Diseño de controladores digitales por cancelación de polos y ceros

Diseño de controladores PI y PID por cancelación de polos y ceros

El método de diseño de controladores PI y PID por cancelación de polos y ceros consiste en obtener los parámetros del controlador cancelando ceros del controlador con polos de la planta. Para este método se asume que las funciones de transferencia de los controladores son las expresadas por la Ecuación (1) y la Ecuación (2), para el controlador PI y PID, respectivamente: dDeornivdaetKivcoeys Tlaegsaenlapnecriiaodporodpeormciuoensatlr,eKoi .ganancia integral 1 , Kd es el tiempo τi El procedimiento para para el diseño del controlador es el siguiente: a) Seleccionar inicialmente un error de estado estable ess adecuado. Esto permite calcular el parámetro Ki. b) Controlador PI: se cancela el cero del controlador con un polo de la planta. Esto permite calcular el parámetro Kc. c) Controlador PID: Se cancelan los dos ceros del controlador con dos polos de la planta. Esto permite calcular los parámetros Kc y Kd. Los errores de estado estable para entradas escalón, rampa y parábola unitarias, se resumen a continuación: • Para la entrada escalón: • Para la entrada rampa:

• Para la entrada parábola: Controlador por cancelación de polos y ceros. La Figura 1 muestra un sistema de control digital en lazo cerrado. El objetivo es diseñar el controlador en lazo cerrado D(z) de modo que se obtenga la opción de control deseada de acuerdo con las características y condiciones de funcionamiento especificadas por el sistema. Figura 1. Sistema de control digital en lazo cerrado La función de transferencia de pulso de lazo cerrado para el sistema de la Figura 1 es: En donde HG(z) es la función de transferencia de pulso de la planta, precedida por el retenedor de orden cero (zoh).

Si se especifica cual debe de ser el comportamiento de la planta en lazo cdeerlraafduon, ceisódnedceirt, rsai nssefeesrepnecciiaficaantGewr(izo)r, el controlador D(z) resultante a partir es: Así, la función de transferencia de pulso del controlador está formada por el inverso de la función de transferencia de pulso de la planta y un término adicional que depende de la función de transferencia de lazo cerrado especificada. En esta forma, una parte del controlador cancela polos y ceros de la planta. Si se asume que la respuesta C(z), ante una entrada en escalón unitario en el setpoint, debe tener un error de cero en todos los instantes de muestreo después del primero, entonces: Como el cambio en la referencia es un escalón unitario se tiene que: Entonces, utilizando las precedentes ecuaciones de C(z) y R(z), la función de transferencia es: Luego, ldleevl acnodnotrGolwa(dz)oar la ecuación de D(z) que corresponde a la ecuación de diseño se obtiene: El algoritmo de control dado por la Ecuación (3) se conoce como Algoritmo de un paso y tiene la ventaja de la simplicidad en su diseño, sin embargo, no es recomendable para controlar procesos que tengan polos o ceros fuera o cerca del contorno del círculo unitario en el plazo z, es decir, está restringido a procesos suficientemente amortiguados y asintóticamente estables.

Ejemplo En el sistema de control de la Figura 1, la función de transferencia de la planta es: Diseñar para esta planta: a) Un controlador PI por cancelación de ceros y polos. b) Un controlador utilizando el algoritmo de un paso. Solución: El diseño debe comenzar con la selección adecuada del tiempo de muestreo para discretizar la planta. La constante de tiempo del sistema continuo en lazo cerrado es: cτoeqn=s4tas.nte El periodo de muestreo se puede seleccionar con el criterio de la de tiempo: 0.2(τeq + θ') ≤ T ≤ 0.6(τeq+ θ'). Haciendo T = 2s, se obtiene, al discretizar el sistema: a) Un controlador PI por cancelación de ceros y polos. Asumiendo un error de estado estable ess = 2 se obtiene:

Tomando el límite con T = 2s resulta que K0.i8=1805.0d4.eSliaspelaanstuam, eseqdueebeel cero del controlador cancela el polo z = cumplir que: Resolviendo, se obtiene que Kc = 0.4007 Finalmente, con los valores obtenidos para Ki y Kc y utilizando la Ecuación (1) se tiene: b) Un controlador utilizando el algoritmo de un paso. El controlador toma la forma dada en la Ecuación (3), es decir: La función de transferencia de pulso del sistema en lazo cerrado, con cada uno de los controladores diseñados es: Con el controlador PI: Con el algoritmo de un paso:

Para comprobar la respuesta del sistema ante una entrada escalón y verificar el diseño del nuevo sistema de control discreto con controlador PI, se puede ingresar el modelo de función de transferencia discreta en Matlab o Simulink. La Figura 2 muestra el código que permite ingresar la función de transferencia a Matlab. La Figura 3 muestra la respuesta del sistema ante una entrada escalón unitario. Figura 2. Función de transferencia ingresada en Matlab. Figura 3. Respuesta del sistema ante una entrada escalón unitario.

Referencias: García, L. E. (2009). Control digital.Teoría y práctica. Politécnico colombiano. Fadali, M. S., & Visioli, A. (2013). Digital control engineering: analysis and design. Academic Press. y Ezeta, R. F. D. B. (2013). Análisis y diseño de sistemas de control digital. McGraw-Hill Interamericana. Ogata, K. (1996). Sistemas de control en tiempo discreto. Pearson educación.