teks maths t2

KURIKULUM STANDARD SEKOLAH MENENGAH MATEMATIK TINGKATAN 2 Penulis Bahariah binti Hj. Baharam Baharizah binti Hj. Baharam Nurul Jannah binti Ahmad Nurazreen binti Mohd Tahir Mohd Nazri bin Mohd Hanafiah Editor Mohan a/l Nanu Muhammad Nur Syafiq bin Jamaluddin Nafisah binti Yeop Mohamad Kassim Pereka Bentuk Mohamad Zairul bin Mohamad Kassim Wan Nora Ashikin binti Abd Razak Ilustrator Ahmad Fitri bin Tajudin 2017

Bab 1 Pola dan Jujukan BAB 1 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA NO. SIRI BUKU: 0062 PENGHARGAAN KPM2017 ISBN 978-967-2031-05-5 Penerbitan buku teks ini melibatkan kerjasama Cetakan Pertama 2017 banyak pihak. Sekalung penghargaan dan © Kementerian Pendidikan Malaysia terima kasih ditujukan kepada semua pihak yang terlibat: Hak Cipta Terpelihara. Mana-mana bahan dalam • Jawatankuasa Penambahbaikan Pruf buku ini tidak dibenarkan diterbitkan semula, disimpan dalam cara yang boleh dipergunakan Muka Surat, Bahagian Buku Teks, lagi, ataupun dipindahkan dalam sebarang bentuk Kementerian Pendidikan Malaysia. atau cara, baik dengan cara elektronik, mekanik, • Jawatankuasa Penyemakan Pembetulan penggambaran semula mahupun dengan cara Pruf Muka Surat, Bahagian Buku Teks, perakaman tanpa kebenaran terlebih dahulu Kementerian Pendidikan Malaysia. daripada Ketua Pengarah Pelajaran Malaysia, • Jawatankuasa Penyemakan Naskhah Kementerian Pendidikan Malaysia. Perundingan Sedia Kamera, Bahagian Buku Teks, tertakluk kepada perkiraan royalti atau honorarium. Kementerian Pendidikan Malaysia. • Pegawai-pegawai Bahagian Buku Teks Diterbitkan untuk Kementerian Pendidikan dan Bahagian Pembangunan Kurikulum, Malaysia oleh: Kementerian Pendidikan Malaysia. RIMBUNAN ILMU SDN. BHD. • Ahli panel penilaian dan No. 92-G, 92-1 & 92-2, Blok 2, Wisma Salleh peningkatan mutu. Saidin, Jalan Dwi Tasik, Dataran Dwi Tasik, • Bahagian Editorial dan Bahagian Bandar Sri Permaisuri, 56000 Kuala Lumpur Produksi, terutamanya pereka bentuk Tel: 03-91722888 Faks: 03-91734888 dan ilustrator. Emel: [email protected] • Semua pihak yang terlibat secara langsung atau tidak langsung dalam Reka Letak dan Atur Huruf: menjayakan penerbitan buku ini. RIMBUNAN ILMU SDN. BHD. (676602-W) Muka taip teks: Times Saiz taip teks: 11 poin Dicetak oleh: BHS BOOK PRINTING SDN. BHD. (95134-K) Lot 4, Lorong CJ/1B, Kawasan Perindustrian Cheras, 43200 Cheras, Selangor Darul Ehsan, Malaysia ii

Bab 1 Pola dan Jujukan BAB 1 Pendahuluan v Bab 5 Bulatan 74 Simbol dan Rumus vii 5.1 Sifat Bulatan 76 Bab 1 Pola dan Jujukan 1 5.2 Sifat Simetri Perentas 81 5.3 Lilitan dan Luas Bulatan 86 1.1 Pola 2 1.2 Jujukan 7 1.3 Pola dan Jujukan 10 Bab 6 Bentuk Geometri 98 Tiga Dimensi Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan 6.1 Sifat Geometri Bentuk Tiga Dimensi Algebra 18 100 2.1 Kembangan 21 6.2 Bentangan Bentuk Tiga Dimensi 102 2.2 Pemfaktoran 27 2.3 Ungkapan Algebra dan Hukum 6.3 Luas Permukaan Bentuk Tiga 104 Operasi Asas Aritmetik 34 Dimensi 6.4 Isi Padu Bentuk Tiga Dimensi 110 Bab 3 Rumus Algebra 42 Bab 7 Koordinat 120 3.1 Rumus Algebra 44 7.1 Jarak dalam Sistem Koordinat Bab 4 Poligon Cartes 122 7.2 Titik Tengah dalam Sistem 54 Koordinat Cartes 132 7.3 Sistem Koordinat Cartes 140 4.1 Poligon Sekata 56 62 4.2 Sudut Pedalaman dan Sudut Peluaran Poligon iii

Bab 1 Pola dan Jujukan BAB 1 Bab 8 Graf Fungsi 144 Bab 12 Sukatan Kecenderungan 8.1 Fungsi Memusat 244 8.2 Graf Fungsi 146 151 12.1 Sukatan Kecenderungan Memusat 246 Bab 9 Laju dan Pecutan 168 Bab 13 Kebarangkalian Mudah 276 9.1 Laju 170 13.1 Kebarangkalian Eksperimen 278 9.2 Pecutan 179 13.2 Kebarangkalian Teori yang 280 Bab 10 Kecerunan Garis Lurus 188 Melibatkan Kesudahan Sama 287 Boleh Jadi 290 10.1 Kecerunan 190 13.3 Kebarangkalian Peristiwa Pelengkap 13.4 Kebarangkalian Mudah Bab 11 Transformasi Isometri 206 Jawapan 294 Glosari 308 Rujukan 311 Indeks 312 11.1 Transformasi 208 11.2 Translasi 212 11.3 Pantulan 218 11.4 Putaran 223 11.5 Translasi, Pantulan dan Putaran sebagai Isometri 230 11.6 Simetri Putaran 234 iv

Bab 1 Pola dan Jujukan BAB 1 Buku teks Matematik Tingkatan 2 ini ditulis berdasarkan Kurikulum Standard Sekolah Menengah (KSSM). Buku ini terdiri daripada 13 bab yang disusun dan dirancang secara sistematik berdasarkan Dokumen Standard Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP) Matematik Tingkatan 2. Pada permulaan bab, murid akan diperkenalkan kepada aktiviti kreatif untuk merangsang pemikiran murid. Di samping itu juga, objektif pembelajaran dan rangkai kata turut disertakan untuk memberikan gambaran ringkas tentang kandungan bab. Buku ini mengandungi ciri-ciri istimewa berikut: ANDA AKAN MEMPELAJARI Mengandungi standard pembelajaran yang akan dipelajari dalam setiap bab. RANGKAI KATA Daftar kata yang terkandung dalam setiap bab. MASLAHAT BAB INI Sejarah ilmuan terdahulu atau asal usul perkataan dalam mata pelajaran Matematik. AKTIVITI KREATIF Bidang pekerjaan yang berkaitan dengan bab ini atau kegunaan ilmu bab ini. Aktiviti induksi yang merangsang perbincangan dan pemahaman dalam kalangan murid. Membantu murid memahami konsep asas matematik melalui aktiviti individu atau berkumpulan. INGAT ! Mengimbas kembali kemahiran dan pengetahuan yang pernah dipelajari. PERHATIAN Mendedahkan murid kepada pengetahuan tambahan yang perlu diketahui serta fakta penting dalam bab ini. Menarik perhatian murid kepada fakta tambahan yang perlu diketahui, kesilapan yang dilakukan murid dan mengelakkan kecuaian murid. v

Bab 1 Pola dan Jujukan BAB 1 QR CODE Mengutarakan soalan untuk merangsang pemikiran kreatif dan kritis. TAHUKAH ANDA ? Soalan di akhir subtopik untuk menguji kefahaman MENJANA KECEMERLANGAN murid. INTI PATI BAB Quick Response Code ialah data seperti URL dalam bentuk pola yang dapat diterjemahkan menggunakan REFLEKSI DIRI aplikasi dalam peranti mudah alih pintar. vi QR Code yang boleh diimbas dengan menggunakan aplikasi imbasan QR Code pada telefon pintar. Mendedahkan murid kepada pengetahuan tambahan yang perlu diketahui. Memberikan pengetahuan am yang dapat memperkaya bahan teks yang berkaitan. Latihan sumatif untuk pengukuhan dan pengayaan di akhir setiap bab. Soalan Kemahiran Berfikir Aras Tinggi (KBAT) untuk menguji kemahiran murid. Rangkuman seluruh bab secara ringkas yang telah dipelajari. Melihat kembali standard pembelajaran yang telah dipelajari sama ada tercapai atau tidak. Aktiviti luar bilik darjah untuk meningkatkan kefahaman dan kreativiti murid di akhir bab.

Bab 1 Pola dan Jujukan BAB 1 punca kuasa dua SIMBOL punca kuasa tiga = sama dengan ∠ sudut ≠ tidak sama dengan T sebutan ke-n segi tiga ∑ hasil tambah keseluruhan n bilangan sebutan ⩾ lebih besar daripada atau sama dengan π pi ⩽ kurang daripada atau sama dengan n(A) bilangan unsur peristiwa RUMUS Hasil tambah sudut pedalaman Jarak dua titik (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 poligon (n – 2) × 180° �x1 + x2, y1 + y2� Titik tengah 2 2 Teorem Pythagoras: c2 a2 + b2 Laju Jarak a c b2 c2 – a2 Masa a2 c2 – b2 Laju purata Jumlah jarak Masa b Lilitan 2πj Kecerunan, m Jarak mencancang Jarak mengufuk Luas bulatan πj 2 y2 – y1 x2 – x1 Luas sektor = θ m πj 2 360° Panjang lengkok = θ m – pintasan-y 2πj 360° pintasan-x Luas permukaan silinder 2πj 2 + 2πjt Jumlah nilai data Bilangan data Luas permukaan kon πj 2 + πjs Min Luas permukaan sfera 4πj 2 Kebarangkalian Bilangan kesudahan bagi peristiwa A suatu peristiwa, A Jumlah bilangan kesudahan bagi ruang sampel, Isi padu prisma luas keratan rentas × tinggi = S Isi padu silinder πj 2t P(A) = n (A) n(S ) Isi padu kon 1 πj 2t 3 4 Isi padu sfera 3 πj 3 Peristiwa pelengkap, P(A' ) = 1 – P(A) Muat turun aplikasi percuma imbasan QR Code daripada Google Play, App Store atau layaran lain ke peranti mudah alih pintar anda. Imbas QR Code atau layari laman sesawang http://rimbunanilmu.my/mat_t2/msvii untuk memuat turun fail video, GeoGebra, hamparan elektronik dan soalan latihan tambahan. Kemudian simpan fail yang dimuat turun untuk kegunaan luar talian. Nota: Murid boleh muat turun perisian GeoGebra yang percuma untuk membuka fail yang berkenaan. http://www.geogebra.org/ vii

Bab 1 Pola dan Jujukan BAB 1 ANDA AKAN MEMPELAJARI Bunga matahari ialah bunga yang unik 1.1 Pola dari segi pola biji benihnya. Biji benihnya 1.2 Jujukan tersusun secara spiral dan mengikut arah 1.3 Pola dan Jujukan tertentu. Jumlah biji benih pada spiral itu boleh dibentuk melalui suatu nombor yang dikenali sebagai Nombor Fibonacci. Biji benih ini biasanya terdiri daripada dua jenis spiral. Misalnya, 21 spiral mengikut arah jam dan 34 spiral lawan arah jam. Nombor 21 dan 34 adalah di antara nombor dalam jujukan Fibonacci. RANGKAI KATA • Pola nombor • Number pattern • Nombor ganjil • Odd number • Nombor genap • Even number • Nombor Fibonacci • Fibonacci Number • Segi Tiga Pascal • Pascal's Triangle • Jujukan • Sequence • Ungkapan algebra • Algebraic expression • Sebutan • Term viii

Bab 1 Pola dan Jujukan BAB 1 Nombor Fibonacci bermula daripada persoalan seorang ahli matematik berbangsa Itali, iaitu Leonardo of Pisa atau Fibonacci dalam bukunya ‘Liber Abaci’ tentang populasi arnab. Persoalan yang dikemukakan adalah jika seekor arnab betina dan arnab jantan ditempatkan di dalam sebuah ruang, berapakah pasangan arnab dapat dihasilkan dalam setahun? Jika setiap pasangan arnab akan menghasilkan satu pasangan yang baharu pada setiap bulan, maka penghasilan populasi arnab ini menghasilkan jujukan seperti yang berikut 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, … . Nombor ini dikenali sebagai Nombor Fibonacci. Nombor Fibonacci ini disusun dengan menambah nombor sebelumnya. Contohnya, pasangan arnab tadi ialah 1 + 1, maka populasi arnab telah bertambah menjadi 2. Seterusnya, hasil tambah dua nombor sebelumnya 1 dan 2, maka populasi arnab telah bertambah menjadi 3, begitu juga yang seterusnya. Untuk maklumat lanjut: http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms001 MASLAHAT BAB INI Konsep pola dan jujukan boleh diaplikasi dalam seni bina, rekaan fesyen, sains, ilmu falak, kimia, fizik dan teknologi. Konsep pola dan jujukan boleh diaplikasi dalam seni bina, rekaan fesyen, sains, ilmu falak, kimia, fizik dan teknologi. 1 1

BAB 1 Bab 1 Pola dan Jujukan AKTIVITI KREATIF Tujuan: Mengenal corak Bahan: Kentang, bawang, batang sawi, kertas lukisan dan cat air Langkah: 1. Sediakan sehelai kertas lukisan. 2. Dengan pengawasan guru, murid dikehendaki memotong kentang, bawang dan batang sawi seperti gambar yang di bawah. 3. Gunakan bahan-bahan tersebut untuk mengecap pada kertas lukisan. 4. Selepas itu, keringkan cetakan. 5. Nyatakan corak yang diperoleh. Daripada aktiviti di atas, murid dapat mengenal pelbagai jenis corak dari alam semula jadi. Corak ini disusun sehingga menghasilkan suatu susunan yang lebih menarik. 1.1 Pola Mengenal dan memerihalkan pola 1.1.1 Mengenal pola nombor pelbagai set nombor dan objek dalam kehidupan Tujuan: Mengenal corak sebenar, dan seterusnya Bahan: Kain batik membuat rumusan Langkah: tentang pola. 1. Perhatikan rajah di sebelah yang menunjukkan corak pakaian tradisional masyarakat di Malaysia. Perbincangan: (i) Apakah corak yang dapat dilihat? (ii) Bagaimanakah susunan corak tersebut? Daripada aktiviti di atas, dapat diketahui bahawa corak yang dilihat berbentuk poligon dan berulang. 2

Bab 1 Pola dan Jujukan Tujuan: Mengenal pola BAB 1 Bahan: Pensel warna, pembaris, pensel dan kertas grid Langkah: 1. Murid membentuk kumpulan. 2. Buka fail MS003 untuk memperoleh kertas grid yang telah disediakan. 3. Setiap kumpulan dikehendaki melukis corak seperti yang di QR CODE bawah dan warnakannya. 4. Kemudian, lukiskan pula corak yang keempat, kelima dan Imbas QR Code atau keenam. Seterusnya, warnakannya. layari http://rimbunanilmu. my/mat_t2/ms003 untuk memperoleh kertas grid. 5. Lengkapkan jadual di bawah. Nombor corak 12345678 Bilangan segi empat 1 4 7 6. Bentangkan hasil dapatan anda. Perbincangan: (i) Nyatakan susunan corak yang dapat diperhatikan. (ii) Hitung bilangan segi empat sama untuk corak yang ketujuh dan kelapan. Daripada aktiviti di atas, bilangan segi empat sama yang dibentuk ialah 1, 4, 7, ... iaitu menambah 3 kepada nombor sebelumnya. Penambahan 3 ini dikenali sebagai pola. Pola ialah aturan atau corak tertentu dalam senarai nombor atau objek. CONTOH 1 Lukis corak seterusnya bagi gambar rajah di bawah dan nyatakan polanya. (a) (b) Penyelesaian: (b) (a) Pola: Menambah dua titik kepada Pola: Menambah satu segi tiga kepada corak sebelumnya. corak sebelumnya. 3

Bab 1 Pola dan Jujukan BAB 1 CONTOH 2 Nyatakan pola bagi set nombor berikut. (b) 17, 7, −3, −13, ... (a) −10, −4, 2, 8, ... (d) 81, 27, 9, 3, ... (c) 2, 6, 18, 54, ... (f) −2.3, −2.6, −2.9, −3.2, ... (e) 1, 3 , 2, 5 , ... (b) 17, 7, −3, −13, ... 22 Penyelesaian: −10 −10 −10 (a) −10, −4, 2, 8, ... Pola: Menolak 10 daripada nombor sebelumnya. +6 +6 +6 (d) 81, 27, 9, 3, ... Pola: Menambah 6 kepada nombor sebelumnya. ÷3 ÷3 ÷3 (c) 2, 6, 18, 54, ... Pola: Membahagi nombor sebelumnya dengan 3. ×3 ×3 ×3 (f) −2.3, −2.6, −2.9, −3.2, ... Pola: Mendarab nombor sebelumnya dengan 3. −0.3 −0.3 −0.3 (e) 1, 3 , 2, 5 , ... Pola: Menolak 0.3 daripada 22 nombor sebelumnya. +12 +21 +21 1 kepada 2 Pola: Menambah nombor sebelumnya. Nombor genap dan nombor ganjil Nombor genap: nombor yang boleh dibahagi CONTOH 3 tepat dengan 2 seperti Diberi urutan nombor 7, 12, 17, 22, 27, ..., 67. Kenal pasti dan 2, 4, 6, 8, ... nyatakan pola bagi urutan nombor Nombor ganjil: nombor (i) ganjil (ii) genap yang tidak boleh dibahagi tepat dengan 2 seperti 1, 3, 5, 7, ... Penyelesaian: 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67 (i) Nombor ganjil: 7, 17, 27, 37, 47, 57 dan 67 (ii) Nombor genap: 12, 22, 32, 42, 52 dan 62 +10 +10 +10 +10 Nombor ganjil diperoleh dengan menambah Nombor genap diperoleh dengan 10 kepada nombor sebelumnya. menambah 10 kepada nombor sebelumnya. 4

Bab 1 Pola dan Jujukan BAB 1 Segi Tiga Pascal Gambar rajah di bawah menunjukkan sebuah Segi Tiga Pascal. Berpandukan segi tiga tersebut, baris seterusnya diperoleh dengan menambah nombor-nombor pada baris sebelumnya. 1 11 1+ 2+ 1 1+ 3+ 3+ 1 1+4+ 6 + 4 + 1 Segi Tiga Pascal di atas bermula dengan nombor 1. Manakala baris kedua ialah 1, 1. Semua baris Segi Tiga Pascal akan bermula dan diakhiri dengan nombor 1. Nombor lain diperoleh dengan menjumlahkan dua nombor pada baris sebelumnya. Nombor 2 dalam baris ketiga diperoleh dengan menjumlahkan nombor 1 Segi Tiga Yang Hui dan nombor 1 pada baris sebelumnya. Seterusnya nombor 3 pada baris keempat diperoleh dengan menjumlahkan nombor 1 dan nombor 2 Masyarakat Cina mengenal pada baris sebelumnya. Nombor 6 di baris kelima diperoleh dengan Segi Tiga Pascal dengan menjumlahkan nombor 3 dan nombor 3 pada baris sebelumnya. nama Segi Tiga Yang Hui dan digambarkan dengan Cuba anda lengkapkan baris yang seterusnya. menggunakan angka joran Daripada segi tiga di atas pelbagai urutan nombor dengan pola yang dilukiskan dengan tertentu boleh didapati, antaranya: sistem angka tongkat. Kaedah 1 1 Kaedah 2 1 11 11 121 121 1 × 1 1 1331 1331 11 × 11 121 14641 14641 111 × 111 12321 1111 × 1111 1234321 Urutan: 1, 2, 3, 4, ... Urutan: 1, 3, 6, ... 11111 × 11111 123454321 Pola: Menambah 1 Pola: Menambah 2, 3, 4, ... Tentukan nilai dua sebutan yang berikutnya. Pola bagi suatu urutan nombor merupakan corak yang mempunyai urutan yang tertib. CONTOH 4 Penyelesaian: Nyatakan dua sebutan nombor berikutnya. Lengkapkan Segi Tiga Pascal di bawah. 1 (i) 3, 8, 15, 24, 35, ... 1 11 (ii) 7, 5, 8, 4, 9, 3, ... 1 21 (iii) 2, 4, 5, 10, 12, 24, 27, ... 11 1 331 (iv) 1, 4, 9, 18, 35, ... 1 21 1 331 1 464 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 5

Bab 1 Pola dan Jujukan BAB 1 Nombor Fibonacci Bagaimanakah anda akan Nombor Fibonacci merupakan suatu corak nombor yang berurutan. membentuk segi empat Fibonacci seterusnya? 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... 32 0+1 1+1 1+2 2+3 3+5 11 Urutan ini bermula dengan 0, 1, 1 dan sebutan seterusnya diperoleh 8 dengan menambah dua sebutan sebelumnya. 5 Misalnya, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... 0+1 1+1 1+2 2+3 3+5 CONTOH 5 QR CODE Lengkapkan urutan nombor di bawah. Imbas QR Code atau (a) 0, 1, 1, , , , 8, 13, , ... layari http://rimbunanilmu. (b) 1, 3, , , 11, ... my/mat_t2/ms006 untuk melihat salah satu urutan Fibonacci. Penyelesaian: (a) 0, 1, 1, 2 , 3 , 5 , 8, 13, 21 , ... (b) 1, 3, 4 , 7 , 11, ... Pola merupakan suatu corak tertentu dalam sesuatu nombor atau objek. Suatu pola dalam senarai nombor ditentukan dengan menambah, menolak, mendarab atau membahagi nombor sebelumnya manakala suatu pola dalam objek ditentukan dengan memerhati susunan objek sebelumnya. JOM CUBA 1.1 1. Lakar corak seterusnya bagi gambar di bawah. (a) (b) 6

Bab 1 Pola dan Jujukan 2. Nyatakan pola bagi urutan berikut. BAB 1 (a) 5, 12, 19, 26, ... (b) −1, −4 , −7, −10, ... (d) 144, 72, 36, 18, ... (c) −4 , 0, 4, 8, ... (e) 1 1 1 (f) 11.2, −33.6, 100.8, −302.4, ... 2 , 4 , 0 , − 4 , ... 3. Bagi urutan nombor 28, 37, 46, 55, ... , 145, kenal pasti dan nyatakan pola nombor bagi nombor (i) ganjil (ii) genap 4. Lengkapkan urutan Nombor Fibonacci berikut. 1, , 2, , , , , ... 5. Lengkapkan rajah di bawah. 16 88 4 44 4 8 1.2 Jujukan 1.2.1 Jujukan Tujuan: Mengenal pasti pola dalam urutan nombor dan corak Menerangkan maksud jujukan. Bahan: Lembaran kerja Langkah: QR CODE 1. Buka fail MS007 yang telah disediakan. 2. Lengkapkan jadual berikut dengan melukis corak seterusnya. Imbas QR Code atau layari http://rimbunanilmu. my/mat_t2/ms007 untuk mendapatkan lembaran kerja. Perbincangan: (i) Nyatakan pola yang anda dapati daripada aktiviti 1, 2 dan 3. (ii) Senaraikan urutan nombor dalam aktiviti 1, 2 dan 3. 7

BAB 1 Bab 1 Pola dan Jujukan Daripada aktiviti sebelumnya, susunan corak seterusnya boleh ditentukan dengan mengikut corak sebelumnya. Suatu susunan nombor atau objek yang mengikut pola ini disebut sebagai jujukan. Jujukan ialah suatu set nombor atau objek yang disusun mengikut suatu pola. 1.2.2 Pola suatu jujukan CONTOH 6 Mengenal pasti dan memerihalkan pola suatu Tentukan sama ada urutan nombor berikut suatu jujukan atau bukan. jujukan, dan seterusnya melengkapkan dan (a) –10, –6, –2, 2, 6, ... (b) 4, 5, –7, 10, –14, ... melanjutkan jujukan tersebut. Penyelesaian: (a) –10, –6, –2, 2, 6, ... (b) 4, 5, –7, 10, –14, ... +4 +4 +4 +4 +1 –12 +17 –24 Pola: Menambah 4 Pola: Tiada Maka, urutan nombor ini Maka, urutan nombor ini ialah jujukan. bukan jujukan. Jujukan nombor Ahli astronomi menggunakan pola untuk CONTOH 7 meramal laluan komet. Lengkapkan jujukan nombor berikut. (a) 7, 13, , 25, , , ... (b) 88, , 64, 52, , , ... ( c) , 0.3, , 0.027, 0.0081, , ... (d) , , 1 , 4 , , ... Penyelesaian: 36 (a) 7, 13, 19 , 25, 31 , ... (b) 88, 76 , 64, 52, 40 , 28 , ... +6 +6 +6 +6 −12 −12 −12 −12 −12 (c) 1 , 0.3, 0.09 , 0.027, 0.0081, 0.00243 , ... (d) − 1 , 0 , 1,4, 1 , ... 3 36 ×0.3 ×0.3 ×0.3 ×0.3 ×0.3 1 1 1 1 3 3 3 3 + + + + 8

Bab 1 Pola dan Jujukan CONTOH 8 Nombor segi tiga ialah BAB 1 Lengkapkan jujukan berikut berdasarkan pola yang diberikan. nombor yang dibentuk (a) Menolak 4 daripada nombor sebelumnya. dengan pola titik segi tiga. 96, , , , , , ... 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, ... (b) Mendarab nombor sebelumnya dengan 3. 1 7, , , , , , ... 3 (c) Mengurangkan 8 daripada nombor sebelumnya. 21.3, , , , , , ... 6 10 (d) Membahagi nombor sebelumnya dengan 5. 15 400, , , , , , ... Penyelesaian: (a) 92, 88, 84, 80, 76, ... (b) 21, 63, 189, 567, 1 701, ... (c) 13.3, 5.3, −2.7, −10.7, −18.7, ... (d) 80, 16, 3.2, 0.64, 0.128, ... JOM CUBA 1.2 1. Tentukan sama ada urutan nombor berikut ialah suatu jujukan atau bukan. (a) 3, 18, 33, 48, ... (b) 100, 116, 132, 148, ... (c) 1.0, −1 .7, −2 .4, 3.1, ... (d) −15, 30, 60, −120, ... (f) −0 .32, −0 .16, −0 .8, −0 .4, ... (e) 1 , 1 1 , 2 1 , 3 1 , ... 4 2 2 3 2. Lengkapkan jujukan nombor di bawah. (a) 34, 28, , 16, , , ... (b) , , 32, 16, , 4, ... (c) 0.07, , 1.12 , , 17.92, ... (d) 1 1, 1, , , , ... 10 (e) 0.2, 2.4, 28.8, , , ... (f) , −80, −16, , , ... (g) , 2 , 7 , , , ... (h) −8.1, , −4 .1, −2.1, , ... 3 12 9

BAB 1 Bab 1 Pola dan Jujukan 3. Lengkapkan jujukan nombor berikut berdasarkan pola yang dinyatakan. (a) Menambah 7 kepada nombor sebelumnya. 42, , , , , , ... (b) Membahagi nombor sebelumnya dengan 2. 96, , , , , , ... 1.3 Pola dan Jujukan 1.3.1 Pola suatu jujukan menggunakan nombor, Membuat generalisasi perkataan dan ungkapan algebra tentang pola suatu jujukan menggunakan CONTOH 9 nombor, perkataan dan ungkapan algebra. Nyatakan pola bagi jujukan nombor 1, 9, 17, 25, 33, ... menggunakan nombor, perkataan dan ungkapan algebra. Penyelesaian: (i) Nombor Seorang juruhias dalaman 1, 9, 17, 25, 33, ... ingin menyusun jubin pada dinding seperti corak +8 +8 +8 +8 di bawah. Maka, pola ialah +8. (ii) Perkataan Apakah corak seterusnya? 1, 9, 17, 25, 33, ... +8 +8 +8 +8 Ungkapan Algebra ialah ungkapan yang Maka, pola bagi jujukan di atas adalah menambah 8 kepada menggabungkan nombor sebelumnya. nombor, pemboleh ubah atau simbol matematik (iii) Ungkapan Algebra lain dengan operasi. 1, 9, 17, 25, 33, ... Contoh: 2ab + 3c, 5a + 2b − 3c +8 +8 +8 +8 1 = 1 + 8 (0) 9 = 1 + 8 (1) 17 = 1 + 8 (2) 25 = 1 + 8 (3) 33 = 1 + 8 (4) Maka, pola bagi jujukan nombor tersebut boleh ditulis sebagai 1 + 8n dengan keadaan n = 0, 1, 2, 3, 4, ... . 10

Bab 1 Pola dan Jujukan 1.3.2 Sebutan bagi suatu jujukan BAB 1 Sebutan sesuatu jujukan dikenali sebagai sebutan ke-n dan ditulis Menentukan sebutan sebagai Tn iaitu T ialah sebutan manakala n ialah kedudukan sebutan. tertentu bagi suatu jujukan. Misalnya, Tn = sebutan ke-n 4, 8, 12, 16, ... Daripada jujukan di atas, Permaisuri lebah bertelur T1 = 4, di dalam sarangnya. T2 = 8, Sarang lebah mempunyai T3 = 12, pola yang tersendiri, iaitu T4 = 16, ... berbentuk heksagon. CONTOH 10 22 + (2 + 2 + 1) = 32 32 + (3 + 3 + 1) = 42 Nyatakan sebutan kelima bagi jujukan nombor berikut. 42 + (4 + 4 + 1) = 52 52 + (5 + 5 + 1) = 62 2, 10, 18, ... (i) Nyatakan dua sebutan seterusnya. Penyelesaian: (ii) Nyatakan sebutan ke-n. Langkah 1: Tentukan pola jujukan nombor tersebut. Apakah pola untuk jujukan 2, 10, 18, ... berikut? (i) 1, 4, 9, 18, 35 +8 +8 (ii) 23, 45, 89, 177 (iii) 5, 7, 12, 19, 31 Pola nombor: Menambah 8 kepada nombor sebelumnya. (iv) 0, 4, 2, 6, 4, 8 (v) 4, 7, 15, 29, 59, 117 Langkah 2: Senaraikan semua sebutan hingga sebutan kelima 1(1) 3(2) 5(5) A C E seperti di bawah. 2(1) 4(3) 6(8) B D T1 = 2 T4 = 26 Nyatakan pasangan nombor yang sesuai dalam T2 = 10 T5 = 34 kedudukan A, B, C, D, E. T3 = 18 11 Maka, sebutan kelima ialah 34. CONTOH 11 Diberi jujukan nombor 65, 60, 55, 50, ... . Tentukan nombor 40 ialah sebutan yang keberapa dalam jujukan itu. Penyelesaian: Langkah 2: Langkah 1: T1 = 65 T4 = 50 65, 60, 55, 50, ... T2 = 60 T5 = 45 T3 = 55 T6 = 40 –5 –5 –5 Pola: Menolak 5 daripada Maka, 40 ialah sebutan ke-6. nombor sebelumnya.

BAB 1 Bab 1 Pola dan Jujukan 1.3.3 Penyelesaian masalah CONTOH 12 Menyelesaikan masalah yang melibatkan jujukan. Mesin Pemberi Makanan Ikan Automatik Spesifikasi • Saiz bekas: Sederhana • Makanan kering dan pelet boleh digunakan • Pemasa disediakan untuk mengatur jadual pemberian makanan • Menggunakan sistem terbaharu untuk mengelakkan makanan daripada menjadi lembap atau tersumbat di dalam bekas penyimpanan • Boleh dikendalikan secara automatik atau manual • Paparan skrin digital Gambar di atas ialah mesin pemberi makanan ikan secara automatik dan spesifikasinya. Eng Wei menetapkan pemberian makanan ikannya 4 kali sehari. Pemberian makanan yang pertama pada pukul 7:35 pagi. Pada pukul berapakah ikan itu diberi makanan untuk kali yang ketiga? Memahami Merancang strategi Melaksanakan strategi Membuat masalah kesimpulan 1 hari = 24 jam Pola: 6 jam Waktu T1 = 7:35 pagi Maka, ikan diberi memberikan 1 kali = 24 T2 = 7:35 pagi + 6 jam makanan kali makanan 4 = 1:35 petang ketiga pada pukul kepada ikan 7:35 petang. pada kali ketiga. = 6 jam T3 = 1:35 petang + 6 jam = 7:35 petang JOM CUBA 1.3 1. Tentukan pola jujukan nombor menggunakan perkataan. (a) 4, 12, 36, 108, 324, ... (b) 256, 128, 64, 32, 16, ... 2. Tentukan pola jujukan nombor di bawah menggunakan ungkapan algebra. (a) 2, 4, 8, 16, ... (b) 5, 8, 11, 14, ... (c) 3, 6, 9, 12, ... (d) 3, 1, –1, –3, ... 3. Hitung sebutan ketujuh dan kesebelas bagi jujukan nombor di bawah. (a) –3, 5, 13, ... (b) 4, 5 1 , 7, ... (c) –3.7, –4.3, –4.9, ... 2 12

Bab 1 Pola dan Jujukan BAB 1 4. Jadual di bawah menunjukkan jadual perjalanan lima buah bas dari Kuala Lumpur ke Pulau Pinang. Bas Masa bertolak A 8:00 pagi B 8:30 pagi C 9:00 pagi D E Berdasarkan jadual di atas, jawab soalan yang berikut. (a) Hitung selang masa bertolak antara dua buah bas. (b) Pada pukul berapakah bas E akan bertolak? (c) Pada pukul berapakah bas E akan sampai di Pulau Pinang jika perjalanan mengambil masa selama 5 jam? MENJANA KECEMERLANGAN 1. Padankan istilah berikut dengan pernyataan yang betul. Segi Tiga Pascal Nombor yang tidak boleh dibahagi tepat dengan 2. Nombor ganjil Urutan ini bermula dengan 0, 1, 1 dan sebutan seterusnya diperoleh Nombor Fibonacci dengan menambah dua sebutan sebelumnya. Nombor genap Nombor yang boleh dibahagi tepat dengan 2. Aturan geometri pada pekali binomial dalam sebuah segi tiga. 2. Nyatakan pola bagi jujukan nombor yang diberikan. (a) 7, 13, 19, 25, ... (b) 54, 50, 46, 42, ... (c) –13, –39, –117, –351, ... (d) 1 296, 216, 36, 6, ... 3. Lengkapkan jadual di bawah. Jujukan Nombor Perkataan Ungkapan Algebra (a) 2, 4, 6, 8, ... (b) 100, 50, 25, 12.5, ... 13

Bab 1 Pola dan Jujukan BAB 1 4. Lengkapkan urutan nombor berikut. (a) 1, 3, 5, , 9, , ... (b) , , −20, −10, −5, ... (c) 268, , , 169, 136, , ... (d) 1 , , 1 , , 1 , ... 236 5. Empat sebutan pertama bagi suatu jujukan ialah 9, x, –5 , – 1 2, ... (a) Hitung nilai x. (b) Nyatakan pola jujukan itu menggunakan (i) nombor (ii) perkataan (iii) ungkapan algebra 6. Lengkapkan Nombor Fibonacci di bawah. 0, 1, 1, , , , ... 7. Gambar rajah di bawah menunjukkan lima aras pertama untuk Segi Tiga Pascal. Lengkapkan Segi Tiga Pascal tersebut. Nyatakan bagaimana Segi Tiga Pascal itu dibentuk. 1 11 11 11 11 8. Empat sebutan pertama bagi suatu jujukan ialah 11, x, –5 , –13, ... (a) Hitung nilai x. (b) Nyatakan sebutan ke-10, T10. 14

Bab 1 Pola dan Jujukan 9. Nina menyusun butang baju seperti di bawah. BAB 1 (a) Nyatakan pola bagi bilangan butang baju. (b) Nyatakan urutan bilangan butang baju. (c) Lukiskan susunan butang baju untuk sebutan keempat. (d) Hitung nilai T6. 10. Encik Hamid ingin melakukan penanaman semula pokok kelapa sawit. Jarak bagi setiap pokok kelapa sawit ialah 9 m dan jarak tanaman tersebut berbentuk segi tiga sama sisi. Encik Hamid telah melakar satu peta tanamannya seperti rajah di bawah. 9m Jika Encik Hamid menanam 18 batang pokok kelapa sawit, berapakah luas tanah beliau? 11. Raiyan telah pergi ke klinik untuk berjumpa dengan doktor kerana demam selesema yang berlanjutan melebihi tiga hari. Doktor telah memberikan tiga jenis ubat, iaitu ubat demam, antibiotik dan ubat selesema. Bantu Raiyan untuk membuat jadual pemakanan ubat jika dia bermula makan ubat pada pukul 8:30 pagi. Ubat 1 2 3 Demam Antibiotik Selesema Ubat demam = 2 biji 3 kali sehari Antibiotik = 1 biji 2 kali sehari Ubat selesema = 1 biji 1 kali sehari 15

BAB 1 Bab 1 Pola dan Jujukan INTI PATI BAB Pola Jujukan Pola ialah suatu aturan atau corak tertentu dalam Jujukan ialah suatu susunan senarai nombor atau objek. nombor atau objek yang mengikut pola tertentu. Pola bagi pelbagai set nombor (i) Nombor genap dan nombor ganjil 4, 9, 14, 19, ... +5 +5 +5 Pola dan Jujukan nombor genap: 4, 14, 24, ... +10 +10 nombor ganjil: 9, 19, 29, ... +10 +10 Pola sesuatu jujukan merupakan corak yang mempunyai urutan yang tertib. (ii) Segi Tiga Pascal 1 11 1 21 1 331 14 6 41 (iii) Nombor Fibonacci Pola Suatu Jujukan 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Nombor Ungkapan Algebra Sebutan bagi Suatu Jujukan 3, 6, 9, 12, 15, ... 3, 6, 9, 12, 15, ... ditulis sebagai 3n‚ − 9 , −11, −13, −15, −17, ... +3 +3 +3 +3 n = 1, 2, 3, ... T1 T2 T3 T4 T5 Pola: Penambahan 3 Sebutan pertama, T1 = −9 Sebutan kedua, T2 = −11 Perkataan Sebutan ketiga, T3 = −13 4, 7, 10, 13, 16, ... Sebutan keempat, T4 = −15 Jujukan bermula dengan nombor 4 dan Sebutan kelima, T5 = −17 menambah 3 kepada nombor sebelumnya. 16

Bab 1 Pola dan Jujukan REFLEKSI DIRI BAB 1 Pada akhir bab ini, saya dapat: 1. Mengenal dan memerihalkan pola pelbagai set nombor dan objek dalam kehidupan sebenar. 2. Menerangkan maksud jujukan. 3. Mengenal pasti dan memerihalkan pola suatu jujukan. 4. Melengkapkan dan melanjutkan jujukan. 5. Membuat generalisasi tentang pola suatu jujukan menggunakan nombor, perkataan dan ungkapan algebra. 6. Menentukan sebutan tertentu bagi suatu jujukan. 7. Menyelesaikan masalah yang melibatkan jujukan. Tajuk: Blok futuristik Bahan: Cawan kertas, botol mineral, gam, pembaris dan gunting Setiap kumpulan dikehendaki menyediakan satu blok bangunan yang bercirikan masa hadapan (futuristik) menggunakan cawan kertas dan botol mineral. Warnakan hasil binaan dan namakan blok tersebut. Bentangkan hasil binaan setiap kumpulan. 17

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra BAB 2 ANDA AKAN MEMPELAJARI Umumnya algebra merupakan cabang 2.1 Kembangan matematik yang digunakan bagi menerangkan 2.2 Pemfaktoran perhubungan antara beberapa kuantiti unit, 2.3 Ungkapan Algebra dan Hukum Operasi contohnya jarak dengan laju, berat dengan tinggi dan lain-lain. Melalui perhubungan Asas Aritmetik ini, murid boleh mempelajari kemahiran menyelesaikan masalah dalam pelbagai situasi. RANGKAI KATA • Kembangan • Expansion • Ungkapan algebra • Algebraic expression • Faktor • Factor • Faktor Sepunya Terbesar • Highest Common (FSTB) Factor (HCF) • Pecahan algebra • Algebraic fraction • Kuasa dua sempurna • Perfect square • Pendaraban silang • Cross multiplication • Pengangka • Numerator • Penyebut • Denominator • Sebutan terendah • Lowest term • Gandaan Sepunya • Lowest Common Terkecil (GSTK) Multiple (LCM) 18

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra BAB 2 Menurut buku berjudul ‘al-Jabr w'al-Muqabala’ yang ditulis oleh seorang ahli matematik berbangsa Arab, Muhammad Ibn Musa al- Khwarizmi, perkataan algebra berasal daripada ‘al-Jabr’. Beliau juga digelar sebagai ‘Bapa Algebra’ atas sumbangan beliau dalam bidang algebra. Untuk maklumat lanjut: http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms019 MASLAHAT BAB INI Algebra banyak digunakan dalam perbandingan harga, proses jual beli, ukuran, perubahan nilai dan sebagainya. Algebra juga digunakan dalam bidang seperti bidang kimia, fizik, forensik dan lain-lain. 19

BAB 2 Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra AKTIVITI KREATIF Tujuan: Mengira luas menggunakan kaedah jubin algebra Bahan: Kertas berwarna hijau dan biru Langkah: 1. Potong kertas berwarna biru menjadi segi empat sama berukuran 6 cm panjang dan 6 cm lebar. 2. Potong kertas berwarna hijau mengikut ukuran saiz 6 cm panjang dan 2 cm lebar. 3. Hitung luas kertas biru dan kertas hijau dengan kaedah 1 dan kaedah 2. Kaedah 1: Luas kertas biru + luas kertas hijau 6 cm 2 cm 6 cm + 6 cm Kaedah 2: Panjang × (lebar biru + lebar hijau) (6 cm + 2 cm) 6 cm Jubin algebra adalah manipulatif matematik yang membolehkan murid untuk lebih memahami cara pemikiran algebra dan konsep algebra. 4. Adakah terdapat persamaan jawapan pada kedua-dua kaedah? Bincangkan. 5. Berdasarkan rajah di bawah, hitung luas segi empat ABCD. A x cm 3 cm B QR CODE x cm Imbas QR Code atau layari http://rimbunanilmu. my/mat_t2/ms020 untuk menonton video jenis-jenis jubin algebra. D C 20

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra 2.1 Kembangan Menerangkan maksud BAB 2 kembangan dua 2.1.1 Kembangan ungkapan algebra ungkapan algebra. Kembangan ungkapan algebra bermaksud hasil pendaraban satu atau dua ungkapan dalam kurungan. 2.1.2 Kembangan dua ungkapan algebra Ungkapan algebra ialah ungkapan yang menggabungkan nombor, pemboleh ubah atau simbol matematik lain dengan operasi. Misalnya, 2a + 5. Tujuan: Menentukan luas segi empat ABEF Melaksanakan kembangan Bahan: Lembaran kerja dua ungkapan algebra. Langkah: 1. Hitung luas ABEF dengan menggunakan dua kaedah di bawah. A 5x cm C 3 cm B F E 3 cm D Panjang EF boleh diperoleh dengan menulis ungkapan berikut. EF = (5x − 3) cm Kaedah 1 : Kaedah 2: Luas ABEF Luas ABEF = Luas ACDF – Luas BCDE = panjang × lebar =– = EF × AF = cm2 = × = cm2 Perbincangan: Adakah jawapan bagi kaedah 2 sama seperti kaedah 1? Terangkan. Apabila melakukan kembangan ungkapan algebra, setiap sebutan dalam tanda kurungan mesti didarabkan dengan sebutan di luar kurungan. CONTOH 1 (b) 3r (r – 2s) (+) × (+) + Kembangkan setiap ungkapan berikut. (+) × (–) – (a) 6(3 + 4w) (d) − 2y (9y – 3z + 6x) (–) × (+) – 3 (–) × (–) + (c) −5b(a + 3) 21

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra Penyelesaian: BAB 2 (a) 6(3 + 4w) (b) 3r(r – 2s) = (6 × 3) + (6 × 4w) = (3r × r) + �3r × (−2s)� = 18 + 24w = 3r 2 − 6rs (c) −5b (a + 3) (d) − 2y (9y – 3z + 6x) = (−5b × a) + (−5b × 3) 3 = −5ab − 15b =�−123y × 93y� + �−123y × (– 13z)� + �−123y × 62x� = −6y 2 + 2yz – 4xy Tujuan: Melaksanakan kembangan dua ungkapan algebra Bahan: Lembaran kerja Langkah: 1. Aktiviti berikut dijalankan secara berpasangan. 2. Murid pertama menghitung luas segi empat sama RSTU dengan menggunakan kaedah 1. 3. Murid kedua menghitung luas segi empat sama RSTU dengan menggunakan kaedah 2. R a b S a AB b CD UT Luas segi empat sama RSTU boleh dihitung dengan Kaedah 1 a b a b aa bb Db D a A + bb C a A aB B Luas segi empat sama RSTU = Luas A + Luas B + Luas C + Luas D = ( × ) + ( × ) + ( × ) + ( × ) = + + + = + + 22

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra Kaedah 2 ab Asingkan segi empat sama kepada dua bahagian seperti berikut. BAB 2 Luas segi empat RSTU = Luas A dan B + Luas C dan D = ( )(a + b) + ( )(a + b) aA B = ++ + = + + ab Perbincangan: b CD Adakah jawapan bagi kedua-dua kaedah terdapat persamaan? Apabila melakukan kembangan dua ungkapan algebra dalam dua tanda kurungan, setiap sebutan dalam tanda kurungan pertama mesti didarabkan dengan setiap sebutan dalam tanda kurungan kedua. Misalnya, (a + 2)(a + 1) = a(a + 1) + 2(a + 1) (a + b)(a + b) = (a + b) 2 = a 2 + a + 2a + 2 (a – b)(a – b) = (a – b) 2 = a 2 + 3a + 2 (a + b)(a – b) = (a × a) + �a ×(–b)� + (b × a) + �b × (–b)� Sebutan serupa = a 2 – ab + ba – b 2 boleh diselesaikan = a2 – b2 CONTOH 2 PERHATIAN Kembangkan setiap ungkapan berikut. (a + b)(a – b) = a 2 – b 2 (a + b)(a + b)≠a 2 + b 2 (a) (y + 1)(y – 3) (b) (4 + 3r)(2 + r) (a – b)(a – b) ≠ a 2 – b 2 (c) (3r + 4s)(r – 2s) (d) (3p + 2) 2 Kaedah alternatif (i) Pendaraban silang Penyelesaian: (×) a (×+)2 2a (+) (a) (y + 1)(y – 3) (b) (4 + 3r)(2 + r) a +1 a a2 +2 3a = y(y – 3) + 1(y – 3) = 8 + 4r + 6r + 3r 2 Maka, a 2 + 3a + 2 = y 2 – 3y + y – 3 = 8 + 10r + 3r 2 (ii) Bentuk lazim = y 2 – 2y – 3 = 3r 2 + 10r + 8 a +2 × a+1 a +2 (+) a 2 + 2a a 2 + 3a + 2 23

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra (c) (3r + 4s)(r – 2s) = 3r( r – 2s) + 4s(r – 2s) Hubungan antara pendaraban = (3r × r) + �3r × (– 2s)� + (4s × r) + �4s × (–2s)� ungkapan Binomial secara = 3r 2 – 6rs + 4sr – 8s 2 berulang dengan Segi Tiga Sebutan serupa Pascal. BAB 2 = 3r 2 – 2rs – 8s 2 boleh diselesaikan 1 (a + b) 0 1a + 1b (a + b) 1 (d) (3p + 2) 2 Sebutan serupa 1a2 + 2 ab + 1b2 (a + b) 2 = (3p + 2)(3p + 2) sr = rs 1a3 + 3 a2b +3ab2 + 1b3 (a + b) 3 = 9p 2 + 6p + 6p + 4 1a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + 1b4 (a + b) 4 Sebutan serupa = 9p 2 + 12p + 4 boleh diselesaikan Nyatakan dua sebutan seterusnya. Sebutan algebra disusun daripada kuasa tertinggi QR CODE kepada kuasa terendah. Imbas QR Code atau layari 2.1.3 Gabungan operasi termasuk kembangan http://rimbunanilmu.my/mat_ t2/ms024a untuk menonton Penyelesaian gabungan operasi bagi ungkapan algebra video kaedah pendaraban mahupun sebutan algebra mestilah mematuhi hukum 'BODMAS'. silang. Tujuan: Menulis hubungan algebra berdasarkan jubin algebra Mempermudah ungkapan Bahan: Perisian geometri dinamik algebra yang melibatkan Langkah: gabungan operasi termasuk kembangan. QR CODE Imbas QR Code atau layari http://rimbunanilmu. my/mat_t2/ms024b untuk membina poligon. 1. Buka fail MS024B untuk memperoleh paparan yang menunjukkan heksagon sekata berwarna kuning serta bentuk lain yang berwarna merah, biru dan hijau. 2. Pilih gabungan bentuk berwarna merah, biru atau hijau untuk dimasukkan ke dalam heksagon sekata berwarna kuning tersebut. 3. Tuliskan hubungan algebra yang diperoleh. 4. Pilih gabungan bentuk yang lain untuk dimasukkan ke dalam trapezium hijau. Perbincangan: Bandingkan hasil dapatan anda dengan kumpulan lain. 24

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra CONTOH 3 Permudah. (b) (r – 3t) 2 + 4rt B = Brackets BAB 2 (a) (3w – 2)(4w – 1) – 10w O = Order (c) (x + y)(x – y) + x(x – 2y) D = Division M = Multiplication Penyelesaian: A = Addition S = Subtraction (a) (3w – 2)(4w – 1) – 10w = 3w (4w – 1) – 2 (4w – 1) – 10w Untuk maklumat lanjut: Imbas QR Code di bawah = 12w 2 – 3w – 8w + 2 – 10w atau layari http://rimbunanilmu.my/ = 12w 2 – 3w – 8w – 10w + 2 mat_t2/ms025 = 12w 2 – 21w + 2 Hukum Kalis Agihan digunakan apabila (b) (r – 3t) 2 + 4rt = (r – 3t)(r – 3t) + 4rt melakukan kembangan. = r 2 – 3rt – 3rt + 9t 2 + 4rt a × (b + c) = a × b + a × c a × (b − c) = a × b − a × c = r 2 + 9t 2 – 3rt – 3rt + 4rt = r 2 + 9t 2 – 2rt (c) (x + y)(x – y) + x(x – 2y) = x 2 – xy + xy – y 2 + x 2 – 2xy = x 2 + x 2 – y 2 – xy + xy – 2xy = 2x 2 – y 2 – 2xy 2.1.4 Penyelesaian masalah CONTOH 4 Menyelesaikan masalah yang melibatkan kembangan Puan Maria mempunyai sebidang permaidani yang panjangnya dua ungkapan algebra. (3r − 2) meter dan lebarnya ialah (r + 1) meter. Hitung luas permaidani Puan Maria. (3r – 2) m Penyelesaian: Luas = panjang × lebar (r + 1) m = (3r – 2)(r + 1) = 3r 2 + 3r – 2r – 2 = 3r 2 + r – 2 Maka, luas permaidani ialah (3r 2 + r – 2) meter persegi. CONTOH 5 Ramesh menerima wang saku sebanyak RM50 untuk (y – 8) hari. Setiap hari dia membelanjakan sebanyak RM(x − 3) untuk secawan kopi dan RM(x + 4) untuk mi rebus. Hitung baki wang Ramesh. 25

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra Penyelesaian: BAB 2 Memahami Merancang strategi Melaksanakan strategi Membuat masalah kesimpulan Tentukan jumlah Menghitung baki Kenal pasti perbelanjaan dalam perbelanjaan dengan jumlah harga masa (y − 8) hari dengan proses kembangan. kopi dan mi kaedah kembangan. rebus. Wang saku − Jumlah Baki wang saku. Hari × Harga perbelanjaan RM(58 − 2xy − y + 16x) (x − 3) + (x + 4) = (y − 8)(2x + 1) = 2x + 1 = 2xy + y − 16x − 8 = 50 − (2xy + y − 16x − 8) = 50 − 2xy − y + 16x + 8 = 58 −2xy − y + 16x JOM CUBA 2.1 1. Berdasarkan jubin algebra berikut, tulis luas kawasan berlorek dalam bentuk pendaraban dua ungkapan algebra. (a) a 1 1 (b) 4x a 4x 1 33 2. Kembangkan ungkapan algebra berikut. (a) 3(x + 2) (b) 4(8x − 3) (c) 2(a + 5) (d) p(6p − 8) (f) −2(pr − 2pq) (e) − r (2s − 8) (i) 8g(2 + gh) 8 (g) 3(5bc − 6) (h) 7(2ef + 3e) 3. Kembangkan ungkapan algebra berikut. (a) ­(a + 1)(a + 2) (b) (x − 5)(x + 4) (c) (2 + m)(5 − m) (d) (3p − 2)(4p − 1) (e) (3r − 2)(4r − 1) (f) (2r + s)(4r − 3s) (h) (r − 3s) 2 (i) (4e − 3) 2 (g) (2d − 1 b)(3d − 1 b) 2 2 4. Permudah ungkapan berikut. (b) 3(4m − 5mn) − 2(8m + mn) (a) (5b + 3) + 4(3b − a) (d) (x + y)(x − y) + 2x(x + 2y) (c) (h − j)2 − 2h(3h − 3j) 26

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra 5. Hitung luas rajah berikut dengan menggunakan ungkapan algebra. (a) (b) y–1 BAB 2 2p – 3 3y – 2 (c) (d) w +�3 2x – 3 2w 5x + 2 � 4w – 2 6. Hadila berumur 2 tahun lebih muda daripada Kai Yee. Umur bapa Kai Yee ialah kuasa dua umur Hadila. Jika Kai Yee berumur p tahun, hitung jumlah umur mereka bertiga. Ungkapkan jawapan anda dalam bentuk ungkapan algebra. 7. Sebuah permukaan meja berbentuk segi empat tepat mempunyai panjang (5x − 2) meter dan lebar (x + 2) meter. Encik Phillip ingin meletakkan cermin kaca di atas meja tersebut. Lebar meja yang tidak ditutupi dengan cermin ialah (x − 3) meter. Ungkapkan luas permukaan meja yang tidak ditutupi dengan cermin kaca tersebut. 8. Hitungkan panjang LM dalam sebutan y. K 7y – 3 4y – 1 ML 2.2 Pemfaktoran 2.2.1 Konsep faktor dan pemfaktoran Menghubungkaitkan pendaraban ungkapan Pemfaktoran ialah proses mengenal pasti faktor sebutan dan ungkapan algebra dengan konsep algebra dan apabila didarabkan akan menghasilkan ungkapan asal. faktor dan pemfaktoran, Pemfaktoran merupakan proses songsangan kepada kembangan. dan seterusnya menyenaraikan faktor Misalnya, faktor bagi 3p bagi hasil darab ungkapan algebra tersebut. 1 × 3p 3 × p Maka, faktor bagi 3p ialah 1, 3, p dan 3p. 27

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra Faktor, Faktor Sepunya dan Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) bagi hasil darab ungkapan algebra BAB 2 Faktor sepunya ialah faktor bagi sebutan algebra yang membahagi Pemfaktoran ialah dengan tepat dua atau lebih sebutan lain. Faktor Sepunya Terbesar songsangan kepada (FSTB) ialah faktor yang terbesar antara semua faktor sepunya. kembangan. Perhatikan ungkapan, 4x + 2 = 2(2x + 1) Kembangan 2 ialah faktor sepunya bagi 4x dan 2. a(a + b) = a 2 + ab Pemfaktoran CONTOH 6 Senaraikan semua faktor sepunya bagi setiap sebutan berikut. (a) 6h, 4gh (b) 9c2d, 3d2e, 6def Penyelesaian: (b) 9c2d, 3d2e dan 6def (a) 6h = 1 × 6h 9c2d = 1 × 3 × 3 × c × c × d 3d2e = 1 × 3 × d × d × e 2 × 3h 6def = 1 × 2 × 3 × d × e × f 3 × 2h Faktor sepunya bagi 9c 2d, 3d 2e dan 6 d ef ialah 1, 3, d dan 3d. 3d ialah faktor sepunya h × 6 kerana boleh membahagi semua sebutan di 4gh = 1 × 4gh atas dengan tepat. 4 × gh PERHATIAN 2 × 2gh 2g × 2h g × 4h h × 4g Maka, faktor sepunya bagi 6h dan '1' ialah faktor bagi 4gh ialah 1, 2, h dan 2h. semua sebutan algebra. 2.2.2 Pemfaktoran ungkapan algebra Memfaktorkan ungkapan algebra dengan Menggunakan FSTB pelbagai kaedah. Ungkapan algebra boleh difaktorkan dengan mencari Faktor Sepunya Terbesar (FSTB). Misalnya, 8x 12x 2 4x ialah FSTB Faktor bagi 16 Maka, ungkapan algebra bagi 8x + 12x 2 boleh ditulis sebagai hasil 16 ÷ 1 = 16 16 ÷ 8 = 2 darab dua faktor seperti, 16 ÷ 2 = 8 16 ÷ 16 = 1 16 ÷ 4 = 4 4x(2 + 3x) Ini dinamakan pemfaktoran. Maka, faktor bagi 16 ialah 1, 2, 4, 8 dan 16. 28

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra CONTOH 7 1. Tentukan Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) bagi setiap sebutan 4 8x , 12x 2 x 2x , 3x 2 (a) 6h , 4gh (b) 9c 2d , 3d 2e , 6def 2 , 3x 2. Faktorkan setiap ungkapan berikut. FSTB = 4x BAB 2 FSTB boleh ditentukan (a) 3x + 15 (b) 7m + 21m 2 dengan kaedah pembahagian berulang. Penyelesaian: Semak jawapan anda dengan kaedah kembangan. 1. (a) 2 6h , 4gh FSTB = 2h (b) 3 9c 2d , 3d 2e , 6def h 3h , 2gh d 3c 2d , d 2e , 2def 4x (2 + 3x) 3c 2 , de , 2ef = 8x + 12x 2 3 , 2g FSTB = 3d Nombor kuasa dua sempurna. Penyelesaian: FSTB = 3 (b) 7 7m + 21m 2 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 2. (a) 3 3x + 15 Maka, 3(x + 5) 81, 100, 121, 144, ... m m + 3m 2 x+5 1 + 3m FSTB = 7m Maka, 7m(1 + 3m) Menggunakan beza antara dua sebutan kuasa dua sempurna x 2 – y 2 ialah sebutan beza kuasa dua. x 2 – y 2 boleh difaktorkan Semak semula dengan dengan beza kuasa dua sempurna. Kaedah ini hanya boleh digunakan jika kedua-dua sebutan algebra tersebut ialah kuasa kaedah kembangan dua sempurna. (x + 2)(x −2) = x(x − 2) + 2(x − 2) Perhatikan, = x 2 − 2x + 2x − 4 = x2 − 4 x2 – 4 = x2 – 22 = (x + 2)(x – 2) CONTOH 8 (b) 9m 2 – 100 Nombor Beza kuasa (d) 5k 2 – 80 ganjil dua Faktorkan setiap ungkapan berikut. (a) b 2 – 1 (b) 9m 2 – 100 1 12 − 02 (c) 3y 2 – 147 = (3m) 2 – 10 2 3 22 − 12 = (3m + 10)(3m − 10) 5 32 − 22 Penyelesaian: 7 42 − 32 9 52 − 42 (a) b 2 – 1 11 62 − 52 = b 2 – 12 13 72 − 62 = (b + 1)(b – 1) 29

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra (c) 3y 2 – 147 FSTB 3 dan 147 (d) 5k 2 – 80 FSTB 5 dan 80 = 3(y 2 – 49) ialah 3 = 5(k 2 – 16) ialah 5 = 3(y 2 – 72) = 5(k 2 − 42) BAB 2 = 3(y + 7)(y – 7) = 5(k + 4)(k − 4) Suatu ungkapan algebra seperti x2 + 2xy + y2 boleh difaktorkan Identiti Pemfaktoran sebagai (x + y)(x + y). (a) (x + y)2 = (x + y)(x + y) Menggunakan pendaraban silang = x 2 + 2xy + y 2 Bagi ungkapan algebra berbentuk ax2 + bx + c dengan a≠0 dan a, (b) (x – y) 2 b, c ialah suatu integer boleh difaktorkan dengan kaedah pendaraban = (x – y)(x – y) silang. = x 2 – 2xy + y 2 Perhatikan contoh di bawah berserta penerangannya untuk pemfaktoran (c) x 2 – y 2 ungkapan algebra x2 + 6x + 8. = (x + y)(x − y) Langkah 1: Bandingkan pekali QR CODE 1x2 + 6x + 8 Imbas QR Code atau layari a x2 + b x + c http://rimbunanilmu.my/ mat_t2/ms030 di bawah Maka, a = 1, b = 6 dan c = 8 untuk menonton video tentang kaedah pemfaktoran menggunakan jubin algebra. Langkah 2: Faktor bagi 8 ialah 1, 2, 4 dan 8. 2 dan 4 dipilih kerana menepati c , iaitu 2 × 4 = 8. Langkah 3: 2 dan 4 dipilih kerana menepati b , iaitu 2 + 4 = 6. Langkah 4: Lakukan darab silang seperti di bawah. Hasil Hasil Darab Tambah c b x +2 2x 1 + 8 =9 1× 8 =8 −1 + (−8) = −9 −1 × (−8) = 8 (×) (×) (+) 2 ++4 =46= 6 2 ××4 =48 = 8 −2 + (−4) = −6 −2 × (−4) = 8 x +4 4x x2 +8 6x cb Pemfaktoran dan pembahagian Langkah 5: Faktor x2 + 6x + 8 ialah (x + 2)(x + 4). x+4 x + 2 x2 + 6x + 8 (−) x2 + 2x 4x + 8 (−) 4x + 8 0 30

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra CONTOH 9 Faktorkan setiap ungkapan berikut. (b) m2 − 2m − 8 (a) x2 − 6x + 9 Penyelesaian: BAB 2 (a) x2 − 6x + 9 Pendaraban (b) m2 − 2m − 8 faktor 9: −3 + (−3) = −6 Pendaraban (−1) × (−9) faktor 8: (−3) × (−3) 1 × (−8) −2 × 4 x −3 −3x 2 × (−4) 2 + (− 4) = −2 (×) (×) (+) 2m −3 −3x m 2 x x2 +9 −6x (×) (×) (+) m −4 −4m m2 −8 −2m Maka, x2 – 6x + 9 = (x – 3)(x – 3). Maka, m2 − 2m − 8 = (m + 2)(m − 4). CONTOH 10 QR CODE Faktorkan ungkapan berikut. Pendaraban faktor 6: Imbas QR Code atau 2m2 + 7m + 6 1×6 layari http://rimbunanilmu. 2×3 my/mat_t2/ms031 untuk Penyelesaian: menonton video tentang pemfaktoran menggunakan Cubaan pertama: Cubaan kedua: kaedah pendaraban silang. 2m 1 1m 2m 3 3m (×) (×) (+) (×) (×) (+) m 6 12m m 2 4m 2m2 +6 13m 2m2 +6 7m Maka, 2m2 + 7m + 6 = (2m + 3)(m + 2). Semak jawapan dengan kaedah kembangan CONTOH 11 Penyelesaian bagi −2y 2 − 9y + 5 boleh juga Faktorkan ungkapan berikut. (b) –3x2 – 8x – 5 ditulis (−2y + 1 )(y + 5). (a) –2y2 – 9y + 5 Bincangkan. Penyelesaian: (a) 2y −1 +y (b) 3x 5 −5x (×) (×) (+) (×) (×) (+) −y −5 −10y −x −1 −3x −2y2 −3x2 −5 −8x +5 −9y Maka, –2y2 – 9y + 5 = (2y – 1)(–y – 5). Maka, –3x2 – 8x – 5 = (3x + 5)(–x – 1). 31

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra Menggunakan faktor sepunya dalam empat sebutan algebra ab + ac + bd + cd = (ab + ac) + (bd + cd) Pemfaktoran boleh dilakukan seperti berikut. = a(b + c) + d(b + c) Hukum Kalis Agihan 2x2 + 7x + 3 = 2x2 + 6x + x + 3 = (b + c)(a + d) BAB 2 CONTOH 12 = 2x(x + 3) + (x + 3) = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3) Faktorkan setiap ungkapan berikut. (a) pq + qr + ps + rs (b) 2px + 6qy – 4py – 3qx Penyelesaian: Gabungkan sebutan (a) pq + qr + ps + rs yang ada faktor (b) 2px – 4py – 3qx + 6qy = (pq + qr) + (ps + rs) sepunya di dalam = (2px – 4py) – (3qx – 6qy) = q(p + r) + s(p + r) = 2p(x – 2y) – 3q(x – 2y) satu kurungan = (q + s)(p + r) Faktor sepunya = (x – 2y)(2p – 3q) 2.2.3 Penyelesaian masalah CONTOH 13 Menyelesaikan masalah yang melibatkan pemfaktoran. Luas sebuah padang bola sepak berbentuk segi empat tepat ialah (4x2 + 16x) meter persegi. Padang itu telah ditenggelami air seperti dalam rajah di bawah. Jika lebar padang itu ialah 4x meter dan dua kawasan yang ditenggelami air ialah segi tiga bersudut tegak yang sama saiz, berapakah luas kawasan yang tidak ditenggelami air? Penyelesaian: kawasan yang ditenggelami air 4x Memahami masalah Tentukan tapak Merancang strategi segi tiga bersudut Kenal pasti panjang tegak Luas dua segi tiga bersudut tegak padang 1 Tapak segi tiga luas bersudut tegak Luas = 2 × � 2 × tapak × tinggi� Panjang = = 4x ÷ 2 1 lebar = 2 × � × 2x × (x + 4)� = 2x 4x2 + 16x 2 = = 2x2 + 8x 4x 14x(x + 4) Melaksanakan strategi = 14x Luas kawasan yang tidak ditenggelami air = (x + 4) = Luas padang – luas dua segi tiga bersudut tegak Membuat kesimpulan = 4x2 +16x – (2x2 + 8x) = 4x2 – 2x2 + 16x – 8x Luas kawasan yang tidak ditenggelami air = 2x2 + 8x = (2x2 + 8x) m2 32

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra JOM CUBA 2.2 1. Senaraikan faktor sepunya dan FSTB bagi setiap sebutan berikut. (a) 8y, 12y (b) 2b, 3b (c) 3w, 5w2 BAB 2 (f) 4a 2b, 8b 2c, 6bcd (d) 10m2, 15mk (e) 5bc, 2c2, 3cd 2. Faktorkan ungkapan algebra berikut. (a) 5e + 10 (b) 2ab − 8a2 (c) 3abc + 6a 2b (f) 2x2 – 4xy + 6wx (d) 4x – 12x2 (e) ef + f 2 + fg 3. Faktorkan ungkapan algebra berikut. (a) b2 – 81 (b) a2 – b2 (c) x2 – 1 (f) 4(x – 1)2 – 9 (d) 16y2 – 49 (e) (m + 3)2 – 16 4. Faktorkan ungkapan algebra berikut. (a) x2 + 9x + 14 (b) x2 + 7x – 18 (c) x2 – 5x – 24 (f) k2 – 8k + 16 (d) m2 + 11m – 26 (e) y2 – 2y – 15 (i) 2m2 + 4m – 16 (l) 5p2 + 6p – 8 (g) 2m2 – 11m – 6 (h) 9f 2 – 12f + 4 (o) – 6 x 2 – x + 15 (j) 2x2 – 5x – 7 (k) 12y2 + 8y – 15 (m) –5m2 – 6m + 8 (n) –3p2 + 8p − 4 5. Faktorkan ungkapan algebra berikut. (b) x2 + xy + 6x + 6y (a) pq – qr – pw + rw (d) ah + aj – bh – bj (c) 3ab – 9ad + bc – 3cd (f) 9xy – 3xz + 12py – 4pz (e) jm – jn + ym – yn 6. (y + 2) m 2m 3m (2y − 1) m Lantai di sebuah bilik berbentuk segi empat tepat dan sebidang permaidani berukuran 3 meter panjang dan 2 meter lebar dibentangkan di dalam sebuah bilik. (a) Hitung luas lantai yang tidak ditutupi permaidani. (b) Felisa ingin menutupi keseluruhan lantai bilik dengan permaidani yang sama saiz. Nyatakan berapa bidang permaidani yang perlu dibeli sekiranya nilai y = 2. 33

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra 2.3 Ungkapan Algebra dan Hukum Operasi Asas Aritmetik Anda telah mempelajari kembangan, pemfaktoran dan penyelesaian masalah. Cuba selesaikan gabungan operasi berikut yang melibatkan kembangan dan pemfaktoran. BAB 2 2.3.1 Penambahan dan penolakan ungkapan algebra Melaksanakan penambahan CONTOH 14 dan penolakan ungkapan algebra yang melibatkan Permudah. kembangan dan pemfaktoran. (a) 2x2 – 2(4x + 5) (b) 4w (w – 2) – 5 Penyelesaian: (a) 2x2 – 2(4x + 5) = 2x2 – 8x – 10 (b) 4w (w – 2) – 5 = 4w2 – 8w – 5 = 2(x2 − 4x − 5) = (2w – 5)(2w + 1) = 2(x – 5)(x + 1) Menambah atau menolak pecahan algebra dengan penyebut yang sama CONTOH 15 Permudah setiap yang berikut. Sebelum menyelesaikan (a) 4a + 3a (b) y − 3y (c) x+2 − x−5 pecahan, langkah pertama 5 5 2x 2x 5w 5w ialah menyamakan Penyelesaian: penyebut. 3 2 5 (a) 7 + 7 = 7 (a) 4a + 3a (b) y − 3y (c) x+2 − x−5 (b) 3y + 8y = 11y 5 5 2x 2x 5w 5w 5 5 5 = 7a y − 3y x + 2 − (x − 5) (c) 7x − x 5 2x 5w 5 10 = = 7x ×2 x 1 2y x+2−x+5 = 5 ×2 − 10 2x 5w − y = −y = − = = 14x − x x x 10 10 1 y 7 x 5w Tanda negatif tidak boleh =– = = 13x berada di bahagian 10 penyebut (d) 4 − x xy2 y (−) × (−) = + = 4 − x × xy xy2 y × xy = 4 − x2y xy2 xy2 = 4 − x2y xy2 34

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra Menambah atau menolak pecahan algebra yang penyebutnya tidak sama Salah satu daripada penyebutnya ialah gandaan bagi penyebut yang lain CONTOH 16 BAB 2 Permudah setiap ungkapan berikut. 3 1 4 2r (a) 4y − 2y (b) rs – s Penyelesaian: 1 ×2 1 2 – 1 2 ×2 4 4 ( a) 43y – 21y ××22 == 4314y–y2 Speanmyae kbaun tnya (b) =r4s4 – 2r × r – = s × r = 1 − 2r2 4 rs Penyebut pecahan tersebut tidak mempunyai faktor sepunya CONTOH 17 Permudah setiap ungkapan berikut. 3 1 3 ×3 1 ×4 4 3 4 ×3 3 ×4 (a) 5x − 3x 2a b – = – 3 2 3 2c (b) + = 9 – 4 12 12 Penyelesaian: = 5 5x ×2 3x × 3 12 (a) 3 ×2 − 2 ×3 2a b (b) 3 + 2c = 10x – 9x = 2a × 2c + b ×3 6 3 × 2c 2c ×3 = x 6 = 4ac + 3b 6c Penyebut pecahan mempunyai faktor sepunya CONTOH 18 Gandaan Sepunya Terkecil (GSTK) Permudah setiap ungkapan berikut. (a) 1 + 4 (b) m – 5m 4p 6p 4r 14rs Penyelesaian: (a) 1 + 4 = 1 ×3 + 4 ×2 (b) m – 5m = m × 7s – 5m × 2 4p 6p 4p ×3 6p ×2 4r 14rs 4r × 7s 14rs × 2 = 3 + 8 2p 4p , 6p 2r 4 r , 14rs = 7ms – 10m 12p 12p 28rs 2 ,3 2 , 7s 11 = 12p GSTK = 2p × 2 × 3 GSTK = 2r × 2 × 7s = 12p = 28rs 35

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra 2.3.2 Pendaraban dan pembahagian ungkapan algebra BAB 2 Untuk mendarab dan membahagi ungkapan algebra, anda perlu Melaksanakan pendaraban memfaktorkan ungkapan tersebut, kemudian memansuhkannya dan pembahagian sekiranya terdapat faktor sepunya pada pengangka dan penyebutnya. ungkapan algebra yang Misalnya, melibatkan kembangan dan pemfaktoran. (2p + 4) ÷ (p2 − 4) boleh ditulis sebagai 2p +4 . p2 –4 2p + 4 = 2(p + 2) Faktorkan pengangka 1m = 1 p2 – 4 p2 – 22 1mn n = 2(p +1 2) 2) Permudah ungkapan atau 2s2 = 2(1s)(s) (p + 2)(p – sebutan yang sama jika ada 8sp 8(s)(p) 1 1 s = 2 = 4p – p 2 Proses ini memerlukan kemahiran pemfaktoran yang telah anda pelajari. CONTOH 19 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 Permudah. a2 − b2 = (a + b)(a − b) (a) a2 – 1 × b2 (b) (h + k)2 × 6k – 3h a+1=1+a 2ab 1+a 2k – h h2 – k2 a − b = −(b − a) (p − q)2 = (q − p)2 (c) 5a ÷ 2ab (d) a2 – b ÷ (a – b)2 a + 2b 3a + 6b 10a – 5b 8a – 4b Penyelesaian: (a) a2 – 1 × b2 (b) (h + k)2 × 6k – 3h Faktorkan 2ab + 2k – h h2 – k2 (1 a) 1 1 1 x x x (a +1 1)(a – 1) 1b(b) (h +1 k)(h + k) 3(2k1– h) ÷ Salingan 2ab 1 (1 + a)1 2k – h 1 (h + k)(h – k) = × = × = 1 × x1 adalah x ÷ 1 = 1x 1 dan tukarkan b(a – 1) 3(h + k) 1 operasi ÷ 2a Permudah ungkap an = = 1 kepada × h–k Permudah ungkapan yang sama yang sama (c) a 5a ÷ 2ab (d) a2 – b2 ÷ (a – b)2 + 2b 3a + 6b 10a – 5b 8a – 4b 5a 1 3(a +12b) (a + b)(a – b) 1 4(2a – b) 1 = + 2b) × 2ab = 5(2a – b) 1 × (a – b)(a – b) 3 ÷ 5 (a 1 1 4 4 = 15 1 = 4(a + b) Permudah ungkapan = 3 × 41 Permudah ungkapan 5(a – b) yang sama 4 1 5 2b yang sama = 3 5 36

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra 2.3.3 Gabungan operasi ungkapan algebra CONTOH 20 Melaksanakan gabungan operasi ungkapan Selesaikan gabungan operasi berikut. algebra yang melibatkan BAB 2 kembangan dan pemfaktoran. (a) 2 (15a + 25b) + a (b) 9k 2 – 12k + 4 5b b (3k + 2)(3k – 2) PERHATIAN (c) 12m – 18m2 × n (d) a–b ÷ (a – b)2 Pemfaktoran dua, tiga dan 4n2 – 16n m 3a + b 6a + 2b empat sebutan: Penyelesaian: Dua sebutan (a) 52b(15a + 25b) + a (b) 9k 2 – 12k + 4 a2 − b2 = (a + b)(a − b) b (3k + 2)(3k – 2) Contoh: 2 1 x2 − 16 = (x + 4)(x − 4) =1 5b × + 5b) + a = (3k 1– 2)(3k – 2) 5(3a b (3k + 2)(3k – 2) Tiga sebutan = 2(3a + 5b) + a 1 Faktor dalam dua kurungan b b ( )( ) = 3k – 2 6a + 10b a 3k + 2 Contoh: = b + b x2 − 4x − 21 = (x − 7)(x + 3) = 7a + 10b b Empat sebutan (c) 12m – 18m2 × n (d) a–b ÷ (a – b)2 6xy + 2y + 9x +3 4n2 – 16n m 3a + b 6a + 2b Contoh: (6xy + 2y) + (9x + 3) = 3 6m1(2 – 3m) × n1 = a–b × 6a + 2b = 2y(3x + 1) + 3(3x + 1) 2 4n(n – 4) m1 3a + b (a – b)2 = (2y + 3)(3x + 1) 2(3a +1 1 (a 1– b) (a – b)(a b) 3(2 – 3m) = (3a + b) × – b) = 2(n – 4) 1 1 2 a–b = JOM CUBA 2.3 1. Permudah setiap yang berikut. (a) 4(b − 1)2 − 9 (b) (m + 3)2 − 16 (c) (p − 5)2 − 49 (d) 7x(x − 1) − 3 (e) (2c − 1)2 + 2(4 + c) 2. Permudah setiap yang berikut. (a) 35y + 3y (b) 3m + 2n – m – 5n (c) 24rr +– 33ss – 3r – 43ss 5 m – 2n m – 2n 2r + 3. Permudah setiap yang berikut. (a) 5p – 2 (b) 2s – 4s (c) x 3+ y – 4(x3z+ y) p2 3 9 4. Permudah setiap yang berikut. 1 (c) r 2– 2 + 34s 6s (a) 34u + 5v (b) – 2 3 5t 37

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra 5. Permudah setiap yang berikut. (a) m9 n (b) 3m3n + 6mn 2 (c) d42g + 53dg + 12 6. Permudah. (c) mm2 +– n (d) 42kk2––11 (a) x2xy– x (b) 6a1+2 15 n2 (e) 2cc2 –+ 9 BAB 2 6 7. Permudah. 3 (b) k h– 2 × h y+ 3 (a) a 2– + 3 × 3 a (c) (m3m– n) × 2mn (d) 2r × s – 4 (n – 2m) s–2 r + 5 8. Permudah. 2(x + 2) (b) rs2–r2s2 × 52rr –– 54sr2 (a) xm+ m2(x – a) 2 × (c) x x × x2 + 5x + 6 (d) 5ee+–22ff × 43ef 22––109eeff + 5x2 2 9. Permudah. (a) 2a5a+ 3 ÷ 3b a+b (b) n 4– 3 ÷ 3n8a– 9 (c) x26+y2xy ÷ 18xy (d) egf –+12e ÷ gfg+–2g x+y 10. Selesaikan gabungan operasi berikut. (a) xx22 + x xy – y2 (b) 4pp22 ––11 × p4qp –+ 2q – y 2 × x+y (c) prq2 – pr ÷ q2 – rr2 (d) s4tt2+–tu1 ÷ 4ts2 2+–4ut2+ 1 – 1 r2 + MENJANA KECEMERLANGAN 1. Kembangkan setiap ungkapan berikut. (a) 12 (6a + 12b) (b) (n + 2)(n – 5) (c) (a + 2b)2 (d) (4x – y)2 (e) �2v – 31w ��3v + 2 � (f) (h – k)2 – 4h(2k – 3h) 3w 2. Faktorkan setiap ungkapan berikut. (a) 12m – 18m2 (b) y 2 – 81 (c) 4ab – 8a2 b (d) x2 – 16y2 (e) (s – 3)2 – 1 (f) x2 + 4x + 3 (g) x2 + 2x – 15 (h) x2 + 6x + 8 (i) 6cd – 2ce – 3bd + be 3. Permudah setiap ungkapan berikut. (a) a 4+v 2 a–b (b) 53aeb – 54dc (c) f 42g – 53fg + 2v 38

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra (d) n +2 + n (e) 85yxz + y12–x1z (f) 4rsy + 218–yrz m2 mp 4. Nenek mempunyai sekeping coklat berukuran (k2 – 16) cm panjang dan dia ingin membahagikannya BAB 2 kepada cucunya seramai (k – 4) orang. Berapakah ukuran panjang coklat yang akan diterima oleh setiap cucunya? 5. Gurdip dan Jumrang ialah pekerja sambilan di sebuah kedai runcit. Gurdip mendapat bayaran gaji RM3 per jam lebih murah daripada dua kali gaji Jumrang. Katakan gaji Jumrang ialah RMx per jam, hitung jumlah gaji bagi (x + 2) jam gaji Gurdip dan (2x + 3) jam gaji Jumrang. Tulis dalam bentuk ungkapan algebra. 6. Luas sebidang tanah untuk membuat parkir kereta di sebuah pasar raya ialah 25(x2 – 8x + 16) meter persegi. (i) Jika luas seunit tapak parkir kereta ialah (x – 4)2 meter persegi, berapa buahkah kereta yang dapat diparkirkan di tempat tersebut? (ii) 4 unit tapak parkir telah ditempah oleh pemilik pasar raya tersebut. Berapakah unit tapak parkir yang tinggal? 7. Khairul ingin menampal dindingnya dengan kertas hiasan dinding. Dindingnya berukuran (x + 5) meter panjang dan (3x − 2) meter lebar. (i) Berapakah luas kawasan dinding yang akan ditampal dengan kertas hiasan dinding sekiranya ukuran pintu ialah (x – 1) meter panjang dan x meter lebar? (ii) Sekiranya harga kertas hiasan dinding tersebut ialah RM8x per meter persegi, berapakah jumlah wang yang perlu dibayar oleh Khairul? 8. Swee Lee sepatutnya dapat menyiapkan (28 + 16x) bilangan soalan matematik dalam masa 4 jam. (i) Berapakah bilangan soalan yang dapat disiapkan dalam masa 30 minit? (ii) Sekiranya Swee Lee hanya dapat menyiapkan (14 + 8x) bilangan soalan tersebut, berapa lamakah masa yang diambilnya? 9. Azimah membuat seloyang kuih lapis berbentuk segi empat tepat berukuran (3x + 2) cm panjang dan (x + 2) cm lebar. Dia memotong kuih lapis tersebut kepada 6 bahagian panjang dan 3 bahagian lebar. Hitung luas sepotong kuih lapis tersebut dalam bentuk ungkapan algebra. 10. Encik Hanapi ingin mendirikan sebuah banglo satu tingkat di sebidang tanah berukuran x meter lebar dan y meter panjang. Dia perlu menyediakan 2 meter rizab jalan untuk jirannya. (i) Berapakah luas tanah Encik Hanapi yang asal? Rumah (ii) Berapakah perbezaan luas tanah yang asal dengan jiran luas tanah selepas ditolak rizab jalan? x (iii) Sekiranya harga tanah ialah RM18 per meter persegi, berapakah harga keseluruhan tanah Encik Hanapi? 2 y 39

BAB 2 Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra INTI PATI BAB Pemfaktoran dan Pecahan Algebra Kembangan Pemfaktoran Pendaraban suatu ungkapan dengan suatu Proses menulis suatu ungkapan algebra sebutan lain atau ungkapan algebra yang lain. sebagai hasil darab dua atau lebih sebutan atau ungkapan algebra. • a(x + y) = ax + ay Pemfaktoran ialah songsangan kepada • (a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by kembangan. • b(c + d) = bc + bd • (b + c)(d + e) = bd + be + cd + ce • 2a – a 2 = a(2 – a) • (b + c) 2 = b 2 + 2bc + c 2 • (b − c) 2 = b 2 − 2bc + c 2 • a 2 + 4a + 3 = (a + 1)(a + 3) • (b + c)(b − c) = b2 − c 2 • a 2 – 7a + 10 = (a – 5)(a – 2) • a 2 – 36 = (a2 – 6 2) = (a – 6)(a + 6) • ab + ac + bd + cd = (b + c)(a + d) • a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2 Penambahan dan Penolakan Pendaraban dan Pembahagian Sebelum menambah atau menolak dua Laksanakan pemfaktoran kepada ungkapan pecahan algebra, semak penyebutnya dahulu. jika perlu, sebelum pembahagian atau Jika penyebutnya tidak sama, anda perlulah pendaraban dilakukan. samakannya. • a + b = a + b 4 4 4 +1 y)(x −1y) • 1 + 1 = b+a m+n ÷ (m + n)2 = m – n × (x + n)(m + n) a b ab x–y x2 – y2 x y (m + 1 1 1 ×b 1 ×2 1 1 ab 2a × b ab × 2 x+y • 2a – = – = m+n = b–2 2ab 40

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra BAB 2 REFLEKSI DIRI Pada akhir bab ini, saya dapat: 1. Menerangkan maksud kembangan dua ungkapan algebra. 2. Melaksanakan kembangan dua ungkapan algebra. 3. Mempermudah ungkapan algebra yang melibatkan gabungan operasi termasuk kembangan. 4. Menyelesaikan masalah yang melibatkan kembangan dua ungkapan algebra. 5. Menghubungkaitkan pendaraban ungkapan algebra dengan konsep faktor dan pemfaktoran, dan seterusnya menyenaraikan faktor bagi hasil darab ungkapan algebra tersebut. 6. Memfaktorkan ungkapan algebra dengan pelbagai kaedah. 7. Menyelesaikan masalah yang melibatkan pemfaktoran. 8. Melaksanakan penambahan dan penolakan ungkapan algebra yang melibatkan kembangan dan pemfaktoran. 9. Melaksanakan pendaraban dan pembahagian ungkapan algebra yang melibatkan kembangan dan pemfaktoran. 10. Melaksanakan gabungan operasi ungkapan algebra yang melibatkan melibatkan kembangan dan pemfaktoran. Tajuk: Berapakah sukatan sebaldi air ini? Bahan: Sebaldi air (dilabel z), beberapa botol mineral kecil (dilabel x), beberapa botol mineral besar (dilabel y) dan corong Setiap kumpulan diberi beberapa botol mineral yang kosong (berbeza saiz) dan corong. Murid diminta menuangkan air tersebut ke dalam botol kosong. Tulis hubungan algebra tentang sukatan air tersebut. Bentangkan hasil jawapan setiap kumpulan. Adakah sukatan setiap kumpulan sama? Dapatkah anda menentukan isi padu air? z xx x yyy 41

Bab 3 Rumus Algebra BAB 3 Sebuah kedai borong menjual pakaian ANDA AKAN MEMPELAJARI dengan harga RMy. Pada musim perayaan, 3.1 Rumus Algebra kedai borong tersebut memberikan diskaun kepada jumlah pembelian pakaian seperti yang berikut. Sebagai seorang pengatur cara komputer, anda diminta untuk membangunkan satu atur cara yang mengandungi rumus pengiraan harga jualan pakaian tersebut. RANGKAI KATA • Rumus algebra • Algebraic formula • Pemboleh ubah • Variable • Pekali • Coefficient • Perkara rumus • Subject of formula 42