pada keluarga irisan kerucut lainnya, pergeseran vertikal dan horizontalnya berlawanan dengan tandanya (positif atau negatif). Contoh 4.2: Menentukan Fokus dan Direktriks dari suatu Parabola Perhatikan kembali gambar 4.4! Jika dimisalkan bentuk tersebut direpresentasikan oleh persamaan ������² – 6������ + 12������ – 15 = 0, maka tentukan titik puncak, fokus, dan direktriks dari persamaan parabola tersebut, kemudian gambarkan grafiknya, disertai dengan fokus dan direktrisnya! Penyelesaian: Karena hanya suku-x yang dikuadratkan, maka grafik dari persamaan tersebut berbentuk parabola vertikal. Untuk menentukan kecekungan, titik puncak, fokus, dan direktriks, kita terlebih dulu melengkapkan kuadrat dalam x dan membandingkannya dengan persamaan bentuk fokus-direktriks dengan pergeseran. Dari persamaan yang dihasilkan, kita dapat melihat bahwa grafiknya merupakan suatu parabola yang digeser ke kanan sejauh 3 satuan dan ke atas sejauh 2 satuan. Oleh karena itu, semua unsur dari parabola tersebut juga akan bergeser. Karena kita mendapatkan 4������ = – 12, maka ������ = – 3 (������ < 0) dan parabola tersebut terbuka ke bawah. Jika parabola tersebut berada pada posisi biasa, maka titik puncaknya akan di (0, 0), fokusnya di (0, –3), dan direktriksnya ������ = 3. Karena parabola tersebut bergeser ke kanan sejauh 3 satuan dan ke atas sejauh 2 satuan, maka kita harus menambahkan nilai ������ dengan 3 dan nilai ������ dengan 2 dari semua unsur parabola tersebut. Sehingga titik puncaknya akan berada di (0 + 3, 0 + 2) = (3, 2), fokusnya pada (0 + 3, –3 + 2) = (3, –1), dan direktriksnya adalah y = 3 + 2 = 5. Dan akhirnya, jarak horizontal antara fokus dan grafik adalah |2������| = 6 satuan 46
(karena |4������| = 12), sehingga memberikan titik-titik tambahan yang dilalui grafik, yaitu (–3, –1) dan (9, –1). Gambar 4.6 Grafik Parabola ������² – 6������ + 12������ – 15 = 0 Dalam banyak kasus, kita perlu untuk menentukan persamaan dari parabola ketika hanya beberapa informasi yang diketahui, seperti yang dicontohkan oleh contoh 4.3 berikut: Contoh 4.3: Menentukan Persamaan dari suatu Parabola Perhatikan kembali gambar 4.4! Misalkan bentuk tersebut direpresentasikan sebagai suatu parabola yang memiliki titik puncak (4, 4) dan fokus (4, 1). Tentukan persamaan parabola tersebut, kemudian gambarkan grafiknya dengan menggunakan persamaan dan tali busur fokusnya. Penyelesaian: Karena titik puncak dan fokusnya terletak pada garis vertikal, maka parabola yang merupakan suatu parabola vertikal yang memiliki persamaan umum (������ ± ℎ)² = 4������(������ ± ������). Jarak p dari fokus ke titik pusat adalah 3 satuan, dan karena fokus berada di bawah titik puncak, maka grafiknya terbuka ke bawah dan ������ = – 3. Dengan menggunakan tali busur fokus, jarak horizontal dari fokus ke grafik adalah 47
|2������| = |2(–3)| = 6, memberikan titik-titik (–2, 1) dan (10, 1). Titik puncaknya digeser 4 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas dari (0, 0), sehingga diperoleh ℎ = 4 dan ������ = 4. Sehingga persamaan dari parabola tersebut adalah (������ – 4)² = – 12(������ – 4), dengan direktriks ������ = 7. Grafik dari parabola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut. Gambar 4.7 Grafik Parabola (������ – 4)² = – 12(������ – 4) Perhatikan bahwa grafik parabola di atas memiliki sumbu simetri di garis x = 4 3. Persamaan Garis Singgung pada Parabola Adapun persamaan garis singgung untuk parabola standar dapat dilihat pada tabel berikut: Tabel 4.1 Persamaan Garis Singgung untuk Parabola Standar Sedangkan garis singgung untuk parabola dengan titik puncak (ℎ, ������) dapat dilihat pada tabel berikut: 48
Tabel 4.2 Persamaan Garis Singgung untuk Parabola dengan Puncak (ℎ, ������) Ayo Menanya! Berdasarkan apa yang telah kalian amati pada materi di atas, adakah yang kalian ingin tanyakan? Ajukanlah pertanyaan : 1. ......................................................................... 2. ......................................................................... 3. ......................................................................... Jika ada hal yang ingin kalian tanyakan terkait materi ini, silakan ajukan pertanyaan ke dosen kalian! Ayo Menalar! Agar kalian semakin paham dengan materi “Parabola”, silakan mengerjakan permasalahan berikut secara berkelompok! 1. Saat memasuki Masjid 99 Kubah, Faiz takjub dengan gaya arsitektur di dalam masjid yang begitu indah dan menarik perhatian. Salah satu yang menarik perhatian Faiz adalah gaya arsitektur di dekat area mimbar yang begitu simetri dan disuguhi dengan nuansa geometri seperti pada gambar berikut: 49
Jika di amati dengan baik, bagian yang berwarna putih ternyata menyerupai bentuk parabola dengan bentuk kurva terbuka ke bawah. Jika bentuk tersebut diibaratkan sebagai suatu parabola dengan titik puncak (5,7) dan titik fokus (5,3), maka tentukan persamaan parabola yang terbentuk serta ilustrasikan lengkap dengan unsur-unsur parabola (titik puncak, titik fokus, sumbu simetri, direktris, dan titik latus rectum)! a) Tulislah informasi penting yang diketahui dan ditanyakan dari soal di atas! b) Tuliskan strategi yang mungkin untuk menyelesaikan soal tersebut (rumus, sketsa, gambar, grafik atau model matematika) c) Selesaikan masalah tersebut dengan menggunakan metode yang Anda pilih! 2. Dari hasil yang diperoleh pada No.1, tentukan persamaan garis singgung parabola (berdasarkan persamaan parabola No.1) yang melalui titik (4,9) dan tentukan pula persamaan garis singgung parabola (berdasarkan persamaan parabola No.1) dengan gradien 1! 3 a) Tulislah informasi penting yang diketahui dan ditanyakan dari soal di atas! 50
b) Tuliskan strategi yang mungkin untuk menyelesaikan soal tersebut (rumus, sketsa, gambar, grafik atau model matematika) c) Selesaikan masalah tersebut dengan menggunakan metode yang Anda pilih! Organize Student Ayo Mencoba! Diskusikanlah jawaban kalian dengan teman kelompok kalian! Tentukan Jawaban terbaik jika kalian menemukan jawaban berbeda dalam diskusi tersebut. Individual and Group Guide Referensi tambahan dapat diperoleh melalui barcode berikut: Develop and Present the Work Ayo Mengomunikasikan! Selesaikan soal pada kegiatan “Ayo Menalar!” bersama teman kelompok kalian, lalu presentasikan hasil kerja tersebut di depan kelas! Analyze and Evaluate the Problem-Solving Process 51
Bagi kelompok yang tidak presentasi, harap memberikan evaluasi terhadap kelompok yang melakukan presentasi. Evaluasi pemecahan masalah yang disajikan oleh kelompok yang presentasi Uji Kompetensi 2 1. Persamaan lingkaran yang melalui titik ������(7,0) , ������(5,1) dan ������(0,4) adalah ... A. ������2 + ������2 − 95������ − 59������ + 365 = 0 B. ������2 + ������2 − 59������ − 95������ + 364 = 0 C. ������2 + ������2 − 95������ − 59������ + 363 = 0 D. ������2 + ������2 − 59������ − 95������ + 362 = 0 E. ������2 + ������2 − 95������ − 59������ + 361 = 0 2. Diketahui persamaan lingkaran ������2 + ������2 + 8������ − 4������ − 16 = 0. Persamaan standar, titik pusat dan jari-jari dari lingkaran tersebut adalah ... A. (������ + 4)2 + (������ − 5)2 = 52, ������(−4,2), ������ = 5 B. (������ + 3)2 + (������ − 2)2 = 72, ������(−4,2), ������ = 7 C. (������ + 6)2 + (������ − 2)2 = 42, ������(−4,2), ������ = 4 D. (������ + 4)2 + (������ − 3)2 = 82, ������(4,3), ������ = 8 E. (������ + 4)2 + (������ − 2)2 = 62, ������(−4,2), ������ = 6 52
3. Persamaan garis singgung lingkaran, ������2 + ������2 + 2������ − 8������ − 20 = 49 yang melalui (6,1) adalah ... A. 7������ − 3������ = 67 B. 6������ − 3������ = 69 C. 5������ − 3������ = 65 D. 4������ − 3������ = 63 E. 3������ − 3������ = 66 4. Persamaan garis singgung lingkaran ������ ≡ ������2 + ������2 = 25 yang dapat ditarik dari titik (−5,1) adalah ... A. −5������ = 25 dan − 65 ������ + 25 ������ = 25 13 13 B. −5������ = 25 dan − 67 ������ + 25 ������ = 25 13 13 C. −5������ = 25 dan − 63 ������ + 25 ������ = 25 13 13 D. −5������ = 25 dan − 60 ������ + 25 ������ = 25 13 13 E. −5������ = 25 dan − 62 ������ + 25 ������ = 25 13 13 5. Jika lingkaran ������2 + ������2 + ������������ + ������������ + ������ = 0 berpusat di (−2,3) dan menyinggung garis ������ = ������, maka nilai 2������ − 4������ + 2������ = ⋯ A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 E. 35 6. Persamaan parabola dengan titik puncak di (7,5), sumbu simetri sejajar sumbu ������, dan melalui titik (2,3) adalah ... A. (������ − 7)2 = − 21 (������ − 5) 2 B. (������ − 7)2 = − 23 (������ − 5) 2 C. (������ − 7)2 = − 27 (������ − 5) 2 D. (������ − 7)2 = − 29 (������ − 5) 2 53
E. (������ − 7)2 = − 25 (������ − 5) 2 7. Persamaan dari parabola yang memiliki titik puncak (3, 3) dan fokus (4, 1) adalah ... A. (������ − 3)2 = 4(������ − 3) B. (������ − 3)2 = 8(������ − 3) C. (������ − 3)2 = 3(������ − 3) D. (������ − 3)2 = 2(������ − 3) E. (������ − 3)2 = 6(������ − 3) 8. Persamaan garis singgung melalui titik ������(4,3) pada parabola (������ − 3)2 = 8(������ + 2) adalah ... A. ������ = ������ + 1 B. ������ = ������ + 2 C. ������ = ������ + 3 D. ������ = ������ + 4 E. ������ = ������ + 5 9. Titik puncak, fokus, dan direktriks dari persamaan parabola x2 − 6x + 12y − 12 = 0 adalah ... A. ������ (4, 7) , ������ (3, − 5) , ������ = 17 4 44 B. ������ (2, 7) , ������ (3, − 5) , ������ = 15 4 44 C. ������ (1, 7) , ������ (3, − 5) , ������ = 21 4 44 D. ������ (3, 7) , ������ (3, − 5) , ������ = 19 4 44 E. ������ (5, 7) , ������ (3, − 5) , ������ = 11 4 44 10. Jika garis singgung kurva ������ = 3 ������2 − 5 di titik ������(������, ������) dengan ������ < 0 memotong 7 sumbu-������ di titik ������(−1,4), maka nilai 6������ + 7������ = ⋯ A. −30 B. −38 C. 31 D. 37 54
E. −36 Kunci Jawaban 1. B 2. E 3. A 4. D 5. C 6. E 7. A 8. C 9. D 10. B 55
Search