La transformada Z inversa

Transformada Z inversa Control Discreto

Transformada Z inversa El problema a abordar en este tema consiste en que dada una transformada Z F(Z), se busca una función f(k) de tal manera Z[f(k)] = F(z). Se van a presentar cinco métodos para realizar este proceso, el cual se llama transformada Z inversa. 1 División larga 2 Ecuación de recurrencia 3 Uso de tablas 4 Expansión en fracciones parciales 5 División larga

Método 1. División larga Recordando la definición de la transformada Z. Se tiene que: Este método consiste en expandir a F(Z) en una serie infinita de potencias negativas de z y asociar el coeficiente de cada término i-ésimo de la expansión con el correspondiente valor de f(i). Aunque no se encuentre una función cerrada para f(k). Esta expansión se conoce como serie de Laurent de F(z).

Se propondrá un ejemplo para encontrar una expresión de y(k), aplicando la transformada Z y su inversa, utilizando el método de división larga. Se considerará la ecuación de Fibonacci: 1. Obtener la transformada Z de la recursión, mediante propiedades de la transformada Z. Al hacerlo se tiene la siguiente expresión: z2Y(z) - z2 y(0) - zy(1) = zY(z) -zy(0) Y(z) Al realizar el proceso de obtener la transformada Z se tiene como resultado la siguiente expresión: Y(z) = ____z_2____ = ____1_____ z2 - z - 1 1-z-1-z-2

2. Se hará es expresar Y(Z) en forma se sumatoria, la cual quedaría de la siguiente forma: Y(z) = 1+z-1 + 2z-2 + 3z-3 + 5z-4 + 8z-5 + ... La transformada Z de serie anterior también puede ser visualizada de la siguiente forma: Y(z) = y(0) + y(1)z -1 + y(2)z -2 + y(3)z-3 + y(4)z-4 + y(5)-5 + ... TABLA 3.5 Respuesta de la ecuación de Fibonacci k y(k) 01 11 22 33 45 58

Método 2. Ecuación de recurrencia Otra forma de encontrar la transformada Z inversa de una función F(z) expresada como un cociente de polinomios en z: Es con ayuda de MATLAB. El procedimiento se ilustra con el siguiente ejemplo. Calcular la transformada Z inversa, en forma tabular, de la siguiente función:

Para poder utilizar el programa MATLAB es necesario plantear el problema como un cociente de polinomios al cual se le aplica una entrada impulso unitario. En la siguiente figura se muestra el código para obtener g(k).

En la siguiente figura se muestra en forma gráfica g(k) de la Respuesta en tiempo a una entrada impulso, usando MATLAB.

Método 3. Uso de tablas Calcule las transformadas Z inversas de las siguientes funciones: Para solucionar el a) se sabe que Z[Ak] = ___A__z___ (z-1)2 entonces se tiene que Z[Akak] = __A__a_z___ (z-a)2 (véase la propiedad 12 del Apéndice A), así que si a = 0.7 y Aa = 5, se tiene que: f(k) = __2_5__ k (0.7)k 4

Para calcular el b) (véase la transformada 23 del Apéndice B) se identifican los coeficientes de ambos denominadores: z2-0.8z + 0.36 =z2 - 2rz cos ω +r2 De la igualdad se tiene que: r= 0.5 y cos(ω)=0.6667, de donde sen(ω) = 06667 y w= 0.841. así que Z[A(0.6)ksen 0.841k]=__0_.4__4_7__2_A__z_ , z2-0.8z+0.36 y A= 4.4723, se obtiene la función perdida.

Para calcular el (c) se sabe que a partir del cálculo integral, un logaritmo natural resulta de integrar una función del tipo du/u; por otro lado, la propiedad 19 del Apéndice A, establece la aplicación de una integral a una transformada. Si se establece que g(k) = ak-1, entonces G(z) =__1_ , así que: z-a Si a= 1/3, entonces

Método 4. Expansión en fracciones parciales Sea F(z) expresada como un cociente de polinomios en z: F(z) = ___P_(z_)___ Q(z) donde el For(dZe)nednefrPacecsiomneesnopraorciigauleasl,aalldideeQn.tifEicnator nccaedsasuenpaudeede expandir estas con una transformada Z elemental e invertir cada fracción en términos de funciones elementales. Sea F(z) una transformada Z de la función f(k). Para encontrar esta función se procede de la siguiente manera: a) Suponga que F(z) = ___P_(z_)___ Q(z) ___z_P_1(_z)___ Q(z)

Esto se debe a que en muchso casos se presentan transformadas Z de las funciones más comunes y presentan un factor z en el numerador. b) Divida a F(z) entre z: _F_(_z_) _ = _P_1_(z_)_ z Q(z) c) Expanda en fracciones parciales __F_(_z)__ ; factorizando de manera que z Donde ai son las raices del polinomio Q(z).

d) Obtenga las fracciones parciales, dependiendo de los siguientes casos: d.1) Raíces diferentes y reales. En este caso, se tiene: _F_(_z)_ = _P_1(_z)_ = __K_1 _ + _K__2 _ + ... + __K_n z Q(z) z-a1 z-a2 z-an d.2) Para el caso de tener una raíz aj repetida rj veces las fracciones asociadas a cada na de ellas tienen la siguiente forma:

d.3) Para el caso de tener ufrnaaccraióízncaosmocpilaedjaa:aj y su conjugada aj, se considera la siguiente ____C_z_+_D_____ z2 + az + b Donde a=-2Re (aj ) y b= | aj |2 d.4) Para el caso de tener una raíz compleja aj y su conjugada aj, repetida rj veces, entonces.

Una vez que los coeficientes de cada fracción se determinan, multiplique cada uno de ellos por z: F(z) = z __P_1_(z_)___ = z (fracciones parciales de los incisos anteriores) Q(z) Por medio de tablas de transformadas Z, obtenga la transformada inversa de cada fracción y súmelas para obtener f(k).

Ejemplo. Encuentre la solución de la sucesión de Fibonacci, utilizando el método de fracciones parciales. Paso 1. Encontrar los polos de Y(z). En este caso los polos son: Paso 2. Expresión del polinomio Q(z) en sus factores:

Para simplicidad de la notación se escribe: Q(z) = (z-a)(z-b) Paso 3. Formación de las fracciones parciales de_Y__(z_)_. z Como hay dos polos reales distintos, las fracciones parciales son: __Y_(z_)__ = ___A___ + __B____ = _____z_____. _ z z-a z-b z2- z - 1 - Cálculo de los coeficientes de las fracciones parciales. De la expresión anterior se obtiene que: z = A(z-b) + B(z-a) = z(A+B) -Ab -Ba Al igualar los coeficientes de ambos lados de estos polinomios: A+B = 1 y Ab+ aB = 0

Se puede determinar el valor de A y B de las dos ecuaciones anteriores, o bien, de forma alterna, se puede calcular los coeficientes dando valores a z. En particular los valores de “a” y b”. Eso debido a que si se dan los valores de “a” y “b” se simplificará la ecuaciones de los coeficientes “A” y “B”. Primeramente se elegirá z = a, por lo que se tendrá: A= __a__ , entonces: a-b Posteriormente se elegirá z = b, por lo que se tendrá: B= _b___ , b-a entonces:

Por lo tanto: __Y_(_z_) __ = ___0_._74___ + ___0_.2_7_6___ z z-1.618 z+0.618 Y(z) = __0_.7_2_4_z__ + __0_.2_7_6_z___ z-1.618 z+0.618 Finalmente para encontrar su transformada inversa (y(k)) se aplicará una propiedad que se puede encontrar en tablas de funciones elementales, dicha propiedad dice lo siguiente: Z[ak]= ____z____ z-a Entonces, se tiene que: y(k)= 0.724(1.618)k + 0.276(-0.618)k

Ejemplo. Calcule la transformada Z inversa de la función Aplicando el método anterior, para ello se multiplica a G(z) por _zz_ , teniendo lo siguiente: Después la z del numerador pasa al lado izquierdo dividiendo:

Posteriormente se expresa la función anterior en fracciones parciales, teniendo lo siguiente: _G_(_z)_ = ____1 ____._ . z z(z-0.5)(z-0.3) = _6_._66_6_7_ + __10__ + 1_6_.6_6_6_7_ z z-0.5 z-0.3 Ahora la z que está dividiendo al lado izquierdo pasa a multiplicar al lado derecho teniendo lo siguiente: G(z) = 6.6667 + _1_0_z_ - _16_._6_66_7_z_ z-0.5 z- 0.3 Finalmente se aplica la transformada inversa de Z a cada término, resultando en lo siguiente: g(k)= 6.6667S(k) + 10(0.5)k - 16.6667(0.3)k, k ≥ 0

Ejemplo. Calcule las fracciones parciales de las siugientes funciones, usando MATLAB Para poder solucionar los ejercicioes mediante MATLAB se utilizará la función “residue”. Para el ejercicio a) la función en MATLAB es la siguiente: [R,P,K] = residue ([1 4],[1- 0.9 0.2]), Se obtienen como resultado lo siguiente: Residuos Polos 45.0000, 0.5000, -44.000 0.4000

Para solucionar el ejercicio b) la función en MATLAB es la siguiente: [R,P,K] = residue ([1-5],[1- 0.8 0.6]), Los resultados son los siguientes: Residuos Polos 0.5000 + 3.4674j 0.4000 + 0.6633j 0.5000 - 3.4674j 0.4000 - 0.6633j

Transformada Z inversa Para solucionar el ejercicio c) la función en MATLAB es la siguiente: [R,P,K] = residue ([1 - 0.2 1],[1-0.3 0.4 - 0.7]), Los resultados son los siguientes: Residuos Polos 0.1139 + 0.2741 j -0.2657 + 0.8782j 0.1139 - 0.2741 j -0.2657 - 0.8782j 0.7721 0.8315

Método 5 . Integral de inversión: A partir de la definición de la transformada Z de la función f(k) Se multiplica a ambos lados de la ecuación por Zi-1 y se integra sobre una trayectoria cerrada C que abarque todos los puntos críticos de F(z), así se tiene: Ahora por el teorema de Cauchy (Churchill 1988):

Por lo tanto: Así se puede obtener la función f(i) con esta integral, que es el método de la integral de inversión. La manera de calcular esta integral es por medio de la aplicación del teorema de Cauchy y, para edlelon,rosedseulpaorengeióqnueaclaottaradnaspfoorrmlaadtraayFe(zc)ttoierinaecnerpraodloasC{,Ze1,nZto2,n.c..e,s:Zn}

Donde Rcoi mesoesl irgeuseid: uo del polo zi de la función F(z)zi-1, el cual se calcula a) El polo zi es un polo simple, entonces: b) El polo zi tiene multiplicador r, entonces:

Ejemplo. Calcule la transformada Z inversa por medio de la integral de inversión de la función: Para solucionar este ejercicio se debe tener en cuenta la cantidad de polos de la función, la función tiene dos polos simples, por lo que se tendrá dos residuos y la función f(k) será: Aplicando el límite de la ecuación del a) de la página anterior, para ambos polos, se tendrá lo siguiente:

APÉNDICE A [ ( )] [ ) =] () () ( ) 1 () ( )+ ( ) 2 ( )+ ( ) 3 ( + ) ( + 1) ( ) (0) 4 ( +2 ) ( ) (0) ( ) 5 ( + 2) 6 (+ ) ( ) (0) (1) 7 (+ ) ( ) (0) () ( ) 1) 8 ( ) (0) (1) ( () [ ( )] 9 () [ ( )] () 10 ( ) () 11 ( ) lim ( ) 12 () 13 () 14 (0)

15 ( ) lim (1 ) () Y () =1 16 (1) () 17 ()( ) () () 18 () () () ( ) () () 19 () lim , >0 20 ( , ) [ ( , )] 21 ( ) ( 1) ( ) (0) 22 ( ) 1 () 23 ( )=21 () c () 24 ( ) ( ) 1 c () 2

APÉNDICE B () () ( ) () 11 ( 1) 22 ( + 1) 2( 1) 31 1 (1 ) ( 1)( ) (+ ) 41 (+ ) 5 2 cos +1 + ( ) 6 cos 2 cos +1 + 71 () (+ ) 8 2 cos + (+ )+ cos 9+ 2 cos + (+ )+ ( 1) ( 1) + exp ( 10 (1 exp( )) (+ ) ) 11 + cos ( ) 1 exp ( ) [( + ) + ] cos 1 1 ( )cos ( + ) = 2 ( ) cos + exp ) 2 ) 12 ( ) 1 13 ( ) 14 1( ) 1

14 1( ) 15 1 16 ( 1) ( 1) 2( 1) 17 18 19 cos 2 cos +1 ( ) 2 cos +1 20 2 cos + 21 22 ( 1) 2 cos + 2 = 2! ( 1) 1 23 ( 1)( 2) = 3 3! ( 1) 2 24 ( 1) ( + 1) = ! ( 1) 1 25 ( + 1) 26 ( + 1)( + 2) () 2! () 27 ( + 1)( + 2) ( + ) () ! ( +) 28 ! ( )! ! 29 !

REFERENCIAS Fadali, M. S., & Visioli, A. (2013). Digital control engineering: analysis and design. Academic Press. y Ezeta, R. F. D. B. (2013). Análisis y diseño de sistemas de control digital. McGraw-Hill Interamericana. Ogata, K. (1996). Sistemas de control en tiempo discreto. Pearson educación.