บทที่ 3 ปริพันธ์3ชั้น_ต้น 61

ปริพนั ธ์สามช้ัน เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์  f ( x, y, z )dV ปริพนั ธ์สามช้ันในระบบพกิ ดั ฉาก G ปริพนั ธ์สามช้นั ของ f (x, y, z) เหนือรูปทรงสามมิติ G ถา้ f ( x, y , z )  1 แลว้  f ( x , y , z ) dV   dV lim n  f ( x, y , z ) dV GG  n Vk 1 G k  z กลอ่ งชน้ิ ท่ี k มปี รมิ าตร คือ ปริมาตรของรูปทรงสามมิติ ในการหาปริพนั ธ์สามช้นั น้นั สมบตั ิของปริพนั ธ์สามช้นั จะคลา้ ยกบั สมบตั ิของปริพนั ธ์สองช้นั G การใส่ลมิ ิตของปริพนั ธ์สามช้ันเหนือบริเวณ G y O กรณที ่ี 1 G เป็ นกล่องส่ีเหลยี่ มมุมฉาก x G  {( x, y , z )|a1  x  a2, b1  y b2, c1  z  c2} จะได้ ตวั อย่าง 1 จงหาค่าของ  ( x2z  y ) dV เม่ือ 12 G กรณที ี่ 2 ทรงสามมิติ G กาํ หนดโดย G  {( x, y , z )|0 x 1,1 y 0,1 z 1} G {( x , y , z )| g1( x , y )  z  g2 ( x , y ),(x, y)  Rxy} เม่ือบริเวณ Rxy เป็นภาพฉายของ G บนระนาบ xy  f ( x, y , z ) dV  G 34

ตวั อย่าง 2 กาํ หนดใหร้ ูปทรงสามมิติ G ถูกลอ้ มรอบดว้ ย กรณที ี่ 3 ทรงสามมิติ G กาํ หนดโดย ระนาบ x 3y  z  6 และระนาบพกิ ดั จงใส่ลิมิตในการ G {( x , y , z )| g1( x , z )  y  g2 ( x , z ),(x, z)  Rxz} หาค่า  f ( x, y, z )dV เมื่อบริเวณ Rxz เป็นภาพฉายของ G บนระนาบ xz G  f ( x, y , z ) dV  G 56 ในทาํ นองเดียวกนั ถา้ ทรงสามมิติ G กาํ หนดโดย ตวั อย่าง 3 จงใส่ลิมิตของการหาปริพนั ธ์  f ( x, y, z )dV G {( x , y , z )| g1( y , z )  x  g2 ( y , z ),( y, z)  Ryz} G เม่ือบริเวณ Ryz เป็นภาพฉายของ G บนระนาบ yz เมื่อ G เป็นรูปทรงสามมิติท่ีปิ ดลอ้ มดว้ ยพ้ืนผวิ z  x2  y2 และระนาบ 2 y  z  3  f ( x, y , z ) dV  G 78

ตวั อย่าง จงหาค่าของ  x dV เมื่อ G เป็นรูปทรง ตวั อย่าง จงหาปริมาตรรูปทรงสามมิติ G ท่ีลอ้ มรอบดว้ ย พ้ืนผวิ z  y2 ระนาบ x  0 , x  1 และ z  1 G สามมิติ ในอฐั ภาคท่ีหน่ึงท่ีลอ้ มรอบดว้ ย x2  y2  4 , 2y  z  4 และระนาบพกิ ดั 9 10 การบ้าน จงหาปริพนั ธ์  y dV เมื่อ G เป็นรูปทรง ระบบพกิ ดั ทรงกระบอก (r , , z ) G พิกดั ทรงกระบอก จะเป็นการขยายพกิ ดั เชิงข้วั ใน สามมิติที่ปิ ดลอ้ มดว้ ยพ้นื ผวิ z  4  y2 ระนาบ x  0 , x  1 และ z  0 ระนาบ xy โดยเพม่ิ ตวั แปร z z x y พืน้ ผวิ ในพกิ ดั ทรงกระบอกทคี่ วรทราบ y y 1. สมการ r  r0 z เมื่อ r0 เป็นค่าคงตวั บวกจะมีพ้ืนผวิ 12 เป็นทรงกระบอกกลมรัศมี r0 x 2. สมการ   0 z เมี่อ 0 เป็นค่าคงตวั บวกจะมีพ้นื ผวิ 0 เป็นระนาบที่ทาํ มุม 0 กบั แกน x x 11

3. สมการ z  z0 z ปริพนั ธ์สามช้ันในระบบพกิ ดั ทรงกระบอก เม่ือ z0 เป็นค่าคงตวั จะมีพ้ืนผวิ x การแปลงพกิ ดั ฉาก ( x, y , z )  ทรงกระบอก (r , , z ) เป็นระนาบที่ขนานกบั ระนาบ xy y z ตวั อย่าง จงแปลงสมการต่อไปน้ีใหเ้ ป็นระบบพกิ ดั  f ( x, y , z ) dV ทรงกระบอก G 1) z  x2  y2  2x 2) z   x2  y2 y x เม่ือ Rxy เป็นภาพฉายของ G บนระนาบ xy 14 13 ตวั อย่าง 1 จงหาปริมาตรของ G เมื่อ G เป็นรูปทรงสาม ตวั อย่าง 2 จงหาค่าของ  yz dV เมื่อ G เป็นรูปทรง มิติท่ีลอ้ มรอบดว้ ยทรงกระบอก x2  y2  9 และคร่ึงทรง G กลม z  25  x2  y2 สามมิติท่ีลอ้ มรอบดว้ ยพ้ืนผวิ z  2  x2  y2 และ ระนาบ z  1 15 16

ตวั อย่าง 3 จงหาค่าของ  ydV เม่ือ G เป็นรูปทรง การบ้าน ให้ G เป็นรูปทรงสามมิติท่ีถูกปิ ดลอ้ มดว้ ยพาราโบ ลอย z  2  x2  y2 และกรวย z  x2  y2 G จงเขียนปริพนั ธ์ในระบบพกิ ดั ทรงกระบอกเพ่ือหาปริมาตร สามมิติที่ลอ้ มรอบดว้ ยทรงกระบอก x2  y2  2y และ กรวยกลม z2  x2  y2 ของ G โดยไม่ต้องคาํ นวณค่า 17 18 20 ระบบพกิ ดั ทรงกลม ( , ,) z 2. สมการ   0 จุด P ในระบบพกิ ดั ทรงกกลม เมื่อ 0 เป็นค่าคงตวั จะเป็นคร่ึงระนาบไปตามแกน z จะมีพิกดั เป็น (, ,) โดยที่โดยท่ี  เป็นระยะจากจุดกาํ เนิดถึงจุด P, y ทาํ มุม 0 กบั แกน x  0  เป็นมุมจากระบบพกิ ดั x 3. สมการ   0 เมื่อ 0 เป็นค่าคงตวั บวก ทรงกระบอก, 0    2 จะเป็นพ้นื ผวิ กรวยซ่ึงทุกจุดทาํ มุม 0 กบั แกน z ท่ีเป็นบวก  เป็นมุมท่ี OP ทาํ กบั แกน z ที่เป็นบวก, 0     พืน้ ผวิ ในพกิ ดั ทรงกลมทคี่ วรทราบ 1. สมการ   0 เป็นทรงกลมท่ีมีจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ่ี จุดกาํ เนิด รัศมี 0 19

ความสัมพนั ธ์ระหว่างระบบพกิ ดั ทรงกลม ปริพนั ธ์สามช้ันในระบบพกิ ดั ทรงกลม พกิ ดั ทรงกระบอก และพกิ ดั ฉาก  f ( x , y , z ) dxdydz  ( r , , z )  ( , ,)  ( x, y , z ) r   sin G   ตวั อย่าง 1 จงหาค่า  z dV เมื่อ G ลอ้ มรอบดา้ นบน z   cos G ดว้ ยคร่ึงทรงกลม z  4  x2  y2 ดา้ นล่างดว้ ย z  1  x2  y2 และ ระนาบ xy ตวั อย่าง จงแปลงสมการต่อไปน้ีใหเ้ ป็นระบบพิกดั ทรงกลม 1) z = 2 2) z   x2  y2 21 22 ตวั อย่าง 2 จงหาปริมาตรของทรงสามมิติท่ีอยเู่ หนือกรวย ตวั อย่าง 3 จงหาค่า  1 dV z  x2  y2 และอยภู่ ายใน x2  y2  z2  16 G 1 x2  y2  z2 เมื่อ G เป็นรูปทรงสามมิติในอฐั ภาคท่ี 1 ที่ปิ ดลอ้ มดว้ ย ทรงกลม x2  y2  z2  1 ระนาบ y  x และ ระนาบ x 0 23 24

ตวั อย่าง 4 จงเขียนปริพนั ธ์ในระบบพกิ ดั ทรงกลมเพื่อหา การบ้าน จงหาคา่  xz dV โดยใชร้ ะบบพกิ ดั ทรงกลม   ( y  2) arctan y dV G G x เมื่อ G เป็นรูปทรงสามมิติที่อยใู่ นอฐั ภาคท่ีหน่ึง 10  x2  y2  z2 โดยไม่ต้องคาํ นวณค่า เม่ือ และอยภู่ ายในคร่ึงทรงกลม z  4  x2  y2 แต่อยใู่ ต้ G เป็นรูปสามมิติดงั น้ี กรวย z  x2  y2 4.1 G อยรู่ ะหวา่ งกรวย z  3(x2  y2 ) , z  x2  y2 ทรงกลม z = 4  x2  y2 และ z  1 x2  y2 4.2 G อยรู่ ะหวา่ งกรวย z  x2  y2 และ ระนาบ z = 2 25 26