TEST ΚΕΦ_1 17x24

Εάν ο στόχος του ελάχιστου κόστους είναι σταθερός και αποκλειστικός,ενδεχοµένως να είναι δυνατό να αναπτυχθεί µόνο µια λύση για παρουσίασηστους υπεύθυνους αποφάσεων. Όµως σε πολλές περιπτώσεις οι στόχοι δενγνωστοί µε τόση σαφήνεια, και διάφορα εναλλακτικά σχήµατα αξίζει ναπαρουσιάζονται στους υπεύθυνους αποφάσεων διότι συνεισφέρουν µεαποτελεσµατικούς τρόπους στις συνιστώσες των στόχων. Εξωγενείς µεταβλητές ξΑνεξάρτητεςµεταβλητές x Τεχνικό ΣύστηµαΜεταβλητές Εξαρτηµένεςαπόφασης u µεταβλητές yΣχήµα 1.2. Σχηµατική περιγραφή µαθηµατικού υποδείγµατοςΥπάρχουν διάφοροι τύποι µαθηµατικών υποδειγµάτων του συστήµατοςανάλογα µε τα είδη των µαθηµατικών συναρτήσεων που χρησιµοποιούνται.Παρακάτω επιχειρείται η κατηγοριοποίηση των µαθηµατικών υποδειγµάτωνπου χρησιµοποιούνται σε συστήµατα υδατικών πόρων:(α) Αλγεβρική εξίσωση: Μπορεί να προκύψει µε προσαρµογή καµπύλης σεεµπειρικές µετρήσεις π.χ. όγκος φερτών = fn(έκταση λεκάνης απορροής)y = f (x) = a0 + a1x + a2x2(β) Εξίσωση διαφορών: Μπορεί να περιγράφουν χρονικά µεταβαλλόµενασυστήµατα µε καθυστέρηση, µνήµη, πολλαπλές µεταβλητές κλπ, π.χ.σχέση βροχής – απορροής yk +1 = ak yk + bk xkσχέση στάθµης – απορροής zk +1 = γ1 yγ 2 k +1(γ) Κανονική διαφορική εξίσωση: Μπορεί να προκύψει από ισοζύγιο µάζας, ήδιεργασίες αποµείωσης ή προσαύξησης της εξεταζόµενης µεταβλητήςκατάστασης, π.χ. µεταβολή της ποσότητας διαλυµένου οξυγόνου y(t) σε λίµνηπου δέχεται ρυπαντικό φορτίο x(t) dy = a y(t) + b x(t) , όπου a, b είναι παράµετροι dt[Πραγµατικός κόσµος] [Συµβολικό µοντέλο] [Μαθηµατικό Μοντέλο]

Από τις µεταβλητές µερικές ελέγχονται άµεσα από το µηχανικό και άλλες όχι.Εάν πρέπει να καθορίσουµε το Ax και το E αυτές οι µεταβλητές ονοµάζονται«µεταβλητές απόφασης». Οι άλλες µεταβλητές, για δεδοµένο F, µπορούν ναυπολογισθούν σαν συναρτήσεις των Ax, E και F.Γ. Σχηµατικό υπόδειγµαΣτο Σχήµα 1.3 εµφανίζεται η απλοποιηµένη περιγραφή του πραγµατικούσυστήµατος, όπως την κατανοεί ο µηχανικός. Είναι ζητούµενο να ελεγχθείκατά πόσο η περιγραφή αυτή ενσωµατώνει τα βασικά χαρακτηριστικά τουσυστήµατος. ΑL Μέλη συστήµατος Ιδιότητες ή χαρακτηριστικά Σηµείο επαφής Α FA, UA Β Σηµείο επαφής Β FB, UB Στοιχείο ΑΒ F, ∆L, Ax, E UΒ FΒ Σχήµα 1.3. Σχηµατικό υπόδειγµα του συστήµατος∆. Μαθηµατικά υποδείγµαταΓιά την συµπεριφορά του συστήµατος:F = E ∆L (1) νόµος ελαστικής συµπεριφοράςAx LΓια τις αλληλεπιδράσεις των µελών:∆L = UB - UA (2)UA= 0 (3)F = FB (4)FA = FB (5)Για την αντίδραση του συστήµατος σε εξωτερικά ερεθίσµατα:Το φορτίο FB είναι η εισροή (input) στο σύστηµα και οι µετακινήσεις, UA καιUB είναι οι εκροές (output). Από τις (1), (2) και (3),

3 B D30 ft P=100 kips A CHA 40 ft 40 ft VC 40 ft VA Σχήµα 1.4. Στατικά Ορισµένο ∆ικτύωµαΜεταβλητές Απόφασης. Τα δοµικά στοιχεία θα διαστασιολογηθούν ανάλογα µετο τύπο της φόρτισης που δέχονται (θλίψη ή εφελκυσµός). Έτσι οι µεταβλητέςελέγχου ορίζονται ως x1 = A1 = εµβαδόν διατοµής θλιπτικού στοιχείου (in2) x2 = A2 = εµβαδόν διατοµής εφελκυστικού στοιχείου (in2)Το διάνυσµα µεταβλητών απόφασης είναι u = [x1 x2]TΑντιδράσεις. Οι αντιδράσεις στα σηµεία στήριξης Α και C προσδιορίζονται µετην εξίσωση στατικής ισορροπίας για όλο το δικτύωµα.∑ Fx = 0 ΗΑ = 0∑ Fy = 0 - VΑ + VC – 100 = 0 VA = 50 kips∑MA =0 80 VC – 120 . 100 = 0 ⇒ VC = 150 kips∆υνάµεις και τάσεις στοιχείων. Χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των κόµβωνυπολογίζουµε τις δυνάµεις σε κάθε στοιχείο. Για τον κόµβο D γράφουµε(προσοχή στα πρόσηµα):BD ∑D Fx = 0 -BD + 4/5 CD = 0 ⇒ BD = 133 kips CD (εφελκυσµός στη ράβδο BD) ∑ Fy = 0 3/5 CD – 100 = 0 ⇒ CD = 167 kips (θλίψη στη ράβδο CD) PΟι τάσεις των στοιχείων αυτών είναι: σBD = 133/ A2 και σCD = 167/ A1