Correspondencia entre el plano S y el plano Z

Plano z vs. Plano s: Correspondencia entre el plano s y el plano z

Correspondencia entre el Plano s y el Plano z ω = .

Correspondencia del semiplano izquierdo del plano s hacia el plano z. = = ω σ =+ =( ) = ( )= 2/ σ | |= <1 ω | |=1 σ

Franja primaria y franjas complementarias ∠= ω − ω ω ω | |=1 ∠ ω ω j =− − −− −

j j _5__s 2 Franja complementaria Plano s Franja j 3___s Im complementaria 2 Plano z Franja j __s complementaria 2 1 Franja 0 0 Re complementaria -j __s Franja 2 complementaria -j 3___s 2 -j _5__s 2 Figura 1.- Franjas periódicas en el plano s y región correspondiente (círculo unitario con centro en el origen) en el plano z.

j I m Plano z Plano s j __s 2 3 2 1 Franja 23 Primaria 1 5 40 1 0 Re 45 __s 2 -j a) b) Figura 2.

Dado que la totalidad del semiplano izquierdo del plano s corresponde al interior del círculo unitario en el plano z, la totalidad del semiplano derecho del plano s corresponde al exterior del círculo unitario en el plano z. Luego, el eje jω del plano s se transforma en el círculo unitario del plano z. −

Lugar geométrico de atenuación constante. σ = j Plano s Plano z Im 1 02 e 2T 1 1 Re e 1T 0 a) b) Figura 3.

Tiempo de asentamiento ts. σ =− =− j Plano s I m Plano z 0 1 1 Re a) e 1T b) Figura 4. 4/ 4/

Lugar geométrico de frecuencia constante. = j Plano s Im Plano z T( +j 2) T’( +j 1) z=e z=e j __s 2 j2 1T j1 1 0 2T 0 Re 1T -j 1 -1 -j __s 2 a) z = e T’( - j 1) b) Figura 5.

= ± ± =± =± =

− = =− =− =− =- 2 Figura 6. j Plano s Im Plano z j __s z = e T( + j 1 ) e - 1T 2 j1 0 1 Re =- 1 0 j2 e - 2T j __s z = e T( + j 2 ) 2 b) a) = =− =− =−

Lugares geométricos de factor de amortiguamiento relativo constante. =− + 1− =− + = 1− = = exp(− + ) = exp − 2 +2 1− | | = exp − ∠ =2 / || = 0.25 = 0.3 = 0.25 | | = exp − √ . 0.25 = 0.610 . ∠ = 2 0.25 = 0.5 = 90 | | = exp − √ . 0.5 = 0.3725 . ∠ = 2 0.5 = = 180

Línea de factor de j I m Lugar geométrico amortiguamiento de constante relativo constante Plano s Plano z s jd 1 2 js d = 0.25 1 j __s d 0.5 P d= 0 2 s s s 30° 1 Re n0 0 2 a) b) Figura 7.- a) Línea de factor de amortiguamiento relativo constante en el plano s, b) lugar geométrico correspondiente en el plano z.

/ = 10 ∠ =6=2 == =1 = 0 = 0.2 = 0.4 = 0.6 = 0.8 = 1 z=0 z=1 Im Plano z =0 0≤ ≤ 0.2 − ≤ ≤0 = = 0.4 = 0.6 = 0.8 -1.0 -0.5 0 = 1 0.5 1.0 Re Figura 8.

Lugares geométricos Im de constantes Plano s Plano z ( )n __s ( )n = 0.6__1 = 0.6 2 2 ( )n = 0.8 =0 ( )n = 0.2 __s = 0.2 __1 2 = 0.4 2 0.6 0 n= __s -1.0 -0.5 0 = 0.8 n= 0 2 = 0.5 1.0 Re Lugares geométricos de los n constantes a) b) Figura 9.

Regiones del plano s y del plano z para = = = I m Plano z j Plano s 1 = 1 1 Re 0 a) > b) Figura 10. >

Referencias • • Fernández del Busto, R. (2013). Análisis y diseño de sistemas de control digital. McGraw-Hill Interamericana. • Lorem ipsum