Sintonización de controladores P, PI y PID

Sintonización de controladores P, PI y PID

Introducción En el lazo de control las acciones proporcional, integral y derivativa poseen características muy específicas y es necesario tenerlas en cuenta para ajustar (sintonizar) el controlador que regula el proceso: La acción proporcional modifica la posición del elemento final de control en forma proporcional a la desviación de la variable controlada con respecto al set-point. La acción integral mueve al elemento final de control a una velocidad proporcional a la desviación de la variable controlada con respecto al set-point. La acción derivativa modifica la posición del elemento final de control en forma proporcional a la velocidad de cambio de desviación de la variable controlada con respecto al set-point. Para el diseño de controladores digitales P, PI y PID se pueden utilizar las mismas técnicas que se aplican en el diseño de los controladores análogos.

Método de la Ganancia Limite. Para determinar los parámetros de ajuste del controlador utilizando este método se trabaja con el sistema en lazo cerrado es decir, con el controlador en automático y se procede experimentalmente así: 1. Eliminar las acciones integral y derivativa del controlador, es decir trabajar con el controlador como proporcional únicamente. 2. Con el controlador en automático, incrementar la ganancia hasta que el sistema empiece a oscilar con amplitud constante. Se anota el valor de la ganancia úKluticmoan la cual se produce la oscilación. Esta ganancia se denomina ganancia o ganancia límite en ciertas literaturas. Los incrementos de la ganancia deben ser cada vez menores a medida que ésta se aproxima a la ganancia última y deben ir acompañados de pequeños cambios en el set-point a uno y otro lado del punto de operación normal del proceso. 3. En la gráfica que se obtiene de la variable en el registrador se mide el período de oscilación, este es el período último o crítico Tu . Figura 1. Respuesta del sistema cuando la ganancia del controlador es igual a la ganancia crítica Ku y el periodo crítico es Tu.

4. La frecuencia de oscilación del sistema corresponde a la frecuencia a la cual el proceso en lazo abierto tiene un retraso de fase de -180°. Físicamente la ganancia Kesu tcimorarreasppoanrdtier a la ganancia que lleva al sistema a estabilidad crítica y se puede del margen de ganancia del sistema en lazo abierto. 5. 1UpnaarvaeczaclcaulclaurlaldoossplaarágmaneatnrocsiadceríatijcuastKeudyeellcpoenrtiorodloadcorírticcoonelsosTuc. uSaeleustilsizeaplraoTdaubclea la razón de asentamiento de un cuarto. 6. Tabla 1. Ajuste de controladores por el método de ganancia límite 7. Durante el proceso de cálculo de la ganancia crítica y el periodo crítico se debe de Klí.mEiltepreosduacdteocdueadKo∙Kpu apraueedleaujutsiltizeardseel calcular la ganancia estática del sistema para saber si el método de la ganancia dncoeencbteersoditleaadudotiirsl.iezSñaiar2sre<uuKnn∙Kcaou<lngt2or0roitleamldmoordécetoocdnooncdtoremolppmueenádssaeccouiómtinlpizdleaerjo.t.Eienmcpaosomdueerqtou.eSKi ∙KK∙uK<u 2 se > 20 8. Los controladores estimados utilizando el método de ganancia límite dan un sistema en lazo cerrado con un coeficiente de amortiguamiento bajo. Para obtener mejores resultados se pueden introducir ligeras modificaciones en los valores obtenidos para los parámetros del controlador. 9. UlansasivgeuziecnatlecsuleacduoascKioc,nτei sy: τd se obtienen los parámetros del controlador digital con

Método de la Curva de Reacción. Además de las fórmulas para ajuste de controladores en línea, es decir, por el método de ganancia límite, Ziegler y Nichols propusieron otro método de ajuste de controladores asumiendo que la función de transferencia de lazo abierto de la planta se puede aproximar a un modelo de primer orden con retardo, obtenido a partir de la respuesta del sistema ante una entrada en escalón. Entonces, dada la función de transferencia en lazo abierto: Donde K es la ganancia, τ la constante de tiempo y θ' es el retardo. Los parámetros de ajuste del controlador se estiman a partir de la Tabla 2. Haciendo en ella θ = θ' + T en donde T es una aproximación correspondiente al retardo introducido por el muestr2eador y el r2etenedor y T es el periodo de muestreo. Tabla 2. Ajustes de Ziegler-Nichols para el controlador (θ = θ' + T) 2

El método de Ziegler-Nichols es aplicable sí 0.1 < θ <1. Para valores mayores de θ recomienda utilizar controladores con compensaciónτde tiempo muerto y para valoresτ menores se recomienda utilizar controladores de orden mayor. Una vez calculados Kc, τi y τd se utilizan las siguientes ecuaciones con el fin de obtener los parámtros del controlador digital. Ejemplo. La función de transferencia de un sistema térmico en lazo abierto es: Obtener para el sistema: Controlador PI por medio del método de ganancia límite. Controlador PI por medio del método de curva de reacción. Solución: Para calcular los controladores es necesario comenzar con la elección del periodo de muestreo adecuado. Prescindiendo del tiempo de retardo, el ancho de banda del sistema, en lazo cerrado, se puede calcular en la siguiente forma:

Ahora se hace s = jw y se calcula la magnitud de Gw(jw) cuando w = 0. Finalmente, se calcula el valor de wc correspondiente a la frecuencia para la cual la magnitud | Gw(jw) | ha caído en 3db: Entonces el ancho de banda es 2.43 rad . Sabiendo que: min Entonces: Con: Si se toma T = 0.32 min, para discretizar el Sistema se obtiene:

Control PI por ganancia límite gLoasnapnacriáamyelatrforsecKuueyncTiuasdeepcureudceendeevfaaslueadr edlesimsteanmear.a analítica calculando el margen de Las expresiones para evaluar la magnitud y el ángulo de fase del sistema continuo son respectivamente: El margen de ganancia se calcula con wπ cuando θ = -180° es decir: Por lo tanto: Con los resultados obtenidos, los parámetros para el ajuste del controlador PI son, según la Tabla 1:

Los parámetros del controlador PI discreto se obtienen aplicando las siguientes ecuaciones: Entonces: Control PI utilizando curva de reacción De la expresión dada para la función de transferencia del sistema térmico se encuentran los siguientes parámetros: Entonces, según la Tabla 2:

Luego: El controlador PI utilizando este método es:

Referencias García, L. E. (2009). Control digital. Teoría y práctica. Politécnico colombiano. Fadali, M. S., & Visioli, A. (2013). Digital control engineering: analysis and design. Academic Press. y Ezeta, R. F. D. B. (2013). Análisis y diseño de sistemas de control digital. McGraw-Hill Interamericana. Ogata, K. (1996). Sistemas de control en tiempo discreto. Pearson educación.