UNIT 1 vector
เวกเตอร์ 25 Jan 2019
สารบญั ปริมาณเวกเตอร์ ....................................................................................................................................................................... 1 เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉาก ....................................................................................................................................................... 8 เวกเตอร์หนงึ่ หนว่ ย................................................................................................................................................................ 13 ผลคณู เชิงสเกลาร์.................................................................................................................................................................. 17 ผลคณู เชิงเวกเตอร์ ................................................................................................................................................................ 29 พนื ้ ที่และปริมาตร.................................................................................................................................................................. 32
เวกเตอร์ 1 ปริมาณเวกเตอร์ ปริมาณเวกเตอร์ คือ ปริมาณทม่ี ี “ทศิ ทาง” กากบั มาด้วย (ถ้ามแี ตต่ วั เลข แตไ่ มม่ ีทศิ ทาง เราจะเรียกวา่ “ปริมาณสเกลาร์”) ตวั อยา่ งปริมาณเวกเตอร์ เชน่ 2 เมตร ไปทางทศิ เหนอื 3 ซ.ม. ไปทางทศิ ตะวนั ออกเฉียงใต้ √3 หนว่ ย ไปทางทศิ 120° เป็นต้น เราสามารถแทนปริมาณแบบเวกเตอร์ด้วยลกู ศร เช่น เวกเตอร์ 2 หนว่ ย ไปทางทศิ ใต้ จะแทนได้ด้วยรูป 2 ในเร่ืองนี ้เรานยิ มใช้ตวั แปร ���̅��� , ������̅ , ���̅��� ในการเรียกชื่อเวกเตอร์ หรืออาจเรียกด้วยจดุ เริ่มต้นกบั จดุ สนิ ้ สดุ ของเวกเตอร์ก็ได้ เชน่ A⃗⃗⃗⃗B⃗ จะหมายถงึ เวกเตอร์ทเ่ี ร่ิมต้นท่ี A และจบที่ B เวกเตอร์หนงึ่ ๆ จะมีสว่ นประกอบ 2 อยา่ ง คอื “ขนาด” และ “ทศิ ทาง” “ตาแหนง่ ” ของเวกเตอร์ จะไมม่ คี วามสาคญั กลา่ วคอื เวกเตอร์หนงึ่ ๆ สามารถเลอื่ นไปเลอ่ื นมาได้ ตราบใดที่ “ขนาด” และ “ทศิ ทาง” ยงั เหมือนเดมิ เราจะยงั ถือวา่ มนั เป็นเวกเตอร์เดมิ เชน่ D C ⃗A⃗⃗⃗B⃗ = D⃗⃗⃗⃗⃗C เพราะ ยาวเทา่ กนั และมีทศิ เดยี วกนั ⃗A⃗⃗⃗B⃗ ≠ A⃗⃗⃗⃗D⃗ เพราะ ขนาดตา่ งกนั A B ⃗A⃗⃗⃗B⃗ ≠ ⃗C⃗⃗⃗D⃗ ถึงจะยาวเทา่ กนั และทิศไมเ่ หมอื นกนั (A⃗⃗⃗⃗B⃗ กบั C⃗⃗⃗⃗D⃗ มที ศิ ตรงข้ามกนั ) ขนาดของเวกเตอร์ ���̅��� จะแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ |���̅���| หมายถงึ ความยาวของ ���̅��� เชน่ D C |⃗A⃗⃗⃗B⃗ | = 4 |B⃗⃗⃗⃗⃗C| = 3 3 |A⃗⃗⃗⃗⃗C| = 5 (ใช้ด้านชดุ พีทากอรัส 3 , 4 , 5) A4B |⃗A⃗⃗⃗A⃗ | = 0 หมายเหต:ุ เวกเตอร์ทีม่ ขี นาดเป็นศนู ย์ จะเรียกวา่ “เวกเตอร์ศนู ย์” ซงึ่ แทนได้ด้วยสญั ลกั ษณ์ 0̅ เขียนเป็นสญั ลกั ษณ์ได้วา่ |0̅| = 0 นน่ั เอง เหนือ ทศิ ของเวกเตอร์ จะบอกโดยใช้ทศิ ตามแผนท่กี ็ได้ ตะวนั ตก ตะวนั ออก ใต้ หรือจะใช้วธิ ีบอกเป็นองศาแบบ 3 หลกั ก็ได้ วธิ ีนจี ้ ะเร่ิมวดั จากทศิ 12 นาฬกิ า (ทศิ เหนอื ) แบบตามเข็ม 45° ทิศ 090° 300° ทิศ 045° ทศิ 300°
2 เวกเตอร์ เวลาทเี่ ราพดู วา่ เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ “ขนานกนั ” เราจะรวมทงั้ กรณี “ทิศเดยี วกนั ” กบั กรณี “ทิศตรงข้ามกนั ” ���̅��� ������̅ ������̅ ทศิ เดยี วกนั ���̅��� ทิศตรงข้ามกนั เวกเตอร์ 3���̅��� จะหมายถงึ เวกเตอร์ในทศิ เดยี วกนั ที่มีขนาดเป็น 3 เทา่ ของ ���̅��� 3���̅��� ���̅��� เวกเตอร์ 1 ���̅��� จะหมายถงึ เวกเตอร์ในทศิ เดียวกนั ท่ีมีขนาดเป็นคร่ึงหนง่ึ ของ ���̅��� ���̅��� 1 ���̅��� 2 2 เวกเตอร์ −���̅��� จะหมายถงึ เวกเตอร์ทข่ี นาดเทา่ กบั ���̅��� แตม่ ีทศิ ตรงข้ามกบั ���̅��� ���̅��� หมายเหตุ : B⃗⃗⃗⃗A⃗ = −⃗A⃗⃗⃗B⃗ เสมอ −���̅��� เวกเตอร์ −2���̅��� จะหมายถงึ เวกเตอร์ทขี่ นาดเป็น 2 เทา่ ของ ���̅��� และมที ศิ ตรงข้ามกบั ���̅��� ���̅��� −2���̅��� จะเห็นวา่ ���̅��� กบั ���������̅��� จะขนานกนั เสมอ (������ จะเป็นตวั เลขบวกหรือลบอะไรก็ได้) หรือพดู อกี แบบได้วา่ ���̅��� จะขนานกบั ������̅ ก็เม่ือสามารถเขยี น ������̅ = ���������̅��� ได้นน่ั เอง ตวั อยา่ ง จากรูป จงหาเวกเตอร์ทงั้ หมดทขี่ นานกบั ⃗A⃗⃗⃗B⃗ H G JI FE KL CD A B วธิ ีทา ขนานกนั จะรวมทงั้ ทศิ เดยี วกนั และทิศตรงข้าม # เวกเตอร์ที่มีทศิ เดยี วกบั ⃗A⃗⃗⃗B⃗ ได้แก่ ⃗C⃗⃗⃗D⃗ , F⃗⃗⃗E⃗ , H⃗⃗⃗⃗G⃗ , J⃗I , ⃗K⃗⃗⃗⃗L เวกเตอร์ที่มที ศิ ตรงข้ามกบั ⃗A⃗⃗⃗B⃗ ได้แก่ ⃗D⃗⃗⃗⃗C , ⃗E⃗⃗⃗F , ⃗G⃗⃗⃗H⃗ , I⃗J , L⃗⃗⃗⃗K⃗ , ⃗B⃗⃗⃗A⃗ เวกเตอร์บวกกนั คือการนาเวกเตอร์มาโยงตอ่ กนั โดยจะเอาตวั ไหนตงั้ กอ่ นก็ได้ ได้ผลลพั ธ์เทา่ กนั เช่น ���̅��� + ������̅ ���̅��� ���̅��� + ������̅ = ������̅ = ������̅ ���̅��� ���̅��� + ������̅ เวกเตอร์ลบกนั ได้ ให้กลบั ทิศตวั ลบ แล้วโยงตอ่ กนั กลา่ วคอื ���̅��� − ������̅ = ���̅��� + (−������̅) เช่น ���̅��� ���̅��� − ������̅ = ���̅��� − ������̅ −������̅
เวกเตอร์ 3 บางคนนยิ มทอ่ งวา่ ���̅��� − ������̅ ให้เอา โคนลกู ศรมาตอ่ กนั แล้วลากจาก “ตวั ลบ” ไปหา “ตวั ตงั้ ” เช่น ������̅ ���̅��� − ������̅ ���̅��� − ������̅ = ���̅��� เวกเตอร์ทข่ี นานกนั มาบวกลบกนั ให้เอาตวั เลขหน้าเวกเตอร์มาบวกลบกนั ได้เลย เช่น ���̅��� + ���̅��� = 2���̅��� 5���̅��� − 1 ���̅��� = 9 ���̅��� ���̅��� − ���̅��� = 0̅ 22 ตวั อยา่ ง สามเหลย่ี ม ABC มี A⃗⃗⃗⃗B⃗ = ���̅��� และมี ⃗A⃗⃗⃗⃗C = ������̅ ให้ CD เป็นเส้นมธั ยฐานของสามเหลย่ี ม ABC จงหา C⃗⃗⃗⃗D⃗ ใน รูปของ ���̅��� และ ������̅ วธิ ีทา C วาดรูปได้ดงั รูป ������̅ มธั ยฐาน คือ เส้นท่ลี ากไปแบง่ คร่ึงฐาน ดงั นนั้ AD = DB # D นนั่ คือ จะได้วา่ ⃗A⃗⃗⃗D⃗ = 1 ���̅��� A ���̅��� 2 B จะได้ ⃗C⃗⃗⃗D⃗ = A⃗⃗⃗⃗D⃗ − A⃗⃗⃗⃗⃗C = 1 ���̅��� − ������̅ 2 เราสามารถนาความรู้เร่ืองเวกเตอร์ ไปพสิ จู น์กฤษฎที างเรขาคณิตได้ โดยเราจะสมมตุ ใิ ห้ด้านพนื ้ ฐานของรูปท่จี ะพิสจู น์ เป็น ���̅��� , ������̅ แล้วเปลยี่ นเวกเตอร์ทตี่ ้องการพสิ จู น์ให้อยใู่ นรูป ���̅��� , ������̅ จากนนั้ จงึ ใช้ความรู้เรื่องเวกเตอร์ มาสรุปเก่ียวกบั ด้านทีต่ ้องการพิสจู น์นนั้ ๆ ตวั อยา่ ง จากรูป จงพิสจู น์วา่ DE ขนาน และยาวเป็นคร่ึงหนงึ่ ของ AB C D E A B วิธีทา กาหนดให้ ⃗C⃗⃗⃗D⃗ = ���̅��� และ C⃗⃗⃗E⃗ = ������̅ ถดั มา เราจะเปลย่ี นด้านท่ีต้องการพสิ จู น์ ให้อยใู่ นรูป ���̅��� และ ������̅ # ⃗D⃗⃗⃗E⃗ = D⃗⃗⃗⃗⃗C + C⃗⃗⃗E⃗ = −���̅��� + ������̅ ⃗C⃗⃗⃗A⃗ = 2���̅��� , ⃗C⃗⃗⃗B⃗ = 2������̅ A⃗⃗⃗⃗B⃗ = ⃗A⃗⃗⃗⃗C + C⃗⃗⃗⃗B⃗ = −2���̅��� + 2������̅ จะเห็นวา่ ⃗A⃗⃗⃗B⃗ กบั D⃗⃗⃗⃗E⃗ คล้ายๆกนั นนั่ คอื ⃗A⃗⃗⃗B⃗ = −2���̅��� + 2������̅ = 2(−���̅��� + ������̅) = 2⃗D⃗⃗⃗E⃗ เนอ่ื งจาก ⃗A⃗⃗⃗B⃗ = 2⃗D⃗⃗⃗E⃗ ดงั นนั้ DE ขนาน และยาวเป็นคร่ึงหนง่ึ ของ AB ตวั อยา่ ง จงพสิ จู น์วา่ เส้นทแยงมมุ ของสเี่ หลย่ี มด้านขนานแบง่ ครึ่งซงึ่ กนั และกนั วธิ ีทา D ������ E ������ C วาดรูปสเ่ี หลย่ี มด้านขนาน และกาหนดความยาว ดงั รูป เราจะพิสจู น์วา่ ������ = ������ และ ������ = ������ ������ ������ กาหนดให้ ⃗A⃗⃗⃗D⃗ = ���̅��� และ ⃗A⃗⃗⃗B⃗ = ������̅ จะได้ ⃗B⃗⃗⃗⃗C = ���̅��� ด้วย และ ⃗D⃗⃗⃗⃗C = ������̅ ด้วย AB
4 เวกเตอร์ ดงั นนั ้ A⃗⃗⃗⃗⃗C = ⃗A⃗⃗⃗B⃗ + ⃗B⃗⃗⃗⃗C = ������̅ + ���̅��� และ ⃗B⃗⃗⃗D⃗ = ⃗B⃗⃗⃗A⃗ + ⃗A⃗⃗⃗D⃗ = −������̅ + ���̅��� และจะได้ A⃗⃗⃗⃗E⃗ = (���������+���������) ⃗A⃗⃗⃗⃗C = (���������+���������) (������̅ + ���̅���) ⃗B⃗⃗⃗E⃗ = ( ������ ) ⃗B⃗⃗⃗D⃗ = ( ������ ) (−������̅ + ���̅���) ������+������ ������+������ และเน่ืองจาก A⃗⃗⃗⃗E⃗ + ⃗E⃗⃗⃗B⃗ = ⃗A⃗⃗⃗B⃗ ดงั นนั ้ ( ������ ) (������̅ + ���̅���) − ( ������ ) (−������̅ + ���̅���) = ������̅ ������+������ ������+������ เพอ่ื ความสะดวกในการแก้สมการ จะเปลย่ี นตวั แปรโดยให้ ������ = ������ และ ������ = ������ จะได้ ������+������ ������+������ ������(������̅ + ���̅���) − ������(−������̅ + ���̅���) = ������̅ ������������̅ + ���������̅��� + ������������̅ − ���������̅��� = ������̅ ���������̅��� − ���������̅��� = ������̅ − ������������̅ − ������������̅ (������ − ������)���̅��� = (1 − ������ − ������)������̅ แต่ ���̅��� กบั ������̅ ไมข่ นานกนั ดงั นนั ้ (������ − ������)���̅��� กบั (1 − ������ − ������)������̅ จะไมม่ ีทางเทา่ กนั ได้ ยกเว้นเพยี งกรณเี ดยี ว คอื ������ − ������ = 0 และ 1 − ������ − ������ = 0 ������ − ������ = 0 (1) (2) 1 − ������ − ������ = 0 (1) + (2): 1 − 2������ = 0 ������ = 1 2 ������ = 1 → (2): 1 − ������ − 1 = 0 2 2 1 2 ������ = เปลย่ี น ������ กบั ������ กลบั เป็น ������, ������, ������, ������ จะได้ ������ = 1 และ ������ = 1 ������+������ 2 ������+������ 2 2������ = ������ + ������ 2������ = ������ + ������ ������ = ������ ������ = ������ จะได้วา่ ������ = ������ และ ������ = ������ นน่ั คอื เส้นทแยงมมุ ทงั้ สอง แบง่ คร่ึงซงึ่ กนั และกนั นนั่ เอง # แบบฝึกหดั C 1. จากรูป กาหนดให้ ⃗A⃗⃗⃗B⃗ = ���̅��� และ ⃗A⃗⃗⃗⃗C = ������̅ 3 2 จงเขยี นเวกเตอร์ตอ่ ไปนี ้ในรูปของ ���̅��� และ ������̅ D F E 1. A⃗⃗⃗⃗⃗F 1 1 2B A2 2. A⃗⃗⃗⃗D⃗ 3. D⃗⃗⃗⃗⃗C 4. C⃗⃗⃗⃗A⃗ 5. B⃗⃗⃗⃗F 6. B⃗⃗⃗⃗C⃗
เวกเตอร์ 5 7. B⃗⃗⃗⃗E⃗ 8. C⃗⃗⃗E⃗ 9. ⃗C⃗⃗⃗F 10. F⃗⃗⃗⃗D⃗ 11. ⃗A⃗⃗⃗E⃗ 12. D⃗⃗⃗⃗E⃗ 2. จากรูป กาหนดให้ A⃗⃗⃗⃗B⃗ = ���̅��� และ A⃗⃗⃗⃗D⃗ = ������̅ D 1F 3 C จงเขยี นเวกเตอร์ตอ่ ไปนี ้ในรูปของ ���̅��� และ ������̅ 2H 1 1. B⃗⃗⃗⃗⃗C E 1 A 2G2 B 2. ⃗A⃗⃗⃗C⃗ 3. ⃗D⃗⃗⃗B⃗ 4. ⃗A⃗⃗⃗⃗F 5. ⃗G⃗⃗⃗F 6. H⃗⃗⃗⃗G⃗ 7. ⃗A⃗⃗⃗H⃗ 8. ⃗H⃗⃗⃗E⃗ 3. กาหนดให้ ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอร์ท่ไี มข่ นานกนั ถ้า ������(���̅��� + ������̅) − ���̅��� = ������(���̅��� − ������̅) แล้ว จงหาคา่ ของ ������ − ������
6 เวกเตอร์ 4. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มทม่ี ี D เป็นจดุ บนด้าน AC และ F เป็นจดุ บนด้าน BC ถ้า ⃗A⃗⃗⃗D⃗ = 1 A⃗⃗⃗⃗⃗C , 4 ⃗B⃗⃗⃗F = 1 ⃗B⃗⃗⃗⃗C และ D⃗⃗⃗⃗⃗F = ������A⃗⃗⃗⃗B⃗ + ������B⃗⃗⃗⃗⃗C แล้ว ������ มคี า่ เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-12] 3 ������ 5. กาหนดให้ ABCD เป็นรูปสเี่ หลยี่ มด้านขนาน M เป็นจดุ บนด้าน AD ซง่ึ ⃗A⃗⃗⃗M⃗⃗ = 1 ⃗A⃗⃗⃗D⃗ 5 และ N เป็นจดุ บนเส้นทแยงมมุ AC ซงึ่ A⃗⃗⃗⃗N⃗ = 1 A⃗⃗⃗⃗⃗C ถ้า M⃗⃗⃗⃗⃗N⃗ = ������A⃗⃗⃗⃗B⃗ + b⃗A⃗⃗⃗D⃗ แล้ว ������ + ������ เทา่ กบั เทา่ ใด 6 [PAT 1 (มี.ค. 52)/24]
เวกเตอร์ 7 6. กาหนดจดุ A(3, 0) , B(3 + √3 , 1) และ C(������, ������) โดยท่ี C อยใู่ นจตภุ าคท่ี 4 A⃗⃗⃗⃗B⃗ กบั A⃗⃗⃗⃗⃗C ทามมุ กนั 60° และ |⃗A⃗⃗⃗⃗C| = 2√3 |⃗A⃗⃗⃗B⃗ | จงหาคา่ ของ ������2 + ������2 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/33] 7. จากรูป ������ + ���⃗��� + ������ = ⃗0 Y ������ ���⃗��� 110° 125° X ������ 2. |������| cosec 20° = |������| (1 + cot 35°) cot 20° ข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู [PAT 1 (ธ.ค. 54)/12] 1. |������| cosec 35° = |������| (1 + cot 20°) 4. |������| cosec 20° = |������| (1 + tan 35°) tan 20° cot 35° 3. |������| cosec 35° = |������| (1 + tan 20°) tan 35°
8 เวกเตอร์ เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉาก ท่ีผา่ นมา เราจะแทนเวกเตอร์ด้วย “รูปลกู ศร” ซง่ึ ไมส่ ะดวกในการนาไปคานวณ เราจะมีอกี วิธีในการเขียนเวกเตอร์ โดยใช้ “ระยะทางแกน X” กบั “ระยะทางแกน Y” เชน่ ���̅��� มีระยะทางแกน X เทา่ กบั 1 และมีระยะทางแกน Y เทา่ กบั 2 ���̅��� 2 1 เราจะเขียนแทน ���̅��� ในรูปสญั ลกั ษณ์ได้เป็น [21] เวลาวดั ระยะทางแกน X หรือ แกน Y ให้วดั จากจดุ เร่ิมต้น ไปหาจดุ สนิ ้ สดุ การวดั ระยะทางแกน X ถ้าวดั ไปทางขวาเป็นจะเป็นบวก วดั ไปทางซ้ายจะเป็นลบ การวดั ระยะทางแกน Y ถ้าวดั ขนึ ้ เป็นจะเป็นบวก วดั ลงจะเป็นลบ 2 ������̅ −1 ���̅��� −2 1 −2 ���̅��� ���̅��� = [−22] ���̅��� = [−−21] −2 ������̅ = [−12] โจทย์นิยมนาเวกเตอร์ไปวางในระบบแกน XY และบอกพิกดั จดุ ตงั้ ต้น (������1, ������1) กบั จดุ สนิ ้ สดุ (������2, ������2) มาให้ ในกรณีนี ้เราจะใช้สตู ร เวกเตอร์ท่ชี จี ้ าก (������1, ������1) ไปยงั (������2, ������2) คือ [������������22 − ������1 ] เอาจดุ ปลายตงั้ − ������1 ลบด้วยจดุ เร่ิม เช่น เวกเตอร์จาก (1, 3) ไปยงั (4, 9) คือ [94 − 31] = [36] − เวกเตอร์จาก (1, −2) ไปยงั (−1, 0) คอื [0−−1(−−12)] = [−22] เป็นต้น เวกเตอร์ทเี่ ราพบมาจนถงึ ขณะนี ้จะเป็นเวกเตอร์แบบ “สองมติ ิ” เรียกแบบเต็มยศวา่ เป็น กลา่ วคอื เป็นเวกเตอร์ทส่ี ามารถบอกด้วยระยะทางแกน X กบั ระยะทางแกน Y ได้ เวกเตอร์ใน “ปริภมู ิสามมติ ิ” เพราะเวกเตอร์แบบสองมติ ิ จะมแี คค่ วามกว้างกบั ความยาว ในกรณีทเี่ วกเตอร์ มี “ความลกึ ” (หรือบางที เรียกวา่ “ความสงู ”) ด้วย จะถือเป็นเวกเตอร์แบบ “สามมิติ” Z เช่น เวกเตอร์ทล่ี ากจากมมุ ฝั่งในกลอ่ งด้านลา่ ง ไปยงั มมุ ตรงข้ามด้านบน เวกเตอร์นี ้จะมีทงั้ กว้าง ยาว และสงู ���̅��� 3 ในกรณีนี ้เราจะมี “ระยะทางแกน Z” เข้ามารวมด้วย 1 Y 1 4 เชน่ จากรูป จะได้ ���̅��� = [4] X3
เวกเตอร์ 9 สตู รสาหรับหาเวกเตอร์ในปริภมู สิ ามมิตจิ ะคล้ายกบั สตู รของสองมติ ิ คือ เอาจดุ ปลายตงั้ ลบด้วยจดุ เร่ิม เวกเตอร์ท่ีชจี ้ าก (������1, ������1, ������1) ไปยงั (������2, ������2, ������2) คือ ������2 − ������1 [������2 − ������1] ������2 − ������1 5−0 5 เช่น เวกเตอร์จาก (0, 2, 5) ไปยงั (5, 4, 2) คอื [4 − 2] = [ 2 ] 2 − 5 −3 0−1 −1 เวกเตอร์จาก (1, −2, 0) ไปยงั (0, 2, −3) คือ [2 − (−2)] = [ 4 ] −3 − 0 −3 เวกเตอร์ศนู ย์ เวกเตอร์ศนู ย์ แทนได้ด้วยสญั ลกั ษณ์ 0̅ คือ เวกเตอร์ทม่ี ขี นาดเป็นศนู ย์ ในระบบพกิ ดั ฉาก เวกเตอร์ศนู ย์ จะเขยี นแทนได้เป็น [00] 0 (หรือ [0] ในพิกดั ฉากแบบ 3 มิติ) 0 การเทา่ กนั เวกเตอร์สองเวกเตอร์ จะเทา่ กนั เมอ่ื ขนาดเทา่ กนั และ ชีไ้ ปทางทศิ เดยี วกนั ในระบบพกิ ดั ฉาก เวกเตอร์สองเวกเตอร์ จะเทา่ กนั เม่อื ระยะของแตล่ ะแกน เทา่ กนั หมดทกุ แกน กลา่ วคอื [������������11] = [������������22] ก็ตอ่ เมือ่ ������1 = ������2 และ ������1 = ������2 ������1 ������2 [������1] = [������2] ก็ตอ่ เมอื่ ������1 = ������2 และ ������1 = ������2 และ ������1 = ������2 z1 z2 เช่น ถ้า [���2���] = [������ + 1] เราจะสามารถสรุปได้วา่ 2 = ������ +1 และ ������ =3 3 ������ 2 เป็นต้น ถ้า [������ + ������] = [ ������ ] เราจะสามารถสรุปได้วา่ ������ = 2 , ������ + ������ = ������ , −3 = ������ + ������ −3 ������ + ������ ขนาดของเวกเตอร์ 345 ในระบบพกิ ดั ฉาก เราหาขนาดของเวกเตอร์ได้จากสตู รพีทากอรัส 5 12 13 7 24 25 ขนาดของ [������������] จะเทา่ กบั √������2 + ������2 8 15 17 9 40 41 ������ ขนาดของ [������] จะเทา่ กบั √������2 + ������2 + ������2 ������ เช่น ขนาดของ [43] คือ √32 + 42 = 5 ขนาดของ [−125] คอื √(−5)2 + 122 = 13 1 ขนาดของ [−1] คอื √12 + (−1)2 + 22 = √6 2
10 เวกเตอร์ คณู เวกเตอร์ด้วยตวั เลข ���������̅��� คอื เวกเตอร์ในทศิ เดมิ ท่ียาวเป็น ������ เทา่ ของ ���̅��� (ถ้า ������ เป็นลบ จะเปลย่ี นเป็นทิศตรงข้าม) ในระบบพิกดั ฉาก ให้กระจายตวั เลขทีม่ าคณู เข้าไปคณู ระยะแตล่ ะแกนได้เลย (ไมว่ า่ ������ เป็นบวกหรือลบก็ทาเหมอื นกนั ) เช่น 2 × [−31] = [−62] [−21] × (−3) = [−36] −1 2 (−2) × [−2] = [4] −3 6 การขนานกนั ���̅��� กบั ������̅ จะขนานกนั เมอ่ื สามารถเขียน ���̅��� = ������������̅ ได้ เม่อื ������ เป็นตวั เลขซกั ตวั โดย ถ้า ������ > 0 → ขนานแบบ “ทิศเดยี วกนั ” ถ้า ������ < 0 → ขนานแบบ “ทศิ ตรงข้าม” เช่น [32] กบั [64] ขนานแบบทิศเดยี วกนั เพราะ 2 × [32] = [64] และ 2 เป็นบวก [−−24] กบั [12] ขนานแบบทศิ ตรงข้าม เพราะ [−−24] = −2 × [12] และ −2 เป็นลบ −1 3 −1 3 [ 2 ] กบั [−6] ขนานแบบทศิ ตรงข้าม เพราะ −3 × [ 2 ] = [−6] และ −3 เป็นลบ −3 9 −3 9 −1 2 [ 1 ] กบั [−2] ไมข่ นานกนั เพราะหาตวั มาคณู ไห้เทา่ กนั ไมไ่ ด้ (X กบั Y ต้องคณู −2 แต่ Z คณู −2 จะไมเ่ ทา่ ) −2 −4 −1 2 −1 2 [ 1 ] กบั [−2] ขนานแบบทิศตรงข้าม เพราะ −2 × [ 1 ] = [−2] และ −2 เป็นลบ 00 00 [30] กบั [50] ขนานแบบทิศเดยี วกนั เพราะ 5 × [30] = [05] และ 5 เป็นบวก 3 3 [03] กบั [61] ไมข่ นานกนั เพราะหาตวั มาคณู ให้เทา่ กนั ไมไ่ ด้ (แกน X จะไมม่ อี ะไรมาคณู แล้วเทา่ ได้) การบวกลบเวกเตอร์ เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉาก สามารถนามาบวกลบกนั ได้ โดยให้เอาระยะแตล่ ะแกนมาบวกลบกนั ได้เลย เช่น [12] + [53] = [56] [12] − [53] = [−−41] 10 1 −1 −5 4 [−2] + [−1] = [−3] [ 0 ] − [ 2 ] = [−2] 2 −3 −1 2 −3 5 หมายเหต:ุ เราไมส่ ามารถเอาเวกเตอร์บวกกบั ตวั เลขได้ เชน่ [12] + 3 จะถือวา่ ไมม่ ีความหมายทางคณติ ศาสตร์ แตเ่ วกเตอร์คณู กบั ตวั เลขได้ เชน่ [21] × 3 = [36] และเวกเตอร์ คณู กบั เวกเตอร์ก็ได้ (จะได้เรียนในหวั ข้อหน้า)
เวกเตอร์ 11 ตวั อยา่ ง ให้จดุ A(0, −1, 1) , B(1, 1, 1) และ C(3, 5, −1) เป็นจดุ ในปริภมู สิ ามมิติ จงหา 3⃗B⃗⃗⃗A⃗ − 2A⃗⃗⃗⃗⃗C วธิ ีทา หาเวกเตอร์ ⃗B⃗⃗⃗A⃗ และ C⃗⃗⃗⃗A⃗ ในระบบพกิ ดั ฉากกอ่ น โดยใช้สตู ร จดุ ปลายลบจดุ ต้น 0−1 −1 3−0 3 จะได้ ⃗B⃗⃗⃗A⃗ = [−1 − 1] = [−2] และ ⃗A⃗⃗⃗⃗C = [5 − (−1)] = [ 6 ] 1−1 0 −1 − 1 −2 −1 3 −3 6 −9 ดงั นนั ้ 3B⃗⃗⃗⃗A⃗ − 2A⃗⃗⃗⃗⃗C = 3 [−2] − 2 [ 6 ] = [−6] − [12] = [−18] # 0 −2 0 −4 4 # ตวั อยา่ ง ให้ ���̅��� = [−12] และ ������̅ = [−63] ข้อใดตอ่ ไปนผี ้ ดิ 1) 4���̅��� + ������̅ = ���̅��� 2) ���̅��� + ������̅ ขนานกบั ���̅��� − ������̅ 3) |���̅���| + |������̅| < |���̅��� + ������̅| 4) ไมม่ ขี ้อผดิ วธิ ีทา 1) 4���̅��� + ������̅ = 4 × [−12] + [−63] = [−48] + [−63] = [−12] = ���̅��� จริง 2) ���̅��� + ������̅ = [−42] และ ���̅��� − ������̅ = [−48] จะเหน็ วา่ เอา −2 คณู แล้วเทา่ ดงั นนั้ ���̅��� + ������̅ ขนานกบั ���̅��� − ������̅ จริง 3) |���̅���| = √12 + (−2)2 = √5 และ |������̅| = √(−3)2 + (6)2 = √45 = 3√5 ดงั นนั ้ |���̅���| + |������̅| = √5 + 3√5 = 4√5 และจากข้อ 2) ���̅��� + ������̅ = [−42] ดงั นนั ้ |���̅��� + ������̅| = √(−2)2 + (4)2 = √20 = 2√5 จะเห็นวา่ 4√5 > 2√5 ดงั นนั้ ข้อ 3 ผิด แบบฝึกหดั 2. จาก (1, −1) ไปยงั (−1, 1) 1. จงหาเวกเตอร์ท่ลี ากระหวา่ งจดุ ตอ่ ไปนี ้ 1. จาก (1, 3) ไปยงั (3, 9) 3. จาก (2, −1, 0) ไปยงั (0, −2, 3) 4. จาก (0, 3, 0) ไปยงั (−1, 3, 1) 2. จงหาคา่ ������ , ������ และ ������ ท่ีทาให้ข้อความตอ่ ไปนเี ้ป็นจริง 1. [������ + 3] = [−2���1��� ] 2 ������ + ������ ������ 2. [������ + ������] = [ −1 ] ������ − 3 ������ + ������
12 เวกเตอร์ ������ −4 3. [���3���] ขนานกบั [−69] 4. [−1] มีทิศตรงข้ามกบั [4������] 2 ������������ 3. จงหาขนาดของเวกเตอร์ตอ่ ไปนี ้ 3 1. [−43] 2. [−4] 3. 2∙[−34] − [14] 0 2 −4 4. 3∙[ 2 ] + 2∙[−3] −3 5 4. กาหนดให้จดุ A, B และ C(3, 1) เป็นจดุ บนเส้นตรงเดยี วกนั ถ้า AB = 3 AC และ ⃗B⃗⃗⃗⃗C = [−24] แล้ว จงหา พิกดั ของ A 5
เวกเตอร์ 13 เวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ย # # เวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ย คอื เวกเตอร์ท่ีมีความยาวเทา่ กบั 1 # สตู รสาหรับหาเวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ย มีดงั นี ้ เวกเตอร์หนงึ่ หนว่ ยในทศิ เดียวกบั ���̅��� หาได้จาก 1 ∙ ���̅��� |���̅���| เวกเตอร์ในทิศเดียวกบั ���̅��� ทม่ี ีความยาวเทา่ กบั ������ หาได้จาก ������ ∙ ���̅��� |���̅���| หมายเหตุ : ถ้าอยากได้เวกเตอร์ในทิศตรงข้ามกบั ���̅��� ก็ได้คณู −1 เข้าไป ตวั อยา่ ง จงหาเวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ยในทิศเดียวกบั [43] วธิ ีทา จากด้านชดุ พีทากอรัส 3, 4, 5 จะได้ความยาวของ [34] คอื 5 ดงั นนั้ เวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ยในทศิ เดียวกบั [43] คอื 1 [34] 5 ∙ ตวั อยา่ ง จงหาเวกเตอร์ในทศิ เดยี วกนั กบั [−11] ท่มี ีความยาวเทา่ กบั 3 หนว่ ย วิธีทา ความยาวของ [−11] คือ √12 + (−1)2 = √2 [−11] ท่ียาว 3 หนว่ ย คือ 3 [−11] ดงั นนั้ เวกเตอร์ในทศิ เดียวกนั กบั √2 ∙ ทาให้สว่ นไมต่ ดิ รูท โดยคณู √2 ได้เป็น 3 ∙ √2 ∙ [−11] = 3√2 ∙ [−11] √2 2 √2 √2 ตวั อยา่ ง จงหาเวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ยในทศิ ตรงข้ามกบั [−21] วิธีทา หาเวกเตอร์หนงึ่ หนว่ ยในทิศเดยี วกนั ก่อน แล้วคอ่ ยเอามาทาให้เป็นทศิ ตรงข้าม โดยการคณู −1 ความยาวของ [−21] คือ √(−1)2 + 22 = √5 [−21] [−21] [−21] ดงั นนั้ เวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ยในทศิ เดยี วกนั คือ 1 ∙ = 1 ∙ √5 ∙ = √5 ∙ √5 √5 √5 5 ดงั นนั้ เวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ยในทศิ ตรงข้าม คือ คือ − √5 ∙ [−21] 5 มีเวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ยพิเศษ ท่ีเราต้องรู้จกั และใช้ให้คลอ่ ง 3 ตวั คอื ������,̅ ������̅ และ ���̅��� ������̅ คือเวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ยทชี่ ีไ้ ปทางแกน X ฝ่ังทีเ่ ป็นบวก Y Z ในระบบพิกดั ฉากสองมติ ิ ������̅ สามารถเขยี นได้เป็น [10] ������̅ Y X ������̅ 1 X ในระบบพิกดั ฉากสามมิติ ������̅ สามารถเขยี นได้เป็น [0] 0
14 เวกเตอร์ ������̅ คอื เวกเตอร์หนงึ่ หนว่ ยทช่ี ีไ้ ปทางแกน Y ฝั่งทเ่ี ป็นบวก Y Z ������̅ ในระบบพกิ ดั ฉากสองมติ ิ ������̅ สามารถเขยี นได้เป็น [10] ������̅ Y X 0 X ในระบบพกิ ดั ฉากสามมติ ิ ������̅ สามารถเขยี นได้เป็น [1] 0 ���̅��� คือเวกเตอร์หนงึ่ หนว่ ยท่ชี ีไ้ ปทางแกน Z ฝั่งที่เป็นบวก Z ในระบบพิกดั ฉากสองมติ ิ จะไมส่ ามารถมี ���̅��� อยไู่ ด้ ���̅��� Y 0 X ในระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ ���̅��� สามารถเขยี นได้เป็น [0] 1 เวกเตอร์ใดๆก็ตาม จะสามารถเขยี นให้อยใู่ นรูปของผลบวกของ ������̅ , ������̅ และ ���̅��� ได้เสมอ เช่น [21] คอื เวกเตอร์ทม่ี รี ะยะทางแกน X คือ 2 และ ระยะทางแกน Y คอื 1 [21] ������̅ ดงั นนั ้ [21] = 2������̅ + ������̅ 2������̅ ซง่ึ สรุปเป็นสตู รได้วา่ [������������] สามารถเขียนในรูป ������̅ , ������̅ ได้เป็น ������������̅ + ������������̅ ������ [������] สามารถเขียนในรูป ������̅ , ������̅ และ ���̅��� ได้เป็น ������������̅ + ������������̅ + ���������̅��� ������ 1 ตวั อยา่ ง ให้ ���̅��� = [−1] , ������̅ = 2������̅ − ���̅��� จงหาเวกเตอร์ที่ยาวเทา่ กบั ������̅ และมีทิศตรงข้ามกบั ���̅��� − ������̅ 0 1 วธิ ีทา เพื่อความสะดวก จะเปลยี่ น [−1] ให้อยใู่ นรูป ������̅ , ������̅ , ���̅��� ได้เป็น (1)������̅ + (−1)������̅ + (0)���̅��� = ������̅ − ������̅ 0 ดงั นนั ้ ���̅��� − ������̅ = (������̅ − ������)̅ − (2������̅ − ���̅���) = ������̅ − ������̅ − 2������̅ + ���̅��� = ������̅ − 3������̅ + ���̅��� เนอ่ื งจาก |���̅��� − ������̅| = √12 + (−3)2 + 12 = √11 ดงั นนั ้ เวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ยในทิศของ ���̅��� − ������̅ คือ 1 (������̅ − 3������̅ + ���̅���) √11 เนอื่ งจาก |������̅| = √22 + (−1)2 = √5 ดงั นนั ้ เวกเตอร์ท่ยี าวเทา่ กบั |������̅| ในทิศของ ���̅��� − ������̅ คือ √5 (������̅ − 3������̅ + ���̅���) √11 ดงั นนั้ เวกเตอร์ที่ยาวเทา่ กบั |������̅| ในทิศตรงข้ามกบั ���̅��� − ������̅ คอื − √5 (������̅ − 3������̅ + ���̅���) √11 ทาสว่ นให้ไมต่ ดิ รูท ได้เป็น − √5 ∙ √11 ∙ (������̅ − 3������̅ + ���̅���) = − √55 (������̅ − 3������ ̅ + ���̅���) # √11 √11 11
เวกเตอร์ 15 แบบฝึกหดั 1. จงเขยี นเวกเตอร์ในรูปของ ������̅ , ������̅ , ���̅��� ทส่ี อดคล้องกบั เงื่อนไขตอ่ ไปนี ้ 1. จาก (0, −1) ไปยงั (5, 0) 2. จาก (−1, 3, 1) ไปยงั (0, 0, 0) 3. จาก (0, 1, −1) ไปยงั (−2, 1, 1) 4. จาก (√2, − 1) ไปยงั (0, 3) 2 2 5. เวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ย ในทศิ เดยี วกบั [−34] 6. เวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ย ในทศิ ตรงข้ามกบั [11] 1 8. เวกเตอร์ทีย่ าว √5 หนว่ ย และขนานกบั [21] 7. เวกเตอร์ที่ยาว 2 หนว่ ย ในทศิ เดยี วกบั [−1] 2 2. กาหนดให้ ���̅��� = ������̅ − 2������̅ และ ������̅ = 2������̅ + ������̅ ถ้า ⃗A⃗⃗⃗B⃗ = 3���̅��� − 2������̅ และ พกิ ดั ของจดุ A คือ (−1, 0) จงหาพกิ ดั ของ B
16 เวกเตอร์ 3. กาหนดให้ A, B, C เป็นจดุ ยอดของสามเหลยี่ ม P เป็นจดุ กง่ึ กลางของ AC Q อยบู่ น AB ทาให้ AQ : QB = 1 : 2 ถ้า A⃗⃗⃗⃗B⃗ = 6������ − 3������ และ B⃗⃗⃗⃗C⃗ = 2������ + 3������ จงหา ⃗P⃗⃗⃗Q⃗ [PAT 1 (ธ.ค. 54)/13] 4. กาหนดให้ ���̅��� = 3������̅ + 4������̅ ถ้า ���̅��� = ������������̅ + ������������̅ โดยที่ ���̅��� มีทศิ เดยี วกนั กบั ���̅��� และ |���̅���| =10 แล้ว ������ + ������ เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 49/2-4] 5. กาหนดให้ A(������, ������) , B(4, −6) และ C(1, −4) เป็นจดุ ยอดของรูปสามเหลย่ี ม ABC ถ้า P เป็นจดุ บนด้าน AB ซงึ่ อยหู่ า่ งจากจดุ A เทา่ กบั 3 ของระยะระหวา่ ง A และ B และเวกเตอร์ C⃗⃗⃗⃗P = ������̅ + 2������̅ แล้ว ������ + ������ เทา่ กบั เทา่ ใด 5 [PAT 1 (มี.ค. 54)/36]
เวกเตอร์ 17 ผลคณู เชิงสเกลาร์ ในหวั ข้อนี ้จะพดู ถงึ การคณู เวกเตอร์ กบั เวกเตอร์ ซงึ่ สามารถทาได้ 2 แบบ แบบแรกเรียกวา่ “ผลคณู เชิงสเกลาร์” หรือ เรียกสนั้ ๆวา่ “ดอท” แบบท่สี องเรียกวา่ “ผลคณู เชิงเวกเตอร์” หรือ เรียกสนั้ ๆวา่ “ครอส” การดอท จะได้ผลลพั ธ์เป็นตวั เลข สว่ นการครอส จะได้ผลลพั ธ์เป็นเวกเตอร์ ในหวั ข้อนี ้จะพดู ถงึ การดอท กอ่ น ผลคณู เชิงสเกลาร์ของ ���̅��� กบั ������̅ เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ ���̅��� ∙ ������̅ อา่ นวา่ “ยดู อทวี” ซง่ึ จะหาได้จากสตู ร ในระบบพกิ ดั ฉากสองมติ ิ [������������11] ∙ [������������22] = ������1������2 + ������1������2 ������1 ������2 ในระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ [������1] ∙ [������2] = ������1������2 + ������1������2 + ������1������2 ������1 ������2 เชน่ [23] ∙ [45] = (2)(4) + (3)(5) = 23 [−01] ∙ [−32] = (−1)(3) + (0)(−2) = −3 13 [−2] ∙ [1] = (1)(3) + (−2)(1) + (−1)(2) = −1 −1 2 −2 0 [ 3 ] ∙ [0] = (−2)(0) + (3)(0) + (5)(0) = 0 50 (������ + 2������) ∙ (−������ − ������) = (1)(−1) + (2)(−1) = −3 (2������ − ������ − ������) ∙ (������ + ������ + ������) = (2)(1) + (−1)(1) + (−1)(1) = 0 การดอท มสี มบตั กิ ารสลบั ที่ ���̅��� ∙ ������̅ = ������̅ ∙ ���̅��� และยงั สามารถกระจายในการบวกลบเวกเตอร์ได้ ���̅��� ∙ (������̅ ± ���̅���) = (���̅��� ∙ ������̅) ± (���̅��� ∙ ���̅���) สง่ิ ท่ตี ้องระวงั ก็คอื ดอท จะใช้กบั เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ และได้ผลลพั ธ์เป็นตวั เลข ดงั นนั้ เราไมส่ ามารถนาเวกเตอร์ 3 เวกเตอร์มาดอทกนั ได้ (เพราะพอดอทสองตวั แรก จะผลลพั ธ์เป็นตวั เลข ซงึ่ เอาไปดอทตอ่ ไมไ่ ด้) จะมีก็แต่ (���̅��� ∙ ������̅)���̅��� ซงึ่ หมายถึง เอาตวั เลขที่ได้จาก ���̅��� ∙ ������̅ ไปคณู ���̅��� (คณู แบบตวั เลขคณู เวกเตอร์) ในกรณีที่ โจทย์ให้ ���̅��� กบั ������̅ เป็น “รูปลกู ศร” เราจะมีสตู รท่ใี ช้หาผลดอทคือ ���̅��� ∙ ������̅ = |���̅���||������̅| cos ������ ������̅ ���̅��� ������̅ ������ ������ ���̅��� เมอื่ ������ เป็นมมุ ระหวา่ ง ���̅��� และ ������̅ เมอ่ื เอาจดุ ตงั้ ต้นของ ���̅��� และ ������̅ มาตอ่ กนั จะเห็นวา่ ������ จะไมม่ ที างเกิน 180° (เพราะถ้าเกิน ก็วดั จากอีกฝั่งท่มี มุ เลก็ กวา่ )
18 เวกเตอร์ ในกรณีที่ ���̅��� กบั ������̅ ตงั้ ฉากกนั จะได้ ������ = 90° ���̅��� กบั ������̅ ตงั ้ ฉากกนั ก็ตอ่ เมือ่ ���̅��� ∙ ������̅ = 0 ดงั นนั ้ ���̅��� ∙ ������̅ = |���̅���||������̅| cos 90° = |���̅���||������̅|(0) = 0 ในกรณีที่ ���̅��� กบั ������̅ มที ศิ เดยี วกนั จะได้ ������ = 0° ดงั นนั ้ ���̅��� ∙ ������̅ = |���̅���||������̅| cos 0° = |���̅���||������̅|(1) = |���̅���||������̅| ในกรณีที่ ���̅��� กบั ������̅ มที ิศตรงข้าม จะได้ ������ = 180° ดงั นนั ้ ���̅��� ∙ ������̅ = |���̅���||������̅| cos 180° = |���̅���||������̅|(−1) = −|���̅���||������̅| ในกรณีที่เอา ���̅��� มาดอทกบั ตวั เอง (���̅��� ∙ ���̅���) จะได้ ������ = 0° ���̅��� ∙ ���̅��� = |���̅���|2 ดงั นนั ้ ���̅��� ∙ ���̅��� = |���̅���||���̅���| cos 0° = |���̅���||���̅���|(1) = |���̅���|2 และจากความรู้ในเรื่องตรีโกณมติ ิ เราสามารถหา “ระยะเงา” ของ ������̅ บน ���̅��� ได้ |������̅| cos ������ ������̅ ������ แตเ่ นือ่ งจาก ���̅��� ∙ ������̅ = |���̅���||������̅| cos ������ ดงั นนั้ ระยะเงา = ���̅��� ∙ ���̅��� ด้วย |���̅���| |������̅| cos ������ ตวั อยา่ ง สเ่ี หลยี่ มด้านขนาน ABCD มี AB = 5 , BC = 2 และมมุ A = 60° จงหา D⃗⃗⃗⃗⃗C ∙ ⃗C⃗⃗⃗B⃗ วธิ ีทา D ���̅��� C ข้อนใี ้ ห้มาเป็นรูป ซงึ่ จะวาดรูปได้ดงั รูป ������̅ ถ้ามาเป็นรูปแบบนี ้ต้องหาผลดอทด้วยสตู ร ���̅��� ∙ ������̅ = |���̅���||������̅| cos ������ 60° โดยมมุ ������ ทีใ่ ช้ในสตู ร ต้องเป็นมมุ ที่เกิดจากการเอาจดุ ตงั้ ต้นของ ⃗D⃗⃗⃗⃗C กบั ⃗C⃗⃗⃗B⃗ มาตอ่ กนั A B ���̅��� จะเหน็ วา่ ถ้าเอาจดุ ตงั้ ต้นของ D⃗⃗⃗⃗⃗C กบั C⃗⃗⃗⃗B⃗ มาตอ่ กนั จะได้มมุ ระหวา่ งเวกเตอร์คอื 120° ������̅ 120° ดงั นนั้ D⃗⃗⃗⃗⃗C ∙ ⃗C⃗⃗⃗B⃗ = |D⃗⃗⃗⃗⃗C||⃗C⃗⃗⃗B⃗ | cos 120° = 5 × 2 × (− 1) = −5 # 2 12 # ตวั อยา่ ง [−2] กบั [ 2 ] ตงั้ ฉากกนั หรือไม่ −1 −2 วธิ ีทา จากความรู้เรื่องการดอท เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ จะตงั้ ฉากกนั เม่ือ ดอทกนั ได้ 0 12 เนื่องจาก [−2] ∙ [ 2 ] = (1)(2) + (−2)(2) + (−1)(−2) = 2 − 4 + 2 = 0 −1 −2 ดงั นนั้ เวกเตอร์ทงั้ สอง ตงั้ ฉากกนั ตวั อยา่ ง จงหาขนาดของมมุ ที่ −√3������̅ + 3������̅ ทากบั ������̅ + √3������̅ วิธีทา จากสตู ร ���̅��� ∙ ������̅ = |���̅���||������̅| cos ������ ย้ายข้างสตู ร เพื่อหามมุ ������ จะได้ cos ������ = ���̅���∙���̅��� |���̅���||���̅���| ดงั นนั ้ จะได้ cos ������ = (−√3������+̅ 3������̅)∙(������+̅ √3������̅) = (−√3)(1)+(3)(√3) = −√3+3√3 = 2√3 = 1 |−√3������+̅ 3������̅||������+̅ √3������̅| √(−√3)2+32 × √12+(√3)2 √12×√4 4√3 2 เลอื กมมุ บวกไมเ่ กิน 180° ท่ี cos ������ = 1 จะได้ ������ = 60° # 2
เวกเตอร์ 19 ตวั อยา่ ง จงหาขนาดของมมุ ท่ี −√3������̅ + 3������̅ ทากบั แกน Y # วิธีทา เนอ่ื งจาก ������̅ เป็นเวกเตอร์ทชี่ ีไ้ ปทางแกน Y ดงั นนั ้ ถ้าจะหามมุ ท่ี −√3������̅ + 3������̅ ทากบั แกน Y ก็ให้หามมุ ท่ี −√3������̅ + 3������̅ ทากบั ������̅ จากสตู ร ���̅��� ∙ ������̅ = |���̅���||������̅| cos ������ จะได้ cos ������ = ���̅���∙���̅��� |���̅���||���̅���| จะได้ cos ������ = (−√3������+̅ 3������̅)∙(������̅) = (−√3)(0)+(3)(1) = 3 = 3 × √3 = 3√3 = √3 |−√3������+̅ 3������̅||������̅| √(−√3)2+32 × 1 √12 2√3 √3 2×3 2 เลอื กมมุ บวกไมเ่ กิน 180° ท่ี cos ������ = √3 จะได้ ������ = 30° 2 สตู รสดุ ท้ายท่ีต้องทอ่ งในหวั ข้อการดอท คือ “กฎของโคไซน์” ในแบบของเวกเตอร์ เน่อื งจาก ���̅��� + ������̅ และ ���̅��� − ������̅ สามารถประกอบกบั ���̅��� และ ������̅ เป็นรูปสามเหลย่ี มได้ ���̅��� + ������̅ ������̅ ������̅ ���̅��� − ������̅ ���̅��� ���̅��� ถ้าเราใช้กฎของโคไซน์ กบั สามเหลยี่ มเหลา่ นี ้ ร่วมกบั สตู ร ���̅��� ∙ ������̅ = |���̅���||������̅| cos ������ จะได้กฎของโคไซน์ ในรูปการดอทได้เป็น |���̅��� + ������̅|2 = |���̅���|2 + |������̅|2 + 2 ���̅��� ∙ ������̅ |���̅��� − ������̅|2 = |���̅���|2 + |������̅|2 − 2 ���̅��� ∙ ������̅ และถ้านาสตู รทงั้ สองมาบวกลบกนั จะได้สตู รใหมอ่ กี 2 สตู ร คอื |���̅��� + ������̅|2 + |���̅��� − ������̅|2 = 2|���̅���|2 + 2|������̅|2 |���̅��� + ������̅|2 − |���̅��� − ������̅|2 = 4 ���̅��� ∙ ������̅ ตวั อยา่ ง กาหนดให้ |���̅���| = 3 , |������̅| = 5 และ |���̅��� − ������̅| = 4 จงหา ���̅��� ∙ ������̅ # วธิ ีทา ใช้สตู ร |���̅��� − ������̅|2 = |���̅���|2 + |������̅|2 − 2 ���̅��� ∙ ������̅ # 42 = 32 + 52 − 2 ���̅��� ∙ ������̅ 2 ���̅��� ∙ ������̅ = 9 + 25 − 16 ���̅��� ∙ ������̅ = 18 = 9 2 ตวั อยา่ ง กาหนดให้ |���̅���| = 2 , |������̅| = 5 และ |���̅��� + ������̅| = 4 จงหา |���̅��� − ������̅| วิธีทา ใช้สตู ร |���̅��� + ������̅|2 + |���̅��� − ������̅|2 = 2|���̅���|2 + 2|������̅|2 42 + |���̅��� − ������̅|2 = 2 ∙ 22 + 2 ∙ 52 |���̅��� − ������̅|2 = 8 + 50 − 16 = 42 |���̅��� − ������̅| = √42
20 เวกเตอร์ ตวั อยา่ ง กาหนดให้ |���̅���| = 3 , |������̅| = 1 และ ���̅��� ทามมุ 60° กบั ������̅ จงหา |2���̅��� − ������̅| เนื่องจาก |���̅���| = 3 วิธีทา จากสตู ร จะได้ |2���̅��� − ������̅|2 = |2���̅���|2 + |������̅|2 − 2(2���̅��� ∙ ������̅) ดงั นนั ้ |2���̅���| = 6 = |2���̅���|2 + |������̅|2 − 2(2|���̅���||������̅| cos ������) # = 62 + 12 − 2(2 ∙ 3 ∙ 1 ∙ cos 60°) = 31 |2���̅��� − ������̅| = √31 แบบฝึกหดั 2. (2������̅ − ������̅ + ���̅���) ∙ (������̅ − 2������̅ − 3���̅���) 1. จงหาผลดอทของเวกเตอร์ตอ่ ไปนี ้ 1. [−53] ∙ [23] 3. (2������̅ − 3������)̅ ∙ (2������̅ + ������)̅ 1 4. [−2] ∙ (������̅ − ���̅���) 2 2. เวกเตอร์ในข้อใด ตงั้ ฉากกนั 2. ������̅ − ������̅ และ ������̅ + ������̅ −1 1 1. [ 1 ] และ [−2] 21 3. [√3] และ √3������̅ − √2������̅ 4. 2������̅ − ������̅ + ���̅��� และ ������̅ − 2���̅��� √2 3. จงหาคา่ ������ ทีท่ าให้เวกเตอร์ตอ่ ไปนี ้ตงั้ ฉากกนั ������ ������ − 3 1. [���6���] และ [−32] 2. [ −2 ] และ [������ + 1] ������ + 5 1
เวกเตอร์ 21 4. กาหนดให้ |���̅���| = 2 , |������̅| = 3 และ ���̅��� ทามมุ 60° กบั ������̅ จงหาคา่ ของ 1. |���̅��� + ������̅| 2. |���̅��� − ������̅| 3. |���̅��� + 2������̅| 4. |2������̅ − 3���̅���| 5. กาหนดให้ ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอร์ใดๆ โดยที่ |���̅���| = 1 , |������̅| = 3 และ ���̅��� ทามมุ 60° กบั ������̅ คา่ ของ |���̅���+���̅���| เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 54)/15] |2���̅���−���̅���| 6. กาหนด ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอร์ โดยท่ี ���̅��� = ������̅ + √3������̅ , |������̅| = 3 และ |���̅��� − ������̅| = 4 คา่ ของ |���̅��� + ������̅| เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/16] 7. กาหนดให้ ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอร์ทมี่ ีขนาดหนงึ่ หนว่ ย ถ้าเวกเตอร์ ���̅��� + 2������̅ ตงั้ ฉากกบั เวกเตอร์ 2���̅��� + ������̅ แล้ว ���̅��� ∙ ������̅ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 52)/25]
22 เวกเตอร์ 8. กาหนดให้ ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอร์ทม่ี ีขนาดหนง่ึ หนว่ ย ถ้าเวกเตอร์ 3���̅��� + ������̅ ตงั้ ฉากกบั เวกเตอร์ ���̅��� + 3������̅ แล้วเวกเตอร์ 5���̅��� − ������̅ มีขนาดเทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/24] 9. กาหนดให้ ���̅��� , ������̅ และ ���̅��� เป็นเวกเตอร์ในระนาบ ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้อง [PAT 1 (ต.ค. 53)/15] 1. (���̅��� ∙ ������̅)2 ≥ (���̅��� ∙ ���̅���)(������̅ ∙ ������̅) 2. ถ้า (���̅��� ∙ ������̅)2 = (|���̅���||������̅|)2 แล้ว ���̅��� ตงั ้ ฉากกบั ������̅ 3. ถ้า ���̅��� + ������̅ + ���̅��� = 0̅ , |���̅���| = 3 , |������̅| = 4 และ |���̅���| = 7 แล้ว ���̅��� ∙ ������̅ = 12 4. |���̅��� − ������̅|2 = |���̅���|2 − |������̅|2 10. กาหนดให้ ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอร์ใดๆ ซงึ่ ไมใ่ ชเ่ วกเตอร์ศนู ย์ ข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู ต้อง [PAT 1 (ม.ี ค. 55)/14] 1. |���̅��� − ������̅|2 < |���̅���|2 − |������̅|2 2. ถ้า ���̅��� ตงั ้ ฉากกบั ������̅ แล้ว |���̅��� − ������̅|2 = |���̅���|2 + |������̅|2
เวกเตอร์ 23 11. กาหนดให้ ���̅��� และ ���̅��� เป็นเวกเตอร์ใดๆ ทไ่ี มเ่ ป็นเวกเตอร์ศนู ย์ ข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู ต้องบ้าง [PAT 1 (ต.ค. 58)/27] 1. ถ้า ���̅��� ขนานกบั ���̅��� แล้ว |���̅��� − ���̅���| = |���̅���| − |���̅���| 2. ถ้า |���̅��� + ���̅���|2 = |���̅���|2 + |���̅���|2 แล้ว ���̅��� ตงั ้ ฉากกบั ���̅��� 3. ถ้าเวกเตอร์ ���̅��� + ���̅��� ตงั ้ ฉากกบั เวกเตอร์ ���̅��� − ���̅��� แล้ว |���̅���| = |���̅���| 12. กาหนดให้ ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอร์ที่ไมเ่ ทา่ กบั เวกเตอร์ศนู ย์ซงึ่ ���̅��� ตงั้ ฉากกบั ������̅ และ ���̅��� + ������̅ ตงั้ ฉากกบั ���̅��� − ������̅ ข้อใดตอ่ ไปนเี ้ป็นจริง [PAT 1 (ต.ค. 52)/1-13] 1. |���̅���| = |������̅| 2. ���̅��� + 2������̅ ตงั ้ ฉากกบั 2���̅��� − ������̅ 13. กาหนดให้ ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอร์ซง่ึ |���̅��� ∙ ������̅| ≠ |���̅���||������̅| ถ้า ������(������̅ − 2���̅���) + 3���̅��� = ������(2���̅��� + ������̅) แล้วคา่ ของ ������ อยใู่ นชว่ งใดตอ่ ไปนี ้ [PAT 1 (ก.ค. 52)/25] 1. [0, 21) 2. [21 , 1) 3. [1, 32) 4. [23 , 2)
24 เวกเตอร์ 14. กาหนดให้ ���̅��� , ������̅ และ ���̅��� เป็นเวกเตอร์ในระนาบและ ������ , ������ เป็นจานวนจริง โดยท่ี ���̅��� = ������������̅ + ������������̅ , ������̅ = 4������̅ − 3������̅ และ ���̅��� = 2������̅ + ������̅ ถ้า |���̅��� − ������̅|2 = |���̅���|2 + |������̅|2 และ 5������ + 5������ = 21 แล้วคา่ ของ ���̅��� ∙ ���̅��� เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/14] 15. ให้ ���̅��� และ ���̅��� เป็นเวกเตอร์ กาหนดโดย ���̅��� = ������̅ + 1 ������̅ − 3���������̅��� และ ���̅��� = −2������������̅ + 2������̅ + ���������̅��� เม่อื ������ เป็นจานวนจริง 2 ถ้า ���̅��� ตงั้ ฉากกบั ���̅��� และ ขนาดของ ���̅��� เทา่ กบั 3 แล้ว คา่ ของ ������ อยใู่ นช่วงข้อใดตอ่ ไปนี ้ [PAT 1 (มี.ค. 53)/14] 1. (−3, − 3 ) 2. (− 3 , 0) 3. (0, 3 ) 4. ( 3 , 3) 2 2 2 2 16. กาหนดให้ ���̅���, ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอร์บนระนาบซง่ึ กาหนดโดย ���̅��� = ������������̅ + 12 ������ ̅ , ���̅��� = 6������̅ + ������������̅ และ ������̅ = 2������̅ + ������̅ 5 เม่ือ ������ และ ������ เป็นจานวนจริง ถ้า |���̅��� − ������|̅ = 5 , เวกเตอร์ ���̅��� ตงั ้ ฉากกบั เวกเตอร์ ���̅��� และ ���̅��� ∙ ������̅ > 0 แล้วคา่ ของ |5���̅��� + ���̅���|2 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 56)/45]
เวกเตอร์ 25 17. พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี ้ ข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู ต้องบ้าง [PAT 1 (ม.ี ค. 56)/15] 1 ให้เวกเตอร์ ���̅��� = ������������̅ + ������������̅ + ���������̅��� เม่ือ ������, ������ และ ������ เป็นจานวนจริงและให้เวกเตอร์ ���̅��� = ������̅ + 2������̅ + ���̅��� และ ������̅ = ������̅ − ������̅ + ���̅��� ถ้าเวกเตอร์ ���̅��� ตงั ้ ฉากกบั เวกเตอร์ ���̅��� และเวกเตอร์ ������̅ แล้ว ������ + ������ + ������ = 1 2 ให้เวกเตอร์ ���̅��� = 2������̅ + ������̅ และ ������̅ = ������������̅ + ������������̅ เป็นเวกเตอร์ในระนาบ ถ้า |������̅| = 3 และ ���̅��� ∙ ������̅ = 3 √5 แล้วเวกเตอร์ ���̅��� ทามมุ 60° กบั เวกเตอร์ ������̅ 18. กาหนดให้ ������������������ เป็นรูปสามเหลยี่ ม โดยทดี่ ้าน ������������ ยาว 5 หนว่ ย ด้าน ������������ ยาว 12 หนว่ ย และมมุ ���������̂��������� เทา่ กบั 60° ถ้าเวกเตอร์ ���̅��� = ̅���̅���̅���̅��� เวกเตอร์ ������̅ = ���̅̅���̅���̅��� และเวกเตอร์ ���̅��� = ̅���̅���̅���̅��� แล้ว (2���̅��� − ������̅) ∙ ���̅��� เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (พ.ย. 57)/12] 19. กาหนดให้ จดุ A(−1, 1), B(2, 5) และ C(2, −3) เป็นจดุ ยอดของรูปสามเหลย่ี ม ABC ให้ L เป็นเส้นตรงที่ผา่ น จดุ A และจดุ B ลากสว่ นเส้นตรง ̅C̅̅D̅ ตงั้ ฉากกบั เส้นตรง L ทจ่ี ดุ D แล้วเวกเตอร์ ⃗A⃗⃗⃗D⃗ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 55)/12]
26 เวกเตอร์ 20. กาหนดให้ ���̅��� = 2������̅ − 5������̅ และ ������̅ = ������̅ + 2������̅ ให้ ���̅��� เป็นเวกเตอร์ โดยท่ี ���̅��� ∙ ���̅��� = −11 และ ������̅ ∙ ���̅��� = 8 ถ้า ������ เป็นมมุ แหลมทเี่ วกเตอร์ ���̅��� ทามมุ กบั เวกเตอร์ 5������̅ + ������̅ แล้ว tan ������ + sin 2������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/32] 21. ให้ ������, ������ และ ������ เป็นเวกเตอร์ ซง่ึ |������| = 3, |������| = 2 และ |������| = 1 ถ้า ������ + ������ + 4������ = 0 แล้ว ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 51/1-14] 22. กาหนดให้ ���̅���, ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอร์ ซงึ่ ���̅��� + ���̅��� + ������̅ = 0̅ , |���̅��� + ���̅���| = 5 , |���̅��� + ������|̅ = 3 และ |���̅���| = √10 ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้องบ้าง [PAT 1 (เม.ย. 57)/14] 1. ถ้าเวกเตอร์ ���̅��� ทามมุ ������ กบั เวกเตอร์ ���̅��� เมอ่ื 0 ≤ ������ ≤ ������ แล้ว tan ������ = 3 2. ���̅��� ∙ ������̅ = −12
เวกเตอร์ 27 23. ให้ ���̅���, ������̅ และ ���̅��� เป็นเวกเตอร์ กาหนดโดย ���̅��� = ������̅ + 2������̅ + 3���̅��� , ������̅ = 2������̅ − ������������̅ + ���̅��� , ���̅��� = ������������̅ + ������������̅ + ���������̅��� เมอ่ื ������, ������, ������ และ ������ เป็นจานวนจริง ถ้า ���̅��� ∙ ���̅��� = 2 , ���̅��� ∙ (������̅ + ���̅���) = 3 , ������̅ + ���̅��� = ������̅ + ������������̅ + ���������̅��� เม่อื ������, ������ เป็นจานวนจริง และ ���̅��� ขนานกบั − 2 ������̅ + 1 ������̅ + 1 ���̅��� แล้วคา่ ของ ������ + 4������ + 2������ เทา่ กบั เทา่ ใด 323 [PAT 1 (มี.ค. 53)/33] 24. กาหนดให้ ���̅���, ������̅ และ ���̅��� เป็นเวกเตอร์บนระนาบซงึ่ ���̅��� + ������̅ − ���̅��� = 0̅ , ���̅��� ∙ ���̅��� = 8 และ ������̅ ∙ ���̅��� = −2 ถ้าเวกเตอร์ ���̅��� ทามมุ arcsin 1 กบั เวกเตอร์ ���̅��� แล้ว คา่ ของ |���̅���|2 + |������̅|2 เทา่ กบั เทา่ ใด √3 [PAT 1 (ต.ค. 55)/15*]
28 เวกเตอร์ 25. กาหนดให้ P(−8, 5), Q(−15, −19), R(1, −7) เป็นจดุ บนระนาบ ถ้า ������̅ = ������������̅ + ������������̅ (������, ������ เป็นจานวนจริง) เป็นเวกเตอร์ซง่ึ มที ศิ ทางขนานกบั เส้นตรงซงึ่ แบง่ ครึ่งมมุ QP̂R แล้ว ������ มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 50/1-11] ������ 26. กาหนดให้ ������ และ ���⃗��� เป็นเวกเตอร์ในระนาบ โดยที่ ������ = 16������̅ + ������������̅ และ ���⃗��� = 8������̅ + ������������̅ เมือ่ ������ และ ������ เป็น จานวนจริง ถ้า |������| = |���⃗���| และเวกเตอร์ ���⃗��� ทามมุ 60° กบั เวกเตอร์ ������ แล้วคา่ ของ (������ + ������)2 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 58)/16]
เวกเตอร์ 29 ผลคณู เชิงเวกเตอร์ ในหวั ข้อนี ้เราจะเรียนวิธีคณู เวกเตอร์อีกแบบ เรียกวา่ “ผลคณู เชิงเวกเตอร์” หรือ เรียกสนั้ ๆวา่ “ครอส” ซง่ึ คราวนี ้เวกเตอร์ ครอส เวกเตอร์ จะได้ผลลพั ธ์เป็นเวกเตอร์ โดย การครอส ทาได้กบั เวกเตอร์ “แบบสามมติ เิ ทา่ นนั้ ” ผลคณู เชิงเวกเตอร์ของ ���̅��� กบั ������̅ เขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ ���̅��� × ������̅ อา่ นวา่ “ยคู รอสวี” สตู รการหาคือ ������1 ������2 ������1������2 − ������1������2 [������1] × [������2] = [������1������2 − ������1������2 ] ������1 ������2 ������1������2 − ������1������2 2 3 (−1)(−1) − (1)(2) −1 เช่น [−1] × [ 2 ] = [ (1)(3) − (2)(−1) ] = [ 5 ] 1 −1 (2)(2) − (−1)(3) 7 −1 2 (2)(1) − (−3)(−1) −1 (−������̅ + 2������̅ − 3���̅���) × (2������̅ − ������̅ + ���̅���) = [ 2 ] × [−1] = [(−3)(2) − (−1)(1)] = [−5] −3 1 (−1)(−1) − (2)(2) −3 = −������̅ − 5������̅ − 3���̅��� หมายเหต:ุ จะเหน็ วา่ สตู รการครอสเวกเตอร์ จะคล้ายๆการหา det ในเร่ืองเมทริกซ์ ������1 ������2 ������̅ ������̅ ���̅��� บางคนนยิ มทอ่ งวา่ [������1] × [������2] = det [������1 ������1 ������1] ������1 ������2 ������2 ������2 ������2 เนือ่ งจากการครอส เกย่ี วกบั การลบ ดงั นนั้ ถ้าสลบั ทต่ี วั ครอส ผลลพั ธ์จะเป็นลบของเดิม กลา่ วคือ ���̅��� × ������̅ = −(������̅ × ���̅���) แตย่ งั คงสามารถกระจายครอสในการบวกลบเวกเตอร์ได้เหมอื นดอท กลา่ วคอื ���̅��� × (������̅ ± ���̅���) = (���̅��� × ������̅) ± (���̅��� × ���̅���) ในกรณีท่ี ���̅��� กบั ������̅ ไมไ่ ด้มาเป็นตวั เลขในระบบพกิ ดั ฉาก แตม่ าเป็น “รูปลกู ศร” เราจะมวี ธิ ีหาอกี แบบ ���̅��� × ������̅ จะเป็น “เวกเตอร์” ทีม่ ขี นาด |���̅��� × ������̅| = |���̅���||������̅| sin ������ เมอื่ ������ คอื มมุ ที่ ���̅��� ทากบั ������̅ และ ���̅��� × ������̅ จะมีทศิ พงุ่ ออกในแนวตงั้ ฉากกบั ระนาบที่ ���̅��� กบั ������̅ วางอยู่ วธิ ีหาทศิ ของ ���̅��� × ������̅ มดี งั นี ้ ���̅��� × ������̅ 1. ยกแขนทงั้ สอง ตงั้ ฉากกบั แนวลาตวั 2. ให้ตวั ตงั้ (���̅���) เป็นแขนขวา ������̅ ���̅��� ตวั ครอส (������̅) เป็นแขนซ้าย 3. จะได้ ���̅��� × ������̅ จะชีไ้ ปทางเดยี วกบั ศีรษะ เชน่ ������̅ × ������̅ = ���̅��� ������̅ × ������̅ = −���̅��� ���̅��� ������̅ ���̅��� × ������̅ = −������̅ ������̅ ������̅ × ���̅��� = ������̅ ������̅ × ���̅��� = −������̅ ���̅��� × ������̅ = ������̅
30 เวกเตอร์ ในกรณีท่ี ���̅��� กบั ������̅ ขนานกนั จะได้ ������ = 0° หรือ 180° ซงึ่ sin 0° = sin 180° = 0 เอาไปคณู กบั อะไรก็ได้ 0 0 ดงั นนั้ ถ้า ���̅��� กบั ������̅ ขนานกนั จะได้ ���̅��� × ������̅ = เวกเตอร์ท่ีมขี นาดเป็น 0 = [0] = 0̅ 0 และในกรณีที่เอา ���̅��� มาครอสกบั ตวั มนั เอง จะได้ ������ = 0° ด้วย → ดงั นนั้ จะได้ ���̅��� × ���̅��� = 0̅ เสมอ ตวั อยา่ ง ให้ ���̅��� = 2������̅ + ������̅ + ���̅��� และ ������̅ = −������̅ + 2������̅ + ���̅��� ถ้าให้ ������ เป็นมมุ ระหวา่ ง ���̅��� และ ������̅ จงหา sin ������ วธิ ีทา ข้อนจี ้ ะใช้สตู ร ขนาดของ ���̅��� × ������̅ เทา่ กบั |���̅���||������̅| sin ������ เพ่อื โยงไปหา sin ������ 2 −1 (1)(1) − (1)(2) −1 เนือ่ งจาก ���̅��� × ������̅ = [1] × [ 2 ] = [(1)(−1) − (2)(1)] = [−3] 1 1 (2)(2) − (1)(−1) 5 แทนในสตู ร |���̅��� × ������̅| = |���̅���||������̅| sin ������ √(−1)2 + (−3)2 + 52 = √22 + 12 + 12 ∙ √(−1)2 + 22 + 12 ∙ sin ������ # √35 = √6 ∙ √6 ∙ sin ������ ดงั นนั ้ sin ������ = √35 = √35 √6∙√6 6 แบบฝึกหดั 1 −2 1. จงหาผลครอสตอ่ ไปนี ้ 2. [ 2 ] × [ 1 ] 21 −1 −2 1. [ 1 ] × [3] −1 0 3. (������̅ − ������̅ + ���̅���) × (������̅ + ������̅ − ���̅���) 4. (������̅ + ������̅ − ���̅���) × (������̅ + ������̅ − ���̅���) 2. กาหนดให้ A(1, 2, 3) , B(2, 3, 1) และ C(2, 4, 2) ถ้า ������ เป็นมมุ ระหวา่ ง A⃗⃗⃗⃗B⃗ กบั A⃗⃗⃗⃗⃗C แล้ว จงหาคา่ sin ������
เวกเตอร์ 31 3. กาหนดเวกเตอร์ ���̅��� = ������������̅ + 2������̅ + ���������̅��� เมอ่ื ������ และ ������ เป็นจานวนจริง ถ้า |���̅��� × ������|̅ = 2 แล้ว |���̅���|2 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/26] 4. ให้ ���̅��� = ������������̅ + ������������̅ + 2���̅��� และ ������̅ = 2������������̅ − 3������������̅ โดยท่ี ������, ������ เป็นจานวนเตม็ บวก และ ������ เป็นมมุ ระหวา่ ง ���̅��� และ ������̅ ถ้า |���̅���| = 3 และ cos ������ = 1 แล้ว ���̅��� × ������̅ มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 50/1-10] 3
32 เวกเตอร์ พนื ้ ทแ่ี ละปริมาตร สเ่ี หลย่ี มด้านขนานท่เี กิดจากเวกเตอร์ ���̅��� และ ������̅ ดงั รูป ������̅ จะมีพนื ้ ที่ = |���̅��� × ������̅| ���̅��� ครอสได้เป็นเวกเตอร์ ขนาดของเวกเตอร์ จะเห็นวา่ สตู รนตี ้ ้องครอสเวกเตอร์ ดงั นนั้ ���̅��� และ ������̅ ต้องถกู เขยี นในระบบสามมิติ ในกรณีที่ ���̅��� และ ������̅ ถกู กาหนดมาในระบบสองมิติ เราสามารถทาให้เป็นสามมติ ไิ ด้ โดยเตมิ 0 ลงไปเป็นคา่ ทางแกน Z ทรงสเ่ี หลย่ี มด้านขนานทเี่ กิดจากเวกเตอร์ ���̅��� , ������̅ และ ���̅��� ดงั รูป ���̅��� จะมปี ริมาตร = |���̅��� ∙ (������̅ × ���̅���)| ������̅ ���̅��� ดอทได้เป็นตวั เลข คา่ สมั บรู ณ์ โดยจะสลบั ���̅��� , ������̅ และ ���̅��� ยงั ไงก็ได้ จะได้คา่ เทา่ กนั หมายเหตุ : ผล ดอท & ครอส จะได้เทา่ เดมิ เสมอ ตราบใดทต่ี าแหนง่ ���̅��� , ������̅ , ���̅��� ยงั คงเรียงเป็นวงกลมแบบเดียวกนั แบบตามเข็ม ���̅��� ���̅��� ∙ (������̅ × ���̅���) = ������̅ ∙ (���̅��� × ���̅���) = ���̅��� ∙ (���̅��� × ������̅) = (���̅��� × ������̅) ∙ ���̅��� = (������̅ × ���̅���) ∙ ���̅��� = (���̅��� × ���̅���) ∙ ������̅ ���̅��� ������̅ ���̅��� แบบทวนเข็ม ���̅��� ������̅ ���̅��� ∙ (���̅��� × ������̅) = ���̅��� ∙ (������̅ × ���̅���) = ������̅ ∙ (���̅��� × ���̅���) = (���̅��� × ���̅���) ∙ ������̅ = (������̅ × ���̅���) ∙ ���̅��� = (���̅��� × ������̅) ∙ ���̅��� โดย แบบตามเขม็ = −แบบทวนเข็ม นน่ั คือ ���̅��� ∙ (������̅ × ���̅���) = −���̅��� ∙ (���̅��� × ������̅) ตวั อยา่ ง จงหาพนื ้ ท่ีสเ่ี หลยี่ มด้านขนาน ABCD ซงึ่ มีพิกดั A(2, 3) , B(−1, 2) , C(1, −1) วิธีทา จากสตู ร จะได้ พนื ้ ที่สเ่ี หลย่ี มด้านขนาน ABCD = |B⃗⃗⃗⃗A⃗ × ⃗B⃗⃗⃗C⃗ | A(2, 3) B(−1, 2) ⃗B⃗⃗⃗A⃗ = [2 −3 −(−21)] = [13] เติม 0 ให้เป็นสามมิตไิ ด้เป็น 3 [1] C(1, −1) 0 2 B⃗⃗⃗⃗⃗C = [(1−−1)(−−12)] = [−23] เติม 0 ให้เป็นสามมิตไิ ด้เป็น [−3] 3 2 (1)(0) − (0)(−3) 0 0 จะได้ ⃗B⃗⃗⃗A⃗ × ⃗B⃗⃗⃗⃗C = [1] × [−3] = [ (0)(2) − (3)(0) ] = [ 0 ] 0 0 (3)(−3) − (1)(2) −11 ดงั นนั ้ พนื ้ ทีส่ เี่ หลยี่ มด้านขนาน ABCD = |⃗B⃗⃗⃗A⃗ × B⃗⃗⃗⃗⃗C| = √02 + 02 + (−11)2 = 11 #
เวกเตอร์ 33 ตวั อยา่ ง จงหาปริมาตรของรูปทรงสเ่ี หลย่ี มด้านขนานทเี่ กิดจาก ���̅��� = ������̅ − ������̅ − ���̅��� , ������̅ = ������̅ + 2���̅��� และ ���̅��� = ������̅ − ���̅��� 1 10 วธิ ีทา ปริมาตร = |���̅��� ∙ (������̅ × ���̅���)| = |[−1] ∙ ([0] × [ 1 ])| −1 2 −1 1 (0)(−1) − (2)(1) 1 −2 = |[−1] ∙ [(2)(0) − (1)(−1)]| = |[−1] ∙ [ 1 ]| −1 (1)(1) − (0)(0) −1 1 = |(1)(−2) + (−1)(1) + (−1)(1)| = |−4| = 4 # นอกจากนี ้ปริมาตรของรูปทรงสเี่ หลยี่ มด้านขนาน ยงั สามารถนาไปใช้ตรวจสอบ “ระนาบ” ของเวกเตอร์ได้ด้วย จะเหน็ วา่ ถ้า ���̅��� , ������̅ และ ���̅��� อยบู่ นระนาบเดยี วกนั แล้ว รูปทรงสเ่ี หลยี่ มด้านขนานทเี่ กิดจากเวกเตอร์ ���̅��� , ������̅ และ ���̅��� จะ กลายเป็นแผน่ แบนราบ ซง่ึ ทาให้ปริมาตรของรูปทรง = 0 ���̅��� , ������̅ และ ���̅��� อยบู่ นระนาบเดยี วกนั กต็ อ่ เม่ือ ���̅��� ∙ (������̅ × ���̅���) = 0 ตวั อยา่ ง จงตรวจสอบวา่ ������̅ + ������̅ + ���̅��� , 2������̅ + ������̅ + 2���̅��� และ 3������̅ + 4������̅ + 3���̅��� อยบู่ นระนาบเดยี วกนั หรือไม่ # 1 23 วิธีทา ���̅��� ∙ (������̅ × ���̅���) = [1] ∙ ([1] × [4]) 1 23 1 (1)(3) − (2)(4) = [1] ∙ [(2)(3) − (2)(3)] 1 (2)(4) − (1)(3) 1 −5 = [1] ∙ [ 0 ] = (1)(−5) + (1)(0) + (1)(5) = 0 15 ดงั นนั ้ ������̅ + ������̅ + ���̅��� , 2������̅ + ������̅ + 2���̅��� และ 3������̅ + 4������̅ + 3���̅��� อยบู่ นระนาบเดียวกนั แบบฝึกหดั 1. จงหาพนื ้ ท่ีของสเี่ หลยี่ มด้านขนานท่ีเกิดจากเวกเตอร์ตอ่ ไปนี ้ 12 2. ������̅ + ������̅ และ ������̅ − ������̅ 1. [−1] และ [ 1 ] 2 −1
34 เวกเตอร์ 2. จงหาปริมาตรของรูปทรงสเี่ หลย่ี มด้านขนานทเี่ กดิ จากเวกเตอร์ตอ่ ไปนี ้ 01 2 2. ������̅ + ������̅ , ������̅ + ���̅��� และ ������̅ + ���̅��� 1. [ 1 ] , [−1] และ [ 0 ] −2 1 −1 3. เวกเตอร์ในข้อใดตอ่ ไปนี ้อยบู่ นระนาบเดยี วกนั 2 −3 0 1. [0] , [ 1 ] และ [1] 2. ������̅ − ������̅ + ���̅��� , ������̅ + ������̅ − ���̅��� และ −������̅ + ������̅ + ���̅��� 6 −1 8 4. กาหนดให้ A(1, 0, −2) , B(0, −1, 0) , C(2, 1, −1) จงหาพนื ้ ทสี่ เ่ี หลย่ี มด้านขนานท่ีเกิดจาก A⃗⃗⃗⃗B⃗ และ A⃗⃗⃗⃗⃗C
เวกเตอร์ 35 5. กาหนดให้ A(−2, 1, 1) , B(2, 2, −1) , C(1, 1, 0) จงหาพนื ้ ทสี่ ามเหลย่ี ม ABC 12 3 6. ถ้ารูปทรงสเ่ี หลยี่ มหน้าขนานทเ่ี กดิ จาก [−1] , [ ������ ] และ [ 2 ] มีปริมาตรเทา่ กบั 3 แล้ว จงหาคา่ ������ 2 −1 −1 7. กาหนดให้ ���̅��� , ������̅ และ ���̅��� เป็นเวกเตอร์ใดๆในสามมติ ิ ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้องบ้าง [PAT 1 (ม.ี ค. 57)/13] 1. ���̅��� ∙ (������̅ × ���̅���) = ���̅��� ∙ (���̅��� × ������̅) 2. ถ้า |���̅���| = |���̅���| , |���̅��� − ������̅| = |������̅ + ���̅���| และเวกเตอร์ ���̅��� ตงั ้ ฉากกบั เวกเตอร์ ������̅ แล้วเวกเตอร์ ������̅ ตงั้ ฉากกบั เวกเตอร์ ���̅���
36 เวกเตอร์ 8. กาหนดให้ ���̅��� = ������̅ + 3���̅��� ������̅ = 2������̅ + ���������̅��� เม่อื ������ เป็นจานวนจริง และ ���̅��� = −3������̅ + ������̅ − ���̅��� ถ้า ���̅���, ������̅ และ ���̅��� อยบู่ นระนาบเดยี วกนั แล้ว ������ มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 49/1-13] 9. กาหนดทรงสเี่ หลยี่ มหน้าขนาน มจี ดุ ยอดอยทู่ ีจ่ ดุ O(0, 0, 0), A(1, 5, 7), B(2������, − ������, − 1) และ C(������, 3������, 2) โดยที่ ������ และ ������ เป็นจานวนเต็ม ถ้า ⃗O⃗⃗⃗A⃗ ตงั ้ ฉากกบั ฐานทีป่ ระกอบด้วย ⃗���⃗���⃗⃗B⃗ และ ⃗O⃗⃗⃗⃗C และ ������ เป็นมมุ ระหวา่ ง ���⃗⃗���⃗⃗B⃗ และ ⃗O⃗⃗⃗C⃗ แล้ว ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู [A-NET 51/1-15] 1. sin ������ = 5 3√7 2. |���⃗⃗���⃗⃗B⃗ | |⃗���⃗⃗���⃗⃗C| = √21 3. พนื ้ ทฐ่ี านของทรงสเ่ี หลย่ี มหน้าขนาน เทา่ กบั 5√3 ตารางหนว่ ย 2 4. ปริมาตรของทรงสเี่ หลยี่ มหน้าขนาน เทา่ กบั 75 ลกู บาศก์หนว่ ย
เวกเตอร์ 37 ปริมาณเวกเตอร์ 1. 1. 1 ���̅��� 2. 1 ������̅ 3. 3 ������̅ 4. −������̅ 2 4 4 1 1 2 5. − 2 ���̅��� 6. −���̅��� + ������̅ 7. 3 (−���̅��� + ������̅) 8. 3 (���̅��� − ������̅) 9. −������̅ + 1 ���̅��� 10. − 1 ���̅��� + 1 ������̅ 11. 2 ���̅��� + 1 ������̅ 12. 2 ���̅��� + 1 ������̅ 2 24 33 3 12 4. ������̅ + 1 ���̅��� 2. 1. ������̅ 2. ���̅��� + ������̅ 3. −������̅ + ���̅��� 4 5. ������̅ − 1 ���̅��� 6. − 1 ������̅ + 1 ���̅��� 7. 3 ���̅��� + 1 ������̅ 8. 5 ���̅��� 4 2 8 8 2 8 5. 2 3. 1 4. 9 15 6. 93 7. 4 เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉาก 1. 1. [26] 2. [−22] −2 −1 2. 1. ������ = −1 , ������ = 1 3. [−1] 4. [ 0 ] 4. ������ = 1 , ������ = −8 3. 1. 5 3 1 4. (−2, 11) 2. ������ = 0 , ������ = −1 , ������ = 2 3. ������ = −2 2. 5 3. 13 4. √5 เวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ย 1. 1. 5������̅ + ������̅ 2. ������̅ − 3������̅ − ���̅��� 3. −2������̅ + 2���̅��� 4. −√2������̅ + 2������̅ 5. 1 (−4������̅ + 3������)̅ 6. − √2 (������̅ + ������)̅ 7. √6 (������̅ − ������ ̅ + 2���̅���) 8. ±(������̅ + 2������)̅ 5 2 3 4. 14 5. 3 2. (−2, −8) 3. −2������ − ������ ผลคณู เชิงสเกลาร์ 1. 1. 9 ตงั้ ฉากกนั แสดงวา่ ดอทกนั ได้ 0 → จะได้ [���6���] ∙ [−32] = 0 (������)(−2) + (6)(3) = 0 −2������ = −18 ������ = 9 2. 1 3. −4 4. −1 4. 6 2. 2, 3, 4 3. 2√13 3. 1. 9 2. 1 , 3 8. 4√2 4. 1. √19 2. √7 12. 1, 2 5. √13 6. √10 7. − 4 7 10. 2 5 9. 3 11. 2, 3
38 เวกเตอร์ 13. 2 14. 6 15. 2 16. 200 18. 124 20. 2 17. - 22. 1, 2 19. − 7 (3������̅ + 4������)̅ 24. 22 26. 192 25 5 21. − 2 −3 23. 3 25. − 2 2. [ 4 ] 11 5 ผลคณู เชิงเวกเตอร์ 3. 8 3 3. 2������̅ + 2���̅��� 4. 0̅ 2. 2 1. 1. [−1] 2. 2 4. 6������̅ + 8������̅ − 10���̅��� 4. 3√2 5 8. 16 2. √11 6 พนื ้ ทีแ่ ละปริมาตร 1. 1. √35 5. √14 6. 2 , 8 2. 1. 1 2 7 3. 1 9. 4 7. 1, 2 เครดิต ทชี่ ่วยตรวจสอบความถกู ต้องของเอกสารครับ ขอบคณุ คณุ POaty Destiny และ คณุ Gunta Serikijcharoen และ คณุ Pawarit Karusuporn
Search
Read the Text Version
- 1 - 42
Pages: