เมทริกซ์และเวกเตอร์

สรุป

เมทริกซ์และเมทริกซ์สลับเปลี่ยน เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (ทับศัพท์ว่า ทรานสโพส) คือเมทริกซ์ ที่ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลัก เป็นแถว ของเมทริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ A ที่มีมิติ m×n จะเขียนแทนด้วย AT (บางครั้งอาจพบในรูป แบบ At, Atr, tA หรือ A′) ซึ่งจะมีมิติเป็น n×m (สลับ กัน) นิยามโดย {\\displaystyle A_{ij}^{\\mathrm {T} }=A_{ji}} ≤ ≤ ≤สำหรับทุกค่าของ i และ j ที่ 1 i n และ 1 j ≤ m ตัวอย่างเช่น

บันทึก การบวกแมทริกซ์ การลบเมทริกซ์กับจำนวนจริง ระหว่างเมทริกซ์ การบวกเมทริกซ์ เมทริกซ์ที่จะนำมาบวกกันได้นั้น ต้องมีมิติเท่ากัน และการบวกจะนำสมาชิกตำแหน่งเดียวกันมาบวกกัน การลบเมทริกซ์ การลบเมทริกซ์จะคล้ายๆกับการบวกเมทริกซ์เลย คือ มิติของเมทริกซ์ ที่จะนำมาบวกกันจะต้องเท่ากัน แต่ต่างกันตรงที่สมาชิกข้างในเมทริกซ์ จะต้องนำมาลบกัน เช่น

ดีเทอร์มิแนนต์ ดีเทอร์มิแนนต์ ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant) คือ ค่าของตัวเลขที่สอดคล้องกับเมทริกซ์จัตุรัส ถ้า A เป็นเม ทริกซ์จัตุรัส จะเขียนแทนดีเทอร์มิแนนต์ของ A ด้วย det(A) หรือ \\inline \\left | A \\right | โดยทั่วไปการหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ที่เจอในข้อสอบจะไม่เกินเมทริกซ์ 3×3 เพราะถ้ามากกว่า 3 แล้ว จะเริ่มมีความยุ่งยาก **ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะเป็นจำนวนจริงและมีเพียงค่าเดียวเท่านั้นที่จะสอดคล้องกับเม ทริกซ์จัตุรัส เช่น เมทริกซ์ B ก็จะมีค่าดีเทอร์มิแนนต์เพียงค่าเดียวเท่านั้น** ตัวอย่างเมทริกซ์ขนาด 3×3





เมทริกซ์ผกผันหรืออินเวอร์สเมทริกซ์ (Inverse Matrix) อินเวอร์สของเมตริกซ์ในที่นี้ หมายถึงอินเวอร์สของการคูณของเม ตริกซ์ ซึ่งเมตริกซ์ที่จะหาอินเวอร์สได้นั้นจะต้องมีค่ากำหนดไม่เท่ากับศูนย์ อินเวอร์สของเมตริกซ์ A จะใช้สัญญาลักษณ์ A⁻¹ ทั้งนี้ A A⁻¹ = A⁻¹ A การหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ nxn เมื่อ ad - bc ≠ 0 แล้ว A จะมีอินเวอร์ส คือ

โจทย์ท้าทายความสามารถ เมทริกซ์ผกผัน 1. จงหาค่าของ A⁻¹ 2. จงหาค่าของ 2A⁻¹ 3. จงหา B⁻¹A⁻¹

เฉลย จงหาค่าของ A⁻¹ 1. วิธีทำ 2. จงหาค่าของ 2A⁻¹ วิธีทำ 3. จงหา B⁻¹A⁻¹ วิธีทำ

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ ในระบบสมการเชิงเส้นนั้นเราสามารถทำการแก้สมการเพื่อหาตัวแปรได้ หลายวิธี เมทริกซ์ก็เป็นหนึ่งในวิธีสามารถทำการแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้ โดยในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์นั้นสามารถทำได้ ดังนี้ ทำการแปลงระบบสมการเชิงเส้นให้เป็นเมทริกซ์ก่อน โดยจะได้เมทริกซ์อยู่ในรูปของ AX = B A = เมทริกซ์ของเลขสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร X = เมทริกซ์ตัวแปร B = เมทริกซ์ของค่าคงที่ ย้ายเมทริกซ์ไปอินเวอร์ส (เหมือนการแก้สมการปกติ) จะได้ X = A⁻¹B เช่น สมการเชิงเส้น a + b = 10 2a + b = 13 แปลงเป็นเมทริกซ์ได้เป็น โจทย์ท้าทายความสามารถ จงแก้ระบบสมการเชิงเส้น

เฉลยการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยเมทริกซ์อินเวอร์ส จงแก้ระบบสมการเชิงเส้น เราสามารถแปลงเป็นระบบสมการเชิงเส้นได้เป็น โดยที่ ดังนั้น ตอบ X = 2 , Y = -2 , Z = -1

นิเสธของเวกเตอร์ แต่มี นิเสธของ คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับขนาดของ ทิศทางตรงกันข้าม นิเสธของเวกเตอร์ สามารถหาได้โดยตรงเครื่องหมายลบหน้าเวกเตอร์นั้นๆหรือ สลับตำแหน่งจุดเริ่มและจุดปลาย ตัวอย่างที่ 1 เขียนแทนด้วย ขนาดของ แต่มีทิศทางตรงกันข้ามนิเสธของ หรือเขียนเป็น

ตัวอย่าง 2 กำหนดรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ABCDEF ดังรูป จงพิจารณาว่าเวกเตอร์ ที่กำหนดให้คู่ใดบ้างที่เท่ากัน และคู่ใดบ้างที่เป็นนิเสธกัน E FD AC B

การบวกเวกเตอร์ การลบเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ ด้วยสเกลาร์ การบวกเวกเตอร์ บทนิยาม ให้ และ กาเรปบ็นวเวกกเกตอารร์กลำหบนกดใาหร้สคูาณมารเถวหกา เตอร์ ได้ ดังนี้ 1. เลือก A จุดใดจุดหนึ่งเป็นจดุ้ดวเรยิ่มสต้กนเกลาร์ 2. หาจุด B ที่ทำให้ 4. หาจุด C ที่ทำให้ 5. จะได้ หรือ การลบเวกเตอร์ บทนิยาม ให้ และ เป็นเวกเตอร์ใดๆในระนาบผลลบของเวกเตอร์ เขียนแทน ด้วยสัญลักษณ์ โดยที่ ผลคูณของเวกเตอร์ ผลคูณเชิงสเกลาร์ในเวกเตอร์ 2 มิติ และ เขียนแทน บทนิยาม ถ้า และ แล้วผลคูณเชิงสเกลาร์ของ ด้วย

โดยที่ ผลคูณเชิงสเกลาร์ในเวกเตอร์ 3 มิติ บทนิยาม การบวก การลบ การคูณ เวกเตอร์ ด้วยสกเกลาร์ ถ้า และ แล้วผลคูณเชิงสเกลาร์ของ และ เขียนแทนด้วย โดยที่ ผลคูณเชิงสเวกเตอร์ บทนิยาม ถ้า และ แล้วผลคูณของสเกลาร์ของ และ เขียนแทน ด้วย การประยุกต์เวกเตอร์ พื้นที่สี่เหลี่ยม ปริมาตร พื้นที่สามเหลี่ยม

ผลคูณเชิงสเกลาร์ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ ผลคูณเชิงสเกลาร์ (Scalar Product or Product) ผลคูณเชิงสเกลาร์ หมายถึง ผลคูณของเวกเตอร์ที่ได้ผลลัพธ์เป็น สเกลาร์ ซึ่งนิยามในสองมิติ และสามมิติ