,52328 3 84 784 2,35227 2 54 729 1,45826 2 52 676 1,35225 5 125 625 3,12524 2 72 576 1,72823 2 46 529 1,05822 3 66 484 1,45221 2 42 441 882 f = 25 fx = 628  fx2 = 15,930

S=  fx2   fx 2    N N = 15, 930   628 2 = 637  631.01 25  25  = 5.99 = 2.4474ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของวชิ าภาษาไทย คือ 2.4474ความแปรปรวน (Variance) คือ ค่าเฉลี่ยของผลรวมท้งั หมดของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานยกกาลงั สองความเบ่ียงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) คือ รากที่สองของความแปรปรวนคุณสมบัติของความแปรปรวนและส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน1. เม่ือเอาคา่ คงที่ (C) บวกหรือลบคะแนนทุกตวั ของขอ้ มูลชุดหน่ึง ความแปรปรวนหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชุดน้นั จะไมเ่ ปลี่ยนแปลง กล่าวคือ S2  S 2 ( xc) x S(xc)  Sx2. เม่ือเอาคา่ คงท่ี (C) คูณคะแนนทุกตวั ของขอ้ มูลชุดหน่ึง ความแปรปรวนหรือส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชุดน้นั จะไม่เปล่ียนแปลง กล่าวคือ S 2  C 2 S 2 cx x Scx  CS x3. เม่ือเอาค่าคงที่ (C) หารคะแนนทุกตวั ของขอ้ มูลชุดหน่ึง ความแปรปรวนหรือส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชุดน้นั จะไม่เปล่ียนแปลง กล่าวคือ S 2  1 S 2 x C2 x c Sx  1 Sx C2 c4. เมื่อมีการแจกแจงสมมาตร จะไดว้ า่ก) 68.26% ของขอ้ มูลมีคา่ อยรู่ ะหวา่ ง X  S และ X  Sข) 95.44% ของขอ้ มูลมีคา่ อยรู่ ะหวา่ ง X  2S และ X  2Sค) 99.74% ของขอ้ มูลมีคา่ อยรู่ ะหวา่ ง X 3S และ X 3S สัมประสิทธ์กิ ารกระจายหรือสัมประสิทธ์คิ วามแปรผนั (Coefficient ofVariation)

เป็นคา่ ท่ีใชว้ ดั การกระจายของขอ้ มูลเช่นเดียวกบั ค่าแปรปรวนและค่าเบ่ียงเบนมาตรฐานแต่ติดในรูปการกระจายสมั พทั ธ์ (Relative Measurement) จึงไมม่ ีหน่วยและคานวณออกมาเป็ นเปอร์เซ็นต์ ดงั น้นั จึงมีประโยชนม์ ากในการเปรียบเทียบการกระจายของขอ้ มูล 2 ชุด(หรือมากกวา่ 2ชุด) ท่ีมีหน่วยต่างกนั เช่น ขอ้ มูลชุดหน่ึงหน่วยเป็นบาท ขอ้ มูลอีกชุดหน่ึงหน่วยเป็นเมตร หรือเม่ือตอ้ งการเปรียบเทียบขอ้ มูล 2 ชุด ท่ีแมจ้ ะใชห้ น่วยเดียวกนั แตม่ ีขนาดแตกตา่ งกนั มากเช่น ขอ้ มูลชุดหน่ึงมีคา่ ตวั แปรเป็นเลขหลกั ร้อยกบั ขอ้ มูลอีกชุดหน่ึงท่ีมีตวั แปรเป็นเลขหลกั หมื่น ถา้ตอ้ งการเปรียบเทียบการกระจายของขอ้ มูลสองชุดน้ี จะตอ้ งดูจากค่าสัมประสิทธ์ความแปรผนั หรือสัมประสิทธ์ิการกระจายไมค่ วรดูจากคา่ แปรปรวนหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เพราะจะทาใหก้ ารแปลผลผดิ พลาดไดส้ มั ประสิทธ์ิความแปรผนั ใชต้ วั ยอ่ วา่ CVถา้ ขอ้ มูลรวบรวมจากทุกหน่วยในประชากรCV =  100 โดยท่ี  แทนคา่ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากร  แทนค่าเฉลี่ยประชากรถา้ ขอ้ มูลรวบรวมจากตวั แทนบางหน่วยของประชากรCV = S 100 xโดยท่ี S แทนคา่ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตวั อยา่ ง X แทนคา่ เฉล่ียตวั อยา่ ง ตัวอย่าง นายอภิสิทธ์ิ กาลงั ตดั สินใจที่จะลงทุนโดยการซ้ือหุน้ ของบริษทั เขากาลงั พจิ ารณาระหวา่ งบริษทั ก. ซ่ึงคาดวา่ จะไดผ้ ลตอบแทนเฉลี่ย 300 บาทต่อหุ้น และคา่ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน125 บาท และบริษทั ข. ซ่ึงคาดวา่ จะไดผ้ ลตอบแทนเฉล่ียต่อหุน้ 350 บาท และคา่ ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 175 บาท นายอภิสิทธ์ิควรจะลงทุนซ้ือหุน้ ของบริษทั ใด CV = 125 100 = 41.67% 300 CV = 175 100 = 50.00% 350 จะเห็นวา่ แมบ้ ริษทั ข. จะใหผ้ ลตอบแทนเฉลี่ยสูงกวา่ บริษทั ก. แต่มีความเส่ียงมากกวา่เพรามีความผนั แปรซ่ึงวดั ในรูปสมั ประสิทธ์ิความแปรผนั มากกวา่ ดงั น้นั นายอภิสิทธ์ิจึงควรลงทุนในบริษทั ก. ซ่ึงมีความเสี่ยงนอ้ ยกวา่สรุป

การวเิ คราะห์ขอ้ มูลทางสถิติ มีวธิ ีการวเิ คราะห์ต้งั แต่ข้นั ง่ายไปจนถึงข้นั ที่ซบั ซอ้ น การวเิ คราะห์ขอ้ มูลข้นั แรก คือ การบรรยายขอ้ มูลเชิงเปรียบเทียบ ใชก้ บั ขอ้ มูลต้งั แต่ 2 กลุ่ม จนกระทงั่มากกวา่ 2 กลุ่ม ในรูปแบบอตั ราส่วนซ่ึงทาไดท้ ้งั แบบเป็นเท่า แบบเป็นกี่เทา่ แบบมากกวา่ กี่เทา่สดั ส่วน ร้อยละ อตั รา การแจกแจงความถี่ สาหรับการจดั หมวดหมูข่ อ้ มูล มี 4 รูปแบบ คือ ตารางแจกแจงความถี่ ตารางแจกแจงความถ่ีสะสม ตารางแจกแจงความถ่ีสมั พทั ธ์ แผนภูมิหรือกราฟซ่ึงนาเสนอได้อีก 4 รูปแบบ คือ ฮิสโตแกรม รูปหลายเหลี่ยมแห่งความถ่ี โคง้ ความถ่ี (โคง้ ปกติ โคง้ เบ้ - ทางขวา -ทางซา้ ย – รูปตวั เจ – รูปตวั เอส – รูปถว้ ย – โคง้ สองยอด) โคง้ ความถี่สะสม การวดั คา่ กลางของขอ้ มูลหรือการวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลาง มี 6 รูปแบบ แบบท่ีนิยมใช้ คือ 3 แบบแรก คือ คา่ เฉล่ียเลขคณิตหรือค่าเฉล่ีย มธั ยฐาน ฐานนิยม แต่ละแบบมีโอกาสของการใชง้ านแตกตา่ งกนั ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งค่าเฉล่ีย คา่ มธั ยฐานและคา่ ฐานนิยมมีผลต่อการเลือกใช้งานตา่ งกนั ดว้ ย ตวั กลางเรขาคณิต ตวั กลางฮาร์โมนิก และตวั กลางควอดราติก ตวั กลาง 3 แบบน้ีไม่ค่อยนิยมใช้ การวดั ตาแหน่งของขอ้ มูล แบบเปอร์เซ็นไทล์ เดไซลแ์ ละควอไทล์ การวดั การกระจายของขอ้ มูลที่นิยมกนั มาก คือ พสิ ยั ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน ควอไทล์ส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน สัมประสิทธ์แห่งการกระจายหรือสมั ประสิทธ์ิแห่งความแปรผนั

บรรณานุกรมชูศรี วงศร์ ัตนะ. (2544). เทคนิคการใช้สถติ ิเพ่ือการวจิ ัย. กรุงเทพฯ: เทพนิมิตการพมิ พ.์ธีระดา ภิญโญ. (2542). หลกั สถติ ิเบื้องต้น (Basic Statistics Principles). กรุงเทพฯ: สถาบนั ราชภฎั สวนสุนนั ทา.บุญธรรม กิจปรีดาบริสุทธ์ิ. (2543). สถิตวิ เิ คราะห์เพื่อการวจิ ัย (Statistical Analysis for Research A Step by Step Approach). กรุงเทพฯ : เรือนแกว้ การพิมพ.์บุญศรี พรหมมาพนั ธุ์. (2545). หน่วยท่ี 6 การวเิ คราะห์ขอ้ มูลและการเขียนรายงานการประเมิน. ใน การประเมินและการจัดการโครงการประเมิน หน่วยท่ี 1-5 (พมิ พค์ ร้ังท่ี 2). นนทบุรี: มหาวทิ ยาลยั สุโขทยั ธรรมาธิราช.ประชุม สุวตั ถี. (ม.ป.ป.). การวเิ คราะห์เชิงสถิติ เล่ม 1. (ม.ป.ท.).ภทั รา นิคมานนท.์ (2540). การประเมนิ ผลการเรียน. กรุงเทพ ฯ: อกั ษราพพิ ฒั น.์พศิ ิษฐ ตณั ฑวณิช. (2543). สถิติเพื่องานวจิ ัยทางการศึกษา. กรุงเทพมหานคร: เธิร์ดเวฟ เอด็ ดูเคชนั่ .มลั ลิกา บุนนาค. (2542). สถิตเิ พื่อการตดั สินใจ. พมิ พค์ ร้ังที่ 4. กรุงเทพฯ : จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั .สมบูรณ์ ตนั ยะ. (2545). การประเมนิ ทางการศึกษา. กรุงเทพฯ: สุวรี ิยาสาสน.์สมศกั ด์ิ แตม้ บุญเลิศชยั . (2546). หน่วยท่ี 3 วธิ ีการดาเนินงานวจิ ยั ใน สถติ ปิ ระยุกต์และ วธิ ีการวจิ ัย (Applied Statistics and Research Methodology) หน่วยท่ี 1-8. พิมพค์ ร้ังท่ี 5. นนทบุรี: มหาวทิ ยาลยั สุโขทยั ธรรมาธิราช.สุชาดา บวรกิติวงศ.์ (2548). สถติ ิประยุกต์ทางพฤตกิ รรมศาสตร์ (Statistics Applied to Behavioral Sciences). กรุงเทพฯ : จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั .สิริรัตน์ วภิ าสศิลป์ และสุภมาศ องั คุโชติ. (2543). หน่วยที่ 10 ความรู้เบ้ืองตน้ เก่ียวกบั สถิติและสถิติ พรรณนา ใน คณติ ศาสตร์และสถติ สิ าหรับวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (Mathematics and Statistics for Science) หน่วยที่ 9-15. พิมพค์ ร้ังท่ี 5. นนทบุรี: มหาวทิ ยาลยั - สุโขทยั ธรรมาธิราช.